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第１１課 ダストの光学. 講義のファイルは http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html に置いてあります。 質問は [email protected] へ。. 平成１７年 １月 １７日. 最終授業は平成１７年１月２４日です。レポート提出が遅れる人は１月末日までに天文学教室事務室桜井敬子さんに届けて下さい。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。Ｍ２、Ｂ４で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。. １１．１． 誘電体 （ｃｇｓ静電単位系）の分極 （復習）. - PowerPoint PPT Presentation
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第１１課 ダストの光学
平成１７年 １月 １７日
講義のファイルは
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
に置いてあります。
質問は
へ。
最終授業は平成１７年１月２４日です。レポート提出が遅れる人は１月末日までに天文学教室事務室桜井敬子さんに届けて下さい。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。Ｍ２、Ｂ４で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。
１１．１． 誘電体 （ｃｇｓ静電単位系）の分極 （復習）
双極子モーメント
Ｎ＝双極子数密度
r
rqpqq
p
p
p
p
分極密度
pNP
R
q
R
R
R
qE
2
q
ガウスの法則は
qR
qR
dSE
4
42
2
p
p
p
Ｈ＋
電場 Ｅ
例１ ＨＣｌ分子 電場中の原子
Ｃｌー 電子 原子核
p
Ep
α ＝原子分極率
単位はｃｍ３
p
例２ 一様に分極した板
＝
＝ ＋
＝
Ｐ＝Ｎ・ｐ＝Ｎ・ｑ・ｒ
ρ ＋＝Ｎ・ｑ
ρ －＝－Ｎ・ｑ
ｒ
σ ＋ ＝ ρ ＋・ｒ＝Ｎ・ｑ・ｒ＝Ｐ
σ － ＝－Ｐ
例３ コンデンサー
＋Ｑ
－Ｑ
自由電荷密度 σ ＝Ｑ / Ｓ
電場 Ｅ o ＝４ πσ
電位差 Ｖｏ＝４ πＱｄ / Ｓ
静電容量 Ｃｏ＝Ｓ / ４π ｄ
面積Ｓ
ｄ Ｅo
＋Ｑ
－Ｑ
自由電荷密度 σ ＝Ｑ / Ｓ
束縛電荷密度 Ｐ
電場 Ｅ＝Ｅｏ－４π Ｐ
＝Ｅｏ/ε
電位差 Ｖ＝Ｖｏ /ε
静電容量 Ｃ＝Ｑ / Ｖ＝ε ・Ｃｏ
Ｅε
P=χE χ ＝電気感受率（ electric susceptibility ）
ε= 誘電率（ dielectric constant)
ε と χ の関係は χ ＝（ ε －１） / ４ π ε ＝１＋４ πχ
例４ 一様に分極した誘電体球（半径Ｒｏ）内の電場 Ｅ
＝＋ρ ＋＝Ｎ・
ｑ
ρ －＝－Ｎ・ｑ
RR
Nq
RRR
6
46
4
rrrRRR
Nq
RrRrR
26
46
4
r
rqNpNP 分極した誘電体球を、一様に正に帯電した球と負に帯電した球が 、 r だけずれて重なっていると考える。正電荷球の内部、中心からＲでの電場ＥはＥ＝４ π （４ π Ｒ３ ρ ＋ / ３） / （４ π Ｒ２）＝ ４ π Ｒ ρ ＋ / ３電位は中心でゼロとして、
rRNq
RRR
3
4 したがって、
3
4
3
4 Pr
Nq
R
RE
全体の電位 φ は、 φ ＋と φ ーの和であるから、
P
Ｅ＝－４ π Ｐ/ ３
板の時はＥ＝－４ π Ｐであったが、
球では １ / ３ がかかることに注意。
球の外側の電場は球の中心にお
いたモーメントの大きさ
Ｐｏ＝（４ π Ｒｏ３Ｐ / ３）
の双極子による電場に等しい。
例５ 一様な外部電場中の誘電体球
ー － － － － － － －
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
Ｅｏ
Ｐ
球内部では、外場Ｅｏと球の分極Ｐにより生じる電場（－４ π Ｐ / ３）の和として、
Ｅ＝Ｅｏ－４ π Ｐ / ３
の電場が生じている。
Ｅｏ
＋
＝
Ｅｏ
－４ π Ｐ /３
Ｅ
例３で求めたＰ＝（ ε －１）Ｅ / ４ π の関係を使って、
Ｅ＝Ｅｏ－ （ ε －１）Ｅ / ３ EoEPEoE
2
1
4
3
2
3
α ＝原子分極率 (atomic polarizability) 分極密度Ｐの誘電体の個々の原子は誘電体内の平均電場Ｅ ave を受けているわけではない。なぜなら、Ｅ ave には考えている原子自身による電場Ｅ self も含まれているからである。
Ep
考えている原子のまわりに、原子一個分の球状の空洞を考える。空洞の壁に生じた分極電荷による電場はＥ cav ＝＋４ π Ｐ / ３だが、平均電場Ｅ ave にこの空洞電場Ｅ cav を加えたＥ oth ＝Ｅ ave ＋Ｅ cav が原子に実際に働く電場である。すると、
個々の原子の双極子モーメント ｐ は、
ｐ＝ α Ｅ oth ＝ α （Ｅ ave ＋Ｅ cav ）
＝ α （Ｅ ave ＋ ４ π Ｐ / ３ ）
Ｅ ave
P=N ・p
ｐ
Ｐ＝Ｎ・ｐ＝Ｎ α （Ｅ ave ＋ ４π Ｐ / ３ ）
EaveEaveN
NP
34
13
41
N
N
１１．２．固体の光学的性質
屈折率（ refractive index） ｍ =n + ｉ・ k
誘電率 (dielectric function) ε＝ ε´＋ ｉ・ ε´´＝Ｎ２
真空中での電磁波 Ｅ＝Ｅｏ・ｅｘｐ（ ｉ・ 2π ｘ /λ－ｉ・ ωｔ )
屈折率ｍの媒質中 Ｅ＝Ｅｏ・ｅｘｐ（－２ π ｋ・ｘ /λ) ・ｅｘｐ（ｉ・２ π ｎ・ｘ /λ－ｉωｔ )（１） Ｌｏｒｅｎｔｚ ｍｏｄｅｌ ： 固体は双極子（光で揺すら
れるバネ）の集まり )exp( tiqEoCzzBzA
i
ti
A
qEoz
O
22
)exp(ここに、
A
CO 2
A
B
ｐ（双極モーメント）＝ｑ・ｚ なので
Ｎ（双極子の数密度）を使うと、分極密度Ｐ＝Ｎ・ｐは、
（Ａは質量）
)exp(4
)exp(22
2
22
2
tiEoii
ti
A
EoNqP
O
P
O
A
NqP
24 ここに、 はプラズマ角振動数である。
ε´
ω
ε´ ´
ｋ
ｎ
ωω Ｏ ω Ｏ
ε ＝１＋４ πχ ＝
Ｐ＝ χ Ｅなので、
iO
P
22
2
4
222
2
1 kiniiO
P
０
１
２
０
１
２
３
４
ω Ｏは共鳴角振動数と呼ばれ、バルクな固体では吸収が最も強くなる箇所である。
固体表面に垂直に入射する電磁波の反射率は、 22
22
1
1
kn
knR
で与えられるので、通常は ω ＝ ω Ｏの付近でＲ≒１となる。例１
多くの場合、紫外～可視域では、電子の詰まったエネルギーバンドから空のエネルギーバンドへの遷移に伴う吸収が起きる。
ω ＝ ω Ｏ
ω Ｏ
１
０
２
ω
ｎ
ω＜ ω Ｏでは、ｎ≒一定で短波長（青）側に緩やかに増加し、ｋ＜＜１で透明となる。ガラスや水では可視域が、紫外域にある吸収帯の裾野にあたる。このためにこれらの物質は。可視で透明でかつ屈折率ｎがほぼ一定で、短波長側にやや大きくなっているのである。
ｋ
振動のモード毎に共鳴振動数は変わるので、物質の光学的性質は様々な共鳴振動子の集まりと考えられ、次のように表される。
例２ 赤外波長帯には、結晶格子の振動による吸収が起きる。
j jj
Pj
i
22
2
1
ω
ε´
ε´´
ω
１
ω ２ ω ３０
０
j j
Pj
2
2
1
透明
透明 透明 透明
ω Ｐ
０
－２
２
－４
－６
（２）Ｄｒｕｄｅ ｍｏｄｅｌ金属では電磁波による自由電子の振動がその光学的性質を決めている。
Ｌｏｒｅｎｔｚ ｍｏｄｅｌでＣ＝０（バネなし）とおいて、金属の εを求めると、
22
2
22
2
2
2
1
1
PP
P
i
i
ε´
ε´ ´
ω
γ は電子の衝突間隔時間 τ と、
γ～１ /τ の関係にある。可視・紫外では、 γ＜＜ ω なので無視でき、
3
2
2
2
1
P
P
多くの場合 ω Ｐ＝２－１５ｅＶである。 ω＜ ω Ｐ（可視）ではｎ＜１、ｎ＜＜ｋとなり
1
1
122
22
kn
knR
ω＞ ω Ｐ（紫外）では ε´≒１、 ε´´≒０、つまりｎ≒１、 ｋ≒０、となり金属は透明になる (ultraviolet transparency) 。
簡単なイメージとしては、周波数が低いと電磁波に対し金属内の電子が揃って動いて強い誘導電場を生み出して電磁波を遮断し反射する。周波数が高くなると電磁波による電場の速い動きに電子の質量がついて行けなくなり、金属内の誘導電場の応答が小さくなって透明になる。
後に述べるが、 ω＜ ω Ｐにおいて ε´＜０となる現象は固体微粒子の光吸収において大きな効果をもたらす。
Ｑ＝ σ/πａ２＝Ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ Ｆａｃｔｏｒ
１１．３． 固体球形微粒子の光散乱・吸収・減光（Ｍｉｅ Ｔｈｅｏｒｙ）入射フラックス＝Ｆ（Ｗ / ｍ２）の平面波を考える。
半径ａの球が単位時間当たりＫ（Ｗ）のエネルギーを吸収し、Ｈ（Ｗ）を散乱する時、
σ ＡＢＳ＝Ｋ /Ｆ ＝吸収断面積 σ ＳＣＡ＝Ｈ /Ｆ＝散乱断面積
σ ＥＸＴ＝ σ ＡＢＳ＋ σ ＳＣＡ＝減光断面積
減光断面積
２ a
散乱 A
散乱 B
吸収
波長 λ の平面電磁波の中に、半径ａ、屈折率ｍの球を置いたときの断面積 σは厳密に解くことが出来る。ｘ＝２ πａ /λ とすると、Ｑ＝ σ/πａ２ は ｘとｍで決まる。
22
12
12
122
Re122
nnn
SCAnnn
EXT banx
Qbanx
Q
mxxmxmx
mxxmxmxb
mxxxmxm
mxxxmxma
nnnn
nnnnn
nn
nnnnn
ここに、 ψ 、 ξ は Riccati-Bessel 関数と呼ばれ、以下の漸近式を使って計算される。
xiixxixxxxx
xx
nxxx
x
nxx
xxx
nxxx
x
nx
nnnnnn
nnnnnn
exp,exp,sin,cos
,
12,
12
0101
11
1111
22 aQaQ SCASCAEXTEXT
実際の計算では計算不安定性を避けるために、以下の式がよく用いられる。
xxx
nmxDm
xxxnmxDm
bxxx
nm
mxD
xxxn
mmxD
annn
nnn
n
nnn
nnn
n
1
1
1
1
ここに、
xx
dx
xdxDn
ln は適当な次数でＤｎ（ｘ）＝０として、
xn
xDx
nxD
n
n
11次の降冪漸化式で計算される。
Mie ε 55 ε 55計算 １＝（１． ，０）、 ２＝（１． ，０．２）
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20
π λ /ｘ＝２ ａ
σ/π
Ｑ＝
ａ^２
Q1ext Q2ext Q2sca Q2abs
subroutine qmie(x,ref,qext,qsca,qabs)
c
complex ref,y,d(3000),xi,xi0,xi1,an,bn
double precision psi0,psi1,psi,dn,dx
c
dx=x
y=x*ref
xstop=x+4*x**0.333+2.
nstop=xstop
ymod=cabs(y)
nmx=amax1(xstop,ymod)+15
c logarithmic derivative d(j) calculated by downward
c recurrence beginning with initial value 0+i*0 at
c j=nmx
d(nmx)=cmplx(0.0,0.0)
nn=nmx-1
do 100 n=1, nn
rn=nmx-n+1
100 d(nmx-n)=(rn/y)-(1./(d(nmx-n+1)+rn/y))
c riccati-bessel functtions with real argument x
c caluculate by upward recurrence psi0=dcos(dx)
psi1=dsin(dx)
chi0=-sin(x)
chi1=cos(x)
apsi0=psi0
apsi1=psi1
xi0=cmplx(apsi0,-chi0)
xi1=cmplx(apsi1,-chi1)
qsca=0.0
qext=0.0
n=1
参考のため Bohren/Huffman1983”bsorption and Scattering of Light by Small Particles” に載っているＦｏｒｔｒａｎプログラムを簡略化したサブルーチンを示す。これは、ｘとｍ (=ref) を入力すると、Ｑｅｘｔ，Ｑｓｃａ，Ｑａｂｓを返すようになっているプログラムである。
psi0=psi1
psi1=psi
apsi1=psi1
chi0=chi1
chi1=chi
xi1=cmplx(apsi1,-chi1)
n=n+1
rn=n
if (n-1-nstop) 200,300,300
300 continue
qsca=(2./(x*x))*qsca
qext=(2./(x*x))*qext
qabs=qext-qsca
return
end
200 dn=n
rn=n
psi=(2.*dn-1.)*psi1/dx-psi0
apsi=psi
chi=(2.*rn-1)*chi1/x-chi0
xi=cmplx(apsi,-chi)
an=(d(n)/ref+rn/x)*apsi-apsi1
an=an/((d(n)/ref+rn/x)*xi-xi1)
bn=(ref*d(n)+rn/x)*apsi-apsi1
bn=bn/((ref*d(n)+rn/x)*xi-xi1)
qsca=qsca+(2.*rn+1.)*(cabs(an)*cabs(an)
+ cabs(bn)*cabs(bn))
qext=qext+(2.*rn+1.)*(real(an)+real(bn))
ミー計算のグラフを見ると、ｘ０でＱ０、ｘ∞でＱｅｘｔ２という特徴に気づく。
また、Ｑｓｃａに周期的なピークがあることも興味深い。
ε 1=(1.25, 0) ε 2=(1.5, 0) ε 3=(2, 0)
0
1
2
3
4
5
6
0 5 10 15 20 25 30
x=2π a/ λ
Ｑｅｘｔ
Q1ext Q2ext Q3ext
誘電率の虚数部＝０で、実数部＝１．２５，１．５，２と変えたときの図を示す。粒子は吸収を起こさないので、Ｑｅｘｔ＝Ｑｓｃａ、Ｑａｂｓ＝０である。
ε 1=(1.5,0.25) ε 2=(1.5,0.5) ε 3=(1.5,1)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 5 10 15
x=2π a/ λ
Ｑ
Q1extQ1scaQ1absQ2extQ2scaQ2absQ3extQ3scaQ3abs
