1107
arXiv:1311.0733v1 [math-ph] 30 Oct 2013 Геометрические методы в математической физике. 18 августа 2018 г. Катанаев Михаил Орионович 1 Математический институт имени В. А. Стеклова Российской Академии Наук 18 августа 2018 г. 1 Любые замечания, указания на ошибки, неточности и опечатки прошу отправлять на e-mail: [email protected]

Геометрические методы в математической …arXiv:1311.0733v1 [math-ph] 30 Oct 2013 Геометрические методы в математической

  • Upload
    others

  • View
    76

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • arX

    iv:1

    311.

    0733

    v1 [

    mat

    h-ph

    ] 3

    0 O

    ct 2

    013

    Геометрические методы

    в математической физике.

    18 августа 2018 г.

    Катанаев Михаил Орионович1

    Математический институт имени В. А. Стеклова

    Российской Академии Наук

    18 августа 2018 г.

    1Любые замечания, указания на ошибки, неточности и опечатки прошу отправлять наe-mail: [email protected]

    http://arxiv.org/abs/1311.0733v1

  • 2

  • Оглавление

    Основные обозначения и соглашения ix

    1 Введение 11.1 Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Поле вещественных чисел R и прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Евклидово пространство Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.1 Rn как метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Rn как топологическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Rn как векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.4 Rn как аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    1.4 Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.4.1 Отображения топологических пространств . . . . . . . . . . . . 58

    1.5 Преобразования координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.6 Группа двумерных вращений O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.7 Группа двумерных преобразований Лоренца O(1, 1) . . . . . . . . . . . 711.8 Трехмерное евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.9 Пространство Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    1.9.1 Группа Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.9.2 Группа Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.9.3 Группа конформных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . 981.9.4 Трехмерное пространство Минковского . . . . . . . . . . . . . . 1011.9.5 Четырехмерное пространство Минковского . . . . . . . . . . . . 104

    1.10 Специальная теория относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.10.1 Нерелятивистские модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.10.2 Релятивистские модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.10.3 Замедление времени и лоренцево сокращение . . . . . . . . . . . 1171.10.4 Сложение скоростей и эффект Доплера . . . . . . . . . . . . . . 1201.10.5 Равноускоренное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    2 Многообразия и тензорные поля 1292.1 Многообразие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.2 Разбиение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.3 Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.4 Расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.5 Скалярные поля и плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.6 Векторные поля и 1-формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    2.6.1 Локальное определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.6.2 Глобальное определение векторных и ковекторных полей . . . . 1512.6.3 Кокасательные векторные поля и ростки . . . . . . . . . . . . . . 155

    i

  • ii Оглавление

    2.6.4 Векторные поля и дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . 1562.6.5 Векторные поля и интегральные кривые . . . . . . . . . . . . . 1592.6.6 1-формы и гиперповерхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.6.7 Алгебра Ли векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

    2.7 Тензорные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.8 Полностью антисимметричные тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.9 Отображения многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.10 Подмногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.11 Теорема Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.12 Слоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972.13 Бесконечно малые преобразования координат . . . . . . . . . . . . . . . 2022.14 Производная Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

    3 Дифференциальные формы и интегрирование 211

    3.1 Внешняя алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.2 Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.3 Внешнее дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.4 Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.5 Оператор Лапласа–Бельтрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.6 Разложение Ходжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2373.7 Интегрирование дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . 239

    3.7.1 Форма объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423.7.2 Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

    4 Метрика 249

    4.1 Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.2 Метрика на лоренцевых многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.3 Векторные поля и вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2594.4 Выбор системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

    5 Связность на векторном расслоении и расслоении реперов 265

    5.1 Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655.2 Связность на векторном расслоении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2705.3 Аффинная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2765.4 Связность на расслоении реперов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2785.5 Критерий локальной тривиальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

    6 Аффинная геометрия. Локальное рассмотрение 288

    6.1 Локальное определение аффинной связности . . . . . . . . . . . . . . . 2886.2 Кручение и неметричность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.3 Ковариантная производная тензорных плотностей . . . . . . . . . . . . 2956.4 Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2976.5 Геометрический смысл кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.6 Свойства аффинной связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3036.7 Локальное определение тензора кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . 3076.8 Свойства тензора кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3096.9 Неголономный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136.10 Тождества Бианки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

  • Оглавление iii

    7 Криволинейные координаты в R3 319

    7.1 Сферические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3197.2 Цилиндрические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

    8 Группы Ли 327

    8.1 Группы Ли и локальные группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3278.2 Действие группы слева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.3 Действие группы справа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3408.4 Присоединенное представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.5 Группы Ли как (псевдо-)римановы пространства . . . . . . . . . . . . . 3448.6 Группы Ли как пространства Римана–Картана . . . . . . . . . . . . . . 3488.7 Группа аффинных преобразований прямой . . . . . . . . . . . . . . . . 3508.8 Гомоморфизмы групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3548.9 Экспоненциальное отображение для групп Ли . . . . . . . . . . . . . . 3578.10 Интегрирование на группах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3608.11 Некоторые общие свойства групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.12 Полупрямое произведение групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3668.13 Алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

    8.13.1 Операции над алгебрами Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3718.13.2 Простые и полупростые алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . 3768.13.3 Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

    8.14 Группа Ли GL(n,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3818.14.1 Алгебра Ли gl(n,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3818.14.2 Группа Ли GL(n,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

    8.15 Универсальная накрывающая S̃L(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3938.16 Классификация простых алгебр и групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . 396

    9 Группы преобразований 401

    9.1 Действие групп преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4019.2 Инфинитезимальные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4079.3 Инвариантные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4099.4 Отображения групп преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

    10 Гомотопии и фундаментальная группа 414

    10.1 Пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41410.2 Гомотопия непрерывных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41910.3 Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42210.4 Фундаментальная группа и ориентируемость . . . . . . . . . . . . . . . 428

    11 Накрытия 434

    11.1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43411.2 Фундаментальная группа пространства орбит . . . . . . . . . . . . . . . 43811.3 Группа скольжений и существование накрытий . . . . . . . . . . . . . . 442

    12 Главные и ассоциированные расслоения 444

    12.1 Главные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44412.2 Ассоциированные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45312.3 Отображение расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

  • iv Оглавление

    13 Связности на главных и ассоциированных расслоениях 466

    13.1 Связность на главном расслоении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46613.2 Форма кривизны и структурное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . 477

    13.2.1 Связность на P(R2, π,R) = R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48613.3 Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48913.4 Группы голономии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49013.5 Петля Вильсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49313.6 Отображение связностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49713.7 Связность на ассоциированном расслоении . . . . . . . . . . . . . . . . . 49913.8 Свойства групп голономий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50213.9 Плоские связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50413.10Локальные и инфинитезимальные группы голономии . . . . . . . . . . 50713.11Инвариантные связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

    14 Приложения в квантовой механике 517

    14.1 Адиабатическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51814.1.1 Двухуровневая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

    14.2 Фаза Берри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52914.2.1 Абелев случай: невырожденное состояние . . . . . . . . . . . . . 52914.2.2 Частица со спином 1/2 в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . 53114.2.3 Неабелев случай: вырожденное состояние . . . . . . . . . . . . . 534

    14.3 Эффект Ааронова–Бома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53714.3.1 Электрический потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53814.3.2 Магнитный потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

    15 Векторные поля Киллинга 544

    15.1 Изометрии и инфинитезимальные изометрии . . . . . . . . . . . . . . . 54415.2 Однородные и изотропные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54815.3 Свойства векторных полей Киллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55415.4 Лоренц-инвариантные метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

    16 Геодезические и экстремали 562

    16.1 Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56216.2 Экстремали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56916.3 Интегрирование уравнений для экстремалей и геодезических . . . . . . 57316.4 Вторая вариация уравнений для экстремалей . . . . . . . . . . . . . . . 57416.5 Уравнение Гамильтона–Якоби для экстремалей . . . . . . . . . . . . . . 57816.6 Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58116.7 Приближение эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58416.8 Гармонические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58616.9 Нормальные, геодезические или римановы координаты . . . . . . . . . 588

    16.9.1 Нормальные координаты. Локальное рассмотрение. . . . . . . . 58816.9.2 Нормальные координаты в (псевдо-)римановом пространстве . 59416.9.3 (Псевдо-)римановы пространства постоянной кривизны . . . . . 59616.9.4 Нормальные координаты и экспоненциальное отображение . . . 601

    16.10Полнота римановых многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60316.11Формулы Френе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

  • Оглавление v

    17 Симплектические и пуассоновы многообразия 60917.1 Симплектические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60917.2 Симплектические многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61417.3 Пуассоновы многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61917.4 Структура Ли–Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62317.5 Отображения пуассоновых многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

    18 Принцип наименьшего действия 63118.1 Постановка вариационных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

    18.1.1 Задача с заданными граничными условиями . . . . . . . . . . . . 63218.1.2 Задача со свободными граничными условиями . . . . . . . . . . 63418.1.3 Задача с подвижной границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63518.1.4 Задача на условную стационарную точку . . . . . . . . . . . . . 63718.1.5 Другие задачи и терминология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

    18.2 Первая теорема Нетер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64118.2.1 Тензор энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64318.2.2 Тензор момента количества движения . . . . . . . . . . . . . . . 645

    18.3 Вторая теорема Нетер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64618.4 Эффективное действие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65018.5 Редуцированное действие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

    19 Канонический формализм 65419.1 Канонический формализм в механике точечных частиц . . . . . . . . . 654

    19.1.1 Преобразование Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65419.1.2 Гамильтонова динамика точечных частиц . . . . . . . . . . . . . 65619.1.3 Потенциальное движение точечной частицы . . . . . . . . . . . 66219.1.4 Лемма Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66519.1.5 Канонические уравнения Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . 66619.1.6 Принцип Мопертюи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66819.1.7 Уравнение Гамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67219.1.8 Принцип Гюйгенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67419.1.9 Переменные действие-угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67719.1.10Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68019.1.11Производящие функции канонических преобразований . . . . . 68819.1.12Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби . . . . . 696

    19.2 Гамильтонова динамика частиц со связями . . . . . . . . . . . . . . . . 69919.2.1 Связи в гамильтоновом формализме . . . . . . . . . . . . . . . . 69919.2.2 Гамильтонова динамика частиц со связями II рода . . . . . . . . 70119.2.3 Гамильтонова динамика частиц со связями I рода . . . . . . . . 70719.2.4 Калибровочная модель нерелятивистской частицы . . . . . . . . 71419.2.5 Частица в псевдоримановом пространстве . . . . . . . . . . . . . 71719.2.6 Граничные слагаемые в калибровочных моделях . . . . . . . . . 728

    20 Основы общей теории относительности 73620.1 Пространство-время, метрика и гравитация . . . . . . . . . . . . . . . . 73620.2 Действие Гильберта–Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74020.3 Вариация действия Гильберта–Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . 74520.4 Зависимость уравнений Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74720.5 Действие для полей материи в обобщенных моделях гравитации . . . . 748

  • vi Оглавление

    20.6 Скалярно-тензорные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75120.7 Полиномиальная форма действия

    Гильберта–Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75320.8 Точечные частицы в теории гравитации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

    20.8.1 Нерелятивистский предел для точечной частицы . . . . . . . . . 76520.8.2 Теория гравитации Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76720.8.3 Свойства тензора энергии-импульса точечных частиц . . . . . . 770

    20.9 Ньютонов предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77420.10Гравитационные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77820.11Сплошная среда в общей теории относительности . . . . . . . . . . . . 782

    20.11.1Акустические фононы в нерелятивистской гидродинамике . . . 78720.12Выбор системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792

    20.12.1Сопутствующая система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . 79320.12.2Временна́я калибровка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79920.12.3Калибровка светового конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

    20.13О постановке задач в теории гравитации . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

    21 Гамильтонова формулировка общей теории относительности 81821.1 Лагранжиан Гильберта–Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81821.2 АДМ параметризация метрики и репера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81921.3 Геометрия гиперповерхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82521.4 Кривизна в АДМ параметризации метрики . . . . . . . . . . . . . . . . 83121.5 Гамильтониан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83521.6 Вторичные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83721.7 Полиномиальная гамильтонова форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84021.8 Проблема энергии в теории гравитации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845

    21.8.1 Тензор энергии-импульса полей материи . . . . . . . . . . . . . . 84621.8.2 Псевдотензор энергии-импульса для гравитации . . . . . . . . . 84721.8.3 Законы сохранения и векторы Киллинга . . . . . . . . . . . . . . 84921.8.4 Полная гравитационная энергия асимптотически плоского пространства-

    времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850

    22 Скалярные и калибровочные поля 85422.1 Действительное скалярное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

    22.1.1 Скалярное поле в пространстве Минковского . . . . . . . . . . . 85422.1.2 Скалярное поле в аффинной геометрии . . . . . . . . . . . . . . 85822.1.3 Скалярное поле в общей теории относительности . . . . . . . . 860

    22.2 Комплексное скалярное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86322.2.1 Комплексное скалярное поле в пространстве Минковского . . . . 86322.2.2 Комплексное скалярное поле в аффинной геометрии . . . . . . . 86722.2.3 Комплексное скалярное поле в общей теории относительности . 868

    22.3 Электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86922.3.1 Лагранжева формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87322.3.2 Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87822.3.3 Гамильтонова формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87922.3.4 Скалярная электродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88722.3.5 Электромагнитное поле в аффинной геометрии . . . . . . . . . 89122.3.6 Электромагнитное поле в общей теории относительности . . . . 894

    22.4 Поле Прок´а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

  • Оглавление vii

    22.4.1 Гамильтонова формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90122.5 Поля Янга–Миллса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905

    22.5.1 Лагранжева формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91022.5.2 Гамильтонова формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91322.5.3 Поля Янга–Миллса в аффинной геометрии . . . . . . . . . . . . 91722.5.4 Поле Янга–Миллса в общей теории относительности . . . . . . . 918

    23 Геометрия поверхностей 92123.1 Геометрия Римана–Картана на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 92123.2 Неголономный базис в двух измерениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92423.3 Выбор системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925

    23.3.1 Диагональная калибровка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92623.3.2 Конформная калибровка для римановых поверхностей . . . . . 92623.3.3 Конформная калибровка для лоренцевых поверхностей . . . . . 928

    23.4 Координаты светового конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

    24 Поверхности постоянной кривизны 93324.1 Сфера S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93324.2 Двуполостный гиперболоид H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93724.3 Однополостный гиперболоид L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94224.4 Уравнение Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

    25 Лоренцевы поверхности с одним вектором Киллинга 95525.1 Локальный вид лоренцевой метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95625.2 Конформные блоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96025.3 Экстремали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962

    25.3.1 Форма экстремалей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96225.3.2 Асимптотика экстремалей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96725.3.3 Полнота экстремалей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968

    25.4 Построение глобальных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97025.5 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973

    25.5.1 Решение Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97325.5.2 Решение Рейснера–Нордстрема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97525.5.3 Экстремальная черная дыра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97625.5.4 Плоскость Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97725.5.5 Поверхности постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . 979

    25.6 Координаты Эддингтона–Финкельстейна . . . . . . . . . . . . . . . . . 98225.7 Дифференцируемость метрики в седловой точке . . . . . . . . . . . . . 985

    26 Римановы поверхности с одним вектором Киллинга 98826.1 Локальный вид римановой метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98826.2 Экстремали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99026.3 Построение глобальных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99426.4 Решение Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999

    27 Сплетенные решения в общей теории относительности 100127.1 Сплетенное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100127.2 Двумерная редукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100227.3 Произведение поверхностей постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . 100527.4 Пространственно симметричные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006

  • viii Оглавление

    27.4.1 Сферически симметричные решения K = 1 . . . . . . . . . . . . 101227.4.2 Планарные решения K = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101827.4.3 Гиперболические глобальные решения K = −1 . . . . . . . . . . 1022

    27.5 Лоренц-инвариантные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102327.5.1 Лоренц-инвариантные решения K = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 102627.5.2 Решения с плоскостью Минковского K = 0 . . . . . . . . . . . . 1032

    27.6 Итоги главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033

    28 Дополнение 103528.1 Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103528.2 Матрицы Паули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104328.3 Кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104428.4 Полностью антисимметричные тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046

    Библиография 1050

  • Основные обозначения и соглашения

    Дифференцирование выполняется раньше алгебраических операций.

    N = {1, 2, . . . } – множество натуральных чисел,Z = {. . .− 1, 0, 1, . . .} – группа целых чисел по сложению,Q, R, C – поле рациональных, вещественных, комплексных чисел,R+ – множество положительных вещественных чисел,† – комплексное или эрмитово сопряжение,:= – равно по-определению,x и (x1, . . . , xn) – точка многообразия и ее координаты,{xα} = {x0, xµ} = {x0,x} – декартовы координаты в пространстве Минковского,

    или координаты на псевдоримановом многообразии,∂α :=

    ∂∂xα

    – частная производная,∂2αβ :=

    ∂2

    ∂xα∂xβ– частная производная второго порядка,

    ∇α – ковариантная производная,△ – оператор Лапласа или Лапласа–Бельтрами,� – оператор Даламбера, конец доказательства, примера

    или определения,(∂f)2 := gαβ∂αf∂βf – квадрат градиента функции f ,

    gαβ – компоненты метрики,g := det (gαβ) – определитель метрики,eα

    a – компоненты репера,√|g| = det (eαa) – элемент объема (определитель репера),

    υ := dx1 ∧ . . . ∧ dxn√

    |g| – форма объема на (псевдо-)римановом многообразии M,e – единица группы,e – основание натурального логарифма,Γαβ

    γ – компоненты аффинной связности,ωαa

    b – компоненты линейной или лоренцевой связности,sgnσ(α1, . . . , αn) – знак перестановки σ индексов α1, . . . , αn.

    Некоторые многообразия и классы объектов имеют специальные обозначения:

    ix

  • x Основные обозначения и соглашения

    Rn – n-мерное евклидово пространство,Rn+ – подпространство в R

    n, определяемое условием xn > 0,R1,n−1 – n-мерное пространство Минковского,Snr – n-мерная сфера радиуса r,Bnr – n-мерный шар радиуса r,Ck(M) – класс функций на многообразии M, непрерывных вместе с производными

    вплоть до k-го порядка,X (M) – множество гладких векторных полей на многообразии M,T (M) – множество гладких тензорных полей на многообразии M,M ≈ N – многообразие M диффеоморфно (гомеоморфно) многообразию N,G ≃ H – группа (алгебра, векторное пространство, . . . ) G изоморфна

    группе (алгебре, векторному пространству, . . . ) H,M → N – отображение множеств,M ∋ a 7→ b ∈ N – отображение элементов множеств,

    Антисимметризация по индексам обозначается квадратными скобками:

    A[ab] :=1

    2(Aab −Aba),

    A[abc] :=1

    6(Aabc + Abca + Acab −Abac −Aacb − Acba).

