« Calcul différentiel et intégral : sa naissance, sa ... ?· Le calcul différentiel et intégral…

  • Published on
    10-Sep-2018

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 1 </p><p>Master Mathmatiques et applications : Enseignement et formation. </p><p>Histoire des sciences mathmatiques 1 </p><p>Elments dhistoire de lanalyse 1/2 : </p><p> Calcul diffrentiel et intgral : sa naissance, sa diffusion et la question de ses fondements </p></li><li><p>Plan du cours (1/2) </p><p>Introduction lieux de science et circulation des savoirs au XVIIIe sicle : - Les lieux de science : les acadmies - Les correspondances - Les journaux et priodiques </p><p>II. La diffusion et le triomphe du calcul leibnizien </p><p>1. Les premiers pas du calcul diffrentiel et intgral en Europe 2. Son introduction lAcadmie des sciences de Paris 3. Son application diffrents problmes mchaniques 4. Lalgorithmisation de la science du mouvement </p><p>I. La naissance dun nouveau calcul </p><p>1. Un long hritage... 2. Le calcul fluxionnel newtonien 3. Le calcul diffrentiel et intgral leibnizien 4. La polmique sur linvention du nouveau calcul </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 2 </p></li><li><p>Plan du cours (2/2) </p><p>III. La question des fondements </p><p>1. La rsistance de lAcadmie royale des sciences de Paris 2. LAnalyste de Berkeley (1734) 3. Le Treatise of Fluxions de Maclaurin (1742) 4. Larticle Calcul diffrentiel de DAlembert dans lEncyclopdie 5. La Thorie des fonctions analytiques de Lagrange (1797) 6. La synthse de Franois-Sylvestre Lacroix (1797-1798) 7. Cauchy et leffort de rigueur en Analyse </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 3 </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 4 </p><p>Introduction (1/3) Les lieux de science : les acadmies </p><p> LAcadmie royale des sciences de Paris : - Cre par Colbert en 1666. LObservatoire de Paris nat en 1667 sous limpulsion de lAcadmie. - Le 20 janvier 1699, Louis XIV lui attribue son premier rglement. Elle reoit le titre dAcadmie royale et est installe au Louvre. Elle fonctionnera avec ce rglement jusquen 1793, date de sa suppression par la Convention. </p><p> La Royal Society de Londres : existe depuis 1661, elle ne reoit aucun financement de la couronne et vit des cotisations de ses membres (qui devinrent fort nombreux). </p><p> Au XVIIIe sicle, les Acadmies se multiplient en Europe : lAcadmie de Berlin, cre en 1700 sous limpulsion de Leibniz, reconnue en 1711 et rorganise par Frdric II en 1744 ; lAcadmie de Petersbourg, cre en 1724, accueille de nombreux savants trangers (Daniel Bernoulli, Euler) ; lAcadmie de Turin (o Lagrange fait ses dbuts), les Acadmies de Bologne, de Lisbonne, de Gttingen, dEdinburgh, etc. </p><p> En France, on assiste de mme la naissance de nombreuses acadmies en Province (Montpellier, Lyon, Toulouse, etc.), de lAcadmie de Marine de Brest, etc. </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 5 </p><p>Introduction (1/3) Les lieux de science : les acadmies </p><p>Jean-Baptiste Colbert prsentant les membres de lAcadmie royale des sciences Louis XIV (H. Testelin, daprs une gravure de Lebrun) </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 6 </p><p>Introduction (2/3) Les correspondances </p><p>Le rseau de correspondance de DAlembert (1717-1783) [document ralis par I. Passeron] </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 7 </p><p>Introduction (2/3) Les correspondances </p><p>Le rseau de correspondance dEuler (1707-1783) [document ralis par S. Bodenmann] </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 8 </p><p>Introduction (3/3) Les journaux et les priodiques </p><p>8 </p><p> Limpressionnante masse de travaux scientifiques des acadmiciens (en particulier) se traduit par une multiplication des journaux, gazettes, revues et publications priodiques. </p><p> Les priodiques acadmiques : </p><p>Fondes en 1665, les Philosophical Transactions correspondent la premire </p><p>revue strictement scientifique. </p><p>Les volumes de lHistoire de lAcadmie </p><p>royale des science de Paris. </p><p> Les journaux : </p><p>Le Journal des savants nat en 1665. Il traite de </p><p>mathmatiques, de philosophie naturelle, dhistoire, etc. </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 9 </p><p>I. La naissance dun nouveau calcul </p><p>Isaac Newton (1643-1727) </p><p>Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 10 </p><p>Un long hritage... </p><p> Le calcul diffrentiel : dtermination des tangentes associes une courbe donne. </p><p>- mthodes analytiques de Fermat et Descartes (XVIIe sicle). - mthode gomtrique dIsaac Barrow (XVIIe sicle). </p><p> Le calcul intgral : dtermination des aires comprises sous une courbe donne. </p><p>- la mthode dexhaustion : Eudoxe de Cnide, Euclide, Archimde, Thabit ibn Qurra, Ibn Al-Haytham... - au XVIe sicle, Simon Stevin et Luca Valerio omettent le double raisonnement par labsurde, Kepler abandonne les procds classiques, Cavalieri, Roberval et Grgoire de Saint-Vincent dveloppent la mthode des indivisibles. - les mthodes de quadrature de Fermat et de Pascal au XVIIe sicle. </p><p> La dcouverte du calcul diffrentiel et intgral tient galement la constatation que ces deux calculs forment deux oprations rciproques : </p><p>- Isaac Barrow est le premier reconnatre ce lien, mais son approche gomtrique lempche den tirer parti. </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 11 </p><p>Un long hritage... </p><p> Indpendamment lun de lautre, Newton et Leibniz rordonnent et systmatisent lensemble de ces rsultats. </p><p> Ils inventent des procds algorithmiques de calcul facilement utilisables. </p><p> Ils identifient et manipulent le problme des tangentes comme le problme inverse des quadratures, et vice-versa. </p><p> La gnralit de leurs mthodes va permettre lanalyse infinitsimale de devenir une branche autonome, indpendante de la gomtrie. </p><p> Leurs travaux dans ce domaine ne sont pas dnus de considrations mtaphysiques (dans le cadre de leurs tentatives de justification du nouveau calcul)... </p><p>Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) </p><p>Isaac Newton (1643-1727) </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 12 </p><p>I.1. Le calcul fluxionnel newtonien (1/3) </p><p> Entre 1664 et les annes 1690, Newton labore trois versions du calcul infinitsimal : </p><p>1669 Il communique son De analysi per aequationes numero terminorum infinitas quelques mathmaticiens anglais (mais ne le publiera pas avant 1711) </p><p>Il y nonce trois rgles : </p><p>Rgle 1 : </p><p>Rgle 2 : </p><p>Rgle 3 : </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 13 </p><p>I.1. Le calcul fluxionnel newtonien (2/3) 1670-1671 Rdaction du De methodis serierum et fluxionum (publi en 1736 !) </p><p>Newton dfinit un algorithme de calcul dinspiration cinmatique : </p><p> cet algorithme sapplique des quantits qui fluent au cours du temps (le mouvement dun point gnre une ligne, celui dune ligne une surface, etc.) les quantits gnres par ce mouvement sont appeles les fluentes les vitesses instantanes correspondantes sont appeles fluxions les moments correspondent aux incrments infiniment petits par lesquels les quantits augmentent au cours de chaque intervalle infinitsimal de temps. </p><p>avec o un intervalle infinitsimal de temps (notations introduites par Newton dans le courant des annes 1690). </p><p>1670-1671 Dans le courant des annes 1670, Newton prend ses distances avec la nouvelle analyse et abandonne le calcul des fluxions analytique au profit dune gomtrie des fluxions sans infiniment petits. </p></li><li><p>I.1. Le calcul fluxionnel newtonien (3/3) 1680 (env.) Newton compose le Geometrica curvilinea </p><p>Il y introduit la mthode des premire et dernires raisons et propose, grce elle, une reformulation du calcul des fluxions. Les quantits considres sont gomtriques et ne sont plus infinitsimales. </p><p>1687 Publication des Principia mathematica philosophiae naturalis Les Principia contiennent un expos du calcul des fluxions (le premier tre publi par Newton !) proche de celui du Geometrica curvilinea. </p><p>1691-1692 Rdaction du De quadratura curvarum (publi en 1704) Le trait contient une version analytique du calcul expos dans le Geometrica curvilinea et les Principia. </p><p>Notion de limite dun rapport de </p><p>deux quantits </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 14 </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 15 </p><p>I.2. Le calcul diffrentiel et intgral leibnizien (1/2) </p><p> Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus , Acta Eruditorum, octobre 1684. </p><p> De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum , Acta Eruditorum, juin 1686. </p><p>- Texte court, elliptique et confus (publi la hte par crainte dune indlicatesse de Tschirnhaus) </p><p>- Introduction de la diffrentielle ( differentia ) et de sa notation </p><p>- Enonc des principales rgles de la diffrentiation - Introduction du quotient dy/dx pour exprimer la pente de la tangente en un point dune courbe. </p><p>- Le mmoire traite du problme des quadratures - Il est inspir dun mmoire de John Craig consacr aux quadratures et utilisant la notation diffrentielle introduite par Leibniz en 1684 </p><p>- Leibniz y introduit le symbole dintgration et dfinit les opration de sommation et de diffrentiation lune par rapport lautre. </p></li><li><p>I.2. Le calcul diffrentiel et intgral leibnizien (2/2) </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 16 </p></li><li><p>I.3. La polmique sur linvention du nouveau calcul </p><p> La querelle est initie par Nicolas Fatio de Duillier, proche de Newton, dans son Linea brevissimi descensus investigatio geometrica (1699) : </p><p> Convaincu par lvidence des faits, je reconnais que Newton fut le premier et de plusieurs annes le plus ancien inventeur de ce calcul. </p><p> Excessivement longue et violente, elle implique de nombreux proches des deux savants et gagne le terrain des mathmatiques en 1713, suite limplication de Jean Bernoulli par Leibniz, qui rpondait lui mme une accusation de plagiat manant de John Keill, proche de Newton (en 1711). </p><p> Elle finit par prendre des accents nationalistes, slargit aux newtoniens sopposant au leibniziens puis aux Britanniques contre les Continentaux </p><p> Un comit de la Royal Society est nomm pour arbitrer la dispute. Il tranche en faveur de Newton, qui prside linstitution depuis 1703 et rdige lui-mme le compte-rendu (publi de faon anonyme en 1715) : </p><p> Il faut [] quil [Leinitz] renonce au droit quil prtend avoir la mthode diffrentielle de M. Newton en tant que second inventeur : les seconds inventeurs nont pas de droit . </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 17 </p></li><li><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 18 </p><p>II. La diffusion du calcul leibnizien Gottfried Wilhelm </p><p>Leibniz (1646-1716) </p><p>Jacques Bernoulli (1654-1705) </p><p>Jean I Bernoulli (1667-1748) </p><p>Guillaume de lHospital </p><p>(1661-1704) Pierre Varignon </p><p>(1654-1722) </p></li><li><p> II.1. Les premiers pas du calcul diffrentiel et intgral en Europe </p><p> Dans une lettre du 15 dcembre 1687, Jacques Bernoulli demande des prcisions Leibniz sur son nouveau calcul. </p><p> Leibniz, en voyage en Allemagne, en Autriche et en Italie, met trois ans rpondre... Jacques Bernoulli, de mme que son frre Jean, sinitient donc seuls entre 1687 et 1690. </p><p> En contact troit, Leibniz, Jacques et Jean Bernoulli appliquent le nouveau calcul diffrents problmes lancs sous forme de dfis (dabord aux cartsiens par Leibniz, puis la communaut savante en gnral par lun des trois gomtres). </p><p> Les trois savants sont rejoints par le Marquis Guillaume de lHospital aprs son initiation au nouveau calcul par Jean Bernoulli loccasion du voyage de ce dernier Paris lhiver 1691-1692. </p><p>Jacques Bernoulli (1654-1705) </p><p>Jean I Bernoulli (1667-1748) </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 19 </p></li><li><p>II.2. Lintroduction du calcul lAcadmie royale des sciences de Paris </p><p> Guillaume de lHospital entre lAcadmie des sciences de Paris en juin 1693. En mai et aot 1693, puis en juin 1694, il soumet trois mmoires utilisant sans les dtailler les mthodes du calcul leibnizien. </p><p> En juin, juillet, septembre et novembre 1695, Pierre de Varignon fait la lecture de quatre mmoires utilisant le nouveau calcul. </p><p> En juin 1696, Guillaume de lHospital publie le premier trait de calcul diffrentiel : lAnalyse des infiniment petits pour lintelligence des lignes courbes. </p><p> Suite cette parution, Sauveur prsente le mme mois le nouveau calcul devant lAcadmie. </p><p>Pierre Varignon (1654-1722) </p><p>Guillaume de lHospital (1661-1704) </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 20 </p></li><li><p> II.3. Le nouveau calcul appliqu des problmes mchaniques </p><p> A partir des annes 1690, les rares savants initis au nouveau calcul (Leibniz, Jean Bernoulli, Jacques Bernoulli, Guillaume de lHospital et Varignon) se soumettent diffrents problmes sous forme de dfis par lintermdiaire de journaux, de priodiques, ou dans le cadre de leur correspondance (Huygens y participe aussi le plus souvent, mais sans utiliser le calcul diffrentiel et intgral, auquel il reste rfractaire). </p><p> Une large part de ces problmes a pour objet la dtermination de trajectoires dcrites, sous certaines conditions, par des corps en mouvement : </p><p>- le problme de la courbe isochrone : dtermination de lquation de la courbe suivie par un corps dcrivant des espaces gaux en des temps gaux. - le problme de la courbe brachystochrone : dtermination de lquation de la courbe dcrite entre deux points dans le temps le plus bref par un corps soumis la pesanteur. </p><p>- le problme de la catnaire ou de la chanette : dtermination de la courbe forme par un fil suspendu ses extrmits et soumis la pesanteur (donc son propre poids, rparti de faon uniforme). - le problme de la tractrice (courbes aux tangentes gales), etc. </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 21 </p></li><li><p> II.3. Le nouveau calcul appliqu des problmes mchaniques </p><p>Le problme de la courbe isochrone </p><p> En septembre 1687, Leibniz lance un dfi aux cartsiens : </p><p> Trouver une ligne de descente, dans laquelle le corps pesant descend uniform-ment, et approche galement lhorizon en temps gaux. LAnalyse de Messieurs les cartsiens le donnera peut-tre aisment. (Nouvelles de la Rpublique des Lettres, 1687, p. 956) </p><p> Octobre 1687 : publication dune premire solution par Christiaan Huygens ne faisant pas usage du calcul diffrentiel et intgral. </p><p> Avril 1689 : Leibniz publie sa solution mais ny a pas explicitement recours au nouveau calcul. </p><p> Mai 1690 : solution de Jacques Bernoulli (1re apparition du terme intgration ) </p><p> 1690 [?] : solution de Jean Bernoulli </p><p>Solutions en deux parties : - 1re partie : le problme physique est ramen un problme de gomtrie - 2e partie : rsolution de ce problme grce au calcul diffrentiel et intgral. </p><p>Le mardi 8 novembre 2011 Master Enseignement 22 </p></li><li><p> II.3. Le nouveau calcul appliqu des problmes mchaniques </p><p>Le problme de la courbe brachystochrone </p><p> En juin 1696, Jean Bernoulli lance un nouveau dfi : Datis in plano verticali duobos punctis A et B, assignaremobili M viam AMB, per quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B. (Acta Eruditorum, juin 1696, p. 269) </p><p> Dans sa lettre du 16 juin 1696, Leibniz fait parvenir une solution Jean Bernoulli. </p><p> Publication des solutions de Jacques Bernoulli, Jean Bernoulli et Guillaume de lHospital dans le numro de mai 1697 des Acta Eruditorum. </p><p> Toujours des solutions obtenues en deux tapes : - 1re tape : le problme physique est ramen un problme de gomtrie - 2e tape : rsolution de ce problme grce au calcul diffrentiel et intgral. </p><p>La courbe...</p></li></ul>

Recommended

View more >