IOAN RADU

MECANICA

STATICA

ARAD 2012

PREFATA

Mecanica este o ramurd a gtiinlelor naturii, cate a apdrut din cele rnai indepirtate tiinpuriqi care studiazd legile obiective ale echilibrului qi miqcdrii corpurilor materiale, cu scopulaplicarii lor in activitatea constructivd gi productivl, a omului.

Inci din antichitate o serie de minli indrdznele incerc8nd sf, dea un rispuns unor problemelegate de marile construclii, au contribuit la punerea bazelor staticii, prima parte a disciplinei demecanici. In decursul anilor capacitatea creatoare a omului dind rispuns la alte probleme cerutede dezvoltarea civilizaliei umane a addugat noi capitole accstei discipline.

Bazindu-se pe metode noi de investigalii gi utillizind pe scar6 largl aparatul matematic,operind cu mirimi fundamentale qi mirimi derivate (materie, spafiu, timp, mas6, for!6, vrtez6,accelerafie, impuls, moment cinetic, lucru mecanic, energie, etc.) mecanica a devenit o disciplin[independenti care di rdspuns celor mai variate intrebiri puse de tehnica modem[.

Problema fundamentali a mecanicii consti ?n stabilirea irnor relalii ?ntre forlele careacticneazd asupra unui sistem de corpuri materiale gi rnigcarea mecanicd realizatd, de acestea.Convenfional, avind in vedere cele doui elemente debazd,

- forlele gi migcarea mecanici

- se

poate considera c[ din punct de vedere metodologic mecanica se imparte in trei mari capitoledistincte a ciror parcurgere succesivi este dictatd mai mult de scopuri didactice:

1) Statica - se ocup[ cu echilibrul corpurilor materiale sub acfiunea forfelor, reducereasistemelor de for,te, transformarea lor mecailc echivalenti, geometria maselor qi echilibrul statical sistemelor materiale,

2) Cinematica - studiazi migcarea corpuriior fEri a lua in considerare florlele care leaclioneazi qi masele acestora. Ea face un studiu eeometric al rnigclrilor;

3) Dinamica - trateazd miqcarea corpurilor luind in considerare forlele care le acfioneazd,precum qi masa lor.

Prezenta lucrare a fcst alcituit5 cu scopul de a pune la dispozilia celar interesafi unmaterial util pentru studiul individual, absolut necesar pentru asimilarea noliunilor teoretice destatic5. qi pentru formarea aptitudinilor de aplicare practici a acestor nofiuni.

Capitolele urmeazl linia generald. a unui curs de mecanici, procedeul ales pentruprezentarea problemelor fiind cel vectorial deoarwe simplifici ?n mod sensibil exprinereateoretic[ gi ajutE rnult la vizuahzarca spatiala a fenomenelor.

Lucrarea cuprinde 11 capitole struc,turate astfel: noliuni introductive, elemente de calculvcctorial, fcrla, sistemc dc forfe, reducerea sistemelor de fo4e, centre dc greutate, echilibrulpunctului material, echilibrul solidului rigid, statica sistemelor materiale, statica sistemelor debare articulate, statica firelor, aplicalii tehnigs ale staticii.

Autorul s-a strf,duit ca pentru fiecare problemd tratztL s6 se prezinte un desencorespunzltor, conlind.nd toate datele, desen ce poate da sugestii importante la rezolvareaproblemei, ajutind la inlelegerea fenomenului fizic gi a modului cum se desftgoar[ acesta.

Lucrarea se adreseazi unui cerc larg de cititori cuprinzd.nd in primul rtnd studenflifacriltililor tehnice, care unneazf, s6-gi aducl aportul la solulionarea problemelor tehnice caviitori specialiqti cu inalti calificare. De asemenea lucrarea este util6 atit cadrelor didactice deprofll cit gi specialigtilor in mecanica aplicata care activeazbin cercetare, proiectare, produclie.

Autorul

Mecanica * Statica

CUPRINS

1. lntroducere ?n mecanica tehnicd.. 31.1. Obiectul mecanicii............ 3l.2.Diviziunile mecanicii............ -".'..-.-'-'--"' 31"3. Principiile mecanicii ......... 31-4. Notiuni si concepte ale mecanicii 51.5. Sisteme de referin!d.......... 72. Vectori, Sisteme de vectori 82.1. Clasificarea vectorilor. I2,2. Algebra vectorilor liberi. " 103. Forta. Sisteme de for!e... 263.1. Fo(a ca vector. 263.2. Clasificarea for!e1or..... 283.3. Misurareafortelor..... -. 293.4. Momentul fortei?n raport cu un punct....... 293.5. Momentul fortei?n raport cu o axd.. 353.6. Cupluri de forle. Momentul unui cuplu 384. Reducerea sistemelor de forfe... 404.1. Reducerea unui sistem de forte care actioneazd asupra unui punct material..... 4A4.2. Reducerea unui sistem de forte care actioneazd asupra unui solid ri9id............ 154,3. Reducerea sistemelor particr-rlare de forfe.... 594.4. Reducerea sistemelor de cupluri B24.5. Reducerea sistemelor de forle distribuite 835. Geometria mase1or............. 865.1. Greutatea corpurilor.......... 865.2. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale. 865.3. Determinarea centrului de masd la corpurile oarecare 895.4. Determinarea centrului de masd la corpurile omogene.............. 905.5. Centrul de greutate al corpurile omogene uzuale..... 925.6. Centrul de greutate al corpurile compuse omogene ............. 975.7. Teoremele lui Guldin-Pappus........ 975.8" Momente statice masice si geometrice.......... 996. Statica (echilibrul) punctului material... 1426.1. Statica iechilibrul) punctului material liber....... 1026.2. Statica (echilibrul) punctului material supus la legdturi 103

Mecanica * Statica

7. Statica {echilibrul) solidului rigid.........7.1. Numdrul gradelor de libertate ale solidului rigid liber..7.2. Statica (echilibrul) solidului rigid liber7.3. Statica (echilibrul) solidului rigid supus la legdturi.L Statica sistemelor materiale8"1. Statica sistemelor de puncte materiale.8.2. Statica sistemelor de solide rigide 1619. Statica sistemelor de bare articulate (grinzi cu zdbrele)9.1. Definitii. lpoteze. Simboluri. Conditii de determinare staticd.9.2. Eforturile in barele unei grinzi cu 2dbre|e.............9.3. Metoda echilibrului nodurilor............. 1749.4. Metoda sec{iunilor oarecare (Ritter}..... 1Tz10. Statica fire1or....... .. 17510.1. Generalitdti.... 1Ts14.2. Eatatiile generale de echilibru... 17610.3. Ecuatiile de echilibru ale firului omogen greu suspendat la ambele capete...... 18010.4. Ecualiile de echilibru ale firului omogen greu foarte intins.... 1851 1. Aplicatiile tehnice ale staticii............. 1gB1 1.1. Planul inclinat. 1BS11.2. Pana .. 19111.3. Surubu1........... 19311.4. Pdr9hia........... 19511.5. Scripetele 197

208209

Anexa 1

124124122123156156

166166168

Anexa 2Anexa 3Bibliografie

214213

Mecanica:* Statica

1. INTRODUCERE MECANICA TEHNICAIN

1.1. OBIECTUL MECANICII

Mecanica este o ,stiin!5 a naturii care studiazi legile

echilibrului gi miscdrii corpurilor materiale in scopul aplicdrii lorproductivd a omului.

obiective alein activitatea

1.2. DtVtZtUNtLE MECANICil

Din punct de vedere didactic mecanica se imparte in trei parli:1) Statica - care studiazd echilibrul corpurilor sub actiunea forlelor;2) Cinematica - ffire studiazi miscarea corpurilor fdrd a line seama demasele si for{ele care actjoneazd asupra corpurilor (studiazd geometriamiscdrii);3) Dinamica - care studiazd miscarea corpurilor tindnd seama de masele siforlele care actioneazi asupra lor.

1.3. PRINCIPIILE MECANICII

1.3.1. PRINCIPIUL INERTIEI

Un corp tinde sd-si pdstreze starea de repaus relativ sau de miscarerectilinie uniformd atdt timp cdt nu intervine o actiune mecanicd din exteriorcare sd-i modifice aceastd stare.

ltlecanica * Statica1.3.2. PRINCIPIUL ACTIUNII FORTEI

Forla care actioneazd asupra unui corp ii imprimi acestuia oacceleratie dirijatd dupd suportul sdu avdnd acelasi sens cu forta iar modululegal cu raportul dintre modulul forlei gi masa corpului. Matematic putem scrie:

Fa--m

Expresia vectoriald a principiului actiunii fortei este:F = lTl?

1.3.3. PRINCIPIUL PARALELOGRAMULUI

Doud forle care actioneazd simultan asupra unui corp au acelasi efectasupra corpului ca gi o forla unicd av6nd mdrimea, directia 9i sensuldiagonalei paralelogramului construit de cele doud forle (fig. 1 .1.a).

(1.1)

(1.21

(1 .3)geometrie sunt

(1.4',tt

(1.5)

R:Fr+F,in legdturd cu elementele paralelogramului OABC din

cunoscute relatiile:R=

si:F2Fl

sin < (R; Fz )Pentru suma

(fig. 1 .1 .b). Astfel,Rezultanta R vaextremitatea fortei

sin < tR;E ) sin . (E;E )fortelor E ;i f, r" mai poate folosi si regula triunghiuluila extemitatea forlei Fr: Og se ataseazd forla E - AC.avea originea in originea fortei E gi extremitatea in

E tn: oc;.

Fig. 1.1

Mecanica;le Statica1.3.4. PRINCIPIUL ACTIUNII SI REACTIUNII

Daci un corB a{ioneazd asupra aitui corp cu o forld, cel de al doileacorp actioneazd asupra primului corp cu o forla egald si de sens contrar,asadar, actiunile reciproce dintre doud corpuri sunt egale si direct opuse.

G:-E, (1.6)

1.4. NOTIUNI SI CONCEPTE ALE MECANICII

1.4.1. MATERIA

Materia este categoria filozoficd ce desemneazd realitatea obiectivddatd omului prin senzatii gi perceptii.

1.4.2. SPATTUL

Spaliul este o categorie filozoficd care reflectd forma obiectivdexistentd a materiei si caracterizeazd dimensiunile corpurilor si pozitiarelativ5. Spaliul este tridimensional, infinit, continuu, omogen.

1.4.3. TIMPUL

Timpul este o entitate filozoficd care reflectd forma obiectivd deexistentd a materiei si caracterizeazd durata si succesiunea fenomenetor.Timpul este infinit, continuu, omogen, ireversibil.

1.4.4. MTSCAREA

Miscarea cuprinde toate procesele de transformare care au loc inunivers incepdnd cu simpla deplasare 9i terminind cu gdndirea. Este modulfundamental de existent5 a materiei.

1.4.5. MASA

Masa (simbol -

m, M) este o mdrime frzicd scalard de stare caremdsoard proprietatea materiei de a fi inertd gi de a produce un c6mpgravitational. Astfel, masa reflectd doud din cele mai importante insusiri alemateriei:

- inertia (opozitia fald de orice schimbare a stdrii de repaus relativ saude miscare uniformd);

delor

Mecanica:lt Statica- gravitatia (atraclia reciprocd a particulelor materiale).

1.4.6. PUNCT MATERIAL

Punctul material este un punct geometric cdruia i se atribuie o anumitd masd.Este o notiune fictivd a mecanicii tehnice si se poate extinde si asupra

copurilor reale cu conditia ca acestea sd se afle in miscare de purd translatie(sau a cdror miscdri de rotatie pot fi neglijate) gi de asemenea se presupuneca intreaga masd a corpurilor sd fie concentratd in centrul lor de masi.

1.4.7. SISTEM DE PUNCTE MATERIALE

Sistemul de puncte materiale este o mullime finitd de puncte materialeaflate ?n interactiune mecanicd.

1.4.8. CORP MATERIAL SAU CONTINUUM MATERIAL

Corpul material sau continuum material reprezintd o infinitate de punctemateriale ce ocupd in mod continuu un anumit domeniu in spatiu. Tnmecanica tehnicd existd mai multe reprezentdri uzuale pentru notiunea decorp:

- corp omogen - este un continuum material la care materia esteuniform distribuitd si are aceiasi densitate in toate punctele sale;

- corp eterogen - este un continuum material la care materia esteuniform distribuitd dar nu are aceiasi densitate in toate punctele sale;

- corp rigid (solid rigid) - este un continuum material nedeformabil. Seadmite cd el poate suporta sarcini exterioare oricSt de mari fdrd a se deforma;

- corp elastic - este un continuum material care se deformeazd subactiunea for{elor, aceste deformatii dispardnd odatd cu incetarea fortelor,corpul revenind la pozitia initiald (nu are deformatii remanente dupd incetareaac{iunii fortelor};

- corp plastic - este un continuum material cu deformatii remanentedupd incetarea actiunii fortplor;

- cCIrp elasto - plastic - este un continuum material la care deformatiilledispar doar par{ial dupd ?ncetarea actiunii fortelor.

