カオスとフラクタル新しい科学の芽

明治大学理工学部教授　島田徳三

高大連携プログラム＠明治大学付属明治高校２０１２年１１月２１日

授業の予定 １．微分方程式というもの、　　　　　　その数値的なとき方

２．フラクタルとはどんなものか？事例研究　散逸構造と自己組織混沌から秩序へープリゴジンの夢

３．カオス現代科学の発展の仕方非線形の物理

　

２．フラクタルとはどんなものか？

一口でいうと　自己相似の物体　のこと

雲 海岸線，　川 シダの葉 線香花火

我が国の先駆者　寺田寅彦

Fractal 　 Dimension

Koch 曲線のフラクタル次元は， だから，

四角形の次元は， だから，

フラクタル次元　（２）

川のフラクタル次元　リアス式海岸のフラクタル次元　

平面上の自己回避ランダム・ウォークの次元　

Prigogine のブラッセレータ (1)

触媒化学反応

A,B,C,D は，外からの操作で一定に保つ．中間生成物の時間変化は

Prigogine(1917-2003) 1977 ノーベル化学賞受賞

である．　これには周期 Attractor がある．

Prigogine のブラッセレータ (2)　 'Brusselator MathGraph On ： BackColor=0 ： ForeColor=15:GScreen(500,500): WINDOW (-5, -5)-(5, 5):LINE (-5, -5)-(5, 5), 6, B ' --------------------------------------- A = 1: B = (1 + A ^ 2) + .5 'B exceeds the critical value by 0.5 input "X (e.g. 3.5)", x input "Y (e.g.1.0) ", y t = 0: dt = .001 For k=1 to 40/dt t = t + dt X1 = x + (A + x ^ 2 * y - B * x - x) * dt Y1 = y + (-x ^ 2 * y + B * x)* dt x = X1: y = Y1 PSET (x, y), icol NEXT k

Prigogine 　（３）

なぜ，遺伝子などの高度の構造が，混沌とした初期の地球で生じたのだろうか？しかも，生命は，地球上のどこでも，同じ形態を持つのはなぜだろうか？

→ 　非線形性と散逸のコンフリクトの狭間で，

　散逸構造が生じる．

散逸構造と自己組織化 ベナール対流

http://www.tc.cornell.edu/~slantz/SPUR/SPUR97/sun_pictures/

味噌汁　 http://quasar.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/handmade2002/ryutai/miso/miso.htm

ＮＡＳＡの土星探査船のカッシーニが撮影した写真には　　土星のちょうど北極付近に幅２万５０００ｋｍの　　六角形の雲が確認出来る．関係あるか？

散逸構造と自己組織化（２）

散逸構造と自己組織化（３）

から拝借

３．カオス

非線形性の引き起こす現象に目を向けてみよう．

様々な分野で , 雨後の筍のごとく , 新しい魅力的な科学が芽吹いた．

計算機の発展が，この科学を支えた．

ここでは，生物学者 May ，数学者 Mandelbrot ，元素粒子論屋 Feigenbaum,気象学者 Lorenz の話しを紹介しよう

Robert May に起こったこと

カオス - 新しい科学を作る ジェイムズ・グリック 大貫昌子訳上田睆亮監修 新潮社

Logistic 写像の極限値の分岐図

シダの葉を縮小写像の方法で作る .real*8 a(4),b(4),c(4),d(4),e(4),f(4), x(2)data a/0.,-0.139,.17,.781/, b/0.,.263,-.215,.034/, c/0.,.246,.222,-.032/, d/.27,.224,.176,.739/, e/.5, .57, .408, .1075/, f/0.,-.036,.0893,.27/

x(1)=0.5; x(2)=0 do itern=1,50000

call random(r)if (r.le.0.02) then

call map(a,b,c,d,e,f,x,1)else if (r.le.0.17) then

call map(a,b,c,d,e,f,x,2)else if (r.le.0.30) then

call map(a,b,c,d,e,f,x,3)else

call map(a,b,c,d,e,f,x,4)endifcall tpset(x(1),x(2),9)

enddoendsubroutine map(a,b,c,d,e,f,x,i)real*8 a(4),b(4),c(4),d(4),e(4),f(4),x(2)

xn1 = a(i) * x(1) + b(i) * x(2) + e(i)xn2 = c(i) * x(1) + d(i) * x(2) + f(i)x(1)=xn1;x(2)=xn2

returnend

Mandelbrot集合と複素写像

この点列がどのくらい早く原点から遠くに逃げるかで複素平面上の点 c を塗り分ける．

各部分を拡大してみると驚異的に豊富な世界が現れる .少し遊ぼう．

Michel Feigenbaum の発見

ファイゲンバウム比は , ユニバーサルである．

写像をかえても , ファイゲンバウム比は変わらない．その深い意味を繰り込み群で解明した．その紹介はは Lorenz の後にしよう .

Edward Norton Lorenz のStrange Attractor

乱流のモードを非線形方程式で表した．

ストレンジ・アトラクターを発見

カオスの普遍性

ローレンツの方程式の周期領域でのアトラクターも , Logistic 写像と同じファイゲンバウム比を持つ．

対流の分岐が Logistic 写像で説明できる .

カオス理論の最高峰に位置する成果 !!!

最終のスライド -まとめ カオスは科学の新しいパラダイムである . カオスの中で秩序が生まれる . それは , 非線形性と

散逸のせめぎ合いの中で , 自己組織化された構造である．

当研究室の目指しているところ : 弦理論と重力 カオスの協同現象 , 認識の過程への切り込み .

量子カオスの問題カオスはやればやるほどおもしろい .