【第四講義】接空間と接写像【第四講義】接空間と接写像

0 x 　 1

1

y

0W

【質問】剛体回転において，

　●有理比回転の場合， 〔　〕個の〔　〕が存在する．　●無理比回転の場合， 〔　〕個の〔　〕が存在する．　●無理比回転の場合，　軌道は〔　　　〕である．

　という性質が成り立つ．

【前回の復習】【前回の復習】

【質問】右の写像の不変集合は，カオス的であることを説明せよ．

【質問】有理回転と無理回転のそれぞれで，右の写像は，　カオス的ではないことを説明せよ．

【質問】不変集合が，カオス的であるための３条件を述べよ．

【質問】カオス的不変集合が，満たすと期待される４つの様相を述べよ．

【質問】周期点が漸近安定であるための必要十分条件を述べよ．

【回答】コンパクト性，分解不可能性，不安定性．

【質問】分解不可能性の定義を一つ挙げよ．

【回答】位相推移性あるいは位相混合性．

【質問】コンパクトな不変集合が，位相推移的であるとき，いかなる軌道が存在するか．【回答】稠密な軌道．

【回答】乱雑な軌道．可算個の周期軌道が存在し，その全体は稠密．　　　　非可算個の非周期軌道，稠密な軌道

【不動点定理と漸近安定性】【不動点定理と漸近安定性】

【定義：縮小写像】完備な距離空間 (U,d) 上の写像 F : U→U が，任意の元 x,y に対して

　 d(Fx,Fy) ≦ s d(x,y) < d(x,y)

　を満足するならば， F を縮小写像という．

【定理：不動点定理】距離空間 (U,d) 上の縮小写像 F : U→U は，

　・唯一の不動点 p を持つ　・任意の x に対して， limn→∞ xn→p　　なる大域的漸近安定性を満足する．【証明の手順】

・軌道 {xn} は，コーシー列である．

・コーシー列であるならば，完備性より不動点へ収束する．

・不動点が存在するならば，１つである．

【質問】縮小写像の不動点は唯一である理由を述べよ．

【質問】線形写像 F : x |→ Ax が，縮小写像である場合，作用素 A が満たす条件を述べよ．【回答】 ||Ax-Ay||= ||A(x-y)|| ≦ s ||x-y|| において，リプシッツ定数 s は， s = sup||e||=1 ||Ae||

　を満足する．右辺は，行列 A のスペクトルノルム ||A|| である．よって， ||A|| < 1.

【解析学の復習】【解析学の復習】

【質問】 (x,y,z) = (a,b,f(a,b)) における陰関数表現された曲面 0= f(x,y) - z の接平面を求めよ．【回答】 (x,y,z) = (a,b,f(a,b)) における曲面 0 = f(x,y) - z の法線ベクトルは？

【質問】可微分写像 F(x,y)=(f(x,y),g(x,y)) の (x,y) = (a,b) における線形近似を求めよ．

by

ax

bag

baf

by

ax

bagbag

bafbaf

bag

baf

bayx

yx

yx

),(),(DF),(

),(

),(),(

),(),(

),(

),(

　

　

ヤコビ行列

))(,())(,(),(

))(,())(,(),(:F

bybagaxbagbag

bybafaxbafbaf

y

x

yx

yx【回答】

よって，接平面は，

0 = n ・ (x-a,y-b,z-f(a,b)) = fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) - (z-f(a,b)) ．

　　　　 n = grad(f(x,y) – z)](x,y,z)=(a,b,f(a,b)) = (fx(a,b),fy(a,b),-1).

【接空間と接写像】【接空間と接写像】

【定義：接空間と接写像】２次元可微分同相写像 F : U → U において，　 x=a で定義される線形空間 TaU を接空間といい，線形写像

　　を接写像という．

UTDFUTF Faaxaa :*

【定義： n周期点の特性乗数】２次元可微分同相写像 F : U → U において，　周期点 {p0,p1,..,pn-1} に関する合成接写像

　の固有値を特性乗数という．

UTDFDFUTFFFF ppxpxppppp onnn 0100121 : ****

　

U

Fa

aF

TaUTFaU

F*a

【周期点の接空間】【周期点の接空間】

R2

P1

P2

P0

F

Tp1R2

Tp0R2

B=DF] x=p1

C=DF] x=p2

Tp2R2

A=DF] x=p0

ww

ABCu= u

u

u vv

A ， B および C の各々の固有空間ではなく， ABC, BCA, CAB の固有空間である．

【周期点の安定性分類】【周期点の安定性分類】

Re

Imサドルノード： ||<1<||安定ノード： ||<||<1

安定フォーカス： <1

【質問】不安定ノードおよび不安定フォーカスの極配置を示せ．