1.4.9. SISTEM DE SOLIDE RIGIDE

Sistemul de solide rigide este un ansamblu finit de solide rigide carei nteractio neazd intre ele.

Mecanica:r Statica1.5. SISTEME DE REFERINTA

-..--

Un sistem de referinld reprezintd un reper nedeforrnabil fala de care seraporteazd, pozitiile unui sistem material. in spatiul cu trei dimensiuni cel maifrecvent sistem de referintd utilizat este sistemul de referintd triortogonat drept(fig. 1 .2.at.

Fig. 1.2

Sistemul de referin{d inerlial este un sistem de referinla in repaus sau inmiscare de translatie rectilinie si uniformd fala de un alt sistem de referintd inrepaus sau in miscare de translatie uniformd. Conventional se admite casistem de referintd inertial un sistem avdnd originea in soare si axeleorientate cdtre trei stele considerate fixe.

Miscarea raportatd la un sistem de referintd considerat fix se numesteabsolutd, iar miscarea raportatd la un sistem de referintd mobil se nume$temiscare relativd.

Parametrii geometrici independenti care determina pozi{ia unui sistemmaterial in raport cu un sistem de referintd se numesc coordonategeneralizate.

Mecanica * Statica

2. VEGTORI. SISTEME DE VECTORI

2.T. CLASIFICAREA VECTORILOR

Mdrimile scalare gi mdrimile vectoriale fac parte din categoria mdrimilorfizice utilizate ?n mecanicd cu deosebitd impoftan!5 in tehnicd 9i practicd.

Mdrimile scalare - sunt acele mirimi pentru a ciror determinare estesuficient sd se indice un numdr. Astfel putem enumera aria unei suprafele,temperatura, turatia unui motor, etc.

Mdrimile vectoriale - sunt acele mdrimi care sunt determinate deurmdtoarele elemente:- punct de aplicalie;- direclie;. SCNS;- modul (mdrime).

Simbolul matematic atasat unei mdrimi vectoriale se numeste vector,conventional el fiind reprezentat geometric printr-un segment de dreaptd orientat(fi1.2.1).

tAl

Fig. 2.1 Fig.2.2

printr-o literd cu bard deasupra (cu scopul de asau cu un grup de doud litere cu bard deasupra.

A

(a)(^l

VV

u

Notaliase deosebi de

vectorului se facemdrimile scalare)

Mecanica * StaticaDe exemplu vectorul din figura 2.1 se poate nota cu V, respectiv prin AB.

Conform definitiei, elementele unui vector sunt:- punctul de aplica{ie - A (originea);- directia - {A);- sensul - (de la A spre B);- modulul - V ; lV I (valo area numericd a segmentului AB).

Se define$e ca versor sau vector unitate vectorul al cdrui modul esteegal cu unitatea. Oricdrei direc{ii (A) i se poate atasa un versor. in conseeintd,notind cu u versorul directiei (A) dupa care este dirijat vectorul V 1fig. 2.2) sepoate scrie:

V: v.8.: lVl o (2.11Rezultd astfel cd:

vu --v

Orice alt vector E avSnd aceeasi direclie cu (A) se poate exprima astfel:a:a.E

unde a este modulul vectorului 6.in cazul in care vectorut E are acelasi sens cu versorul [, scalarul "a"

este pozitiv, iar dacd vectorul 5 este de sens opus verssrului d, atunci scalarul"a" este negativ"

Realitatea fizicd conduce la identificarea a trei tipuri de vectori si anume:vectori liberi, legati si alunecdtori.

Fig. 2.3 Fig,2.4

(2.2)

(2.3)

F

M

vo.-+>

_ Y-

Mecanica * Statica 10al vectari liberi (fig. 2.3) - sunt vectorii care pot avea punctul de aplicatieoriunde in cuprinsul unui sistem dat, dar isi pdstreazd modulul, direclia 9i sensul.

Existenta vectorilor liberi este o realitate materialS. Astfel considerdnd unsolid rigid in miscare de translatie in fiecare punct al sdu (A, 8,..., E) viteza estedatd de un vector vitezd V, vectorii vitezd ai diferitelor puncte fiind paraleli, egalisi de acelasi sens, diferind numai prin punctul lor de aplicatie. intreaga miscarede translatie a solidului rigid este complet determinatd de oricare dintre acestivectori vitezd V.bl vectari lesali - sunt vectorii ai cdror punct de aplicatie este fix. Un exemplude vector legat este vectorul for{a aplicat unui punct material M (fig. 2.4).cl vectori alunecitori - sunt vectorii la care punctul de aplicatie poate fi mutatoriunde pe supoftul lor, directia, modulul 9i sensul rdmAndnd neschimbate.Exemplul tipic al unui astfel de vector este forla aplicati asupra unui solid rigid(S), efectul ei fiind acelasi la deplasarea fortpi pe dreapta suport (A) (fig. Z.S).

Din cele expuse anterior rezultd cd nu se poate vorbi de vectori egali sauechipolenti tdrd a se preciza caracterul lor. in consecintd doi vectori liberi suntegali c6nd au directiile paralele, acelasi modul si acelasi sens. Doi vectori legatisunt egali dacd au acelasi punct de aplicatie, aceeasi direc{ie, acelasi sens siacelasi modul. Acesti vectori coincid si prin urmare sunt vectori identici. Doivectori alunecdtori sunt egali dacd au aceeasi direc{ie, acelasi sens si acelasimodul.

O multime de vectori constituie un sistem de vectori. in functie decaracterul acestora se disting sisteme de vectori liberi, legati, alunecdtori,fiecdruia fiindu-i specific un anumit mod de calcul.

2.2. ALGEBRA VECTORILOR LIBERI

2.2.1. ADUNAREA VECTORILOR

Suma (rezultanta) a doi vectori liberi V, Ei %(fig 2.6.a) este prin definitieun vector V reprezentat Tn mdrime, directie 9i sens prin diagonalaparalelogramului construit cu cei doi vectori (regula paralelogramului) (fig. 2.6.b).Vectorul rezultant V poate fi obtinut si prin aplicarea regulei triunghiului careeste o variantd a regulei paralelogramului. in acest scop (fig. 2.6.c1 seconstruieste un vector echipolent cu Vz avdnd originea Tn extremitateavectorului q. Unind originea vectorului V, cu extremitatea vectorului q se

Mecanica * Statica llobline vectorul rezultant V. Oaca V: 0, vectoriiusor cd modulul vectorului rezultant este:

v2 --vl *vi *zvlvzcos < tvr;%l

v\

a)Fig. 2.6

Modalitatea de calcul grafic al vectorului rezultant bazatd pe regulatriunghiului poate fi generalizatd pentru un numdr oarecare de vectori,construindu-se poligonul vectorilor echipolenti, astfel ca fiecare vector sd aibdoriginea in extremitatea vectorului precedent. Vectorul rezultant V estesegmentul de inchidere al poligonului avdnd originea in originea primului vectorsi extremitatea in extremitatea ultimului vector (fig. 2].a).

Dacd in poligonul vectorilor echipolenti originea primului vector coincide cuextremitatea ultimului vector, vectorul rezultant este nul (fig. 2.7.b). Regula deinsumare a vectorilor este valabild at6t in plan

t 9i in spatiu.

A2

A1q

o: A,.'

4-tA"--t

?i % sunt opugi. Se deduce

(2.4)

v1

b)Fig.2.7

Mecanica * Statica 12Fdrd a mai face

adundrii vectorilor:a) asociativitatea:

demonstratii seI

pot aminti urmdtoarele proprietdti ale

(2.5)

(2.6)Diferenta a doi vectori se obtine adunAnd primul vector cu cel de-al doilea

vector luat cu semn schimbat (fig. 2.8).

(2.7)de sens contrar dupd cum "m" estemodulul sdu este egal cu valoarea

absolutd a scalarului "m" inmultitd cu modulul vectorului v, tng 2.g).

V=vr -v2v2al

I-Yzt

a)

b)(2.8)

(2.e)

b) comutativitatea:V, *% :% *V,

alt vector definit astfel:V:

-V,care are directia lui V, , acelasi sens saupozitiv (m > 0) sau negativ (m < 0), iar

inmultirea unui vector v., a, un scala r "m" are ca rezultat obtinerea unui

Fig. 2.8 Fig. 2.9inmultirea unui vector cu un scalar are urmdtoarele proprietdti:

asociativitatea:m(nV): mnV

comutativitatea:mV: Vm

Mecanica tF Statica 13c) distributivitatea falii de adunarea scalarilor si adunarea vectorilor:

(m+n)V:mV+nVt-_\

m(Vr +VzJ: mV, + mV,

2.2.3. pROtECTtA UNU| VECTOR pE O AXA

ab : Pro AB: Prr VSe constatd cd:

?b : Pro V: Vcosu

Proiectia vectorului V pe axa orientata (A) de versor E, vectorul V si axa(A) fiind situate in acelasi plan, se obtine proiectind originea si extremitateavectorului pe axa datd (fig. 2.10).

Segmentul ab determinat pe axa (A) se noteazd:

tua)(2.11't,

(2.12]'

(2.13,Asadar, proiectia unui vector pe o axd reprezinti un scalar. Din examinarearelatiei (2.13) se constati urmdtoarele:

(Alu> i aab(^1)/(^) 4t k

B4B',j

AIII

a

lltl

io/V/[po Ia(^] I tprlr(^Fig. 2.1 0 Fig. 2.11

a) Proiectia vectorului este pozitivd atunci c6nd 0 < cr . 3 d*oarece este2

Tndreptatd in sensul pozitiv al axei orientate;b) Proieclia vectorului este negativd atunci cind 1 . o < n deoarece este

2indreptatd in sens contrar sensului pozitiv al axei orientate;

c) Proiectia este nuld atunci cdnd o :1 gi a = $, r."=oectiv atunci c6ndz', 2vectorul V este perpendicular pe axa orientatd.

A

N{ecanica * Statica t4d) Proiectia este egald cu modulul vectorului dat atunci cand CI :0

pi u : ri, respectiv c6nd vectorul este asezat pe axa orientatd sau este paralelcu ea' Semnul proiectiei este in aceste cazuri pozitiv cfind sensul vectoruluicoincide cu sensul axei (u:0) sau va fi negativ cind sensul vectorului estecontrar sensului axei ( a: x).

Tn cazul in care vectorul V ;i axa orientata (A) nu se afld ?n acelasi plan,proieclia vectorului V: ng p" axa orientata (A) este segmentul ab de pe axaconsideratd cuprinsd intre punctele de intersectie a planelor [Pe] gi tpelperpendiculare pe axa (A) trecdnd prin extremitdtile A gi B ate vectorului(fi9.2.11). Asa cum rezultd din figura 2.11 mdrimea proiectiei se calculeazd totcu relatia (2.13) deoarece ab = AB' : Vcoss, .

in cazul unui sistem de vectori se demonstreazd ',teorema proiecliilor',care se enunti astfel: Praieclia vectarului rezultantd ae o axd este eoal6 cu

vector pe aceiasi axd.Pentru

Vr,Tr,.-,,qR:q

a demonstra teorema se considerd un sistem de vectori

(2.14)

(fi1.2.12). intre acegti vectori se poate scrie relatia:+ Q +... +q : iV,

i=1

*ol:%

A,,

a2 a3

Fi1.2.12

?n_1 An

Proiectdnd fiecare vector pe axa (A) oblinem valorile:

lllecanica * Statica 15

P.o(V'): OarPto{%}:?r?z

Pru(V")=?n_.r?nProiectfind rezultanta R pe axa (A) avem:

nro (R) : OttnDin constructia geometricd rezultd:

Oan -

Oa, + ?t?z +... + ?n_1?nsau:

rro (n) : Prr Url * Prn(%) + ..- + Pro(q )Pro (R) : itro (u,)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.1&',)

(2.1sl.

G.2a)iar i si J sunt versorii axelor

(2.21)(2.22)

(2.23].

i=1

RezultS, cd ?n cazul unui contur vectorial inchis, suma proiectilor vectorilorpe o axd este nul5.

2.2.4. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR

Operatia de descompunere a unui vector este inversul operaliei decompunere, ffire are la bazA regula paralelogramului.

