ВВедение - gov.md · Traducere din limba română: Ion Achiri Redactor: Valentina Rîbalchina Corector: Tatiana Bolgar Redactor tehnic: Nina Duduciuc Machetare computerizată:

3

ВВедениеРеализация качественного образования в современных условиях и в контексте

социально-экономических перспектив требует, чтобы конечные образовательные цели были сформулированы не столько в конкретных и прагматичных терминах, сколько с точки зрения будущих реальных потребностей формирования личности воспитуемого. Речь идет о новой педагогической парадигме, называемой педаго-гикой компетенций, и о внедрении функциональной дидактики, предусматрива-ющей формирование у учащихся системы компетенций, необходимых им для продолжения обучения и в жизни, предназначенных, в итоге, для их успешного социального интегрирования. Переход от куррикулума, основанного на целепо-лаганиях, к куррикулуму, основанному на формировании компетенций, требует проектирования новой педагогической модели для математики – модели, основан-ной на настоящем куррикулуме.

Школьный куррикулум по математике для X–XII классов является основ-ным дидактическим инструментом и нормативным документом, содержащим основные требования к изучению математики и результаты, которые долж-ны быть достигнуты учащимися лицея, выраженные соответствующими компетенциями, содержаниями и видами учебной и оценочной деятельности.

Куррикулум учебной дисциплины является составной частью Национального куррикулума Республики Молдова и предназначен для учителей, преподающих математику в лицеях. Он скоординирован с куррикулумом по математике для гим-назий и преследует цель формирования и развития компетенций, необходимых для продолжения образования в высших учебных заведениях и для подготовки выпускника к жизни и к самостоятельной деятельности.

Лицейское математическое образование должно способствовать максимальной реализации творческого потенциала учащихся. Настоящий куррикулум призван создавать благоприятные условия для каждого ученика с целью усвоения учебного материала, предусмотренного стадартизированными содержаниями, в собствен-ном, индивидуальном ритме, для формирования и развития запланированных компетенций и достижения соответствующих стандартов по математике.

Общая, открытая и гибкая модель построения данного куррикулума предостав-ляет авторам учебников, учителям, а также ученикам выбор по его реализации. Так, авторы учебников должны логически излагать и развивать темы, указанные в куррикулуме, операционализируя специфические компетенции, субкомпетенции и математические содержания в учебные задания и ситуации, представляющие со-бой опорные точки для учащихся в реализации их самостоятельного, активного учения, а для учителей – исходными точками в реализации качественного матема-тического образования.

Понимаемые как структурированные совокупности знаний, способностей, на-выков и отношений, полученных и сформированных в процессе обучения, ком-петенции позволяют идентифицировать и решать проблемы из данной области в различных контекстах. Такой тип куррикулумного проектирования основан на: фокусировании на конечные достижения в результате обучения, акцентировании на деятельностный аспект процесса формирования личности, корреляции с ожи-даниями общества в области образования. ISBN 978-9975-67-705-9

© Ministerul Educaţiei al Republicii Moldova. 2010© Traducere: Ion Achiri. 2010© Întreprinderea Editorial-Poligrafică Ştiinţa. 2010

CZU 51(073.3)M 34

Aprobat: la şedinţa Consiliului Naţional pentru Curriculum, proces-verbal nr. 9 din 23 februarie 2010; prin Ordinul ministrului educaţiei nr. 121 din 26 februarie 2010.

Elaborat în cadrul Proiectului „Modernizarea şi implementarea curriculumului din învăţămîntul secun-dar general şi dezvoltarea standardelor educaţionale din perspectiva şcolii prietenoase copilului”, finan-ţat de Reprezentanţa UNICEF în Republica Moldova.Editat în cadrul Proiectului „Educaţia de calitate în mediul rural din Moldova”, finanţat de Banca Mon-dială.

Echipele de lucru:Curriculumul modernizat (2010): Ceapa Valentina, consultant, Agenţia de Evaluare şi Examina-re a Ministerului Educaţiei, coordonator; Achiri Ion, doctor, conf. univ., Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei; Copăceanu Roman, profesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic Cărpineni, Hînceşti; Iavorschi Victor, inspector, Direcţia Generală Învăţămînt, Tineret şi Sport, Soroca; Jardan Vasile, profesor, grad didactic I, Liceul de Limbi Moderne şi Management, Chişinău; Şpuntenco Olga, pro-fesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic „Gaudeamus”, Chişinău.Ediţia II-a (2006): Achiri Ion, doctor, conf. univ., USM; Ceapa Valentina, consultant, MET; Co-păceanu Roman, profesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic Cărpineni, Hînceşti; Şpuntenco Olga, profesor, grad didactic superior, Liceul Teoretic „Gaudeamus”, Chişinău.Ediţia I (1999): Costiuc Lidia, specialist principal, MEŞ, coordonator; Achiri Ion, doctor, conf. univ., I.N.P.C.D.; Prodan Nicolae, doctor, conf. univ., USM; Efros Petru, doctor, conf. univ., USM; Garit Valentin, doctor, conf. univ., USM; Ceapa Valentina, Liceul Teoretic „Gaudeamus”, Chişinău; Şpuntenco Olga, Liceul Teoretic „Gaudeamus”, Chişinău.

Traducere din limba română: Ion AchiriRedactor: Valentina RîbalchinaCorector: Tatiana BolgarRedactor tehnic: Nina DuduciucMachetare computerizată: Anatol AndriţchiCopertă: Vitalie Ichim

Întreprinderea Editorial-Poligrafică Ştiinţa,str. Academiei, nr. 3; MD-2028, Chişinău, Republica Moldova;tel.: (+373 22) 73-96-16; fax: (+373 22) 73-96-27;e-mail: [email protected]

Descrierea CIP a Camerei Naţionale a CărţiiМатематика: Куррикулум для 10–12 кл. / Min. Educaţiei al Rep. Moldova; trad.: I. Achiri. – Ch.:

Î.E.P. Ştiinţa, 2010 (Tipografia „Elena V.I.” SRL). – 60 p. – (Curriculum naţional)Bibliogr.: p. 60 (15 tit.)

ISBN 978-9975-67-705-951(073.3)

Imprimare la Tipografia „Elena V.I.” SRL, str. Academiei, 3;MD-2028, Chişinău, Republica Moldova

4 5

Организация учебного процесса школьной дисциплины Математика:

Статус дисцип-

линыКуррику лумное

направление Класс

Количество единиц содержания

Количество часов в учебном году

Реальныйпрофиль

Гуманитар -ный профиль

Реальныйпрофиль

Гуманитар-ный профиль

Обяза-тель ная дис ци- пли на

Математи ка и естественные дисциплины (математика, физика, химия, биология, ин-форматика)

X 92 61 170 102

XI 81 45 170 102

XII 49 44 170 102

I. дидактическая концепция школьной учебной дисциплиныИзучение математики в лицее, согласно современной педагогической модели,

предусматривает формирование и развитие компетенций, способствующих мак-симальной реализации творческого потенциала выпускника лицея и необходи-мых ему для продолжения обучения на следующих ступенях образования и/или для оптимальной социальной или профессиональной интеграции. Следовательно, математика является школьной учебной дисциплиной, обязательной для изуче-ния во всех классах и для всех профилей, а также фундаментальной для усвоения остальных школьных дисциплин.

Компетенция – это целостная совокупность/система знаний, способностей, навыков и ценностных отношений, сформированных у учащихся в процессе обуче-ния и используемых при возникновении необходимости их применения, адаптиро-ванных к возрастным особенностям и когнитивному уровню учащегося для реше-ния проблем, с которыми он может столкнуться в действительности.

Итоговыми приобретениями учащихся, в контексте формирования компетен-ций, являются не совокупности информации, которую надо запомнить, а необхо-димость того, чтобы ученик:

– овладел системой фундаментальных знаний в соответствии с проблемой, ко-торую нужно, в итоге, решить;

– владел навыками для их осознания и способностями использования/приме-нения в простых/стандартных ситуациях, осуществив, тем самым, функциональ-ность добытых заний;

– находил решения различных проблемных ситуаций, осознавая, тем самым, используемые им функциональные знания;

– решал возникающие, в различных контекстах, проблемы окружающей дей-ствительности, используя, в итоге, необходимые знания, способности, навыки и отношения, т.е. применив соответствующую компетенцию.

В основу построения куррикулума по математике заложены следующие принципы:• преемственностьнауровнеклассовиобразовательныхступеней;• актуальностьподаваемойинформациииучетвозрастныхособенностейуча-

щихся, центрирование на ученике;

• ориентированиенаразвивающее(формативное)обучение;• межпредметная и внутрипредметная корреляция (оптимальное распреде-

ление тем по математике в корреляции с учебными дисциплинами курри-кулумной области, обеспечивая, тем самым, взаимосвязь в образовании по вертикали и по горизонтали);

• определение обязательного уровня математической подготовки по профи-лям (реальный и гуманитарный) и предоставление учащимся возможностей для достижения более высоких результатов;

• четкоецентрированиевсехкомпонентовкуррикулуманаконечныерезуль-таты – специфические компетенции и субкомпетенции учебной дисциплины математика.

Такого рода построение стратегически ориентирует куррикулум и образова-тельный процесс на конечные результаты – на формирование компетенций у уча-щихся в результате прохождения определенных учебных ситуаций и приобрете-ния соответствующего опыта.

Фундаментальными для построения школьного куррикулума и, в целом, обра-зовательного процесса по математике в школе являются следующие принципы:

I. Принцип конструктивизма (структурности), предусматривающий систе-матическое повторение изученного материала и основных понятий, как значи-мый аспект преподавания-учения. Согласно этому приципу современный обра-зовательный процесс по математике осуществляется концентрически по спирали, основываясь на конкретном математическом понятии и формировании, в итоге, специфических для математики мыслительных структур.

II. Формирующий принцип, предусматривающий непосредственное форми-рование личности учащегося в образовательном процессе по математике.

В контексте формирования и развития межличностной, социальной, нрав-ственной компетенции и компетенции в плане культуры Школьный Куррикулум по математике предусматривает формирование у учащихся в образовательном процессе по математике следующие ценностные отношения:

• формирование привычки открытого, гибкого, творческого мышления, чув-ства объективности и толерантности;

• стимулирование любознательности и воображения в выборе стратегий, про-блем, планов действий, при их решении или их выполнении;

• проявление упорства, настойчивости, уверенности в собственных силах, способ-ности при необходимости сконцентрироваться, стремлении к реализации своего интеллектуального потенциала, ответственности за собственное развитие;

• поощрение инициативы и готовности решать различные здачи;• проявление независимости в мышлении и действиях; • развитие чувства эстетического и критического подходов; • оценивание строгости, порядка и элегантности в построении решения зада-

чи, в применении соответствующего метода, алгоритма или в построении некоторой теории;

• формирование потребности в использовании математических понятий и ме-тодов при рассмотрении различных ситуаций или при решении повседневных проблем или проблем, возникших в реальных и/или смоделированных ситуациях;

6 7

• формирование и развитие мотивации к изучению математики как значимой области для социальной и профессиональной жизни;

• стимулирование положительного отношения к науке и познанию в целом; • использование научной математческой терминологии при общении; • проявление настойчивости при отстаивании собственных идей и точек зре-

ния путем приведения аргументов и/или путем формулирования вопросов; • кооперирование в рамках групповой учебной деятельности; • включение в критические и конструктивные дискуссии по поводу определен-

ных математических тем; восприятие различных точек зрения и ориенти-рование на формирование собственной точки зрения.

Лицейское математическое образование предусматривает переориентировку с академической трактовки математики на применение различных проблемных ситуаций, способствующих раскрытию разнообразных областей математики и их применения; снижение значимости применения алгоритмов в пользу использова-ния различных стратегий при решении задач и проблемных ситуаций.

Куррикулум задуман так, чтобы не ограничивать свободу учителя в организа-ции собственной профессиональной деятельности. Следовательно, при формиро-вании специфических компетенций и субкомпетенций и при прохождении обяза-тельных тем в рамках одного и того же класса учитель имеет право:

• изменять последовательность изучения учебного материала, если не ущем-ляется научная и дидактическая логика;

• распределять время для изучения учебного материала в зависимости от матема-тической подготовленности учащихся на соответствующем этапе обучения;

• группировать учебный материал различными способами, не нарушая логику развития математических понятий;

• выбирать и организовывать виды учебной деятельности, адекватные конк-ретным условиям класса.

Школьные учебники, разработанные на основе данного куррикулума, должны соответствовать общей куррикулумной концепции и удовлетворять требованиям быть доступными для учащихся, функциональными, операциональными, а также выполнять не столько информативную, сколько формативную функцию, функ-цию учения посредством самостоятельного изучения, исследования и выполнения открытий, стимулирования, самообразования, самооценивания и, в итоге, форми-рования компетенций.

Куррикулум основан на базовых/трансверсальных компетенциях, установ-ленных для образовательной системы Республики Молдова, и на межпредметных компетенциях для лицейской ступени обучения. Специфические компетенции выводятся из межпредметных компетенций и представляют собой интегрирован-ную совокупность/систему знаний, способностей, навыков и ценностных отноше-ний, запланированных для достижения и формирования посредством каждой из учебных дисциплин, на протяжении всего периода обучения в лицее.

Ценностные отношения, сформулированные в куррикулуме, ориентируют на формирование личности ученика посредством школьной дисциплины матема-тика. Их формирование взаимосвязано с постоянной дидактической деятельнос-тью учителя, являясь ее важной компонентой.

Субкомпетенции формируются на протяжении соответствующего учебного года, выводятся из специфических компетенций и представляют собой этапы в процессе их достижения.

Тематические содержания, включенные в куррикулум, представляют собой средства для формирования субкомпетенций и, тем самым, запланированных спе-цифических компетенций.

Рекомендуемые учителю виды учебной деятельности и оценивания также бу-дут способствовать достижению запланированных субкомпетенций.

Изучение математики в реальном профиле лицея призвано обеспечивать фор-мирование у учащихся этого профиля компетенций, необходимых для продолже-ния обучения на факультете в контексте этого профиля и/или в жизни.

Изучение математики в гуманитарном профиле лицея предусматривает обес-печение учащихся этого профиля компетенциями, связанными с применением в различных контекстах вычислений, алгоритмов и простых математических рас-суждений. Также, преследуется цель осознания математики, с одной стороны, как деятельности по описанию и решению проблем, а с другой стороны – как динами-ческой дисциплины, тесно связанной с повседневной жизнью, играющей важную роль в естественных науках, в технологиях, технике, общественных науках и т.д.

II. базоВые/трансВерсальные компетенцииСистема базовых/трансверсальных компетенций, установленных для образова-

тельной системы Республики Молдова, основывается на системе ключевых компетен-ций, разработанных Комиссией Совета Европы, и на профиле выпускника лицея:

1. Компетенции учения/научиться учиться. 2. Компетенции общения на родном языке/государственном языке.3. Компетенции общения на одном из иностранных языков.4. Базовые компетенции в математике, естествознании и технологиях.5. Действенно-стратегические компетенции. 6. Компетенции в области информационных и коммуникационных технологий

(ИКТ).7. Межличностные, гражданские компетенции и компетенции в области морали.8. Компетенции самопознания и самореализации. 9. Культурные, межкультурные компетенции (воспринимать и создавать цен-

ности). 10. Предпринимательские компетенции.

III. базоВые/трансВерсальные компетенции и межпредметные ком-петенции для лицейского образоВания1. Компетенции учения/ научиться учиться: • Компетенциипоовладениюметодологиейинтегрированиябазовыхзнаний

о природе, человеке и обществе с целью удовлетворения потребностей и осуществления действий по улучшению качества личной и общественной жизни.

8 9

2. Компетенции общения на родном языке/государственном языке:• Компетенцииаргументированногообщениянародномязыке/государствен-

ном языке в реальных жизненных ситуациях.• Компетенцииобщениянааргументированномнаучномязыке.3. Компетенции общения на одном из иностранных языков: • Компетенцииобщениянаодномизиностранныхязыков.• Компетенцииаргументированногообщениянаодномизиностранныхязы-

ков в реальных жизненных ситуациях.4. Базовые компетенции в математике, естествознании и технологиях: • Компетенцииорганизацииличнойдеятельностивситуацияхпостоянноме-

няющихся технологий;• Компетенции приобретения и овладевания базовыми знаниями в области

математики, естественных наук и технологий, исходя из собственных пот-ребностей.

• Компетенциивыдвиженияновыхидейвобластинауки.5. Действенно-стратегические компетенции: • Компетенции планирования собственной деятельности, предугадывания

конечного результата, выдвижения предложений относительно разрешения проблемных ситуаций из различных областей.

• Компетенцииреализациисамостоятельныхитворческихдействийохраныокружающей среды в различных жизненных ситуациях.

6. Компетенции в области информационных и коммуникационных техно-логий (ИКТ):

• Компетенции применения электронно-цифровых командных устройств вреальных ситуациях.

• Компетенции созданиядокументоввинформационнойикоммуникацион-ной областях и использования электронных услуг, в том числе услуг сети Ин-тернет, в реальных ситуациях.

7. Межличностные, гражданские компетенции и компетенции в области мо-рали:

• Компетенции сотрудничества в рамках группы/команды, предупрежденияконфликтов и уважения мнений коллег.

• Компетенциипроявленияактивнойгражданскойпозиции,солидарностиисоциальной сплоченности в рамках недискриминационного общества.

• Компетенцииосуществлениядействийвразличныхповседневныхситуаци-ях на основе морально-духовных норм и ценностей.

8. Компетенции самопознания и самореализации:• Компетенции критической самооценки собственной деятельности с целью

непрерывного саморазвития и самореализации. • Компетенциивыбораздоровогообразажизни.• Компетенцииадаптациикновымусловиямиситуациям.9. Культурные, межкультурные компетенции (воспринимать и создавать

ценности):• Компетенциивосприятияценностейсвоейнациональнойкультурыикуль-

тур других национальностей с целью их творческого применения и личной самореализации.

• Компетенциитолерантноговосприятиямежкультурныхценностей.10. Предпринимательские компетенции: • Компетенции овладения знаний и способностей предпринимательской де-

ятельности в условиях рыночной экономики с целью самореализации в об-ласти предпринимательства.

• Компетенцииосознанноговыбораобластибудущейпрофессиональнойде-ятельности.

IV. специфические компетенции учебной дисциплины МатеМатика

Реальный профиль 1. Приобретение основных математических знаний, необходимых для продол-

жения обучения и/или социального интегрирования. 2. Применение изученных математических понятий, методов, алгоритмов,

свойств, теорем в различных контекстах. 3. Использование математической терминологии и символики в реальных и/

или смоделированных ситуациях. 4. Анализирование решения проблем, проблемных ситуаций в контексте кор-

рекности, простоты, четкости и значимости полученных результатов. 5. Вырабатывание стратегий и проектирование действий для решения тео-

ретических и/или практических задач. 6. Обосновывание полученного или заданного математического вывода или

результата, прибегая к аргументам. 7. Инициирование и осуществление изысканий/исследований используя приоб-

ретенные математические знания, изученные математические модели и адекватные информационные и коммуникационные технологии.

8. Отбор из полученного или заданного множества информаций, необходимых данных для решения заданной проблемы или для формулирования некоторых выводов.

9. Интегрирование полученных математических знаний и приобретенных из других областей знаний, в том числе из физики, химии, биологии, информ-тики, для решения проблем в реальных и/или смоделированных ситуациях.

10. Разрешение проблем, проблемных ситуаций, возникших в рамках различных событий, путем консенсуса/сотрудничества.

Гуманитарный профиль 1. Использование математической терминологии и символики в реальных и/

или смоделированных ситуациях, в том числе в ситуациях общения. 2. Отбор, из полученного или заданного множества информаций, необходи-

мых данных для решения заданной проблемы или для формулирования неко-торых выводов.

3. Применение приобретенных математических знаний в различных контек-стах.

10 11

4. Построение и анализ диаграмм, таблиц, схем, графиков, иллюстрирующих различные реальные и/или смоделированные ситуации, в том числе ситуа-ции из повседневной жизни.

5. Составление некоторых планов действий, используя усвоенные математи-ческие стратегии и/или технологии.

6. Разработка и выполнение некоторых проектов, используя усвоенные мате-матические знания и приобретения.

7. Аргументированная поддержка собственных идей и точек зрения. 8. Анализирование решения проблем, проблемных ситуаций в контексте кор-

рекности, простоты, четкости и значимости полученных результатов. 9. Интегрирование добытых математических знаний и приобретений с другими

знаниями для решения проблем в реальных и/или смоделированных ситуациях. 10. Разрешение проблем, проблемных ситуаций, возникших в рамках различных

событий, путем консенсуса/сотрудничества.

V. распределение тем по классам и часам

Реальный профиль

Класс Содержание Количество часов

X I. Действительные числа.II. Множества.III. Функции. Уравнения. Неравенства. Системы и совокупнос-ти.IV. Элементы тригонометрии. V. Геометрические фигуры на плоскости.VI. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона.

121250265020

Итого: 170

XI I. Последовательности действительных чисел. II. Предел функции. Непрерывные функции.III. Дифференцируемые функции. Применение производной.IV. Комплексные числа. V. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. VI. Параллельность прямых и плоскостей.VII. Перпендикулярность прямых и плоскостей.VIII. Геометрические преобразования.

1021392428162012

Итого: 170XII I.Первообразная. Неопределенный интеграл.

II. Определенный интеграл. Применения.III. Элементы теории вероятностей и математической статистики.IV. Многогранники.V. Тела вращения. VI. Итоговое повторение.

242820302642

Итого: 170

Примечание: 1. Распределение часов будет проводиться из расчета 5 часов в неделю.

2. Распределение часов по темам и предполагаемая последовательность тем даны ориентировочно.

3. Последовательность изучаемых тем, в пределах одного и того же класса, можно изменить, если не ущемляются научно-математическая и дидактическая логики.

Гуманитарный профиль

Класс Содержание Количество часов

X I. Действительные числа. II. Множества.III. Функции. Уравнения. Неравенства. Системы и совокупности.IV. Элементы тригонометрии. V. Геометрические фигуры на плоскости.VI. Элементы комбинаторики.

108

32122812

Итого: 102XI I. Последовательности действительных чисел.

II. Дифференцируемые функции. Применение производной. III. Комплексные числа. IV. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. V. Параллельность прямых и плоскостей. VI. Перпендикулярность прямых и плоскостей.VII. Геометрические преобразования.

1030141612128

Итого: 102XII I. Первообразная. Неопределенный интеграл.

II. Определенный интеграл. Применения.III. Элементы теории вероятностей и математической статисти-ки.IV. Многогранники.V. Тела вращения. VI. Итоговое повторение.

151620201516

Итого: 102Примечание: 1. Распределение часов будет проводиться из расчета 3 часов в

неделю. 2. Распределение часов по темам и предполагаемая последовательность тем

даны ориентировочно. 3. Последовательность изучаемых тем, в пределах одного и того же класса, мож-

но изменить, если не ущемляются научно-математическая и дидактическая логи-ки.

12 13

VI.

субк

ом

пет

енц

ии

, со

дер

жа

ни

е, В

ид

ы у

чеб

но

й и

оц

ено

чн

ой

дея

тел

ьно

сти

X кл

асс

Су

бком

пете

нции

Сод

ерж

ание

Виды

учеб

ной

и оц

еноч

ной

деят

ельн

ости

(р

еком

енду

емы

е)1

23

1.1.

Рас

позн

аван

ие в

разл

ичны

х си-

туац

иях э

леме

нтов

изу

ченн

ых ч

исло

-вы

х мно

жес

тв (N

, Z, Q

, R) и

нап

исан

ие

дейс

твит

ельн

ых ч

исел

, исп

ольз

уя р

аз-

ные ф

ормы

. 1.

2. О

сущ

еств

лени

е пер

еход

а от о

дной

фо

рмы

запи

си д

ейст

вите

льны

х чис

ел к

др

угой

.1.

3. И

зобр

ажен

ие д

ейст

вите

льны

х чи-

сел

на ч

исло

вой

прям

ой и

исп

ольз

ова-

ние т

ерми

ноло

гии,

адек

ватн

ой п

оня-

тию

числ

о, в

раз

личн

ых к

онте

кста

х.1.

4. П

риме

нени

е в в

ычис

лени

ях

свой

ств

опер

аций

над

дей

стви

тель

ны-

ми ч

исла

ми: с

лож

ение

, выч

итан

ие, у

м-но

жен

ие, д

елен

ие, в

озве

дени

е в ст

епен

ь с р

ацио

наль

ным

и де

йств

ител

ьным

по-

каза

теле

м, к

орни

n-й

степ

ени,

n∈

N, n

≥

≥ 2 л

огар

ифм

поло

жит

ель н

ого

числ

а. 1.5

. Исп

ольз

ован

ие в

разл

ичны

х реа

ль-

ных и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

пр

ибли

зите

льны

х оце

нок и

аппр

окси

ма-

ций

для п

рове

рки

исти

ннос

ти ре

зуль

тато

в вы

числ

ений

с де

йств

ител

ьным

и чи

слам

и,

прим

еняя

степ

ени,

корн

и, ло

гари

фмы.

1.6

. Пер

евод

нек

отор

ых си

туац

ий и

з по

всед

невн

ой ж

изни

на м

атем

атич

ески

й

I. Де

йств

ител

ьны

е чис

ла•Д

ействи

тельны

ечисла.

Mно

жес

тва N

, Z, Q

, R.

•Квантор

общ

ностиикв

ан-

тор

сущ

еств

о ван

ия.

•Операци

ина

ддействи-

тель

ными

чис

лами

(сло

же-

ние,

вычи

тани

е, ум

нож

е-ни

е, де

ле ни

е, во

звед

ение

в

степ

ень с

рац

иона

льны

м и

дейс

твит

ельн

ым п

оказ

ате-

лем)

. Сво

йств

а. •К

орни

.Свойства.

•Логариф

мпо

ложительн

ого

числ

а. Св

ойст

ва.

•Методматем

атич

ескойин

-ду

кции

. При

лож

ение

для

до-

каза

тель

ства

нек

о тор

ых ч

ис-

ловы

х тож

дест

в.•М

одульд

ействи

тельно

го

числ

а. Св

ойст

ва:

|a|≥

0; |a

|=|–

a|; |

a2 |=|a

|2 =a;

|ab|

=|a|

· |b|

;

, b≠0

; |a+

b|≤|

a|+|

b|.

Упра

жне

ния

на:

– вы

явле

ние,

како

му ч

исло

вому

мно

жес

тву

прин

адле

жит

зада

нное

чис

ло;

– уп

оряд

очив

ание

, сра

внен

ие и

изо

браж

ение

на к

о-ор

дина

тной

пря

мой

дейс

твит

ельн

ых ч

исел

; –

запи

сыва

ние д

ейст

вите

льны

х чис

ел в

раз

личн

ых

форм

ах;

– вы

числ

ение

с чи

слам

и и

прим

енен

ие в

выч

исле

ни-

ях со

отве

тств

ующ

их ал

гори

тмов

и св

ойст

в;

– вы

полн

ение

при

близ

ител

ьных

оце

нок

и ап

прок

си-

маци

й;

– пе

рено

с и эк

стра

поли

рова

ние р

ешен

ий н

екот

орых

за

дач

для

реш

ения

дру

гих з

адач

;–

реш

ение

про

блем

и п

робл

емны

х сит

уаци

й;ис

поль

зова

ние т

ерми

ноло

гии

и си

мвол

ики,

адек

ват-

ной

поня

тию

числ

о, в

раз

личн

ых к

онте

кста

х, в

том

числ

е при

общ

ении

; –

обос

нова

ние и

аргу

мент

иров

ание

пол

учен

ных р

е-зу

льта

тов

и ис

поль

зова

нных

техн

олог

ий;

– фо

рмир

ован

ие п

ривы

чки

пров

ерят

ь: им

еет з

адач

а ре

шен

ие и

ли н

ет.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

Мет

од уп

раж

нени

й, п

робл

емно

е обу

чени

е, гр

уппо

вое о

буче

ние,

алго

ритм

ичес

кий

мето

д,

иссл

едов

ание

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

ук

лоно

м, д

идак

тиче

ские

игр

ы, ан

алог

ия,

конт

рпри

меры

, мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ий на

я ка

рта,

звез

дный

взр

ыв (s

tarb

ursti

ng) и

др.

12

3яз

ык, р

ешен

ие п

олуч

енно

й за

дачи

и и

нтер

-пр

ети р

ован

ие п

олуч

енны

х рез

ульт

атов

.1.7

. Обо

снов

ание

и ар

гуме

нтир

ован

ие

полу

ченн

ых р

езул

ьтат

ов п

ри вы

полн

ении

вы

числ

ений

с де

йств

ител

ьным

и чи

слам

и.

1.8. П

риме

нени

е выч

исле

ний

с дей

стви

-те

льны

ми чи

слам

и на

пра

ктик

е, в т

ом чи

сле

при

реал

изац

ии р

азли

чных

про

екто

в.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Пер

вичн

ое о

цени

вани

е, те

кущ

ее о

цени

вани

е, оц

енив

ание

с ис

поль

зова

нием

ком

пью

тера

, те

стир

ован

ие, у

стны

е, пи

сьме

нные

, гра

фиче

ские

и

прак

тиче

ские

раб

оты

и др

.

2.1.

Рас

позн

аван

ие в

окр

ужаю

щей

дей

-ст

вите

льно

сти

и/ил

и в

мате

мати

ческ

их

зада

чах и

зуче

нных

пон

ятий

, отн

ошен

ий,

свой

ств,

спец

ифич

ных т

еори

и мн

ожес

тв.

2.2. П

ереп

исы

вани

е и р

едак

тиро

вани

е ус-

лови

я, ре

шен

ия за

дачи

исп

ольз

уя те

рмин

о-ло

гию,

адек

ватн

ую те

ории

мно

жест

в.2.3

. Пре

дста

влен

ие м

ноже

ства

и оп

ера-

ций

с мно

жест

вами

(объ

един

ение

, пер

есе-

чени

е, ра

знос

ть, д

екар

тово

про

изве

дени

е)

анал

ити ч

ес ки

м, си

нтет

ичес

ким

и гр

афич

ес-

ким

(диа

грам

мы, т

абли

цы) с

посо

бами

. 2.4

. При

мене

ние т

ерми

ноло

гии

и си

мвол

и-ки

, аде

кват

ной

теор

ии и

множ

еств

, в р

еаль

-ны

х и/и

ли см

одел

иров

анны

х сит

уаци

ях.

2.5. В

ыпо

лнен

ие о

пера

ций

(объ

един

ение

, пе

ресе

чени

е, ра

знос

ть, д

екар

тово

про

из-

веде

ние)

с чи

слов

ыми

множ

еств

ами

N, Z

, Q,

R и

их п

одмн

ожес

твам

и (в

том

числ

е с

числ

овым

и пр

омеж

утка

ми).

2.6. И

спол

ьзов

ание

элем

енто

в тео

рии

мно-

жест

в в р

еаль

ных с

итуа

циях

и/и

ли п

ри и

зу-

чени

и др

угих

шко

льны

х дис

ципл

ин.

II. М

нож

еств

а•П

онятиемно

жество.

Числ

овые

мно

жес

т ва.

•Операци

исм

ножес-

твам

и (о

бъед

инен

ие, п

е-ре

сече

ние,

разн

ость

, де-

карт

ово

прои

звед

ение

).•О

сновны

есвойства.

