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PROBABILIDAD
TEOREMA DE BAYES - VARIABLES ALEATORIAS
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TEOREMA DE BAYES
Probabilidad total
Entonces la probabilidad total
P(B) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + …….. + P(An)*P(B/An)
El teorema de Bayes desarrollado por Sir Thomas Bayes en el siglo XVII. Se utiliza para revisar
probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.. Se inicia un análisis de
probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información
adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori.
Tomado y adaptado de: http://www.monografias.com
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Las aplicaciones del teorema de Teorema de Bayes son infinitas, y no
exentas de grandes polémicas.
El problema radica es que al decir “B ha ocurrido” se puede pensar que
es un hecho determinístico, y por lo tanto no tiene objeto calcular la
probabilidad P(B), es decir si B ha ocurrido entonces P(B) = 1.
No obstante, el problema cambia radicalmente si uno expresa “si B
ocurre”, y esta es la interpretación correcta.
Por otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos Ai son de tipo a
priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse puesto que no
se tiene información sobre el “pasado”, y que se espera que van a ser
“mejoradas” con la información que puede entregar el suceso B, de
hecho las probabilidades P(Ai / B) son llamadas a posteriori.
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El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a
posteriori y se define:
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El SITP tiene tres líneas en una localidad de Bogotá, donde
que el 45% de los buses cubre el servicio de la línea 1, el 25%
cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se
sabe que la probabilidad de que, diariamente, un bus sufra un
accidente es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada
línea.
a. Calcular la probabilidad de que, en un día, un bus sufra un
accidente
b. Calcular la probabilidad de que, en un día, un bus no sufra
un accidente.
c. ¿De qué línea de transporte es más probable que un bus
sufra un accidente?
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1. VARIABLES ALEATORIAS
En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar
los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un
número, con el fin de poder realizar un estudio matemático.
Por ejemplo, cuando se estrellan dos vehículos, se puede estar
interesado en conocer el número de heridos y no en particular el
trancón que pueden generar.
Igualmente, un inversionista no estará interesado en conocer todas
las variaciones que se han producido a lo largo del día en el precio
del dólar, sino que, por el contrario, sólo le interesa saber el precio al
final del día.
Las anteriores magnitudes de interés que vienen determinadas por el
resultado del experimento se conocen como variables aleatorias
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VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria X es una función que asocia un número real a
cada punto del espacio muestral
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un
experimento
Variable aleatoria discreta: una variable aleatoria es discreta si su
conjunto de valores posibles es un conjunto discreto, toma un número
finito de valores numerables.
Variable aleatoria continua. Variable que toma un valor infinito de
valores no numerables. Una variable aleatoria es continua si su
conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números; esto es,
si para algún a < b, cualquier número x entre a y b es posible.
[ a ≤ X ≤ b]
Definiciones:
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Repaso:
Especificar
Experimento
Definir
Espacio
Muestral
Ω = S
Evento o
Suceso
Variable
Aleatoria
Distribución de
probabilidad
X
P(x)
MODELO PROBABILÍSTICO
Reconocer
todos los
resultados
Asignar un
resultado
Discretas P(x)
Continuas f(x)
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NOTACIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS CONTINUAS
0)( xPX
x
X xP 1)(
)()( xXPxPX
,,0)( xxf
,1)( dxxf
dxxfbxaP
b
a
)()(
11
Ejemplos: Variable Aleatoria (V.A) discreta
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A
Número de vehículos que
llegan a un peajeCantidad de vehículos 0, 1, 2, 3, 4, 5
Inspeccionar un lote de
producción de 100
microchips
Cantidad de chips
defectuosos0, 1, 2,……, 100
Comprar baloto Ganar o perder $12.500.000.000 ; - $5.500
Preguntarle a una persona
si le ha sido infiel a su
pareja
No o Si 0 si es no y 1 si es si
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Ejemplos: Variable Aleatoria (V.A) continua
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A
Tomar el tiempo que debe
esperar un vehículo para
cruzar un semáforo
Tiempo en minutos, que
debe esperar un vehículo
hasta que cambie el
semáforo
X ≥ 0
Llenar una botella de un litro
con guarapo
Cantidad de mililitros de
guarapo envasado0 ≤ X ≤ 1000
Proyecto: construcción de
viviendas de interés social
Porcentaje de avance del
proyecto0 ≤ X ≤ 100.000
Dejar el auto estacionado
por una hora en un
parqueadero
Precio de la hora de
parqueo$ 0 ≤ X ≤ $10.000
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VALOR ESPERADO
x
xx xxPXE )()(
22222 )()()()()( XExPxXEXVx
xxXx
VARIANZA
dxxxfXE XX )()(
dxxfxXV XXX )()()( 22
v.a. Discreta
v.a. Discreta
v.a. Continua
v.a. Continua
Experimento aleatorio: Registrar tres vehículos que llegan a un cruce prohibido y
observar si hacen el giro.
Espacio muestral Ω=nnn, nns, nsn, snn, nss, sns, ssn, sss
Evento: Hace el cruce prohìbido
Variable aleatoria: Asignar un número real, el correspondiente al número de cruces
prohibidos
X : 0, 1, 2, 3
Ω
sss
ssn
sns
nss
snn
nsn
nns
nnn
0
1
2
3
X: v.a
Ω X(Ω)X
Ω = espacio muestral de E
Rx = valores posibles de X
Ejercicio: Construir la gráfica de la distribución de
probabilidad (D. de P.) y D. de P. acumulada
EJEMPLO 1
De un grupo de 10 personas, de las cuales 4 son mujeres. Se extraen al azar 3
personas sin reposición. Construir la función de distribución probabilidad
Solución:
Se define la variable aleatoria X: Número de mujeres seleccionadas.
En este caso el rango de valores de X es Rx = 0, 1, 2, 3
Por ejemplo,
P(X=2) = Probabilidad (seleccionar 2 mujeres) =
en general P(x) para x = 0,1,2,3.
Tabla de distribución de probabilidad:
3
10
1
6
2
4
3
10
3
64
xx
EJEMPLO 2:
Ejercicio: Construir la gráfica
de la distribución de probabilidad
y la acumulada
Función de distribución acumulativa
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(x) y rango devalores Rx, entonces su función de distribución de probabilidad acumulativa se definepor:
t es cualquier número real. En particular, si t es un valor que está en Rx , el cualconsiste de enteros no negativos, entonces:
F(t) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) +…+ p(t)
Ejemplo. Hallar la función de distribución acumulativa para el Ejemplo 2
tx
xptXPtF )()()(
x F(x)
0 1/6
1 4/6
2 29/30
3 1
Ejercicio: Construir la gráfica
de la distribución de probabilidad
acumulada (función escalonada)
La gráfica de una función de distribución de probabilidad acumulativa escreciente y del tipo escalonado, con saltos en los puntos que están en elrango de valores y cuya magnitud es igual al valor de la función deprobabilidad en dicho punto.
Más formalmente tiene la siguiente propiedad:
Propiedad:
La relación entre la función de distribución de probabilidad y la función de distribución acumulativa está dada por:
P(x) = F(x) - F(x-1)
Para todo valor de x en el rango de valores de la variable aleatoria.
Calcular la función de distribución de
probabilidad de las puntuaciones
obtenidas al lanzar un dado.
La representación de la función de
distribución de probabilidad, de las
puntuaciones obtenidas al lanzar un
dado, es una gráfica escalonada
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EJEMPLO 3
X P(X)
X< 1 0
1 ≤ X < 2 1/6
2 ≤ X < 3 2/6
3 ≤ X < 4 3/6
4 ≤ X < 5 4/6
5 ≤ X < 6 5/6
6 ≤ X 1
Función de distribución de probabilidad acumulada
Ejercicio: Calcular E(X), V(X) y σ
Para el ejemplo 2 (De un grupo de 10 personas, de las cuales 4 son mujeres.
Se extraen al azar 3 personas sin reposición). Hallar la media, varianza y
desviación estándar del número de mujeres seleccionadas.
Solución:
Desviación estándar √2= √0.573 = 0.7569
Otra formas del calcular la varianza es 2 = x2p(x)-2.
x p(x) Xp(x) X- (x-u)2p(x)
0 1/6 0 -1.2 .24
1 1/2 1/2 -0.2 .02
2 3/10 6/10 0.8 .192
3 1/30 1/10 1.8 .121
= 1.2 2 = 0.573
Ejemplo 4
El constructor Aquiles
Pinto Paredes, estudió sus
registros de las últimas 20
semanas y obtuvo los
siguientes números de
casas pintadas por
semana:
# de casas pintadas
Semanas
10 5
11 6
12 7
13 2 Distribución de probabilidad:
Número de casas pintadas, X
Probabilidad, P(X)
10 0.25
11 0.30
12 0.35
13 0.10
Total 1
Número medio de casas pintadas por semana:
E x xP x( ) [ ( )]
( )(. ) ( )(. ) ( )(. ) ( )(. )
.
10 25 11 30 12 35 13 10
113
2 2
4225 0270 1715 2890
91
[( ) ( )]
. . . .
.
x P x
Varianza del número casas pintadas por semana
Desviación estándar del número casas pintadas por semana σ = 0.9539 ≈ 1
EJEMPLO 5
El número de autos que se pasan en rojo un semáforo son
x = 1, 2, 3, 4 , de acuerdo con la siguiente función:
P(x) =
X Para x = 1, 2 , 3, 41
10
0 En otro caso
a) Trace la gráfica de esta función y demuestre que cumple con las
propiedades para que P(x) sea una función de probabilidad.
b) Halle el valor esperado
c) Determine la desviación estándar
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Un dado tiene una cara roja, dos caras verdes y las tres
restantes negras. Se lanza el dado una vez. Si sale rojo gana
$ 3000 y si sale verde, gana $8000. ¿Cuánto debe pagar, si
sale negro, para que el juego sea equitativo?
El dueño de una tracto mula quiere comprar diez llantas para
remplazarlas en su vehículo. Anteriormente, había comprado
llantas de este tipo a dos diferentes fabricantes. Con base en
estas experiencias, las vidas útiles de las dos marcas de
llantas se pueden estimar de la siguiente manera:
Ejercicios
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___________________________ ________________________ VIDA ÚTIL ESTIMADA PROBABILIDAD VIDA ÚTIL ESTIMADA PROBABILIDAD
HORAS HORAS ___________________________ _________________________
2000 0,60 2000 0,50
3000 0,30 3000 0,45
4000 0,10 4000 0.05
__________________________ ________________________
Llanta tipo A Llanta tipo B
¿Que marca debe comprar el transportador si el costo de
ambas llantas es el mismo?
Ejercicios
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Una inmobiliaria posee un terreno en un sector de losalrededores de una ciudad, clasificado como sector“agrícola”. Existe un proyecto de cambio de ese sector de“agrícola” a “habitacional”. Si el proyecto se aprueba, elterreno tendría un valor de $ 10’000.000,000 en cambio si elterreno es rechazado, el valor es de sólo $ 2’000.000.000.Antes que el Consejo Municipal de la ciudad decida sobre elproyecto, un comprador ha ofrecido $ 5’000.000.000 alcontado por el terreno.
a) Debe la compañía de inversiones vender su terreno por eseprecio si la probabilidad de aprobación del proyecto es de0.5?
b) Que probabilidad debe asignarse a la aprobación delproyecto para que la compañía no tuviera preferencia porninguna de las dos alternativas (vender el terreno o esperarla decisión municipal)?
Ejercicios
Un comerciante estima las
ventas diarias de rosas de la
siguiente forma:
Venta diaria
estimada
Probabilidad de
venta
4000 0.45
5000 0.30
6000 0.25
El costo por docena es de $ 3.500
y el precio de venta es de $ 8.000.
Las rosas deben ser ordenadas
con un día de anticipación. Cada
docena no vendida en el día se
entrega a una institución de
beneficencia al precio de $100 por
unidad. Cuántas unidades debe
ordenar el comerciante para
maximizar su utilidad diaria
esperada?
Ejercicios
!Gracias por su atención!