Se disting dou- cazuri si anume:

al Descompunerea unui vector dusi doui direcfii date

Fiind date directiile (Ar) gi (At) coplanare si vectorul V, descompunereavectorului V dupa aceste directii presupune determinarea vectorilor V,, Ei %astfel incdt (fig. 2.13):

v: q *T,in particular dacd (Ar): Ox 9i (Az): OV (fig. 2.14)Ox si Oy avem:q:vr'I

%:vr'junde:

V1 : Pro*(V): V* : Vcosg

Mecanica * Statica 16V2 : Proy{V} : Vy : Vsing

Asadar, vectorul V are urmdtoarea expresie analiticS:V: Vr'i+V, .j: V* . i +V, .l

Q.24)

(2.25)

(2.26',); (Ag):az; iar i,j,k sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz,

(n')

Fig. 2.1 3 Fi1.2.14

Fiind date direcliile (Ar), {Az} gi (A3) in spaliu si vectorul V, componenteleacestuia de-a lungul direcliilor mentionate sunt q,q,% (fig. 2.15). Se observdcd vectorul V este diagonala paralelipipedului oblic format cu ir,i'V. astfelcd se poate scrie:

V: q +V, +QDacd: (Ar) = Ox ; (Az): Oyrezultd (fig. 2.16):

v' : v*iv, : vrJ%:v'F

(2.27,

Vl : V* : Pto* (V) : VcossVz: Vy : Proy(V): VcospVg : Yr:Pro=(V): Vcosy

(2.28t

Mecanica tfr Statica 17

tt$u)

" (nr)

Fig. 2.1 5 Fig. 2.1 OUnghiurile cr, p, T sunt unghiurile pe care le formeazdvectorul V cu axele Ox,Oy, Oz. intrucat vectorut V este diagonala paralelipipedului construit cu vectoriiYr,ir,-\ rezulti:

v : Jvl *vt * vi : JV*2 *vi *v:Expresia analiticd a vectorului V este:

V:q *ir+V, : v*i * vri + vr[(2.2e)

(2.30)

2.2.5. PRODUSE DE VECTORI

in problemele de mecanicd intervin mai multe tipuri de produse de vectori.

2,2.5.1. PRODUSUL SCAI3R

Produsul scalar a doi vectori este prin definitie o mdrime scalard egald cuprodusul modulelor vectorilor inmultit cu cosinusul unghiului dintre ei (fig. 2.17).Matematic putem scrie:

Fig.2.16

Mecanica * Statica 18Yr.Vz: VrVz coscr (2.31)

AnalizAnd relatia (2.31) constatdm cd dacd:0 < c, .I - produsul scalar este pozitiv;

2TE

-

Mecanica re Statica 79aceea produsul vectorial al unui vector cu el insusi este nul (V x V : 0).Produsul vectorial a doi vectori are urmdtoarele proprietdti:a) asociativitatea:

t__\m(V,,

"Vz): mvr x V2 : V,, + mV,.,,v, * mz% : (mrmeXq ,.q)

b) anticomutativitatea :q.q:-(%.q)c) distributivitatea fala de adunarea vectorilor:

t--\V, x (V, + Vs J: V, x V, + V, x V. (2.42)

(2.3e)Q.4a)

(2.41]-

vu

o

Fig. 2.18

2.2.5.3. PRODUSUL MIXT

Produsul mixt a trei vectori q,q,Vu este produsul scalar al unui vectorcu produsul vectorial al celorlalli doi si reprezintd un scalar avdnd valoareaegald cu volumul Vol al paralelipipedului construit cu cei trei vectori dati.Matematic putem scrie:

/1

Fig.2j9

-----tI,

,

II

IIt

'qv,

(2.43)

Mecanica tF StaticaSemnul plus corespunde situatiei in care triedrul, in ordinea q,q,%,

este drept si semnul minus c6nd acesta este st6ng. intrucat produsul mixt esteun invariant dacd se permutd circular factorii sdi, el se poate nota omitdndsemnele de operatii asrfet (V.,q-% )'q Fv, . % ) : q . (u-ur, q ) : % (v-,, V, ) : (qq% ) (2.44\Produsul mixt a trei vectori are urmdtoarele proprietdti:

a) Valoarea absolutd a produsului mixt reprezintd din punct de vederegeometric volumul Vol al paralelipipedului construit cu cei trei vectori (fig. 2.19).Astfel:q"%:v

u: lq "%l: VzVs sinu: SorecV.q

-v.\cosF:V.hunde:

h:PrOVr:VrcospRezultd:

q Fv, * % ): vlv2v3 sinacosg : Soee" .h : Vol

(2.s1)

(2.45)(2.46)(2.47',,

(2.48)

(2.4s1b) Produsul mixt isi schimbi semnul daci se permutd intre ei doi factori :t--

-

\ 1- '- \(v,vrv. J= -(vrvrv. ) t2.50)c) Produsul mixt este nul atunci cand unul dintre factori este nul sau dacd

acestia sunt coplanari. Prin urmare, conditia ca trei vectori sd fie coplanari esteca produsul lor mixt si fie nul./-- _ \(VrVrV, J = O

2.2.5.4. DUBLUL PRODUS VECTORIAL

Dublul produs vectorial a trei vectori q ,% , V, este produsul vectorial alunuia dintre ei cu produsul vectorial al celorlalti doi gi reprezintd un vectorperpendicular pe primul vector si situat in planul celorlalti doi. Matematic putemscrie:

t__\Vr*tvrxVr,|:Y (2.52,O relatie des folositd Tn calcule este aceea a dezvoltdrii dublutui produs vectorial(rela{ia lui Gibbs):q.F,.%)= (u-u,, %F, -(u-,, vrF, (2.53)

Mecanica * Statica

2.2.6. EXPRESII ANALITICE itt Slsrrnaul oe RereRlrutA cRRteznruDREPT

Se considerd sistemul de referintd cartezian triortogonal drept (fig. 2.20) lacare axele de coordonate Ox, Oy, Oz au versorii i,j,k. Aplicdnd proprietalileprodusului scalar, vectorial si mixt intre versorii axelor se pot scrie urmdtoarelerelatii:

(2.54',,(2.55)

(2.56)

Fig. 2.20 Fi1.2.21

21

12 :=I' :kz :Ii-J:J.[:t

Flecanica * Statica

(2.58)!---\t___\/___\(j. i .k,|: (k .i-i): (i . x-i):

-1 (2.5e)

AREA UNUI V N SISTEMUL ERINTA

Dacd d este versorul vectorului V gi V* , V' V= sunt proiectiile vectoruluiV p* axele Ox, Oy, Oz,iar a,, B, y sunt unghiurile pe care vectorul V le face cuaxele sistemului de coordonate (fi1. 2.21) atunci se pot scrie relatiile:

V:V*i*Vyl*V.k (2.60)

(2.61)

COS Ct, : (2.62',

cosp: (2.63)

GOSy: (2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67',,

v_

V

\:v

Y=-v

uV:V.[ = cos o.i* cos B.J* cos

".[T2 : l!2 :cos2 ., * cos2 p+ cosa T : 1

2.2.8, VECTOR DE POZ|T|E

-'-

Vectorul de pozitie (raza vectoare) a unui punct oarecare M(x,y,z) dinspa{iu in raport cu originea O a sistemului de referintd Oxyz (fig. Z.2Z) estevectorul F: OM cu originea in O si extremitatea in M a cdrui expresie analiticdeste:

CARTEZIAN DREPT

vI *vj +v!

V*t * vj +v|vf * vl +v!

Mecanica * Statica

F:xi +yj+zk (2.68)Modulul vectorului de pozitie are valoarea:

,:J*r+y2+zz (2.6e)Suportul sdu face cu axele Ox, Oy, Ozunghiurile cr, p, y, date de relatiile:

(2.701

(2.71)

(2.72) Fig.2.22

2.2.9.OPERATil CU VECTORT

a) Suma veetorilor

Fiind dati vectorii.q : Vr*i * VrrJ * Vr= kq

= Vr*i *Yrrj+ Vr=FVectorul sumd este dat de relatia:

V: q nir: (vr* * vz*)T" (vr, *vzv}* (vr= + vr,)kPentru un numdr de "n" vectori avem:

_n -n _nV: iEVi, * jEV,, + kIVi,

i=1 i:l i:l

blinmultirea cu un scalar

inmultirea vectorului -V, definit de relatia (2.731 cu un scalar *m" are carezultat obtinerea vectorului :

V : *V, : mV1*i + mVrrj + mVr=E e.7T)

xCOSC[:-r

cosp: yrzGosY:-r

(2.73)(2.74)

(2.751

(2.76')

Mecanica {e Statica

c) Produsul scalar

Produsul scalar al vectorilor V, gi V, definitieste scalarul:q -v, : vrvz cos ct'sau: q V, : Vi*Vr* * VrrVr, +Yr.Vr=

de rela{iite (2.73} gi (2.7a}

(2.78]-

(2.7e)Din relatiile (2.78) gi (2.79) se poate determina unghiul "cr" format de vectorii V,,gi % astfel:

cos cr, -

q '-vt -vrv,

VrrVr* + VrvYzy +YrrVz.(2.80)

(2.82,

(2.83)

vi * vfl +vl=wln cazul in care coss:0 rezultd cd vectorii V1 gi Vz sunt perpendiculari.Asadar, conditia ca doi vectori si fie perpendiculari este ca produsul ior scalarsd fie nul.

Vr V, :0 =

Vrlvt

dl Produsul vectorial

Produsul vectoriat a vectorilor V, gi q defini{i de relatiile (2.73}(2.74) este vectorul V Oat de determinantul:

{2.81)

respectiv

lrV: Vr x V, :1V,,,lu'*

tYr,V,,

vtyvz= -

vrrve,:

II

I

ur. I

Yr=l":lJ;;Vy: U:

kYr=vr=

Componentele scalare ale vectorului V sunt:

Yr=Yz= = Vi. Vz, - Y t*Y z= (2.84)

Mecanica * Statica 25

: Vr*Vey -

VrrVr* (2.85)

Din paragraful {2.2.5.2} cunoastem ce:V:V1V2sin*:fq"%l

Rezultd unghiul "cr" dintre cei doi vectori:

^:_ F'%lSlnC{,:]1-Dacd sina:0, rezultd cd cei doi vectori sunt coliniari sau paraleli. Asadar,conditia ca doi vectori sd fie coliniari sau paraleli este ca produsul tor vectorialsd fie nul.

q " iz :o + VrnV, (2.88)

Conditia de coliniaritate sau paralelism a celor doi vectori se poate exprimaanalitic astfel:

vr* -

vr, -Yz* vr,

el Produsul mixt

Fiind dati vectorii Vl 9i Vz definiti de relatiile (2.72)vectorul V, Oetinit de relatia:

%:Vs*i*VrrJ+Vr=Fprodusul mixt este un scalar definit de determinantul:

respectiv (2.7a| g

(2.e0)

Vt*Vz*

vttY,,

Yr=vr=

(2.86)

(2.87)

(2.8e)

(2.e1), \ lur. vr,(v'%%): lu,. Y,,

ivt* v"Vt.Yr=Vg=

Mecanica * Statica 26

3. FORTA, SISTEME DE FORTE

in concep{ia modernd forta este definitd ca o mdrime vectoriald cemdsoard interactiunea si transmiterea miscdrii mecanice intre corpuri (simbolF, P,O,..., etc.). Caracterul vectorial al forlei este evident prin faptut cd efectulacesteia depinde nu numai de intensitatea acesteia (modul) ci 9i deorientarea ei in spa{iu, deci de direclia si sensul acesteia (fig. 3.1).

modulul

sup ort {l)extremitate

origine sau punct de apl

Fig. 3.1

Caracterul vectorial al forlei oferi avantajul de a putea analizamatematic fenomenul de interactiune mecanicd intre corpuri prin utilizareacunogtinlelor de " calcul vectorial " .

Pentru a putea opera corect cu areastd mdrime mecanicd trebuieretinute urmdtoarele aspecte:

a) Forta aplicatd unui punct material are caracter de vector legat;b) Forla aplicatd unui solid rigid are caracter de vector alunecdtor.

Din figura 3.2 se in{elege cd oriunde se plaseazd punctul de aplicafie al for{eif p* suportul (A) efectul mecanic asupra solidului rigid (S) este acelasi.Aceeasi concluzie se desprinde si din figura 3.3 unde se presupune cdasupra solidului rigid (S) actioneazd doui forle egale si de sens contrar (f ;i- Fl situate pe acelasi suport (A). Efectul acestor fortp este nul indiferent

Mecanica * Staticadacd cele doud forle au punctele de aplicalie in A si B sau C si tind sd sedepdrteze sau sd se apropie.

Fig, 3.3

Desigur cd aceastd afirmatie are in vedere ipoteza rigiditalii conformcdreia distanlele dintre punctele solidului rigid nu se modificd oricdt de mari arfi forlele exterioare care-l solicitS. Dacd forla actioneazd asupra unui corpdeformabil, ea nu mai are caracter de vector alunecdtor. Efectul fortei depindein acest caz de punctul in care ?si exercitd actiunea. De exemplu o fortd Fcare actioneazd asupra unui resort elastic va produce o alungire cu atdt maimare cu cdt punctul de aplicatie al forlei se ia mai departe de capdtul fix B alresortului (fig. 3.4). Forlele egale 9i de sens contrar avAnd acelasi punct de

B

EJ

^:l

Fig. 3.2

_F

B

Mecanica * Staticaaplicatie au efect nul indiferent dacd solicitd un solid rigid sau un corp elastic(fis. 3.4.a).

Prin sisteme de forle se intelege o multime de forle actionind asupraunui punct material sau sistem material. Sistemele de for{e pot avea anumitedistributii in raport cu diferite sisteme de referinta si in unele cazuri particulareprimesc denumiri corespunzdtoare. De exemplu: sistem de forte concurente,coplanare, paralele, sisteme de cupluri. Sistemele de forle care nu auparticularitdtile enumerate se numesc sisteme de forte oarecare.

