ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ «Συστήματα Αυτοματισμού»

Μάθημα: Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου

Τεχνική Έκθεση Εργασίας Σχεδιασμός και Ανάλυση Εύρωστου Ελεγκτή

Φοιτητής: Παπαλιάκος Ευστάθιος

Αθήνα, 2016

[1]

Απαντήσεις Ερωτημάτων Εργασίας

Από τα δεδομένα που δόθηκαν στην εκφώνηση της εργασίας, σύμφωνα με τα αρχικά του ονοματεπωνύμου

του συγγραφέα, στον Πίνακα 1 καθορίζονται οι τιμές των μεταβλητών που χρησιμοποιήθηκαν.

ONOMA: ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ ΕΠΙΘΕΤΟ: ΠΑΠΑΛΙΑΚΟΣ

Nominal Model Uncertainty #1 (2nd

order)

Gain: Κ=2723

Pole 1: p1=-2.1

Pole 2: p1 -1.4

Damping ratio, ζ: zita= 0.1

Nat. frequency, ωn (rad/s): Wn= 4

Specifications Parametric Uncertainty

Bandwidth, BW (rad/s): 0.78

Control Input, u: <=1

Gain +/- %: +/- 3%

Pole 1+/- %: +/- 10

Pole 2+/- %: +/- 10

Πίνακας 1: Αρχικοποιήσεις δεδομένων

1. Πρώτο Ερώτημα : Σχεδιασμός Ελεγκτή H / Μικτής ευαισθησίας

1.1. Ονομαστικό Μοντέλο και αλλαγή κλίμακας

Αρχικά δημιουργούμε το ονομαστικό μοντέλο με χρήση κώδικα εντολών στο matlab. Έπειτα, για να

διευκολύνουμε την ανάλυση του συστήματος και την σχεδίαση του Ελεγκτή, προχωρούμε σε αλλαγή

κλίμακας (scaling) με απαίτηση, τα σήματα να έχουν τιμές 1 (αφού max 0db ). Για να το πετύχουμε αυτό,

πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εντολή dcgain και να διαιρέσουμε την συνάρτηση μεταφοράς με αυτό

(ουσιαστικά με το κέρδος). Επαληθεύουμε την αλλαγή κλίμακας μέσα διάγραμμα Bode που εμφανίζεται στο

figure 1. Παρακάτω παρατίθενται και οι εντολές που χρησιμοποιήθηκαν.

Figure 1: Bode diagram for scaled nominal system

[2]

1.2. Ελεγκτής H / Μικτής ευαισθησίας

Μέσω της συνάρτησης s nmix y του matlab προκύπτει ο Ελεγκτής HK . Ωστόσο το ζητούμενο ήταν να

επιτύχουμε την ζητούμενη συχνότητα bandwidth, 0.78B (rad/s). Για αυτό το σκοπό διεξήγαμε

διερεύνηση για τις τιμές των παραμέτρων Μ, wb , για τις οποίες θα ικανοποιούσαμε την απαίτηση για την

B . Τελικά καταλήξαμε πώς για 1.9M και 0.95wb η συχνότητα bandwidth είναι 0.7810B (rad/s).

Επίσης το βάρος uW , καθορίστηκε σύμφωνα με την θεωρία ίσο με 1.

Πλέον έχουμε κατορθώσει τον σχεδιασμό του Ελεγκτή βάση του ονομαστικού μοντέλου και των

προδιαγραφών που τέθηκαν την παρούσα εργασία και προχωράμε στην αξιολόγηση του συστήματος

κλειστού βρόχου, μελετώντας την απόκριση και την ευστάθεια (ΝP και NS).

1.3. Έλεγχος Ονομαστικής Ευστάθειας

Σύμφωνα με την θεωρία των ΣΑΕ, ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν οι πόλοι του παρανομαστή της

συνάρτησης μεταφοράς (κλειστού βρόχου) έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Πρώτα εμφανίσαμε τον

ελεγκτή σε μορφή πινάκων χώρου κατάστασης και πόλων/μηδενιστών. Στη συνέχεια με την εντολή zpk(T)

εμφανίσαμε στο command window του matlab την συνάρτηση μεταφοράς. Παρακάτω φαίνονται οι εντολές

που χρησιμοποιήθηκαν και το αποτέλεσμα της zpk(T), από το οποίο συμπεράνουμε ότι όλοι οι πόλοι του

παρανομαστή της συνάρτησης μεταφοράς έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, άρα ικανοποιείται η

ονομαστική ευστάθεια (ΝS) και όπως αναμέναμε, το σύστημα είναι ευσταθές.

[3]

1.4. Έλεγχος Ονομαστικής Απόδοσης

Το κριτήριο της ονομαστικής απόδοσης είναι: 1pW S . Για να ελέγξουμε την ισχύ του κριτηρίου υπάρχουν

δύο τρόποι. Είτε ελέγχοντας την απόκριση των τιμών σε ένα διάγραμμα bode ώστε να είναι 1

p

SW

. Είτε να

δημιουργηθεί το γινόμενο pW S και να ελεγχθεί μέσα από ένα διάγραμμα bode η απόκρισή του, ώστε να

διαπιστωθεί αν ξεπερνάει την τιμή 1. Για λόγους επιβεβαίωσης δοκιμάσθηκαν και οι δύο παραπάνω τρόποι.

Το αποτέλεσμα όπως φαίνεται από το Figure 2 και το Figure 3 είναι αδιαμφισβήτητο και επιβεβαιώνει το

κριτήριο της ονομαστικής απόδοσης.

Figure 2: Bode diagram of S , pW

Figure 3: Bode diagram of * pS W

1.5. Απόκριση στο πεδίο του χρόνου

Από το Figure 4 διαπιστώνουμε πώς, απόκριση του συστήματος είναι καλή. Δεν παρατηρείται

υπερακόντιση, ενώ ο χρόνος ανόδου, είναι Tr=1.76sec και ο χρόνος αποκατάστασης Τs=3.07 sec

[4]

Figure 4: Step Response of closed-loop nominal system

2. Δεύτερο Ερώτημα : Μελέτη Αβεβαιότητας

Σε αυτό το κεφάλαιο, απασχολούμαστε με την παράσταση αβεβαιότητας του συστήματος καθώς και την

μελέτη της εύρωστης απόδοσης (RP) και εύρωστης ευστάθειας. Οι απαραίτητες αρχικοποιήσεις των

δεδομένων, ήδη έχουν δοθεί από τον Πίνακα 1

2.1. Παράσταση συνολικής αβεβαιότητας

Για την παράσταση της συνολικής αβεβαιότητας, παραθέτουμε τις εντολές που χρησιμοποιήθηκαν. Η

αβεβαιότητα εισήχθη στο κέρδος και στους πόλους μέσω της εντολής ureal και στη συνέχεια υπολογίστηκε η

συνολική αβεβαιότητα.

Στο τέλος της παραπάνω παράστασης, ορίσαμε να εμφανιστεί το διάγραμμα bode , το οποίο φαίνεται στο

Figure 5. Σε αυτό παρατηρείται η αναμενόμενη αιχμή στη συχνότητα συντονισμού (4rad/sec), καθώς και οι

διαφορετικές αποκρίσεις λόγω παραμετρικής αβεβαιότητας.

[5]

Figure 5: Bode diagram, Total uncertainty

2.2. Εύρωστη Απόδοση

Με την χρήση της εντολής robustperf για τον κλειστό βρόχο για τον Ελεγκτή HK ο οποίος είναι ο ίδιος με το

προηγούμενο ερώτημα, βλέπουμε πως το σύστημα επιτυγχάνει εύρωστη απόδοση. Πιο αναλυτικά:

2.3. Εύρωστη Ευστάθεια

Με την χρήση της εντολής robustperf για τον κλειστό βρόχο για τον Ελεγκτή HK ο οποίος είναι ο ίδιος με το

προηγούμενο ερώτημα, βλέπουμε πως το σύστημα είναι εύρωστα ευσταθές, με ικανοποιητικά περιθώρια

αβεβαιότητας μέχρις ότου φτάσει σε αστάθεια. Το report της εντολής μας έδωσε αυτή την πληροφορία. Πιο

αναλυτικά: