測定における誤差

KEK 　猪野 隆takashi.ino@kek.jp

論文は、自ら書くもの誤差は、自分で定義するも

のただし、この定義は、

多数の人に納得してもらえるものであること

一八八四年（明治十七年）の天気

予報

午前　　全国一般風ノ向キハ定リ

ナシ天気ハ変リ易シ　但シ雨天勝

チ午後　　変リ易キ天気ニシテ風位

定ラス　且雨降ル地方モアルベシ

夜　　　中部及ビ西部ハ晴域ハ好

天気ナルベシ　北部ノ一部ハ天気

定ラス　一部ハ曇天又ハ烟霧ナル

ベシ

誤差をどのように決めるか？

　統計誤差に関しては、数学的理論に基づくさまざまな誤差の推定方法がほぼ確立されている

　系統誤差については、ある程度の一般論はあるものの、多くの場合、実験者の判断で誤差を推定している

おみくじの例　その一

凶 大吉

小吉

吉

おみくじの例　その二

大凶

一

本

凶

三

本

吉

八

本小吉

八

本中吉

五

本大吉

三

本

「凶」は、 28 本中 3 本だった

28

3

4

1

おみくじの例　その三

おみくじは二項分布に従う。

このおみくじを四回ひいて、一回「凶」が出る場合の標準誤差は、次のように表せる。

15.04/)28

31(

28

3/)1( npp

15.025.0 4

1

28

3とコンシステントこれは

系統誤差

装置の精度・安定性

温度、湿度、気圧、光、振動、潮汐力、電源電圧変動、時間、外来ノイズ（電磁場）、自然放射線、宇宙線、　　　　　　・　　　　　　・　　　　　　・

誤差の性質

・デタラメは規則正しい　

・独立な誤差は二乗和でかさなる　

・誤差は末代まで受け継がれる　

・差の誤差には気をつけろ　

・誤差は人格を反映する

誤差の性質

・デタラメは規則正しい　

・独立な誤差は二乗和でかさなる　

・誤差は末代まで受け継がれる　

・差の誤差には気をつけろ　

・誤差は人格を反映する

出鱈目の規則性

・任意の分布を持つ母集団において、標本が大きくなると、標本平均値の分布は次第に正規分布に近づく

・不確定な“もの”が多数かさなると、“ もの”の平均は正規分布になる

中心極限定理

・任意の分布を持つ母集団において、標本が大きくなると、標本平均値の分布は次第に正規分布に近づく

Coin toss の場合

Coin toss を N 回行うHeads を 1 、 tails を 0 として、 coin toss N 回の合計を計算するこれを 1000 回行い、合計の頻度分布をみる

図の縦軸は頻度、横軸は合計

N = 1 N = 2 N = 5

N =10 N = 100 N = 1000

ガウス分布

2

2

1exp

2

1)(

x

xP

x

P

：平均値あるいは中心値

：標準偏差　（ バラツキの程度）

正規分布あるいはガウス分布

・ある量を多数回測定すると、測定された量は正規分布になる

うずらの体重

・テストの点数・ヒトの身長・距離・時間・電圧　　・　　・　　・

測定値と誤差

xa

a

ある測定がガウス分布に従うとすれば、あるいは従うとして、その標準偏差　　をもって測定の誤差とすることが多い。

aa

測定値と真値との関係

xa

aa a

aa 測定結果　　　　　　から、 真の値　　　は、　　　　　　と　　　　　　との間であろう・・・ aa

0a

aa

定量化

真の値　　が　　　　　　の範囲に入っている確率

確からしさの度合い 1

aa 0a

○○○の測定結果は、コンフィデンスレベル 68.3% で　　　　　　である aa

aa

x

ガウス分布の式から、これは 68.3% になる

確からしさの度合い 2

68.3%

?a

誤差と確からしさの関係

64.1

2

3

95.4%

99.7%

90%

58.2 99%

3.3 99.9%

誤差の性質

・デタラメは規則正しい　

・独立な誤差は二乗和でかさなる　

・誤差は末代まで受け継がれる　

・差の誤差には気をつけろ　

・誤差は人格を反映する

フィゾーの光速測定

t

Lc

22

t

t

L

L

c

c

22

2

tt

cL

L

cc

現代では、光速は定義となっているが・・・

L

t

313 Mm/s (1849)

誤差の性質

・デタラメは規則正しい　

・独立な誤差は二乗和でかさなる　

・誤差は末代まで受け継がれる　

・差の誤差には気をつけろ　

・誤差は人格を反映する

光では見えない天体をマイクロ波で捉える

22CMBmeasS EEE

CMB

CMBSmeas EEE

CMBmeasS EEE

CMBmeas

CMBmeas

S

S

EE

EE

E

E

22

CMBmeas EE ~S

S

E

Eのとき、 がひじょうに大きくなる

誤差の性質

・デタラメは規則正しい　

・独立な誤差は二乗和でかさなる　

・誤差は末代まで受け継がれる　

・差の誤差には気をつけろ　

・誤差は人格を反映する

中性 子寿命の測定

Xe EDM の測定

はかりたいもの

磁気モーメント 静磁場

振動数

プランク定数

静電場

・磁場モーメントはもちろん、プランク定数にだって誤差がある　物理定数表にのっている値をチェック

・静磁場は、最終結果には出てこないけど・・・　電場の向き ↑↓で、静磁場に変化がなければ　最終結果には影響しないが、実際のところは？

・静電場はどれくらいの精度でわかる？

・振動数の測定精度って、どう考える？

)}(){(2

00 dEBdEBh

電場＋での測定 電場－での測定

EDM 測定の場合

)}(){(2

00 dEBdEBh

EDM 測定の場合

EE

BBhd

)(2/)( 00

)}()({2

00 EEdBBh

d

h 0B 0B E E を考える

を導く

キーワード

・二項分布・ポアソン分布・正規分布（ガウス分布）・中心極限定理・標準偏差・誤差の伝搬・最小二乗法・ χ2

・ CL （コンフィデンスレベル）

・ランダム誤差・統計誤差・系統誤差・最尤法

おしまい