3.2. CLASIFICAREA FORTELOR

Categoriile de forle cu care opereazd mecanica pot fi clasificate dupdmodul de actiune si dupd natura lor astfel:

- forle exterioare - sunt forlele care se exercitd asupra unui sistemmaterial datorate actiunii mecanice a unui sistem material exterior sistemuluiconsiderat;

- forle interioare - sunt fortele care se exercitd intre punctele materialeale aceluiasi sistem material potrivit principiului actiunii si reactiunii;

- forle de legdturd - sunt forlele care inlocuiesc mecanic echivalentlegdturile geometrice impuse unui punct sau sistem material. Ele mentinpunctului sau sistemului aceiasi libertate de miscare ca si legdtura reald.

Illecanica * Statica 29Toate aceste forle enumerate pand aici mai pot fi clasificate in:

- forle concentrate - cu actiune punctiformd;- for{e distribuite - actioneazd asupra unei portiuni.

Fortele distribuite se pot clasifica in:a) fo(e volumetrice sau de masd distribuite Tn intreg volumul corpului

(greutatea corpului, forla magneticd, forta elasticd);b) forle de suprafatd sau superficiale ce actioneazd asupra corpurilor pe

suprafelele lor (forla de frecare, presiunea gazelor);c) fo(e distribuite liniar ce actioneazd pe o curbd sau pe o dreaptd.

Dupd criterii mai particulare se pot distinge urmdtoarele categorii de forle:- forle percutante - sunt forte de intensitate mare cu actiune scurtd

(ciocniri);- forle de inertie - reactiunea corpului asupra fo(ei care Ti imprimd

acestuia accelera$a e(Fi = -m-a);

- forle disipative - forle care produc lucru mecanic netransformabil inenergie cineticd (forta de frecare);

- forle elastice - forle de atractie sau de respingere care au modululproportional cu distanta de la punctul material la centrul de atractie saurespingere.

3.3. MASURAREA FORTELOR

Mdsurarea efectivi a forlelor se face cu ajutorul dinamometrelor avindla bazd efectul static de intindere sau de compresiune a unui resort la caredeformatiile sunt proportionale cu solicitdrile.

Forla care actioneazd asupra unui corp cu masaacestuia acceleratia de 1 m|sz este denumitd nevytonunitate de mdsurd a fortpi in Sistemul lntemational (S.l).

F : fil .a -

MLT-2

1 kg si ii imprimdsi se utilizeazd ca,

(3.1)

3.4. MOMENTUL FORTEI iN RAPORT CU UN PUNCTNotiunea de moment al unei forte in rapoft cu un punct a fost introdusd

Tn mecanicd din doud motive si anume:- o forld care actioneazd asupra unui solid rigid nu poate fi complet

definitd numai prin proiectiile sale pe axe (asa cum este cazul vectorilor liberi)deoarece este un vector alunecdtor;

- momentul exprimd capacitatea fortei de a roti solidul rigid in jurul uneiaxe care trece printr-un punct al solidului rigid.

Mecanica * StaticaDin aceste motive in mecanice un vector alunecdtor este caracterizat

prin proiectiile sale pe axele de coordonate 9i prin proiecfiile momentului sduin raport cu originea O a axelor, pe aceleagi axe.

Se numeste moment al unei forle f in raport cu un punct O numit pol,vectorul egal cu produsul vectorial dintre vectorul de pozitie F : OA alpunctului de aplicatie al fortei fata de punctul O 9i vectorul forta f 1tig. 3.5) 9iare expresla:/-\

Mo(r):FxF (3.2)

A(x, y,z)di

rf

My

Fig. 3.5

La definirea vectorului moment trebuie sd se precizeze foda si punctulin raport cu care se calculeazd momentul. Din acest motiv in notaliavectorului moment se indicd punctul in raport cu care se calculeazd (caindice), precum 9i for{a al cdrui moment se calculeazd (in parantezd).

Elementele caracteristice ale momentului forlei in raport cu un punctrezultd din proprietd{ile produsului vectorial:

Mecanica * Statica 31- Momentul este un vector legat aplicat in punctul O av6nd directia

perpendiculard pe planul definit de vectorii F si F ;- Sensul vectorului moment este acela pentru care vectorii F, F gi

m; (F) formeazd un triedru drept. Sensul vectorului moment mai poate fideterminat si cu regula burghiului;

- Modulul vectorului moment este egal cu produsul dintre modulul forteigi distanla mdsuratd pe perpendiculara dusd din O pe suportul fortei.

l-r-hF)l = Fl lFl sino (3 3)M, (F): r .F . sin cx, (3.4)

Dar:r-sing:d

Se obtine:t /-\Mo (FJ: F .d

I UNEI F

(3.5)

(3.6)

ilrt

Aceastd expresie se obtine Tnlocuind in relatia (3.2) expresiile analiticeale vectorului de pozitie F gi ale fortei F. Avem:

F:X.i*y.j+z.iF

- F* -i + F, -J + F= . k

,_\ li I FlMo(FJ=Fxt:l* y zllFx Fy Fz I

Mr(F):(yF= -=Fy).i*(zF* - xF=). j+txF, -yF*).k

(3.7)(3.8)

(3.e)

(3 10)

(3.1 1)moment pe axele

(3.12\

Deoarece:mr(F):M,.i+Mr.j+M=.k

din relatiile (3.10) gi (3.11) rezulti proiectiile vectoruluisistemului de coordonate ales:

M*:y.F.-2.F,Mv : z'F*

-x'F=Mr:x'Fy-Y'F*

Dacd forla F este situatd in planul Oxy atunci vectorul moment este dirijatdupa axaOzdeoareca z:0 gi F= :0. in aceastd situatie rezultd urmdtoareleexpresii:

RAPORT CU UN PUNCT

Mecanica:r Statica 32M*:0M, :0Mt=x'Fy-Y'F

(3.1 3)

de pe

(3.14)(3.15)

NTULUI F it-t RAPoRT

Se disting urmdtoarele proprietdti:a) Momentul fortei in raport cu un punct (pol) este nul dacd F :0 sau dacdsuportut forlei trece prin punct (pol) (F : 0 ).

b) Momentul for{ei in raport cu un punct (pol) nu se modificd dacd forlaalunecd pe propriul ei suport, adicd este un invariant fa{a de operalia dedeplasare a punctului de aplicatie al forlei pe propriul ei suport (fig. 3.6).

Fig. 3.6

Scriem expresia momentului forlei Fsuportul (A) in raport cu punctul O. Avem:/-\

Mo(FJ:FxF-./-\Mo (F): tr

" r

dar:

cu originea Tn A 9i At

PUNCT

A(x, Y,z)

A, (*, ,Y t,zt)

Nlecanica:r Statica

it =i + AA1inlocuind relatia (3.16) in relatia (3.15) si efectu6nd calculele rezultd:

-./-\ I

-

t -Mo (F): Fr- AAlfx F : Fx F - AA,, x F

AA, xF =0 (M. -coliniarcu f ;Obtinem:

'

-,/-\ /-\

mo (rJ:FxF=Mo(FJ

(3.1 6)

(3.17)(3.18)

(3.1e)

c) Momentul fortei in raport cu un punct (pol) nu se modificd dacd punctul dereducere se deplaseazd pe o dreaptd paraleld cu suportul forlei (fig. 3.7).Prin polul O ducem o dreaptd (A{) // (A) pe care ludm un nou pol O'.Calculdnd momentele fald de polul O si O' oblinem:

mr(F)-FxF (3.20)

/-\,Mo'tFJ mo (rJ

A(x, y,z)

(a, )tt1n;

-r-b,fF): F'x F g.z1')dar:

F': O'O+F (3.22tlnlocuind relalia (3,221in relatia (3.21) 9i efectudnd calculele obtinem:/-\',-\-

Mo,(F)= tO'O+FJx F = O'Ox F +Fx F (3.23)(3.24)OoxF-0 (o'o t 11

Mecanica:lt StaticaRezultd: /-\ /-\

Mo,(F)= Fx F = M'(FJ (3.25)Momentul forlei este acelasi ca mdrime, directie si sens dar diferd ca punct deaplicalie.

d) Momentul forlei in raport cu un punct (pol) se niodificd odatd cuschimbarea punctului (polului) de reducere dupa legea (fig. 3.8):

34

,_\Mo'(F)= Mo |\F)- O'O x F

Fala de polul O avem momentul:/-\mo (f

,l= F x FMutdm polul din O in O' falii de care avem momentul:/-\

Mo'(FJ= F',x Fdar:

F':ffi+F

inlocuind relatia 3.29) in relatia (3.28) obtinem:,-\'r-!-

Mo,(F)= tO'O - FJx FEfectuAnd calculele obtinem:

L\

Mo,(F):7xF-rO'OxFtt'fF): ttto(t).o0-* F

(3.26',)

(3.27)

(3.28)

(3.2e)

(3.30)

(3.31)(3.32)

A(x, y,z)

Mecanica rt Statica

3.5.MOMENTUL FORTEI iN RAPORT CU O AXA-&----,--

Momentul for{ei f in rapod cu o axd (A) este egal cu proiectia pe axa(A) a mornentului forlei calculat Tn raport cu un punct o-arecare de pe axd(fig. 3.9). Se considerd o fortd F 9i o axd (A) de versor u. Calculdndmomentul fo(ei f in raport cu punctul O obtinem:

Fig. 3.9

_ /_\-rilr(F):F"F (3.33)

Vectorul moment frr (F) este perpendicular pe planut definit de F gi F .Proiectia Ma a vectorului -nq F) pe axa (A) reprezintd momentul forlei f inraport cu axa (A). Notdnd cu "E" unghiul dintre vectorul -ttr(F) si axa (A) sepoate scrie relatia:

Mr : pr^ nq tF): M, fF).coss: Mo F) uScriind relatia (3.34) sub forma unui produs mixt avem:

Ma : Mr(F) u : {r-' F). u : (urF)Analizdnd relatia (3.35), rezultd cd momentul fortei in raport cu o axd este unscalar. Prin urmare acest scalar poate fi pozitiv, negativ sau nul dupd cumproiectia momentului are sau nu acetasi sens cu axa orientatd (A), sauproiectia momentului este zero.

(3.34)

(3.35)

A(x, Y,z)

Mecanica tF Statica3,5.1, LITICA A UI FORTEI

CU O AXA

lnlocuind Tn relatia (3.35) versorul E, vectorul de pozitie i giexpresiile lor analitice definite astfel:[ = coso . I + cosB . j+ cosy. t 0 forta are acelasi sens cu versorul u, iar cdnd Fi < 0 forfa aresens opus versorului [.

o

Mecanica'* StaticaEfectudnd reducerea sistemului de for{e in raport cu punctul O se obtine

un torsor format din vectorul rezultant R avdnd direc{ia comund cu a fortelordate si un vector moment rezultant ftno Cenniti de relatiile:

ar{n_ n n

R: IE : IF, .u : uIF,i=1 i=l i=1n_nn

Mo : IE * 4 : If, "Fi

.E: I(1 .4)* ui=1 i=1 i=1(4.127)

(4.128\

Fi1.4.29

Asadar, torsorul de reducere are expresia:

rr{nR: uIFi

i.tt-l

n

Mo : I[t, -F,]xtr,:1

Exa mi ndnd relatia (4.1 281 rezu ltd u rmdtoarele concl uzi i :

Mecanica * Statica- Rezultanta R a sistemului de fo(e are aceeasi direclie cu fo(ele date, iarmirimea sa este datd de suma algebricd a scalarilor tuturor fortelorsisternului;- Momentul rezultant Mo este un vector perpendicular pe fiecare din forlelesistemului, fiind agadar perpendicular pe versorul [ ?i pe rezultanta n .intrucdt fVlo f n se deduce cd trinomul invariant este nul (R'tno : O).Rezultanta R a sistemului de forte are urmdtoarea expresie analiticd:

R = R,T + Ryi + R,F (4.129)Proiectiile vectorului rezultant R pe axele sistemului Oxyz ales vor fi:

n

R* = IFi,.i=1n

Ry : I4,i=1n

Rr : IFi'i:1

Vectorul moment rezultant

(4.12s\

fr, are urmdtoarea expresie analiticd:

"li I El= Ilx, Yi z,l

'-t lro Fiy ro Imoment rezultantProiecliile vectorului

fi:n

M* = I(yi4,

(4.1 30)

pe axele sistemului Oryz ales vor

(4.131)

n_Mo = Itr. Ft

i:1

Mo

- ziFiv )

i=1n

My : I(=iFi* - xiFi. )i=1n

M= : I(xiFiv -yiFi*)i=1

Dacd se alege sistemul de referintd Oxyz in asa fel Tnc6t axa Oz sd fieparaleld cu directia comund a for(elor, atunci vectorul rezultant R va fi paralelcu axa Oz, iar vectorul moment rezultant illo va fi continut in planul Oxy.Proiectiile vectorului rezultant R si a vectorului moment rezultant m, peaxele sistemului de coordonate in acest caz vor fi:

Mecanica;ft Statica 74

(4.132)

n

M* : IY,F,i=I

n

My = -I*,F (4'133)i=1

M= :0

4.3.2.2. AXA CENTRALA. CENTRUL FORTELOR PARALELE

Fie sistemul de forfe paralele E = f, -U (i:1,2,...,n) avdnd o directieoarecare (A) de versor u (fig. 4.30) ce actioneaze asupra unui solid rigid.

Reducdnd sistemul de forle in raport cu un punct O oblinem torsorul:(_ nlR = trIF,

.o ] ';' (4.134)i-rrh : I[r, .F,)x uL i-t

Avand in vedere ca R gi ttfo sunt perpendiculari (R r R; torsorul minimaleste nul:

MR -M',,,in =0 (4.135)

Ca urmare, in acest caz axa centrald poate fi definitd ca locul geometric alpunctelor de moment nul.Presupundnd un punct P(x,y,z) de pe axa centrald, momentul Tn acest punctse determind cu relatia:

M, : futo +PO"nfutr:Mr

-OP*R: lylo -FxRnnMp:I(q.Fi)*u-FxfF,u

i-1n

Mp = IG.Fi)" u -(IF,)Fx u

n

R* : IFir :0i=1n

Ry : Ifry : Oi:1nn

Rt : IF,. : IF,i=f i=1

i=1n

(4.1 36)(4.137)(4.1 38)

(4.1 3e)i=1 i=1

Mecanica * Staticann

Mp = IIfi -Fi)-(IF,)Flx ui=l i=1

intrucdt fr,l, : 0, rezultd:nn

tI(t-4)-(I4)Flx u :0i={ i=1Deoarece produsul vectorial a doi vectori este nul, inseamn5 cdcoliniari, ceea ce se poate scrie sub forma:

nnIG.Fr)-(In)r= rl .Ei=1 i=1

unde 11 este scalar.

9(*" ,Y *2")

(4.14a)

(4.1411vectorii sunt

(4.142)

xP(N,Y rz)

oiIIu'

I(a')^\"

Fig. 4.30

Din (4.142)' rezultd cd vectorul de pozilie al unui punct de pe axa centraldeste:

n

It, 'F; -

a=1 l"{

-unI4

i=1

n

INi=1

A; 7; fit,

I,

,

,

I,

,

,

(4.143\

Mecanica rt Shtica /oDacd se noteaze:

^ ?"1l-- --unIF,i=I

ginIr' '4la

; !-l'c -T-

IF,i=I

relatia (4.1 43) devine:

(4.144)

(4.145\

i=t +1".u (4.146)Relatia (4.146'| reprezinte ecuatia vectoriald a axei centrale ?n cazul fortelorparalele.

Dacd Se rotesc toate fortele F,-, (i:1,2,...,n) cu acelasi unghi "cr" inacelagi plan sau in plane paralele gi in acelagi sens, fdrd a schimba punctullor de aplicatie, astfel incdt forlele sd devind paralele cu o noud direclie (A')de versor [' , pentru aceastd noud pozilie ecualia axei centrale va fi:

F:F, +1,''[' (4.147)Din relaliile (4.146) gi (4. 147) rezultd ca axa centrald a unui sistem de forleparalele este paraleld cu direc{ia comund a forlelor si trece in permanenldprintr-un punct fix C(x", y", z") denumit centrul forlelor paralele, definit devectorul de pozitie:

n

It' 'F;

-i=1rc --;-

IF,i:1

Coordonatele centrului forlelor paralele sunt:nnnI*, -F, Iy, .F, I=' .F,

(4.148)

i=1 {4.14e)IF, IF

n

IF,i=l i=l i:1Centrul fortelor paralele se bucurd de urmdtoarele proprietdli:

a) Pazi\ia centrului forlelor paralele nu se modificd dacd toate forlelesistemului se rotesc cu acelasi unghi "cf," in acelasi sens, in plane paraleletdrd a modifica pozilia punctelor de aplicalie deoarece expresia vectorului depozilie t nu depinde de versorul E;

Mecanica {r Statica 77b) Pozitia centruluisistemului isi mdrescttft:

F"n

Fl:n

TNi={

forlelor paralele nu se modificd dacdsau isi micsoreazd valoarea scalard cu

n

f -IFi .rii=1

=fe

n

In'F'i=1

n

If .Fi -rii:lnIf -n

i=1

n

f .IF,a:1

toate fortele,

acelasi factor

(4.150)

(4.1 53)

(4.154'-)

c) Pozitia centrului fortelor paralele nu depinde de originea sistemului dereferin{d ales fiind un element intrinsec al sistemului de fortp dat. Dacd O'este noua origine a sistemului de forle avem (fig. a.30):

O'O : FoVectorul de pozilie 4' : O'A, al unui punct A, falri de noul sistem va fi:

F,'=ffi+OA, =to*t,Asadar:

(4.151)

(4.152)

nn+ t ).Fi -r, . IF, I-t .F,nnEt''n l(Foi:1 i=I

n

TNi=1

i:,t i-4-;-:'1

-t}IF IFi=1 i=lnIF

i=1

adicd vectorul de pozitie al centrului fortelor paralele C se schimbd dupdaceeasi lege ca si vectorul de pozitie al punctului A,, deci pozitia punctului Cnu se modificd falii de punctele Ar, A2,..., An.

4.3.2.3.CAZURI DE REDUCERE A UNUI SISTEM DE FORTE PARALELE

a) Cazul 'l

"r{R:0ftfio : OoEi n4Dacd R : = 0, sistemul de forte dat este in echilibru.

b) Cazul 2

rr{R:0Mo *0 (4.155)

Mecanica tfr StaticaD;;'

,

situat intr-un plan paralel la directia comund a foftelor.,,

cl Cazul 3

[n+o'o t,rro : o

Dacd R '-0 si n4 : O sistemul de

(4.1s6]'

paralele se reduce la o rezultantdunicd R avtnd ca suport axa centrald, axd ce trece prin polul O.

d) Gazul 4

l.R+o4)

'otro *o (4'157)Dacd R *0 9i Mo *0 sistemul de forfe se reduce la rezultantd unicd Raplicati pe axa centrald, axd ce nu trece prin pol si este situatd la distanta

M^d = i de polul de reducere, distanti mdsuratd perpendicular pe planulRdeterminatdevectori R +i ttnoinsensul produsului vectorial R*-illo gg.a.26).

4.3.2.4. REDUCEREA SISTEMELOR pE FORTE PARALELE COPLANARE pECALE GRAFICA

Studiul grafic al sistemelor de forle paralele coplanare se prezintd ca uncaz particular al sistemelor de forfe coplanare oarecare analizat Tn paragraful4.3.1.2. Ca urmare principiile care stau labaza construirii poligonului fortelorsi a poligonului funicular sunt aceleasi. Fie placa [P] ac{ionatd de un sistemde forte Fr,Fr,E,E paralele 9i coplanare cu planul pldcii (fig. a.31).

Determinarea forlei rezultante Tn mdrime, directie si sens, precum sicalculul momentului rezultant intr-un punct oarecare F se face analogcazurilor tratate anterior. Din examinarea figurii 4.31 se pot trage urmdtoareleconcluzii:- Poligonul fortelor se reduce la o linie dreaptd paraleld cu directia sistemuluide fortp;- Cunosc6nd pozitia punctului P situat pe suportul rezultantei, direcliarezultantei R va fi intotdeauna paraleld cu cea a sistemului de for{e dat;

forte,

Mecanica {r Statica- Distanta polare H este perpendiculard pe directia sistemului de forte, iarsegmentul "m" paralel cu aceastd directie.

Mr : R'dR:HmdMr:R.d=Kp.K,_.H.m

(4.158)(4.1 5e)(4.160)

Constructia graficd prezentatd ?n figura 4.31 se utilizeazd gi ladeterminarea pozitiei centrului forlelor paralele. Asa cum s-a ardtat pozitiacentrului fortelor paralele nu se modificd dacd toate forlele sistemului serotesc in acelasi sens cu acelasi unghi "cr" in acelasi plan sau in planeparalele tdrd a modifica punctul de aplica{ie al fortelor.

Prin urmare, pentru determinarea poziliei centrului forlelor paralele seconstruiesc poligoanele fortelor si poligoanele funiculare pentru situatia data

Af

E

F2

A3

EA4

EA5

Fig. 4.31

Mecanica;le Staticagi respectiv pentru forlele rotite cu un unghi 'ocr" (o:90") (fig. 4.92)obtindndu-se suporlii (An) ?i (Ah) ale celor doud rezultante.Centrul fortelor paralele G se gdseste la interseclia suporturilor celor doudrezultante [C : (An ) n (Ah )1

A2(l*')

F2

A1

E

A3

EA4

AI E A', F2

O alta metodd graficfr de reducere a forlelor paralele constd in compunereardnd pe rdnd a doud cdte doud din forlele paralele date. Aceastd compunereare loc succesiv, in plane diferite. Doud cite doud forle paralele pot fi deacelasi sens sau de sensuri opuse. in primul caz rezultanta are valoareaegala cu suma algebricd a forlelor si sensul comun acestora, iar in al doileacaz valoarea rezultantei se obtine fdcind suma algebricd a valorilorcomponentelor si are sensul componentei mai mari.

Pentru determinarea punctului de aplica{ie al rezultantei se utilizeazdinambele cazuri urmitoarea construclie grafica (fig. 4.33). Se ia pe suportul lui

,

,

II

.-+-

Fig. 4.32

Mecanica * StaticaFr 9i in sensul lui E o lungime AE: Fz ?i pe suportul lui E in sensul lui F,o lungime BD * Fr.Se uneste E cu D si la intersectia segmentului ED cu AB se gdseste punctulC cdutat.

F1 _cB

F2 CAF1 -CA : Fz .CB

Prin rotirea fortelor E 9i E in jurul punctelor lor de aplicatie cuoarecare "a"", rezultanta R se roteste si ea cu acelasi unghi "fi"pdstrdndu-si neschimbate mdrimea si punctul de aplicafie c.

1 -

qB: cB:F2 CA CA',

Datoritd proprietdtii sale de a rim&ne neschimbat oricare ar fi directiile fortelorparalele, punctul C se numeste centrul fortelor paralele.

Fig. 4.33

,V

Fig. 4.34in concluzie:

- Tn cazul a doud for{e paralele centrul C imparte segmentul punctelorde aplicalie AB Tn raport invers al modulelor forlelor. Centrul forfelor paraleleC este mai apropiat de forla mai mare in modul;

8I

(4.161)(4.162)

un unghi(fis. 4.34)

(4.1 63)

=+

EtA

1".-.r*l F2

A

_t'; t,

_1'R

-=- DI

;rat"lr/\/\i'-rB'

/rI '-

,l

,f6H,,/

,

cR-n

Mecanica x Statica- Dacd E si Fz au acelasi sens punctul C se gdseste in interiorul

segmentului AB;- Daca F,, gi E au sensuri opuse punctul G se gdsegte in exteriorul

segmentului AB de partea forlei mai mari;- Dacd E gi F, sunt egale si de acelasi sens punctul C se gdsegte la

mijlocul segmentului AB;- Dacd Fr = -'Fz atunci R = 0 gi fortele farmeazd un cuplu.

4.4. REDUCEREA SISTEMELOR DE CUPLURI

Fie un sistem de "n" cupluri de for[e (E,-E,d,) ce actioneazd asupraunui solid rigid (S) (fig. 4.35). Se cere sd se reducd acest sistem de cupluri inraport cu un punct oarecare O aparlindnd solidului rigid. Pentru aceastaatasdm in punctul O sistemul de referinld Oxyz.

Fig. 4.35

Rezultanta sistemului de cupluri este nuld fiindcd rezultanta fiecdruicuplu in parte este nuld. Fiecare cuptu (E,*E,d,) creazdun moment care arecaracter de vector liber, adicd poate actiona in orice punct al solidului rigid.Plas6nd momentul fiecdrui cuplu in punctul O, vom obline un sistem de "nn'vectori moment concurenti. Momentul rezultant va fi egal cu suma vectoriald amomentelor cuplurilor date. Asadar:

Nlecanica * Statica 83

(4.164\unde cu Mi s-a notat momentul cuplului (E,-E,d,).

Se observd cd momentul rezultant al sistemului de cupluri este uninvariant (vector liber) deoarece fiecare vector moment llll, este invariant fatdde polul de reducere. Modulul momentului rezultant al sistemului de cupluri

n_Mo : ZM,

i=l

se poate calcula cu relatia:

Mo: ,ilili +2 IM,M*.cos.(Mi;nll*lU i=l (i+k)=1 {4.165)

ConsiderAnd un cuplu (F,-F,d) plasat intr-un plan perpendicular pevectorul Mo, acesta inlocuieste mecanic echivalent momentul rezultant Modac5 momentul sdu este egal cu Mo in sens si modul, deci dacd:

F'd : Mo (4.166)Din cele expuse rezultd cd un sistem de cupluri situate in plane diferite

poate fi inlocuit cu un cuplu unic numit si cuplu rezultant.La reducerea sistemelor de cupluri se poate intilni 9i cazul cdnd

Mo : 0. Un asemenea sistem de cupluri este echivalent cu un torsor nul decieste in echilibru.