    В общем случае, когда имеется n индексов, сумма берется по всем n! перестановками делится на n!. При этом четные перестановки индексов входят со знаком плюс, анечетные – со знаком минус.

    Симметризация индексов обозначается круглыми скобками:

    A(ab) :=1

    2(Aab + Aba),

    A(abc) :=1

    6(Aabc + Abca + Acab + Abac + Aacb + Acba).

    Символ Кронекера δba является тождественным оператором, действующим в век-торном пространстве, и также равен единичной матрице. Например, в R4

    δba := diag (+ + ++) :=

    1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

    . (1)

    Для краткости, произведение символов Кронекера обозначается одним символом

    δab...def...h := δae δ

    bf . . . δ

    dh. (2)

    Иногда используется обобщенный символ Кронекера, помеченный шляпкой,

    δ̂ab...def...h := n!δ[aeδbf . . . δ

    d]h = n!δ

    a[e δ

    bf . . . δ

    dh], (3)

    который получается из произведения (2) антисимметризацией по верхним или ниж-ним индексам (что эквивалентно).

    Евклидова метрика δab имеет два нижних индекса и равна единичной матрице.Например, в четырехмерном евклидовом пространстве R4

    δab := diag (+ + ++) :=

    1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

    . (4)

  • xi

    Метрика Минковского в четырехмерном пространстве-времени R1,3 имеет вид

    ηab := diag (+−−−) :=

    1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

    . (5)

    Каноническая симплектическая форма в евклидовом пространстве R2n имеет вид

    ̟ :=

    (0 −11 0

    ), (6)

    где 1 – единичная n× n матрица.Готический шрифт

    A a B b C c D d E e F f G g H h I i

    J j K k L l M m N n O o P p Q q R r

    S s T t U u V v W w X x Y y Z z

    Используемый греческий шрифт

    α β Γ γ ∆ δ ǫ ε ζ η

    Θ θ ϑ ι κ Λ λ µ ν Ξ ξ

    o Π π ̟ ρ ̺ Σ σ ς τ

    Υ υ Φ φ ϕ χ Ψ ψ Ω ω

  • xii Основные обозначения и соглашения

  • Глава 1

    Введение

    После напоминания основных понятий теории множеств и введения обозначений,будет достаточно подробно рассмотрено евклидово пространство с различных точекзрения. Это сделано по двум причинам. Во-первых, чтобы подчеркнуть, что в евкли-довом пространстве можно задавать различные структуры, которые в дальнейшембудут обобщаться в аффинной геометрии. Во-вторых, чтобы при изложении аффин-ной геометрии не напоминать относительно сложные понятия геометрии Евклида.Далее рассматриваются евклидовы пространства и пространства Минковского низ-ших размерностей, которые играют важную роль в приложениях. В заключительнойглаве кратко изложены основы специальной теории относительности. При написанииВведения, которое содержит хорошо известный материал, использованы, в основном,монографии [1–17].

    1.1 Множества

    В математике некоторые исходные понятия не имеют определения. Эти понятия осно-ваны на интуиции и служат для определения других, более сложных, конструкций.Такими интуитивными понятиями являются множество и элемент множества.Под множеством понимают произвольную совокупность объектов, которые называ-ются элементами множества. Говорят, что множество состоит из своих элементов.Один из способов задания множества состоит просто в перечислении его элементов.

    Пример 1.1.1. Натуральные числа являются множеством, которое будем обозна-чать следующим образом:

    N := {1, 2, . . . } .Множество натуральных чисел не определяется и лежит в основе всей математики.

    Пример 1.1.2. Множество целых чисел, включающее нуль и все отрицательныечисла, будем обозначать

    Z := {. . .− 2,−1, 0, 1, 2, . . .}Как правило, мы рассматриваем множество целых чисел Z как абелеву группу поотношению к сложению.

    Пример 1.1.3. Пусть m,n – произвольные целые числа, причем n 6= 0. Тогда мно-жество чисел вида m/n называется множеством рациональных чисел и обозначаетсяQ.

    1

  • 2 Глава 1. Введение

    Пример 1.1.4. Вещественные и комплексные числа также являются множествами.Для них приняты обозначения R и C.

    Множества натуральных, целых и рациональных чисел являются бесконечнымисчетными множествами, т.е. их элементы можно пронумеровать натуральнымичислами. Множества вещественных R и комплексных чисел C представляют собойпримеры несчетных множеств, поскольку их элементы невозможно пронумероватьнатуральными числами. Множество называется конечным, если оно состоит из ко-нечного числа элементов.

    Пример 1.1.5. Множество поворотов евклидовой плоскости R2 вокруг начала ко-ординат на угол π/2 является конечным и состоит из четырех элементов. Это –циклическая группа четвертого порядка.

    В большинстве случаев для обозначения множеств, таких как многообразия, груп-пы, и др. мы будем употреблять латинские буквы, напечатанные ажурным шрифтом,A,B,C, . . . . Иногда будут использоваться также заглавные буквы, напечатанные кур-сивом A,B, C, . . . .

    Синонимами понятий множества и элемента множества являются пространствои точка пространства. Разница в употреблении терминов множество и пространствосложилась исторически. О множестве векторов говорят, как о векторном простран-стве. Множество, снабженное топологией, называют топологическим пространством.Часто, говоря о пространстве, подразумевают, что оно, в отличие от множества,снабжено какой-либо дополнительной структурой, будь то топология или структу-ра векторного пространства. Множество элементов называется также семейством.Как правило, термин семейство употребляется тогда, когда его элементами являютсянекоторые множества.

    Если элемент x принадлежит множеству U, то мы пишем x ∈ U. В противномслучае применяется обозначение x /∈ U.Определение. Если каждый элемент множества U принадлежит также множествуV, то U является подмножеством V. Это обозначается U ⊂ V или V ⊃ U. Приэтом совпадение или равенство множеств U = V значит, что U ⊂ V и V ⊂ U. Этозаписывается в виде

    U = V ⇔ U ⊂ V и V ⊂ U,где стрелка ⇔ обозначает утверждение “тогда и только тогда”. Множество, не со-держащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅. Оно,по-определению, является подмножеством любого множества, ∅ ⊂ U, ∀U. Подмноже-ство U ⊂ V называется собственным, если оно не пусто и не совпадает со всем V:U 6= ∅ и U 6= V. Мы также пишем U ⊆ V, если либо U ⊂ V, либо U = V.