Упра

жне

ния

на:

– пр

едст

авле

ние м

нож

еств

а и о

пера

ций

с мно

жес

т-ва

ми ан

алит

ичес

ким,

синт

етич

ески

м и

граф

ичес

ким

(диа

грам

мы, т

абли

цы) с

посо

бами

;–

опре

деле

ние э

леме

нтов

мно

жес

тва,

зада

нног

о ра

з-ли

чным

и сп

особ

ами;

– пр

имен

ение

терм

инол

огии

и си

мвол

ики,

адек

ватн

ой

теор

ии и

множ

еств

, в р

еаль

ных и

/или

мат

емат

ичес

ких

конт

екст

ах;

– оп

реде

лени

е мно

жес

тва,

зада

нног

о по

сред

ство

м ук

а-за

нног

о св

ойст

ва;

– пр

имен

ение

отн

ошен

ия п

рина

длеж

ност

и, о

тнош

е-ни

я вк

люче

ния

и ра

венс

тва м

нож

еств

;– в

ыпол

нени

е опе

раци

й с р

азли

чным

и ти

пами

мно

жест

в; –

сорт

иров

ание

и к

ласс

ифиц

иров

ание

объ

екто

в по

ра

злич

ным

крит

ерия

м, о

пред

елен

ие к

рите

риев

, по

ко-

торы

м от

бира

ютс

я со

отве

тств

ующ

ие м

нож

еств

а; –

прим

енен

ие эл

емен

тов

теор

ии м

нож

еств

при

изу

че-

нии

мате

мати

ки и

дру

гих ш

коль

ных д

исци

плин

;– с

оста

влен

ие и

реш

ение

зада

ч с п

риме

нени

ем эл

емен

тов

теор

ии м

ноже

ств н

а пра

ктик

е и/и

ли в

друг

их о

блас

тях.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

алго

ритм

ичес

кий

мето

д, гр

уппо

-во

е обу

чени

е, ис

след

ован

ие к

онкр

етно

го сл

учая

с

14 15

12

32.7

. Сор

тиро

вани

е и к

ласс

ифиц

иров

ание

об

ъект

ов п

о нек

отор

ым кр

итер

иям,

фор

му-

лиро

вани

е кри

тери

я, по

кото

рому

отби

ра-

ется

мно

жест

во об

ъект

ов в

реал

ьных

ситу

а-ци

ях и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 2.8

. Ана

лиз р

ешен

ия п

робл

ем, п

робл

ем-

ных с

итуа

ций,

связ

анны

х с м

ноже

ства

ми, в

ко

нтек

сте к

орре

ктно

сти,

про

стот

ы, че

тко-

сти

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных р

езул

ьтат

ов.

прак

тиче

ским

укло

ном,

дид

акти

ческ

ие, р

олев

ые, с

иму-

ляти

вные

игр

ы, к

онтр

прим

еры,

мат

рица

ассо

циац

ий,

поня

тийн

ая к

арта

, наб

люде

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты

и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оцен

иван

ие, о

цени

вани

е с и

спол

ьзов

ание

м ко

м-пь

ютер

а, те

стир

ован

ие, у

стны

е, пи

сьме

нные

, гра

фиче

ские

и

прак

тиче

ские

раб

оты,

мет

од п

роек

тов и

др.

3.1.

Рас

позн

аван

ие ф

ункц

иона

льны

х за-

виси

мост

ей в

реа

льны

х и/и

ли см

одел

и-ро

ванн

ых си

туац

иях.

3.2.

Пре

дста

влен

ие ф

ункц

иона

льны

х за-

виси

мост

ей, в

том

числ

е из о

круж

ающ

ей

дейс

твит

ельн

ости

, раз

личн

ыми

спос

о-ба

ми (а

нали

тиче

ским

, син

тети

ческ

им и

гр

афич

ески

м, д

иагр

амма

ми, т

абли

цами

). 3.

3. В

ыве

дени

е сво

йств

чис

ловы

х фун

к-ци

й по

сред

ство

м чт

ения

граф

иков

и/и

ли

соот

ветс

твую

щих

фор

мул.

3.4.

При

мене

ние а

лгор

итма

исс

ледо

-ва

ния

функ

ции

при

реш

ении

про

блем

, пр

обле

мных

ситу

аций

, при

изу

чени

и не

-ко

торы

х физ

ичес

ких,

хими

ческ

их, б

ио-

логи

ческ

их, с

оциа

льны

х, эк

оном

ичес

ких

проц

ессо

в, см

одел

иров

анны

х пос

ред-

ство

м фу

нкци

й.3.

5. И

ссле

дова

ние с

войс

тв, и

меющ

их л

о-ка

льны

й ил

и гл

обал

ьный

хар

акте

р, ф

ун-

кций

в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

-ны

х сит

уаци

ях.

III.

Фун

кции

. Ура

в-не

ния.

Нер

авен

ства

. Си

стем

ы и

сово

куп-

ност

иII

I.1. П

онят

ие ф

унк-

ция

•Пон

ятиеф

ункц

ия.

•Спо

собы

задани

яфу

нкци

и. Гр

афик

фун

к-ци

и.•С

войстваф

ункц

ий:

моно

тонн

ость

, че

тнос

ть,

пери

одич

ност

ь, ог

рани

чен н

ость

, нул

и,

экст

рему

мы.

•Инъ

ективн

ые,

сюръ

екти

вные

, бие

-кт

ив ны

е фун

кции

.•О

братим

ыефун

кции

.О

брат

ная

функ

ция.

•Ком

позици

яфу

нкци

й.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние ф

ункц

иона

льны

х зав

исим

осте

й в

раз-

личн

ых к

онте

кста

х;–

пред

став

лени

е фун

кцио

наль

ных з

авис

имос

тей,

в то

м чи

сле и

з окр

ужаю

щей

дей

стви

тель

ност

и, р

азли

чным

и сп

особ

ами

(ана

лити

ческ

им, с

инте

тиче

ским

и гр

афич

ес-

ким,

диа

грам

мами

, таб

лица

ми);

– ра

споз

нава

ние и

зуче

нной

фун

кции

по

зада

нном

у гра

-фи

ку и

/или

анал

итич

еско

му сп

особ

у зад

ания

; –

чтен

ие гр

афик

ов ф

ункц

ий и

/или

анал

итич

ески

х фор

-му

л дл

я вы

веде

ния

свой

ств

этих

фун

кций

;–

прим

енен

ие ал

гори

тма и

ссле

дова

ния

функ

ции

в ра

з-ли

чных

кон

текс

тах;

– исп

ольз

ован

ие св

ойст

в фун

кций

в ра

злич

ных к

онте

кста

х;–

пере

нос и

экст

рапо

лиро

вани

е реш

ений

нек

отор

ых за

-да

ч дл

я ре

шен

ия д

руги

х зад

ач;

– ре

шен

ие п

робл

ем и

про

блем

ных с

итуа

ций;

– пр

имен

ение

терм

инол

огии

симв

олик

и, ад

еква

тной

по-

няти

ю фу

нкци

я, в

том

числ

е в о

бщен

ии;

– об

осно

вани

е и ар

гуме

нтир

ован

ие п

олуч

енны

х рез

уль-

тато

в и

испо

льзо

ванн

ых те

хнол

огий

;–

клас

сифи

циро

вани

е изу

ченн

ых ф

ункц

ий и

их с

войс

тв

по р

азли

чным

кри

тери

ям;

12

33.

6. П

риме

нени

е гра

фиче

ских

мет

одов

пр

и ре

шен

ии у

равн

ений

, нер

авен

ств,

сис-

тем

урав

нени

й.3.7

. Пер

евод

на м

атем

атич

ески

й яз

ык ко

н-кр

етны

х сит

уаци

й из

пов

седн

евно

й ж

из-

ни, к

отор

ые оп

исыв

аютс

я фун

кция

ми I,

II

степ

еней

, сте

пенн

ой ф

ункц

ией,

фун

кцие

й ра

дика

л, пр

ямой

про

порц

иона

льно

сти,

об-

ратн

ой п

ропо

рцио

наль

ност

и, п

оказ

ател

ь-но

й, ло

гари

фмич

еско

й фу

нкци

ями.

3.8.

Кла

ссиф

ицир

ован

ие и

зуче

нных

фу

нкци

й по

раз

личн

ым к

рите

риям

. 3.

9. К

ласс

ифиц

иров

ание

изу

ченн

ых ти

-по

в ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

сист

ем п

о ра

злич

ным

крит

ерия

м и

выяв

лени

е аде

к-ва

тног

о ме

тода

/мет

одов

их р

ешен

ия.

3.10

. Реш

ение

изу

ченн

ых ти

пов

урав

не-

ний,

нер

авен

ств,

сист

ем.

3.11

. Мод

елир

ован

ие си

туац

ий и

з пов

-се

днев

ной

жиз

ни, в

том

числ

е из п

ред-

прин

имат

ельс

кой

деят

ельн

ости

, по-

сред

ство

м из

учен

ных т

ипов

фун

кций

, ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

сист

ем.

3.12

. Ана

лиз р

ешен

ия у

равн

ения

, нер

а-ве

нств

а, си

стем

ы в

конт

екст

е кор

рект

но-

сти,

про

стот

ы, ч

етко

сти

и зн

ачим

ости

по-

луче

нных

рез

ульт

атов

.

– ис

след

ован

ие св

ойст

в фу

нкци

й, и

меющ

их л

окал

ьный

ил

и гл

обал

ьный

хар

акте

р, в

реа

льны

х и/и

ли см

одел

иро-

ванн

ых си

туац

иях;

– пе

рево

д на м

атем

атич

ески

й яз

ык ко

нкре

тены

х сит

уаци

й из

раз

личн

ых о

блас

тей,

кото

рые о

писы

вают

ся ф

ункц

ия-

ми I,

II ст

епен

ей, с

тепе

нной

фун

кцие

й, ф

ункц

ией

ради

кал,

пр

ямой

про

порц

иона

льно

стью

, обр

атно

й пр

опор

цион

аль-

ност

ью, п

оказ

ател

ьной

, лог

ариф

ми че

ской

фун

кция

ми;

– ре

шен

ие у

равн

ений

, нер

авен

ств,

сист

ем у

равн

ений

, си

стем

нер

авен

ств

поср

едст

вом

граф

ичес

кого

мет

ода и

ис

поль

зова

ния

свой

ств

изуч

енны

х фун

кций

;–

расп

озна

вани

е и к

ласс

ифиц

иров

ание

изу

ченн

ых ти

пов

урав

нени

й, н

ерав

енст

в, си

стем

по

разл

ичны

м кр

итер

иям;

– вы

явле

ние м

етод

а/ме

тодо

в ре

шен

ия со

отве

тств

ующ

его

клас

са у

равн

ений

, нер

авен

ств,

сист

ем;

– мо

дели

рова

ние с

итуа

ций

из п

овсе

днев

ной

жиз

ни, в

том

числ

е из п

редп

рини

мате

льск

ой де

ятел

ьнос

ти, п

осре

дств

ом

изуч

енны

х тип

ов ф

ункц

ий, у

равн

ений

, нер

авен

ств,

сист

ем;

– ан

ализ

реш

ения

ура

внен

ия, н

ерав

енст

ва, с

исте

мы в

ко

нтек

сте к

орре

ктно

сти,

про

стот

ы, ч

етко

сти

и зн

ачим

ос-

ти п

олуч

енны

х рез

ульт

атов

;–

реш

ение

указ

анны

х в к

урри

кулу

ме ти

пов

урав

нени

й,

нера

венс

тв, с

исте

м ад

еква

тным

и ме

тода

ми;

– со

став

лени

е и р

ешен

ие за

дач

на ф

ункц

ии, у

равн

ения

, не

раве

нств

а, си

стем

ы ур

авне

ний,

сист

емы

нера

венс

тв и

з пр

акти

ческ

ой де

йств

ител

ьнос

ти и

/или

из д

руги

х обл

асте

й.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Про

блем

ное о

буче

ние,

моде

лиро

вани

е, ис

след

ован

ие, м

е-то

д уп

раж

нени

й ал

гори

тмич

ески

й ме

тод,

раб

ота с

учеб

-ни

ком,

груп

пово

е обу

чени

е, ан

ализ

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

дид

акти

ческ

ие, р

олев

ые,

16 17

12

3II

I.2. Ф

ункц

ия I

степ

ени

•Пон

ятиеф

ункц

ия I

степ

ени.

Граф

ик ф

ункц

ии I

степ

ени.

Свой

ства

фун

кции

I ст

епен

и.

•Фор

муларасстояни

яме

ждудвумя

точк

амивдекартовой

си

стем

е коо

рдин

ат. К

оорд

инат

ы се

реди

ны о

трез

ка.

•Уравн

ения

Iстепенисо

дним

неизвестным

,сдвумя

неизвест-

ными

и п

риво

димы

е к н

им.

•НеравенстваIстепенисо

дним


ипри

води

мые

к ни

м.•Г

еоме

трич

ескаятрактовкау

равн

ений

Iстепенисд

вумя

неиз-

вест

ными

. Угл

овой

коэ

ффиц

иент

пря

мой.

•С

истемы

двуху

равн

ений

Iстепенисо

дним


,с

двум

я не

из ве

стны

ми. М

етод

ы ре

шен

ия си

стем

ура

внен

ий (м

е-то

д по

дста

новк

и, м

етод

слож

ения

, гра

фиче

ский

мет

од).

•Системы

неравенствIс

тепени

содни

мнеизвестны

м.•У

равн

ения

Iстепенисм

одулем

и/или

парам

етро

м.

симу

ляти

вные

игр

ы, к

онтр

прим

еры,

ма

триц

а асс

оциа

ций,

пон

ятий

ная

карт

а, об

учен

ие с

помо

щью

ком

пью

тера

, на-

блюд

ение

, пра

ктич

ески

е раб

оты,

док

аза-

тель

ство

, гра

фиче

ские

раб

оты,

мет

од-

ВВВ,

вза

имоо

буче

ние,

звез

дный

взр

ыв

и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

-ни

е, оц

енив

ание

с ис

поль

зова

нием

ком

-пь

юте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

ись-

менн

ые и

пра

ктич

ески

е раб

оты,

мет

од

прое

ктов

, дид

акти

ческ

ие и

гры,

граф

и-че

ские

раб

оты,

исс

ледо

вани

е и д

р.

III.3

. Фун

кция

II ст

епен

и •П

онятиеф

ункц

ия II

степ

ени.

Граф

ик ф

ункц

ии II

степ

ени.

•С

войстваф

ункц

ииIIст

епени.

•Уравн

ения

IIст

епениипр

иводим

ыекним

.Классиф

икац

ия

урав

нени

й II

степ

ени.

•Реш

ениеуравн

ений

IIст

епени.

•Соо

тнош

ения

Виета.

•НеравенстваIIст

епениипр

иводим

ыекним

.•Г

еоме

трич

ескаятрактовкау

равн

ений

второ

йстепенис

двум

я не

изве

стны

ми:

x2 + y2 =

r2 ;(x

– a

)2 + (y

– b

)2 = r2 ; x

· y =

k, k

∈ R

*; y =

ax2 +

bx +

c, a

≠ 0.

•С

истемы

двуха

лгебраич

ески

хуравн

ений

I,IIст

епенейс

двум

я не

изве

стны

ми.

12

3•С

истемы

симм

етри

ческих

уравн

ений

,одн

ородны

хуравн

ений

IIст

епени.

•Уравн

ения

IIст

епенисм

одулем

,спарам

етро

м.•Р

ацио

нальны

еуравн

ения

инеравенствасодни


м.

III.4

. Ст

епен

ная

фун

кция

. Фун

кция

рад

икал

•Пон

ятиест

епен

ная

функ

ция.

Граф

ик ст

епен

ной

функ

ции.

•Свойствас

тепенн

ойфун

кции

.•П

онятиеф

ункц

ия р

адик

ал. Г

рафи

к фу

нкци

и ра

дика

л.•С

войстваф

ункц

иирадик

ал.

•Ирр

ацио

нальны

еуравн

ения

типа:

и пр

ивод

имые

к н

им.

•Ирр

ацио

нальны

енеравенствати

па:

(зна

к “<

” мож

ет б

ыть з

амен

ен зн

акам

и “>

”, “≥”

, “≤”

) и п

риво

димы

е к н

им.

III.5

. Пок

азат

ельн

ая ф

ункц

ия. Л

огар

ифми

ческ

ая ф

ункц

ия•П

онятиеп

оказ

ател

ьная

фун

кция

.•Графи

кпо

казательно

йфу

нкци

и.

•Свойствап

оказательн

ойфун

кции

.•П

онятиело

гари

фмич

еска

я фу

нкци

я.•Графи

клогари

фмич

ескойфу

нкци

и.

•Свойствал

огариф

мической

фун

кции

.•П


ыеуравн

ения

типа:

1. a

f(x)

= a

g(x)

и п

риво

димы

е к н

им.

18 19

12

32.

Пок

азат

ельн

ые у

равн

ения

, при

во ди

мые к

изу

ченн

ым а

лгеб

раи ч

ески

м ур

авне

ниям

.3.

Пок

азат

ельн

ые у

равн

ения

типа

: n·a

2x +

m·a

x bx + + p·

b2x =

0 и

прив

одим

ые к

ни

м.4.

Пок

азат

ельн

ые у

равн

ения

типа

1–3

с мо

дуле

м ил

и па

раме

тром

.•П


ыенеравенствати

па:

1. a

f(x)

< a

g(x)

(зна

к “<

” мож

ет б

ыть

заме

нен

знак

ами

“>”,

“≥”,

“≤”)

и п

риво

димы

е к

ним.

2.

Пок

азат

ельн

ые н

ерав

енст

ва, п

риво

димы

е к и

зуче

нным

алг

ебра

ичес

ким

не ра

-ве

нств

ам.

3. П

оказ

ател

ьные

нер

авен

ства

типа

1–2

с мо

дуле

м.•Л

огариф

мическиеуравн

ения

типа

: 1.

log a

f(x)

= b

;2.

log a

f(x)

= lo

g a g(

x);

3. lo

g a f(

x) ±

log a

g(x)

= lo

g a h(

x), a

> 0

, a ≠

1 и

/или

a =

mx+

n, m

, n ∈

R;

4. Л

огар

ифми

ческ

ие у

равн

ения

, при

во ди

мые к

изу

ченн

ым а

лгеб

раи ч

ес ки

м ур

ав-

нени

ям.

5. Л

огар

ифми

ческ

ие у

равн

ения

, тип

а 1–4

с мо

дуле

м.•Л

огариф

мическиенеравенствати

па:

1. lo

g a f(

x) <

b;

2. lo

g a f(

x) <

log a

g(x)

;3.

log a

f(x)

± lo

g a g(

x) <

log a

h(x)

,a

> 0,

a ≠

1;

4. Л

огар

ифми

ческ

ие н

ерав

енст

ва, п

риво

димы

е к и

зуче

нным

алг

ебра

и чес

ким

не-

ра ве

нств

ам.

5. Л

огар

ифми

ческ

ие н

ерав

енст

ва ти

па: l

ogm

x+n

a <

b; m

, n ∈

R.

6. Л

огар

ифми

ческ

ие н

ерав

енст

ва ти

па 1

–5 c

моду

лем.

•Сис

темы

пок

азательн

ыхилогариф

мических

уравн

ений

,сод

ержащ

иеизучен-

ные т

ипы

пока

зате

льны

х и/

или

лога

рифм

ичес

ких

урав

нени

й.

12

34.

1. Р

аспо

знав

ание

элем

ен-

тов

триг

оном

етри

и в

раз-

личн

ых к

онте

кста

х.4.

2. П

риме

нени

е эле

мент

ов

триг

оном

етри

и пр

и ре

ше-

нии

прям

оуго

льно

го тр

е-уг

ольн

ика.

4.3.

Вы

полн

ение

триг

оно-

метр

ичес

ких в

ычис

лени

й в

разл

ичны

х кон

текс

тах,

ис-

поль

зуя

табл

ицы

знач

ений

, фо

рмул

ы, к

альк

улят

ор.

4.4. П

риме

нени

е доб

ытых

тр

игон

омет

ри че

ских

знан

ий

для о

пред

елен

ия ве

личи

н уг

лов (

в гра

дуса

х, ра

диан

ах)

в реа

льны

х и/и

ли см

одел

и-ро

ванн

ых си

туац

иях.

4.5.

Вы

явле

ние н

екот

орых

св

ойст

в тр

игон

омет

риче

с-ки

х фун

кций

, пос

редс

твом

чт

ения

граф

иков

и/и

ли со

-от

ветс

твую

щих

фор

мул.

4.6.

Пер

евод

на т

риго

но-

метр

ичес

кий

и ге

омет

ри-

ческ

ий я

зык

разл

ичны

х пр

акти

ческ

их за

дач

и/ил

и за

дач

из д

руги

х обл

асте

й и

реш

ение

этих

зада

ч.4.

7. К

ласс

ифиц

иров

ание

из

учен

ных т

ипов

триг

оно-

метр

ичес

ких у

равн

ений

по

IV. Э

леме

нты

триг

оном

етри

и• Т

риго

номе

трич

еска

я ок

руж

ност

ь. П

реоб

-ра

зова

ние е

дини

ц из

мере

ния

угло

в из

гра-

дусо

в в

ради

аны

и об

ратн

о.

• Три

гоно

метр

ичес

кие ф

ункц

ии: с

инус

, кос

и-ну

с, т

анген

с, ко

тан

генс.

Граф

ики

триг

оно-

метр

ичес

ких ф

ункц

ий: с

инус

а, ко

сину

са, т

ан-

генса

, ко т

анген

са. С

войс

тва.

• Осн

овны

е три

гоно

метр

ичес

кие т

ож де

ства

.• Ф

орму

лы п

риве

дени

я.

• Фор

мулы

сумм

ы.• Ф

орму

лы д

войн

ого

угла

.• Ф

орму

лы ун

ивер

саль

ной

подс

та но

вки.

• Т

абли

ца зн

ачен

ий си

нуса

, кос

инус

а, та

н-ге

нса,

кота

нген

са ч

асто

исп

ольз

уемы

х угл

ов.

•Пон

ятия

:арк

сину

с, ар

ккос

инус

, арк

тан

-ге

нс, а

ркко

тан

генс

. Сво

йств

а:ar

csin

(–a)

= –

arcs

in a

; ar

ccos

(–a)

= π

–arc

cos a

; ar

ctg(–

a) =

–ar

ctg a

; ar

cctg

(–a)

= π

–arc

ctg a

.Та

блиц

а зна

чени

й ар

ксин

уса,

арк

коси

нуса

, ар

ктан

генс

а, а

ркко

тан

генс

а ча

сто

испо

ль-

зуем

ых ч

исел

. •П

ростейшиетр

игон

ометри

ческиеурав-

нени

я.•Т

ригоно

метрич

ески

еуравн

ения

,при

-во

димы

е к и

зуче

нным

алге

браи

ческ

им

урав

нени

ям.

•Одн

ородны

етри

гоно

метрич

ески

еура-

внен

ия (I

, II с

тепе

ней)

и п

риво

димы

е к

ним.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

зуче

нных

элем

енто

в тр

игон

о-ме

трии

в р

азли

чных

кон

текс

тах;

– пр

еобр

азов

ание

един

иц и

змер

ения

угло

в из

гра-

дусо

в в

ради

аны

и об

ратн

о;–

изоб

раж

ение

на т

риго

номе

трич

еско

й ок

руж

нос-

ти уг

лов

разл

ичны

х вел

ичин

; –

прим

енен

ие эл

емен

тов

триг

оном

етри

и пр

и ре

-ш

ении

пря

моуг

ольн

ого

треу

голь

ника

;–

выпо

лнен

ие тр

игон

омет

риче

ских

выч

исле

ний

в ра

злич

ных к

онте

кста

х, ис

поль

зуя

табл

ицы

знач

е-ни

й, ф

орму

лы, к

альк

улят

ор;

– вы

явле

ние н

екот

орых

свой

ств

триг

оно-

метр

ичес

ких ф

ункц

ий, п

осре

дств

ом ч

тени

я гр

а-фи

ков

и/ил

и со

отве

тств

ующ

их ф

орму

л;

– ох

арак

тери

зова

ние г

еоме

трич

ески

х кон

фи-

гура

ций

поср

едст

вом

изуч

енны

х эле

мент

ов тр

иго-

номе

трии

;–

опти

мизи

рова

ние т

риго

номе

трич

ески

х вы ч

ис-

лени

й, и

спол

ьзуя

адек

ватн

ые тр

игон

о мет

риче

ские

фо

рмул

ы и

тож

дест

ва;

– кл

асси

фици

рова

ние и

зуче

нных

типо

в тр

иго н

о-ме

трич

ески

х ура

внен

ий п

о ра

злич

ным

крит

ерия

м;–

реш

ение

соот

ветс

твую

щег

о кл

асса

триг

о-но

метр

ичес

ких у

равн

ений

; –

реш

ение

про

стей

ших

триг

оном

етри

ческ

их н

е-ра

венс

тв;

– со

став

лени

е и р

ешен

ие за

дач

с при

мене

ни-

ем тр

игон

омет

рии

из п

ракт

ичес

кой

дейс

тви-

тель

ност

и и/

или

из д

руги

х обл

асте

й.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Про

блем

ное о

буче

ние,

моде

лиро

вани

е, ме

тод о

т-кр

ытий

, мет

од уп

ражн

ений

, алг

орит

миче

ский

мет

од,

20 21

12

3ра

злич

ным

крит

ерия

м и

реш

ение

этих

ура

внен

ий.

•Три

гоно

метрич

ески

еуравн

ения

вид

а:a

sin x

+ b

cos x

= c,

a, b

, c ∈

R.

•Про

стейшиетр

игон

ометри

ческиенера-

венс

тва.

рабо

та с

учеб

нико

м, гр

уппо

вое о

буче

ние,

иссл

едо-

вани

е кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

ди

дакт

ичес

кие,

роле

вые,

симу

ляти

вные

игр

ы, ко

нтр-

прим

еры,

мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я кар

-та

, обу

чени

е с п

омощ

ью ко

мпью

тера

, наб

люде

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты,

дока

зате

льст

во, г

рафи

ческ

ие

рабо

ты, в

заим

ообу

чени

е, зв

ездн

ый вз

рыв и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

е-ни

вани

е с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

ти-

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е, и

прак

тиче

ские

ра

боты

, мет

од п

роек

тов,

дид

акти

ческ

ие и

гры,

гра-

фиче

ские

раб

оты

и др

.5.

1. Р

аспо

знав

ание

в р

аз-

личн

ых к

онте

кста

х и к

лас-

сифи

циро

вани

е по

раз-

ным

крит

ерия

м из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

и и

х св

ойст

в.5.

2. О

пред

елен

ие в

заим

-ны

х рас

поло

жен

ий и

зуче

н-ны

х гео

метр

ичес

ких ф

игур

в

реал

ьных

и/и

ли см

одел

и-ро

ванн

ых си

туац

иях.

5.3.

Изо

браж

ение

на п

лос-

кост

и из

учен

ных г

еоме

три-

ческ

их ф

игур

, в то

м чи

сле,

испо

льзу

я ад

еква

тные

чер

-те

жны

е инс

трум

енты

.5.

4. П

риме

нени

е в р

азли

ч-ны

х кон

текс

тах с

войс

тв

изуч

енны

х гео

метр

ичес

ких

фигу

р.

V. Ге

омет

риче

ские

фиг

уры

на

пло

скос

ти•П

онятием

атем

атич

еско

е выс

казы

вани

е. И

стин

ност

ное з

наче

ние в

ыска

зыва

ния.

По-

няти

я: ак

сиом

а, т

еоре

ма, о

брат

ная

тео

ре-

ма. Н

еобх

одим

ые и

дос

тато

чные

усло

вия.

М

етод

от п

роти

вног

о.•О

сновны

егеоме

трич

ески

епон

ятия

(точ

-ка

, пря

мая,

пло

скос

ть,

расс

тоя

ние,

вели

чи-

на уг

ла).

•Треугольн

ики.Классиф

икац

иятр

еуголь

-ни

ков.

•Кон

груэнтны

етреугольн

ики.

•Зам

ечательн

ыелин

иивтр

еугольни

ке.

•Подоб

иетр

еугольни

ков.Теорема

Фалеса.

•Основнаялемм

аподоб

ия.

•Метри

ческиесо

отно

шения

втр

еугольни

-ке

. Тео

рема

сину

сов,

теор

ема к

осин

усов

.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние в

раз

личн

ых к

онте

кста

х и к

лас-

сифи

циро

вани

е по

разн

ым к

рите

риям

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и и

х сво

йств

; –

опр

едле

лени

е вза

имны

х рас

поло

жен

ий и

зуче

н-ны

х гео

метр

ичес

ких ф

игур

в р

еаль

ных и

/или

смо-

дели

рова

нных

ситу

ация

х; –

изоб

раж

ение

на п

лоск

ости

изу

ченн

ых ге

омет

ри-

ческ

их ф

игур

, в то

м чи

сле и

спол

ьзуя

адек

ватн

ые

черт

ежны

е инс

трум

енты

; –

реш

ение

зада

ч, п

робл

емны

х сит

уаци

й и

ана-

лиз р

ешен

ия в

кон

текс

те к

орре

ктно

сти,

про

стот

ы,

четк

ости

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных р

езул

ьтат

ов;

– пр

имен

ение

терм

инол

огии

и и

зуче

нной

гео м

ет-

риче

ской

симв

олик

и, в

ключ

ител

ьно

в пр

оцес

се

общ

ения

;–

анал

из и

инт

ерпр

етир

ован

ие п

олуч

енны

х ре-

зуль

тато

в пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

ких з

адач

с ис

-по

льзо

вани

ем и

зуче

нных

элем

енто

в ге

омет

рии;

12

35.5

. Мод

елир

ован

ие, в

геом

етри

-че

ском

смыс

ле, с

итуа

ций

из ок

-ру

жаю

щей

дейс

твит

ельн

ости

и/

или

из др

угих

обл

асте

й, и

спол

ь-зу

я, в т

ом чи

сле,

комп

ьюте

р.5.

6. А

нали

з реш

ения

геом

ет-

риче

ской

зада

чи, п

робл

емно

й си

туац

ии с

геом

етри

ческ

им ук

-ло

ном

в ко

нтек

сте к

орре

ктно

с-ти

, про

стот

ы, ч

етко

сти

и зн

ачи-

мост

и по

луче

нных

рез

ульт

атов

. 5.7

. Раз

раба

тыва

ние а

лгор

итма

ре

шен

ия ге

омет

риче

ской

зада

чи

и ре

шен

ие со

от ве

тств

ующ

ей за

-да

чи в

реал

ьных

и/и

ли см

одел

и-ро

ванн

ых си

туац

иях.

5.8. В

ычи

слен

ие дл

ин о

трез

ков,

вели

чин

угло

в, пе

риме

тров

, пло

-щ

адей

в ре

альн

ых и

/или

смод

е-ли

рова

нных

ситу

ация

х, ис

поль

-зу

я аде

кват

ные и

нстр

умен

ты и

ед

иниц

ы из

мере

ния.

5.9.

Опр

едел

ение

ист

инно

ст-

ного

знач

ения

мат

емат

ичес

кого

вы

сказ

ыван

ия, и

спол

ьзуя

аргу

-ме

нты

и/ил

и до

каза

тель

ства

.

•Вып

уклы

ечетыр

ехугольн

ики.Вып

ук-

лые м

ного

угол

ьник

и.

•Прави

льны

емно

гоугольн

ики.

