47
第第第第 一、 第第第第Z θ ds 靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶第第第靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶 靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶 ,。 第第第第靶靶靶靶靶靶靶 靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶 靶靶 ,, 靶靶靶靶 靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶 ,。 靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶 z 靶靶靶靶靶靶靶靶 靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶 靶靶靶靶靶靶靶靶靶 ,,, 靶靶靶靶靶靶靶靶靶 靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶靶 。。

第七讲 散射 一、散射截面

  • Upload
    leora

  • View
    96

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

第七讲 散射 一、散射截面. ds. θ. Z. 散射过程:. 方向准直的均匀单能粒子由远处沿 z 轴方向射向靶粒子,由于受到靶粒子的作用,朝各方向散射开去,此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。. 靶粒子的处在位置称为散射中心。. 散射角: 入射粒子受靶粒子势场的作用,其运动方向偏离入射方向的角度。. 弹性散射: 若在散射过程中,入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化,则称. 弹性散射,否则称为非弹性散射。. 1. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

第七讲 散射

一、散射截面散射过程:

Z

θ

ds

 

靶粒子的处在位置称为散射中心。

散射角:入射粒子受靶粒子势场的作用,其运动方向偏离入射方向的角度。

弹性散射:若在散射过程中,入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化,则称弹性散射,否则称为非弹性散射。

方向准直的均匀单能粒子由远处沿 z 轴方向射向靶粒子,由于受到靶粒子的作用,朝各方向散射开去,此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。

Page 2: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

入射粒子流密度 N :单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数,用于描述入射粒子流强度的物理量,故又称为入射粒子流强度。

散射截面:

设单位时间内散射到(,)方向面积元 ds 上(立体角 d 内)的粒子数为 dn ,显然

dr

dsdn

2

dn N

综合之,则有: dn Nd

或 ( 1 ) Ndqdn ),(

比例系数 q( , ) 的性质:q( , ) 与入射粒子和靶粒子(散射场)的性质,它们之间的相互作用,以及

入射粒子的动能有关,是,的函数。q( , ) 具有面积的量纲

Page 3: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

2][ LNd

dnq

故称 q( , ) 为微分散射截面,简称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积 q( , ) ,则单位时间内通过此

截面 q( , ) 的粒子数恰好散射到 ( , ) 方向的单位立体角内。 ( 2 )

d

dnNq ),(

总散射截面:

( 3 )

ddqdqQ sin),(),(0

2

0

[ 注 ]由( 2 )式知,由于 N 、 可通过实验测定,故而求得 。

量子力学的任务是从理论上计算出 ,以便于同实验比较,从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。

d

dn),( q

),( q

Page 4: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

二、散射振幅现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量,

在碰撞过程中,靶粒子可视为静止。取散射中心 A 为坐标原点,散射粒子体系的定态 schrödinger 方程

( 4 )

ErU )(2

22

)(2

)(2

222 rUrV

Ek

方程( 4 )改写为

( 5 )0)]([ 22 rVk

由于实验观测是在远离靶的地方进行的,从微观角度看,可以认为 。因此,在计算时 ,仅需考虑 处的散射粒子的行为,即仅需考虑

处的散射体系的波函数。设 时, ,方程( 5 )变为

r),( q

0)( rVr

rr

( 6 )

令 ( 7 )

022 k

r

Page 5: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

将( 6 )式写成

2

22

2

2

r

Lk

r

在 的情形下,此方程简化为 ( 8 )

r

022

2

kr

此方程类似一维波动方程,我们知道:对于一维势垒或势阱的散射情况

ikxikxk BeAex

ikxk cex

式中 为入射波或透射波, 为散射波,波只沿一方向散射。对于三维情形,波可沿各方向散射,三维散射时,在 处的粒子的波函数应

为入射波和散射波之和。方程( 8 )有两个特解

ikxe ikxe

r

ikrefr ),(),,( ikrefr ),(),,(

Page 6: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

因此,

r

efr

ikr

),(),,(2

r

efr

ikr

),(),,(2

代表由散射中心向外传播的球面散射波, 代表向散射中心会聚的球面波,不是散射波,应略去。

在 处,散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即2

2

r ikze1

2

( 9 )

