第二章 行列式 (determinant )

§ 2.1 行列式的性质 2.1.1 概念 行列式的定义：

第二章 行列式 定义 1 对 n 阶矩阵 A ，删去其第 i 行第 j 列，得到 n-1 阶子矩阵，称为对应于元 a ij 的余子矩阵，记作 S ij 。

  定义 2 一阶矩阵 [a11] 的行列式的值为 a11 ，即， det[a11]= a11 ；对 n=2 ， 3 …， ，可以递归地定义 n 阶行列式之值：

• 定义 3 • 对于 n 阶矩阵 A 或 n 阶行列式 detA ，称

detS ij 为元 aij 的余子式，称 (-1) i+j detSij 为元aij 的代数余子式，记作 A ij ，即

问题：试计算 A 21 和 A 22 。

 n 阶行列式的值可以定义为 ( 计算公式 ) ：

一般地，称为行列式按行（第一行）展开。练习 1 ：利用该定义计算例 2 的 detA 。

补充内容 排列定义 由 1,2,…,n 组成的一个有序数组—— n 级排列。 例 32541 ， 12345 。定义 阶乘： n! = 1234…(n-1)n定义 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数成为该排列的逆序数。 例 32541 中， 32 ， 54 ， 31 ， 21 ， 51 ， 41都是逆序，所以排列的逆序数是 6 。

补充内容 排列定义 逆序数为偶数的排列——偶排列；逆序数为奇数的排列——奇排列。 例 32541 是偶排列， 32451 是奇排列。定义 对换 (i,j) ：在一个排列中互换两个数 i ， j 的位置，其余的数不动，可以得到一个新的排列，这样的变换称作为一个对换。 例 32541 42531 (3,4)定理 对换改变排列的奇偶性。定理 任意一个 n 级排列与排列 n! 都可以经过一系列对换互变，而且所作对换的个数与该排列具有相同的奇偶性。

补充内容 排列行列式的另一定义： 定义 1’

将定理 5 和定理 6 合并写成统一形式：n

ij kjj 1

a A det ikA d=

= *ån

ij iki 1

a A det jkA d=

= *å

练习 4 指出以下等式的正确性。对正确的以3 阶行列式验证，不正确的是否可以改成正确的？

(1) det(kA)=kdetA (2) det(A+B)=detA+detB (3) det(AB)=detAdetB (4) det(Ak) =(detA)k (5) det(kI)=k 。

2.2 行列式值的计算 对于高阶行列式，根据其定义来计算其值是不可取的，利用行列式的性质可以简化其值的计算。 例 5 计算行列式：

各行加入第一行

各行减去第一行

各列加入第一列

例 计算

解 构造

1 5 2 5 2 3 515 35

3 4 5 4 5 545 55

1 ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

V A x D x A

x A x A

将 V 按最后一列展开：

因为：

注意到多项式相等，则对应项的系数相等，所以， 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

1 4

( ) ( )j ii j

D x x x x x x x x x x x x x x

2.3 若干应用 2.3.1 转置伴随阵 逆阵公式 2.3.1.1 转置伴随阵 定义 4 对任一 n 阶矩阵 A=[aij] ，定义

A 的转置伴随矩阵，并记作 adjA ： adjA=[Aij]T=[Aji]

其中 Aij 是元 aij 在 A 中的代数余子式。例 11 设 计算 adjA 。

273342731

A

定理 9 设 A 是 n 阶矩阵， adjA 是其转置伴随矩阵，则有： A(adjA) = (adjA)A =(detA)E 。 2.3.1.2 逆矩阵公式 定理 10 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是 detA≠0 。 此时有逆阵公式：

例 12 判断例 11 的矩阵 A 是否可逆？若可逆则求出逆阵。

可得矩阵方程组： AW+BY=In

AX +BZ=0 CW+DY=0 CX+DZ=Ik

若 A 可逆，则可以得到 W=A-1 - A-1BY C A-1 - CA-1BY+DY=0又设 G=D - CA-1B 可逆，得到： Y= - G-1CA-1 因为， X= - A-1BZ ， DZ - CA-1BZ=Ik ，所以 Z= G-1

X= - A-1B G-1

这样就得到 M 的逆矩阵。

2.3.2 克拉默法则讨论 n x n 线性代数方程组的解：

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

在第 i 个方程两边乘以 （这是系数行列式中元 的代数余子式），然后相加，得到ikA ika

11 1 21 2 1 1

12 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( )( )( )( )

k k n nk

k k n nk

k k k k nk nk k

n k n k nn nk n k k n nk

a A a A a A xa A a A a A xa A a A a A xa A a A a A x b A b A b A

(2—24)

a,b,c,-1 看作未知量 !

最后不加证明地指出： 方阵 A 可 LU 分解的条件是 detA[k] ≠

0, K=1,2,…,n-1 ， A[k] 是矩阵 A 的 k 阶前主子矩阵。

行列式的计算题、证明题：(1)

1 2 3 2 1

1 0 0 0 00 1 0 0 0

0 0 0 1 00 0 0 0 1

n n n

n

a a a a a axx

D

xx

- -

--=

--

提示：前一列乘以 x 加入后一列。

(2)

00

0

n

x a a a a x a a a aa x a a a x a a

D a a x a a a x a

a a a x a a a x

+ -- - +

= - - = - + -

- - - - + - -

按此，将行列式拆分成两个行列式的和。

(3) 设 计算 1 2 3 2 1 0,n n na a a a a a- - ¹

1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

1 2 2

00

0

0

n

n

n

n n n

a a a a a aa a a a a a

D a a a a a a

a a a a a a

+ + ++ + +

= + + +

+ + +

采用两次加边的方法

1 2 3

1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

1 2 2

1 2 3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

10 00 00 0

0 0

1111

1

n

n

n

n

n n n

n

n n n n

a a a aa a a a a a

a a a a a aD

a a a a a a

a a a a a a

a a a aa a a a

a a a aa a a a

a a a a

+ + ++ + += + + +

+ + +

- -- -= - -

- -

再加边，构成 n+2 阶行列式。

解答步骤1 2 3

1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

1 2 2

1 2 31 2 3

1 1 1 11 1 1 1 1

2 2 2 22 2 2 2 2

3 3 3 33 3 3

10 00 00 0

0 0

1 0 0 0 0 01

0 11

11

11

1

1

n

n

n

n

n n n

nn

n n n n

a a a aa a a a a a

a a a a a aD

a a a a a a

a a a a a a

a a a aa a a a

a a a aa a a a a

a a a aa a a a a

a a a aa a a

a a a a

+ + ++ + += + + +

+ + +

- - - -- -= = - -- - -

- -3 3

1n n n n n

a a

a a a a a

-

- -

解答步骤然后，

i

1_ column* 1_ column2

1_ column*(- ) 2 _ column2*a

i th th

i th th

(4) 证明 f(x) 的根是 ，并求 f(x) 的多项式表达式，其中 1 2 3 2 1, , , , , ,n n na a a a a a- -

1 2 3 2 1

2 3 2 1

1 3 2 1

1 2 3 2 1

11

( ) 1

1

n n n

n n n

n n n

n n

a a a a a ax a a a a a

f x a x a a a a

a a a a a x

- -

- -

- -

- -

=

第 i 行减去第 1 行。

(5) 证明

1 1 2 2 1 1

0 0 01 0 00 1 0 00 0 00 0 0 1

n n n n n

x y xyx y xy

x yx y xy

x y

x x y x y x y y

- - -

++

++

+= + + + + +

按第 1 列分解成两个行列式之和。

习题P78 2-1,2-2,2-3,2-4 2-5,2-6,2-7 2-8 设 2-9 2-10 前面的题 (5) 。 END

2( )f x ax bx c