    Пример 1.1.6. Множество целых чисел Z имеет много подмножеств. Среди нихесть подмножества чисел, которые делятся без остатка на натуральное число n ∈ N,отличное от нуля. Это подмножество обозначается nZ ⊂ Z и получается умножениемкаждого целого числа на n.

    Подмножество элементов x ∈ U, удовлетворяющих некоторому свойству P обо-значается следующим образом

    {x ∈ U : P},где свойство P , как правило, задается некоторым уравнением или неравенством дляэлементов x.

  • 1.1. Множества 3

    Пример 1.1.7. Множество положительных и отрицательных вещественных чиселопределяется равенствами:

    R+ := {x ∈ R : x > 0},R− := {x ∈ R : x < 0}.

    Определение. Объединение, пересечение и разность двух множеств U и V обозна-чается соответственно через

    U ∪ V := {x ∈ U или x ∈ V},U ∩ V := {x ∈ U и x ∈ V},U \ V := {x ∈ U : x /∈ V}.

    Если U ∩ V = ∅, т.е. множества U и V не содержат общих элементов, то они называ-ются непересекающимися. Если множество V является подмножеством в U, V ⊂ U,то разность U \ V называется дополнением к V в U.

    Из определения, очевидно, следует

    Предложение 1.1.1. Пусть V ⊂ U и W = U \ V, тогда W ∪ V = U и W ∩ V = ∅.

    Замечание. Операции объединения, пересечения и дополнения соответствуют ло-гическим связкам “или”, “и”, “нет”.

    Предложение 1.1.2. Операции объединения, пересечения и дополнения множествудовлетворяют тождествам:

    M \ (U ∪ V) = (M \ U) ∩ (M \ V),M \ (U ∩ V) = (M \ U) ∪ (M \ V) (1.1)

    и

    M ∩ (U ∪ V) = (M ∩ U) ∪ (M ∩ V),M ∪ (U ∩ V) = (M ∪ U) ∩ (M ∪ V).

    Доказательство. Выполняется простой проверкой. Рис.1.1 иллюстрирует формулы(1.1).

    MM

    U

    U V

    V

    Рис. 1.1: Объединение, пересечение и дополнение множеств. Слева и справа затем-нены те области, которые соответствуют равенствам (1.1).

  • 4 Глава 1. Введение

    Определение. Пусть M1 и M2 – два непустых множества, тогда их прямым или де-картовым произведением M1×M2 называется множество упорядоченных пар (x1, x2),где x1 ∈ M1 и x2 ∈ M2:

    M1 ×M2 := {(x1, x2) : x1 ∈ M1, x2 ∈ M2}.

    Если одно из множеств M1 или M2 пусто, то их прямое произведение пусто.

    Для того, чтобы понятие множества было более содержательным, на нем вводятсяразличные структуры. Важным примером является упорядочение.

    Определение. Множество M называется частично упорядоченным, если на немзадано бинарное отношение ≤, удовлетворяющее следующим условиям:

    x ≤ x, – рефлексивность,x ≤ y и y ≤ z ⇒ x ≤ z, – транзитивность,x ≤ y и y ≤ x ⇒ x = y, – антисимметричность.

    В общем случае может оказаться, что для некоторой пары элементов соотношение≤ не определено. Если для любой пары элементов x, y ∈ M либо x ≤ y, либо y ≤ x,то множество M называется линейно упорядоченным или цепью.

    Пример 1.1.8. Множество всех подмножеств P(M) множества M является частичноупорядоченным по отношению включения ⊆. Если множество состоит из двух эле-ментов M := {x, y}, то его подмножествами являются ∅, {x}, {y} и {x, y}. Оно неявляется линейно упорядоченным, т.к. для подмножеств {x} и {y} отношение ⊆ неопределено.

    Пример 1.1.9. Множество вещественных чисел R, где символ ≤ означает “меньшеили равно”, является линейно упорядоченным.

    1.2 Поле вещественных чисел R и прямая

    В геометрии к неопределяемым понятиям относится прямая линия или, короче, пря-мая, которую будем обозначать буквой R. При этом ее представляют как отрезок,начерченный по линейке и мысленно продолженный до бесконечности в обе сторо-ны. Прямая линия находится во взаимно однозначном соответствии с полем веще-ственных (действительных) чисел. Другими словами, прямая является нагляднымизображением поля вещественных чисел. На ней выбирается произвольная точка,начало отсчета, которой ставится в соответствие число нуль. Затем каждому поло-жительному числу x ∈ R+ ставится в соответствие точка, лежащая справа от нуляна расстоянии, равном этому числу. Каждому отрицательному числу x ∈ R− ставит-ся в соответствие точка, лежащая слева от начала отсчета на расстоянии, равноммодулю этого числа. При этом расстояние измеряется с помощью линейки, а числоx называется координатой точки. Таким образом между точками прямой и веще-ственными числами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Суммируя,можно сказать, что прямая это не более, чем наглядный образ вещественных чисел.

    Расстояние l между двумя точками a ∈ R и b ∈ R, по-определению, равно моду-лю разности двух вещественных чисел l(a, b) = |b − a|. Его можно записать в виде

  • 1.2. Поле вещественных чисел R и прямая 5

    интеграла

    l(a, b) :=

    ∣∣∣∣∣∣

    b∫

    a

    dxg

    ∣∣∣∣∣∣= |b− a|, g = 1. (1.2)

    Здесь введена функция g, равная единице, которая называется метрикой. Метрикав (1.2) всюду равна единице и называется евклидовой. В дифференциальной геомет-рии понятие расстояния обобщается за счет расширения класса рассматриваемыхметрик. Понятие же евклидовой метрики чрезвычайно важно, т.к. служит той точ-кой отсчета, с которой сравниваются все остальные метрики.

    Координаты точек складываются и умножаются так же, как и обычные веще-ственные числа. Для вещественных чисел определены две операции: сложение иумножение. По отношению к сложению вещественные числа образуют абелеву груп-пу. Напомним общие определения и основные сведения из теории групп.

    Определение. Непустое множество G называется группой, если выполнены четыреусловия:

    1) Закон композиции. Каждой паре элементов a, b ∈ G сопоставляется третийэлемент этого же множества, называемый произведением элементов и обозна-чаемый a · b или ab. Закон композиции называется также бинарной операцией.

    2) Закон ассоциативности. Для любых трех элементов a, b, c ∈ G имеет месторавенство

    (ab)c = a(bc).

    3) В G существует левая единица e:

    ea = a, ∀a ∈ G.

    4) Для каждого элемента a ∈ G существует по крайней мере один левый обрат-ный элемент a−1 ∈ G:

    a−1a = e.

    Множество элементов с одной бинарной операцией, которая удовлетворяет толькоусловию ассоциативности, называется полугруппой. Полугруппа с единичным эле-ментом называется моноидом. Если для любых двух элементов ab = ba, то группа(или полугруппа) называется коммутативной или абелевой. В противном случаегруппа (или полугруппа) называется неабелевой.

    Пример 1.2.1. Пусть nZ – множество целых чисел, делящихся на n, где n – про-извольное натуральное число. Это множество содержит число 0 при всех n, и в немопределены операции сложения (+) и умножения (·). Пара (nZ,+) является комму-тативной группой, где роль единицы выполняет число 0. Обозначим через nZ+ всенеотрицательные числа из nZ. Тогда пара (nZ+,+) будет коммутативным моноидом.Если n ≥ 2, то пара (nZ, ·) является коммутативной полугруппой без единицы.Пример 1.2.2. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство R3 с декартовымикоординатами x, y, z. Пусть G – множество всех отображений R3 в себя. Под компо-зицией двух отображений мы понимаем их последовательное выполнение. В предло-жении 1.4.1 будет доказано, что композиция отображений произвольного множестваявляется ассоциативной операцией. Множество отображений G содержит единицу,которой является тождественное отображение, оставляющее точки евклидова про-странства неподвижными. Ясно, что множество всех отображений представляет со-бой некоммутативный моноид. В общем случае множество отображений G группу

  • 6 Глава 1. Введение

    не образует, т.к. содержит, например, проекцию на плоскость x, y, которая не имеетобратного отображения.

    В дифференциальной геометрии изучаются чаще всего такие преобразованиямногообразий, которые образуют группу. Поэтому опишем некоторые свойства группболее подробно.

    Предложение 1.2.1. Каждая левая единица e ∈ G является одновременно и пра-вой единицей, ae = a для всех a ∈ G. Единица в группе единственна. Каждый левыйобратный элемент a−1 ∈ G одновременно является и правым обратным элементом,aa−1 = e. Обратный элемент a−1 для всех a ∈ G единственен. Справедливо правило(ab)−1 = b−1a−1.

    Доказательство. Приведено в большинстве учебников по теории групп.

    Определение. Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конеч-ной. При этом количество элементов в группе называется порядком группы. Группа,состоящая из степеней одного элемента a называется циклической. Если цикличе-ская группа имеет порядок n, то она обозначается Cn, и an = e. Циклические группыобязательно абелевы. Кручением конечно порожденной абелевой группы G (т.е. ко-гда любой элемент группы G представим в виде конечного произведения некоторыхэлементов и их обратных), называется ее подгруппа, состоящая их всех элементовконечного порядка. Говорят, что конечно порожденная абелева группа не имеет кру-чения, если в ней нет элементов конечного порядка, т.е. не существует элементаконечная положительная степень которого равна единице.

    Замечание. В дифференциальной геометрии термин кручение имеет совершеннодругой смысл (см. раздел 5.3).

    Пример 1.2.3. Множество невырожденных (с отличным от нуля определителем)квадратных n × n матриц над полем вещественных или комплексных чисел пред-ставляют собой группы по отношению к умножению матриц, которые обозначаютсяGL(n,R) и GL(n,C). Эти группы при n > 1 некоммутативны (неабелевы).

    Пример 1.2.4. Группа вращений трехмерного евклидова пространства O(3) и груп-па Лоренца O(1, 3) являются неабелевыми.

    Пример 1.2.5. Два целых числа 1 и −1 с обычным умножением образуют цик-лическую группу Z2. Ее также отождествляют с группой одномерных вращений,Z2 = O(1).

    Пример 1.2.6. Множество всех целых чисел Z образует бесконечномерную цикличе-скую группу по отношению к сложению. Она порождена одним элементом – числом1 – и не имеет кручения.

    Пример 1.2.7. Дробно-линейные преобразования расширенной комплексной плос-кости

    C ∋ z 7→ az + bcz + d

    ∈ C, a, b, c, d ∈ C, ad− bc 6= 0 (1.3)

    образуют группу Ли, которая называется группой Мёбиуса. Эта группа шести пара-метрическая, т.к. числитель и знаменатель можно разделить на произвольное отлич-ное от нуля комплексное число, и изоморфна группе невырожденных комплексныхматриц SL(2,C).

  • 1.2. Поле вещественных чисел R и прямая 7

    Определение. Пусть H ⊂ G – подгруппа группы G, т.е. элементы H сами по себеобразуют группу. При этом единица подгруппы H совпадает с единицей группы G.Обозначим через aH и Ha множество элементов вида ah и ha, где a – некоторыйфиксированный элемент группы G, а элемент h ∈ H пробегает всю подгруппу H.Множества элементов aH и Ha, где a ∈ G, называются левым и правым смежнымиклассами группы G по подгруппе H. Если a ∈ H, то левый и правый смежный класссовпадает с H.

    Нетрудно проверить, что два левых смежных класса по H либо совпадают, либоне имеют ни одного общего элемента. Поэтому любой элемент группы принадлежитодному и только одному левому смежному классу, и его можно рассматривать какпредставитель этого класса. Под произведением двух левых смежных классов aH иbH понимается множество всех элементов вида cd, где c ∈ aH и d ∈ bH.

    Сказанное выше верно и для правых смежных классов.

    Определение. Два элемента a′ и a группы G называются сопряженными, если онисвязаны преобразованием подобия

    a′ = bab−1,

    где b – некоторый элемент из G. Сопряженность элементов является отношениемэквивалентности (см. раздел 1.4) и определяет разбиение группы G на классы со-пряженных элементов. Подгруппа H′ ⊂ G называется сопряженной подгруппе H,если

    H′ = bHb−1,

    для некоторого b ∈ G. Очевидно, что единичные элементы сопряженных подгруппH и H′ совпадают. Подгруппа H отображается на себя для всех b ∈ G тогда и толь-ко тогда, когда подгруппа H содержит все элементы, сопряженные с ее элементами,что можно записать в виде bH = H b. Такая подгруппа называется нормальной под-группой или нормальным делителем. Ее также называют инвариантной подгруппой.Левые и правые смежные классы по нормальному делителю совпадают и образу-ют группу по отношению к операции умножения смежных классов. Действительно,пусть H – нормальный делитель группы G. Тогда для любых смежных классов aHи bH определено умножение

    aHbH = abHH = abH.

    То есть множество смежных классов образует группу само по себе, при этом рольединицы выполняет нормальная подгруппа H. Эта группа называется факторгруп-пой и обозначается G/H.

    Пример 1.2.8. Если в качестве подгруппы выбрать саму группу, H = G, то фак-торгруппа состоит из одного элемента – единицы, G/G = e.

    Определение. Множество всех элементов группы G, перестановочных с любым эле-ментом этой группы, является нормальным делителем и называется центром груп-пы. Центр всегда является абелевой подгруппой группы G.

    Для абелевых групп композицию двух элементов часто называют сложением ипишут a + b. Тогда группу G называют аддитивной группой или модулем. Вместоединичного элемента здесь фигурирует нулевой элемент:

    0 + a = a, ∀a ∈ G,

  • 8 Глава 1. Введение

    а обратный элемент обозначают −a:

    −a + a = 0.

    Очевидно, что любая подгруппа абелевой группы является нормальным делите-лем.

    Пример 1.2.9. Множество натуральных чисел N группы по отношению к сложениюне образует, т.к. не содержит ни нулевого, ни обратных элементов.

    Пример 1.2.10. Множества целых Z и вещественных чисел R образуют аддитив-ные группы по отношению к сложению. По сути дела, отсюда и пошло название“сложение” для групповой композиции в абелевых группах.

    Пример 1.2.11. По отношению к умножению вещественные числа группу не об-разуют, т.к. у нуля обратного элемента не существует. В то же время множествовещественных чисел без нуля образует абелеву группу по отношению к умножению.Эта группа является одномерной группой Ли и состоит из двух несвязных компонент:отрицательных и положительных чисел чисел R− ∪ R+. При этом e = 1 ∈ R+.Пример 1.2.12. Множество целых чисел с операцией сложения и отношением эк-вивалентности n+ p ∼ n, где натуральное число p ∈ N фиксировано, и n ∈ Z любое,представляет собой конечную циклическую группу Zp, состоящую из p элементов. Вкачестве элементов группы можно выбрать числа 0, 1, . . . , p − 1. В этом случае мыпишем n+ p = n mod p.

    Группу Zp можно описать также следующим образом. Обозначим через pZ под-группу целых чисел, состоящую из тех чисел, которые делятся на p без остатка.Множество pZ является нормальной подгруппой в Z. Тогда множества левых и пра-вых смежных классов совпадают и образуют фактор группу

    Zp = Z/pZ.

    При p = 2 эта группа изоморфна группе, рассмотренной в примере 1.2.5.

    Определение. Прямым произведением двух групп G1 и G2 называется группа G =G1×G2, образованная всеми упорядоченными парами (a1, a2), где a1 ∈ G1 и a2 ∈ G2,с умножением, определяемым формулой

    (a1, a2)(b1, b2) = (a1b1, a2b2),

    для всех a1, b1 ∈ G1 и a2, b2 ∈ G2.Если группы G1 и G2 конечны, то порядок группы G = G1×G2 равен произведе-

    нию порядков групп G1 и G2. Единицей группы G является пара (e1, e2), где e1 и e2– единицы соответственно в группах G1 и G2. При этом элементы вида (a1, e2), гдеa1 пробегает всю группу G1, образуют подгруппу в прямом произведении G1 × G2,которая изоморфна G1. Аналогично, элементы вида (e1, a2) образуют подгруппу вG1 ×G2, изоморфную G2.

    Если у групп G1 и G2 нет общих элементов, то элемент их прямого произведения(a1, a2) можно записывать просто a1a2, причем a1e2 = a1 и e1a2 = a2.

    Пример 1.2.13. Любая размерная величина в физике является прямым произве-дением числа и единицы измерения. Выражения вида “сила = масса × ускорение”также являются прямыми произведениями.

  • 1.2. Поле вещественных чисел R и прямая 9

    Вещественные числа R представляют собой множество с двумя бинарными опе-рациями. А именно, для двух произвольных чисел a, b ∈ R однозначно определенаих сумма a+ b и произведение ab. Вещественные числа представляют собой частныйслучай множества, которое называется в алгебре кольцом.

    Определение. Непустое множество с двумя бинарными операциями называетсякольцом, если выполняются следующие условия.

    Законы сложения.1) Закон ассоциативности: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.2) Закон коммутативности: a+ b = b+ a.3) Разрешимость уравнения a + x = b для всех a и b.Закон умножения.1) Закон ассоциативности: a(bc) = (ab)c.Законы дистрибутивности.1) a(b+ c) = ab+ ac.2) (b+ c)a = ba+ ca.

    Если умножение в кольце коммутативно, то говорят о коммутативном кольце.

    Три закона сложения означают в совокупности, что элементы кольца образуютабелеву группу (модуль) по отношению к сложению. Если кольцо обладает правым илевым единичным элементом одновременно, ea = ae = a, то он называется единицей,и говорят о кольце с единицей. В общем случае левые и правые единицы у кольцамогут различаться, а единиц может быть несколько.

    Пример 1.2.14. Минимальное конечное кольцо состоит из двух элементов 0 и 1 соследующей таблицей сложения и умножения

    0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0,

    0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1.

    Это кольцо коммутативно, т.к.

    1 · 0 = 1 · (1 + 1) = 1 · 1 + 1 · 1 = 1 + 1 = 0.

    Пример 1.2.15. Множество целых чисел с операцией сложения и умножения обра-зуют коммутативное кольцо с единицей.

    Определение. Кольцо, для каждого элемента которого a2 = a, называется булевым.

    Определение. Кольцо называется телом, если:1) в нем есть по крайней мере один элемент, отличный от нуля;2) уравнения ax = b и xa = b при a 6= 0 разрешимы.

    Коммутативное тело называется полем или рациональным кольцом.

    Замечание. Тело, как и кольцо, является аддитивной группой (модулем) по отно-шению к сложению, однако не является группой по отношению к умножению, т.к.у нуля в общем случае нет обратного элемента. Операции сложения и умножения вполе связаны дистрибутивными законами.

  • 10 Глава 1. Введение

    Пример 1.2.16. Множества рациональных Q и действительных R чисел с естествен-ными операциями сложения и умножения являются полями. При этом Q ⊂ R. Целыечисла образуют подкольцо поля рациональных чисел Z ⊂ Q.

    Следующий пример показывает, что из одного поля можно построить другие по-ля.

    Пример 1.2.17. В дальнейшем мы будем рассматривать не только вещественныемногообразия, но и комплексные. Поэтому напомним основные определения для ком-плексных чисел. Рассмотрим упорядоченную пару вещественных чисел (a, b), гдеa, b ∈ R. Будем считать две пары (a, b) и (c, d) равными, если a = c и b = c. Введемна множестве пар операции сложения и умножения следующим образом:

    (a, b) + (c, d) := (a + b, c+ d),

    (a, b)(c, d) := (ac− bd, ad+ bc).

    Нетрудно проверить, что все аксиомы поля для множества пар выполнены.

    Определение. Множество пар (a, b) с введенными выше операциями сложения иумножения называется полем комплексных чисел и обозначается z := (a, b) ∈ C.

    Множество комплексных чисел вида (a, 0) ∈ C можно отождествить с множествомвещественных чисел a ∈ R. Тогда поле вещественных чисел является подполем полякомплексных чисел, R ⊂ C.

    Определим умножение пар (a, b) ∈ C на вещественные числа:

    c(a, b) := (a, b)c := (ca, cb), c ∈ R.

    Множество комплексных чисел с операцией сложения и умножения на вещественныечисла образует двумерное векторное пространство. В качестве базиса этого вектор-ного пространства выберем пары:

    e1 := (1, 0), e2 := (0, 1).

    Теперь произвольное комплексное число можно представить в виде

    (a, b) = ae1 + be2.

    Базисный вектор e1 при умножении ведет себя как единица: ze1 = e1z = z. Поэтомуего можно отождествить с единицей. Для второго элемента базиса принято обозна-чение i := (0, 1). Его называют мнимой единицей. Нетрудно проверить, что i2 = −1.Обычно комплексные числа записывают в виде

    z = a+ ib, a, b ∈ R, z ∈ C.

    Определение. Множество комплексных чисел z = (a, b) отождествляется с евкли-довой плоскостью C ≈ R2, где вещественные числа a и b рассматриваются в качестведекартовых координат. В этом случае множество комплексных чисел называется ком-плексной плоскостью. При этом ось абсцисс называется действительной осью, а осьординат – мнимой осью.

  • 1.2. Поле вещественных чисел R и прямая 11

    Линейная структура евклидовой плоскости R2, рассматриваемой как векторноепространство (см. раздел 1.3.3), совпадает с линейной структурой комплексных чи-сел C. Однако скалярное умножение векторов в R2 не имеет никакого отношения кумножению комплексных чисел.

    Пусть z = a+ ib ∈ C. Тогда |z| :=√a2 + b2 – это евклидово расстояние от начала

    координат до точки z. Пусть ϕ – угол между положительным направлением осиабсцисс и радиус-вектором точки z определяется уравнениями:

    cosϕ =a√

    a2 + b2, sinϕ =

    b√a2 + b2

    , |z| 6= 0, ϕ ∈ [0, 2π).

    Тогда приняты следующие обозначения и названия:

    a := re z – действительная часть z,

    b := im z – мнимая часть z,

    z̄ := a− ib – число, комплексно сопряженное к z,|z| :=

    √a2 + b2 – модуль z,

    arg z := ϕ+ 2πk, k ∈ Z, – аргумент z.

    (1.4)

    Функция arg z определена с точностью до прибавления целого кратного 2π.Для комплексных чисел часто используют тригонометрическую запись:

    z = r eiϕ = r cosϕ + ir sinϕ, r := |z|.

    При этомz̄ = r e−iϕ = r cosϕ− ir sinϕ.

    Определение. В теории функций комплексного переменного часто используют рас-ширенную комплексную плоскость C, которая получается из комплексной плоскостиC добавлением бесконечно удаленной точки z = ∞. На этом множестве вводится сле-дующая топология. Если подмножество U ⊂ C не содержит бесконечно удаленнойточки ∞, то оно считается открытым, если оно открыто в C. Если подмножествоU содержит точку ∞, то оно считается открытым в C, если его дополнение явля-ется компактом в C. Как правило, открытыми окрестностями точки ∞ мы будемсчитать дополнения C \ BR замкнутых дисков BR радиуса R до всей расширеннойкомплексной плоскости C. Расширенную комплексную плоскость называют такжекомплексной сферой или сферой Римана.

    Комплексная плоскость C с естественной топологией евклидова пространства яв-ляется некомпактным многообразием. При добавлении бесконечной точки мы ме-няем топологию комплексной плоскости (теперь, например, точки (−∞, 0) и (∞, 0)близки). В результате получаем компактное топологическое пространство – сферуРимана C (см. раздел 1.3.2). Комплексная сфера является компактификацией ком-плексной плоскости (см. раздел 1.4.1), которая осуществляется с помощью стерео-графической проекции.

    На сфере Римана C мы определили топологию, которая отличается от тополо-гии комплексной плоскости C. Эта топология является метрической. Соответствую-щую метрику можно определить следующим образом. С помощью стереографиче-ской проекции (см. раздел 24.1) устанавливаем взаимно однозначное соответствиемежду точками расширенной комплексной плоскости и обычной сферой, вложенной

  • 12 Глава 1. Введение

    в трехмерное евклидово пространство, S2 →֒ R3. Затем определяем расстояние меж-ду точками расширенной комплексной плоскости как обычное евклидово расстояниемежду точками сферы S2. Это расстояние определяет на расширенной комплекснойплоскости метрику, которая называется хордовой и отличается от исходной евкли-довой метрики. Явные выражения для хордовой метрики нам не понадобятся, и мыне будем их приводить (см., например, [18]). Заметим, что при работе с расширен-ной комплексной плоскостью в ТФКП используют, как правило, не хордову метрику,которая определяет топологию, а обычную евклидову метрику как более наглядную.

    Очевидно, что сфера Римана не несет структуры поля или векторного простран-ства. Эти структуры можно определить только на подмножестве C ⊂ C. Тем не менеедля каждой точки p ∈ C отображение z 7→ 1

    z−p , определенное обычным образом при

    z ∈ C \ {p}, можно продолжить до биекции множества C на себя, если положить10:= ∞ и 1∞ := 0.

    Определение. Говорят, что поле F имеет х