为方便起见,取入射平面波 的系数 A=1 ,这表明 ,入射粒子束单位体积中的粒子数为 1 。

入射波几率密度(即入射粒子流密度)

r

efAerr

ikrikz ),()(

ikxe 1|| 21

( 10 )

散射波的几率流密度

)(22

*1

*11

1*1

*1

1

ikiki

zz

iJ z

Nk

Page 7: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 11 )

单位时间内,在沿 方向 d 立体角内出现的粒子数为

( 12 )

比较( 1 )式与( 12 ),得到

22

2*2

*2

2 |),(|2

frrr

iJ r

),(

Ndfdsr

fdsJdn r2

22 |),(||),(|

( 13 )2|),(|),( fq

由此可知,若知道了 ,即可求得 , 称为散射振幅,所以,对于给定能量的入射粒子,速率 给定,于是入射粒子流密度 N= 给定,只要知道了散射振幅 ,也就能求出微分散射截面, 的具体形式通过求 schrödinger方程( 5 )的解并要求在 时具有渐近形式( 9 )而得出。

下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法,玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法,即准确的散射理论。

),( f),( q

),( fv v

),( f

),( f

r

Page 8: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

三、分波法 讨论粒子在中心力场中的散射。粒子在辏力场中的势能为 ,状态方程

( 3-1 )

)(rU

0)]([ 22 rVk

取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴 z ,显然与无关,按照 §3.3.的讨论,对于具有确定能量的粒子,方程( 3-1 )的特解为

由于现在与无关 (m=0) ,所以,方程( 1 )的特解可写成

),()( lml YrR

)(cos)( ll PrR

方程( 3-1 )的通解为所有特解的线性迭加 ( 3-2 )

lll PrRr )(cos)(),(

Rl(r) 为待定的径向波函数,每个特解称为一个分波, 称为第 l 个分波,通常称 l=0,1,2,3… 的分波分别为 s, p, d, f… 分波

( 3-2 )代入( 3-1 ),得径向方程

)(cos)( ll PrR

Page 9: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 3-3 )

令 ,代入上方程

0)()1(

)(1

222

2

rRr

llrVk

dr

dRr

dr

d

r ll

r

rUrR l

l

)()(

( 3-4 )

考虑方程( 3-4 )在 情况下的极限解,令 方程( 3-4 )的极限形式

0)()1(

)(2

22

2

rUr

llrVk

dr

Udl

l

r r

由此求得: ( 3-5 )

0)()( 2

2

2

rUkdr

rUdl

l

)sin()( lll krArU

l

ll lkr

kr

ArrR

2

1sin)(

为了后面的方便起见,这里引入了两个新的常数

将( 3-5 )代入( 3-2 ),得到方程( 3-1 )在 情形下通解的渐近形式

llll

lAkA

2,

r

Page 10: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 3-6 )

另一方面,按上节的讨论,在远离散射中心处,粒子的波函数

)(cos2

1sin),(

0

ll

ll Plkr

kr

Arr

)(cos][2

)2

1()

2

1(

0

l

lkrilkri

l

l Peeikr

A ll

( 3-7 )

将平面波 按球面波展开 ( 3-8 )

式中 jl(kr) 是球贝塞尔函数

r

eferr

ikrikz )(),(

ikze

0

cos )(cos)()12(l

lllikrikz Pkrjilee

( 3-9 )

利用( 3-8 ),( 3-9 ),可将( 3-7 )写成

lkrkr

rkrJkr

krjl

l 2

1sin

1)(

2)(

2

1

][2

1 )2

1()

2

1( lkrilkri

eeikr

)(cos][2

)12()(),(

0

)2

1()

2

1(

Ll

lkrilkrilikr

Peeikr

il

r

efrr

( 3-10 )

Page 11: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 3-6 )和( 3-10 )两式右边应相等,即

)(cos][2

)2

1()

2

1(

0

l

lkrilkri

l

l Peeikr

A ll

cos][2

)12()(

)2

1()

2

1(

0L

lkrilkri

l

likr

Peeikr

il

r

ef

分别比较等式两边 和 前边的系数,即得

( 3-11 )

( 3-12 )

ikre ikre

)(cos)12()(2)(cos 2

1

0

)2

1(

0

l

lil

ll

li

ll PeilikfPeA

l

)(cos)12()(cos 2

1

0

)2

1(

0

l

lil

ll

li

ll PeilPeA

l

用 乘以( 12 )式,再对从 积分,并利用 Legradrer多项式的正交性

可以得到

)(coslP 0

llll ldPP

12

2sin)(cos)(cos

0

lil

li

l eileAl 2

1)

2

1(

)12(

)2

1(

)12()12(l

lliil

l eleilA

即 ( 3-13 )

Page 12: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

将此结果代入( 3-11 )式)(cos)12()(2)(cos)12(

0

2

0

l

ll

i

l

PlikfPel l

)(cos)1()12(2

1)( 2

1

l

i

l

Pelik

f l

( 3-14 )

可见,求散射振幅 f() 的问题归结为求 ,求 l 的具体值关键是解径向波函数R(r) 的方程( 3-3 )

)(cos)()12(2

1

1

l

iii

l

Peeelik

lll

)(cossin)12(1

0

ll

i

l

Pelk

l

l

l 的物理意义:

由( 3-8 ),( 3-9 )知, 是入射平面波的第 个分波的位相;由

( 3-6 )知, 是散射波第 l 个分波的位相。所以, l 是入射波经

散射后第 l 个分波的位相移动(相移)。

lkr

2

1l

llkr

2

1

Page 13: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

微分散射截面

( 3-15 )

总散射截面

2

1

2 sin)(cos)12(1

|)(|)(

l

li

llePl

kfq

dqdqQ sin)(2)(

dPPellk llll

i

l l

ll sin)(cos)(cossinsin)12)(12(2

0

)(

0 02

lllli

l l lell

kll

12

2sinsin)12)(12(

2 )(

0 02

ll

lk

2

02

sin)12(4

即 ( 3-16 )

式中 ( 3-17 )

是第 l 个分波的散射截面

0l

lQQ

ll lk

Q 22

sin)12(4

Page 14: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

由上述看们看出:求散射振幅 f() 的问题归结为求相移 l ,而 l 的获得,需要根据 U(r) 的具体情况解径向方程( 3-3 )求 Rl(r) ,然后取其渐近解,并写为

即可得到第 l 个分波的相移,由于每个分波都将产生相移 l ,所以,必须寻找各个分波的相移来计算散射截面,这种方法称为分波法

lrl

lkr

krrR

2sin

1)(

光学定理 (证明见后))0(Im4

fk

Q

分波法的适用范围:分波法求散射截面是一个无穷级数的问题,从原则上讲,分波法是散射问题的普遍方法。但实际上,依次计算级数中的各项是相当复杂的,有时也是不可能的,所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项,达到一定精确度即可。散射主要发生在势场的作用范围内,若以散射中心为心,以 a 为半径的球表示这个范围,则 r>a 时,散射效果就可以忽略不计了,由于入射波的第 l 个分波的径