4.5.REDUCEREA SISTEMELOR DE FORTE DISTRIBUITElnteracliunile mecanice pot fi considerate ca forte concentrate numai in

cazul Tn care domeniul de transmitere al fortei este foarte mic sau practicneglijabil. Dacd cel putin una dintre cele trei dimensiuni ale regiunii unde estetransmisd forla nu poate fi neglijatd, sarcina se numeste "dist{iburtd" saucontinud. Putem avea agadar distribu{ii de sarcind liniard, superficiald sauvolumetrica dupa cum pot fi neglijate doud, una sau nici una din dimensiunilezonei de actiune.

Sarcinile distribuite pot fi inlocuite in anumite cazuri prin sarciniconcentrate echivalente (sarcini punctuale care au acelagi efect mecanic casarcina distribuitd inlocuitd). Acestea sunt componentele torsorului dereducere ale sarcinii distribuite.

4.5.1. FORTE COPLANARE LINIARE

se considerd o dreaptd AB de lungime "1" asupra cdreia actioneazdQ (N/m) distribuitd perpendicular pe dreapta AB (fig. a.36).forla

Mecaniea {t StaticaSarcina care revine unei por{iuni elementare de lungime

Rezultanta unice a fortelor paralele coplanare 6.dx carelungimea "1" se determind cu relatia:

II

n-Jo-ax0

Jx-q.dx Jx-y .dx--Jq.ox Jy.ot

dx este q .dxaclioneazd pe

(4.1671

(4.168)

(4.16e)

(4.166)

O=A

Fig. 4.36

Cum valoarea vectorului g : q (x) este o funclie de pozitie, poate fireprezentatd intr-o diagramd la o anumitd scard, prin linia de ?ncdrcare "ab".Rezult5:

Q:-Y'JRezultanta va fi:

tlR--lJv.dx--lJan--J.R

00Asadar, modulul forlei unice echivalentd cu sarcina distribuitd estereprezentat prin aria diagramei de incdrcare AabB. Suportul for{ei rezultanteR' (axa centralS) va fi paraleld cu directia sarcinii Q' si trece prin centrulforlelor paralele de abscis6:

I

Jx-dA-o l

Ion0

Cdteva cazuri particulare ale unor asemenea incdrcdri sunt prezentate inanexa 7.

X"=

Mecanica * Statica

4.5.2. FORTE pISTtBUtTE SUPERF|CTAL

Fie o suprafale pland de arie s gi forla 8.ds (elementard)perpendiculard pe o portiune de suprafatd "ds" (fi1. a37\.

Rezultanta acestui sistem de forfe paralele este:R = Iq.ut

{s}$i in acest caz sarcina q poate fi scrisd:

4:_g.k=_z.kRezultanta va fi:

R: I-[-z'ds - -k fz.ds: -F.W

(4.170)

(4.171)

(4.172]

(4.1731

{4.17 4)

ts) (s)

(s)

unde llU este volumul delimitat.Rezultanta R are ca suport axa centralS a fortelor paralele, axd ce

intersecteazd planul Ory in punctul C de coordonate:Jx .q-ds Jx.z.ds(s)xc: Jq.o" Jz .ds(s)I y 'q'0" fv '= 'o*(s) (s)Yc=Td" = [=.ds(s) (s)

CAteva cazuri de asemenea ?ncdrcdri distribuite perpendicular pe o suprafa{dpland sunt prezentate in anexa 2.

Fi1.4.37

Mecanica *t Statica 86

5. GEOMETRIA MASELOR

5.1. GREUTATEA CORPURILOR

Toate particulele materiale care se afl5 la suprafala Pamintului sau inaproprierea acestuia (pdnd la o anumitd distanld) sunt supuse actiuniicfrmpului gravitalional terestru care se manifestd prin forla de atraclie:

Gi :mi '9care a fost denumiti pe scurt "gretttal&".

Se observd cd aceastd for{a depinde de masa particulei materiale "m,"si de vectorul "$" care se numeste "acceleralie qravitalionald". Valoareaacceleratiei gravitationale g variazd cu latitudinea gi altitudinea. Astfel laecuator g = 9,781 m/sz, g = 9,831 mlsz la poli 9i g = 9,806 m/sa la latitudineade 45'.

in ceea ce priveste acceleratia gravitationatd "Q-" este un vector dirijataproximativ spre centrul Pdmintului. Pe un domeniu restrdns la suprafalaPdm0ntului se poate considera cAmpul gravitational terestru cE este constant,adicd se poate neglija variatia vectorului "9" atdt ca directie c6t gi caintensitate. De aceea se poate considera cd greutitile corpurilor sunt forleindreptate suficient de exact dupd verticala locului, deci paralele intre ele. inconsecintd, problema greutdlilor reprezintd un caz particular al forlelorparalele si se pot aplica rezultatele stabilite la reducerea fortelor paralele.

5.2. CENTRUL DE GREUTATE {DE MASAI AL UNUI SISTEMDE PUNCTE MATERIALE

Fie un sistem de puncte materiale Ar,A2,...,An dG masi Jyt1,(n2,...,mndispersate intr-un domeniu restrins la suprafata Pdmdntului, deservite devectorii de pozi{ie 7r,72,..,,in in raport cu originea O a sistemului de referintdQxyz (fig. 5.1).

(5.1)

Meeanica * StaticaFortele gravitationale care actioneazd asupra sistemului

materiale sunt Gt, ctr,..., Gn 9i pot fi considerate cd forme azd unfortp paralele de acelasi sens, avdnd caracter de vector legat.

Dupa cum s-a ardtat, acest sistem de fortp este echivalent cu orezultantd unicd care are ca suport axa centrald. in cazul nostru rezultantaacestui sistem de fo4e se va numi greutatea sistemului material si areexpresia:

n- nG:IGi:glm, :Mg

de punctesistem de

Fig. 5.1

Centrul de greutate C al sistemului detoate proprietdtile centrului fortplor paralele 9ipolul O prin vectorul de pozitie:

nI r, 'G'=

i=ltc : JrIG'i=l

(5.21

puncte materiale se bucurd depoate fi determinat in raport cu

i:1 i=1iar punctul sdu de aplicatie C (centrul fortelor paralele) se numegte centrul degreutate al sistemului de puncte materiale. in relatia (5.2) M este masa totalda sistemului.

axa centrali4t(.r)

A,(m')-G, c( ,Y

"

rz")

Arfu, A"(*,,)

Gi

G,,G2

(5.3)

Mecanica tF StaticaCoordonatele scalare fa{d de sistemul de referin\d Oxyz vor fi:

nI*, 'G'IG'i-1

n

IE mi 'Si=1

nI v, 'G,IG'i=l

ngI ri 'mii=I

=-: nglmi!,tt-l

iYc:

nIy' '*,i:1

nI*,i=1

n

I=' 'G'i=1

n

IG,i=1

nIt' '.,i=1

nI*,i=1

nIt''*,i=1

t-C nI*,i=1

(5.4)

(5.s)

(5.6)

lnlocuind ?n relatiile (5.3) gi (5.a) pe Gi cu expresia G, : gffii obtinem:

fc=n

It, 'gi=1

respectiv

xc:

nI*''*,,:1

nI*,i=l

Relatiile {5.5) si (5.6) definesc o notiune mai generald si anume aceea decentrul maselor unui sistem de puncte materiale.

5,2.1. PROPruETANLE CENTRULUI DE MASA

1. Pozitia centrului de masd al unui sistem de puncte materiale nu depinde deoriginea sistemului de referintd ales (vezi proprietdtile centrului fortplorparalele);2. Pozilia centrului de masd nu se modificd dacd masele sistemului dat seamplificd sau se micsoreazd Tn acelagi rapoft. lmportanla practicd a acesteiproprietdti constd in faptul cd sistemele materiale identice din punct devedere geometric, Tnsd constituite din materiale diferite, dar omogene, aucentrele de masd identice atunci c6nd sunt suprapuse;3. Dacd punctele materiale se gdsesc in interiorul unei suprafete convexe (o),atunci centrul de masd se gdseste Tn interiorul acestei suprafefe;4. DacE punctele sistemului rnaterial sunt situate pe o dreaptd sau Tntr-unplan, atunci centrul de masd se gdseste pe acea dreaptd sau in acel plan;5. Dacd sistemul de puncte materiale admite un plan, o axd sau un punct desimetrie, atunci centrul de masd se gdseste in acel plan, pe acea axd sau inacel punct;6. Dacd un sistem de puncte materiale (S) se compune dintr-un numdr n'p" desubsisteme (Sr), (Sr),...,(So) ale cdror mase M,r, Mz, ..., Mp gi centrele de

Mecanica * Staticamasd C1, C2, ..., Go se cunosc, atunci pozilia centrului de masd al sistemului(S) se determind cu relatia:

(5.7)

(5.8)

(5"e)

7 . Dacd un sistem de puncte materiale (S) poate fi considerat ca rezultSnddintr-un sistem (S1) din care lipseste un sistem (Sz) gi dacd se cunosc maseleM1 ?i M, si centrele de masd C1 gi C, ale celor doud subsisteme, atuncicentrul de masd C corespunzdtor sistemului (S) se determind cu rela{ia:

Fc:Mr.F",

-Mr.F",Mt

-M,Din relatiile (5.7) gi (5.8) se pot obtine coordonatele scalare ale centrului demasd C proiect*nd relatiile respective pe axele sistemului de referintd ales.

5.3. DETERMINAREA CENTRULUI DE MA$A AL-CORPURILOR OARECARE

Fie un corp oarecare (S) reprezentdnd un continuum materia! rigid, si fieAVi un volum mic din acest corp av6nd masa Ami si centrul de masd Cideservit de vectorul de pozitie E fala de originea O a sistemului de referintdQxyz (fig. 5.2). Presupundnd cd numdrul volumelor av, de masd Am, incare s-a fractionat eorpul este o multime numdrabild de "n" particule materialefinite, pentru determinarea aproximativd a pozitiei centrutui de masd C sepoate utiliza relatia (5.5) scrisd sub forma:

nI r, -A*,=

i=Ilc =T-Za*,i=1

Cu c6t numirul volumelor AVi va fi mai mare si masele Am, vor fi maimici, pozitia centrului de masd al corpului (S) determinat cu relatia (5.9) va fimai apropiatd de pozitia reali. Determinarea exactd a pozitiei centrului demasd C a corpului (S) se va face trecdnd la limitd Tn cadrul relatiei (5.9) prinfractionarea masei corpului (S) intr-un numir infint de mare de maseelementare "dm" deservite prin vectorii de pozitie F in raport cu originea O asistemului cartezian Oxyz. Rezultd astfel cd:

F": Jr.omJa*

(5.10)

N{ecanica * Statica 90

M(Iami;f o.)nv, (nmdv(dm)

iar coordonatele exacte a centrului de masd vor fi.[x .dm iy.dm [z.dmxc:F-' vc:F-i2c=F-

5.4. DETERMINAREA CENTRULUI DE MASA ALCORPURILOR OMOGENE

Pentru studiul centrului de greutate al corpurilor omogene estesd se introducd notiunea de densitate medie care se defineste astfet:

amirmecl Avi

Trecand la limitd cind Av; -+0 se obtine densitatea punctuali saudensitate:

o- lim ami:d'' AV

's AVi dvTn mecanicd corpurile se impart in:

(5.1 1)

necesar

(s.1 2)

simplu

(5.1 3)

c(*, ,y ",2")

zi(z)

Fig.5.2

Mecanica rk Statica 9Ia) Bare

- barele sunt corpuri la care aoua oimensiuni se pot neglija in raport

cu a treia;b) Pldci {suprafe{e) - placile sunt corpuri la care o dimensiune se poateneglija in raport cu celelalte doud;c) Volume (blocuri) - volumele sunt corpuri la care nici o dimensiune nu sepoate neglija.In baza acestei categorisiri putem defini:- pentru bare:

- densitatea liniard medie:amt

Pr..a : Al, (5.14)- densitatea liniard:

or = lim ami = {'I I Ati-+o [1. dl- pentru placi (suprafele):

- densitatea superficiald medie:Ami

' rmed ASi

- densitatea superficiald :

o- = lim Afiri = dT' e as;-+o [$, ds- pentru volume (blocuri):

- densitatea volumetricd medie:ami

J-l :-rvmed AVi

- densitatea volumetricd:

D., : lim ami : dt' v AV, -+0 dV, dV

Masa totald a unui corp omogen se carculeazd cu relatia:rtl: Jdm

(5.17)

(5.18)

(5.20)Relatia (5.20) este o integrald liniard, de sup rafald sau de volum dupd

cum corpul este unidimensional (bard), bidimensional (suprafa{d} sautridimensional (volum). Masa unei porliuni elementare se calculeazd curelatiile {5.15), (5.171 gi (5.19). Corpurile care au aceiasi densitate sau masdspecificd (liniard, superficiald, volumetricd) Tn orice punct al corpului senumesc corpuri omogene, adicd densitatea p este constantd.Tn cazut corpurilor neomogene densitatea este variabild adicd p:p(x, y,zr.

(5.15)

{5.1 6)

(5.1 e)

Mecanica * Statican cazul corpurilor omogene formulele pentru calculul centrului de masd C se

simplificd deoarece densitatea fiind constantd poate fi scoasd de sub semnulintegralei. Atfel avem:a) Pentru bare omogene:

; _ I,', Fdm _ 1,,, Fp,dl p, .[t,l tol I,,, toll,,f- - Trrd,

: p,,i(,)dr T#

Coordonatele centrului de masd vor fi:i,, xdl lrrr YdlXc:1,pl' vc =fr;'

="

b) Pentru pldci omogene:; 1,r,tu* -[tslFP=os o* I,.,Fos'":ffi:

Ir)p_d, =;F- IrryFot

(5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24\

(5.25)

(5.26)

I,r, d"Coordonatele centrului de masd vor fi:

[r, xds lrsr YdsXc =I.od"t Yc = Io*

t ="

c) Pentru volume omogene:i

-

l,u,fut -

Iro,FPuott pu lrulfut" Iryf'n - T"f 'o"

=

P" {ryf"IlolFott

I,u,dtCoordonatele centrului de masd vor fi:

[u, xdv frv, Ydv f,r, zdvxc = T,t'tt

t Yc : 1.u,aut

zc =1",*

5.5.CENTRUL DE GREUTATE AL CORPURILOR OMOGENEUZUALE

5.5.1. BARE

a) Bari dreapti. Din motive de simetrie centrul de greutate se gdseste lamijlocul barei (fig. 5.3)

b) Arc de cerc. Se considerd un arc de cerc de razd R (fig. 5.4) definit deunghiul la centru 2u (c, se exprimd Tn radiani). Din motive de simetrie centrul

f,,,zdl

Ilsl zds

I**, o"

Mecanica {e Staticade greutate se gdsegte pe bisectoare. Ludnd axele de coordonate ca Tn figura5.4. 9i aplic6nd relalia (5.22) se obtine:

I$"o"0 .Rde f"coso .de*RJ]FO' Jl"ue (5.27).

sin0l":P l-o:PSlnct0l:" cxTn relatia de mai sus "x" reprezintd abscisa arcului elementelor "dl"Coordonatele centrului de greutate C vor fi:

Xc : Rslnc{'o[

Y. :0

J,,,xdlXc = iuldl

:

(5.28)

A=O

Se atrage atentia cd xc calculat pentru arcul de cerc reprezintd de faptdistanta OC de la centrul cercului la centrul de greutate C. Coordonatelepunctului C in diverse probleme depind de modul de alegere a sistemului decoordonate.

5.5.2. PLACT

a) Triunqhiul. Centrul de greuatate al triunghiului se gdsegte la intersec{iamedianelor care reprezintd segmentul de dreaptd ce uneste vdrful cu mijlocullaturii opuse.

Fig. 5.3

X: Rcos0

Fig. 5.4

R."d0

X ^t.

Mecanica * Staticab) Dreptunqhiul. Din motive de simetrie centrul de greutate se gesegte lainterseclia diagonalelor.

c) Sectorul circular, Se considerd un sector circular de razd R (fig. 5.5)definit de unghiul la centru 2a (u se exprimd in radiani). Din motive desimetrie centrul de greutate se gdsegte pe bisectoare. Lu6nd axele decoordonate ca Tn figura 5.5 si considerdnd suprafata elementard "ds" ca untriunghi care are baza RdO gi inallimea R, aplic6nd relalia (5.24) se obtine:

Xc= It"r *ds f ?ncoso.lntoe t" ?ncoso-do

.lo3 Z ,-o3:-=-:f" lRtuo,_a 2

J" oe (5.2e)

:3ptinoli* = 2Rsincr3sli*3uin relatia de mai sus 'ox" reprezintd abscisa centrului de greutate al triunghiuluielementar de suprafala "ds". Coordonatele centrului de greutate C vor fi:

x^ -

3psino'"3c[

Y" :0

f,*, dt

(5.30)

Fig. 5.5

Se atrage atenlia cd xc calculat pentru sectorul de cerc reprezintddistanta OC de la centrul cercului la centrul de greutate C. Coordonatelepunctului G Tn diverse probleme depind de modul de alegere a sistemului decoordonate.

X: Rcos0

Mecanica x Statica5.5.3. VOLUME

a) Conul. Considerdnd conul circular drept de razd R gi ?ndltime h, 9irapoddnd la sistemul de referinld Oxyz (fig. 5.6) prin aplicarea relatiei (5.26)se obtine linand seama de simetria corpului fala de axa Oz:

dyy z ' dv I,u, = ' nz 'rz 'dz

-F---u f,u,dt l,u,*t'r2'dz(5.31)

(5.32\

(5.33)

(s.34)

Fig. 5.6 Fig.5.7in relatia (5.31) volumul etementar dv:xr2dz s-a obtinut izolAnd un

trunchi de con de Tndltime "dz" care poate fi aproximat cu un cilindru de razd"r'' gi indltime "d2". Din asemdnarea triunghiurilor OO'A' gi OO"A' rezultd:

zr-:-hR

Rf :-Zh

inlocuind relatia (5.33) in relatia (5.31) se obtine:

xc:ff= "S zzdz =olnfi,az h l,:-:- :3h

4ff*$=ra= ffzzaz =t ln_t3lo

Fig. 5.6

Coordonatele centrului de greutate C vor fi:

Nlecanica x Statica 96

b) Semisfera. Se considerd o semisferd de razd R (fig. 5.7). Centrul degreutate se gdsegte pe axa de simetrie, care se alege axa Oz. Asimilindvolumul elementar cu un cilindru de razd "r'n gi Tndltimile "dz" putem scrie:

Xc:0Y" :0z^ :9h"4

dv: n-r2 -dzDin triunghiul OO'A se deduce:

R2 : z2 +r2rz :R2 _ 22

Asadar:dv

-

tr(R2 - 22'Sdzlntroducind aceastd relatie in relatia (5.26t avem:

(5.35)

(5.36)

(5.37){5.38}

(5.3e)

(5.40)

f u,zdv,-c -

f,u,du

R

Jzn{R2 -z21dz0

tznnzdz- [nz? dz00R

I"(n2 -22'1dz0

RRtxRzaz- [nzzdz00RR

fzR2dz - [z3az R4 R4

R3:3R

8RRf R2oz - fzzaz R3

Coordonatele centrului de masd C vor fi:

(5.41)

in anexa 3 se dau c6teva relatii de calcul, pentru coordonatele centrului demasd, in cazul unor corpuri omogene de diferite forrne geometrice.

Xt :0Y":0z^ =lR"B

Mecanica * Statica5.6. CENTRUL

OMOGENE

Centrul de greutate al corpurilor compuse omogene se determind pebaza relatiilor (5.7) 9i (5.8). Algortimul de calcul este urmdtorul:- se descompune corpul compus in mai multe corpuri simple ale cdror centrede greutate sunt cunoscute sau se pot dermina usor (anexa 3);- se alege ca sistem de axe de coordonate acela care aduce simplificdri;- se aplicd corpului compus relatiile de mai jos cu precizdrile cd maselecorpurilor care se scot din componenld (goluri) se considerd negative, iarsemnele coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor componente sestabilesc in raport cu axele sistemului ales. Aceste relatii sunt:a) Pentru bare compuse:

= It, '1,tt: rt,I x, .1,

x^ -

u '

ti v^' Il,

t'v

b) Pentru pldci compuse:;

-

It's,'" - ;s,v _IXi .Si .., _Iy, .S, .- _It, .S,Ac- Iq,tc- Eq ,zc- Iq

c) Pentru volume compuse:= It'v't":E

_Ixr .Vi ... Iy, -Vi ._ I=, -V,'^c- Iq ,tc- IU ,Lc- IU

Iy, 'li . -

L4'1,: r\ 'zc= rlt

(5.42)

(5.43)

(5.44)

(5.45)

(5.46)

(5.47',)

5.7. TEOREMELE LUI GULDIN . PAPPUS

Teorema 1. Aria suprafetei generate de un arc de curbd pland, care serotegte in jurul unei axe din planul curbei, axd ce nu intersecteazd curba, esteegald cu lungimea arcului de curbd multiplicatd cu lungimea arcului descrisde centrul de masd al arcului de curbd dat.

Fie arcul de curbd AB de lungime "1" situat in planul Oxy, avdnd centrulde masd in punctul C situat la distanta x" de axa Oy, arc ce se roteste injurul axei Oy generdnd o suprafala (fig. 5.8).

Mecanica:F StaticaFie elementul de arc de lungime "dl" av6nd centrul de masd la distanta

"x" de axa Oy. Prin rotirea completd a acestui element de arc Tn jurul axei Oyel va descrie o suprafatd elementard "ds" ce poate fi aproximatd cu arialaterald a unui trunchi de con cu generatoarea "dl" gi raza medie a bazelor"x" adicd:

ds : Z-x-xdlAria suprafe{ei generate de intreg arcul AB pentru o rotatie completd Tn jurulaxei Oy va fi suma tuturor acestor suprafele elementare:

s : Jd$ : 2rJxdt (s.49)Conform relatiei (5.22) putem scrie:

(5.48)

Jxdl: x"ldtDar:

Jot - rAsadar:

fxdl: Xc -l

(5.50)

(s.51)

(5.52)lntroducdnd relatia (5.22) in relalia(5.49) obtinem:

S : 2.n.X".1 (5.53)Dacd rota{ia este de un unghi u 12nrelatia (5.53) se poate scrie:

Fig. 5.8

S = g.Xc-l (5.54)unde ax. este lungimea arcului descris de centrul de masd C al arcului decurbd AB.

Teorema 2. Volumul generat prin rotirea unei suprafete piane omogenein jurul unei axe din planul suprafetei, axd ce nu intersecteazd suprafata, esteegald cu aria suprafelei multiplicatd cu lungimea arcului de curbd descris decentrul de masd al suprafetei.

Fie o suprafatd pland omogend situati in planul Oxy (fig. S.g) av6ndaria S si centrul de masd in punctul G situat la distanta x. de axa Oy.

Prin rotirea suprafelei date in jurul axei Oy, aceasta va genera unvolum. Fie suprafata elementard "ds" avdnd centrul de masa la distanta "x"de axa Oy. Prin rotirea acestei suprafete elementare in jurul axei Oy, aceastava genera un volum elementar *dv" rezultat din diferen{a volumelorelementare a doi cilindri cu razele "^r" respectiv "xr" gi de inallime "dy"astfel:

dv -

nxlay -

nxldy : ndy!tr - *l} (5.55)

lVlecanica rlr Statica 99sau:

dv : rdy{x, + x, }(x, - xr }Tntrucdt:

xz * xr :2x (5.57)(xz

- xr )dy : ds (5.58)

relatia (5.56) devine:dv :2nxds {5.5e)

Volumul total generat prin rotireacompletd a suprafelei S este:

V : Idv :2rclxds (5.00)Conform relafiei (5.241 avem :

fxds=x,Jds (s.61) odar:

Jos: s (5.62)Astfel relatia (5.61) devine:

x. Jus : XcSCu relalia (5.63) rela{ia (5.60) devine:

V:2axcS

$ = Iffiidipentru medii materiale discontinue si expresiire de forma:

5 - fom.d

Dacd rotatia suprafetei este de un unghi 9

Mecanica tlt Statica 100Astfel, pentru un sistem de puncte materiale (fi9. 5.10) momentele

statice masice in raport cu planele Oxy, Oxz, Oyz sunt:

t (r)^'{Til';i;,i'}

{z)

,t'n xr(x)Yi(Y)

v

So*, : I*,=tsoo : Im,Y,Sort : I*,*,

Avind ?n vedere cd:Imi-Mv _I*iffii .., _Iy,*,.

- _I=,*,

,rc -ffr yc -Fr tzc- _)mi Lmi - Lmi

relatiile (5.68) ... (5.70) devin:Sorr:I*,ti :Z"MSorr:Imiyi:Y'MSorr:Imixi :x*M

(5.68)(5.6e)(5.70)

(5.71)(5.72)

(5.73)(5.7 4)(5.75)

(5.76)(5.77t

Relatiile (5.73) (5.75) exprimd teorema momentelor statice masice:momentul static masic al unui sistem de puncte materiale in raport cu

srsdistanla de la centrul de magd al sistemului Ia acel plan sau ta acea axd.

Dacd punctele sistemului material sunt situate toate in acelasi plan (deexemplu Oxy) atunci expresiile:

Sy:I*,*,:xcMS* =Im,*, =y"M

reprezintd momentele statice ale sistemului in raport cu axa Oy respectiv cuaxa Ox. in raport cu polul O momentul static polar este:

Fig. 5.1 0

Mecanica ie Statica 101so : It*, (5.78)

Se constate cA momentele statice masice axiale gi planare sunt mdrimiscalare, iar momentul static masic polar este vector. Rezultd cd pentrucalculul momentelor statice masice un sistem de puncte materiale se poatereduce la centrul sdu de masd unde este concentratd intreaga masd asistemului.