•Окр

ужно

сть.Хо

рды.Дуги.Круг.Мет

-ри

ческ

ие со

отно

шен

ия в

окр

ужно

сти.

•Взаим

ныер

аспо

ложения

пря

мойиок

-ру

жно

сти.

•Центральн

ыйуг

ол.В

писанн

ыйуг

ол.

•Впи

санн

ыйтр

еугольни

квокру

ж-

ност

ь. •О

писанн

ыйтр

еугольни

кокру

жно

сти.

•Четыр

ехугольн

ики,впи

санн

ые

в ок

руж

ност

ь. Че

тыре

хуго

льни

ки

опис

ан ны

е окр

у ж но

сти.

•Прави

льны

емно

гоугольн

ики,впи

сан-

ные в

окр

ужно

сть.

Пра

виль

ные м

ного

-уг

ольн

ики

опи

санн

ые о

круж

ност

и.•П

лощадимн

огоугольны

хповерхн

остей

для:

треу

голь

ника

( ф

орму

ла

Геро

на

), кв

адра

та, п

рямо

у гол

ьник

а, па

ралл

елог

рама

, ром

ба, т

рапе

ции,

пра

-ви

льно

го м

ного

угол

ьник

а.•Д

линаокр

ужно

сти.Площадьк

руга.

– оп

реде

лени

е ист

инно

стно

го зн

ачен

ия м

атем

а-ти

ческ

ого

выск

азыв

ания

, исп

ольз

уя ар

гуме

нты

и/ил

и до

каза

тель

ства

. –

сост

авле

ние и

реш

ение

геом

етри

ческ

их за

дач

из п

ракт

ичес

кой

дейс

твит

ельн

ости

и/и

ли и

з дру

-ги

х обл

асте

й.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Про

блем

ное о

буче

ние,

моде

лиро

вани

е, ис

сле-

дова

ние,

груп

пово

е обу

чени

е, ис

след

ован

ие

конк

ретн

ого

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

ди

дакт

ичес

кие,

роле

вые,

симу

ляти

вные

игр

ы,

конт

рпри

меры

, мат

рица

ассо

циац

ий, о

буче

ние

поср

едст

вом

комп

ьюте

ра, н

аблю

дени

е, по

няти

й-на

я ка

рта,

прак

тиче

ские

раб

оты,

мет

од В

ВВ,

взаи

мооб

учен

ие, з

везд

ный

взры

в и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, оц

енив

ание

с ис

поль

зова

-ни

ем к

омпь

юте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

ись-

менн

ые, г

рафи

ческ

ие р

абот

ы, м

етод

про

екто

в,

дида

ктич

ески

е игр

ы оц

еноч

ного

вид

а, пр

акти

чес-

кие,

лабо

рато

рные

раб

оты,

исс

ледо

вани

е и д

р.

6.1.

Рас

позн

аван

ие в

раз

лич-

ных к

онте

кста

х и к

ласс

ифиц

и-ро

вани

е по

разн

ым к

рите

риям

VI.

Элем

енты

ком

бина

тори

ки.

Бино

м Н

ьюто

на.

•Пон

ятиеуп

оряд

очен

ное м

ноже

ство

. П

онят

ие ф

акт

ориа

л.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние в

раз

личн

ых к

онте

кста

х и к

лас-

сифи

циро

вани

е по

разн

ым к

рите

риям

22 23

12

3из

учен

ных т

ипов

ком

бина

торн

ых

зада

ч.

6.2.

При

мене

ние п

ерес

тано

-во

к, р

азме

щен

ий, с

очет

аний

и и

х св

ойст

в пр

и ре

шен

ии у

равн

ений

, не

раве

нств

, пра

ктич

ески

х зад

ач,

зада

ч из

дру

гих о

блас

тей.

6.3.

При

мене

ние б

ином

а Нью

тона

и

/или

фор

мулы

общ

его

член

а раз

-ло

жен

ия в

раз

личн

ых о

блас

тях.

6.4.

Исп

ольз

ован

ие св

ойст

в би

но-

миал

ьных

коэ

ффиц

иент

ов и

раз

ло-

жен

ия б

ином

а при

реш

ении

зада

ч.

6.5.

Ана

лиз р

ешен

ия к

омби

нато

р-ны

х зад

ач и

ли за

дач

на п

риме

не-

ние б

ином

а Нью

тона

в к

онте

ксте

ко

ррек

тнос

ти, п

рост

оты,

чет

кост

и и

знач

имос

ти п

олуч

енны

х рез

уль-

тато

в.

•Основны

езакон

ы(прави

ла)к

омби

-на

тори

ки.

•Перестано

вки.

•Разме

щения

.•С

очетания

.•С

войствас

очетаний

.•У

равн

ения

,неравенства,содержа-

щие

элем

енты

ком

бина

тори

ки.

•Бин

омНью

тона.

•Фор

мулаобщ

егочл

енар

азложения

би

нома

.•О

сновны

есвойстваб

ином

иальны

хко

эффи

циен

тов.

•С

войствар

азложения

бин

ома.

изуч

енны

х тип

ов м

нож

еств

и к

омби

нато

рных

за

дач;

–

реш

ение

текс

товы

х и п

ракт

ичес

ких з

адач

из

разл

ичны

х обл

асте

й, со

держ

ащих

элем

енты

ком

-би

нато

рики

;–

реш

ение

ура

внен

ий и

нер

авен

ств,

соде

ржащ

их

элем

енты

ком

бина

тори

ки;

– пр

имен

ение

бин

ома Н

ьюто

на и

/или

фор

мулы

об

щег

о чл

ена р

азло

жен

ия в

раз

личн

ых о

блас

тях;

– ан

ализ

реш

ения

ком

бина

торн

ых за

дач,

про

-бл

емны

х сит

уаци

й ил

и за

дач

на п

риме

нени

е би

нома

Нью

тона

в к

онте

ксте

кор

рекн

ости

, пр

осто

ты, ч

етко

сти

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных

резу

льта

тов;

–

сост

авле

ние и

реш

ение

ком

бина

торн

ых за

-да

ч из

пра

ктич

еско

й де

йств

ител

ьнос

ти и

/или

из

друг

их о

блас

тей.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

алго

ритм

ичес

кий

мето

д,

проб

лемн

ое о

буче

ние,

рабо

та с

учеб

нико

м,

груп

пово

е обу

чени

е, ис

след

ован

ие к

онкр

етно

го

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

кон

трпр

имер

ы,

матр

ица а

ссоц

иаци

й, п

онят

ийна

я ка

рта,

набл

ю-де

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты

и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

(фор

мати

вное

) оце

нива

ние,

итог

о-во

е оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

вани

ем

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е, гр

афич

ески

е и п

ракт

ичес

кие р

абот

ы, м

етод

про

-ек

тов,

исс

ледо

вани

е и д

р.

XI к

ласс

Субк

омпе

тенц

ииСо

держ

ание

Вид

ы уч

ебно

й и

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти (р

еком

енду

емы

е)1

23

1.1.

Рас

позн

аван

ие п

осле

до-

вате

льно

стей

, под

посл

едо-

вате

льно

стей

, ари

фмет

и-че

ских

и ге

омет

риче

ских

пр

огре

ссий

в р

азли

чных

ко

нтек

стах

.1.

2. К

ласс

ифиц

иров

ание

по

след

оват

ельн

осте

й по

кр

итер

иям:

кон

ечны

е, бе

с-ко

нечн

ые, м

онот

онны

е, ог

-ра

ниче

нные

, схо

дящ

иеся

, ра

с хо д

ящие

ся п

осле

дова

-те

льно

сти.

1.3.

Оха

ракт

ериз

иров

ание

по

след

оват

ель н

осте

й, и

с-по

льзу

я ра

злич

ные п

ред-

став

лени

я (ф

орму

лы, г

рафи

-ки

) и/и

ли и

х сво

йств

а.1.

4. А

нали

з и и

нтер

прет

и-ро

вани

е рез

уль т

атов

, пол

у-че

нных

при

реш

ении

зада

ч на

при

мене

ние п

осле

дова

-те

льно

стей

, под

посл

е до-

вате

льно

стей

, про

грес

сий.

1.5.

При

мене

ние п

осле

до-

вате

льно

стей

, про

г рес

сий

в ра

злич

ных о

блас

тях,

в то

м чи

сле,

при

реал

изац

ии п

ро-

стых

про

екто

в.

I. П

осле

дова

тель

ност

и де

йств

ите л

ь ны

х чис

ел•П

онятиеп

осле

дова

-т

ельн

ост

ь дей

стви

-т

ельн

ых ч

исел

.•П

онятиеп

одпо

след

о-ва

тел

ьнос

ть д

ейст

ви-

тел

ьных

чис

ел.

•Кон

ечны

еибес

-ко

нечн

ые п

осле

-до

вате

льно

сти.

•Огранич

енны

епо

след

ова т

ель н

ости

. •М

онотон

ныеп

оследо

-ва

тель

ност

и.

•Ари

фметич

ескаяпр

о-гр

есси

я. С

вой с

тва.

При

-ло

жен

ия.

•Геоме

трич

ескаяпр

о-гр

есси

я. С

вой с

тва.

При

-ло

жен

ия.

•Пределпо

следователь-

ност

и.

•Пон

ятиесх

одящ

ейся

посл

едов

ател

ьнос

ти.

•Пон

ятиерасходящей

-ся

пос

ледо

вате

льно

сти.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

при

веде

ние п

риме

ров

посл

едов

ател

ьнос

тей,

под

-по

след

оват

ельн

осте

й, ар

ифме

тиче

ских

и ге

омет

риче

ских

про

грес

-си

й в

разл

ичны

х кон

текс

тах;

– кл

асси

фици

рова

ние и

оха

ракт

ериз

ован

ие п

осле

дова

тель

ност

ей,

подп

осле

дова

тель

ност

ей п

о ра

злич

ным

крит

ерия

м;–

пост

роен

ие п

риме

ров

и ко

нтрп

риме

ров;

– ан

ализ

иров

ание

и и

нтер

прет

иров

ание

ре з

ульт

атов

, пол

учен

-ны

х при

реш

ении

зада

ч на

при

мене

ние п

осле

дова

тель

ност

ей,

подп

осле

дова

тель

ност

ей, п

рогр

есси

й;–

прим

енен

ие п

осле

дова

тель

ност

ей, п

рогр

есси

й в

разл

ичны

х обл

ас-

тях,

в то

м чи

сле,

при

реал

изац

ии п

рост

ых п

роек

тов;

–

прим

енен

ие те

рмин

олог

ии, о

тнос

ящей

ся к

пон

ятию

пос

ледо

ва-

тель

ност

ь в р

азли

чных

кон

текс

тах;

– со

став

лени

е и р

ешен

ие за

дач

на п

осле

до ва

тель

ност

и, п

рогр

есси

и из

пра

ктич

еско

й де

йств

ител

ьнос

ти и

/или

из д

руги

х обл

асте

й.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, о

буче

ние с

пом

ощью

ком

пью

тера

, дид

акти

чес-

кие и

гры,

алго

ритм

ичес

кий

мето

д, п

робл

емно

е обу

чени

е, гр

уппо

вое

обуч

ение

, исс

ледо

вани

е кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

-но

м, к

онтр

прим

еры,

мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

прак

-ти

ческ

ие р

абот

ы и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

енив

ание

с ис

поль

зо-

вани

ем к

омпь

юте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е и п

ракт

и-че

ские

раб

оты,

мет

од п

роек

тов,

исс

ледо

вани

е и д

р.

24 25

12

32.1

. Оха

ракт

ериз

ован

ие ф

ун-

кций

и и

нтер

прет

иров

ание

не

кото

рых с

войс

тв ф

ункц

ий

поср

едст

вом

чтен

ия гр

афи-

ков и

/или

соот

ветс

твую

щих

ан

алит

ичес

ких ф

орму

л. 2.2

. При

мене

ние а

лгор

итма

вы

числ

ения

пре

дела

фун

кции

в т

очке

и и

зуче

нных

алго

рит-

мов и

склю

чени

я нео

пред

е-ле

ннос

ти п

ри ре

шен

ии за

дач.

2.3.

Исп

ольз

ован

ие те

рми-

ноло

гии

и си

мвол

ики,

адек

-ва

тной

пон

ятия

м пр

едел

, не

прер

ывно

сть ф

ункц

ии, в

ра

злич

ных к

онте

кста

х. 2.

4. И

дент

ифиц

иров

ание

не

прер

ывно

сти,

точе

к не

-пр

ерыв

ност

и фу

нкци

и на

ос

нова

нии

анал

итич

ески

х фо

рмул

. 2.

5. П

риме

нени

е сво

йств

не

прер

ывны

х фун

кций

на

множ

еств

е фун

кций

в р

аз-

личн

ых к

онте

кста

х. 2.

6. П

риве

дени

е при

ме-

ров

функ

ций,

ком

пози

ции

функ

ций,

кот

орые

име

ют/

не и

мею

т пре

дел

в за

данн

ой

точк

е, яв

ляю

тся/

не я

вляю

т-ся

неп

реры

вным

и на

зада

н-но

м пр

омеж

утке

.

II. П

реде

лы ф

ункц

ий.

Неп

реры

вны

е фун

кции

•П

онятиеп

реде

л фун

кции

в т

очке

. • П

онят

ие пр

едел

фун

кции

на ∞

. • Т

очка

нак

опле

ния,

из

олир

ован

ная

точк

а мн

ожес

тва.

• Одн

осто

ронн

ие п

реде

лы.

• Выч

исле

ние п

реде

лов

функ

-ци

й.

• Опе

раци

и на

д пр

едел

ами

функ

ций.

Нео

пред

елен

ност

и в

опер

ация

х над

пре

дела

ми

функ

ций.

• Зам

ечательн

ыепределы

• Асимп

тоты

граф

иковчисло

-вы

х фун

кций

.• П

онят

ие н

епре

рывн

ая ф

унк-

ция

в точ

ке.

• Точк

а раз

рыва

. • Н

епре

рывн

ость

слев

а. Н

е-пр

ерыв

ност

ь спр

ава.

• Крит

ерии

неп

реры

внос

ти.

• Фун

кция

неп

реры

вная

на

множ

еств

е.• Н

епре

рывн

ость

элем

ента

р-ны

х фун

кций

.

Упра

жне

ния

на:

– чт

ение

граф

иков

и/и

ли ан

алит

ичес

ких ф

орму

л в

конт

екст

е ох

арак

тери

зова

ния

функ

ции

и ин

терп

рети

рова

ния

ее св

ойст

в;–

опре

деле

ние т

очек

нак

опле

ния,

изо

лиро

ванн

ых то

чек

разл

ич-

ных м

нож

еств

;–

испо

льзо

вани

е тер

мино

логи

и и

симв

олик

и, ад

еква

тной

пон

я-ти

ям п

реде

л, н

епре

рывн

ость

фун

кции

, в р

азли

чных

кон

текс

тах;

– ре

шен

ие за

дач,

при

водя

щее

к в

веде

нию

поня

тия

пред

ел ф

унк-

ции

в точ

ке;

– ре

шен

ие за

дач,

при

водя

щее

к в

веде

нию

поня

тий

непр

ерыв

ная

функ

ция

в точ

ке, н

епре

рывн

ост

ь сле

ва, н

епре

рывн

ост

ь спр

ава;

– ид

енти

фици

рова

ние н

епре

рывн

ости

, точ

ек н

епре

рывн

ости

фу

нкци

и на

осн

ован

ии ан

али т

ичес

ких ф

орму

л;–

прим

енен

ие св

ойст

в не

прер

ывны

х на п

роме

жут

ке ф

ункц

ий в

ра

злич

ных к

онте

кста

х;–

прив

еден

ие п

риме

ров

функ

ций,

ком

пози

ции

функ

ций,

име

ю-щ

их/н

е име

ющих

пре

дела

в за

данн

ой то

чке,

явля

ющим

ися/

не-

явля

ющим

ися

непр

ерыв

ными

на з

адан

ном

пром

ежут

ке;

– оп

реде

лени

е аси

мпто

т гра

фико

в фу

нкци

й.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, о

буче

ние с

пом

ощью

ком

пью

тера

, дид

ак-

тиче

ские

игр

ы, ал

гори

тмич

ески

й ме

тод,

про

блем

ное о

буче

ние,

иссл

едов

ание

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

ко

нтрп

риме

ры, м

атри

ца ас

соци

аций

, пон

ятий

ная

карт

а, пр

ак-

тиче

ские

, гра

фиче

ские

раб

оты,

мод

елир

ован

ие, м

ежпр

едме

т-ны

е и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вязи

и д

р.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

енив

ание

с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

тиро

вани

е, ус

тные

, пи

сьме

нные

и п

ракт

ичес

кие р

абот

ы, м

етод

про

екто

в, гр

афич

ес-

кие р

абот

ы и

др.

12

32.

7. А

нали

з реш

ения

зада

ч на

пр

имен

ение

неп

реры

вных

фун

-кц

ий в

кон

текс

те к

орре

ктно

сти,

пр

осто

ты, ч

етко

сти

и зн

ачи-

мост

и по

луче

нных

рез

ульт

атов

.• Опе

раци

и на

д не

прер

ывны

ми

функ

циям

и.• Св

ойст

ва н

епре

рывн

ых ф

ункц

ий.

3.1.

При

веде

ние п

риме

ров

дифф

ерен

циро

ванн

ых ф

унк-

ций

и/ил

и не

дифф

ерен

циро

-ва

ннх ф

ункц

ий (с

лева

. спр

ава)

в

точк

е, на

про

меж

утке

.3.

2. П

риме

нени

е алг

орит

мов

дифф

ерен

ци ро

вани

я пр

и ре

-ш

ении

зада

ч и/

или

при

иссл

е-до

вани

и де

йств

ител

ьных

и

смод

елир

о ван

ных п

роце

ссов

.3.

3. К

ачес

твен

ное и

кол

ичес

т-ве

нное

изу

чени

е фун

кций

, ис-

поль

зуя

изуч

енны

й ал

гори

тм

иссл

едов

ания

фун

кции

.3.

4. И

спол

ьзов

ание

свой

ств

дифф

ерен

ци ру

емых

фун

кций

, им

еющ

их л

окал

ьный

и/и

ли гл

о-ба

льны

й ха

ракт

ер, п

ри р

еше-

нии

зада

ч на

мак

симу

м и

мини

-му

м из

раз

личн

ых о

блас

тей.

3.

5. П

риме

нени

е мет

одов

, ос-

нова

нных

на п

риме

нени

и пр

о-из

водн

ой, д

иффе

ренц

иала

, как

ка

чест

венн

о но

вых м

етод

ов и

с-сл

едов

ания

фун

кции

, реш

ения

те

орет

ичес

ких и

/или

пра

кти-

ческ

их за

дач.

III.

Диф

фер

енци

руем

ые ф

ункц

ии.

При

мене

ние п

роиз

водн

ой•П

онятиеп

роиз

водн

ая, п

рава

я, ле

-ва

я пр

оизв

одна

я фу

нкци

и в т

очке

.•З

адачиизразли

чных

областей,

прив

одящ

ие к

пон

ятию

про

изво

д-на

я.•Г

еоме

трич

ески

йифи

зический

см

ысл

прои

звод

ной.

Ура

внен

ие к

а-са

тель

ной

к гр

афик

у фун

кции

в то

ч-ке

.•Ф

унукци

и,диф

ференц

ируемы

ена

мно ж

еств

е.•П

роизводн

аяn

-го

поря

дка.

•Про

изводн

аясл

ожно

йфу

нкци

и.•Т

абли

цапро

изводн

ыхэл

ементар-

ных ф

ункц

ий.

•Выч

ислени

епро

изводн

ых.П

рави

-ла

выч

исле

ния

прои

звод

ных.

•Пон

ятиеди

ффер

енци

ал ф

ункц

ии.

Пра

вила

выч

исле

ния

дифф

ерен

-ци

алов

.•П

риложения

диф

ференц

иаловпр

ипр

ибли

жен

ном

вычи

слен

ии.

•Кри

тическието

чки.

•Точ

киэк

стрему

ма,экстрем

умы

функ

ции.

Упра

жне

ния

на:

– пр

ивед

ение

при

меро

в ди

ффер

енци

рова

нных

фун

к-ци

й и/

или

неди

ффер

енци

рова

нных

фун

кций

(сле

ва,

спра

ва) в

точк

е, на

про

меж

утке

.–

пост

роен

ие к

асат

ельн

ой к

граф

ику ф

ункц

ии и

на-

хож

дени

е ее у

глов

ого

коэф

фици

ента

, выч

исле

ние

мгно

венн

ой ск

орос

ти те

ла;

– пр

имен

ение

алго

ритм

ов д

иффе

ренц

иров

ания

при

ре

шен

ии за

дач

и пр

и ис

след

ован

ии п

роце

ссов

из р

аз-

личн

ых о

блас

тей;

– ка

чест

венн

ое и

кол

ичес

твен

ное и

зуче

ние ф

ункц

ий,

испо

льзу

я из

учен

ный

алго

ритм

исс

ледо

вани

я фу

нк-

ции;

– ре

шен

ие за

дач

на м

акси

мум

и ми

ниму

м из

раз

ных

обла

стей

, исп

ольз

уя п

роиз

водн

ую, д

иффе

ренц

иал;

–

прим

енен

ие м

етод

ов, о

снов

анны

х на п

риме

нени

и пр

оизв

одно

й, д

иффе

ренц

иала

, как

кач

еств

енно

но-

вых м

етод

ов и

ссле

дова

ния

функ

ции,

реш

ения

теор

е-ти

ческ

их и

/или

пра

ктич

ески

х зад

ач;

– пр

имен

ение

про

изво

дных

при

изу

чени

и фи

зиче

с-ки

х, со

циал

ьных

, эко

номи

ческ

их п

роце

ссов

пос

редс

-тв

ом р

ешен

ия за

дач

на м

акси

мум

и/ил

и на

мин

имум

;–

вычи

слен

ие п

реде

лов

функ

ций

с пом

ощью

про

из-

водн

ой, и

спол

ьзуя

пра

вила

Лоп

итал

я;–

сост

авле

ние и

реш

ение

зада

ч на

про

изво

дную

, диф

-фе

ренц

иал

из п

ракт

ичес

кой

дейс

тви т

ельн

ости

и/и

ли

из д

руги

х обл

асте

й.

26 27

12

33.

6. И

спол

ьзов

ание

мех

анич

еско

го и

ге

омет

риче

ског

о см

ысло

в пр

оизв

од-

ной

при

реш

ении

зада

ч из

раз

личн

ых

обла

стей

. 3.

7. А

нали

з реш

ения

про

блем

, про

-бл

емны

х сит

уаци

й на

при

мене

ние п

ро-

изво

дных

, диф

фере

нциа

лов

функ

ций

в ко

нтек

сте к

орре

ктно

сти,

про

стот

ы,

четк

ости

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных

резу

льта

тов.

3.8.

При

мене

ние п

роиз

водн

ых п

ри

изуч

ении

физ

ичес

ких,

соци

альн

ых,

экон

омич

ески

х про

цесс

ов п

осре

д-ст

вом

реш

ения

зада

ч на

мак

симу

м и/

или

на м

иним

ум.

•Свойствад

иффе

ренц

ируе

-мы

х фун

к ций

: тео

ремы

Фер

-ма

, Рол

ля, Л

агра

н жа.

•При

ложения

про

изводн

ой

1 и 2

поря

д ка в

исс

ледо

вани

и фу

нкци

и, гр

афи ч

еско

е изо

б-ра

жен

ие ф

ункц

ии.

•Выч

ислени

епределовфу

н-кц

ии с

по мо

щью

про

изво

д-но

й. П

рави

ла Л

опи т

аля.

•При

ложения

про

изводн

ых

в фи

зике

, гео

метр

ии, э

коно

-ми

ке, с

оцио

логи

и.

•Задачинамаксиму

мими

-ни

мум.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

обу

чени

е с п

омощ

ью к

омпь

ю-те

ра, д

идак

тиче

ские

игр

ы, ал

гори

тмич

ески

й ме

тод,

пр

обле

мное

обу

чени

е, ис

след

ован

ие к

онкр

етно

го

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

кон

трпр

имер

ы,

матр

ица а

ссоц

иаци

й, п

онят

ийна

я ка

рта,

прак

тиче

с-ки

е, гр

афич

ески

е раб

оты,

мод

елир

ован

ие, м

ежпр

ед-

метн

ые и

вну

трип

редм

етны

е свя

зи и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

вани

ем к

омпь

юте

ра,

тест

иров

ание

, уст

ные,

пись

менн

ые и

пра

ктич

ески

е ра

боты

, мет

од п

роек

тов,

граф

ичес

кие р

абот

ы и

др.

4.1.

Исп

ольз

ован

ие те

рмин

олог

ии,

адек

ватн

ой п

онят

ию к

омпл

ексн

ое ч

ис-

ло, в

раз

личн

ых к

онте

кста

х. 4.

2. П

риме

нени

е ком

плек

сных

чис

ел,

запи

санн

ых в

алге

браи

ческ

ой и

три-

гоно

метр

ичес

кой

форм

ах, о

пера

ций

с ни

ми п

ри р

ешен

ии за

дач.

4.3.

Пре

обра

зова

ние к

омпл

ексн

ых ч

и-се

л из

алге

браи

ческ

ой ф

ормы

в тр

иго-

номе

трич

еску

ю фо

рму и

обр

атно

. 4.4

. Изо

браж

ение

зада

нног

о ко

мпле

кс-

ного

чис

ла и

его

моду

ля н

а коо

рдин

ат-

ной

плос

кост

и и

испо

льзо

вани

е так

их

изоб

раже

ний

при

реш

ении

зада

ч.4.

5. П

одбо

р ст

рате

гий

для

реш

ения

за-

дач,

соде

ржащ

их в

ыпол

нени

е опе

ра-

ций

с ком

плек

сным

и чи

слам

и.

IV. К

омпл

ексн

ые ч

исла

•Пон

ятиек

омпл

ексн

ое ч

исло

. М

но ж

еств

о C.

•Алгебраич

ескаяфо

рма

комп

лек с

ного

чис

ла.

•Ари

фметич

ески

еопераци

ис к

ом пл

ексн

ыми

числ

ами,

за-

писа

нным

и в

алге

браи

ческ

ой

форм

е. •Г

еоме

трич

еско

еизобр

аже-

ние к

ом пл

ексн

ых ч

исел

. •М

одульк

омпл

ексногочи

сла.

•Три

гоно

метрич

ескаяфо

рма

ком п

ле к с

ного

чис

ла.

•Операци

иск

омлексны

ми

числ

ами,

запи

санн

ыми

в три

-го

номе

трич

еско

й фо

рме

Упра

жне

ния

на:

– вы

явле

ние н

еобх

одим

ости

рас

шер

ения

пон

ятия

чи

сла;

– ис

поль

зова

ние т

ерми

ноло

гии,

адек

ватн

ой п

онят

ию

комп

лекс

ное ч

исло

, в р

азли

чных

кон

текс

тах.

– ра

споз

нава

ние д

ейст

вите

льно

й и

мним

ой ч

асте

й ко

мпле

ксно

го ч

исла

; –

прео

браз

ован

ие к

омпл

ексн

ых ч

исел

из а

лгеб

раи-

ческ

ой ф

ормы

в тр

игон

омет

риче

скую

фор

му и

об-

ратн

о;

– пр

имен

ение

ком

плек

сных

чис

ел, з

апис

анны

х в ал

-ге

браи

ческ

ой и

триг

оном

етри

ческ

ой ф

орма

х, оп

ера-

ций

с ним

и пр

и ре

шен

ии за

дач;

– вы

полн

ение

опе

раци

й с к

омпл

ексн

ыми

числ

ами,

за

писа

нным

и в

разн

ых ф

орма

х; –

прим

енен

ие к

омпл

ексн

ых ч

исел

при

реш

ении

за-

дач;

12

34.

6. О

тбор

адек

ватн

ых ал

гори

тмов

для

вы

полн

ения

выч

исле

ний

с ком

плек

с-ны

ми ч

исла

ми и

реш

ения

ура

внен

ий н

а мн

ожес

тве C

. 4.

7. П

одбо

р ад

еква

тной

фор

мы за

писи

ко

мпле

ксно

го ч

исла

в за

виси

мост

и от

ко

нкре

тног

о сл

учая

, с ц

елью

реш

ения

со

отве

тств

ующ

ей за

дачи

.4.

8. В

ыяв

лени

е ана

логи

й ме

жду

свой

-ст

вами

опе

раци

й с д

ейст

вите

льны

ми

числ

ами

и с к

омпл

ексн

ыми

числ

ами

и пр

имен

ение

таки

х ана

логи

й пр

и ре

ше-

нии

зада

ч.

4.9.

Обо

бщен

ие п

онят

ия ч

исла

пут

ем

расш

ирен

ия эт

ого

поня

тия

от н

атур

аль-

ных ч

исел

до

комп

лекс

ных ч

исел

.

(умн

ожен

ие, д

елен

ие, в

озве

-де

ние в

степ

ень с

нат

урал

ь-ны

м по

каза

теле

м, и

звле

чени

е ко

рня

n ст

е пен

и, n

, 2 ≤

n ≤

6,

n∈N*

). •У

равн

ения

IIст

епени,

бикв

ад ра

т ные

ура

внен

ия, б

и-но

мные

(дву

член

ные)

ура

в-не

ния,

симм

етри

ческ

ие у

рав-

нени

я III

и IV

степ

еней

на

множ

еств

е C.

– по

дбор

адек

ватн

ой ф

ормы

запи

си к

омпл

ексн

ого

числ

а в за

виси

мост

и от

кон

крет

ного

случ

ая, с

це-

лью

реш

ения

соот

ветс

твую

щей

зада

чи;

– ре

шен

ие у

равн

ений

II ст

епен

и, б

иква

драт

ных

урав

нени

й, б

ином

ных у

равн

ений

, сим

метр

и чес

ких

урав

нени

й III

и IV

степ

еней

на м

нож

еств

е C.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

дид

акти

ческ

ие и

гры,

алго

рит-

миче

ский

мет

од, п

робл

емно

е обу

чени

е, гр

уппо

-во

е обу

чени

е, ис

след

ован

ие к

онкр

етно

го сл

учая

с п

ракт

ичес

ким

укло

ном,

кон

трпр

имер

ы, м

атри

-ца

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

лиро

вани

е, ме

жпр

едме

тные

и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вязи

и д

р.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее оц

енив

ание

, ито

гово

е оце

нива

ние,

оцен

и-ва

ние с

исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е раб

оты,

исс

ледо

вани

е и др

.5.

1. Р

аспо

знав

ание

в р

азли

чных

ситу

а-ци

ях и

зуче

нных

типо

в ма

триц

, опр

еде-

лите

лей,

сист

ем л

иней

ных у

равн

ений

.5.

2. М

одел

иров

ание

пра

ктич

ески

х си-

туац

ий, р

еаль

ных п

роце

ссов

, в то

м чи

с-ле

, из т

ехни

ки и

экон

омик

и, в

ключ

ая

данн

ые в

табл

ицы

матр

ично

го ти

па.

5.3.

Реш

ение

ура

внен

ий и

сист

ем у

рав-

нени

й, и

спол

ьзуя

алго

ритм

ы, сп

ециф

ич-

ные в

ычис

лени

ю ма

триц

и/и

ли о

пред

е-ли

теле

й.5.

4. О

пред

елен

ие ус

лови

й со

вмес

тнос

ти

и/ и

ли н

есов

мест

ност

и си

стем

лин

ей-

ных у

равн

ений

и п

риме

нени

е аде

кват

-ны

х мет

одов

их р

ешен

ия.

V. М

атри

цы. О

пред

елит

ели.

Си

стем

ы л

иней

ных

урав

нени

й•П

онятием

атри

ца. Ч

астн

ые

случ

аи.

•Действи

ясм

атри

цами

.Св

ойст

ва.

•Обр

атим

аяматри

ца.В

ычис

-ле

ние о

брат

ной

матр

ицы.

•Матри

чные

уравн

ения

:A.

X =

B;

Y.A

= B;

A.

X.B

= C.

•П

онятиеоп

реде

лит

ель в

то-

рого

пор

ядка

, тре

тье

го п

оряд

-ка

, n-г

о по

рядк

а.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние в

раз

личн

ых си

туац

иях и

зуче

н-ны

х тип

ов м

атри

ц, о

пред

елит

елей

, сис

тем

лине

й-ны

х ура

внен

ий;

– мо

дели

рова

ние п

ракт

ичес

ких с

итуа

ций,

реа

ль-

ных п

роце

ссов

, в то

м чи

сле,

из те

хник

и и

экон

оми-

ки, в

ключ

ая д

анны

е в та

блиц

ы ма

трич

ного

типа

;–

вычи

слен

ие о

пред

елит

елей

вто

рого

, тре

тьег

о,

четв

ерто

го п

оряд

ков;

–

реш

ение

ура

внен

ий и

сист

ем у

равн

ений

, исп

оль-

зуя

алго

ритм

ы, сп

ециф

ичны

е выч

исле

нию

матр

иц

и/ил

и оп

реде

лите

лей;

–

опре

деле

ние у

слов

ий со

вмес

тнос

ти и

/ или

нес

ов-

мест

ност

и си

стем

лин

ейны

х ура

внен

ий и

при

мене

-ни

е аде

кват

ных м

етод

ов и

х реш

ения

;

28 29

12

35.

5. П

риме

нени

е изу

ченн

ых ал

гори

т-мо

в, св

ойст

в и

прав

ил в

ычис

лени

я ма

т-ри

ц, о

пред

елит

елей

и си

стем

лин

ейны

х ур

авне

ний

при

реш

ении

зада

ч.

5.6.

Ана

лиз р

ешен

ия за

дач

на в

ычис

-ле

ние м

атри

ц, о

пред

елит

елей

и си

стем

ли

нейн

ых у

равн

ений

в к

онте

ксте

кор

-ре

ктно

сти,

про

стот

ы, ч

етко

сти

и зн

ачи-

мост

и по

луче

нных

рез

ульт

атов

.

•Основны

есвойства,необ

хо-

димы

е для

выч

исле

ния

опре

-де

лите

лей.

•В

ычислени

еопр

еделителей

вто р

ого,

трет

ьего

, чет

верт

ого

по ря

дков

. •С

истемы

лин

ейны

хуравн

е-ни

й ти

па m

×n, m

, n∈

N*, m

, n

≤ 4.

.•О

днор

одны

есистемы

лин

ей-

ных у

ра в н

ений

типа

m×n

, m,

n∈N*

, m, n

≤ 4

.•П

рави

лоКраме

ра,м

етодГа

-ус

са, м

атри

чный

мет

од.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

обу

чени

е с п

омощ

ью к

омпь

ю-те

ра, д

идак

тиче

ские

игр

ы, ал

гори

тмич

ески

й ме

-то

д, п

робл

емно

е обу

чени

е, гр

уппо

вое о

буче

ние,

дока

зате

льст

во, и

ссле

дова

ние к

онкр

етно

го сл

учая

с п

ракт

ичес

ким

укло

ном,

кон

трпр

имер

ы, м

атри

ца

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

лиро

вани

е, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы, м

ежпр

едме

тные

и в

нутр

и-пр

едме

тные

связ

и, ан

алог

ия и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

вани

ем к

омпь

юте

ра,

тест

иров

ание

, уст

ные,

пись

менн

ые р

абот

ы, м

етод

пр

оект

ов, и

ссле

дова

ние и

др.

6.1.

Опи

сани

е вза

имны

х рас

поло

же-

ний

точе

к, п

рямы

х, фи

гур

на п

лоск

ос-

ти, п

лоск

осте

й и

тел

в пр

остр

анст

ве в

ре

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

и-ту

ация

х. 6.

2. П

остр

оени

е мод

елей

вза

имно

го

расп

олож

ения

точе

к, п

рямы

х, фи

гур

на

плос

кост

и и

в пр

остр

анст

ве, п

лоск

осте

й и

тел

в пр

остр

анст

ве, и

спол

ьзуя

адек

-ва

тные

мат

ериа

лы.

6.3.

Изо

браж

ение

на п

лоск

ости

пло

ских

и/

или

прос

тран

стве

нных

геом

етри

чес-

ких к

онфи

гу ра

ций,

исп

ольз

уя ад

еква

т-ны

е инс

трум

енты

. 6.

4. П

риме

нени

е при

знак

ов п

арал

лель

-но

сти

прям

ых, п

рямы

х и п

лоск

осте

й,

плос

кост

ей п

ри р

ешен

ии за

дач,

в р

еаль

-ны

х и/и

ли см

одел

иров

анны

х сит

уаци

ях.

VI.

Пар

алле

льно

сть

в пр

о-ст

ранс

тве

• Аксио

мыплани

метрии

.• А

ксио

мыст

ереоме

трии

.Св

ойст

ва п

лоск

ости

. • В

заим

ное р

аспо

лож

ение

пр

ямых

в п

рост

ранс

тве.

Па-

ралл

ельн

ые п

ря мы

е в п

ро-

стра

нств

е.• В

заим

ное р

аспо

лож

ение

пр

ямой

и п

лоск

ости

. Пря

-ма

я, п

арал

лель

ная

плос

кост

и,

свой

ства

, при

знак

. • В

заим

ное р

аспо

лож

ение

пл

оско

с тей

. Пар

алле

льны

е пл

оско

сти,

свой

ства

, при

знак

.Упра

жне

ния

на:

– оп

исан

ие в

заим

ных р

аспо

лож

ений

точе

к, п

ря-

мых,

фигу

р на

пло

скос

ти, п

лоск

осте

й и

тел

в пр

о-ст

ранс

тве;

– мо

дели

рова

ние в

заим

ных р

аспо

лож

ений

точе

к,

прям

ых, ф

игур

на п

лоск

ости

и в

про

стра

нств

е, пл

оско

стей

и те

л в

прос

тран

стве

;–

изоб

раж

ение

на п

лоск

ости

пло

ских

и/и

ли п

ро-

стра

нств

енны

х гео

метр

ичес

ких к

онфи

гу ра

ций,

ис-

поль

зуя

адек

ватн

ые и

нстр

умен

ты;

– до

каза

тель

ство

;–

прим

енен

ие п

ризн

аков

пар

алле

льно

сти

прям

ых,

прям

ых и

пло

скос

тей,

пло

скос

тей

при

реш

ении

за-

дач,

в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

ци-

ях;

– ра

споз

нава

ние п

лоск

их ф

игур

в со

став

е про

-ст

ранс

твен

ных ф

игур

в к

онте

ксте

отн

ошен

ия п

а-ра

ллел

ьнос

ти;

12

36.

5. Р

аспо

знав

ание

пло

ских

фиг

ур в

сост

аве

прос

тран

стве

нных

фиг

ур в

кон

текс

те о

тно-

шен

ия п

арал

лель

ност

и в

реал

ьных

и/и

ли см

о-де

лиро

ванн

ых си

туац

иях.

6.6.

Вы

явле

ние а

нало

гий

меж

ду св

ойст

вами

ге

омет

риче

ских

фиг

ур н

а пло

скос

ти и

в п

рос-

тран

стве

в к

онте

ксте

отн

ошен

ия п

арал

лель

-но

сти

и их

исп

ольз

ован

ие п

ри р

ешен

ии за

дач.

6.7.

При

мене

ние с

войс

тв п

лоск

их ге

омет

ри-

ческ

их ф

игур

отн

осит

ельн

о их

вза

имно

го р

ас-

поло

жен

ия и

отн

ошен

ия п

арал

лель

ност

и в

прос

тран

стве

в р

азли

чных

кон

текс

тах.

6.8.

Обо

снов

ание

зада

нног

о ил

и по

луче

нног

о ге

омет

риче

ског

о ре

зуль

тата

пос

редс

твом

аргу

-ме

нтир

ован

ия, д

оказ

ател

ьств

а. 6.9

. При

мене

ние к

омпь

ютер

а в ко

нтек

сте м

оде-

лиро

вани

я и ра

споз

нава

ния в

заим

ных р

аспо

ло-

жени

й фи

гур в

про

стра

нств

е с ц

елью

фор

миро

-ва

ния и

разв

ития

про

стра

нств

енно

го м

ышле

ния.

6.10

. Изв

лече

ние з

начи

мых э

леме

нтов

и и

н-фо

рмац

ий и

з про

стра

нств

енны

х гео

мет-

риче

ских

кон

фигу

раци

й и

их п

лоск

остн

ых

изоб

раж

ений

для

реш

ения

реа

льны

х и/и

ли

смод

елир

ован

ных з

адач

.

– пр

имен

ение

свой

ств

плос

ких г

еоме

трич

ески

х фи

гур

отно

сите

льно

их в

заим

ного

рас

поло

жен

ия и

от

нош

ения

пар

алле

льно

сти

в пр

остр

анст

ве;

– со

став

лени

е и р

ешен

ие за

дач

на в

заим

ное р

ас-

по ло

жен

ие и

отн

ошен

ие п

арал

лель

ност

и в

прос

т-ра

нств

е из д

ейст

вите

льно

сти

и/ил

и из

дру

гих о

б-ла

стей

; –

обос

нова

ние з

адан

ного

или

пол

учен

ного

гео-

метр

ичес

кого

рез

ульт

ата п

осре

дств

ом ар

гу ме

н-ти

рова

ния,

док

азат

ельс

тва.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

дока

зате

льст

во, о

буче

ние с

по-

мощ

ью ко

мпью

тера

, дид

акти

ческ

ие и

гры,

про

блем

-но

е обу

чени

е, гр

уппо

вое о

буче

ние,

иссл

едов

ание

ко

нкре

тног

о слу

чая с

пра

ктич

ески

м ук

лоно

м, ко

нтр-

прим

еры,

мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я кар

та,

прак

тиче

ские

раб

оты

на м

естн

ости

, мод

елир

ован

ие,

меж

пред

метн

ые и

внут

рипр

едме

тные

связ

и, ан

ало-

гия,

лабо

рато

рные

раб

оты,

звез

дный

взры

в и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оце-

нива

ние с

исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

ро-

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные,

прак

тиче

ские

раб

оты,

ме

тод

прое

ктов

, исс

ледо

вани

е и д

р.7.

1. Р

аспо

знав

ание

и о

писа

ние в

заим

ных р

ас-

поло

жен

ий то

чек,

пря

мых,

фигу

р на

пло

скос

ти

и в

прос

тран

стве

, пло

скос

тей

в пр

остр

анст

ве

в ко

нтек

сте о

тнош

ения

пер

пенд

икул

ярно

сти

в ре

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 7.

2. М

одел

иров

ание

, исп

ольз

уя ад

еква

тные

ма

тери

алы,

раз

личн

ые в

заим

орас

поло

жен

ия

точе

к, п

рямы

х, фи

гур

на п

лоск

ости

и в

VII

. Пер

пенд

икул

яр-

ност

ь в

прос

тран

стве

•Перпенд

икуляр

ные

прям

ые в

про

стра

нс-

тве,

свой

ства

, при

знак

.•П

ряма

я,перпенд

и-ку

лярн

ая п

лос к

ости

, св

ойст

ва, п

ризн

ак.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

опи

сани

е вза

имны

х рас

-по

лож

ений

точе

к, п

рямы

х, фи

гур

на п

лоск

ости

и

в пр

остр

анст

ве, п

лоск

осте

й в

прос

тран

стве

в к

он-

текс

те о

тнош

ения

пер

пенд

икул

ярно

сти

в пр

о-ст

ранс

тве;

– мо

дели

рова

ние,

испо

льзу

я ад

еква

тные

мат

ериа

-лы

, раз

личн

ые в

заим

орас

поло

жен

ия то

чек,

30 31

12

3пр

остр

анст

ве, п

лоск

осте

й в

прос

тран

стве

в

конт

екст

е отн

ошен

ия п

ерпе

ндик

уляр

ност

и в

прос

тран

стве

. 7.

3. И

зобр

ажен

ие н

а пло

скос

ти п

лоск

их и

/или

пр

остр

анст

венн

ых ге

омет

риче

ских

кон

фигу

ра-

ций

в ко

нтек

сте о

тнош

ения

пер

пенд

икул

ярно

с-ти

в п

рост

ранс

тве.

7.4.

При

мене

ние п

ризн

аков

пер

пенд

икул

ярно

с-ти

пря

мых,

прям

ых и

пло

скос

тей,

пло

скос

тей

при

реш

ении

зада

ч в

реал

ьных

и/и

ли см

одел

и-ро

ванн

ых си

туац

иях.

7.5.

Рас

позн

аван

ие п

лоск

их ф

игур

в со

став

е пр

остр

анст

венн

ых ф

игур

в к

онте

ксте

отн

о-ш

ения

пер

пенд

икул

ярно

сти

в ре

альн

ых и

/или

см

одел

иров

анны

х сит

уаци

ях.

7.6. В

ыяв

лени

е ана

логи

й ме

жду

свой

ства

ми ге

о-ме

трич

ески

х фиг

ур н

а пло

скос

ти и

в пр

остр

анс-

тве в

конт

екст

е отн

ошен

ия п

ерпе

ндик

уляр

ност

и и

их и

спол

ьзов

ания

при

реш

ении

зада

ч.7.

7. П

риме

нени

е сво

йств

пло

ских

геом

етри

-че

ских

фиг

ур в

кон

текс

те о

тнош

ения

пер

пенд

и-ку

лярн

ости

в п

рост

ранс

тве в

раз

личн

ых к

он-

текс

тах.

7.8. И

звле

чени

е зна

чимы

х эле

мент

ов и

инф

орма

-ци

й из

про

стра

нств

енны

х гео

метр

и чес

ких к

онфи

-гу

раци

й и

их п

лоск

остн

ых и

зобр

ажен

ий дл

я ре-

шен

ия р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

ных з

адач

. 7.

9. П

риме

нени

е ком

пью

тера

в к

онте

ксте

мод

е-ли

рова

ния

и ра

споз

нава

ния

взаи

мных

рас

по-

лож

ений

фиг

ур в

про

стра

нств

е с ц

елью

фор

-ми

рова

ния

и ра

звит

ия п

рост

ранс

твен

ного

мы

шле

ния.

•Расстояни

еотт

оч-

ки д

о пр

ямой

, от

точк

и до

пло

скос

ти,

от п

рямо

й до

пло

с-ко

сти.

•Теорема

отр

ех

перп

енди

куля

рах.

Обр

атна

я те

орем

а. •П

ерпенд

икуляр

-ны

е пло

скос

ти,

сво й

ст ва

, при

знак

. •О

ртогон

альн

ые

прое

кции

точе

к, о

т-ре

зков

, пря

мых н

а пл

оско

сть.

•Уголме

ждупря

-мо

й и

плос

кост

ью.

•Двугранны

йугол.

прям

ых, ф

игур

на п

лоск

ости

и в

про

стра

нств

е, пл

ос-

кост

ей в

про

стра

нств

е в к

онте

ксте

отн

ошен

ия п

ер-

пенд

икул

ярно

сти

в пр

остр

анст

ве;

– из

обра

жени

е на п

лоск

ости

пло

ских

и/и

ли п

рост

ранс

-тв

енны

х гео

метр

ичес

ких к

онфи

гура

ций

в кон

текс

те

отно

шен

ия п

ерпе

ндик

уляр

ност

и в п

рост

ранс

тве;

– пр

имен

ение

при

знак

ов п

ерпе

ндик

уляр

ност

и пр

я-мы

х, пр

ямых

и п

лоск

осте

й, п

лоск

осте

й;–

расп

озна

вани

е пло

ских

фиг

ур в

сост

аве п

рост

ранс

-тв

енны

х фиг

ур в

кон

текс

те о

тнош

ения

пер

пенд

ику-

лярн

ости

впр

остр

анст

ве;

– вы

явле

ние а

нало

гий

меж

ду св

ойст

вами

геом

етри

-че

ских

фиг

ур н

а пло

скос

ти и

в п

рост

ранс

тве в

кон

-те

ксте

отн

ошен

ия п

ерпе

н дик

уляр

ност

и и

их и

спол

ь-зо

вани

е при

реш

ении

зада

ч;–

прим

енен

ие св

ойст

в пл

оски

х гео

метр

ичес

ких ф

и-гу

р в

конт

екст

е отн

ошен

ия п

ерпе

н ди к

уляр

ност

и в

прос

тран

стве

в р

азли

чных

кон

текс

тах;

– вы

числ

ение

дли

н от

резк

ов и

вел

ичин

угло

в на

пл

оско

сти

и в

прос

тран

стве

(уго

л ме

жду

дву

мя п

ря-

мыми

, уго

л ме

жду

пря

мой

и пл

оско

стью

, уго

л ме

жду

дв

умя

плос

кост

ями,

дву

гран

ный

угол

);–

сост

авле

ние и

реш

ение

зада

ч на

отн

ошен

ие п

ерпе

н-ди

куля

рнос

ти в

про

стра

нств

е из д

ейст

вите

льно

сти

и/ил

и из

дру

гих о

блас

тей;

–

обос

нова

ние з

адан

ного

или

пол

учен

ного

геом

етри

-че

ског

о ре

зуль

тата

пос

редс

твом

аргу

мент

иров

ания

, до

каза

тель

ства

.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, д

оказ

ател

ьств

о, о

буче

ние с

по-

мощ

ью к

омпь

юте

ра, д

идак

тиче

ские

игр

ы, п

робл

ем-

ное о

буче

ние,

груп

пово

е обу

чени

е, ис

след

ован

ие

12

37.1

0. Вы

числ

ение

длин

отр

езко

в и ве

ли-

чин

угло

в на п

лоск

ости

и в

прос

тран

стве

(у

гол м

ежду

двум

я пря

мыми

, уго

л меж

ду

прям

ой и

пло

скос

тью,

угол

меж

ду дв

умя

плос

кост

ями,

двуг

ранн

ый уг

ол) в

реа

ль-

ных и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 7.

11. О

босн

ован

ие за

данн

ого

или

по-

луче

нног

о ге

омет

риче

ског

о ре

зуль

тата

по

сред

ство

м ар

гуме

нтир

ован

ия, д

оказ

а-те

льст

ва.

конк

ретн

ого

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

ко

нтрп

риме

ры, м

атри

ца ас

соци

аций

, пон

ятий

ная

карт

а, мо

дели

рова

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты

на м

ест-

ност

и, м

ежпр

едме

тные

и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вязи

, ана

-ло

гия,

лаб

орат

орны

е раб

оты,

звез

дный

взр

ыв и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие

с исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые,

пись

менн

ые, п

ракт

ичес

кие р

абот

ы, м

етод

про

екто

в, и

с-сл

едов

ание

и д

р.8.

1. Р

аспо

знав

ание

и к

ласс

ифик

ация

по

раз

личн

ым к

рите

риям

изу

ченн

ых ти

-по

в ге

омет

риче

ских

пре

обра

зова

ний

в пр

ост р

анст

ве в

реа

льны

х и/и

ли см

оде-

лиро

ванн

ых си

туац

иях.

8.2. И

спол

ьзов

ание

терм

инол

огии

, аде

к-ва

тной

геом

етри

ческ

им п

реоб

разо

вани

ям

в про

ст ра

н ств

е в р

азли

чных

конт

екст

ах.

8.3.

При

мене

ние г

еоме

трич

ески

х пр

еобр

азо в

аний

в п

рост

ранс

тве и

их

свой

ств

в ра

зли ч

ных о

блас

тях (

на п

рак-

тике

, в те

хник

е, в

иску

сств

е).

8.4.

Мод

елир

ован

иеге

омет

риче

ских

пр

еобр

азов

аний

в п

рост

ранс

тве,

ис-

поль

зуя

адек

ватн

ые м

атер

иалы

, в то

м чи

сле,

моде

лиро

вани

е реа

льны

х сит

уа-

ций

из о

круж

ающ

ей д

ейст

вите

льно

сти.

8.5.

Обо

снов

ание

зада

нног

о ил

и по

лу-

ченн

ого

геом

етри

ческ

ого

резу

льта

та,

связ

анно

го с

геом

етри

ческ

ими

прео

бра-

зова

ниям

и в

прос

т ран

стве

исп

ольз

уя ар

-гу

мент

ы, д

оказ

ател

ьств

а.

VII

I. Ге

омет

риче

ские

пр

еобр

азов

ания

в п

ро-

стра

нств

е•И

зоме

трич

ески

епреоб

-ра

зова

ния

в пр

остр

анс-

тве.

•Сим

метрия

относи-

тель

но то

чки.

•Осеваясимм

етри

я.

•Сим

метрия

относи-

тель

но п

лоск

ости

.•П

араллельны

йперено

с.•П

одоб

ие.

•Повор

от.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

кла

ссиф

икац

ии п

о ра

злич

ным

кри-

тери

ям и

зуче

нных

типо

в ге

омет

риче

ских

пре

обра

зова

-ни

й в

про

стра

нств

е;–

испо

льзо

вани

е тер

мино

логи

и, ад

еква

тной

гео-

метр

ичес

ким

прео

браз

ован

иям

в п

рост

ранс

тве

в р

аз-

личн

ых к

онте

кста

х;–

моде

лиро

вани

е гео

метр

ичес

ких п

реоб

разо

вани

й в

пр

остр

анст

ве, и

спол

ьзуя

адек

ватн

ые м

атер

иалы

, в то

м чи

сле,

комп

ьюте

р;–

обос

нова

ние з

адан

ного

или

пол

учен

ного

геом

етри

чес-

кого

рез

ульт

ата,

испо

льзу

я ар

гуме

нты,

дока

зате

льст

ва;

– из

обра

жен

ие н

а пло

скос

ти ге

омет

риче

ских

кон

фигу

-ра

ций,

пол

учен

ных в

рез

ульт

ате п

риме

нени

я ге

омет

ри-

ческ

их п

реоб

разо

вани

й в

прос

тран

стве

и и

х сво

йств

;–

прим

енен

ие ге

омет

риче

ских

пре

обра

зова

ний

в пр

о-ст

ранс

тве и

их с

войс

тв в

раз

личн

ых к

онте

кста

х.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, д

оказ

ател

ьств

о,об

учен

ие с

по-

мощ

ью к

омпь

юте

ра, д

идак

тиче

ские

игр

ы, п

робл

ем-

ное о

буче

ние,

исс

ледо

вани

е кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

кон

трпр

имер

ы, м

атри

ца

32 33

реде

ленн

ый и

нтег

рал,

в ра

злич

-ны

х кон

текс

тах.

1.5. А

нали

з реш

ения

зада

ч на

перв

о обр

азны

е, не

опре

деле

нные

ин

тегр

алы

в кон

текс

те ко

ррек

т-но

сти,

про

стот

ы, че

ткос

ти и

зна-

чимо

сти

полу

ченн

ых р

езул

ьтат

ов.–

инте

грир

ован

ие п

о ча

стям

.ни

е, ис

след

ован

ие к

онкр

етно

го сл

учая

с пр

акти

ческ

им ук

лоно

м,

конт

рпри

меры

, мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

ли-

рова

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты

на м

естн

ости

, меж

пред

метн

ые и

вн

утри

пред

метн

ые св

язи,

анал

огия

, зве

здны

й вз

рыв

и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оц

енив

ание

, ит

огов

ое

оцен

иван

ие,

оцен

иван

ие

с ис

поль

зова

нием

ком

пью

тера

, тес

тиро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные,

прак

тиче

ские

раб

оты,

мет

од п

роек

тов,

исс

ледо

вани

е и д

р.2.

1. Р

аспо

знав

ание

опр

едел

ен-

ного

инт

егра

ла в

раз

личн

ых

конт

екст

ах.

2.2.

Вы

числ

ение

опр

едел

енны

х ин

тегр

алов

, исп

ольз

уя св

ойст

ва,

форм

улу Н

ьюто

на-Л

ейбн

ица.

2.3.

Геом

етри

ческ

ое тр

акто

ва-

ние о

пред

елен

ного

инт

егра

ла

неот

рица

тель

ной

непр

еры в

ной

функ

ции.

2.4.

Рас

позн

аван

ие п

одгр

афик

а фу

нкци

и в

разл

ичны

х кон

тек-

стах

. 2.

5. В

ычи

слен

ие п

лощ

ади

фигу

-ры

и о

бъем

а тел

а вра

щен

ия, и

с-по

льзу

я оп

реде

ленн

ый и

нтег

рал.

2.6.

При

мене

ние п

ерво

обра

з-ны

х, не

опре

де ле

н ных

и о

пред

е-ле

нных

инт

егра

лов

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х сит

уа-

циях

.

II. О

пред

елен

ный

ин-

тегр

ал. П

рило

жен

ия•П

онятиеоп

реде

лен-

ный

инт

егра

л. •С

войства.

•Фор

мулаНью

тона-

Лейб

ница

. •В

ычислени

еплоща-

дей

с пом

ощью

инт

ег-

рала

.•О

бъем

телавращения

.Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние о

пред

елен

ного

инт

егра

ла;

– вы

числ

ение

опр

едел

енны

х инт

егра

лов,

исп

ольз

уя св

ойст

ва и

та

блиц

у нео

пред

елен

ных и

нтег

рало

в, м

етод

ы ин

тегр

иров

ания

(и

нтег

ри ро

вани

е по

част

ям, з

амен

а пер

емен

ной)

; –

прим

енен

ие ф

орму

лы Н

ьюто

на-Л

ейбн

ица п

ри в

ычис

лени

и оп

-ре

деле

нных

инт

егра

лов;

–

обос

нова

ние п

олуч

енно

го р

езул

ьтат

а отн

о сит

ельн

о оп

реде

лен-

ных и

нтег

рало

в по

сред

ство

м ар

гуме

нтир

ован

ия, д

оказ

ател

ьств

а; –

при

мене

ние о

пред

елен

ных и

нтег

рало

в в

разл

ичны

х обл

астя

х; –

при

мене

ние г

еоме

трич

еско

й тр

акто

вки

опре

деле

нног

о ин

те-

грал

а нео

триц

ател

ьной

неп

реры

вной

фун

кции

.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, д

оказ

ател

ьств

о, о

буче

ние с

пом

ощью

ко

мпью

тера

, дид

акти

ческ

ие и

гры,

про

блем

ное о

буче

ние,

иссл

едов

ание

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

по

няти

йная

кар

та, м

одел

иров

ание

, пра

ктич

ески

е раб

оты

на

мест

ност

и, м

ежпр

едме

тные

и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вязи

, ана

ло-

гия,

лаб

орат

орны

е раб

оты,

звез

дный

взр

ыв и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

вани

ем к

омпь

юте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы, м

етод

про

екто

в, и

ссле

дова

ние и

др.

XII к

ласс

Субк

омпе

тенц

ииСо

держ

ание

Виды

учеб

ной

и оц

еноч

ной

деят

ельн

ости

(рек

омен

дуем

ые)

12

31.

1. Р

аспо

знав

ание

и п

риме

не-

ние п

ерво

обра

з ной

фун

кции

в

разл

ичны

х кон

текс

тах.

1.2.

Вы

числ

ение

нео

пред

е-ле

нных

инт

егра

лов,

исп

ольз

уя

свой

ства

и та

блиц

у нео

пред

е-ле

нных

инт

егра

лов,

мет

оды

ин-

тегр

иров

ания

(инт

егри

рова

ние

по ч

астя

м, за

мена

пер

е мен

ной)

.1.

3. О

пред

елен

ие п

ерво

обра

з-но

й за

данн

ой ф

ункц

ии и

ли ф

ун-

кции

, пер

вооб

разн

ая к

ото р

ой

удов

летв

оряе

т зад

анны

м ус

ло-

виям

. 1.

4. И

спол

ьзов

ание

терм

ино-

логи

и и

симв

олик

и, ад

еква

тной

по

няти

ям п

ерво

об ра

зная

, нео

п-

I. П

ерво

обра

зная

. Н

еопр

едел

енны

й ин

тегр

ал•П

онятиепе

рвоо

браз

ная.

•Неопр

еделенны

йин

-те

грал

.•С

войства.

•Табли

цанеопр

еделен

-ны

х инт

егра

лов

изу-

ченн

ых эл

емен

тарн

ых

фун к

ций.

•Методыин

тегрир

о-ва

ния:

–

мето

д за

мены

пер

е-ме

нной

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние

и оп

реде

лени

е пе

рвоо

браз

ной

функ

ции

и/ил

и не

опре

деле

нног

о ин

тегр

ала;

– вы

числ

ение

нео

пред

елен

ных

инте

грал

ов, и

спол

ьзуя

сво

йств

а и

табл

ицу

неоп

реде

ленн

ых и

нтег

рало

в, м

етод

ы ин

тегр

иров

ания

(и

нтег

ри ро

вани

е по

част

ям, з

амен

а пер

емен

ной)

;–

опре

деле

ние

перв

ообр

азно

й за

данн

ой ф

ункц

ии и

ли ф

ункц

ии,

перв

ообр

азна

я ко

торо

й уд

овле

т вор

яет з

адан

ным

усло

виям

;–

обос

нова

ние р

езул

ьтат

а, от

нося

щег

ося

к пе

рвоо

браз

ным,

нео

п-ре

деле

нным

инт

егра

лам,

пос

редс

твом

аргу

мент

иров

ания

, док

аза-

тель

ства

; –

анал

из р

ешен

ия п

робл

ем, п

робл

емны

х сит

уаци

й на

опр

едел

ение

пе

рвоо

браз

ных,

неоп

реде

ленн

ых и

нтег

рало

в в

конт

екст

е кор

рект

-но

сти,

про

стот

ы, ч

етко

сти

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных р

езул

ьтат

ов.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

алго

ритм

ичес

кий

мето

д, о

буче

ние с

пом

о-щ

ью к

омпь

юте

ра, д

идак

тиче

ские

игр

ы, п

робл

емно

е обу

че-

12

38.

6. И

зобр

ажен

ие н

а пло

скос

ти г

еоме

т-ри

ческ

их к

онфи

гура

ций,

пол

учен

ных в

ре

зуль

тате

при

мене

ния

геом

етри

ческ

их

прео

бра з

ован

ий в

про

стра

нств

е.

8.7.

При

мене

ние г

еоме

трич

ески

х пр

еобр

азо в

аний

в п

рост

ранс

тве и

их

свой

ств

в ко

нтек

сте р

ешен

ия р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х зад

ач.

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

лиро

вани

е, пр

ак-

тиче

ские

раб

оты

на м

естн

ости

, мод

елир

ован

ие, а

нало

-ги

я, м

ежпр

едме

тные

и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вязи

, зве

зд-

ный

взры

в и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, и

того

вое о

цени

вани

е, оц

е ни-

вани

е с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

ти ро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные,

пра

ктич

ески

е ра

бо ты

, мет

од п

ро-

екто

в, и

ссле

дова

ния

и д

р.

34 35

12

33.1

. Рас

позн

аван

ие и

кла

ссиф

икац

ия

со бы

тий

по р

азли

чным

кри

тери

ям.

3.2. В

ычи

слен

ие в

ероя

тнос

ти со

быти

я в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х, ис

поль

зуя

отно

шен

ие: к

оли-

чест

во бл

аго п

рият

ных с

обыт

ию сл

уча-

ев/ к

олич

ест

во вс

ех во

змож

ных с

луча

ев.

3.3.

При

веде

ние п

риме

ров

диск

рет-

ных с

лу ча

йных

вел

ичин

, вкл

ючит

ель-

но и

з окр

у жаю

щей

дей

стви

тель

ност

и.3.

4. О

пред

елен

ие м

атем

атич

еско

го

ожид

ания

дис

крет

ной

случ

айно

й ве

-ли

чины

.3.

5. И

спол

ьзов

ание

терм

инол

огии

, ад

еква

тной

элем

ента

м те

ории

вер

оят-

ност

ей и

мат

е мат

ичес

кой

стат

исти

ки в

ра

злич

ных к

он те

кста

х. 3.

6. Р

аспо

знав

ание

и п

риме

нени

е ос-

новн

ых п

онят

ий м

атем

атич

еско

й ст

а-ти

стик

и в

разл

ичны

х кон

текс

тах.

3.7.

Пре

дста

влен

ие р

езул

ьтат

ов н

а-бл

юден

ий, ф

изич

ески

х, эк

оном

ичес

-ки

х, со

циал

ьных

явл

ений

, пос

редс

твом

ри

сунк

ов, т

абли

ц, гр

афик

ов, д

иагр

амм

и из

влеч

ение

инф

орма

ций

из ст

атис

-ти

ческ

их та

блиц

, спи

сков

, диа

грам

м.

3.8.

Ист

олко

вани

е и п

ерен

есен

ие н

а ма

тема

тиче

ский

язы

к пр

акти

ческ

их

ситу

аций

пос

редс

твом

стат

исти

ческ

их

и ве

роят

ност

ных п

онят

ий.

3.9.

Уче

т и и

нтер

прет

иров

ание

кол

и-че

стве

нных

, кач

еств

енны

х дан

ных,

III.

Элем

енты

теор

ии в

е-ро

ятно

стей

•Соб

ытие.К

лассиф

ика-

ция

собы

тий.

•К

лассич

еско

еопр

еделе-

ние в

ероя

тнос

ти со

быти

я•С

лучайн

ыесо

бытия.

Опе

раци

и со

случ

айны

ми

собы

тиям

и.

•Независим

ыесл

учай

ные

собы

тия.

Усл

овна

я ве

ро-

ятно

сть.

•Случайн

аявелич

ина.

•Матем

атич

еско

еожид

а-ни

е слу

чайн

ой в

елич

ины.

Элем

енты

мат

емат

ичес

-ко

й ст

атис

тики

•Основны

епон

ятия

.•У

чети

груп

пиро

вкад

ан-

ных.

•Графи

ческоеизобр

аже-

ние с

тати

стич

ески

х дан

-ны

х (ги

стог

рамм

а, по

ли-

гон

абсо

лютн

ых ч

асто

т, по

лиго

н от

носи

тель

ных

част

от, д

иагр

амма

в в

иде

верт

икал

ьных

отр

езко

в,

диаг

рамм

ы с р

ешет

ками

, ст

рукт

урны

е диа

грам

мы).

•Средн

иеве

личи

ныст

а-ти

стич

ески

х ряд

ов (с

редн

ее

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

кла

ссиф

икац

ию со

быти

й;–

выпо

лнен

ие о

пера

ций

с соб

ытия

ми;

– ср

авне

ние с

обыт

ий п

о пр

изна

ку ш

ансо

в их

реа

лиза

-ци

и;–

вычи

слен

ие в

ероя

тнос

ти со

быти

я в

реал

ьных

и/и

ли

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

, исп

ольз

уя о

тнош

ение

: ко-

личе

ство

благ

опри

ятны

х соб

ытию

случ

аев/

кол

ичес

тво

вс

ех во

змож

ных с

луча

ев.

– пр

ивед

ение

кон

крет

ных п

риме

ров

диск

ретн

ых сл

у-ча

йных

вел

ичин

, вкл

ючит

ельн

о из

окр

у жаю

щей

дей

с-тв

ител

ьнос

ти;

– кл

асси

фици

рова

ние д

анны

х по

разн

ым к

рите

риям

;–

прив

еден

ие п

риме

ров

диск

ретн

ых сл

учай

ных в

ели-

чин,

вкл

ючит

ельн

о из

окр

ужаю

щей

дей

стви

тель

ност

и;–

пред

став

лени

е рез

ульт

атов

наб

люде

ний,

физ

и чес

ких,

экон

омич

ески

х, со

циал

ьных

явл

ений

, пос

редс

твом

ри-

сунк

ов, т

абли

ц, гр

афик

ов, д

иа гр

амм

и из

влеч

ение

ин-

форм

ации

из с

тати

с тич

ески

х таб

лиц,

спис

ков,

диа

-гр

амм.

–

исто

лков

ание

и п

ерен

есен

ие н

а мат

ема т

ичес

кий

язык

пр

акти

ческ

их си

туац

ий п

осре

д ств

ом ст

атис

тиче

ских

и

веро

ятно

стны

х пон

ятий

; –

выпо

лнен

ие эк

спер

имен

тов;

– ст

атис

тиче

ские

наб

люде

ния

(про

стые

);–

улуч

шен

ие п

олуч

енны

х рез

ульт

атов

пут

ем ув

елич

ения

ко

личе

ства

про

б;–

прим

енен

ие и

нфор

маци

онны

х и к

омму

ника

тивн

ых

техн

олог

ий д

ля уч

ета и

алго

рит м

изац

ии д

анны

х;–

прим

енен

ие ал

гори

тмов

, аде

кват

ных ф

инан

сово

му и

с-чи

слен

ию, с

тати

стик

е или

вер

оятн

ости

при

исс

ледо

ва-

нии

конк

ретн

ых сл

учае

в и

реш

ении

зада

ч.

12

3ис

поль

зуя

стат

исти

ческ

ие и

вер

оят-

ност

ные п

онят

ия.

3.10

. Уче

т и а

лгор

итми

заци

я да

нных

по

сред

ство

м ин

форм

ацио

нных

и к

ом-

муни

каци

онны

х тех

ноло

гий.

3.

11. П

риме

нени

е алг

орит

мов,

адек

-ва

тных

фин

ансо

вому

исч

исле

нию,

ст

атис

тике

или

вер

оятн

ости

при

ис-

след

ован

ии к

онкр

етны

х слу

чаев

из

прак

тики

и р

ешен

ии за

дач.

ариф

мети

ческ

ое, в

звеш

ен-

ное с

редн

ее ар

ифме

тиче

с-ко

е, ме

диан

а, мо

да).

•Элеме

нтыфи

нансово-

го и

счис

лени

я: п

роце

нты,

до

ходы

, НДС

, сто

имос

ть,

приб

ыль,

типы

кре

дито

в,

бюдж

ет, с

емей

ный

бюд-

жет

, лич

ный

бюдж

ет.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

обу

чени

е с п

омощ

ью ко

мпью

тера

, эк

спер

имен

т, пр

обле

мное

обу

чени

е, ис

след

ован

ие ко

нк-

ретн

ого

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

конт

рпри

меры

, ма

триц

а асс

оциа

ций,

пон

ятий

ная

карт

а, мо

дели

рова

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты,

меж

пред

метн

ые и

внут

рипр

ед-

метн

ые св

язи,

анал

огия

, зве

здны

й вз

рыв и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

енив

ание

с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

ти ро

вани

е, ус

тные

, пи

сьме

нные

, гра

фиче

ские

, пра

ктич

ески

е раб

оты,

мет

од

прое

ктов

, исс

ле до

вани

е и д

р.4.

1. Р

аспо

знав

ание

и к

ласс

ифиц

иро-

вани

е мно

гогр

анни

ков

по р

азли

чным

кр

итер

иям

в ре

альн

ых и

/или

смод

ели-

рова

нных

ситу

ация

х. 4.

2. И

дент

ифиц

иров

ание

элем

ен-

тов

плос

ких г

еоме

трич

ески

х фиг

ур н

а пр

остр

анст

венн

ых ге

омет

риче

ских

ко

нфиг

урац

иях в

реа

льны

х и/и

ли см

о-де

лиро

ванн

ых си

туац

иях.

4.3.

При

мене

ние с

войс

тв м

ного

гран

-ни

ков

при

реш

ении

зада

ч.

4.4.

Исп

ольз

ован

ие ал

гори

тмов

, аде

к-ва

тных

выч

исле

нию

площ

адей

по-

ве

рхно

стей

и о

бъем

ов м

ного

гран

ни-

ков,

при

реш

ении

зада

ч в

реал

ьных

и/

или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 4.5

. Изв

лече

ние и

нфор

маци

й, со

держ

а-щ

ихся

в да

нной

геом

етри

ческ

ой ко

нфи-

гура

ции,

для д

оказ

ател

ьств

а ее с

войс

тв

и вы

числ

ения

длин

, пло

щад

ей, о

бъем

ов.

IV. М

ного

гран

ники

•При

зма.Эл

ементы

.Клас-

сифи

каци

я.

•Сечения

,параллельны

еос

нова

нию.

Диа

гона

льны

е се

чени

я. С

ечен

ия, с

одер

-ж

ащие

выс

оту.

•Площади.

•Объ

ем.

•Пир

амид

а.Эл

ементы

.Кл

асси

фика

ция.

•Сечения


еос

нова

нию.

Диа

гона

льны

е се

чени

я. С

ечен

ия, с

одер

-ж

ащие

выс

оту.

•Площади.

•Объ

ем.

•Усеченн

аяпир

амид

а.Эл

емен

ты. К

ласс

ифик

а-ци

я.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

зуче

нных

мно

гогр

анни

ков

и/ил

и их

эл

емен

тов;

–

изоб

раж

ение

на п

лоск

ости

изу

ченн

ых ге

о-ме

трич

ески

х тел

, исп

ольз

уя ч

ерте

жны

е инс

тру м

енты

, ко

мпью

тер

и пр

имен

ение

пол

учен

ных п

редс

тавл

ений

пр

и ре

шен

ии за

дач

на в

ычис

лени

е пло

щад

ей и

/или

об

ъемо

в;

– вы

числ

ение

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и об

ъемо

в мн

о-го

гран

нико

в, п

ри р

ешен

ии за

дач

в ре

альн

ых и

/или

смо-

дели

рова

нных

ситу

ация

х; –

сост

авле

ние и

реш

ение

про

стых

зада

ч на

осн

ован

ии

зада

нной

геом

етри

ческ

ой м

одел

и;

– ан

ализ

и и

нтер

прет

иров

ание

пол

учен

ных р

езул

ьтат

ов

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х зад

ач с

прим

енен

ием

изу-

ченн

ых м

ного

гран

нико

в и

един

иц и

змер

ений

, аде

кват

-ны

х пло

щад

ям и

объ

емам

; –

обос

нова

ние п

олуч

енно

го и

ли д

анно

го м

атем

атич

ес-

кого

рез

ульт

ата о

тнос

ител

ьно

мног

о гра

нник

ов п

осре

дс-

твом

аргу

мент

иров

ания

, док

азат

ельс

тва;

36 37

12

34.

6. В

ыпо

лнен

ие п

рибл

изит

ельн

ых о

цено

к дл

ин о

трез

ков,

вел

ичин

угло

в, п

ерим

етро

в,

площ

адей

и о

бъем

ов в

геом

етри

ческ

их те

лах

в ре

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

-ци

ях.

4.7.

Инт

ерпр

етир

ован

ие п

ракт

ичес

ких с

и-ту

аций

, исп

ольз

уя м

ного

гран

ники

и и

х эле

-ме

нты.

4.8.

Ана

лиз р

ешен

ия за

дач

на м

ного

гран

ни-

ки в

кон

текс

те к

орре

ктно

сти,

про

стот

ы, ч

ет-

кост

и и

знач

имос

ти п

олуч

енны

х рез

ульт

атов

. 4.

9. П

роек

тиро

вани

е и р

еали

заци

я пр

осты

х пр

едпр

иним

ател

ьски

х про

екто

в, и

спол

ьзуя

ус

воен

ные з

нани

я о

мног

огра

нник

ах.

•Сечения

,параллель

-ны

е осн

ован

ию. Д

иа-

гона

льны

е сеч

ения

. Се

чени

я, со

держ

ащие

вы

соту

. •П

лощади.

•Объ

ем.

– по

стро

ение

фра

гмен

тов

деду

ктив

ных р

ассу

жде

-ни

й, р

ешен

ие за

дач

на д

оказ

ател

ьств

о.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

про

блем

ное о

буче

ние,

ал-

гори

тмич

ески

й ме

тод,

док

а зат

ельс

тво,

дид

акти

-че

ские

игр

ы, и

ссле

дова

ние к

онкр

етно

го сл

учая

с пр

акти

ческ

им ук

лоно

м, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

ли-

рова

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты

на м

естн

ости

меж

-пр

едме

тные

и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вязи

, ана

логи

я,

прак

тиче

ские

и л

абор

атор

ные р

абот

ы, о

буче

ние с

по

мощ

ью к

омпь

юте

ра и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

– Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

ени-

вани

е с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

ти ро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные,

прак

тиче

ские

раб

оты,

мет

од

прое

ктов

, исс

ледо

вани

е и д

р.5.

1. Р

аспо

знав

ание

и к

ласс

ифиц

иров

ание

те

л вр

ащен

ия п

о ра

злич

ным

крит

ерия

м в

ре-

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 5.

2. И

дент

ифиц

иров

ание

элем

енто

в пл

оски

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур н

а про

стра

нств

енны

х ге

омет

риче

ских

кон

фигу

раци

ях в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 5.

3. П

риме

нени

е сво

йств

тел

вращ

ения

в

разл

ичны

х кон

текс

тах.

5.4.

Исп

ольз

ован

ие ал

гори

тмов

, аде

кват

ных

вычи

слен

ию п

лощ

адей

пов

ерхн

осте

й и

объе

-мо

в те

л вр

ащен

ия, п

ри р

ешен

ии за

дач.

5.

5. И

звле

чени

е инф

орма

ции,

соде

ржащ

ейся

в

данн

ой ге

омет

риче

ской

кон

фигу

раци

и, д

ля

дока

зате

льст

ва н

екот

орых

ее св

ойст

в и

вы-

числ

ения

дли

н, п

лощ

адей

, объ

емов

.

V. Т

ела в

ращ

ения

•П

рямо

йкр

уговой

ци-

линд

р. Э

леме

нты.

•С

ечения

,параллель

-ны

е осн

ован

ию. О

севы

е се

чени

я. С

ечен

ия, п

а-ра

ллел

ьные

оси

. •П

лощади.

•Объ

ем.

•Пря

мойкр

уговой

ко-

нус.

Элем

енты

.•С

ечения

,параллель

-ны

е осн

ован

ию. О

севы

е се

чени

я.

•Площади.

•Объ

ем.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

зуче

нных

тел

вращ

ения

и/и

ли и

х эл

емен

тов;

–

изоб

раже

ние н

а пло

скос

ти и

зуче

нных

геом

етри

чес-

ких т

ел, и

спол

ьзуя

черт

ежны

е инс

трум

енты

, ком

пью-

тер

и пр

имен

ение

пол

учен

ных п

редс

тавл

ений

при

ре-

шен

ии за

дач н

а выч

исле

ние п

лощ

адей

и/и

ли о

бъем

ов;

– вы

числ

ение

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и об

ъемо

в из

учен

ных т

ел в

ращ

ения

при

реш

ении

зада

ч в

ре-

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

;–

сост

авле

ние и

реш

ение

про

стых

зада

ч на

осн

о-ва

нии

зада

нной

геом

етри

ческ

ой м

одел

и;

– ан

ализ

и и

нтер

прет

иров

ание

пол

учен

ных р

езул

ь-та

тов

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х зад

ач с

прим

ене-

нием

изу

ченн

ых те

л вр

ащен

ия и

един

иц и

змер

ений

, ад

еква

тных

пло

щад

ям и

объ

емам

;

12

35.

6. . В

ыпо

лнен

ие п

рибл

изит

ельн

ых о

цено

к дл

ин о

трез

ков,

вел

ичин

угло

в, п

ерим

етро

в,

площ

адей

и о

бъем

ов в

геом

етри

ческ

их те

лах

в ре

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

-ци

ях.

5.7.

Инт

ерпр

етир

ован

ие п

ракт

ичес

ких с

и-ту

аций

, исп

ольз

уя те

ла в

ращ

ения

и и

х эле

-ме

нты.

5.8.

Ана

лиз р

ешен

ия за

дач

на те

ла в

ращ

ения

в

конт

екст

е кор

рект

ност

и, п

рост

оты,

чет

кос-

ти и

знач

имос

ти п

олуч

енны

х рез

ульт

атов

. 5.

9. П

роек

тиро

вани

е и р

еали

заци

я пр

осты

х пр

едпр

иним

ател

ьски

х про

екто

в, и

спол

ьзуя

ус

воен

ные з

нани

я о

тела

х вра

щен

ия.

•Пря

мойкр

уговой

усе-

ченн

ый к

онус

. Эле

мен-

ты.

•Сечения

,параллель

-ны

е осн

ован

ию. О

севы

е се

чени

я.

•Площади.

•Объ

ем.

•Сфе

ра.Э

леме

нты

(цен

тр, р

адиу

с, ди

а-ме

тр).

Сече

ние с

феры

пл

оско

стью

. •П

лощадьс

феры

.•Ш

ар.О

бъем

шара.

•Сечениекон

ической

пове

рхно

сти

плос

кос-

тью.

Пон

ятия

окр

уж-

ност

ь, эл

липс

, гип

ер-

бола

, пар

абол

а (ка

к ге

омет

риче

ские

мес

та

точе

к). П

риме

ры и

з ок

руж

ающ

ей д

ейст

ви-

тель

ност

и.

– об

осно

вани

е пол

учен

ного

или

дан

ного

мат

е-ма

тиче

ског

о ре

зуль

тата

отн

осит

ельн

о те

л вр

ащ ен

ия

поср

едст

вом

аргу

мент

иров

ания

, док

а зат

ельс

тва;

– п

остр

оени

е фра

гмен

тов

деду

ктив

ных р

ассу

ж-

дени

й, р

ешен

ие за

дач

на д

оказ

ател

ьств

о.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

про

блем

ное о

буче

ние,

алго

рит-

миче

ский

мет

од, д

оказ

а тел

ьств

о, гр

уппо

вое о

буче

-ни

е, ди

дакт

ичес

кие и

гры,

исс

ледо

вани

е кон

крет

ного

сл

учая

с пр

акти

ческ

им ук

лоно

м, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

ли ро

вани

е, пр

акти

ческ

ие и

лаб

орат

орны

е раб

о-ты

, меж

пред

метн

ые и

вну

трип

редм

етны

е свя

зи, а

на-

логи

я, п

ракт

ичес

кие и

лаб

орат

орны

е раб

оты,

обу

че-

ние с

пом

ощью

ком

пью

тера

и д

р.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

ени-

вани

е с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

тиро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные,

прак

тиче

ские

раб

оты,

мет

од

прое

ктов

, исс

ледо

вани

е и д

р.

38 39

Гум

анит

арны

й пр

офил

ьX

клас

с

Субк

омпе

тенц

ииСо

держ

ание

Виды

учеб

ной

и оц

еноч

ной

деят

ельн

ости

(рек

омен

дуем

ые)

12

31.

1. Р

аспо

знав

ание

в ра

злич

ных с

и-ту

ация

х эле

мент

ов и

зуче

нных

чис

-ло

вых м

нож

еств

N, Z

, Q, R

. 1.

2. О

сущ

еств

лени

е пер

еход

а от о

д-но

й фо

рмы

запи

си д

ейст

вите

льны

х чи

сел

к др

угой

.1.

3. П

риме

нени

е тер

мино

логи

и,

адек

ватн

ой п

онят

ию ч

исла

в р

азли

ч-ны

х кон

текс

тах.

1.4.

При

мене

ние в

выч

исле

ниях

св

ойст

в оп

ерац

ий н

ад д

ейст

вите

ль-

ными

чис

лами

: сло

жен

ия, в

ычит

а-ни

я, ум

нож

ения

, дел

ения

, воз

ве-

дени

я в

степ

ень с

рац

иона

льны

м и

дейс

твит

ельн

ым п

оказ

ател

ем, к

ор-

ней

n-й

степ

ени,

n∈

N, n

≥ 2,

n л

ога-

рифм

а пол

ожит

ельн

ого

числ

а. 1.

5. А

гуме

нтир

ован

ие п

олуч

енны

х ре

зуль

тато

в пр

и вы

полн

ении

выч

ис-

лени

й с д

ейст

вите

льны

ми ч

исла

ми

в ко

нтек

сте к

орре

ктно

сти,

про

сто-

ты, ч

етко

сти

и зн

ачим

ости

этих

ре-

зуль

тато

в.1.

6. П

риме

нени

е алг

орит

мов

вычи

с-ле

ний

с дей

стви

тель

ными

чис

лами

в

прак

тиче

ских

ситу

ация

х.

I. Де

йств

ител

ьны

е чи

сла

•Действи

тельны

ечис

-ла

. Mно

жес

тва N

, Z, Q

, R.

Ква

нтор

общ

ност

и и

кван

тор

сущ

еств

о-ва

ния.

•Операци

ина

ддейс

-тв

ител

ьным

и чи

слам

и (с

лож

ение

, выч

итан

ие,

умно

жен

ие, д

елен

ие,

возв

еден

ие в

степ

ень с

ра

цион

альн

ым и

дей

с-тв

ител

ьным

пок

азат

е-ле

м). С

войс

тва.

•Кор

ни.С

войства.

•Логариф

мпо

ложитель-

ного

чис

ла. С

войс

тва.

•Мод

ульд

ействи

тель

-но

го ч

исла

. Сво

йств

а: |a|

≥0;

|a| =

|–a|;

|a2 | =

|a|2 =

a2 ; |ab

| = |a

| . |b

|;.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние н

атур

альн

ых, ц

елых

, рац

ио на

льны

х, ир

ра-

цион

альн

ых, д

ейст

вите

льны

х чи с

ел;

– уп

оряд

очив

ание

, сра

внен

ие и

изо

браж

ение

на к

оорд

инат

-но

й пр

ямой

дей

стви

тель

ных ч

исел

; –

запи

сыва

ние д

ейст

вите

льны

х чис

ел в

раз

личн

ых ф

орма

х;–

опре

деле

ние,

како

му м

нож

еств

у чис

ел, о

бъек

тов

прин

адле

-ж

ит за

данн

ое ч

исло

, зад

анны

й об

ъект

;–

опер

ации

с чи

слам

и и

прим

енен

ие в

выч

исле

ниях

соот

-ве

тств

ующ

их ал

гори

тмов

и св

ойст

в;

– вы

числ

ение

знач

ений

выр

ажен

ий, с

одер

жащ

их л

огар

ифмы

;–

выпо

лнен

ие п

рибл

изит

ельн

ых о

цено

к и

аппр

окси

маци

й;

– пр

имен

ение

свой

ств

дейс

твий

с де

йств

ител

ь ным

и чи

слам

и;–

испо

льзо

вани

е тер

мино

логи

и и

симв

олик

и, ад

еква

тной

по-

няти

ю чи

сло

в ра

злич

ных к

онте

кста

х, в

том

числ

е, пр

и об

-щ

ении

.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, п

робл

емно

е обу

чени

е, гр

уппо

вое о

бу-

чени

е, ал

гори

тмич

ески

й ме

тод,

исс

ледо

вани

е кон

крет

ного

сл

учая

с пр

акти

ческ

им ук

лоно

м, д

идак

тиче

ские

игр

ы, ан

ало-

гия,

кон

трпр

имер

ы, м

атри

ца ас

соци

аций

, пон

ятий

ная

карт

а, зв

ездн

ый в

зрыв

и д

р.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

П

ерви

чное

оце

нива

ние,

теку

щее

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

вани

ем к

омпь

юте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

ись-

менн

ые, г

рафи

ческ

ие и

пра

ктич

ески

е раб

оты

и др

.

12

32.

1. Р

аспо

знав

ание

в о

круж

ающ

ей д

ей-

стви

тель

ност

и и/

или

в ма

тема

тиче

ских

за

дача

х изу

ченн

ых п

онят

ий, о

тнош

ений

, св

ойст

в, сп

ециф

ичны

х тео

рии

множ

еств

.2.

2. П

ереп

исы

вани

е и р

едак

тиро

вани

е ус

лови

я, р

ешен

ия за

дачи

, исп

ольз

уя те

р-ми

ноло

гию,

адек

ватн

ую те

ории

мно

-ж

еств

.2.

3. П

редс

тавл

ение

мно

жес

тва и

опе

ра-

ций

с мно

жес

твам

и (о

бъед

инен

ие, п

ере-

сече

ние,

разн

ость

, дек

арто

во п

роиз

ве-

дени

е) ан

али т

ичес

ким,

синт

етич

ески

м и

граф

ичес

ким

(диа

грам

мы, т

абли

цы) с

по-

соба

ми.

2.4.

При

мене

ние т

ерми

ноло

ги и

симв

о-ли

ки, а

декв

атно

й те

ории

мно

жес

тв, в

ре-

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

-ци

ях.

2.5.

Вы

полн

ение

опе

раци

й (о

бъед

инен

ие,

пере

сече

ние,

разн

ость

, дек

арто

во п

роиз

-ве

дени

е) с

числ

овым

и мн

ожес

твам

и N

, Z,

Q, R

и и

х под

множ

еств

ами

(в то

м чи

сле с

чи

слов

ыми

пром

ежут

ками

).2.6

. Исп

ольз

ован

ие эл

емен

тов т

еори

и мн

ожес

тв в

реал

ьных

ситу

ация

х и/и

ли п

ри

изуч

ении

друг

их ш

коль

ных д

исци

плин

.2.

7. С

орти

рова

ние и

кла

ссиф

ицир

ова-

ние о

бъек

тов

по н

екот

орым

кри

тери

ям,

опре

деле

ние к

рите

рия,

по

кото

рому

от-

бира

ется

мно

жес

тво

объе

ктов

в р

еаль

-ны

х сит

уаци

ях и

/или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

II. М

нож

еств

а •П

онятием

ноже

с-т

во. Ч

исло

вые м

но-

жес

тва.

Про

меж

ут-

ки д

ейст

вите

льны

х чи

сел.

•Операци

ис

множ

еств

ами

(объ

един

ение

, пе

ресе

чени

е, ра

знос

ть, д

екар

тово

пр

оизв

еден

ие).

Упра

жне

ния

на:

– пр

едст

авле

ние м

нож

еств

а и о

пера

ций

с мно

жес

твам

и ан

алит

ичес

ким,

синт

етич

ески

м и

граф

ичес

ким

(диа

грам

-мы

, таб

лицы

) спо

соба

ми;

– оп

реде

лени

е эле

мент

ов м

нож

еств

а, за

данн

ого

разл

ичны

-ми

спос

обам

и;–

прим

енен

ие те

рмин

олог

ии и

симв

олик

и, ад

ек ва

тной

тео-

рии

множ

еств

, в р

еаль

ных и

/или

мат

емат

ичес

ких к

онте

к-ст

ах;

– оп

реде

лени

е мно

жес

тва,

зада

нног

о по

сред

ство

м ук

азан

-но

го св

ойст

ва;

– пр

имен

ение

отн

ошен

ия п

рина

длеж

ност

и, о

тнош

ения

вк

люче

ния

и ра

венс

тва м

нож

еств

в р

еаль

ных с

итуа

циях

, пр

и ре

шен

ии за

дач;

– вы

полн

ение

опе

раци

й с р

азли

чным

и ти

пами

мно

жес

тв;

– со

ртир

ован

ие и

кла

ссиф

ицир

ован

ие о

бъек

тов

по р

аз-

личн

ым к

рите

риям

, опр

едел

ение

кри

тери

ев, п

о ко

торы

м от

бира

ютс

я со

отве

тств

ующ

ие м

нож

еств

а; –

выяв

лени

е меж

пред

метн

ых и

вну

трип

ред м

етны

х свя

зей

в ко

нтек

сте п

риме

нени

я эл

емен

тов

теор

ии м

нож

еств

; –

прим

енен

ие эл

емен

тов

теор

ии м

нож

еств

в р

еаль

ной

дейс

твит

ельн

ости

и в

дру

гих о

блас

тях.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

алго

ритм

ичес

кий

мето

д, гр

уппо

вое

обуч

ение

, исс

ледо

вани

е кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

дид

акти

ческ

ие, р

олев

ые, с

иму-

ляти

вные

игр

ы, к

онтр

прим

еры,

мат

рица

ассо

циац

ий,

поня

тийн

ая к

арта

, наб

люде

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты

и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

вани

ем

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

ись м

енны

е, гр

афич

ески

е и п

ракт

ичес

кие р

абот

ы и

др.

40 41

12

33.

1. Р

аспо

знав

ание

фун

кцио

наль

ных з

а-ви

симо

стей

в р

еаль

ных и

/или

смод

е ли-

рова

нных

ситу

ация

х. 3.

2. П

редс

тавл

ение

фун

кцио

наль

ных з

ави-

симо

стей

, в то

м чи

сле и

з окр

ужаю

щей

дей

с-тв

ител

ьнос

ти, р

азли

чным

и сп

особ

ами

(ана

-ли

тиче

ским

, син

тети

ческ

им и

граф

ичес

ким,

ди

агра

ммам

и, та

блиц

ами)

. 3.

3. В

ыве

дени

е сво

йств

чис

ловы

х фун

кций

по

сред

ство

м чт

ения

граф

иков

и/и

ли со

от-

ветс

твую

щих

фор

мул.

3.

4. П

риме

нени

е алг

орит

ма и

ссле

дова

ния

функ

ции

при

реш

ении

про

блем

, про

блем

-ны

х сит

уаци

й, п

ри и

зуче

нии

неко

торы

х фи

зиче

ских

, хим

ичес

ких,

биол

огич

ески

х, со

циал

ьных

, эко

номи

ческ

их п

роце

ссов

, см

одел

иров

анны

х пос

редс

твом

фун

кций

.3.

5. И

злож

ение

на м

атем

атич

еско

м яз

ы-ке

кон

крет

ных с

итуа

ций

из п

овсе

днев

ной

жиз

ни, к

отор

ые о

писы

ваю

тся

функ

циям

и I,

II ст

епен

ей, с

тепе

нной

фун

кцие

й, ф

ункц

ией

ради

кал,

пря

мой

проп

орци

онал

ьнос

ти, о

б-ра

тной

про

порц

иона

льно

сти,

пок

азат

ель-

ной,

лог

ариф

миче

ской

фун

кция

ми.

3.6.

Кла

ссиф

ицир

ован

ие и

зуче

нных

фун

к-ци

й по

раз

личн

ым к

рите

риям

. 3.

7. Р

ешен

ие и

зуче

нных

типо

в ур

авне

ний,

не

раве

нств

, сис

тем.

3.8.

Мод

елир

ован

ие си

туац

ий и

з пов

сед-

невн

ой ж

изни

пос

редс

твом

изу

ченн

ых ти

-по

в ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

сист

ем.

III.

Фун

кции

. Ур

авне

ния.