向函数 jl(kr) 的第一极大值位于 附近,当 r 较大时, l愈大, k

lr 0)(

0 rl krj

Page 15: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

0k

lr愈快,如果 jl(kr) 的第一极大值位于 ,即 l>ka 时,在 r≤a 内, jl(kr) 的值

很小。亦即第 l 个分波受势场的影响很小,散射影响可以忽略,只有第 l 个分波 之前的各分波必须考虑,所以,我们把分波法适用的条件写成 ,而的分波不必考虑, ka愈小,则需计算的项数愈小,当 ka<<1 时, l~0 ,这时仅需 计算一个相移 0 即足够了,而 ka足够小,意味着入射粒子的动能较低,所以分波法适用于低能散射, l>ka 的分波散射截面可以略去。

kal kal

说明:已知 U(r) 时,可用分波法求出低能散射的相移和散射截面,在原子核及基本粒子问题中,作用力不清楚,也即不知道 U(r) 的具体形式,这时,我们可先由实验测定散射截面和相移,然后确定势场和力的形式和性质,这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。

Page 16: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

思考题:什么是分波法分波法是说入射平面波 eikz 按球面波展开

)(cos)()12(0

cos ll

l

l

ikrikz Pkrjilee

展开式中的每一项称为一个分波,每个分波在中心力场的影响下,各自产生一个相移 l 。而 l 的获得需根据 U(r) 的具体形式解径向方程

0)()1()(22)(1

2222

2

rRr

llrUE

dr

rdRr

dr

d

r

求出 Rl(r) ,然后取其渐近解,并写成

即可得到第 l 个分波的相移,由于每个分波都将产生相移 l ,所以,计算散射截面时须寻找各个分波的相移,这种方法称为分波法。

lr

l lkrkr

rR 2

1sin

1)(

Page 17: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

分波法应用举例

ar

arUrU

0)( 0

ex. 球方势阱和球方势垒的低能散射。

粒子的势能

U0 是势阱或势垒的深度或高度,设入射粒子能量很小,其德布罗意波长比势场作用范围大很多(质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况),求粒子的散射截面。

Solve: 粒子的径向方程

( 1 )

其中

E 为粒子的能量, U(r) 为粒子在靶粒子中心力场中的势能。对于球方势阱 U0<0

0)()1(

)()(1

222

2

rRr

llrVk

dr

rdRr

dr

d

r ll

222 )(2

)(,2

rU

rVE

k

( 2 )

ar

arkU

rUrV

0

||2)(2

)(202

0

2

Page 18: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

因粒子波长 ,所以仅需讨论 s 波的散射

( l=0 ),据此及( 2 )式,可将方程( 1 )写成

( 3 )

( 4 )

11

kaak

ak

h

arrRkdr

rdRr

dr

d

r

0)()(1

0202

2

arrRkdr

rdRr

dr

d

r

0)()(1

0202

2

其中

令 ,则( 3 ),( 4 )可写成

20

22 kkk

r

rurR

)()( 0

0

( 5 ) ( 6 )

0)()(

02

20

2

rukdr

rud

0)()(

02

20

2

rukdr

rud

其解为 arrkAru )sin()( 00

arkrBru )sin()( 00

( 7 )

( 8 )

Page 19: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

于是

arrkr

ArR )sin()( 00

arkrr

BrR )sin()( 00 ( 10 )

( 9 )

因 在 r=0 处有限,必须有 所以

在 r=a 处, 及 连续,因此, 及 在 r=a 处连续

由( 7 ),( 8 )式得

r

rurR

)()( 0

0 0)0(0 u 00

)(0 rRdr

rdR )(0 )(0 rudr

rdu )(0

由此求得相移

( 11 )

总散射截面

aktgk

katgk

1

)(1

0

kaaktgk

karctg

0

( 12 )02

20 sin4 k

QQQl

l

kaaktgk

karctg

k2

2sin

4

Page 20: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

在粒子能量很低 的情况下, 。利用 x<<1 时, arctgx x ,有

( 13 )

( 14 )

对于球方势垒 。

)0( k 0kk

110

00

ak

atgkkakaaktg

k

k

2

0

022020

2

214

4sin

4

ak

atgka

kkQ

00 U

这时,用 ik0 代替以上讨论中的 k0 ,在粒子能量很低 的情况下,( 1

3 )变为 ( 15 )

( 14 )写为

)0( k

1

0

00 ak

athkka

( 16 ) 当 时 ,由于

代入( 16 )式,得

2

0

02 14

ak

athkaQ

0U 0k

100

00

0

akak

akak

ee

eeathk

24 aQ

Page 21: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

低能粒子经无限高势垒场的散射,其散射截面等于半径为 a 的球面面积,它与经典情况不同,在经典情况下,总散射截面就是作为散射中心的半径为 a 的硬球

的最大截面面积 ,它是量子力学计算的结果的 。)( 2a

4

1

Page 22: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

四、玻恩近似

分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题,当入射粒子的能量很高时,采用分波法计算散射截面就不恰当了,对于高能入射粒子而言,势能 可看作是微扰,体系的哈密顿算符为

)(rU

HHH ˆˆˆ0

其中, 是粒子的动能(自由粒子的哈密顿量),其本征函数取箱归

一化的动量本征函数

,粒子与散射力场的相互作用能。

2

ˆˆ2

0

pH

rkik

eL

2

3

波矢量,p

k

)(ˆ rUH

这里,采用箱归一化意味着体积 L3 内只有一个粒子。于是,入射粒子流密度

单位时间内,散射到 方向立体角 内的粒子数

3 LN

),( d

dLqNdqdn 3),(),( ( 1 )

Page 23: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

另一方面,入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用,从动量为 的初态

跃迁到动量 的末态 ,即

对于弹性散射,动能守恒

k

)(rk

k

)(rk

)(rk

kkk ||||

)(rk

单位时间内,粒子从初态 跃迁到动量大小为 ,方向为 的立体角 内所有末态上的几率,即跃迁几率

( 2 )

跃迁距阵元

)(rk

kp ),( d

dmH kk )(2 2

( 3 ) 为动量大小为 ,方向角为 的末态数目(态密度)

drrUH kkkk )()(*

derUL rkki )(3 )(

)(m k ),(

( 4 )kL

m

3

2)(

Page 24: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

将( 3 )、( 4 )代入( 2 )式,得出

( 5 )

此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角 d 内的粒子数

dderUk

L rkki2

)(32

3 )(4

( 6 )

比较( 1 ),( 6 )式,并注意到 ,立即可得

dderUk

Ldn rkki2

)(32

3 )(4

kv

( 7 )

式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅 有一负号。引入矢量

2)(

42

2

)(4

),( derUq rkki

),( f

θ

k

kkK

k

kkK

2sin2

kK

其中是散射角, 是散射引起动量的变化,于是K

derUderU rKirkki

)()( )( ( 8 )

Page 25: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

取 的方向为球坐标的极轴方向, 为方位角,则可简化积分

( 9 )因而

K

,

2

00 0

cos2 sin)()( ddedrrrUderU iKrrKi

0

)sin()(4

drKrrrUK

( 10 )2

042

2

)sin()(4

),(

drKrrrUK

q

此式即为玻恩近似表达式,若势能 U(r)已知,计算积分后就可以求出微分散射截面,所以,应用玻恩近似法计算微分散射截面时,主要难点在于给出 U(r) 的具体形式后,如何计算积分 。下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。

0sin)( KrdrrrU

2

sin

)sin(

4)sin(

)(

2)sin(

)(

020

2200

3

4

00

22200

2

2

2222

drr

Kr

r

UKa

KdrKre

r

eU

a

KedrKrreeU

ka

aKdrKrreeU

rU

arar

a

K

rara

arar

Page 26: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

玻恩近似法应用举例:

玻恩近似法的适用范围:

