ガンマ分布 gamma distribution

魁 !! 広島ベイズ塾　掴め！分布感 編 (2015.07.26)

山根 嵩史 ( 飯炊き兵 )

ガンマ分布とはレポート問題 ( 豊田先生ベイズ本 p.60)

単位時間あたりに提出されるレポートの数　　⇒ ポアソン分布始めてレポートが提出されるまでの時間　　⇒ 指数分布50 人分のレポートが提出されるまでの時間　　⇒ ガンマ分布

　 W 大学の統計学の授業では，毎週，授業内レポートが課されます。 ( 中略 ) 提出時における 10 秒間あたりの平均提出者数は 0.8 人でした。学生は50 人います。長すぎず短すぎない執筆時間を用意したいのですが，それは何分間と見積もればよいのでしょうか。

ガンマ分布とは

早く一号生になりたい早く一号生になりたい早く一号生になりｔ

単位時間あたりに流れる流れ星の数　　⇒ ポアソン分布流れ星が初めて観測されるまでの時間　　⇒ 指数分布流れ星が α 個観測される までの時間　　⇒ ガンマ分布ガンマ分布 = 母数 λ の指数分布に従う事象が α 回生じるまでの時間の分布 他にも交通事故数，スペルミス回数など

ガンマ分布の確率密度関数　母数 λ の指数分布に従う α 個の独立な確立変数の和 X

　　：形状母数　　　：尺度母数　 β などの場合には = 1/

　 α が大きくなる，あるいは β が小さくなるにつれて，期待値と分散が増加 λ を変動させた場合 α を変動させた場合

どんな時に使える？先ほどのレポート問題を解いてみる単位時間 (10 秒 ) あたりの平均提出者数 0.8 人　 λ = 0.8

学生の人数 50 人　 α = 50

　平均 62.5 ，中央値 62.1

　　※ 1 単位 = 10 秒　 50 人全員が提出するまでに　約 10 分 25 秒！！

62.5

どんな時に使える？コワイ本の事例The seven scientists

　 7 人の科学者の能力に関するデータ　分散 (λi) の無情報事前分布として (0.001,0.001) のガンマ　分布設定

出典：『 Bayesian Cognitive Modeling 』

どんな時に使える？Change detection in time series data

　あるタイミング (ti) で認知課題の成績が変動する (μ1→μ2)

　ようなデータ　分散 (λ) の無情報事前分布として (0.001,0.001) のガンマ　分布設定

アーラン分布形状母数 α が整数値であるガンマ分布は，特にアーラン分

布と呼ばれる数学者 Agner K. Erlang が待ち行列理論において顧客の待

ち時間を計算するために用いた分布

　※待ち行列理論　　顧客の窓口への到着，提供されるサービス　　サービスを待つ顧客の行列などから，　　平均待ち時間などの混雑の程度を評価する

物売るってレベルじゃねーぞ！

他の分布との関係

分析例：流れ星問題 2流れ星問題 2 ( 豊田先生ベイズ本 p.148)

　 50 分間流れ星を観測した H 君は，あと３つお願い事があることを思い出しました。今から流れ星を３つ観測するためにはどれくらい待てばよいでしょうか。

運が良ければ 20 分未満運が悪ければ 1 時間以上

参考文献・サイト・ Michael D. Lee , Eric-Jan Wagenmakers (2014) 　『 Bayesian Cognitive Modeling:

　 A Practical Course 』　 Cambridge University Press

・ R Financial & Marketing Library 　 F.2.11. ガンマ分布

　 http://itbc-world.com/home/rfm/

・豊田 秀樹 (2015) 　『基礎からのベイズ統計学　ハミルトニアンモンテカルロ　

　法による実践的入門』　朝倉書店

・ Univariate Distribution Rerationship http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/ 　

　 UDR/UDR.html

・ wikipedia 　ガンマ分布　 https://ja.wikipedia.org/wiki/ ガンマ分布

・ wikipedia 　アーラン分布　 https://ja.wikipedia.org/wiki/ アーラン分布

・ weblio 　待ち行列モデル　 http://www.weblio.jp/content/ 待ち行列モデル