М А Т Е М А Т И К А

ХIII.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКИ

Лекция ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ.

ЧАСТОТА СОБЫТИЙ.

1.Основные понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых однородных случайных явлений.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события (случайное событие).

Определение. Под событием понимают любой факт, который может произойти, а может и не произойти в результате опыта, или испытания.

Под опытом, или испытанием понимают осуществление определённого комплекса условий, приводящих к определённому результату.

События обозначаются: А,В,С,…

Для каждого опыта можно указать некоторую совокупность (множество) взаимоисключающих событий, причём в результате одного опыта должно осуществиться какое-нибудь одно из них. Такая совокупность называется пространством элементарных событий , связанных с данным опытом, а входящие в него события называются элементарными событиями

.

Каждое случайное событие , которое может осуществиться в результате опыта, сопоставимо с группой соответствующих ему элементарных событий из .

Определение. Элементарные события , входящие в состав случайного события , называются событиями благоприятствующими появлению события .

Это означает, что в результате опыта случайное событие произойдёт, если осуществиться какое-нибудь из благоприятствующих ему элементарных событий, и не произойдёт в противном случае.

Каждое элементарное событие является случайным. Всё пространство

является случайным событием, которое обязательно произойдёт.

Определение. Событие, которое в результате опыта обязательно произойдёт, называется достоверным событием.

Геометрически случайные события изображаются множеством точек области , т.е. областями, лежащими внутри . (Достоверному событию соответствует вся область ).

A

AA

A

A BC

Определение. События и называются равносильными (эквивалентными), если они состоят из одних и тех же элементарных событий. Обозначение:

Определение. Событие называется следствием события , если из появления события следует появление события . Обозн.

Определение. Несколько событий в донном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Определение. Несколько событий в данном опыте называются совместными, если хотя бы два из них могу произойти одновременно; если никакие два из нескольких событий не могут произойти одновременно, они называются несовместными.

Определение. Группа несовместных событий называется полной группой событий, если в результате опыта обязательно произойдёт одно и только одно событие из этой группы. (Геометрически это означает, что области делят всю область на частей, не имеющих попарно общих точек).

.BA

A B

.BAB AA B

1A 2A 3A

4A5A

nAA ,...,1

nAAA ,...,, 21

n

2. Операции над событиями.

Определение. Суммой (или объединением) двух событий и называется событие , которое состоит в осуществлении события . или события , или событий и вместе.

Обозначение: или или либо и и

Если событие эквивалентно сумме (объединению) событий то пишут

или

Если события образуют полную группу событий, их сумма

является достоверным событием, т.е.

Определение. Произведением (или пересечением) двух событий и называется событие , которое состоит в осуществлении и события и события .

Обозначение: или и

Аналогично определяется произведение (пересечение) любого конечного числа событий.

A BC

BAC

A B

ABAC /{ A,B }B

C

AB

n ,,...,, 21 nAAA

n

kkAC

1

.1n

kkAC

,,...,, 21 nAAA

n

kkA

1

.

A BC A

BABC ABAC /{ }.B

A BBA

BA

Определение. Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит. Обозначение: или и

Определение. Событие называется противоположным событию (или дополнением к ). Обозначается:

Определение. Событие , противоположное событию называется невозможным событием, т.е. событие невозможно, если в результате опыта оно не может произойти.

Противоположные события и представляют собой простейший случай полной группы событий.

Из определения суммы, произведения и разности событий, а также достоверного, невозможного и противоположного событий следует:

1) 7) 13)

2) 8) 14)

3) 9) 15)

4) 10) 16)

5) 11) 17)

6) 12) 18)

BAC ABAC /{\ }.B

}.\/{ AA

A B CA B

A\A A

,AAA

,AAA,ABBA

,BAAB ,)()( CBACBA

,)()( CABBCA

,)( ACABCBA

,))(( BCACABA ,A,AA

,AA ,A

, AA

,AA

,\ BABA ,AA

,BABA

.BAAB

Пример. Показать, что

Решение. Используя формулы 1) – 18), получим

3. Частота событий.

Определение. Частотой случайного события в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых произошло данное событие, к общему числу опытов. Обозначение:

где - число опытов, в которых произошло событие , - общее число опытов. При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной серии опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота события всё более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине.

.CACABCABA

)())(()()( CABAACABCABCAACABCABA.)())(( CACABCA

,)(n

mAP

m nA

Лекция НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЁТ ВЕРОЯТНОСТИ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

КОМБИНАТОРИКА.

1. Непосредственный подсчёт вероятности.

Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их появления вводится определённая мера, которая называется вероятностью события.

Определение. Вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа опытов. (Статистическое определение вероятности события). Обозначение вероятности:

Определение. Если пространство , связанное с опытом, состоит из конечного числа равновозможных элементарных событий , то вероятностью любого случайного события в таком опыте равна отношению числа благоприятствующих ему элементарных событий (т.е. влекущих за собой появление события ) к их общему числу . (Классическое определение вероятности события).

A

)(AP

n ,...,, 21

.)(n

mAP )1.53(

Am

nA

Пример. Пусть в закрытой урне имеется 12 белых и 8 чёрных шаров. Найти вероятность достать из урны за одно испытание один белый шар

Решение. При выборе шара наугад равновозможно предоставляется взять любой из 20 шаров, следовательно, . Из этих 20 равновозможных элементарных событий 12 благоприятствуют выбору белого шара, т.е. . Таким образом,

(Рассуждая аналогично, можно показать, что вероятность достать из этой урны чёрный шар равна 0,4).

Основные свойства вероятности.

Из формулы (53.1) следует:

1) , - случайное событие;

2) вероятность достоверного события равна единице, так как для того, чтобы событие обязательно произошло, все элементарные события должны ему благоприятствовать, т.е. , тогда ;

3) вероятность невозможного события равна нулю, так как ни одно элементарное событие в опыте не благоприятствует такому событию

т.е. , тогда .

20n

12m.6,0

5

3

20

12)(

n

mAP

,1)(0 AP A

nm 1)( AP

0m 0)( AP

2. Геометрическая вероятность.

Если пространство , связанное с опытом, содержит бесконечное множество элементарных событий, то формула (53.1) неприменима. Иногда в таких случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности, в котором по-прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий.

Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному «бросанию точки» на конечный участок прямой, плоскости или пространства. Отсюда и название этого метода – геометрическая вероятность.

Если - геометрическая мера всей области, а - геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию , то вероятность события равна

3. Комбинаторика.

В теории вероятностей (и других разделах математики) иногда используются комбинации (соединения) элементов какого-либо множества. Наиболее часто встречаемые в комбинаторике соединения: размещения, перестановки, сочетания.

S DS

A

.)(S

SAP D )2.53(

A

Определение. Соединения из элементов по в каждом, отличающиеся друг от друга как порядком элементов, так и самими элементами, называются размещениями. Число размещений подсчитывается по формуле:

Определение. Соединения из элементов по в каждом, отличающиеся друг от друга только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок подсчитывается по формуле:

( ! - факториал)

Определение. Соединения из элементов по в каждом, отличающиеся друг от друга только самими элементами, называются сочетаниями. Число сочетаний подсчитывается по формуле:

n m

).1)...(2)(1( nmmmmAmn

)3.53(

n n

nnPn ...321! n )4.53(

)!(!

!

mnm

n

P

AC

n

mnm

n )5.53(

Пример. Из 40 изделий, среди которых 5 бракованных, наугад берётся 6 изделий. Найти вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 бракованных.

Решение. В качестве элементарного события рассматриваем выбор определённой группы из 6 изделий(порядок изделий в группе

произволен).Так как любая комбинация из 40 по 6 изделий имеет одинаковую возможность появления, то пространство будет содержать равновозможных элементарных событий. Обозначим через событие, выражающее появление двух бракованных изделий среди выбранных наугад 6 изделий. Так как всех бракованных изделий 5, то число способов, которыми

можно выбрать 2 бракованных изделия, равно . Аналогично 4 годных изделия, входящих в 6 изделий, можно выбрать из общего числа 35 годных изделий способами. Каждую группу, состоящую из 2 бракованных изделий, можно соединить с каждой группой, состоящей из 4 годных изделий. Следовательно, общее число элементарных событий, благоприятствующих появлению события , равно .Таким образом,

640C

25C

.136,0)(640

435

25 C

CCAP

A

435C

A 435

25CC

Лекция ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 1. Теорема сложения вероятностей. Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме

вероятностей этих событий.

Доказательство. Пусть опыт сводится к совокупности равновозможных элементарных событий, из которых благоприятны появлению события , а - событию . Тогда

Так как события и несовместны, то нет таких элементарных

событий, которые благоприятны и и . Следовательно, благоприятны событию элементарных события (случая), тогда

Из формул (54.3),(54.2) следует

Теорема доказана.

).()()( BPAPBAP )1.54(

A B

nm

k

BA km

,)(n

mAP .)(

n

kBP )2.54(

A BA B

n

kmBAP

)( )3.54(

).()()( BPAPn

k

n

m

n

kmBAP

Следствие 1. Обобщим теорему сложения на случай трёх событий:

Методом полной математической индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий:

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Следствие 2. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Доказательство. Так как образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

а в силу несовместности событий к ним применима теорема сложения вероятностей:

откуда ч.т.д. Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна

единице: Это есть следствие Следствия 2, т.к. образуют полную группу событий.

).()()()()()( CPBPAPBPBAPCBAP

).(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP

nAAA ,...,, 21

,1)()...( 21 PAAAP n

nAAA ,...,, 21

nAAA ,...,, 21

n

kknn APAPAPAPAAAP

12121 ),()(...)()()...(

n

kkAP

1

,1)(

1)()( APAP

)4.54(

)5.54(

AA,

На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем вероятность прямого события.

В этих случаях вычисляют и находят .

Пример. Круговая мишень состоит из трёх зон. Вероятность попадания в первую зону равна 0,12, во вторую – 0,18, в третью – 0,15. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим - промах, - попадание, тогда

где несовместные события - попадание соответственно в

первую, вторую и третью зоны.

Откуда искомая вероятность.

Теорема. Если события и совместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Справедливость этого утверждения следует из геометрической интерпретации.

Примечание. Если перейти к противоположным событиям, то

)(AP ).(1)( APAP

A A ,321 AAAA 321 ,, AAA

.45,015,018,012,0)()()()( 321 APAPAPAP

55,045,01)(1)( APAPA B

)()()()( ABPBPAPBAP BA

A B

)(1)( BAPBAP

)6.54(

2. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность.Определение. Событие называется независимым от события ,

если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Определение. Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается: или .

Пример. В урне 2 белых шара и 1 чёрный шар. Два человека вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются два события:

- появление белого шара у первого человека, - появление белого шара у второго человека.Вероятность до того, как известно что-либо о событии . Если стало известно, что событие произошло, то вероятность из чего заключаем, что событие зависит от события . Условие независимости события от события можно записать в виде

а условие зависимости - в виде:

A B

)/( BAP )(APB

A B

A BA

BA

BA

AB

32)( AP B

,21)( APB

A BA B)()/( APBAP

)()/( APBAP )7.54(

)8.54(

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое произошло.

Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к случаям (случаями называют полную группу несовместных равновозможных элементарных событий). Предположим, что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны случаев. Так как мы не предполагали , что события и несовместны, то вообще говоря существуют случаи благоприятные и событию и событию одновременно. Пусть число таких случаев , тогда

Вычислим , т.е. условную вероятность события в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных случаев остаются возможными только те , которые благоприятствовали событию . Из них случаев благоприятны событию , следовательно,

Отсюда

ч.т.д.

)./()()( ABPAPABP

AB

m

n

l,)( m

lABP .)( nmAP

m

lABP )/(

)9.54(

kA B

AB

)10.54(

)/( ABP BA A

nm B l

B

)./()()( ABPAPn

m

m

l

m

m

n

l

n

lABP

Примечание. Очевидно, при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий или считать первым, а какое вторым, поэтому теорему умножения можно записать и в таком виде:

Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство. Дано, что событие не зависит от , т.е. Требуется доказать, что событие не зависит от , т.е. Запишем теорему умножения вероятностей в двух формах (предполагая, что ):

Откуда

Разделим обе части равенства (54.12) на , получим:

ч.т.д.

Из Следствия 1 вытекает, что зависимость или независимость событий всегда взаимна.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Доказательство следует из определения независимых событий.

A B

)/()()( BAPBPABP

)./()( BAPAP

)12.54(

)11.54(

A B BA

A BB A )./()( ABPBP

0)( AP

)./()()/()( BAPBPABPAP ),/()()( BAPBPABP )./()()( ABPAPABP

))/()(( BAPAP

),()/( BPABP

).()()( BPAPABP )13.54(

Теорема. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причём вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Доказательство может быть дано методом индукции.

Определение. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

Пример 1. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Обозначим - появление двух белых шаров. Событие представляет собой произведение двух событий: - появление белого шара при первом вынимании; - появлении белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей имеем:

Пример 2. Те же условия, что и в Примере 1, но после первого вынимания шар возвращается в урну и шары перемешиваются.

Решение. Так как в данном случае независимы, то

)..../().../()/()(),...,,( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP )14.54(

)15.54().()...()()(),...,,( 32121 nn APAPAPAPAAAP

A1A

2A

1,04

1

5

2)/()()()( 12121 AAPAPAAPAP

21, AA 16,05

2

5

2)( AP

Лекция ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА. 1. Формула полной вероятности. Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. (Эти события называют гипотезами). Теорема.(Формула полной вероятности) Вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих

гипотез: Так как гипотезы несовместны, то и их комбинации также несовместны. Применяя к ним теорему сложения, получим:

Применяя к событию теорему умножения, получим ч.т.д.

A

nHHH ,...,, 21

n

kkk HAPHPAP

1

)/()()( )1.55(

A

nHHH ,...,, 21

AAHAHAHA n ...21

nHHH ,...,, 21 AHAHAH n,...,, 21

n

kkn AHPAHPAHPAHPAP

121 )()(...)()()(

AH k

,)/()()(1

n

kkk HAPHPAP

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне 2 белых и 1 чёрный шар, во второй урне 3 белых и 1 чёрный шар, в третьей урне 2 белых и 2 чёрных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из неё шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы: - выбор первой урны, - выбор

второй урны, - выбор третьей урны, и событие - появление белого

шара. Так как гипотезы по условию равновозможны, то

Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно

равны:

По формуле полной вероятности

2. Формула Бейеса (теорема гипотез).

Поставим такую задачу. Имеется полная группа несовместных гипотез Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Произведён опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

3H A

3

1)()()( 321 HPHPHP

,3

2)/( 1 HAP

.60

23

2

1

3

1

4

3

3

1

3

2

3

1)( AP

1H 2H

,4

3)/( 2 HAP .

2

1)/( 3 HAP

.,...,, 21 nHHH).(),...,( 1 nHPHP

A

Решение. Из теоремы умножения имеем:

откуда и по формуле полной вероятности получим:

Формула (55.2) называется формулой Бейеса или формулой гипотез.

Пример 2. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах, Вероятность обращения в каждый из двух магазинов соответственно равны 0,1 и 0,9. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 – для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретёт нужный ему товар? Какова вероятность того, что он купит товар в первом магазина?

Решение. Пусть событие - покупатель приобрёл товар, событие - покупатель обращается в первый магазин, - во второй магазин.

Отсюда

),/()()/()(),/()()/()()( kkkkkkk HAPHPAHPAPHAPHPAHPAPAHP

),...,2,1(,)()(

)()(

)(

)()()(

1

nkAHPHP

AHPHP

AP

AHPHPHAP n

k

)2.55(

;1)()( 21 HPHP;9,0)( 2 HP;1,0)( 1 HP ;8,0)/( 1 HAP ;4,0)/( 2 HAP

.44,04,09,08,01,0)/()()/()()( 2211 HAPHPHAPHPAP.18,044,0/8,01,0)(/)/()()/( 111 APHAPHPAHP

A 1H

2H

Лекция ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

1. Повторные независимые испытания.

Определение. Ряд, последовательно осуществляемых испытаний, в результате каждого из которых может наступить некоторое событие , причём вероятность наступления события в каждом отдельном испытании не зависит от результатов предшествующих и последующих испытаний, называются повторными независимыми испытаниями

Теорема. Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие появляется с вероятностью , то вероятность того, что событие появится ровно раз выражается формулой:

где и число сочетаний .

Доказательство. Рассмотрим событие , состоящее в том, что появится в опытах раз. Это событие может осуществиться различными способами. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или не появлении события в отдельном опыте. Обозначим появление события в опыте, - не появление события в опыте. Очевидно, каждый вариант появления события (каждый член суммы) должен состоять из появлений события и не появлений.

nA p

mA,)( mnmm

nn qpCmP pq 1)!(!

!

mnm

nCm

n )1.56(

mB An m

mBA

kA A k kAA k

mBm A mn

Таким образом,

причём в каждое произведение событие входит раз, а - раз.

Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. числу способов,

какими можно из опытов выбрать , в которых произошло событие .

Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения для

независимых событий равна . Так как комбинации между собой

несовместны, то по теореме сложения вероятностей, вероятность события

равна:

Эта формула называется формулой Бернулли.

Примечание 1. Можно показать, что вероятность появления события хотя один раз при опытах вычисляется по формуле:

Примечание 2. Наивероятнейшее число наступления события в опытах, в каждом из которых оно наступает с вероятностью ( и не наступает с вероятностью ), определяется из двойного неравенства

,.................. 1211321121 nmnmnnnnmmm AAAAAAAAAAAAAAAB A m mn A

mnC

n

mnmqp

mB

....)( mnmmn

mnmmnmn qpCqpqpmP )1.56(

m A

An

nn qP 1 )2.56(

0m A np

pq 1pnpmqnp 0

)3.56(

Примечание 3. Если событие в каждом опыте наступает с вероятностью , то количество опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью можно утверждать, что событие произойдёт по крайней мере один раз, находят по формуле:

Примечание 4. Если производится независимых опытов и вероятность появления события в -ом опыте равна ( ), то вероятность того, что событие появится раз равна коэффициенту при в разложении по степеням производящей функции:

где - произвольный параметр, .

Пример 1. Прибор состоит из десяти узлов. Надёжность (вероятность безотказной работы в течение времени ) для каждого узла равна 0,95 Узлы выходят из строя независимо один от другого. Какова вероятность того, что за время откажет не более одного узла?

Решение. Пусть событие состоит в том, что в течение времени не откажет ни один узел, а событие - в том, за это время откажет только один узел. Тогда

Отсюда и из несовместности событий искомая вероятность:

Ap

P

).1()1(

plqPlqn

n

A

)4.56(n

A k kp nk ,...2,1)(mPn

A mz z

n

kkknnn zpqzpqzpqzpqz

12211 )())...()(()( )5.56(

z kk pq 1

T

TTA

B315,095,005,0)1()(;599,095,0)( 1

101010 CPBPAP

.914,0315,0599,0)()()( BPAPBAPPBA,

Пример 2. Устройство состоит из шести независимо работающих элементов. Вероятность отказов каждого из элементов за время одинаковы и равны 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение. В данном случае

По формуле , получим

Пример 3. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,88. Найти наивероятнейшее число стандартных изделий в партии из 300 изделий.

Решение. Применяя формулу (56.3) при получаем (т.к. только целое число).

Пример 4. Вероятность того, что изготовленная на станке деталь не отвечает стандарту равна 0,01. За какой промежуток времени работы станка вероятность изготовления хотя бы одной нестандартной детали будет не менее 0,952, если за один час изготавливают 20 деталей?

Решение. По формуле (56.4) найдём сначала количество изготавливаемых деталей, содержащих с вероятностью по крайней мере одну нестандартную деталь, если вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,01:

T

)2.56(

.8,01;2,0;6 pqpn.738,08,01 6

6 P

,12,01;88,0;300 pqpn26488,26488,263 00 mm 0m

.1,1520/302302)01,01(/)952,01( чTlqlqn

952,0P

Пример 5. Вероятность перегорания первой, второй, третьей и четвёртой ламп за время равны соответственно 0,2;0,3;0,1;0,4. Найти вероятность того, что за время : а) не перегорит ни одна из ламп; б) перегорит одна, две, три, четыре лампы; в) перегорит хотя бы одна лампа; г) перегорит не менее двух ламп.

Решение. Так как перегорание каждой лампы не зависит от времени работы остальных ламп, то для решения задачи применим производящую функцию (56.5), которая при заданных вероятностях принимает вид:

Откуда

а)

б)

в) Вероятность того, что за время перегорит хотя бы одна лампа, находим по формуле (56.2) с учётом различных значений для вероятностей :

г) Пусть событие состоит в том, что перегорит не менее двух ламп, тогда противоположное ему событие состоит в том, что не перегорит одна либо ни одной лампы.

Тогда

T

)4,06,0)(1,09,0)(3,07,0)(2,08,0()(4 zzzzz

T

T

AA

.0024,00404,02114,04404,03024,0 432 zzzz

;3024,0)0(4 P

;4404,0)1(4 P ;2114,0)2(4 P ;0404,0)3(4 P .0024,0)4(4 P

),...,2,1( nkqk .6976,0)0(11 41

PqPn

kk

.2572,0)1()0(1)(1)( 44 PPAPAP

Замечание. Если величина велика ( ), то пользоваться формулой Бернулли нецелесообразно. В этом случае можно воспользоваться либо локальной теоремой Лапласа, либо формулой Пуассона, либо интегральной теоремой Лапласа.

Локальная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события равна , событие произойдёт раз, приближённо равна:

или

где и

Формула Пуассона.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события равна и произведение постоянно равна

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события постоянна и равна событие наступит не более раз и не менее раз приближённо равна:

где функция Лапласа.

n 10n

k),1,0( pppn

npqemP npq

npm

n 2/)( 2

)( 2

,/)()( npqzmPn

)!/()( memP mn

),()(),( 1221 zФzФmmPn z

t dtezФ0

5,0 2

)(

,/)( npqnpmz .2/)(25,0 zez

Лекция ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.

Определение. Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причём неизвестно заранее какое именно. Обозначение СВ: ,… и возможные значения СВ: Примеры СВ: число бракованных деталей, ошибка при измерениях и др.

Определение. Случайные величины, принимающие только конечное или счётное множество значений называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Определение. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Если «классическая» теория вероятностей оперирует в основном событиями, то современная теория вероятностей предпочитает оперировать, где только возможно, со случайными величинами.

,,, ZYX ,...,,...;,,...;, zzyyxx

Например, производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие . Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равно 0, если событие не происходит. Случайная величина , очевидно, является дискретной – она имеет два возможных значения: 0,1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо события оказывается удобнее оперировать характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений событий равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-нибудь непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).

Пусть, например, производится стрельба по квадратной мишени со стороной , центр которой совпадает с началом координат. Событие - попадание в цель, очевидно, равносильно выполнению двух неравенств:

где (координаты точки попадания) – непрерывные случайные величины. Вероятность - вероятность совместного выполнения (57.1).

A

X

AX

A

A

A

a A

,2;2aYaX )1.57(

YX ,A

Рассмотрим прерывную случайную величину с возможными значениями

Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и

величина может принять каждое из них с некоторой вероятностью.

В результате опыта величина примет одно из этих значений, т.е.

произойдёт одно из полной группы несовместных событий:

…,

Обозначим вероятности этих событий:

…,

Так как несовместные события (57.2) образуют полную группу, то

т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины

равна единице. Случайная величина будет полностью описана с

вероятностной точки зрения, если мы в точности укажем, какой

вероятностью обладает каждое из событий (57.1). Этим мы установим так

называемый закон распределения случайной величины.

Определение. Всякое соотношение, устанавливающее связь между

возможными значениями случайной величины и соответствующими им

вероятностями, называется законом распределения СВ.

X.,...,, 21 nxxx

XX

.nxX ,2xX ,1xX

.)( nn pxXP ,)( 22 pxXP ,)( 11 pxXP

)2.57(

n

kkp

1

,1

Лекция ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

1. Законы распределения дискретной случайной величины.

а) Ряд распределения.

Простейшей формой задания закона распределения для дискретной СВ

является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и

соответствующие им вероятности:

Такую таблицу называют рядом распределения СВ X.

Графическое изображение ряда распределения

называется многоугольником(полигоном) распределения.

Однако ряд распределения не является универсальным законом

распределения. Он существует только для дискретных случайных

величин. Для непрерывных случайных величин ряд распределения

построить нельзя.

…

…

1x

np

2x nxkx

2pkp 1p

x

p

1x

1p

б) Функция распределения.

Определение. Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины называется задание вероятности выполнения неравенства , рассматриваемой как функция аргумента . Обозначение

Функция распределения является универсальным законом

распределения СВ: она имеет место как для дискретной, так и для

непрерывной.

Функция распределения дискретной СВ Х вычисляется по формуле:

Где суммирование ведётся по всем значениям , для которых

Свойства функции распределения.

1) (по определению);

2) 3)

4) - неубывающая функция, т.е. при

5) - непрерывная слева, т.е.

XxX

x )(xF)()( xXPxF )1.58(

,)()(

xx

k

k

xXPxF )2.58(

)(xF

k .xxk

xxF ,1)(0;1)(lim)(

xFF

x;0)(lim)(

xFF

x

)(xF 12 xx );()( 12 xFxF )(xF ).()(lim 0

00

xFxFxx

Можно показать, что вероятность попадания СВ Х на произвольный интервал действительной оси определяется формулой:

Если неограниченно уменьшать интервал , полагая, что , то получим:

Если в точке функция имеет разрыв, то предел (58.4) равен значению скачка функции в точке . Если непрерывна в точке

то предел равен нулю. Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной СВ Х равна нулю. Из того, что событие имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться; следует только, что при неограниченном повторении опытов это событие будет появляться сколь угодно редко (так как при большом числе опытов частота приближается к вероятности).

),[ 21 xx)()()( 1221 xFxFxXxP )3.58(

),( 21 xx 12 xx

)]()([lim)(lim)( 122111212

xFxFxXxPxXPxxxx

)4.58(

1x )(xF)(xF 1x )(xF

1x

1xX

2. Законы распределения непрерывной случайной величины.

а) Плотность распределения.

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией

распределения , которую мы предположим непрерывной и

дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ Х на

участок от до :

т.е. приращение функции распределения на этом участке.

Определение. Плотностью распределения (плотностью распределения

вероятности или дифференциальным законом распределения)

СВ Х называется предел отношения вероятности попадания её на

элементарный участок от до к длине участка , когда

Отсюда

Функция - производная функции распределения, характеризует как

бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в

данной точке.

X)(xF

x xx ),()()()( xFxFxxFxxXxP )(xF

)(xf

x 0xx xx

,)(

lim)(

lim)(00 x

xF

x

xxXxPxf

xx

).()( xFxf )5.58(

)(xf

Определение. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Величина называется элементом вероятности. Вероятность того, что непрерывная СВ Х примет какое-нибудь значение из промежутка :

Свойства плотности распределения. 1) 2) 3)

Замечание. Функция распределения как всякая вероятность есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из определения, обратная размерности случайной величины.

dxxf )(

),[

dxxfXP )()( )6.58(

,0)( xf ; x

;1)(

dxxf

x

dxxfxXPxXPxF .)()()()(

)(xF)(xf

3. Числовые характеристики случайных величин. Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако, во многих вопросах практики зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Среди числовых характеристик случайной величины нужно прежде всего отметить те , которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси: математическое ожидание, мода, медиана. Определение. Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием. Обозначается: или

Формулой (58.7) математическое ожидание, строго говоря, определяется только для дискретной случайной величины.

)(XM Xm

n

kkk pxXM

1

)( )7.58(

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

определяется интегралом:

где - плотность распределения СВ Х.

Определение. Наиболее вероятное значение дискретной случайной величины и значение, при котором плотность вероятности непрерывной случайной величины максимальна, называется модой случайной величины (дискретной или непрерывной соответственно). Обозначение

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет более

одного максимума, то распределение называется полимодальным.

Если распределение обладает не максимумом, а минимумом, то его

называют антимодальным.

В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины

не совпадают. В частном случае, когда распределение является

симметричным и модальным (т.е. имеет моду) и существует

математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром

симметрии распределения.

dxxxfXM )()(

)(xf

)8.58(

Определение. Значение случайной величины , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е.

называется медианой случайной величины. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Кроме характеристик положения употребляются ещё ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты. Определение. Начальным моментом - го порядка называется для дискретной СВ Х сумма вида: для непрерывной СВ Х интеграл: Очевидно, что первым начальным моментом является математическое ожидание.

e

)()( ee XPXP e )9.58(

s

,)(1

n

kk

sks pxX

,)()( dxxfxX ss

)10.58(

)11.58(

Определение. Центрированной случайной величиной,

соответствующей СВ Х, называется отклонение случайной величины

от её математического ожидания:

Определение. Центральным моментом порядка СВ Х

называется математическое ожидание - й степени, соответствующей

центрированной случайной величины

для дискретной СВ :

для непрерывной СВ:

Теорема. Центральный момент первого порядка для любой случайной величины равен нулю.

Доказательство.

Второй центральный момент характеризует рассеивание, разбросанность значений случайной величины около её математического ожидания и называется дисперсией (рассеивание).

X

XmXX

s)12.58(

s))(()( s

Xs mXMXM

)13.58(

n

kk

sXks pmx

1

,)(

.)()(

dxxfmx sXs

)14.58(

)15.58(

n

k

n

kXXkXkkkX

n

kkX mmpmpxpmxmXMX

1 111 .0)()()(

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Обозначение

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

- соответственно для дискретных и непрерывных случайных величин. Иногда удобно для вычисления дисперсии пользоваться формулой:

которая легко доказывается с помощью формул (58.17),(58.18). Дисперсия СВ имеет размерность квадрата СВ . Для наглядности характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной называемой средним квадратическим отклонением («стандартом»):размерность которой совпадает с размерностью СВ.

).(XD))(()()( 2

XmXMXMXD

,)()(1

2

n

kXk mxXD

.)()()(

dxxfmxXD X

)16.58(

)17.58(

)19.58(

)18.58(

),()()( 22 XMXMXD

,)()( XDX )20.58(

X

Пример. Плотность вероятности СВ Х :

при и при

Определить: коэффициент ; функцию распределения СВ Х;

математическое ожидание и дисперсию СВ Х; вероятность попадания СВ

Х в интервал

Решение. Для определения воспользуемся свойством 2 плотности

вероятности

Функцию распределения СВ Х определим по формуле:

следовательно,

Пользуясь определением математического ожидания и дисперсии,

и

Вероятность попадания СВ Х в заданный интервал вычислим по

формуле (58.5):

xaxf cos)( 2/x 0)( xf .2/x

a

)4/;0(

.2

11)11(1cos)(

2/

2/

aaxdxadxxf

),sin1(2

1cos

2

1cos

2

1)(

2/

xxdxxdxxFxx

;2/,0)( xxF ;2/2/),sin1(5,0)( xxxF /2/,1)( xxF

2/

2/

0cos2

1)(

xdxxXM ).8(4

1cos

2

1)( 2

2/

2/

2

xdxxXD

)4/;0(

.4/2)0sin1(5,0))4/sin(1(5,0)0()4/()4/0( FFXP

Лекция Равномерное, биномиальное и нормальное

распределение случайной величины.

1. Равномерное распределение.

В некоторых задачах практики встречаются непрерывные СВ, о которых

заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах

некоторого определённого интервала; кроме того известно, что в

пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково

вероятны (точнее, обладают одной и той же плотностью вероятности).

О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону

равномерной плотности.

Если СВ Х подчинена закону равномерной плотности на участке ,то

можно показать, что плотность распределения её равна:

Функция распределения

в этом случае равна:

],[

xx

xxf,;0

);(1

)( )1.59(

x

x

x

x

xF ;

;1

)()(

;0

)( )2.59(

Основные числовые характеристики СВ Х, подчинённые на участке

равномерному закону распределения:

1) математическое ожидание

2) медиана, в силу симметрии равномерного распределения, также

3) моды закон равномерной плотности не имеет,

4) дисперсия

5) среднее квадратическое отклонение

6) вероятность попадания СВ Х на участок , представляющий собой

часть участка , равна:

т.е. отношению длины отрезка ко всей длине участка

],[

,2

)(

dx

xXM )3.59(

,2

,12

)()

2(

1)(

22

dxxXD )4.59(

,32

)()(

XDX )5.59(

),( ba],[

,1

)(

abdxbXaP

b

a

)6.59(

),( ba ],[

2. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Среди законов распределения для дискретных случайных величин

наиболее распространённым является биномиальное распределение.

Оно имеет место, когда СВ Х выражает число появлений события в

независимых испытаниях при условии, что вероятность появления

события в каждом испытании постоянна и равна (вероятность

непоявления равна ).

Возможными значениями СВ Х являются:

Вероятности этих возможных значений определяются по формулам

Бернулли:

Можно показать, что математическое ожидание СВ Х, имеющей

биномиальное распределение, равно , а дисперсия

Распределение Пуассона связано с понятием потока событий –

последовательностью событий, наступающих одно за другим в случайные

моменты времени

A n

ppq 1

AA

.,...,1,0 nxxx

,)( mnmmnn qpCmP ,

)!(!

!

mnm

nCm

n ),...,1,0( nm )9.59(

npXM )( .)( npqXD

Определение. Плотностью (интенсивностью) событий называется среднее число событий в единицу времени. Обозн.

Определение. Поток событий называется пуассоновским, если он обладает свойством ординарности и потока без последействий.

Определение. Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.

Определение. Поток событий называется потоком без последействий, если вероятность появления на любом промежутке времени некоторого числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным промежутки.

Определение. Пуассоновский поток называется простейшим (стационарным пуассоновским), если вероятность попадания некоторого числа событий на промежуток времени зависит только от длины промежутка и не зависит от того, где именно на оси он расположен.

Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, которые могут произойти за любой промежуток времени, распределено по закону Пуассона.

t

Определение. Случайная величина Х называется распределённой по закону Пуассона, если её возможные значения равны , а соответствующие вероятности определяются формулой:

где - длина отрезка.

Можно показать, что дисперсия СВ Х, распределённой по закону

Пуассона, равна её математическому ожиданию:

Распределение Пуассона может быть использовано как приближённое в

тех случаях, когда точным распределением случайной величины является

биномиальное распределение и когда математическое ожидание мало

отличается от дисперсии (т.е. ).

3. Показательное распределение.

Определение. Непрерывная СВ Х распределена по показательному закону, если её плотность вероятности определяется формулой:

где - параметр показательного распределения.

,...2,1,0

,!

am

m em

aP ,...)2,1,0( m

,la l

)10.59(

.)(;)( aXDaXM

npqnp

0,0

0,)(

x

xexf

x )11.59(

Можно показать, что числовые характеристики показательно

распределённой СВ Х:

Функция распределения:

и

Замечательным свойством показательного распределения является тот

факт, что при наступлении события случайная величина

имеет такой же закон распределения, как и величина .

Показательному распределению подчиняются такие случайные

величины: продолжительность телефонного разговора, время

безотказной работы элементов ЭВМ, распада радиоактивного атома,

обслуживания технической системы и т.д.

Для показательного распределения вероятность того, что СВ Х примет

значение, принадлежащее интервалу , определяется формулой:

,1

)(0

dxexXM x

,11

))(()()(2

02

222

dxexXMXMXD x .

1)()(

XDX

0,1)(0

xedxexF xx

x .0,0)( xxF

)12.59(

)13.59(

)14.59(

xX xXX X

),( .)( eeXP )15.59(

4. Нормальное распределение.

Исключительно важную роль среди других законов в теории

вероятностей занимает нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Определение. Непрерывная случайная величина распределена по

нормальному закону с параметрами , если плотность её

распределения определяется формулой:

Кривая нормального распределения имеет симметричный

холмообразный вид. Максимальная ордината кривой

равная достигается при (мода ).

По мере удаления от точки плотность падает,

и при кривая распределения приближается к оси абсцисс.

Можно показать, что основные числовые характеристики СВ Х,

распределённой по нормальному закону соответственно имеют вид:

,m

2

2

2

)(

2

1)(

mx

exf

2/1 mx mm

)(xf

x

)17.59(

x)(xf m

,2

1)()(

2

2

2

)(

mdxxedxxxfXMmx

)18.59(

Вероятность попадания нормально распределённой СВ Х в интервал

вычисляется по формуле:

Здесь - функция Лапласа, обладающая следующими свойства:

1) 2) 3)

На основании свойства нечётности функции Лапласа формула (59.21)

для вычисления вероятности попадания СВ Х в интервал длины ,

симметричный относительно математического ожидания, принимает вид:

Через функцию Лапласа и функция распределения нормально

распределённой СВ Х имеет вид:

,2

1)()( 22

)(2 2

2

dxemxXD

mx

.)()( XDX )19.59(

),()()(

mФ

mФXP

xt dtexФ

0

2/2

2

1)(

)20.59(

)(хФ,0)0( Ф ),()( хФхФ .1)(lim

хФ

x)21.59(

l2

)/(2)( lФlmXP )(xF

)(2

1)(

mx

ФxF

)22.59(

)23.59(

Лекция МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ.

1. Основные понятия математической статистики.

Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.

Любой такой результат можно представить как совокупность значений, принятых в результате опытов какой-то случайной величиной или системой случайных величин.

Определение. Исследуемая совокупность элементов (объектов) называется генеральной совокупностью, а число элементов генеральной совокупности называется её объёмом и обозначается

Определение. Совокупность случайно отобранных элементов генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или выборкой, которая бывает повторная и бесповторная.

Определение. Выборка называется повторной, если отобранный предмет(элемент) после его изучения возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной – в противном случае.

Выборка должна быть репрезентативной, т.е. правильно представлять генеральную совокупность.

n

N

Рассмотрим вопрос об определении числовых характеристик СВ Х по результатам независимых испытаний.

Допустим, что опыты ещё не произведены, их результаты нам

неизвестны, случайны. Обозначим значение, которое примет СВ Х в

ом опыте, а результаты опыта - независимых случайных величин:

Будем рассматривать их как «экземпляров» СВ Х, каждый их которых

имеет тот же закон распределения, что и сама случайная величина Х.

Предположим, что мы хотим определить (пусть приближённо) по

результатам опытов (61.1) некоторый параметр , связанный с

законом распределения СВ Х.

Будем называть приближённое значение параметра его оценкой.

Любая оценка, вычисляемая на основе экспериментальных данных (61.1)

есть функция этих случайных величин и ,значит, тоже случайная величина.

Определение. Функция статистических данных наблюдаемой случайной

величины называется статистической оценкой неизвестного параметра. Например, (если - варианта выборки, объём выборки)

-генеральная средняя, выборочная средняя

n

iX

nXXX ,...,, 21

n

n

i

n

NxXn

iiГ /

1

nxxn

iib /

1

ix n

)1.61(

2. Точечные оценки.

Определение. Статистическая оценка неизвестного параметра, характеризующаяся одним числом, называется точечной оценкой.

Если - неизвестный теоретический параметр, то через обозначим

статистическую оценку этого параметра.

К оценке предъявляют ряд требований, которым она должна

удовлетворять, чтобы быть в каком-то смысле «доброкачественной»

оценкой.

1) Желательно, чтобы пользуясь величиной вместо мы по крайней мере не делали систематической ошибки в сторону завышения или занижения, т.е. чтобы выполнялось условие:

Определение. Статистическая оценка, математическое ожидание которой совпадает с теоретическим параметром, т.е. выполняется условие (61.2), называется несмещённой оценкой.

Установлено, что выборочная средняя является несмещённой

оценкой для генеральной средней, т.е.

Пользуясь вместо неизвестного случайной величиной , мы неизбежно будем совершать ошибку, но по крайней мере, не совершим систематической ошибки.

][M )2.61(

n

ii nxm

1

/

].[][ XMmmM

mm

Иначе говоря, при неограниченном повторении таких серий из опытов

значения будут колебаться около неизвестного , оказываясь

примерно одинаково часто больше и меньше его.

Значит, в качестве подходящей оценки для разумно взять среднее

арифметическое наблюдённых значений величины и полагать:

Можно также показать, что величина не является

несмещённой оценкой для дисперсии , так как её математическое

ожидание не равно самой величине , а несколько меньше её, т.е.

принимая мы будем совершать некоторую систематическую

ошибку, регулярно занижая результат, следовательно, статистическая

дисперсия - смещённая оценка . В качестве несмещённой

оценки следует брать:

2) Желательно, чтобы выбранная несмещённая оценка была как можно менее случайной, т.е. обладала по сравнению с другими минимальной дисперсией:

n

mX

n

xm

n

ii

1

n

mxD

n

ii

1

2)(

mm

xDD

DD

D D

Dn

nD

1

min][ D

Определение. Статистическая оценка, дисперсия которой минимальна называется эффективной.

3) Естественно потребовать от оценки , чтобы при увеличении числа опытов она приближалась (сходилась по вероятности) к искомому параметру .

Определение. Статистическая оценка называется состоятельной, если

Установлено, что выборочная средняя является состоятельной оценкой для генеральной средней.

На практике не всегда удаётся удовлетворить всем этим требованиям.

Так или иначе, при выборе оценки любого параметра желательно её критическое рассмотрение со всех вышеупомянутых точек зрения.

Можно показать, что в качестве оценок основных числовых характеристик следует брать соответственно:

Точечные оценки используются для выборок большого объёма, а для выборок малого объёма используются интервальные оценки неизвестного параметра.

n

1)(lim

Pn

,1

1

n

iixn

mm ,)(1

1

1 1

2

n

ii mx

nD

n

nD

n

i

yixixy mymxn

K1

),)((1

1

./ yxxyxy DDKr )3.61(

3. Интервальные оценки.

На практике часто возникает задача не только приближённого определения неизвестных значений числовых характеристик СВ Х, но и ориентировочной оценки их точности и надёжности.

Допустим, мы приняли в качестве приближённого («подходящего») значения неизвестного математического ожидания среднее арифметическое из опытов - . С какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превзойдёт некоторой величины ?

Определение. Под интервальной оценкой неизвестного параметра понимается интервал, определяемый парой чисел, его концами.

Определение. Точностью оценки параметра называется положительное число такое, что .

Чем меньше , тем точнее оценка. Но поскольку является случайной величиной, то точность оценки не полностью характеризует неравенство (или ). В связи с этим вводят понятие вероятности отклонения:

где - вероятность, характеризующая точность оценки. Это есть вероятность того, что истинное, неизвестное нам значение будет заключаться в интервале .

n m

)(P

);(

m

Определение. Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки по называется вероятность , с которой выполняется неравенство

Надёжность задают числами, близкими к единице (0,95;0,99,…).

Определение. Доверительным называют интервал , в который с заданной надёжностью попадает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённого количественного признака Х генеральной совокупности по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности, имеет вид

где - точность оценки, - объём выборки, - значение

аргумента функции Лапласа , при котором (находят по таблице); если известно исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение при неизвестном (и объёме выборки ), то

где - исправленное(несмещённое) среднее квадратическое отклонение

- находят по таблице по заданным и .

.

);(

bx

)/( nt n t

2)(

tФ

.n

txmn

tx bb

.n

stxm

n

stx bb

)6.61(

)4.61(

)5.61(

)(tФ

30n

s

t)1/()(

1 1

22

nxxnDn

ns

n

i

biib

n

Для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределённого количественного признака Х с надёжностью по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служат доверительные интервалы:

при и при

где находится по таблице по заданным и .

Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестное математическое ожидание нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , объём выборки и выборочная средняя .

Решение. Из при находим и по таблицам Отсюда и по формуле (61.4) получаем доверительный интервал:

или

Пример 2. Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна , если среднее квадратическое отклонение этой нормально распределённой генеральной совокупности равна .

Решение.

s

nq )1()1( qsqs 1q )1(0 qs 1q

5 15n.14bx

2/)( tФ 95,0 475,0)( tФ 96,1t

15

596,114

15

596,114 m 96,1504,12 m

3,0

2,1;24,24875,02/)( ttФ 81// 222 ntnnt

Лекция СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ и СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.

1. Выравнивание статистических распределений.

На практике часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического распределения аналитическую формулу, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, связанные с недостаточным объёмом опытных данных. Такая задача называется выравниванием статистических распределений.

Задача сводится к тому, чтобы заменить гистограмму плавной кривой, имеющей достаточно простое аналитическое выражение, и в дальнейшем пользоваться ею в качестве плотности распределения

Принципиальный вид выравнивающей плавной кривой выбирается заранее, из условий возникновения СВ Х, а иногда просто из соображений, связанных с внешним видом гистограммы.

Если, как это нередко бывает на практике, СВ Х складывается из многих независимых или слабо зависящих слагаемых, сравнимых по порядку своего влияния на рассеивание суммы, естественно в качестве выравнивающей взять нормальную плотность:

)(xf

)(xfy

при этом подбирать, исходя из опытных данных, только параметры , в выражении (63.1).

Если же, например, СВ Х есть расстояние между соседними событиями потока, то в качестве выравнивающего закона можно взять показательный закон.

При этом необходимо иметь в виду, что любая аналитическая функция с помощью которой выравнивается гистограмма, должна обладать основными свойствами плотности:

Что касается параметров , входящих в выражение функции , то их подбирают так, чтобы наилучшим образом согласовать выравнивающее аналитическое распределение со статистическим. При этом пользуются различными методами: чаще всего – методом моментов, состоящим в том, чтобы важнейшие моменты – математическое ожидание, дисперсия, иногда и высшие моменты у выравнимаемого и выравнивающего распределения совпадали.

)2/)(exp(2

1)( 22

mxxf )1.63(

,m

)(xf

1)( dxxf )2.63(

)(xf

,0)( xf

43 ,

2. Статистическая проверка гипотез.

Одна из основных задач статистической проверки гипотез ставится так: на основании тех или иных данных делается предположение о виде закона распределения интересующей СВ Х. Спрашивается: совместимы ли наблюдённые значения с гипотезой о том, что СВ Х действительно имеет предполагаемое распределение?

Для проверки гипотезы о виде законов распределения случайных величин рассмотрим два критерия: критерий Колмогорова и критерий согласия (критерий Пирсона).

Критерий Колмогорова является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения, однако его можно применять только в том случае, когда гипотетическое распределение полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции распределения , но и все входящие в неё параметры.

Общая схема применения критерия Колмогорова:

1) по результатам независимых опытов определяют статистическую (опытную) функцию распределения ;

2

)(xF

n)(xF

2) определяют значение критерия Колмогорова: и вычисляют Значение можно определить, либо построив предварительно в одной и той же системе координат графики и либо путём сравнения величин в заданных точках;

3) принимают тот или иной уровень значимости критерия Колмогорова;

4) зная , находят по таблице соответствующее значение ; если , гипотеза принимается, если же ,гипотеза бракуется.

Критерий Пирсона (критерий ) позволяет выполнить проверку гипотезы о соответствии опытного закона распределения предполагаемому не только в случаях, когда последний известен полностью, но и тогда, когда параметры предполагаемого закона распределения определяются на основании опытных данных.

Пусть с целью получения опытного закона распределения СВ Х и

проверки его соответствия некоторому предполагаемому закону

производится независимых опытов. Результаты разбиты на

интервалов и оформлены в виде статистической совокупности.

D )()(max xFxFD .nDon D

)(xF )(xF

)()( xFxF q

qP q 1)(qon

qqon

2

miln

Схема применения критерия Пирсона:

1) исходя из предполагаемого закона распределения, находят вероятности попадания СВ Х в каждый из заданных интервалов статистической совокупности;

2) вычисляют значения критерия , соответствующие опытным данным, по формуле:

3) определяют число степеней свободы распределения по формуле:

где - число параметров предполагаемого закона распределения, найденных опытным путём;

mip

2

n

i i

iiii

n

i i np

npnpp

p

n

1

2

1

2 )()( )3.63(

il

in

ip

1n 2n mn

2p

1p

mp

),( 32 xx),( 21 xx ),( 1mm xx

...

...

...

k1 smk

s)4.63(

4) зная и , по таблицам определяют вероятность того, что величина, имеющая распределение с степенями свободы, превзойдёт данное значение ; если эта вероятность относительна велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным; если же она весьма мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная (обычно вероятности, не превосходящие , считают уже достаточно малыми); вероятности называют уровнем значимости критерия, а отвечающую ей область больших отклонений – критической областью.

Пример 1. При сверлении одним и тем же сверлом и последующим измерении диаметров отверстий получены результаты, приведённые в таблице в виде статистической совокупности.

k 2

01,0q

2 k2

q

)(ммli inip

11

162,0

)55,40;50,40(

inin )(ммli)(ммli ip

ip

13

1314

3

7

6

4

9

087,0

075,0

138,0

175,0

162,0

050,0

113,0

038,0

)35,40;30,40(

)25,40;20,40(

)20,40;15,40(

)15,40;10,40( )30,40;25,40( )45,40;40,40(

)50,40;45,40(

)40,40;35,40(

Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу о том, что выборка, извлечена из генеральной совокупности, равномерно распределённой на интервале (40,10;40,60).

Решение. Функция распределения равномерно распределённой СВ Х в интервале (40,10;40,60) имеет следующий вид:

Пользуясь данными статистической совокупности, найдём значения статистической функции распределения , теоретической функции распределения и)(xF )()( iii xFxFd

60,4010,40

60,40;1

;5,0/)10,40(

10,40;0

)(

x

x

x

x

xF

)(xF

i ix )( ixFid)( ixF

12

4

9

11

...

...

60,40

50,40

25,40

15,4010,40

55,40

0

0 00162,0 062,01,0

...

..................... 475,0 175,03,0

950,09,0

150,08,0

111

100,010

Сравнивая абсолютные величины разностей находим

и вычисляем

Пусть уровень значимости . Зная , находим по таблице соответствующее . Так как выборка согласуется с гипотезой.

Пример 2. В ОТК с точностью до 1мкм было измерено 100 деталей, изготовленных на автоматическом станке. В таблице приведены отклонения от номинального размера, разбитые на разряды, численность разрядов и их частота .

id

.01,0q

175,0)()(max ii xFxFD

56,180175,0 nDon99,001,01)( qP

,64,156,1 on64,1q

ip

)(мкмli inip)(мкмli

ipin

)15;20( 3 03,0

)30;25(

)25;20(

)5;0(

)0;5(

)5;10(

)10;15(

01,025,0

12,0

08,0

06,0

1

12

8

4

6

25

)20;15(

)15;10(

)10;5(

04,0

08,0

13,0

20,0

8

13

20

Оценить с помощью Критерия Пирсона гипотезу о согласии выборочного распределения с нормальным законом распределения при уровне значимости .

Решение. Определим неизвестные параметры и предполагаемого нормального распределения:

Следовательно, согласно гипотезе, плотность вероятности СВ Х, выражающей отклонение размера детали от номинального, имеет вид:

Так как в каждом разряде должно быть не менее пяти измерений, то объединив все результаты измерений в восемь разрядов, получим таблицу

05,0q

Xm X

Разряды Менее10

)5;10( 20

)10;5()5;0()0;5( )20;15()15;10( Более

in 59 2025128 813

13,05,1220,05,725,05,212,05,208,05,706,05,1203,05,17Xmмкм15,401,05,2704,05,2208,05,17

мкмnmxn

iXiX 5,9)1/()(

1

2

).)5,9(2

)15,4(exp(

25,9

1)(

2

2

xxf

Применив теоретический закон распределения, найдём вероятности попадания в разряды

где границы -й группы:

По формуле (63.3) вычислим значение меры расхождения: Определим число степеней свободы как число разрядов минус число наложенных связей(в данном примере ):

По таблице для находим: при ; при Следовательно, искомая вероятность при приближённо равна 0,91. При уровне значимости вероятность , поэтому гипотеза о том, что величина Х распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.

))5,9

5,4()

5,9

15,4((

2

1 1

ii

i

xФ

xФp

1, ii xx i;0682,01 p ;1634,03 p;0998,02 p ;2042,04 p

;1918,06 p

;1951,05 p

;0294,07 p .0481,08 p126,12

2s5128 k

5k126,12

,61,12 ,145,02 95,0p

qp

90,0p

p05,0q

Лекция СТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ.

1. Обработка результатов наблюдений по методу

наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов применяется для нахождения оценок параметров функциональной зависимости между переменными, значения которых определяются из опыта. Вид искомой функциональной зависимости предполагается известным.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в следующем.

Пусть в результате независимых опытов были получены следующие

данные, оформленные в виде статистической таблицы

n

ix

iy

nx2x1x

ny2y1y

n21 .........

Опыт

Пусть из теоретических или иных соображений выбран принципиальный

вид зависимости , где числовые

параметры.

Требуется так подобрать эти параметры, чтобы кривая

в каком-то смысле наилучшим образом изображала зависимость,

полученную в опыте.

По методу наименьших квадратов требование наилучшего согласования

кривой и экспериментальных точек сводится к тому,

чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек

от сглаживающей кривой была минимальной.

Метод наименьших квадратов имеет перед другими методами

сглаживания существенное преимущество: во-первых, он приводит к

сравнительно простому математическому аппарату определения

параметров ; во-вторых, он допускает довольно веское

теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения (Обоснование

мы не будем здесь рассматривать)

),...,,;( 10 maaaxfy

),...,,;( 10 maaaxfy

),...,,;( 10 maaaxfy

maaa ,...,, 10

maaa ,...,, 10

Согласно методу наименьших квадратов, требуется выбрать параметры

так, чтобы выполнялось условие:

Если имеет непрерывные частные производные по всем

неизвестным параметрам , то необходимое условие минимума

функции представляет собой систему уравнений с

неизвестными:

где - значения частных производных функции по параметрам

в точке .

),...,;( 10 maaaxf

S 1m

m

imi aaaxfyS

1

210 min)],...,,,([ )1.64(

maaa ,..., 10

maaa ,..., 10

m

ii

mmii

m

m

iimii

m

iimii

a

faaaxfy

a

S

a

faaaxfy

a

S

a

faaaxfy

a

S

110

1 110

1

1 010

0

0))](,...,,;([2

...

0))](,...,,;([2

0))](,...,,;([2

ika

f)(

maaa ,..., 10 ix

)2.64(

Система уравнений (64.2) содержит столько же уравнений, сколько

неизвестных. Решить систему (64.2) в общем виде нельзя. Для этого

необходимо задаться конкретным видом функции .

Если в качестве аппроксимирующей функции взять многочлен, т.е.

то для определения его коэффициентов имеем систему:

В частности, когда функция линейная, то система для определения

параметров имеет вид ( ):

f

mmm xaxaaaaaxf ...),...,,;( 1010

)( nm )3.64(f

maaa ...,, 10

f

n

i

n

i

n

i

n

i

mii

mim

mi

mi

n

i

n

i

n

i

n

iii

mimii

n

i

m

i

n

ii

mimi

xyxaxaxa

yxxaxaxa

yxaxana

1 1 1 1

2110

1 1 1 1

1210

1 1 110

...

...

...

...

)4.64(

xaaaaxfy 1010 ),;(

n

i

n

i

n

iiiii

n

i

n

iii

yxxaxa

yxana

1 1 1

210

1 110 )5.64(

Пример. В результате расчётного эксперимента получена следующая зависимость между величинами отклонения напряжения на трансформаторной подстанции и народнохозяйственного ущерба от отклонения напряжения всех потребителей этой подстанции.

Методом наименьших квадратов подобрать параметры зависимости

представив её параболой второго порядка , отвечающей

экспериментальной зависимости, и определить по ней ущерб при

Решение. Для нахождения параметров составим систему (64.5)

решив полученную систему с точностью до сотых долей, найдём:

Подставив значение , определим интересующий нас ущерб:

UY

)(UFY 2

210 UaUaaY %4U

875,93625,86941286205

25,162128620538

432053810

210

210

210

aaa

aaa

aaa210 ,, aaa

)( pY

(%)U

6 3

5,0 1

55,5 5,4 2 35,2 75,4

5,1 5,2 5,33 5 6 7 8

;28,72 a;19,21 a;26,00 a 228,719,226,0 UUY

4U pY 68,2