Нер

авен

-ст

ва. С

исте

мы II

I.1. П

онят

ие ф

ун-

кция

•П

онятиеф

ункц

ия.

Спос

обы

зада

ния

фун-

кции

. •Графи

кфу

нкци

и.•С

войстваф

ункц

ии:

моно

тонн

ость

, нул

и,

экст

рему

мы.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние ф

ункц

иона

льны

х зав

исим

осте

й в

разл

ичны

х кон

текс

тах;

– пр

едст

авле

ние ф

ункц

иона

льны

х зав

исим

осте

й, в

то

м чи

сле и

з окр

ужаю

щей

дей

стви

тель

ност

и, р

азли

ч-ны

ми сп

особ

ами

(ана

лити

ческ

им, с

инте

ти че

ским

и

граф

ичес

ким,

диа

грам

мами

, таб

лица

ми);

– ра

споз

нава

ние и

зуче

нной

фун

кции

по

зада

н ном

у гр

афик

у и/и

ли ан

алит

ичес

кому

спос

обу з

адан

ия;

– чт

ение

граф

иков

фун

кций

и/и

ли ан

алит

ичес

ких

форм

ул д

ля в

ывед

ения

свой

ств

этих

фун

кций

;–

прим

енен

ие ал

гори

тма и

ссле

дова

ния

функ

ции

в ра

злич

ных к

онте

кста

х; –

при

мене

ние т

ерми

ноло

гии

и си

мвол

ики,

адек

-ва

тной

пон

ятия

м: ф

ункц

ия, у

равн

ение

, нер

авен

ство

, си

стем

а, в

том

числ

е в о

бщен

ии;

– об

осно

вани

е и ар

гуме

нтир

ован

ие п

олуч

енны

х ре-

зуль

тато

в и

испо

льзо

ванн

ых те

хнол

огий

;–

клас

сифи

циро

вани

е изу

ченн

ых ф

ункц

ий и

их

свой

ств

по р

азли

чным

кри

тери

ям;

– пе

рево

д на

мат

емат

ичес

кий

язык

конк

ретн

ых си

туа-

ций

из р

азли

чных

обл

асте

й, к

отор

ые о

писы

ваю

тся

функ

циям

и I,

II ст

епен

ей, с

тепе

нной

фун

кцие

й, ф

унк-

цией

рад

икал

, пря

мой

проп

орци

о нал

ьнос

тью,

обр

ат-

ной

проп

орци

онал

ьнос

тью,

по к

а зат

ельн

ой, л

огар

иф-

миче

ской

фун

кция

ми;

– ра

споз

нава

ние и

кла

ссиф

ицир

ован

ие и

зуче

нных

ти

пов

урав

нени

й, н

ерав

енст

в, си

стем

по

разл

ичны

м кр

итер

иям;

– мо

дели

рова

ние к

онкр

етны

х про

стых

ситу

аций

из

жиз

ни п

осре

дств

ом и

зуче

нных

фун

кций

, ура

внен

ий,

нера

венс

тв, с

исте

м;

III.2

. Фун

кция

I ст

е-пе

ни

•Пон

ятиеф

ункц

ия I

степ

ени.

•Графи

кфу

нкци

иIс

те-

пени

. •С

войстваф

ункц

ииI

степ

ени.

•У

равн

ения

Iстепенис

одни

м не

изве

стны

м, с

двум

я не

изве

стны

ми и

пр

ивод

имые

к н

им.

12

3•Н

еравенстваIстепенисо

дним


ипри

води

мыек

ним

.•С

истемы

двуху

равн

ений

Iстепенисо

дним


,сдву

-мя

неи

звес

тным

и. М

етод

ы ре

шен

ия си

стем

ура

внен

ий (м

етод

по

дста

новк

и, м

етод

слож

ения

). •С

истемы

неравенствIс

тепени

содни


м.•У

равн

ениеIстепенисо

дним


,содержащ

иемодуль.

– ис

след

ован

ие св

ойст

в фу

нкци

й,

имею

щих

лок

альн

ый и

ли гл

обал

ь-ны

й ха

ракт

ер, в

реа

льны

х и/и

ли см

о-де

лиро

ванн

ых си

туац

иях;

– ре

шен

ие ук

азан

ных в

кур

рику

луме

ти

пов

урав

нени

й, н

ерав

енст

в, си

стем

ад

еква

тным

и ме

тода

ми.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

-т

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, м

одел

иров

а-ни

е, ал

гори

тми ч

ески

й ме

тод,

раб

о-та

с уч

ебни

ком,

груп

пово

е обу

чени

е, ис

след

ован

ие к

онкр

етно

го сл

учая

с пр

акти

ческ

им ук

лоно

м, д

идак

тиче

с-ки

е, ро

левы

е, си

муля

тивн

ые и

гры,

ко

нтрп

риме

ры, м

атри

ца ас

соци

а-ци

й, п

онят

ийна

я ка

рта,

обуч

ение

с по

мо щ

ью к

омпь

юте

ра, н

аблю

дени

е, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы, гр

афич

ески

е ра

боты

, мет

од В

ВВ, в

заим

о обу

чени

е, зв

ездн

ый в

зрыв

и д

р.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

це-

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

ва-

нием

ком

пью

тера

, тес

тиро

вани

е, ус

т-

ные,

пись

менн

ые и

пра

кти ч

ески

е ра-

боты

, мет

од п

роек

тов,

дид

акти

ческ

ие

игры

, гра

фиче

ские

раб

оты

и др

.

III.3

. Фун

кция

II ст

епен

и•П

онятиеф

ункц

ия II

степ

ени.

Граф

ик ф

ункц

ии II

степ

ени.

•Свойстваф

ункц

ииIIст

епени.

•Уравн

ения

IIст

епениипр

иводим

ыекним

.Классиф

икац

ия

урав

нени

й II

степ

ени.

•Р

ешениеуравн

ений

IIст

епени.

•Соо

тнош

ения

Виета.

•НеравенстваIIст

епениипр

иводим

ыекним

.•С

истемы

двуха

лгебраич

ески

хуравн

ений

Iстепенисд

вумя

не-

изве

стны

ми; с

исте

мы д

вух а

лгеб

раич

ески

х ура

внен

ий о

дно

из

кото

рых у

равн

ение

I ст

епен

и с д

вумя

неи

звес

тным

и, а

втор

ое –

ур

авне

ние I

I сте

пени

с дв

умя

неиз

вест

ными

. •Р

ацио

нальны

еуравн

ения

инеравенствасодни


м.II

I.4. С

теп

енна

я ф

ункц

ия.

Фун

кция

рад

икал

•Пон

ятиест

епен

ная

функ

ция.

Граф

ик ст

епен

ной

функ

ции.

•Свойствас

тепенн

ойфун

кции

.•П

онятиеф

ункц

ия р

адик

ал. Г

рафи

к фу

нкци

и ра

дика

л. С

войс

тва

функ

ции

ради

кал.

•Ирр

ацио

нальны

еуравн

ения

типа:

.II

I.5. П

оказ

ател

ьная

фун

кция

. Лог

ариф

миче

ская

фун

кция

.•П

онятиеп

оказ

ател

ьная

фун

кция

. Гра

фик

пока

зате

льно

й фу

нк-

ции.

•С

войствап


ойфун

кции

.

42 43

12

3•П

онятиело

гари

фмич

еска

я фу

нк ци

я. Гр

афик

ло

гари

фмич

еско

й фу

нкци

и.

•Свойствал

огариф

мической

фун

кции

.•П


ыеуравн

ения

типа:

1) a

f(x)

= a

g(x)

и п

риво

димы

е к н

им;

2)

пок

азат

ельн

ые у

равн

ения

, при

води

мые к

из

учен

ным

алге

браи

ческ

им у

равн

ения

м.•Л

огариф

мическиеуравн

ения

типа:

1. lo

g a f(

x) =

b;

2. lo

g a f(

x) =

log a

g(x)

;3.

log a

f(x)

± lo

g a g(

x) =

log a

h(x)

, a >

0, a

≠ 1;

4. Ло

гари

фмич

ески

е ура

внен

ия, п

риво

димы

е к

изуч

енны

м ал

гебр

аи че

ским

ура

внен

иям.

•Сис

темы

пок

азательн

ыхилогариф

мических

ур

авне

ний,

соде

ржащ

ие и

зуче

нные

типы

по-

каза

тель

ных

и/ил

и ло

гари

фми ч

ески

х ур

авне

-ни

й.4.

1. Р

аспо

знав

ание

эл

емен

тов

триг

оно-

метр

ии в

раз

личн

ых

конт

екст

ах.

4.2.

При

мене

ние э

ле-

мент

ов тр

игон

омет

-ри

и пр

и ре

шен

ии

прям

оуго

льно

го тр

е-уг

ольн

ика.

4.3.

Вы

полн

ение

тр

игон

омет

риче

ских

вы

числ

ений

в р

аз-

личн

ых к

онте

кста

х, ис

поль

зуя

табл

ицы

IV. Э

леме

нты

триг

оном

етри

и• Т

риго

номе

трич

еска

я ок

руж

ност

ь. П

реоб

ра-

зова

ние е

дини

ц из

мере

ния

угло

в из

град

усов

в

ради

аны

и об

ратн

о.

•Основны

етри

гоно

метрич

ески

етож

дества.

•Фор

мулы

при

ведени

я.

•Фор

мулы

сумм

ы.•Ф

орму

лыдвойн

огоугла.

•Табли

цазн

ачений

сину

са,косин

уса,тангенса,

кота

нген

са ч

асто

ис п

оль з

уемы

х угл

ов.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

зуче

нных

элем

енто

в тр

иго-

номе

трии

в р

азли

чных

кон

текс

тах;

– пр

еобр

азов

ание

един

иц и

змер

ения

угло

в из

гр

адус

ов в

рад

ианы

и о

брат

но;

– из

обра

жен

ие н

а три

гоно

метр

ичес

кой

окру

ж но

сти

угло

в ра

злич

ных в

елич

ин;

– пр

имен

ение

элем

енто

в тр

игон

омет

рии

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

– пр

имен

ение

терм

инол

огии

и си

мвол

ики,

адек

-ва

тной

элем

ента

м тр

игон

омет

рии,

в то

м чи

сле в

об-

щен

ии;

– пр

имен

ение

элем

енто

в тр

игон

омет

рии

при

ре ш

е-ни

и пр

ямоу

голь

ного

треу

голь

ника

;

12

3зн

ачен

ий, ф

орму

лы, к

аль-

куля

тор.

4.4.

При

мене

ние п

олу-

ченн

ых тр

игон

омет

ри-

ческ

их зн

аний

для

опр

е-де

лени

я ве

личи

н уг

лов

(в

град

усах

, рад

иана

х) в

ре-

альн

ых и

/или

смод

елир

о-ва

нных

ситу

ация

х. 4.

5. П

ерев

од н

а три

гоно

-ме

трич

ески

й и

геом

етри

-че

ский

язы

к ра

злич

ных

прак

ти че

ских

зада

ч и/

или

зада

ч из

дру

гих о

блас

тей

и ре

шен

ие эт

их за

дач.

4.6.

Ана

лиз и

инт

ерпр

е-ти

рова

ние р

езул

ь тат

ов,

полу

ченн

ых п

ри р

ешен

ии

зада

ч с п

риме

нени

ем эл

е-ме

нтов

триг

оном

етри

и.

– вы

полн

ение

триг

оном

етри

ческ

их в

ычис

лени

й в

разл

ичны

х кон

-те

кста

х, ис

поль

зуя

табл

ицы

знач

е ний

, фор

мулы

, кал

ькул

ятор

;–

охар

акте

ризо

вани

е гео

метр

ичес

ких к

онфи

гу ра

ций

поср

едст

вом

изуч

енны

х эле

мент

ов тр

иго н

омет

рии;

– вы

полн

ение

триг

оном

етри

ческ

их в

ычис

лени

й, и

спол

ьзуя

адек

-ва

тные

триг

оном

етри

ческ

ие ф

орму

лы и

тож

дест

ва;

– ан

ализ

и и

нтер

прет

иров

ание

рез

ульт

атов

, пол

у чен

ных п

ри р

е-ш

ении

зада

ч с п

риме

нени

ем эл

емен

тов

триг

оном

етри

и.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мод

елир

ован

ие, м

етод

откр

ытий

, мет

од уп

раж н

ений

, ал

гори

тмич

ески

й ме

тод,

рабо

та с

учеб

нико

м, гр

уппо

вое о

буче

ние,

иссл

едов

ание

конк

ретн

ого с

луча

я с п

ракт

ичес

ким

укло

ном,

ди

дакт

ичес

кие,

роле

вые,

симу

ляти

вные

игр

ы, ко

нтрп

риме

ры,

матр

ица а

ссоц

иаци

й, п

онят

ийна

я кар

та, о

буче

ние с

пом

ощью

ком-

пьют

ера,

набл

юден

ие, п

ракт

ичес

кие р

абот

ы, гр

афич

ески

е раб

оты,

ме

тод В

ВВ, в

заим

ообу

чени

е, зв

ездн

ый вз

рыв и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

енив

ание

с ис

поль

зова

нием

ком

пью

тера

, тес

тиро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные

и пр

акти

чес к

ие р

абот

ы, м

етод

про

екто

в, д

идак

тиче

ские

игр

ы,

граф

ичес

кие р

абот

ы и

др.

5.1.

Рас

позн

аван

ие в

ра

злич

ных к

онте

кста

х и

клас

сифи

циро

вани

е по

разн

ым к

рите

риям

изу

-че

нных

геом

етри

ческ

их

фигу

р и

их св

ойст

в.

5.2. О

пред

леле

ние в

заим

-ны

х рас

поло

жени

й из

учен

-ны

х гео

метр

ичес

ких ф

игур

в р

еаль

ных и

/или

смод

ели-

рова

нных

ситу

ация

х.

V. Ге

омет

риче

ские

фиг

уры

на

пло

скос

ти•П

онятием

атем

атич

еско

е вы

сказ

ыван

ие. И

стин

ност

ное

знач

ение

выс

казы

вани

я. П

о-ня

тия:

акси

ома,

тео

рема

, об-

рат

ная

тео

рема

.•О

сновны

егеоме

трич

ес-

кие п

онят

ия (т

очка

, пря

мая,

пл

оско

сть,

расс

тоя

ние,

вели

-чи

на уг

ла).

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние в

раз

личн

ых ко

нтек

стах

и к

ласс

ифиц

иров

ание

по

разн

ым к

рите

риям

изу

ченн

ых ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

их с

войс

тв;

– оп

реде

лени

е вза

имны

х рас

поло

жен

ий и

зуче

н ных

геом

етри

чес-

ких ф

игур

в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

; –

выпо

лнен

ие п

рибл

изит

ельн

ых о

цено

к и

аппр

окси

маци

й, и

с-по

льзу

я из

учен

ные э

леме

нты

метр

ичес

кой

геом

етри

и;–

изоб

раж

ение

на п

лоск

ости

изу

ченн

ых ге

о мет

риче

ских

фиг

ур, в

то

м чи

сле,

испо

льзу

я ад

ек ва

тные

чер

теж

ные и

нстр

умен

ты;

– пр

имен

ение

терм

инол

огии

и и

зуче

нной

гео м

етри

ческ

ой си

мво-

лики

, в то

м чи

сле,

в пр

оцес

се о

бщен

ия;

44 45

12

35.

3. И

зобр

ажен

ие н

а пло

скос

ти

изуч

енны

х гео

метр

ичес

ких ф

и-гу

р, в

том

числ

е, ис

поль

зуя

адек

-ва

тные

чер

теж

ные и

нстр

умен

ты.

5.4.

При

мене

ние в

раз

личн

ых

конт

екст

ах св

ойст

в из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

. 5.

5. М

одел

иров

ание

, в ге

омет

-ри

ческ

ом см

ысле

, сит

уаци

й из

ок

руж

ающ

ей д

ейст

вите

льно

с-ти

и/и

ли и

з дру

гих о

блас

тей,

ис-

поль

зуя,

в то

м чи

сле,

комп

ьюте

р.5.

6. Р

азра

баты

вани

е алг

орит

ма

реш

ения

геом

етри

ческ

ой за

дачи

и

реш

ение

соот

вет с

твую

щей

за-

дачи

на о

снов

ании

раз

рабо

тан-

ного

алго

ритм

а. 5.

7. В

ычи

слен

ие д

лин

отре

зков

, ве

личи

н уг

лов,

пер

имет

ров,

пло

-щ

адей

в р

еаль

ных и

/или

смод

е-ли

рова

нных

ситу

ация

х, ис

поль

-зу

я ад

еква

тные

инс

трум

енты

и

един

ицы

изме

рени

я.5.

8. О

пред

елен

ие и

стин

ност

ного

зн

ачен

ия м

атем

атич

ески

х выс

ка-

зыва

ний,

исп

ольз

уя ар

гу ме

нты

и/ил

и до

каза

тель

ства

.

•Треугольник

и.Классиф

икация

треугольни

ков.

•Кон

груэнтны

етреугольник

и.При

знаки.М

е-то

д кон

груэ

нтны

х тре

угол

ьник

ов. П

рило

жени

я.•З

амечательн

ыелин

иивтр

еугольни

ке.

•Подоб

иетр

еугольни

ков.При

знаки.М

етод

подо

бных

треу

голь

нико

в. П

рило

жен

ия.

•Метри

ческиесо

отно

шения

впря

моуголь-

ном

треу

голь

нике

.•В

ыпуклы

ечетыр

ехугольн

ики.

•Вып

уклы

емно

гоугольн

ики.

•Прави

льны

емно

гоугольн

ики.

•Окр

ужно

сть.Хо

рды.Дуги.Круг.

•Взаим

ныер

аспо

ложения

пря

мойиокру

ж-

ност

и.•Ц

ентральн

ыйуг

ол.В

писанн

ыйуг

ол.

•Впи

санн

ыйтр

еугольни

квокру

жно

сть.Опи

-са

нный

треу

голь

ник

окру

жно

сти.

•П

лощадимн

огоугольны

хповерхн

остейдля:

треу

голь

ника

(

форм

ула Г

ерон

а, ,

);кв

адра

та, п

рямо

угол

ьник

а, па

ралл

елог

рама

, ро

мба,

трап

еции

.•Д

линаокр

ужно

сти.Площадьк

руга.

– ан

ализ

и и

нтер

прет

иров

ание

пол

учен

-ны

х рез

ульт

атов

при

реш

ении

пра

ктич

ес-

ких з

адач

с ис

поль

зова

нием

изу

ченн

ых

элем

енто

в ге

омет

рии;

–

клас

сифи

циро

вани

е изу

ченн

ых ге

омет

-ри

ческ

их ф

игур

по

разл

ичны

м кр

итер

и-ям

;–

опре

деле

ние и

стин

ност

ного

знач

ения

ма

тема

тиче

ског

о вы

сказ

ыван

ия, и

спол

ь-зу

я ар

гуме

нты

и/ил

и до

каза

тель

ства

.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мод

елир

ован

ие, м

етод

упра

жне

ний,

гр

уппо

вое о

буче

ние,

иссл

едов

ание

ко

нкре

тног

о сл

учая

с пр

акти

ческ

им

укло

ном,

дид

акти

ческ

ие, р

олев

ые, с

иму-

ляти

вные

игр

ы, к

онтр

прим

еры,

мат

рица

ас

соци

аций

, обу

чени

е пос

редс

твом

ком

-пь

юте

ра, п

онят

ийна

я ка

рта,

прак

тиче

ские

ра

боты

на м

естн

ости

, мет

од В

ВВ, в

заим

о-об

учен

ие, з

везд

ный

взры

в и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

-ва

ние,

оце н

и ван

ие с

испо

льзо

вани

ем

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые,

пись

менн

ые, п

ракт

ичес

кие р

або т

ы, м

етод

пр

оект

ов, д

идак

тиче

ские

игр

ы оц

еноч

но-

го в

ида,

лабо

рато

рные

раб

оты

и др

.6.

1. Р

аспо

знав

ание

упор

ядоч

ен-

ных м

нож

еств

в р

азли

чных

кон

-те

кста

х.6.

2. П

риме

нени

е фак

тори

ала п

ри

реш

ении

зада

ч.

VI.

Элем

енты

ком

бина

тори

ки

•Пон

ятиеуп

оряд

очен

ное м

ноже

ство

. Пон

ятие

фа

ктор

иал.

•Основны

езакон

ы(прави

ла)к

омби

натори

ки.

•Перестано

вки.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние в

раз

личн

ых ко

нтек

стах

и

клас

сифи

циро

вани

е по

разн

ым к

рите

риям

из

учен

ных т

ипов

мно

жест

в, уп

оряд

очен

-ны

х мно

жест

в и ко

мбин

атор

ных з

адач

;

12

36.

3. Р

аспо

знав

ание

в р

аз-

личн

ых к

онте

кста

х и к

лас-

сифи

циро

вани

е по

разн

ым

крит

ерия

м из

учен

ных т

ипов

ко

мбин

атор

ных з

адач

. 6.

4. П

риме

нени

е пер

еста

но-

вок,

раз

мещ

ений

, соч

етан

ий и

их

свой

ств

при

реш

ении

ура

в-не

ний,

пра

ктич

ески

х зад

ач,

зада

ч из

дру

гих о

блас

тей.

•Разме

щения

.•С

очетания

.•С

войствас

оче-

тани

й.

•Уравн

ения

,со-

держ

ащие

эле-

мент

ы ко

мбин

а-то

рики

.

– ре

шен

ие п

рост

ых те

ксто

вых и

пра

ктич

ески

х зад

ач и

з раз

личн

ых о

блас

-те

й, со

держ

ащих

элем

енты

ком

бина

тори

ки;

– ре

шен

ие у

равн

ений

, сод

ерж

ащих

элем

енты

ком

бина

тори

ки.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

алго

ритм

ичес

кий

мето

д, гр

уппо

вое о

буче

ние,

иссл

едов

ание

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

мат

рица

ас

соци

аций

, пон

ятий

ная

карт

а, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее оц

енив

ание

, ито

гово

е оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

льзо

вани

ем

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы и

др.

XI к

ласс

Субк

омпе

тенц

ииСо

держ

ание

Виды

учеб

ной

и оц

еноч

ной

деят

ельн

ости

(рек

омен

дуем

ые)

12

31.

1. Р

аспо

знав

ание

пос

ледо

ва-

тель

ност

ей, а

рифм

етич

ески

х и

геом

етри

ческ

их п

рогр

есси

й в

разл

ичны

х кон

текс

тах.

1.2.

Кла

ссиф

икац

ия п

осле

до-

вате

льно

стей

по

крит

ерия

м:

коне

чные

, бес

коне

чные

, мон

о-то

нные

.1.

3. О

хара

ктер

изир

ован

ие

посл

едо в

а тел

ь нос

тей,

исп

оль-

зуя

разл

ичны

е пре

дста

влен

ия

(фор

мулы

, гра

фики

) и/

или

их

свой

ства

. 1.

4. А

нали

з и и

нтер

прет

иро-

вани

е рез

уль т

атов

, пол

учен

-ны

х при

реш

ении

зада

ч на

I. П

осле

дова

-те

льно

сти

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л•П

онятиеп

осле

-до

ват

ельн

ост

ь де

йст

вит

ельн

ых

чисе

л.•К

онечны

еибес

-ко

нечн

ые п

осле

-до

вате

льно

сти.

М

онот

онны

е пос

-ле

дова

тель

ност

и.

•Ар

ифме

тичес-

кая

прог

ресс

ия.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

при

веде

ние п

риме

ров п

осле

дова

тель

ност

ей, а

рифм

ети-

ческ

их и

геом

ет ри

ческ

их п

рогр

есси

й в р

азли

чных

конт

ек ст

ах;

– по

стро

ение

при

меро

в по

след

оват

ельн

осте

й, ар

ифме

тиче

ских

и ге

омет

-ри

ческ

их п

рогр

есси

й;–

клас

сифи

циро

вани

е и о

хара

ктер

изов

ание

пос

ле до

вате

льно

стей

, под

-по

след

оват

ельн

осте

й по

раз

личн

ым к

рите

риям

;–

анал

изир

ован

ие и

инт

ерпр

етир

ован

ие р

езул

ь тат

ов, п

олуч

енны

х при

ре-

шен

ии за

дач

на п

риме

нени

е пос

ледо

вате

льно

стей

, про

грес

сий;

– пр

имен

ение

пос

ледо

вате

льно

стей

, про

грес

сий

в раз

личн

ых о

блас

тях;

– пр

имен

ение

терм

инол

огии

, отн

осящ

ейся

к п

онят

ию п

осле

дова

тель

-но

сть в

раз

личн

ых к

онте

кста

х, в

том

числ

е, пр

и об

щен

ии.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

обу

чени

е с п

омощ

ью к

омпь

юте

ра, д

идак

тиче

ские

иг

ры, а

лгор

итми

ческ

ий м

етод

, про

блем

ное о

буче

ние,

иссл

едо в

ание

кон

-кр

етно

го сл

учая

с пр

акти

ческ

им ук

ло но

м, к

онтр

прим

еры,

мат

рица

ассо

-ци

аций

, пон

я тий

ная

карт

а, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы и

др.

46 47

12

3пр

имен

ение

пос

ледо

вате

льно

с-те

й, п

рогр

есси

й.1.

5. П

риме

нени

е пос

ледо

ва-

тель

ност

ей, п

рог р

есси

й в

раз-

личн

ых о

блас

тях.

Свой

ства

. При

лож

ения

. •Г

еоме

трич

ескаяпр

огрессия

.Св

ойст

ва. П

рило

жен

ия.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

ени-

вани

е с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

ти ро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные и

пра

кти ч

ески

е раб

оты

и др

.

2.1. Р

аспо

знав

ание

и п

риме

не-

ние п

рави

л вы

числ

ения

про

из-

водн

ых в

разл

ичны

х кон

текс

тах.

2.2.

При

мене

ние а

лгор

итмо

в ди

ффер

енци

рова

ния

при

реш

е-ни

и за

дач

и/ил

и пр

и ис

след

ова-

нии

дейс

твит

ельн

ых и

смод

ели-

рова

нных

про

цесс

ов.

2.3.

Исс

ледо

вани

е пол

ином

и-ал

ьных

фун

к ций

, исп

ольз

уя

изуч

енны

й ал

гори

тм и

ссле

-до

вани

я фу

нкци

и.2.4

. Инт

ерпр

етир

ован

ие св

ойст

в фу

нкци

й, и

меющ

их ло

каль

ный

и/ил

и гл

обал

ьный

хара

ктер

пос

-ре

дств

ом п

роиз

водн

ой.

2.5.

При

мене

ние м

етод

ов, о

с-но

ванн

ых н

а при

мене

нии

про-

изво

дной

, диф

фере

нциа

ла, к

ак

каче

стве

нно

новы

е мет

оды

ис-

след

ован

ия ф

ункц

ии, р

ешен

ия

теор

етич

ески

х и /и

ли п

ракт

и-че

ских

зада

ч.2.

6. И

спол

ьзов

ание

мех

анич

ес-

кого

и ге

омет

риче

ског

о см

ыс-

лов

прои

звод

ной

при

реш

ении

пр

осты

х зад

ач и

з раз

личн

ых

обла

стей

.

II. Д

ифф

ерен

циру

емы

е фун

кции

. П

риме

нени

е про

изво

дной

•Пон

ятиеп

реде

л фун

кции

в т

очке

.•П

онятие

прои

звод

ная ф

ункц

ии в

точ

ке.

•Задачиизразли

чных

областей,при

-во

дящ

ие к

пон

ятию

про

изво

дная

.•Геоме

трич

ески

йифи

зический

смыс

-лы

про

изво

дной

. Ура

внен

ие к

асат

ель-

ной

к гр

афик

у фун

кции

в то

чке.

•Фун

кции

,диф

ференц

ируемы

ена

множ

еств

е.•Т

абли

цапро

изводн

ыхэл

ементар-

ных ф

ункц

ий.

•Выч

ислени

епро

изводн

ых.П

рави

ла

вычи

слен

ия п

роиз

водн

ых.

•Про

изводн

аясл

ожно

йфу

нкци

и(к

омпо

зици

я не

бол

ее д

вух э

леме

н-та

рных

фун

кций

).•К

рити

ческието

чки.Точ

киэк

стре

-му

ма, э

кстр

емум

ы фу

нкци

и.•С

войствад

иффе

ренц

ируемы

хфун

к-ци

и: те

орем

ы Ф

ерма

.•П

риложения

про

изводн

ой1по

ряд-

ка в

исс

ледо

вани

и фу

нкци

и-мн

ого-

член

(пол

ином

иаль

ной

функ

ции)

, гр

афич

еско

е изо

браж

ение

фун

кции

-мн

огоч

лен.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

при

мене

ние п

рави

л вы

чис л

ения

пр

оизв

одны

х в р

азли

чных

кон

тек с

тах.

– по

стро

ение

кас

ател

ьной

к гр

афик

у фун

кции

и н

а-хо

жде

ние е

е угл

овог

о ко

эффи

циен

та, в

ычис

лени

е мг

нове

нной

скор

ости

тела

; –

прим

енен

ие ал

гори

тмов

диф

фере

нцир

ован

ия п

ри

реш

ении

зада

ч и

при

иссл

едов

ании

про

цесс

ов и

з ра

злич

ных о

блас

тей;

– ин

терп

рети

рова

ние к

ачес

твен

ных и

кол

и-че

стве

нных

фун

кций

, исп

ольз

уя п

роиз

водн

ую;

– ка

чест

венн

ое и

кол

ичес

твен

ное и

зуче

ние п

рост

ых

поли

номи

альн

ых ф

ункц

ий, и

спол

ьзуя

изу

ченн

ый

алго

ритм

исс

ледо

вани

я фу

нкци

и;–

реш

ение

про

стых

зада

ч на

мак

симу

м и

мини

мум

из р

азны

х обл

асте

й, и

спол

ьзуя

про

изво

дную

; –

прим

енен

ие п

роиз

водн

ых п

ри и

зуче

нии

физи

чес-

ких,

соци

альн

ых, э

коно

миче

ских

про

цесс

ов п

ос-

редс

твом

реш

ения

про

стых

зада

ч на

мак

симу

м и/

или

на м

иним

ум.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

обу

чени

е с п

омощ

ью к

омпь

ю-те

ра, д

идак

тиче

ские

игр

ы, ал

гори

тми ч

ески

й ме

тод,

пр

обле

мное

обу

чени

е, ис

сле д

ован

ие к

онкр

етно

го

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

кон

трпр

имер

ы,

матр

ица а

ссоц

иаци

й, п

онят

ийна

я ка

рта,

прак

тиче

с-ки

е, гр

афич

ески

е раб

оты,

мод

елир

ован

ие,

12

32.

7. П

риме

нени

е про

изво

дных

при

из

учен

ии ф

изич

ески

х, со

циал

ьных

, эк

оном

ичес

ких п

роце

ссов

пос

ред-

ство

м ре

шен

ия за

дач

на м

акси

мум

и/ил

и на

мин

имум

.

•При

ложения

про

изводн

ыхв

физи

ке, г

еоме

трии

, эко

номи

ке,

соци

олог

ии (н

а про

стых

при

ме-

рах)

. •З

адачинамаксиму

мими

ни-

мум

(про

стые

).

меж

пред

метн

ые и

вну

трип

редм

етны

е свя

зи и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

и-ва

ние с

исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е и п

ракт

и чес

кие р

абот

ы, м

етод

пр

оект

ов (п

рост

ых),

граф

и чес

кие р

абот

ы и

др.

3.1.

Исп

ольз

ован

ие те

рмин

олог

ии

адек

ват н

ой п

онят

ию к

омпл

ексн

ое

числ

о, в

раз

личн

ых к

онте

кста

х. 3.

2. П

риме

нени

е ком

плек

сных

чи-

сел,

запи

санн

ых в

алге

браи

ческ

ой

форм

е, оп

ерац

ий с

ними

при

реш

е-ни

и за

дач.

3.3.

Под

бор

стра

теги

й дл

я ре

ше-

ния

зада

ч, со

держ

ащих

вып

олне

ние

опер

аций

с ко

мп ле

ксны

ми ч

исла

-ми

. 3.

4. О

тбор

адек

ватн

ых ал

гори

т-мо

в дл

я вы

пол н

ения

выч

исле

ний

с ко

мпле

ксны

ми ч

исла

ми и

реш

ения

ур

авне

ний

на м

нож

еств

е C.

3.5.

Вы

явле

ние а

нало

гий

меж

ду

свой

ства

ми о

пера

ций

с дей

стви

-те

льны

ми ч

исла

ми и

с ко

мпле

кс-

ными

чис

лами

и п

риме

нени

е так

их

анал

огий

при

реш

ении

зада

ч.3.

6. О

бобщ

ение

пон

ятия

чис

ла п

у-те

м ра

с ши р

ения

этог

о по

няти

я от

на

тура

льны

х чис

ел д

о ко

мпле

кс-

ных ч

исел

.

III.

Комп

лекс

ные ч

исла

•Пон

ятиек

омпл

ексн

ое ч

исло

. М

нож

еств

о C.

•Алгебраич

ескаяфо

рма

комп

лекс

ного

чис

ла.

•Ари

фметич

ески

еопераци

ис к

омпл

ексн

ыми

числ

ами,

за

писа

нным

и в

алге

браи

ческ

ой

форм

е. •М

одульк

омпл

ексногочи

сла.

•Реш

ениеуравн

ений

IIст

епенис

дейс

твит

ельн

ыми

коэф

фици

ен-

тами

на м

нож

еств

е C.

Упра

жне

ния

на:

– вы

явле

ние н

еобх

одим

ости

рас

шер

ения

пон

ятия

чи

сла;

– ис

поль

зова

ние т

ерми

ноло

гии

адек

ватн

ой п

оня т

ию

комп

лекс

ное ч

исло

, в р

азли

чных

кон

текс

тах.

– ра

споз

нава

ние д

ейст

вите

льно

й и

мним

ой ч

асте

й ко

мпле

ксно

го ч

исла

; –

прим

енен

ие к

омпл

ексн

ых ч

исел

, зап

исан

ных в

ал

гебр

аиче

ской

фор

ме, о

пера

ций

с ним

и пр

и ре

-ш

ении

зада

ч;–

выпо

лнен

ие о

пера

ций

с ком

плек

сным

и чи

с лам

и;

– ре

шен

ие у

равн

ений

II ст

епен

и с д

ейст

вите

льны

ми

коэф

фици

ента

ми н

а мно

жес

тве C

. М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, о

буче

ние с

пом

ощью

ком

пью-

тера

, дид

акти

ческ

ие и

гры,

алго

ритм

и чес

кий

ме-

тод,

про

блем

ное о

буче

ние,

груп

пово

е обу

чени

е, ис

след

ован

ие к

онкр

етно

го сл

учая

с пр

акти

ческ

им

укло

ном,

мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

лиро

вани

е, ме

жпр

едме

т ные

и в

нутр

ипре

дмет

-ны

е свя

зи и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Тек

ущее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оце-

нива

ние с

исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

-ро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные р

абот

ы и

др.

48 49

12

34.

1. Р

аспо

знав

ание

в р

азли

чных

си-

туац

иях и

зуче

нных

типо

в ма

триц

, оп-

реде

лите

лей,

сист

ем л

иней

ных у

рав-

нени

й.4.

2. В

ычи

слен

ие о

пред

елит

елей

вто

ро-

го и

трет

ьего

пор

ядко

в.4.3

. Мод

елир

ован

ие п

ракт

ичес

ких с

и-ту

аций

, реа

льны

х про

цесс

ов, в

том

чис-

ле и

з тех

ники

и эк

оном

ики,

вклю

чая

данн

ые в

табл

ицы

матр

ично

го ти

па.

4.4.

Реш

ение

ура

внен

ий и

сист

ем у

рав-

нени

й, и

спол

ьзуя

алго

ритм

ы, сп

еци-

фичн

ые в

ычис

лени

ю ма

триц

и/и

ли о

п-ре

дели

теле

й.4.

5. О

пред

елен

ие ус

лови

й со

вмес

т-но

сти

и/ и

ли н

есов

мест

ност

и си

стем

ли

нейн

ых у

равн

ений

и п

риме

нени

е ад

еква

тных

мет

одов

их р

ешен

ия.

4.6.

При

мене

ние и

зуче

нных

алго

рит-

мов,

свой

ств

и пр

авил

выч

исле

ния

матр

иц, о

пред

елит

елей

и си

стем

ли-

нейн

ых у

равн

ений

в р

азли

чных

кон

-те

кста

х.

IV. М

атри

цы. О

пред

е-ли

тели

. Сис

темы

ли-

нейн

ых у

равн

ений

•Пон

ятием

атри

ца.

Част

ные с

луча

и.

•Действи

ясм

атри

цами

.•С

войства.

•Пон

ятиеоп

реде

лит

ель

втор

ого п

оряд

ка, т

ре-

тье

го п

оряд

ка.

•Выч

ислени

еопр

едели-

теле

й вт

орог

о, тр

етье

го

поря

дков

. •С

истемы

лин

ейны

хур

авне

ний

типа

m ×

n,

m, n

∈ N

*, m

, n ≤

3.

•Одн

ородны

есистемы

ли

нейн

ых у

равн

ений

ти

па m

× n

, m, n

∈ N

*, m

, n ≤

3.

•Прави

лоКраме

ра,м

е-то

д Га

усса

.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние в

раз

личн

ых си

туац

иях и

зуче

н ных

типо

в ма

триц

, опр

едел

ител

ей, с

исте

м ли

нейн

ых у

равн

ений

;–

моде

лиро

вани

е пра

ктич

ески

х сит

уаци

й, р

еаль

ных п

ро-

цесс

ов, в

том

числ

е из т

ехни

ки и

экон

омик

и, в

ключ

ая д

ан-

ные в

табл

ицы

матр

ич но

го ти

па;

– вы

числ

ение

опр

едел

ител

ей в

торо

го, т

реть

его

поря

дков

; – р

ешен

ие ур

авне

ний

и си

стем

урав

нени

й, и

спол

ьзуя

алго

рит-

мы, с

пеци

фичн

ые вы

числ

ению

мат

риц

и/ил

и оп

реде

лите

лей;

–

опре

деле

ние у

слов

ий со

вмес

тнос

ти и

/или

нес

овме

стно

с-ти

сист

ем л

иней

ных у

равн

ений

и п

риме

нени

е аде

кват

ных

мето

дов

их р

ешен

ия;

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

обу

чени

е с п

омощ

ью к

омпь

юте

-ра

, дид

акти

ческ

ие и

гры,

алго

ритм

и чес

кий

мето

д, п

ро-

блем

ное о

буче

ние,

иссл

едо в

ание

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

прак

тиче

ские

раб

оты,

мод

елир

ован

ие, м

ежпр

ед-

метн

ые и

вну

трип

редм

етны

е свя

зи, а

нало

гия

и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие

с исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые,

пись

менн

ые р

абот

ы, м

етод

про

екто

в, и

ссле

дова

ние и

др.

5.1. О

писа

ние в

заим

ных р

аспо

ложе

-ни

й то

чек,

прям

ых, ф

игур

на п

лоск

ости

, пл

оско

стей

и те

л в п

рост

ранс

тве в

реа

ль-

ных и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

.5.

2. П

остр

оени

е мод

елей

вза

имны

х ра

спол

ожен

ий то

чек,

пря

мых,

фигу

р на

пло

скос

ти и

в п

рост

ранс

тве,

плос

-ко

стей

и те

л в

прос

т ран

стве

, исп

оль-

зуя

адек

ватн

ые м

ате р

иалы

.

V. П

арал

лель

ност

ь в

прос

тран

стве

•Аксио

мыпло

скости.

Свой

ства

пло

с кос

ти.

•Взаим

ноер

аспо

ло-

жен

ие п

рямы

х в п

ро-

стра

нств

е. •П

араллельны

епря

мые

в пр

остр

анст

ве.

Упра

жне

ния

на:

– оп

исан

ие в

заим

ных р

аспо

лож

ений

точе

к, п

рямы

х, фи

-гу

р на

пло

скос

ти, п

лоск

осте

й и

тел

в пр

остр

анст

ве;

– мо

дели

рова

ние в

заим

ных р

аспо

лож

ений

точе

к, п

рямы

х, фи

гур

на п

лоск

ости

и в

про

стра

нств

е, пл

оско

стей

и те

л в

прос

тран

стве

;–

изоб

раж

ение

на п

лоск

ости

пло

ских

и/и

ли п

рост

ран-

стве

нных

геом

етри

ческ

их к

онфи

гу ра

ций,

исп

ольз

уя ад

ек-

ватн

ые и

нстр

умен

ты;

12

35.3

. Изо

браж

ение

на п

лоск

ости

пло

ских

и/и

ли

прос

тран

стве

нных

геом

етри

ческ

их ко

нфиг

у-ра

ций,

исп

ольз

уя ад

еква

тные

инс

тру м

енты

. 5.

4. П

риме

нени

е при

знак

ов п

арал

лель

ност

и пр

ямых

, пря

мых и

пло

скос

тей,

пло

скос

тей

при

реш

ении

зада

ч, в

реа

льны

х и/и

ли см

оде-

лиро

ванн

ых си

туац

иях.

5.5.

Рас

позн

аван

ие п

лоск

их ф

игур

в со

ста-

ве п

рост

ранс

твен

ных ф

игур

в к

онте

ксте

от-

нош

ения

пар

алле

льно

сти

в ре

альн

ых и

/или

см

одел

иров

анны

х сит

уаци

ях.

5.6. В

ыяв

лени

е ана

логи

й ме

жду

свой

ства

ми

геом

етри

ческ

их ф

игур

на п

лоск

ости

и в

про-

стра

нств

е в ко

нтек

сте о

тнош

ения

пар

алле

ль-

ност

и и

их и

спол

ьзов

ание

при

реш

ении

зада

ч.5.7

. При

мене

ние с

войс

тв п

лоск

их ге

омет

ри-

ческ

их ф

игур

отн

осит

ельн

о их

взаи

мног

о ра

спол

ожен

ия и

отн

ошен

ия п

арал

лель

ност

и в п

рост

ранс

тве в

раз

личн

ых ко

нтек

стах

. 5.

8. О

босн

ован

ие за

данн

ого

или

полу

ченн

о-го

геом

етри

ческ

ого

резу

льта

та.

5.9.

При

мене

ние к

омпь

юте

ра в

кон

текс

те

моде

лиро

вани

я и

расп

озна

вани

я вз

аимн

ых

расп

олож

ений

фиг

ур в

про

стра

нств

е с ц

елью

фо

рмир

ован

ия и

раз

вити

я пр

остр

анст

венн

о-го

мыш

лени

я.

•Взамн

оераспо

ложе-

ние п

рямо

й и

плос

-ко

сти.

•П

ряма

я,параллель

-на

я пл

оско

сти.

Кри

-те

рий,

свой

ства

.•В

заим

ноер

аспо

-ло

жен

ие д

вух п

лос-

кост

ей. П

арал

лель

-ны

е пло

скос

ти.

Крит

ерий

, сво

йств

а.

– пр

имен

ение

при

знак

ов п

арал

лель

ност

и пр

ямых

, пр

ямых

и п

лоск

осте

й, п

лоск

осте

й пр

и ре

шен

ии за

дач,

в

реал

ьных

и/и

ли см

одел

иров

анны

х сит

уа ци

ях;

– ра

споз

нава

ние п

лоск

их ф

игур

в со

став

е про

стра

нс-

твен

ных ф

игур

в ко

нтек

сте о

тнош

ения

пар

алле

льно

сти;

– пр

имен

ение

свой

ств

плос

ких г

еоме

трич

ески

х фиг

ур

отно

сите

льно

их в

заим

ного

рас

поло

жен

ия и

отн

оше-

ния

пара

ллел

ьнос

ти в

про

стра

нств

е;–

сост

авле

ние и

реш

ение

зада

ч на

вза

имно

е рас

поло

-ж

ение

и о

тнош

ение

пар

алле

льно

сти

в пр

остр

анст

ве и

з де

йств

ител

ьнос

ти и

/или

из д

руги

х обл

асте

й;

– об

осно

вани

е зад

анно

го и

ли п

олуч

енно

го ге

омет

ри-

ческ

ого

резу

льта

та п

осре

дств

ом ар

гу ме

н тир

ован

ия,

дока

зате

льст

ва.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жнен

ий, о

буче

ние с

пом

ощью

ком п

ьюте

ра,

дида

ктич

ески

е игр

ы, п

робл

емно

е обу

чени

е, гр

уппо

вое

обуч

ение

, исс

ледо

вани

е кон

крет

ного

случ

ая с

прак

ти-

ческ

им ук

лоно

м, ко

нтр п

риме

ры, м

атри

ца ас

соци

аций

, по

няти

йная

карт

а, мо

дели

рова

ние,

прак

тиче

ские

раб

оты

на м

ест н

ости

, мод

елир

ован

ие, м

ежпр

едме

тные

и вн

утри

-пр

едме

тные

связ

и, ан

алог

ия, л

абор

атор

ные р

або т

ы и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

е-ни

вани

е с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

ти ро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные,

прак

тиче

ские

ра б

о ты

и др

.6.

1. Р

аспо

знав

ание

и о

писа

ние в

заим

-ны

х рас

поло

жен

ий то

чек,

пря

мых,

фигу

р на

пло

скос

ти и

в п

рост

ранс

тве,

плос

кос-

тей

в пр

остр

анст

ве в

кон

текс

те о

тнош

е-ни

я пе

рпен

дику

лярн

ости

в р

еаль

ных и

/или

см

одел

и ров

анны

х сит

уаци

ях.

VI. П

ерпе

ндик

уляр

-но

сть в

про

стра

н ств

е•П

ерпенд

икуляр

ные

прям

ые в

про

стра

нс-

тве,

свой

ства

, при

-зн

ак.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

опи

сани

е вза

имны

х рас

по ло

жен

ий

точе

к, п

рямы

х, фи

гур

на п

лоск

ости

и в

про

стра

нств

е, пл

оско

стей

в п

рост

ранс

тве в

кон

текс

те о

тнош

ения

пе

рпен

дику

лярн

ости

в п

рост

ранс

тве;

50 51

12

36.

2. М

одел

иров

ание

раз

личн

ых в

заим

о-ра

спол

ожен

ий то

чек,

пря

мых,

фигу

р на

пл

оско

сти

и в

прос

тран

стве

, пло

скос

тей

в пр

остр

анст

ве в

кон

текс

те о

тнош

ения

пер

-пе

ндик

уляр

ност

и в

прос

тран

стве

, исп

ольз

уя

адек

ватн

ые м

атер

иалы

.6.

3. И

зобр

ажен

ие н

а пло

скос

ти п

лоск

их и

/ил

и пр

остр

анст

венн

ых ге

омет

риче

ских

кон

-фи

гура

ций

в ко

нтек

сте о

тнош

ения

пер

пен-

дику

лярн

ости

в п

рост

ранс

тве.

6.4.

При

мене

ние п

ризн

аков

пер

пенд

икул

яр-

ност

и пр

ямых

, пря

мых и

пло

скос

тей,

пло

с-ко

стей

при

реш

ении

зада

ч в

реал

ьных

и/и

ли

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 6.

5. Р

аспо

знав

ание

пло

ских

фиг

ур в

сост

аве

прос

тран

стве

нных

фиг

ур в

кон

текс

те о

тно-

шен

ия п

ерпе

ндик

уляр

ност

и в

реал

ьных

и/

или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

6.

6. В

ыяв

лени

е ана

логи

й ме

жду

свой

ства

-ми

геом

етри

ческ

их ф

игур

на п

лоск

ости

и в

пр

остр

анст

ве в

кон

текс

те о

тнош

ения

пер

-пе

ндик

уляр

ност

и и

их и

спол

ьзов

ание

при

ре

шен

ии за

дач.

6.7. И

звле

чени

е зна

чимы

х эле

мент

ов и

от

личи

тель

ной

инфо

рмац

ии и

з про

ст-

ранс

твен

ных г

еоме

трич

ески

х кон

фигу

ра ци

й и

их п

лоск

остн

ых и

зобр

ажен

ий дл

я ре

шен

ия

реал

ьных

и/и

ли см

одел

иров

анны

х зад

ач.

6.8.

При

мене

ние к

омпь

юте

ра в

кон

текс

те

моде

лиро

вани

я и

расп

озна

вани

я вз

аимн

ых

расп

олож

ений

фиг

ур в

про

стра

нств

е с ц

е-ль

ю фо

рмир

ован

ия и

раз

вити

я пр

остр

ан-

стве

нног

о мы

шле

ния.

•Пря

мая,перпен-

дику

лярн

ая п

лос-

кост

и, св

ойст

ва,

приз

нак.

•Расстояни

еот

точк

и до

пря

мой,

от

точк

и до

пло

с-ко

сти,

от п

рямо

й до

пло

скос

ти.

•Теорема

отр

ех

перп

енди

куля

-ра

х. О

брат

ная

те-

орем

а. •П

ерпенд

икуляр

-ны

е пло

скос

ти,

свой

ства

, при

-зн

ак.

•Ортогон

альн

ые

прое

кции

точе

к,

отре

зков

, пря

мых

на п

лоск

ость

.•У

голме

ждудву

-мя

пря

мыми

.•У

голме

ждупря

-мо

й и

плос

кос-

тью.

•Двугранны

йуг

ол.

– мод

елир

ован

ие, и

спол

ьзуя

адек

ватн

ые м

ате р

иалы

, раз

лич-

ные в

заим

орас

поло

жени

я точ

ек, п

рямы

х, фи

гур н

а пло

скос

-ти

и в

прос

тран

стве

, пло

скос

тей

в про

стра

нств

е в ко

нтек

сте

отно

ше н

ия п

ерпе

ндик

уляр

ност

и в п

рост

ранс

тве;

– из

обра

жен

ие н

а пло

скос

ти п

лоск

их и

/или

про

стра

н-ст

венн

ых ге

омет

риче

ских

кон

фигу

раци

й в

конт

екст

е отн

о-ш

ения

пер

пенд

икул

ярно

сти

в пр

остр

анст

ве;

– пр

имен

ение

при

знак

ов п

ерпе

ндик

уляр

ност

и пр

ямых

, пр

ямых

и п

лоск

осте

й, п

лоск

осте

й;–

расп

озна

вани

е пло

ских

фиг

ур в

сост

аве п

рост

ранс

твен

-ны

х фиг

ур в

кон

текс

те о

тнош

ения

пер

пенд

икул

ярно

сти

в пр

остр

анст

ве;

– вы

явле

ние а

нало

гий

меж

ду св

ойст

вами

геом

етри

ческ

их

фигу

р на

пло

скос

ти и

в п

рост

ранс

тве в

кон

текс

те о

тнош

е-ни

я пе

рпен

ди ку

лярн

ости

и и

х исп

ольз

ован

ие п

ри р

ешен

ии

зада

ч;–

прим

енен

ие св

ойст

в пл

оски

х гео

метр

ичес

ких ф

игур

в

конт

екст

е отн

ошен

ия п

ерпе

ндик

у ляр

ност

и в

прос

тран

стве

в

разл

ичны

х кон

текс

тах;

– вы

числ

ение

дли

н от

резк

ов и

вел

ичин

угло

в на

пло

скос

ти

и в

прос

тран

стве

(уго

л ме

жду

дву

мя п

рямы

ми, у

гол

меж

-ду

пря

мой

и пл

оско

стью

, уго

л ме

жду

дву

мя п

лоск

остя

ми,

двуг

ранн

ый уг

ол);

– об

осно

вани

е зад

анно

го и

ли п

олуч

енно

го ге

омет

риче

ско-

го р

езул

ьтат

а. М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, о

буче

ние с

пом

ощью

ком

пью

тера

, ди-

дакт

ичес

кие и

гры,

про

блем

ное о

буче

ние,

груп

пово

е обу

-че

ние,

иссл

едов

ание

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

ук

лоно

м, к

онтр

прим

еры,

мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

лиро

вани

е, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы на

мес

тнос

ти,

моде

лиро

вани

е, ме

жпр

едме

тные

и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вя-

зи, а

нало

гия,

лаб

орат

орны

е раб

оты,

звез

дный

взр

ыв и

др.

12

36.

9. В

ычи

слен

ие д

лин

отре

зков

и в

ели-

чин

угло

в на

пло

скос

ти и

в п

рост

ран-

стве

(уго

л ме

жду

дву

мя п

рямы

ми, у

гол

меж

ду п

рямо

й и

плос

кост

ью, у

гол

меж

ду

двум

я пл

оско

стям

и, д

вугр

анны

й уг

ол) в

ре

альн

ых и

/или

смод

елир

ован

ных с

иту-

ация

х. 6.1

0. О

босн

ован

ие за

данн

ого

или

полу

чен н

ого

геом

етри

ческ

ого

резу

льта

та.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее о

цени

вани

е, ит

огов

ое о

цени

вани

е, оц

енив

ание

с и

спол

ьзов

ание

м ко

мпью

тера

, тес

тиро

вани

е, ус

тные

, пи

сьме

нные

, пра

ктич

ески

е раб

оты

и др

.

7.1.

Рас

позн

аван

ие и

кла

ссиф

икац

ия

по р

азли

чным

кри

тери

ям и

зуче

нных

ти-

пов

геом

етри

ческ

их п

реоб

разо

вани

й в

прос

т ран

стве

в р

еаль

ных и

/или

смод

ели-

рова

нных

ситу

ация

х.7.

2. И

спол

ьзов

ание

терм

инол

огии

, аде

к-ва

тной

геом

етри

ческ

им п

реоб

разо

вани

-ям

в п

рост

ран с

тве в

раз

личн

ых к

онте

к-ст

ах.

7.3.

При

мене

ние г

еоме

трич

ески

х пр

еобр

азо в

аний

в п

рост

ранс

тве и

их

свой

ств

в ра

зли ч

ных о

блас

тях (

на п

рак-

тике

, в те

хник

е, в

иску

сств

е) в

кон

текс

те

реш

ения

реа

льны

х и/и

ли см

одел

иров

ан-

ных п

робл

ем.

7.4.

Мод

елир

ован

ие ге

омет

риче

ских

пр

еобр

азов

аний

в п

рост

ранс

тве,

в т

ом

числ

е, м

одел

иров

ание

реа

льны

х си

ту-

аций

из о

круж

ающ

ей д

ейст

вите

льно

с-ти

, исп

ольз

уя а

декв

атны

е ма

тери

алы

.7.

5. О

босн

ован

ие за

данн

ого

или

полу

-че

нног

о ге

омет

риче

ског

о ре

зуль

тата

,

VII

. Гео

метр

ичес

кие

прео

браз

ован

ия в

пр

остр

анст

ве•И

зоме

трич

ески

епр

еобр

азов

ания

в

прос

тран

стве

.•С

имме

трия

относи-

тель

но то

чки.

•Осеваясимм

етри

я.

•Сим

метрия

относи-

тель

но п

лоск

ости

.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

кла

ссиф

икац

ию п

о ра

злич

ным

крит

е-ри

ям и

зуче

нных

типо

в ге

омет

риче

ских

пре

обра

зова

ний

в пр

остр

анст

ве;

– ис

поль

зова

ние т

ерми

ноло

гии,

адек

ватн

ой ге

о-ме

трич

ески

м пр

еобр

азов

ания

м в

прос

тран

стве

в р

азли

ч-ны

х кон

текс

тах;

– мо

дели

рова

ние г

еоме

трич

ески

х пре

обра

зова

ний

в пр

о-ст

ранс

тве,

испо

льзу

я ад

еква

тные

мат

ериа

лы, в

том

числ

е, ко

мпью

тер;

– об

осно

вани

е зад

анно

го и

ли п

олуч

енно

го ге

омет

риче

с-ко

го р

езул

ьтат

а;–

изоб

раже

ние н

а пло

скос

ти ге

омет

риче

ских

конф

игур

а-ци

й, п

олуч

енны

х в р

езул

ьтат

е при

мене

ния г

еоме

трич

ески

х пр

еобр

азов

аний

в пр

остр

анст

ве и

их с

войс

тв;

– пр

имен

ение

геом

етри

ческ

их п

реоб

разо

вани

й в

про-

стра

нств

е и и

х сво

йств

.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, о

буче

ние с

пом

ощью

комп

ьюте

ра, д

и-да

ктич

ески

е игр

ы, п

робл

емно

е обу

чени

е, гр

уппо

вое о

бу-

чени

е, ис

след

ован

ие ко

нкре

тног

о сл

учая

с пр

акти

ческ

им

укло

ном,

конт

рпри

меры

, мат

рица

ассо

циац

ий, п

онят

ийна

я ка

рта,

моде

лиро

вани

е, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы на

мес

тнос

ти,

52 53

12

3св

язан

ного

с ге

омет

риче

ским

и пр

еобр

а-зо

вани

ями

в пр

ост р

анст

ве.

7.6.

Изо

браж

ение

на п

лоск

ости

геом

ет-

ри че

ских

кон

фигу

раци

й, п

олуч

енны

х в

резу

ль та

те п

риме

нени

я ге

омет

риче

ских

пр

ео бр

а зов

аний

в п

рост

ранс

тве.

моде

лиро

вани

е, ме

жпр

едме

тные

и вн

утри

пред

метн

ые св

язи,

ан

алог

ия, л

абор

атор

ные р

абот

ы, зв

ездн

ый вз

рыв и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее оц

енив

ание

, ито

гово

е оце

нива

ние,

оце н

и ван

ие с

ис-

поль

зова

нием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е, пр

акти

ческ

ие ра

бо ты

, исс

ледо

вани

я (пр

осты

е) и

др.

XII к

ласс

Субк

омпе

тенц

ииСо

держ

ание

Виды

учеб

ной

и оц

еноч

ной

деят

ельн

ости

(рек

омен

дуем

ые)

12

31.

1. Р

аспо

знав

ание

пер

вооб

разн

ой

функ

ции

в ра

злич

ных к

онте

кста

х.1.2

. Вы

числ

ение

нео

пред

елен

ных и

н-те

грал

ов, и

спол

ьзуя

свой

ства

и та

б-ли

цу н

еопр

едел

енны

х инт

егра

лов.

1.3.

Опр

едел

ение

пер

вооб

разн

ой за

-да

нной

фун

кции

или

фун

кции

, пер

-во

обра

зная

кот

орой

удов

летв

оряе

т за

данн

ым ус

лови

ям.

1.4.

Обо

снов

ание

зада

нног

о ил

и по

-лу

ченн

ого

резу

льта

та, с

вяза

нног

о с

перв

ообр

азно

й фу

нкци

ей, с

нео

пре-

деле

нным

инт

егра

лом.

1.5.

Исп

ольз

ован

ие те

рмин

олог

ии

и си

мвол

ики,

адек

ватн

ой п

онят

иям

перв

ообр

азна

я, н

еопр

едел

енны

й ин

-те

грал

, в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

о-ва

нных

ситу

ация

х.1.

6. А

нали

з реш

ения

про

блем

, про

-бл

емны

х сит

уаци

й на

пер

вооб

раз-

ные и

ли н

еопр

едел

енны

е инт

егра

лы

I. П

ерво

обра

зная

ф

ункц

ии. Н

еопр

е-де

ленн

ый

инте

грал

•Пон

ятиеп

ерво

об-

разн

ая.

•Неопр

еделенны

йин

тегр

ал.

•Свойства.

•Табли

цанеопр

еде-

ленн

ых и

нтег

рало

в из

учен

ных э

леме

н-та

рных

фун

кций

.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

опр

едел

ение

пер

вооб

разн

ой ф

ункц

ии и

/или

не

опре

деле

нног

о ин

тегр

ала;

– вы

числ

ение

нео

пред

елен

ных и

нтег

рало

в, и

с пол

ьзуя

свой

ства

и

табл

ицу н

еопр

едел

енны

х инт

егра

лов;

– оп

реде

лени

е пер

вооб

разн

ой за

данн

ой ф

ункц

ии и

ли ф

ункц

ии,

перв

ообр

азна

я кот

орой

удов

лет в

оряе

т зад

анны

м ус

лови

ям;

– об

осно

вани

е рез

ульт

ата,

отно

сящ

егос

я к

перв

о обр

азны

м, н

е-оп

реде

ленн

ым и

нтег

рала

м по

сред

ство

м ар

гуме

нтир

ован

ия;

– ан

ализ

реш

ения

про

блем

, про

блем

ных с

итуа

ций

на о

пред

е-ле

ние п

ерво

обра

зных

, нео

пре д

елен

ных и

нтег

рало

в в

конт

екс-

те к

орре

ктно

сти,

про

стот

ы, ч

етко

сти

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных

резу

льта

тов.

М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

ражн

ений

, алг

орит

миче

ский

мет

од, о

буче

ние с

пом

ощью

ко

мпью

тера

, дид

акти

ческ

ие и

гры,

про

блем

ное о

буче

ние,

конт

р-пр

имер

ы, м

ат ри

ца ас

соци

аций

, пон

ятий

ная к

арта

, меж

пред

метн

ые

и вн

утри

пред

метн

ые св

язи,

анал

огия

, зве

здны

й вз

рыв и

др.

Виды

оцен

очно

й де

ятел

ьнос

ти:

Те

кущ

ее оц

енив

ание

, ито

гово

е оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

испо

ль-

зова

нием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние у

стно

е, пи

сьме

нное

и др

.

12

3в

конт

екст

е кор

рект

ност

и, п

рост

о-ты

, чет

кост

и и

знач

имос

ти п

олуч

ен-

ных р

езул

ьтат

ов.

2.1.

Рас

позн

аван

ие о

пред

елен

ного

ин

тегр

ала в

раз

личн

ых к

онте

кста

х. 2.

2. В

ычи

слен

ие о

пред

елен

ных и

н-те

грал

ов, и

спол

ьзуя

свой

ства

, фор

-му

лу Н

ьюто

на-Л

ейбн

ица.

2.3.

Геом

етри

ческ

ое тр

акто

вани

е оп

реде

ленн

ого

инте

грал

а нео

триц

а-те

льно

й не

пре р

ывно

й фу

нкци

и.2.

4. Р

аспо

знав

ание

под

граф

ика

функ

ции

в ра

злич

ных к

онте

кста

х. 2.

5. В

ычи

слен

ие п

лощ

ади

фигу

ры

и об

ъема

тела

вра

щен

ия, и

спол

ьзуя

оп

реде

ленн

ый и

нтег

рал.

2.6.

При

мене

ние п

ерво

обра

зных

, не

оп ре

деле

нных

и о

пред

елен

ных

инте

грал

ов в

реа

льны

х и/и

ли см

оде-

лиро

ванн

ых си

туац

иях.

II. О

пред

елен

ный

инте

грал

. П

рило

жен

ия•П

онятиеоп

реде

-ле

нный

инт

егра

л. •С

войства.

•Фор

мулаНью

тона-

Лейб

ница

. •В

ычислени

епло

-щ

ади

подг

рафи

ка

функ

ции.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние о

пред

елен

ного

инт

егра

ла;

– вы

числ

ение

опр

едел

енны

х инт

егра

лов,

исп

ольз

уя св

ойст

ва и

та

блиц

у нео

пред

елен

ных и

нтег

рало

в;

– пр

имен

ение

фор

мулы

Нью

тона

-Лей

бниц

а при

выч

исле

нии

оп-

реде

ленн

ых и

нтег

рало

в;

– об

осно

вани

е пол

учен

ного

рез

ульт

ата о

тно с

ител

ьно

опре

деле

н-ны

х инт

егра

лов

поср

едст

вом

аргу

мент

иров

ания

; –

прим

енен

ие о

пред

елен

ных и

нтег

рало

в в

разл

ичны

х обл

астя

х; –

при

мене

ние г

еоме

трич

еско

й тр

акто

вки

опре

деле

нног

о ин

-те

грал

а нео

триц

ател

ьной

неп

реры

вной

фун

к ции

.М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, о

буче

ние с

пом

ощью

ком

пью

тера

, дид

акти

-че

ские

игр

ы, и

ссле

дова

ние к

онкр

етно

го сл

учая

с пр

акти

ческ

им

укло

ном,

пон

ятий

ная

карт

а, мо

дели

ро ва

ние,

прак

тиче

ские

раб

о-ты

, меж

пред

метн

ые и

вну

три п

ред м

етны

е свя

зи, а

нало

гия

и др

. Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

иван

ие с

ис-

поль

зова

нием

ком

пью

тера

, тес

тиро

вани

е, ус

тные

, пис

ьмен

ные,

прак

тиче

ские

раб

оты

и др

.3.

1. Р

аспо

знав

ание

и к

ласс

ифик

а-ци

я со

быти

й по

раз

личн

ым к

рите

-ри

ям.

3.2.

Вы

числ

ение

вер

оятн

ости

собы

-ти

я в

реал

ьных

и/и

ли см

одел

иро-

ванн

ых си

туац

иях,

испо

льзу

я от

но-

шен

ие: к

олич

ест

во бл

агоп

ри ят

ных

собы

тию

случ

аев/

коли

чест

во вс

ех

возм

ожны

х слу

чаев

.

III.

Элем

енты

тео-

рии

веро

ятно

стей

•Соб

ытие.К

ласси-

фика

ция

собы

тий.

•К

лассич

еско

еоп-

реде

лени

е вер

оят-

ност

и со

быти

я.•С

лучайн

ыесо

бы-

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

кла

ссиф

икац

ию со

быти

й;–

выпо

лнен

ие о

пера

ций

с соб

ытия

ми;

– ср

авне

ние с

обыт

ий п

о пр

изна

ку ш

анcо

в их

реа

лиза

ции;

– вы

числ

ение

вер

оятн

ости

собы

тия

в ре

альн

ых и

/или

смод

ели-

рова

нных

ситу

ация

х, и

спол

ьзуя

отн

ошен

ие: к

олич

ест

во б

лаго

-пр

ият

ных

собы

тию

случ

аев/

кол

ичес

тво

все

х во

змож

ных

слу-

чаев

.

54 55

12

33.

3. И

спол

ьзов

ание

терм

инол

огии

, ад

еква

т ной

элем

ента

м те

ории

вер

оят-

ност

ей и

мат

емат

ичес

кой

стат

исти

ки

в ра

злич

ных к

онте

кста

х. 3.

4. Р

аспо

знав

ание

и п

риме

нени

е ос-

новн

ых п

онят

ий м

атем

атич

еско

й ст

а-ти

стик

и в

разл

ичны

х кон

текс

тах.

3.5. П

редс

тавл

ение

рез

ульт

атов

на-

блюд

ений

, физ

ичес

ких,

экон

омич

ес-

ких,

соци

альн

ых яв

лени

й по

сред

ство

м ри

сунк

ов, т

абли

ц, гр

афик

ов, д

иагр

амм

и из

влеч

ение

инф

ор ма

ции

из ст

атис

-ти

ческ

их та

блиц

, спи

сков

, диа

грам

м.

3.6.

Ист

олко

вани

е и п

ерен

есен

ие н

а ма

тема

тиче

ский

язы

к пр

акти

ческ

их

ситу

аций

пос

редс

твом

стат

исти

чес-

ких и

вер

оятн

остн

ых п

онят

ий.

3.7.

Уче

т и и

нтер

прет

иров

ание

ко

личе

с тве

нных

, кач

еств

енны

х дан

-ны

х, ис

поль

зуя

стат

исти

ческ

ие и

ве-

роят

ност

ные п

онят

ия.

3.8.

Ана

лиз р

ешен

ия за

дачи

, сит

уаци

-он

ной

зада

чи п

о ма

тема

тиче

ской

ста-

тист

ике и

/или

теор

ии в

ероя

тнос

ти в

ко

нтек

сте п

рави

льно

сти,

про

стот

оты,

че

ткос

ти и

знач

ения

рез

ульт

атов

.3.

9. У

чет и

алг

орит

миза

ция

дан-

ных п

осре

д ств

ом и

нфор

маци

онны

х и

комм

уник

ацио

нных

техн

олог

ий.

3.10

. При

мене

ние а

лгор

итмо

в, ад

ек-

ватн

ых ф

и нан

сово

му и

счис

лени

ю,

стат

исти

ке и

ли в

ероя

тнос

ти п

ри

тия.

Опе

раци

и со

слу-

чайн

ыми

собы

тиям

и.

Нез

ави с

имые

случ

айны

е со

быти

я.

Элем

енты

мат

емат

и-че

ской

ст

атис

тики

•Основны

епон

ятия

.Уч

ет и

груп

п пир

овка

да

нных

.•Графи

ческоеизобр

аже-

ние с

тати

с тич

ески

х дан

-ны

х (ги

стог

рамм

а, по

ли-

гон

абсо

лютн

ых ч

асто

т, по

лиго

н от

носи

тель

ных

част

от, д

иагр

амма

в в

иде

верт

икал

ьных

отр

езко

в,

диаг

рамм

ы с р

ешет

ка-

ми, с

трук

турн

ые д

иаг-

рамм

ы).

•Средн

иевелич

ины

стат

исти

ческ

их р

ядов

(с

редн

ее ар

ифме

тиче

с-ко

е, вз

веш

енно

е сре

днее

ар

ифме

ти че

ское

, мед

иа-

на, м

ода)

.•Э

леме

нтыфи

нансового

исчи

с лен

ия: п

роце

нты,

до

ходы

, НДС

, сто

имос

ть,

приб

ыль,

типы

кре

ди-

тов,

бюд

жет

, сем

ейны

й бю

джет

, лич

ный

бюдж

ет.–

прив

еден

ие ко

нкре

тных

при

меро

в дис

крет

ных с

луча

йных

ве

личи

н, вк

лючи

тель

но и

з окр

ужа ю

щей

дейс

твит

ельн

ости

;–

клас

сифи

циро

вани

е дан

ных п

о ра

зным

кри

тери

ям;

– пр

едст

авле

ние р

езул

ьтат

ов н

аблю

дени

й, ф

изич

ески

х, эк

оном

ичес

ких,

соци

альн

ых я

вле н

ий п

осре

дств

ом р

исун

-ко

в, та

блиц

, гра

фико

в, д

иагр

амм

и из

влеч

ение

инф

орма

-ци

й из

стат

исти

ческ

их та

блиц

, спи

сков

, диа

грам

м.

– ис

толк

ован

ие и

пер

енес

ение

на м

ате м

атич

ески

й яз

ык

прак

тиче

ских

ситу

аций

пос

ред с

твом

стат

исти

ческ

их и

ве-

роят

ност

ных п

онят

ий;

– вы

полн

ение

эксп

ерим

енто

в;–

стат

исти

ческ

ие н

аблю

дени

я (п

рост

ые);

– ул

учш

ение

пол

учен

ных р

езул

ьтат

ов п

утем

увел

ичен

ия

коли

чест

ва п

роб;

– пр

имен

ение

инф

орма

цион

ных и

ком

муни

ка ци

онны

х те

хнол

огий

для

учет

а и ал

гори

тмиз

ации

дан

ных;

– пр

имен

ение

алго

ритм

ов, а

декв

атны

х фин

ансо

вому

ис-

числ

ению

, ста

тист

ике и

ли в

ероя

тнос

ти п

ри и

ссле

дова

нии

конк

ретн

ых сл

учае

в из

пра

к тик

и.

Мет

оды

и ви

ды уч

ебно

й де

ятел

ьнос

ти:

М

етод

упра

жне

ний,

обу

чени

е с п

омощ

ью к

омпь

юте

ра,

дида

ктич

ески

е игр

ы, эк

спер

имен

т, пр

обле

мное

обу

че-

ние,

иссл

едо в

ание

кон

крет

ного

случ

ая с

прак

тиче

ским

ук

лоно

м, к

онтр

прим

еры,

мат

рица

ассо

циац

ий,

поня

тийн

ая к

арта

, мод

елир

ован

ие, п

ракт

ичес

кие р

або-

ты, м

ежпр

едме

тные

и в

нутр

ипре

дмет

ные с

вязи

, ана

логи

я,

звез

дный

взр

ыв и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оце н

иван

ие

с исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

ро ва

ние,

устн

ые,

пись

менн

ые, г

рафи

ческ

ие, п

рак т

ичес

кие р

абот

ы, м

етод

пр

оект

ов, и

ссле

до ва

ние и

др.

12

3ис

след

ован

ии к

онкр

етны

х слу

чаев

из

прак

тики

.4.

1. Р

аспо

знав

ание

и к

ласс

ифик

ация

мн

огог

ранн

иков

по

разл

ичны

м кр

ите-

риям

в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

-ны

х сит

уаци

ях.

4.2.

Иде

нтиф

ицир

ован

ие эл

емен

-то

в пл

оски

х гео

метр

ичес

ких ф

игур

на

прос

тран

стве

нных

геом

етри

ческ

их

конф

игур

ация

х в р

еаль

ных и

/или

смо-

дели

рова

нных

ситу

ация

х. 4.

3. П

риме

нени

е сво

йств

мно

гогр

ан-

нико

в в

реал

ьных

и/и

ли см

одел

иро-

ванн

ых си

туац

иях.

4.4.

Исп

ольз

ован

ие ал

гори

тмов

, аде

к-ва

тных

выч

исле

нию

площ

адей

по-

ве

рхно

стей

и о

бъем

ов м

ного

гран

ни-

ков,

при

реш

ении

зада

ч.

4.5.

Изв

лече

ние и

нфор

маци

и, со

дер-

жащ

ейся

в д

анно

й ге

омет

риче

ской

ко

нфиг

урац

ии, д

ля д

оказ

ател

ьств

а ее

свой

ств

и вы

числ

ения

дли

н, п

лощ

а-де

й, о

бъем

ов.

4.6.

Вы

полн

ение

при

близ

ител

ьных

оц

енок

дли

н от

резк

ов, в

елич

ин уг

лов,

пе

риме

тров

, пло

щад

ей и

объ

емов

в

геом

етри

ческ

их те

лах в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

. 4.

7. И

нтер

прет

иров

ание

пра

ктич

ес-

ких с

итуа

ций,

исп

ольз

уя м

ного

гран

-ни

ки и

их э

леме

нты.

4.8.

Ана

лиз р

ешен

ия п

робл

ем н

а мно

-го

гран

ники

в к

онте

ксте

кор

рект

ност

и,

IV. М

ного

гран

ники

•При

зма.Эл

ементы

.Класси-

фика

ция.

•П

рямы

епри

змы(треуголь-

ные,

четы

реху

голь

ные,

шес

ти-

угол

ьные

). •П

лощади.

•Объ

ем.

•Сечения


еосно-

вани

ю, д

иаго

наль

ные с

ечен

ия,

сече

ния,

соде

ржащ

ие в

ысот

у в

прям

ой п

ризм

е. •П

ирам

ида.Эл

ементы

.Клас-

сифи

каци

я.•П

рави

льны

епир

амид

ы(т

реуг

оль н

ые, ч

етыр

ехуг

оль-

ные,

шес

тиуг

ольн

ые).

•Площади.

•Объ

ем.

•Сечения


еосно-

вани

ю. Д

иаго

наль

ные с

ечен

ия.

Сече

ния

соде

ржащ

ие в

ысот

у.•У

сеченн

аяпир

амид

а.Эл

емен

-ты

. Кла

ссиф

икац

ия.

•Прави

льны

еусеченн

ыепир

а-ми

ды (т

реуг

ольн

ые, ч

етыр

ех-

угол

ьные

, шес

тиуг

ольн

ые).

•Площади.

•Объ

ем.

•Сечения


еосно-

вани

ю. Д

иаго

наль

ные с

ечен

ия.Уп

раж

нени

я на

:–

расп

озна

вани

е изу

ченн

ых м

ного

гран

нико

в и/

или

их эл

емен

тов;

–

изоб

раж

ение

на п

лоск

ости

изу

ченн

ых ге

омет

-ри

ческ

их те

л, и

спол

ьзуя

чер

теж

ные и

нстр

умен

ты,

комп

ьюте

р и

прим

енен

ие п

олуч

енны

х пре

дста

в-ле

ний

при

реш

ении

зада

ч на

выч

исле

ние п

ло щ

адей

и/

или

объе

мов;

–

вычи

слен

ие п

лощ

адей

пов

ерхн

осте

й и

объе

мов

мног

огра

нник

ов, п

ри р

ешен

ии за

дач

в ре

альн

ых и

/ил

и см

одел

иров

анны

х сит

уаци

ях;

– ан

ализ

и и

нтер

прет

иров

ание

пол

учен

ных р

езул

ь-та

тов

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х зад

ач с

прим

ене-

нием

изу

ченн

ых м

ного

гран

нико

в и

един

иц и

змер

е-ни

й, ад

еква

тных

пло

щад

ям и

объ

емам

; –

обос

нова

ние п

олуч

енно

го и

ли д

анно

го м

атем

ати-

ческ

ого

резу

льта

та о

тнос

ител

ьно

мног

о гра

н ник

ов

поср

едст

вом

аргу

мент

иров

ания

. М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, ан

алог

ия, а

лгор

итми

ческ

ий

мето

д, м

одел

иров

ание

, исс

ледо

вани

е кон

крет

ного

сл

учая

с пр

акти

ческ

им ук

лоно

м, п

онят

ийна

я ка

р та,

прак

тиче

ские

раб

оты

на м

естн

ости

, дид

акти

ческ

ие

игры

, меж

пред

метн

ые и

вну

три п

ред м

етны

е свя

зи,

прак

тиче

ские

и л

абор

атор

ные р

абот

ы, о

буче

ние с

по

мощ

ью к

омпь

юте

ра и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

и-ва

ние с

исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

устн

ые, п

исьм

енны

е, пр

акти

ческ

ие р

абот

ы и

др.

56 57

12

3пр

осто

ты, ч

етко

сти

и зн

ачим

ости

пол

учен

-ны

х рез

ульт

атов

.Се

чени

я, со

держ

ащие

вы

соту

.5.

1. Р

аспо

знав

ание

и к

ласс

ифик

ация

тел

вращ

ения

по

разл

ичны

м кр

итер

иям

в ра

з-ли

чных

кон

текс

тах.

5.2.

Иде

нтиф

ицир

ован

ие эл

емен

тов

плос

-ки

х гео

метр

ичес

ких ф

игур

на п

рост

ранс

-тв

енны

х гео

метр

ичес

ких к

онфи

гура

циях

в

реал

ьных

и/и

ли см

одел

иров

анны

х сит

уа-

циях

. 5.

3. П

риме

нени

е сво

йств

тел

вращ

ения

в р

е-ал

ьных

и/и

ли см

одел

иров

анны

х сит

уаци

ях.

5.4. И

спол

ьзов

ание

алго

ритм

ов, а

декв

атны

х вы

числ

ению

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и об

ъе-

мов т

ел вр

ащен

ия, п

ри р

ешен

ии за

дач.

5.

5. И

звле

чени

е инф

орма

ции,

соде

ржащ

ей-

ся в

дан

ной

геом

етри

ческ

ой к

онфи

гура

ции,

дл

я до

каза

тель

ства

нек

отор

ых ее

свой

ств

и вы

числ

ения

дли

н, п

лощ

адей

, объ

емов

.5.

6. В

ыпо

лнен

ие п

рибл

изит

ельн

ых о

цено

к дл

ин о

трез

ков,

вел

ичин

угло

в, п

ерим

етро

в,

площ

адей

и о

бъем

ов в

геом

етри

ческ

их те

-ла

х в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

ных с

и-ту

ация

х. 5.

7. И

нтер

прет

иров

ание

пра

ктич

ески

х си-

туац

ий, и

спол

ьзуя

тела

вра

щен

ия и

их э

ле-

мент

ы.5.

8. А

нали

з реш

ения

зада

ч на

тела

вра

ще-

ния

в ко

нтек

сте к

орре

ктно

сти,

про

стот

ы,

четк

ости

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных р

езул

ь-та

тов.

V. Т

ела в

ращ

ения

•П

рямо

йкр

уговой

ци-

линд

р. Э

леме

нты.

•С

ечения

,параллель

-ны

е осн

ован

ию. О

се-

вые с

ечен

ия.

•Площади.

•Объ

ем.

•Пря

мойкр

уговой

ко-

нус.

Элем

енты

.•С

ечения

,параллель

-ны

е осн

ован

ию. О

се-

вые с

ечен

ия.

•Площади.

•Объ

ем.

•Пря

мойкр

уговой

ус

ечен

ный

кону

с. Эл

е-ме

нты.

•Сечения

,параллель

-ны

е осн

ован

ию. О

се-

вые с

ечен

ия.

•Площади.

•Объ

ем.

•Сфе

ра.Э

леме

нты

(цен

тр, р

адиу

с, ди

а-ме

тр).

Пло

щад

ь сфе

ры.

•Шар.О

бъем

шара.

Упра

жне

ния

на:

– ра

споз

нава

ние и

зуче

нных

тел

вращ

ения

и/и

ли и

х эл

емен

тов;

–

изоб

раж

ение

на п

лоск

ости

изу

ченн

ых ге

о-ме

трич

ески

х тел

, исп

ольз

уя ч

ерте

жны

е ин с

тру м

енты

, ко

мпью

тер

и пр

имен

ение

пол

учен

ных п

редс

тавл

ений

пр

и ре

шен

ии за

дач

на в

ычис

лени

е пло

щад

ей и

/или

об

ъемо

в;

– вы

числ

ение

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и об

ъемо

в из

у-че

нных

тел

вращ

ения

, при

реш

ении

зада

ч в

реал

ьных

и/

или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

; –

анал

из и

инт

ерпр

етир

ован

ие п

олуч

енны

х рез

ульт

а-то

в пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

ких з

адач

с пр

имен

ение

м из

учен

ных т

ел в

ращ

ения

и ед

иниц

изм

ерен

ий, а

дек-

ватн

ых п

лощ

адям

и о

бъем

ам;

– об

осно

вани

е пол

учен

ного

или

дан

ного

мат

ема-

тиче

ског

о ре

зуль

тата

отн

осит

ельн

о те

л вр

ащен

ия п

ос-

редс

твом

аргу

мент

иров

ания

. М

етод

ы и

виды

учеб

ной

деят

ельн

ост

и:

Мет

од уп

раж

нени

й, ал

гори

тмич

ески

й ме

тод,

мо-

дели

рова

ние,

груп

пово

е обу

чени

е, ис

след

о ван

ие

конк

ретн

ого

случ

ая с

прак

тиче

ским

укло

ном,

ди-

дакт

ичес

кие и

гры,

анал

огия

, мат

рица

ассо

циац

ий,

поня

тийн

ая к

арта

, меж

пред

метн

ые и

вну

трип

редм

ет-

ные с

вязи

, пра

ктич

ески

е и л

абор

а тор

ные р

абот

ы, о

бу-

чени

е с п

омощ

ью к

омпь

юте

ра и

др.

Ви

ды оц

еноч

ной

деят

ельн

ост

и:

Теку

щее

оце

нива

ние,

итог

овое

оце

нива

ние,

оцен

ива-

ние с

исп

ольз

ован

ием

комп

ьюте

ра, т

ести

рова

ние,

уст-

ные,

пись

менн

ые, п

ракт

ичес

кие р

а бо т

ы и

др.

VII. дидактические стратегии: осноВные ориентирыПереоценка конечных результатов и содержания образования, центрирова-

ние на формирование компетенций сопровождаются переоценкой и обновлением стратегий, технологий и методов, примененных в образовательном процессе по математике. Это касается следующих аспектов:

• применение стратегий, технологий, методов, центрированных на ученике, на активизацию когнитивных и действенных структур учащихся, на реализацию на максимальном уровне психофизического и ителлектуального потенциала каждого из них, на пребразование ученика в сооучастника собственного формирования;

• использованиеметодов,способствующихоптимизациипроцессапознания,прибегая к конкретным моделям;

• акцентирование формативного характера стратегий, технологий, методов, примененных в процессе преподавания-учения-оценивания математики, способствующих активному и эффективному формированию индивидуаль-ного потенциала ученика, развитию компетенций оперирования усвоенной ин-формацией, применения и оценивания добытых знаний, исследования гипотез и нахождения адекватных решений проблем и проблемных ситуаций;

• систематическоекомбинированиеичередованиевидовдеятельности,осно-ванных на индивидуальном действии ученика (документировании на основе различных источников информации, собственном наблюдении, самостоя-тельных упражнениях, программированном обучении, эксперименте и инди-видуальной работе, работе с индивидуальными карточками и т. п. ) с видами деятельности, требующими коллективного участия (в командах, в группах) типа дисскусий, мозгового штурма и т. п.;

• усвоениеметодов самостоятельного информирования и документирования, ис-пользуя информационные и коммуникационные технологии (ИКТ), в том числе сеть Интернет, способствующих самообразованию, непрерывному образованию.

Настоящий куррикулум призван создавать благоприятные условия для каж-дого ученика в процессе формирования и развития компетенций в собственном, индивидуальном ритме, с целью переноса и применения усвоенных знаний в дру-гие области. Для этого полезно, чтобы учитель ориентировал свой дидактический проект на реализацию следующих видов деятельности:

• формулированиезаданийнаперерабатываниеразличногородаинформации,с целью формирования компетенций, предусмотренных куррикулумом;

• чередованиеизложениясодержаниясразличнымиспособамиактивизациимышления;

• частое включение в образовательный процесс межпредметных и внутри-предметных отношений;

• создание ситуаций, когда ученик самостоятельноформулирует адекватныезадания для работы;

• нахождениерешенийилиразличныхобоснованийдляодногоитогожесо-держания;

• работаученикасучебником–анализтекста,изложениематериаласисполь-зованием усвоенных символик, трактовка соответствующих содержаний;

58 59

• формулированиезаданийдляработывгруппах;• проведениевидовучебнойдеятельности,позволяющихвыполнятьзаданиявраз-

личных ритмах;• формирование определенных алгоритмов учения, посредством упорядочи-

вания заданий. Необходимо создавать в процессе преподавания-учения математики благо-

приятные условия для включения учащихся в процесс поиска, исследования, спо-собствующих процессу учения посредством проблемного обучения и выполне-ния открытий. Также необходимо создавать благоприятные условия для переноса приобретенных и осознанных математических знаний в различные области, в том числе в повседневную жизнь и в области, определенные куррикулумом «Матема-тика и естественные дисциплины». В этом отношении учитель будет использовать любую возможность для приведения примеров применения математики в физике, химии, биологии, информатике, в повседневной жизни и других куррикулумных областях. Таким образом, учитель будет:

• учитывать возможности, представленные школьными учебниками по ма-тематике, для реализации межпредметных связей (интегрирующие задачи, проблемные ситуации, содержащиеся в текстах учебника; интегрирующие задания (итемы), содержащиеся в проверочных работах учебника и т. п.);

• выбиратьизсборниковупражненийизадачипредлагатьучащимсязадачисмежпредметным содержанием;

• выбиратьиздидактическихиметодическихматериаловинтегрирующиеза-дачи и предлагать учащимся при проведении различных мероприятий по ма-тематике (уроков, внеклассных мероприятий, олимпиад и т. п.);

• проводить,совместносучителямифизики,химии,биологии,информатикиидругих дисциплин, интегрирующие уроки;

• создавать,систематически,наурокахилиприпроведениидругихобразова-тельных мероприятий, проблемные ситуации с межпредметным содержани-ем и/или прикладным уклоном;

• организовыватьипроводить,приобученииматематике,практическиезаня-тия и лабораторные работы с межпредметным и/или прикладным уклоном.

Оценивание, проведенное по математике, в обязательном порядке будет со-держать и итемы, решение которых требует реализации межпредметных связей. Будут предложены учащимся, как методы оценки, выполнения некоторых интег-рирующих проектов.

По возможности, уроки математики будут проводиться с использованием ком-пьютера.

Педагогические кадры могут выбрать методы и техники преподавания и могут адаптировать соответствующие действия в соответствии с темпом усвое-ния материала учащимися и их особенностями.

Настоящий куррикулум призван формировать у учащихся компетенции, т.е. целостные системы знаний, способностей, навыков и ценностных отношений, пос-редством учебных действий, приближающих изучаемое содержание к практике. В учебной деятельности в центре внимания находится ученик, а не преподавание собственноматематическихпонятий.Акцентпереноситсяот«что»нужноизучить,на «с какой целью» и «с каким результатом». Оценивается качественная сторона

образовательного процесса, становятся значимыми такие свойства приобретенных знаний, как: глубина, функциональность, долгосрочность, аксиологическая направ-ленность, стабильность, мобильность, разнообразие, развитие по ступеням.

VIII. стратегии оцениВанияСамая значимая роль оценивания состоит в предоставлении постоянной и

соответствующей обратной связи, необходимой как ученикам и учителям, так и родителям, руководящим органам и широкой общественности. Итак, в интегри-рованном образовательном процессе преподавание-учение-оценивание составляю-щая оценивание играет основную роль, имеющую исключительное значение как психопедагогическое, профессиональное, так и социальное. В контексте форми-рования и развития компетенций педагогическая оценка должна основываться на следующих фудаментальных принципах:

• оценивание является постоянным процессом и существенной составной час-тью образовательного процесса;

• оценивание выявляет и стимулирует успехи ученика, но не его неудачи, и не наказывает;

• оценивание основывается на необходимости сравнивать подготовку уча-щихся со специфическими компетенциями, субкомпетенциями и операцио-нальными целями каждого урока;

• оценивание основывается на государственных образовательных стандартах – целях, предусматривающих, что будет знать, будет уметь делать и каким будет ученик в конце его школьного обучения;

• оценивание проводится многочисленными и разнообразными методами (традицион ными и современными);

• оценивание – регламентирующий процесс, определяющий качество школь ной деятельности учащихся;

• оценивание должно способствовать правильной самооценке учащегося и до-стижению постоянного улучшения его школьных успехов.

Учитель в процессе математического образования использует, как правило: а) первичное оценивание, реализуя функцию прогноза; б) текущее оценивание, ре-ализуя функцию формирования; в) итоговое (суммативное) оценивание, реализуя функцию диагноза. Итоговое оценивание в конце учебного года покажет сформи-рованы ли запланированные субкомпетенции для соответствующего класса. Пос-редством экзамена на степень бакалавра будет проверяться, сформированы ли запланированные специфические компетенции по математике для лицейского об-разования и достигнуты ли соответствующие образовательные стандарты. Учи-тель, формулируя цели каждого урока, будет коррелировать эти цели со специфи-ческими компетенциями по математике, соответствующими субкомпетенциями и стандартами. Проверочные работы, предложенные учащимся в образовательном процессе по математике, будут включать задания и итемы, посредством которых будут оцениваться, приоритетно, не отдельные знания и способности, а уровень формирования соответствующих компетенций. Примеры таких заданий и итемов учитель найдет в сборниках тестов, методологических гидах и в экзаменационной программе для экзамена на степень бакалавра.

60

В контексте принципов оценки приоритетной и доминирующей в образова-тельном процессе становится текущее (формативное) оценивание. Успех урока зависит от достижения соответствующих запланированных целей. В этом контек-сте этап урока Проверка и оценивание является обязательным для любого типа урока и на этом этапе будет оцениваться уровень достижения целей урока.

Проверка и оценивание будут осуществляться, как правило, применением раз-личных форм, методов и техник. Приоритетными, в контексте оценивания форми-рования компетенций, становятся метод проектов, исследование, практические, лабораторные и графические работы, тестирование, с использованием интег-рированных проверочных тестов [3]. Проверка и оценивание, при возможности, будут проводиться с использованием компьютера.

В целом, осуществленные проверки и оценивания покажут, сформированы ли в конце учебного года запланированные куррикулумом субкомпетенции для соответствующего класса.

В конце лицейского образования, посредством экзамена на степень бака-лавра, будет проверяться, сформированы ли запланированные специфические компетенции по математике для лицейского образования и достигнуты ли со-ответствующие образовательные стандарты по математике.

Важно, чтобы каждый ученик и учитель осознал, что оценка, при любых усло-виях, должна быть объективной.

IX. литература 1.АкириИ.Дидактикаматематики.Кишинэу:CEPUSM,2009.2. Achiri I., Bolboceanu A., Guţu V., Hadîrcă M. Evaluarea standardelor educaţionale. Ghid

metodologic. Chişinău, 2009.3. Achiri I., Ceapa V., Şpuntenco O. Mатематика: Ghid de implementare a curriculumului mo-

dernizat în învăţămîntul liceal. Ministerul Educaţiei şi Tineretului al Republicii Moldova. Chişinău, Editura Ştiinţa, 2007.

4. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic pentru for-marea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Editura Ştiinţa, 2007.

5. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea ca-drelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Editura Ştiinţa, 2007.

6. Guţu V. Cadrul de referinţă al curriculumului naţional. Ghid metodologic. Chişinău, Editura Ştiinţa, 2007.

7. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Chişinău, Editura Uniunii Scriitorilor, 2004.8.Законобобразовании(Кодексобразования).9. Министерство Просвещения и Молодежи Республики Молдова. Математика. Куррику-

лум для лицейского образования (X–XII классы)./Авторы:И.Акириидр.Кишинэу,2006. 10. Neagu M., Achiri I. Evaluarea curriculumului şcolar proiectat. Ghid metodologic. Iaşi, Edi-

tura PIM, 2008.11. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Vl. Guţu. Chişinău, USM, 2009.12. Математика и естественные дисциплины. Методологические гиды. Математика, V–IX

классы.Авторы:А.Райляну,И.Акири,Н.Продан.–Chişinău,GrupulEditorialLitera,2000.13. Stoica A. Evaluarea progresului şcolar: de la teorie la practică. Bucureşti, Humanitas

Educaţional, 2003.14. Stoica A., Musteaţă S. Evaluarea rezultatelor şcolare. Ghid metodologic. Chişinău, 2003.15.ЮнинаЕ.А.Технологии качественного обучения в школе. Педагогическое обществo

России. Москва, 2007.

Documents

ВВедение - gov.md · Traducere din limba română: Ion Achiri Redactor: Valentina Rîbalchina Corector: Tatiana Bolgar Redactor tehnic: Nina Duduciuc Machetare computerizată: