たたみこみ積分補足

2018年 11月 29日

1 導出

関数 f と g のたたみこみ (convolution) f ∗ g は

f ∗ g (x) =∫ ∞

−∞f(x− p)g(p) dp =

∫ ∞

−∞f(p)g(x− p) dp (1)

と定義される。f, g の引数（変数）のとりかたは混乱しやすいが、二つの引数の和が xとなるようにとる、と

考えればよいし、それがたたみこみの要点でもある。つまり、二つの関数の値の積を積分するのだが、積を計

算する際に、同じ場所での値をもってくるのではなく、和をとったときに xとなるような組み合わせで全て積

分する。左辺、あるいは畳み込み積分をした後は xの関数になることに注意する。

さて、フーリエ変換を演算と考えて、演算子 F であらわす。

F(f) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x) e−iωxdx (2)

関数 f と g のたたみこみのフーリエ変換は

F(f ∗ g) =√2πF(f)F(g) (3)

と、それぞれの関数のフーリエ変換の積（に√2π をかけたもの）になる。

[証明]

フーリエ変換の定義から

F(f ∗ g) = 1√2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(p) g(x− p) e−iωx dp dx (4)

変数をすこし変えて x− p = q とおく。つまり x = p+ q。すると

F(f ∗ g) = 1√2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(p) g(q) e−iω(p+q) dq dp (5)

ここで p, q の積分順序もいれかえた。この２重積分の形は書き換えると

F(f ∗ g) = 1√2π

∫ ∞

−∞f(p)e−iωpdp

∫ ∞

−∞g(q) e−iωq dq (6)

となり、f のフーリエ変換と g のフーリエ変換の積の形になっている。(証明終わり）

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