Aljabar 3-struktur-aljabar

Embed Size (px)

DESCRIPTION

bagus

Text of Aljabar 3-struktur-aljabar

  • 1. Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : HENDRIJANTO, M.Pd IKIP PGRI MADIUN M A D I U N 2011 FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA

2. 1 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan tentang teori grup. 1. Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan. Contoh I.1 : 1. Himpunan bilangan 2, 4, 6 dan 8. 2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris. 3. Himpunan : Negara-negara Uni Eropa. Secara matematik, himpunan dapat dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dan digunakan notasi huruf besar. Jika himpunan di atas ditulis secara matematik diperoleh : 1. A = {2, 4, 6, 8 } 2. B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris } 3. C = { Negara-negara Uni Eropa } Untuk membentuk himmpunan dapat digunakan metode Roster (tabelaris) yaitu dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, seperti pada himpunan A dan B, sedangkan metode lainnya adalah metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya. Sebagai contoh penggunaan metode Rule adalah C = { x | x negara-negara Uni Eropa } Kalimat dibelakang garis tegak ( | ) menyatakan syarat keanggotaan. Jika suatu obyek merupakan anggota dari suatu himpunan maka obyek itu dinamakan elemen dan notasi yang digunakan adalah ; sebaliknya jika bukan merupakan anggota dinamakan bukan elemen, dan notasi yang digunakan adalah . 3. 2 Sebagai contoh, jika himpunan E = {1, 3, 5, 7 }maka 3 E sedangkan 2 E. Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A). Berarti pada contoh di atas n(E) = 4. Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan dengan A B. Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perkawanan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B dan sebaliknya. Pada contoh diatas himpunan A={2, 4, 6, 8} ekuivalen dengan himpunan E={1, 3, 5, 7}. Dalam hal ini jika A = B maka pasti A B tetapi tidak berlaku sebaliknya. Catatan : Pada saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa : (i) Urutan tidak diperhatikan, himpunan {2, 4, 6, 8}, {2, 8, 4, 6} dipandang sama dengan {2, 6, 4, 8} (ii) Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {1, 1, 3, 3, 5, 7} dan {1, 3, 5, 7, 7, 7} dipandang sama dengan {1, 3, 5, 7}. Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A ={2, 4, 6, 8} maka dapat diambil himpunan semestanya U = {bilangan genap} atau U = {himpunan bilangan asli} dan lain-lain. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan notasi atau { }. Sebagai contoh jika D={bilangan ganjil yang habis dibagi dua} maka D = atau D = { }. Diagram Venn adalah diagram untuk menggambarkan suatu himpunan atau relasi antar himpunan. Himpunan yang digambarkannya biasanya dalam bentuk lingkaran dan anggotanya berupa titik dalam lingkaran dan himpunan semestanya dalam bentuk persegi panjang. Sebagai contoh jika diketahui himpunan E = {1, 3, 5, 7}dan himpunan semestanya adalah himpunan bilangan genap U maka dapat dibuat diagram Vennnya. 4. 3 Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari B artinya setiap anggota A merupakan anggota B. Dalam hal ini digunakan notasi A B. Sebagai contoh himpunan A = {2, 4, 6, 8} himpunan bagian dari F = {2, 4, 6, 8, 10, 12} atau A F. Relasi antara A dan F dapat dinyatakan dalam diagram Venn. Himpunan A bukan himpunan bagian himpunan G ={1, 3, 6, 8} atau A G karena ada anggota A (misalnya 1) yang bukan anggota G. Perlu dicatat bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan, sehingga A. Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A dan notasi yang digunakan adalah 2A . Sebagai contoh himpunan H={1, 2} maka 2H ={,{1},{2},{1,2}}. Dalam hal ini n(2A ) = 2 n(A) = 22 = 4. Himpunan A memuat himpunan B yang diberi notasi A B berarti B A. Sebagai contoh himpunan A ={1, 3, 5, 7} memuat himpunan K={1, 3}atau A K. Dua himpunan A dan B dikatakan sama (yang dinotasikan dengan A=B) jika A B dan B A. sebagai contoh { x | 5x-15 = 0 } = { 3 }. Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing jika masing-masing tidak kosong dan A B=. Sebagai contoh himpunan A={1, 3, 5, 7} saling asing dengan himpunan E={2, 4, 6, 8}. Komplemen himpunan A adalah semua anggota dalam semesta yang bukan anggota A. Notasi komplemen A adalah AC . Secara matematik dapat ditulis sebagai AC ={x | xU dan xA}. Sebagai contoh jika U = {1, 2, 3,, 10} dan A = {3, 5, 7} maka AC ={1, 2, 4, 6, 8, 9,10}. Relasi antara himpunan A dan komplemennya dapat dinyatakan dalam diagram venn berikut: 5. 4 Dalam hal ini UC = dan C =U. Gabungan dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota- anggotanya terdiri atas semua anggota dari himpunan A atau B. Notasi yang digunakan adalah A B. Secara matematika A B={x | xA atau xB}. Sebagai contoh jika A={a, i, e} dan B={i, e, o, u} maka AB={a, i, e, o, u}. Dalam hal ini berlaku sifat A (A B} dan B (A B}dan juga A AC = U. Irisan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Dalam hal ini digunakan notasi A B. Secara matematik A B ={x | x A dan x B } dan dapat dibuat diagram Venn untuk irisan. Sebagai contoh jika A={2, 3, 5, 7} dan B={2, 4, 6, 8}maka A B ={ 2 }. Dalam operasi irisan berlaku bahwa (A B) A dan (A B) B dan juga A AC = . Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah anggota A yang bukan B. Notasi yang digunakan adalah A-B. Secara matematik A-B = { x | x A dan x B }. Sebagai contoh jika A={1, 2, 3, 4, 5} dan B={3, 4, 5} maka A-B={ 1, 2 }. Jumlahan himpunan A dan B adalah himpunan A saja atau himpunan B saja tetapi bukan anggota A dan B. Dalam hal ini digunakan notasi A + B. Secara matematik dapat dinyatakan sebagai A+B={x | x (A B) tetapi x (A B) }. Sebagai contoh jika A={1, 2, 3, 4, 5,} dan B={2, 4, 6} maka A+B={1, 3, 5,6}. Catatan bahwa :A+B = (A B)-(A B) atau A+B =(A - B) (B - A). Hukum-hukum aljabar himpunan: 1. Komutatif : A B = B A dan A B = B A. 2. Assosiatif : A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C. 3. Idempoten : A A = A dan A A = A. 6. 5 4. Distributif : A (B C) = (A B) (A C) dan A (B C) = (A B) (A C). 5. De Morgan : (A B)c = Ac Bc dan (A B)c = Ac B. 6. Jika A B maka A B = A dan A B = B. Himpunan bilangan Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, 5, . }. Himpunan bilangan prima P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, . }. Himpunan bilangan cacah C = {0, 1, 2, 3, 4, . }. Himpunan bilangan bulat Z = {., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . }. Himpunan bilangan Real R adalah himpunan yang memuat semua bilangan anggota garis bilangan. Himpunan bilangan Rasional Q = {a/b | a, b Z dan b 0}. Himpunan bilangan irrasional R Q =Q c = { x R | x Q }. 2. Operasi biner Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan. Definisi I.1 Misalkan A himpunan tidak kosong. Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A. Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.). Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x + y dan x .y dikawankan secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z. Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu: 1. terdefinisikan dengan baik(well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x,y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y. 7. 6 2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A. Contoh I.2: Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif. Didefinisikan * dengan aturan x*y = x - y. Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N. Contoh I.3 : Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y = x + 2y dengan x,y dalam N = {1, 2, 3, } Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner. Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x + 2y memberikan hasil tunggal untuk setiap x,y dalam N. Untuk sebarang x,y dalam N maka jelas bahwa x + 2y masih merupakan bilangan bulat positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0. Berarti hasil dari x + 2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya P tertutup di bawah operasi #. 3. Hukum-hukum Aljabar Suatu system aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yang didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi. Definisi I.2 Misalkan * operasi biner pada himpunan A. (1) operasi * assosiatif jika (a * b) * c = a * (b * c) untuk semua a, b, c dalam A. (2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A. 8. 7 Dalam pembahasan selanjutnya hokum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan Real R sebagai aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti. Contoh I. 4 : Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a * b = (1/2) a b. Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif. Karena (a * b) * c = (1/2 a b) * c =1/2((1/2 a b) c) =1/4(a b)c dan pada sisi lain a * (b * c)=a *(1/2) bc) = (1/2)a((1/2) bc) = (a b) c untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif. Karena a * b = (1/2) a b = (1/2) b a = b*a. Untuk semua a, b dalam R maka * komutatif. Contoh I. 5 : Operasi didefinisikan pada bilangan bulat Z dengan aturan a b = a + 2b. Akan ditunjukkan bahwa tidak komutatif dan tidak assosiatif. Karena pada satu sisi (a b) c = (a + 2b) c = (a + 2b) + 2c dan pada sisi lain a (b c) = a (b + 2c) = a + 2(b + 2c) = a + (2b + 4c) = (a + 2b) + 4c dari kedua hasil tersebut tidak sama untuk c 0 maka tidak assosiatif. 9. 8 Ka