Daci momentul static masic al unui sistem de puncte materiale inraport cu un plan sau o axd este nul atunci centrul de masd al sistemului segasegte in acel plan sau pe acea axd.

in cazul corpurllor omogene momentele statice masice in raport cuplanurile Oxy, Oxz, Oyz sunt:

So*r:Jzdm:z*MSo*.:fvdm:y"MSo"r:Jxdm=XcM

Pentru corpurile omogene elementul de masi dm se poate exprima Tn functiede densitatea corpului, si in consecintd momentele statice planare vor fi:a) Bare omogene:

dm:psdl; M:pl .lSo*, : f zdm =Jzp,dl : zc .lSo". : I ydm :J yp,dl : y" -I$or= = Jxdm :Jxp,dl : Xc -l

b) PlSci omogene:dm:p*ds; M:p*.SSor, : Jzdm =Jzp=ds = Z. .SS*= : Jvdm =fyprds = y" .SSor=

- Jxdm -Jxprds = x. .Sc) Volume omogene:

dm:podv; M:prr.VSo*, = Jzdm :Jzp'dv = z" .YSo- : Iydm:f yp,rdv: y" .vSo", = Jxdm -Jxpudv = X" .VRelatiile (5.83), {5.85), (5.87) reprezintd momentele statice geometrice

fiindcd nu depind de masa sistemului ci numai de forma lui geometricd.

(5.7e)(5.80)(5.81 )

(5.82)

(5.83)

(5.84)

(5.85)

(5.86)

(5.87)

Mecanica tk Statica 102

6. STATICA {EGHII=IBRUL} PUNCTULUI MATERIAL

6.1. STATICA {ECHILIBRUL} PUNCTULUI MATERIAL LIBERpunctul material este un punct geometric cdruia i se atribuie o anumite

masd. Este o notiune fictivd a mecanicii, care poate fi extinsd si asupracorpurilor reale cu condilia ca acestea si execute numai migcdri de translaliesi intreaga masd sd fie concentratd in centrul de masd.

punctul material liber poate ocupa orice pozitie in spaliu. Pozilia sa laun moment dat este perfect determinatd dacd se cunosc coordonatele salescalare X, y,z (fig. 6.1) in raport cu un sistem de referinli Oxyz, adicd dacdse cunosc cei trei parametrii scalari independenli care-i definesc pozitia.

Se poate afirma cd un punct material liber in spaliu are trei grade delibertate puse in evidenld prin cele trei posibilitati de miscare in lungul axelorde coordonate (trei translalii).

A(x, Y,z)

Fig.6.1

Meeanica tlt Statica 103Un sistem de forle aplicat punctului material A constitue un sistem de

forle concurente avdnd caracter de vectori legali concurenti. Acest sistem deforle poate fi inlocuit mecanic echivalent cu o for{a unicd numitd rezultantd,notatd simbolic R, care are acelasi punct de aplicatie ca si sistemul de forfeconsiderat. Dacd exprimdm fo(ele sistemului astfel:

E:F,*i*F,vi+Fokatunci rezultanta R a sistemului este:

R:RrT+RyJ*Rrr.:ir,-i:1

Condilia necesard si suficentd pentru echilibrul punctului materialca sistemul de forfe E *u fie echivalent cu zero, adicd:

n_R:I[ =oi:1

ProiectAnd relalia (6.3) pe axele unui sistem de coordonate convenabilales, obtinem urmdtoarele ecuatii scalare de echilibru:

nR*=IFi*=0i=1n

Ry =I4r:oi:1n

R. =IFi. =0i=1

Daci toate forlele care actioneazi asupra punctului material suntsituate in acelasi plan din ecuatiile definite de relatiile (6.4) se ob{in numaidoud ecuatii scalare de echilibru, iar dacd fo(ele sistemului sunt coliniarerezultd o singurd ecuatie de echilibru.

6.2.STATICA {ECHILIBRULI PUNCTULUI MATERIAL SUPUSLA LEGATURI

6.2.1. LEGATURILE SISTEMELOR MATERIALE. AXIOMALEGATURILOR

Legitura este o restriclie geometricd impusS, care diminueazdlibertatea de miscare a unui punct material, sistem de puncte materiale, solidrigid sau sistem de solide rigide. Restriclia geometrici poate fi exprimatdmatematic printr-o relatie finitd sau diferen{iald. Pe baza acestei definitiiexpresia matematicd a celei mai generale legdturi este o relatie de forma:

(6.1)

(6.2)este

(6.3)

(6.4)

h/[ecanica * Statica 104f(x,y,znx,y,z,t) < 0 (6.5)

unde x, y, z sunt coordonatele punctului, x,y,z sunt derivatele acestora inrapofi cu timpul, iar 'nt" este timpul. Practic o legdturd definitd de relalia (6.5)este foafie greu de realizat. Legdturile reale frecvent utilizate in mecanicd nuconlin toli acesti parametrii. Dupd particularitdlile pe care le prezintdexpresiile lor matematice, legdturile punctului material pot fi clasificate astfel:- leg5tura unilaterald, care se exprimd matematic printr-o inegalitate;- legdtura bilaterald, care se exprimd matematic printr-o egalitate;- legdtura reonomd, a cirei expresie matematicd conline explicit timpul;- legdtura scleronomd, a cdrei expresie matematicd nu contine explicit timpul;- legdtura neolonom5, a cdrei expresie matematicd contine mdrimi derivatesau diferentiale in raport cu timpul;- legdtura olonomi, a cirei expresie matematicd nu contine mirimi derivatesau diferentiale in raport cu timpul.

Cea mai frecventd legdturd intilnitd in practicd este legdtura de tipulbilatera ld olonomd-scleronomd :

f (x,y,z) -

$ (6.6)care poate fi materializatd printr-o suprafa{d fixd gi nedeformabilS oarecare.finand seama de proprietdtile fizice ale legdturilor, acestea se clasificd in:

- legdturi ideale sau lucii (tara frecare);- legdturi reale sau aspre (cu frecare).Legdturile se oblin practic obligdnd suprafe{ele exterioare ale corpurilor

sd aibd o anumitd zand de contact. Orice legdturd impusd unui corp reduceunul sau mai multe din gradele de libertate ale acestuia, dupd cum legdturaeste simplfr sau complexd. Din punct de vedere fizic legdtura, sau zona decontact, este elementul prin care se transmit interactiunile mecanice dintre

.acorpuri. ln zona de contact dintre cele doud corpuri iau nagtere forle deinteractiune reciprocd numite for,te de legaturd sau reactiuni ale legdturilorcare impiedicd anumite miscdri ale corpurilor. Experienla practicd confirmdurmdtoarea axiomS:

t

elemente mecanice (fa4e. momenteLcare acfiondnd asupra earpuluiproduc aceiagi efect mecanic ca gi lesdtura tndepdrtati".

Direclia fortelor de legdturd este aceiasi cu directia miscdrii interzise iarsensul lor este contrar miscdrii interzise. Axioma legdturilor sau principiulfor{elor de legdturd std labaza staticii si dinamicii.

Distributia fortelor de legdturi (valoarea, directia, sensul) in fiecarepunct al zonei de contact depinde at0t de forma geometricd a corpurilor,

Mecanica {t Statica 105calitatea si natura suprafetelor in contact, cdt gi de forlele exterioare dlrectaplicate care actioneazd asupra corpului supus la legdturi.

6.2.2. STATICA {ECHILIBRUL} PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LAlecArunr rAnA rnecene

e.z.z.t. ecnrugRut puNcrutur nnnremRt Rezenant pe o supRRrnrALUCIE

Se considerd un punct material M(x,y,z) deservit de vectorul de poziliei in raport cu originea O a sistemului de referintd fix Oxyz, supus actiuniiunui sistem de forle active date Fr,Fr,...,4 (fig. 6.2) gi obligatin acelagi timpsd rdmdnd Tn permanentd in contact cu suprafata fix5, lucie si nedeformabildde ecuatie:

f(x,y,z) -

g (6.7)

Fig. 6.2

Sistemul de forle active Fr,Fr,...,E se Tnlocuieste mecanic echivalent curezultanta R avdnd ca efect tendinta de deplasare a punctului in lungulsuportului sdu. Putem scrie:

n_R:IFii=l

Descompunem rezultanta R in doud componente astfel:R:Rn+R*

unde:

(6.8)

t(x,y,zj

z

7s)

(r)5'F

PPE

/v

n tangentN

(n)

..-ii.:r", .,*i;,.I,,,,'R.( /,

EHffi . .1...... .,... .. .,. .,M,

i:biia].:u,,l;;*,,,{,., l.., ,,.i,,iR|.,.mig'care posil H v

(n)o

(6 s)

Mecanica tlt Statiea 106Rn - este dirijata dupd normala (n-n)la suprafald in punctul M;R, este dir{atd dupd direc{ia (t-t} din planul tangent, direclie obtinuti prinintersectia planului tangent cu planul determinat de R qi R.Analizdm efectul acestor componente:n* - tinOe sd deplaseze punctul in ptanul tangent dupd direclia (t-t). Fiindcdnu existd frecare care sd se opund acestei tendinte, pentru echilibru trebuiesd avem:

q : o (6.10)nr- tinOe sd deplaseze punctul dupd directia normalei (n-n). lse opunereactiunea normal5 N . Pentru echilibru trebuie sd avem:

R, +N=0 (6.11)Rezultd asadar, cd miscarea interzisd de legdturd este miscarea in lungulnormalei la suprafata. in baza relatiei (6.11) relalia (6.9) devine:

R: R,,care introdusd in relalia (6.11) determind:

R+N:0

(6.12\

(6.13)relatie ce reprezintd ecuatia vectoriald de echilibru.

Asadar, pentru ca un punct material sd ramind ?n echilibru pe osuprafati lucie este necesar ca rezultanta R a forlelor direct aplicate sd fiedirijata dupd normala la suprafatd. in caz contrar apare posibilitatea demiscare a punctului ?n planul tangent la suprafafd corespunzdtor celor doudgrade de libertate conform sdgetilor indicate. Reactiunea normald a suprafeleieste dati de relatia:

(6.14)unde l" este un scalar iar y;:gradf este versorul normalei la suprafald.lntroducind relatia (6.14) in relatia (6.13) rezultd:

il : i. .gradf : ?,vf -

^(*1. fr1. #O,

n + i,(gt.9j* $r1 = oox dy dz (6.1s)Proiectdnd relatia (6.15) pe axele sistemului de coordonate obtinem

ecuatiile scalare de echilibru:

R*+r9=odx

R, +r9:o'dy

R- + x!:oL^ dz

(6 16)

Mecanica x Statiea I rtnItt,Dacd la relatia (6.16) se ataseaze si ecuatia suprafetei (6.7) rezune un

sistem de patru ecuatii cu patru necunoscute X, y, z gi 1". Primele trei definescpozitia punctului pe suprafa{d, iar L determind mdrimea si sensul reac{iuniinormale N. Mdrimea reactiunii normale va fi:

(6.17)

(6.18)

6.2.2.2. ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL REZEMAT PE O CURBA LUCIE

Se considerd un punct material M{x,y,z} deservit de vectorul de pozilieF in raport cu originea O a sistemului de referin{a fix Qxyz supus actiunii unuisistem de forle active date Fr,Fr,,,,, F,,' (fig. 6.3) si obligat in acelasi timp sdrdm6nd in permanenli ?n contact cu o curbd fix6, lucie 9i nedeformabile (C)determinatd de intersectia suprafetelor:

f, (x,V,z) = 0fz{x,y,z} : 0

Fig. 6.3

Sistemul de for{e dat se inlocuieste mecanic echivalent cu rezultanta R:n_R:IF, (6.19)

i=1

Descompunem rezultanta R in doud componente astfel:

(u:i:,}

NM(x, y, z

f, (x, Y,2) =

f ,(',Y,2)

Meeanica x Statica 108R:Rr+& (6.20)

unde:R.. - este dirijatd dupd tangenta ( t

- t ) la curbd in punctut M;

Rr- este dirijata dupd direclia (n-n) din planul normal la curbd in punctul M,directie determinatd de interseclia planului determinat de R ;i E

"u planul

normal.Analizind efectul acestor componente csnstatdm cd pentru echilibru

este necesar sd avem:R, : o (6.21)n, +F:o 9z2)

inbaza relatiei (6.21) relatia (6.20) devine:R:R'

lntroducrnd relatia (6.23) in relatia (6.22) oblinem:R+N:0

(6.23)

(6.241

N -

hq + r.t, = l.1vf1 + 1urYf ,unde ?"1,?"2,Vfl,Vfz au semnificatiile ardtate in paragraful anterior.Ecuatia vectoriald de echilibru devine:

R+l,rVf ,+?,"2Yf, -O

R + 1",,(+T .!1* *Fl + Lz(+T .*l* pn; : o''Ax N' Az "dr( Ay' Az. ' -iar ecuatiile scalare de echilibru sunt: