«EXCELSIOR - 2012»

Секция МАТЕМАТИКА

РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Васильева Светлана Владимировна, МБОУ «Октябрьская СОШ» Мариинско-Посадского района

Чувашской Республики, 11 класс

Иванов Анатолий Валерьевич, МБОУ «Октябрьская СОШ» Мариинско-Посадского района

Чувашской Республики, 11 класс

Научный руководитель: Яковлева Галина Васильевна,

учитель математики МБОУ «Октябрьская СОШ» Мариинско-Посадского района Чувашской Республики.

Цель работы: Осуществлять поиск «ключевых задач», исследовать возможность эффективного использования их при решении задач нахождения расстояний и углов в пространстве

Предмет исследования – «ключевые задачи» как кратчайший путь достижения цели.

Гипотеза исследования. Уместно начать работу с вопроса: “Известна ли нам какая-нибудь родственная задача?», ибо значение слова «исследование» - извлечь нечто «из следа» Чем больше изучаешь, тем больше потребность в новых знаниях.

Задачи исследования:1) обосновать и раскрыть идею метода «ключевых задач»; 2) исследовать использование «ключевых задач» для нахождения

расстояний и углов в пространстве; 3) создать «банк ключевых задач»в виде справочного материала для

подготовки к ЕГЭ;

Ключевая задача (использование расстояний)

lM

M

;

;;sin

Ключевая задача (теорема о трех синусах) sinsinsin

S

S /

;cos

Ключевая задача (использование площади)

В одной из граней двугранного угла величиной α проведена прямая, составляющая с ребром этого угла угол β. Определите угол γ между этой прямой и другой гранью

Расстояние от точки М до прямой а равно расстоянию до прямой а от произвольной точки Р прямой b, проходящей через точки М, параллельной прямой а

Ключевая задача(использование параллельных прямых)

Пример. В правильной шестиугольной призме А…Е1, ребра которой равны 1. Найти расстояние от точки А до прямой ВС1

Ключевая задача(использование параллельных прямой и плоскости)Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.Задачу можно свести к задаче о расстоянии от точки прямой до плоскости.

Пример. В правильной треугольной призме А…С1, в которой все ребра равны 1,найти расстояние между прямымиАА1 и В1С

Ключевая задача (использование параллельных плоскостей)Угол между пересекающимися плоскостями α и β равен углу между плоскостями, параллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них).

Пример. В кубе A…D1 найти угол между плоскостью грани AA1B1B и плоскостью BC1D.

Ключевая задача (использование координатного метода)Вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости. Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях)

Пример 2. В единичном кубе A…D1 найти расстояние от точки D1 до прямой РQ, где P и Q — середины соответственно ребер А1B1 и ВС.

Рассматривается равенство объемов одной фигуры, выраженных двумя независимыми способами. При данном методе нет необходимости в проведении перпендикуляра из точки на плоскость и его обоснования.

Ключевая задача ( использование объемов)Если объем пирамиды ABCM равен V, то расстояние от точки M доплоскости, содержащей треугольник ABC, вычисляют по формуле

Пример. Ребро куба A…D1 равно а. Найти расстояние от точки C до плоскости BDC1.