10.1 空间直角坐标系与向量的概念

10.2 向量的点积与叉积

10.3 平面与直线

10.4 空间曲面与曲线

第 10 章 向量与空间解析几何

10.1.1空间直角坐标系

10.1.2 向量的概念及其运算

10.1.3 向量的坐标表达式

10.1.4 内容小结

10.1 空间直角坐标系与向量的概念

概念：

坐标轴: 在空间，任意取一点 O，经过点 O作三

条相互垂直的直线，它们都以 O为原点；一般具有相

同的单位长度；分别选取它们的正向，使它们成为三

条数轴分别称为 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖

轴），统称为坐标轴.

10.1.1 空间直角坐标系

空间直角坐标系: 三个坐标轴的正向一般构成右手

系，即用右手握着 x轴，当右手四指从 x轴正向以逆时针

旋转 90度转向 y轴正向时，大拇指的指向就是 z轴的正

向，如图（10.1.1）所示.这样就构成了空间直角坐标系.

点 O称为坐标原点.

zOxyOz

O

z

x

y

平面 平面

xOy 平面图 10.1.1

O

x

y

ⅠⅣ

Ⅴ

ⅥⅦ

Ⅷ

ⅡⅢ

图１ 0.1.2

三个平面：在空间直角坐标系中，任意两条坐标轴

所确定的平面称为坐标面.例如：由 x轴和 y轴所确定的

坐标平面称为 xOy平面，同理还有 yOz平面和 xOz平面.

八个卦限：.三个坐标平面把空间分为八个部分，称为

八个卦限，用大写罗马数字表示，其顺序规定如图（10.1.2）

所示.

点的坐标：对于空间任意一点 p，可确定它的坐标如

下：通过 p点，作三个平面分别和三个坐标面平行，它们

和坐标轴 ox,oy ,oz依次交于 A、B、C，这三点在 ox,oy,oz

上的坐标分别为 x, y,z，称 x, y, z为点 p的坐标，

通常记为 p(x,y,z)，简记(x,y,z).x, y和 z依次称为点 p

的横坐标，纵坐标和竖坐标.

10.1.2向量的概念及其运算

1. 向量的概念 向量：在数学上，常用有向线段表示向量，有向线段

的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方

向，以A为起点，B为终点的有向线段表示的向量，记为

AB如图（10.1.3），其中第一个字母A是始点，第二个字

母B是终点.习惯上

也用小写粗体字母表示向量，比如 a,b,c等 图10.1.3

A B

向量的模（或向量的长度）：向量 a 的大小称为向量的模（或向量的长度），记为: │ a│ .

单位向量：模等于 1的向量称为单位向量；

零向量：模等于 0 的向量称为零向量，记为 0，零

向量没有确定的方向，也可以认为其方向是任意的.

相等向量：规定：两个方向相同，模相等的向量称

为相等向量. 自由向量：在数学上我们仅讨论与始点无关的

向量，即两个向量，在空间经过平行移动能使它们

重合，就认为这两个向量相等，这种向量称为自由向量 . 例如图（ 10.1.4 ）中的

. a

b 图10.1.4

a=b

2. 向量的运算

（1）向量的加法

定义 10.1 （向量加法）设已给向量 a,b，以任意点 O为

始点，作OA a

, OB

b ,再以 OA,OB 为边作平行四边形

OABC，则对角线上的向量OC

c就是 a,b 之和，记作

a b c(图 10.1.5)，这种求向量和的作图法称为平行四边形

法则.

a

ba +b

o A

B C

图 10.1.5

求 向 量 和 还 有 另 一 种 方 法 （ 图 1 0 . 1 . 6 ）： 由 于 向 量 可 以

在 空 间 平 行 移 动 ， 从 空 间 一 点 O 引 向 量 O B

b ， 从 b 的 终 点

B 引 向 量 B C

a ， 则 向 量 O C

c , 就 是 ,a b 之 和 ， c = a b

（ O C O B B C

） 这 种 作 图 法 称 为 三 角 形 法 则 .

a

oB

C

a+b

b

图 10.1.6

（2）向量的减法

定义 10.2 若向量 a与 - a，长度相等，方向相反，则称 -a

为a的负向量.方向相同或相反的向量称为平行向量.

定义 10.3 （向量减法）a-b=a+（-b）

对已给向量 ,a b，以任意点 O为始点,作OA

a, OB

b，

则有OB

的终点 B到 OA

的终点A的向量BA

即为a-b（图 10.1.8）.

这种作图法称为向量减法的三角形法则.

ab

a+(-b)

a-b

-b

o

AB

图 10.1.8

（3）向量与数的乘法

定义10.4 向量 λ a 为向量 a与数 λ 的乘积:

λ设 为一实数，a 为向量，则 λ a 是一个向量.

规定: λ向量 a ∣的模等于 a∣ ∣ λ∣与数 的乘积，

即 ∣ λ a∣ =∣ λ∣ ∣ a∣；

当 λ >0 λ时， a 与 a 同方向;

当 λ <0 λ时， a 与 a 反方向;

当 λ =0时 λ， a 为零向量.

向量的加法与数乘满足以下运算律：（a、b、c为向量，λ、μ为实数） （1）交换律：a+b=b+a （2）结合律：（a+b）+c=a+(b+c)

λ(μa)= λμa=μ(λa) （3）分配律：(λ+μ) a =λa+μa

λ(a+b)= λa+λb

10.1.3向量的坐标表达式 1. 向径及其坐标表示

始点为坐标原点，终点为空间一点P（ x, y , z）的向

量OP称为点P的向径，如图（10.1.9）记为（P）=

OP。

设 , ,i j k分别为与ox轴，oy轴，oz轴同向的单位向量，

AB

C

'p

p

i jkO

x

y

z

图 10.1.9

)1110( kzjyixpo

)2110(,, zyxpo

（10-1-1）式称为向径OP

按基本单位向量的分解式，

x y zi, j, k 分别称为OP

在ox轴，oy轴，oz轴上的分向量；

（10-1-2）式称为向径OP

的坐标表示式， 称

为向径OP

的坐标.

2. 向量 a的坐标表示式

在空间直角坐标系下，有以 1 1 1 1, ,P x y z 为始点，

2 2 2 2, ,P x y z 为终点的向量a可以表示为：

a=（ 2 1x x）i+（ 2 1y y） j+（ 2 1z z）k （10-1-3）

或记为 a={ 2 1x x , 2 1y y , 2 1z z } （10-1-4）

zyx ,,

向 量 的 模 可 以 用 向 量 的 坐 标 表 示 . 向 量 1 2P P

的 模 为

2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )

1 2

P P x x y y z z （ 1 0 - 1 - 5 ）

特 别 地 ， 原 点 O（ 0 , 0 , 0 ） 到 点 P ( x , y , z ) 的 向 径 O P

的 模

为

2 2 2 O P x y z （ 1 0 - 1 - 6 ）

1. 空间直角坐标系概念

2. 向量的概念及其运算

3. 向量的坐标表达式

10.1.4 内容小结

10.2 向量的点积与叉积

10.2.1 两向量的点积 10.2.2 两向量的叉积

10.2.3 内容小结

10.2.1 两向量的点积

定义 10.5设a，b为任意两个向量，则它们的点积（或数积）是一个数量，用 a · b 来表示.

cosa b a b （10-2-1）

其中是a，b之间的夹角，0 ≦ ≦ π.

向量的点积满足以下运算律

（1）交换律a ·b= b ·a

（2）结合律 （a ·b）=（ a）·b= a ·（ b）

（3）分配律（a+b）·c = a ·c + b·c

由点积的定义还可以得出如下结论：

（1）a · a= a 2 = 2a

（2）对两个非零向量a和b，如果a⊥b，则 a · b = 0，

则 cos =0，所以两个非零向量a和b垂直的充分必要条件是

a · b= 0；

（3）两个非零向量a和b之间的夹角公式

cos a ba b

（10-2-2）

（4）对基本单位向量 i ， j ，k 有

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = j · k = k · i = 0

设 a = { , ,x y za a a } ， b = { , ,x y zb b b } ， 则 两 个 向 量 点 积 的

坐 标 表 示 式 a b x x y y z za b a b a b （ 1 0 - 2 - 3 ）

由 两 个 向 量 点 积 的 坐 标 表 示 式 ， 可 得 两 个 非 零 向 量 a 和

b 垂 直 的 充 分 必 要 条 件 是 x x y y z za b a b a b = 0 ( 1 0 - 2 - 4 ）

夹 角 公 式 是 c o s

2 2 2 2 2 2

x x y y z z

x y z x y z

a b a b a b

a a a b b b （ 1 0 - 2 - 5 ）

10.2.2 两向量的叉积

定义 10.6设 a , b为任意两个向量，则它们的叉积

（或向量积）是一个向量，用a× b,即 c =a× b表示

(1) sin c a b a b ( π 0 ) (10-2-6)

(2) c垂直于a和 b，且按这个次序构成右手系

叉积满足以下运算律：（a，b，c为向量，为实数）

（1） a× b=b× a；说明叉积不满足交换律

（2） （a× b）=（ a ×） b=a×（ b）；

（3） a×（b + c）= a× b +a× c .