玻恩近似法只适用于粒子的高能散射,它与分波法(适用于低能散射)相互补充,作为解决散射问题的两种主要近似方法。

ex.1 计算高速带电粒子 ,被中性原子内部的屏蔽库仑场 所散射的散射截面。

eZ ar

s er

eZZrU

2

)(

Solve :高速带电粒子属高能粒子,故2

042

2

)sin()(4

)(

drKrrrUK

q

2

042

422

)sin(4

2

drKreK

eZZa

rs

( 1 )

2

22

42

422

14

2

aK

K

K

eZZ s

222

4

4

422

)1(

42

Ka

aeZZ s

Page 27: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

其中 ( 2 )当入射粒子的能量很大,散射角 较大时 ( 3 )

所以上式可近似写成

2sin2

kK

12

sin2

kKa

( 4 )2

sin16

14

)(

4)(

444

422

4

4

4

422 22

k

eZZ

Ka

aeZZq ss

2csc

44

42

42 2

seZZ

此式称为 Rutherford 散射公式。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射(不考虑屏蔽作用)得出。这说明式( 3 )是经典力学方法可以适用的条件。式( 4 )表明要求散射角比较大,能量比较大,这时散射要在原子核附近发生,即入射粒子深入到原子内部,因而核外电子不起屏蔽作用。当角很小时,条件( 3 )不能满足, Rutherford公式不能成立,此时需用( 1 )式。

Page 28: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

ex.1.

粒子受到势能为 的场的散射,求 s 分波的微分散射截面。2)(

r

arU

[ 解 ] 为一般起见,先考虑 l 分波的相移,再取特殊情况 s 分波的相移。根据边界条件 ( 1 )

解径向 Rl(r)满足的径向方程

l

lrl lkr

kr

AkrR

2

1sin)(

0)()1()(22

)(1

2222

2

rRr

llrUErR

dr

dr

dr

d

r

2022 2

,2

a

VE

k

0)()1(1

22022

2

rRr

ll

r

VkR

dr

dr

dr

d

r

( 2 )

又令

所以( 2 )式可以写成

0)())1((2)( 022

2

22 rRVllrkR

dr

drrR

dr

dr

)(1

)(1

)(

ukrukr

rRkr

Page 29: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 3 )

于是( 3 )式又可写成

0)(2

1)()( 0

22

2

22

uVl

d

duu

d

d

0

22

2

1Vl

( 4 )

上式是阶贝塞尔方程,其解为 因此

0)(}{)()( 222

22

uu

d

du

d

d

)(J

Jkr

rR1

)(

但当 时 ,所以在 r=0 附近

0r )(krJ

)(1

~)( krJkr

rR

r

42

1cos

2)(

kr

krkrJ

242

1sin

2

krkr

42

1sin

2

krkr

Page 30: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 5 )

比较( 1 )式和( 5 )式,则有

42

1sin

2)(

krkr

rRr

)(24

ll

2

1)12(

4 l

0

2

2

1

2)12(

4Vll

2

22

2

1

2)12(

4 a

ll

将 值代入微分散射截面的表达式

2

811

40 0

al

02

02

sin)(cos)12(1

)( li

ll

lePlk

q

立即可得到 s 分波的微分散射截面

Page 31: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

2

0020 sin)(cos1

)( 0 iePk

q

02

2sin

1 k

2

811

4sin

1 22

a

k

s 分波散射截面

dqQl )(0

2

811

4sin

4 22

a

k

Page 32: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

ex.2. 慢速粒子受到势能为 的场的散射,

若 , ,求散射截面。

ar

arUrU

当当

0)( 0

0UE 00 U

[ 解 ] 由于是慢速粒子散射,对于低能散射只需考虑 s 分波。由径向波函数 R(r) 所满足的径向方程

0)()1()(221

2222

2

rRr

llrUER

dr

dr

dr

d

r

当 l=0 时 ( 1 )

令 ( 2 )

0)()(221

222

2

rRrUE

Rdr

dr

dr

d

r

r

rurR

)()(

( 3 )

将 代入以上方程

并令 ( 4 )

0)())((2)(

22

2

ruruEdr

rud

ar

arUrU

0)( 0

202

22 )(2

,2

EU

kE

k

Page 33: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 5 ) ( 6 )

arrukdr

rud 0)(

)( 22

2

arrukdr

rud 0)(

)( 22

2

areBeAru rkrk )(

arkrCru )sin()( 0

areBeArr

rurR rkrk )(

1)()(

arkrr

C

r

rurR )sin(

)()( 0

当 应有限,则要求

)(0 rRr

0 BA

arrkshr

Aee

r

ArR rkrk

)()(

在 r=a 处, R(r) 和 为连续dr

rdR )(

Page 34: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

两式相除,得

akAshkaC )sin( 0

akchkAkakC )cos( 0

(7)

总散射截面

akthk

kkatg

)( 0

akthk

karctgka0

02

20 sin4 k

QQ

akthk

karctgka

k2

2sin

4

讨论:当粒子的能量 时, 0UE 020

20 2)(2

kUEU

k

1k

k

athkk

kkaakth

k

kka 0

00

1

0

0

ak

athkka

Page 35: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

如果粒子能量很低 k→0 的情况下

110

00

ak

athkka

2020

220

4sin

4 kk

QQ

2

0

02 14

ak

athka

如果 时, ,于是有

0U 0k

100

00

0

akak

akak

ee

eeathk

24 aQ

2aQ

在这种情况下,总散射截面等于半径为 a 的球面面积。

它与经典情况不同,在经典情况下,

Page 36: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

ex.3. 只考虑 s 分波,求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面4)(

r

arU

[解]根据边界条件

(1)

解径向方程:

l

lrl lkr

kr

AkrR

2

1sin)(

令    

则上方程简写为:

0)()1()(22

)(1

2222

2

rRr

llrUErR

dr

dr

dr

d

r ll

22 2

E

k

40

422

12)(2)(

r

V

r

arUrV

令  代入上方程,有

0)()1(

)(1

24022

2

rRr

ll

r

VkrR

dr

dr

dr

d

r ll

)(1

)(

ll urRkr

0)(2

1)()(2

202

2

22

lll ul

r

V

d

du

d

ud

Page 37: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

只考虑 s 分波, l=0 ,由于 , ,以上方程在 时的渐近形式为

020

r

Vr

0)(2

1)()(2

22

22

lll ud

du

d

ud

r

此为 阶贝塞尔方程,其解为由于, , 所以有限解为于是

2

1)(

2

1

J

0

)(2

1 J )(2

1 J                  

)(1

)(2

10 krJkr

rRr

422

1cos

2

krkrr

krkr

sin2

比较( 1 )和( 2 )两式,并注意取( 1 )式中的 l等于 0 ,则00

0sin4

02

20 k

Q

Page 38: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

ex.4. 用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面

22

0)( raeUrU

[ 解 ] 根据微分散射截面公式

于是将 代入上式积分

2

042

2

sin)(4

),(

RrdrrrUK

q

22

0)( raeUrU

00 0 sinsin)(

22

KrdrreUKrdrrrU ra

Krdrea

KUKre

a

U rara cos2

sin2 02

002

0 2222

2

2

422

0

2

1

2a

K

eaa

KU

2

2

430

4a

K

ea

KU

2

2

246

220

4),( a

K

ea

Uq

2sin2

kK

Page 39: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

}2sin2

exp{4

),(2

22

46

220

a

k

a

Uq

)cos1(exp4 2

2

46

220

a

k

a

U

dqQ ),(

dda

ke

a

Ua

k

sincosexp4 2

22

0046

220 2

2

 

02

2

244

220

2

cosexp2

2

2

a

ke

ka

Ua

k

2

2

2

2

2

2

244

220

2

2a

k

a

k

a

k

eeeka

U

2

2

224

20

22

2

a

kshe

a

Ua

k

Page 40: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

ex.5. 用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的微分

散射截面,式中 。

ar

arb

r

r

zerU

s

0

)(

2

2

2

sze

ab

[ 解 ] KrdrrrU sin)(0

Krdrb

rze

a

s sin0

22

KrdrrKb

Krb

rze

K

aas

00

22 cos

2cos

1

aass Krdr

bKKrr

bKKa

b

azeze

K 0202

222 sin

2sin

2cos

1

)cos1(2

sin2

cos1

32

222 Ka

bKKa

bK

aKa

b

azeze

K ss

Ka

Kb

aKa

bKb

aze

bKze

K ss sin2

cos2212

22

22

Page 41: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

2

042

2

sin)(4

),(

KrdrrrUK

q

2

2

22

22

44

2

sin2

cos224

KaKb

aKa

bKb

aze

bKze

K ss

Page 42: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

ex.6. 设 ,求反射系数 axeVxV /0 1)(

solve : ( 1 )

)()()()(

2 2

22

xExxVdx

xd

ax

e

则 ( 2 )

( 3 )

1

11 0

0

VVV

d

d

ad

de

adx

d

d

d

dx

d a

x 11

( 4 )

将( 2 ) ~ ( 4 )代入方程( 1 ),则有

d

d

d

d

adx

d

d

d

d

d

dx

d2

2

22

2 1

)()()1(

2 222

20

2

22

ak

aV

d

d

d

d

22 2

E

k

( 5 )

其中

Page 43: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

x当 时,方程( 1 )的渐近形式

)(22

2

xkdx

d

此方程有平面波解令 ( 6 )当 时, , 超于常数

ikaikxex ~)(

)()( ikax 0 )(

( 7 )

1 ikaika ika

d

d

d

d

21

2

2

2

2

)1(2 ikaikaika ikaikad

dika

d

d

d

d

利用这些关系式,方程( 5 )可写成 ( 8 )0)1)(21()1( 22

02

2

ak

d

dika

d

d

其中

将( 8 )写成

)(22 0122

100 EVkKkVk

Page 44: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

( 9 )

再令

0)()1)(21()1( 22212

2

akk

d

dika

d

d

akkiakkiikac )(,)(),21( 11

显然 于是,方程( 9 )变为

( 10 )

方程( 10 )为超几何方程,其满足 (即 ), 有限的解为

c 1

0)(])1([)1(2

2

d

dc

d

d

0 x )(

( 11 )

!2)1(

)1()1(

!11);,,()(

2

ccccF

!3)2)(1(

)2)(1()2)(1( 3ccc

满足 即 , 有限的解为 )( x )(

1

;1,1,)()()(

)()()( c

c

c

( 12 )

1

;1,1,)()()(

)()(c

c

c

Page 45: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

当 ,即 时

x

akkiakkiika cce )(2

)(1

11)(

xikxikkai ecece 1121

2

)()(

)()(1

c

cc

)()(

)()(2

c

cc

反射系数: ( 13 )

利用

2

2

2

1

2

2

)()()(

)()()(

c

c

c

cR

xxxxx sin)1()(),()( **

akkic )(1 1

akkic )(1 1 aki 12

Page 46: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

])[()()()()()( **2 ccc

])(1[])(1[])([])([ 1111 akkiakkiakkiakki

我们可得:

])(sin[])(sin[ 11

akkiakki

21

2

])([

akksh

])[()()()()()( **2 ccc

])(1[])(1[])([])([ 1111 akkiakkiakkiakki

])(sin[])(sin[ 11

akkiakki

21

2

]])[([

akksh

Page 47: 第七讲  散射                                                   一、散射截面

1)2()2(

)2()2(

)2(

)2(

)(

)(

11

112

1

2

1

2

2

akiaki

akiaki

aki

aki

将上述结果代入( 13 )式,得

])[(

])[(

12

12

akksh

akkshR