10.2.3内容小结

1.两向量的点积

2.两向量的叉积

10.3平面与直线

10.3.1 平面方程

10.3.2 直线方程

10.3.3 直线与平面的位置关系

10.3.4 内容小结

10.3.1平面方程

1 . 平 面 的 点 法 式 方 程

定 义 1 0 . 7 若 一 个 非 零 向 量 垂 直 于 一 已 知 平 面 ， 则 称 这

个 向 量 为 平 面 的 法 向 量 .

给 定 点 ( , , )0 0 0 0P x y z 和 法 向 量 n = { , ,A B C } ， 平 面 的 点法 式 方 程 为 ： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z

2 . 平 面 的 一 般 式 方 程

过 点 （ , ,0 0 0x y z ） 以 n = { A B C、 、 } 为 法 向 量 的 平 面 方程 为 ： A x B y C z D 0 表 示 一 个 平 面 ， 为 平 面 的 一般 式 方 程 。

3. 平面的截距式方程

设一平面不通过原点，也不平行于任何坐标轴，并与

x y z、 、 三轴分别交于 P（ a，0，0），Q（ 0，b，0），R（ 0，

0， c）三点，则 x y z

a b c 1 为平面的截距式方程

a b c、 、 .分别为平面在 , ,x y z 轴上的截距。

例: 求过 z轴和点 M（ 4，3，1）的平面方程.

解 设所求平面为 π，其法向量为 n，因为平面 π过 z轴，

所以n⊥ k，又因为向量 OM

= { 4，3，1}在平面 上，

所以n⊥OM

，于是 n∥ （k× OM

），故可取

n ＝k× OM

= k×（ 4 3 i j k）= 4 3 j i .

n 由平面的点法式方程得 π的方程为

( ) ( ) ( )x y z 3 4 4 3 0 1 0

即 3 4 0x y

10.3.2直线方程

1. 直线的一般式方程

空间直线L的一般式方程：

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

2. 直线的点向式方程

直线l的点向式方程：一直线 l过空间一点 ( , , )0 0 0 0P x y z 且与一已知非零向量 S＝{ , ,m n p }平行,则直线l的点向式方程

为：

0 0 0x x y y z z

m n p

3. 直线的参数方程

设 0 0 0x x y y z z

m n p那么直线 l的方程可写

成如下形式

0

0

0

x x m

y y n

z z p

称为直线 l 的参数方程，为参数.

10.3.3直线与平面的位置关系

1. 两平面之间的位置关系

定义 10.8两平面的法向量之间的夹角 ，称为两平面的夹

角.我们规定 0≤ ≤π2 .

设 平 面 1π ， 2π 的 法 向 量 分 别 为 1 1 1 1, ,n A B C ，

2 2 2 2, ,n A B C 则：

平面 1π垂直平面 2π的充要条件为 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C

平面 1π平行平面 2π的充要条件为 1 1 1

2 2 2

A B C

A B C

2. 两直线之间的位置关系

定义 10.9两直线的方向向量之间的夹角 ，称为两直

线的夹角.我们规定 π02

设空间两直线 1l 与 2l 的方向向

量分别为 1 1 1 1, ,S m n p ， 2 2 2 2, ,S m n p 则：

直线 1l 垂直与直线 2l 的充要条件为

1 2 1 2 1 2 0mm nn p p

直线1l平行与直线2l的充要条件为 1 1 1

2 2 2

m n p

m n p

3 . 直 线 和 平 面 之 间 的 位 置 关 系 定 义 1 0 . 1 0 直 线 l 与 它 在 平 面 π 上 投 影 直 线 l 之 间 的 夹

角 ， 称 为 直 线 l 与 平 面 π 之 间 的 夹 角 . 规 定 π02

设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 S = { , ,m n p } ， 平 面 π 的 法 向 量为 n = { , ,A B C } 则 ：

直 线 l 垂 直 与 平 面 π 的 充 要 条 件 为 A B C

m n p

直 线 l 平 行 与 平 面 π 的 充 要 条 件 为 A m B n C p 0

4 . 直 线 和 平 面 的 交 点

设 直 线 l 的 方 程 为

0 0 0x x y y z z

m n p （ 1 ）

平 面 的 方 程 为 A x B y C z D 0 （ 2 ）

则 ( )Am Bn Cp + ( ) 0 0 0Ax By Cz D = 0

(1)若Am Bn Cp 0， 0 0 0 0Ax By Cz D 时，直线l与

平面π平行，且点( , , )0 0 0x y z 不在平面π上，所以没有交点；

(2)若Am Bn Cp 0，( ) 0 0 0Ax By Cz D =0时，直线l

在平面π内；

（3）若AmBnCp 0，则有

0 0 0Ax By Cz D

AmBnCp

将值代入直线的参数方程中的, ,xyz，即得直线 l与平面

的交点坐标.

10.3.4 内容小结

1. 平面方程

2. 直线方程

3. 直线与平面的位置关系

10.4空间曲面与曲线

10.4.1 空间曲面的一般概念

10.4.2 母线平行与坐标轴的柱面方程

10.4.3 二次曲面

10.4.4 空间曲线及其在坐标面上的投影

10.4.5 内容小结

1 0 . 4 . 1 空 间 曲 面 的 一 般 概 念

在 空 间 直 角 坐 标 系 下 ， 设 以 x ， y ， z ∑表 示 曲 面 上 任

意 一 点 坐 标 ， 我 们 用 x ， y ， z 间 的 一 个 方 程 , , 0F x y z 来 表

∑示 曲 面 上 所 有 点 的 共 同 性 质 . ∑如 果 曲 面 和 这 个 三 元 方

程 , , 0F x y z （ 1 0 — 4 — 1 ）

之 间 有 如 下 关 系 ：

（ 1 ∑） 曲 面 上 任 意 一 点 坐 标 均 满 足 方 程 （ 1 0 — 4 — 1 ） ；

（ 2 ） 坐 标 均 满 足 方 程 （ 1 0 — 4 — 1 ∑） 的 点 都 在 曲 面 上 ；

那 么 方 程 （ 1 0 — 4 — 1 ∑ ∑） 就 称 为 曲 面 的 方 程 ， 而 曲 面 称

为 该 方 程 的 图 形 .

方程 , 0Fxy表示母线平行于z轴的柱面；

方程 , 0Gyz表示母线平行于x轴的柱面；

方程 , 0Qxz表示母线平行于y轴的柱面。

10.4.2 母线平行于坐标轴的柱面方程

定义 10.11

平行于定直线并沿定曲线 L移动的直线C所形成的曲面

称为柱面.

定曲线L称为柱面的准线，动直线C称为柱面的母线.

10.4.3二次曲面

1 . 旋 转 曲 面

由 一 已 知 平 面 曲 线 L 绕 其 平 面 上 定 直 线 C 旋 转 所 形

成 的 曲 面 称 为 旋 转 曲 面 ， 这 定 直 线 C 称 为 旋 转 曲 面 的 轴 ，

曲 线 L 称 为 旋 转 曲 面 的 母 线 .

曲 线 L 以 z 轴 为 旋 转 轴 所 得 旋 转 曲 面 方 程 为 ：

, 2 2 0f x y z （ 1 0 — 4 — 2 ）

曲 线 L 绕 y 轴 旋 转 所 得 旋 转 曲 面 方 程 为 ：

, 2 2 0f y x z

2 . 椭 球 面

由 方 程 2 2

2 2

x y

a b

2

21

z

c （ a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ） ( 1 0 — 4 — 3 )

所 表 示 的 曲 面 称 为 椭 球 面 ， a ， b ， c 为 椭 球 面 的 半 轴

3 . 椭 圆 抛 物 面

由 方 程 ( , ) 2 2

2 20 0

x yz a b

a b ( 1 0 — 4 — 4 )

所 表 示 的 曲 面 称 为 椭 圆 抛 物 面 .

4. 单叶双曲面和双叶双曲面

方程 2 2

2 2

x y

a b

2

21

z

c (10—4—5)

表示的曲面称为单叶双曲面.

方程 2 2

2 2

x y

a b

2

21

z

c (10—4—6)

表示的曲面称为双叶双曲面.

10.4.4空间曲线及其在坐标面上的投影

1. 空间曲线的方程

曲线 C的一般方程： ∑设曲面 1的方程为

( , , )1 0F xyz ∑，曲面 2的方程为 ( , , )2 0F xyz ，它们的交线

是曲线C，即

( , , )

( , , )

1

2

0

0

F xyz

F xyz (10—4—7)

为曲线C的一般方程.

2. 空间曲线在坐标面上的投影

空间曲线C在xOz平面上投影曲线的方程：.将空间

曲线C投影到xOz平面上所得的曲线，这曲线称为空间

曲线C在xOz平面上的投影曲线，简称投影.它的方程是

( , )F x z

y

0

0

10.4.5 内容小结

1．空间曲面的一般概念

2．母线平行与坐标轴的柱面方程

3．二次曲面

4．空间曲线及其在坐标面上的投影