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VERSICHERUNGSMATHEMATIK UNDTARIFIERUNGMathematik der Lebensversicherung
WS 2016/2017
Prof. Dr. Thomas NeusiusWiesbaden Business School
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Inhaltsübersicht
...1 Einführung
...2 Finanzmathematik
...3 Barwerte
...4 Versicherungstechnische Barwerte
...5 Rechnungsgrundlagen
...6 Äquivalenzprinzip & Prämienkalkulation
...7 Deckungsrückstellung
...8 Rechtliche Rahmenbedingungen
...9 Geschäftsvorfälle
...10 Überschüsse
...11 Aktuelles Umfeld der LV
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Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Lehrbücher
C. Führer und A. Grimmer: Einführung in dieLebensversicherungsmathematik. – Verlag derVersicherungswirtschaft: Karlsruhe, 22010.
Klaus D. Schmidt: Versicherungsmathematik. –Springer: Berlin, 32009.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Versicherung: Elemente desGeschäftsmodells
Risikotransfer (vom Kunden zumVersicherungsunternehmen)Ausgleich im Kollektiv und in der Zeit (Gesetz dergroßen Zahlen)Sicherheitszuschlag als Ausdruck vorsichtigerKalkulation des VersicherersRisikoaversion des Kunden: Akzeptanz einer Prämie,die höher ist als der erwartete Schaden.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Personenversicherung
Versicherungszweige der PersonenversicherungLebensversicherungPrivate KrankenversicherungKrankenzusatzversicherungen (bei Kalkulation nachArt der LV)BerufsunfähigkeitsversicherungUnfallrentenPensionskassen
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Summenversicherung
Die Lebensversicherung ist i.d.R. eineSummenversicherung, d.h., die Leistungen sind alsGeldbeträge definiert und passen sich nicht automatischder Inflation an. Dies ist anders als beiSchadenversicherungen, die die tatsächlicheSchadenshöhe begleichen, wie z.B. in derHaftpflichtversicherung.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Mathematik und Versicherung?
Mathematische Anforderungen im Versicherungsbetrieb(Auswahl):
Kalkulation von PrämienKalkulation von Rückstellungen für dieRechnungslegungPrognoserechnungen zur zukünftigenErtragsentwicklung (Profit Testing)Bewertung von Risiken
Bereiche, in denen mathematische Themen anfallen(Auswahl)
ProduktentwicklungVertragsänderungenRechungswesenRisikomanagementInvestmentmanagement
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Mathematik und Karriere
Catherine Weinberger: The Increasing Complementarity between Cognitive and Social Skills. – Rev. Econ.
Stat. 96 (2014) 5, 849.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Finanzmathematik
..Finanzmathematik
.
Zinsrechnung
.
Barwerte
.
Rentenrechnung
.
Versicherungs-mathematik
.
biometrischeBarwerte
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Finanzmathematik
Finanzmathematik befasst sich mit dem BewertenBewertet werden z.B. die Zahlungen, die durchFinanzanlagen ausgelöste werden (Anleihe:Zinszahlungen und Rückzahlung; Aktie: Dividendenund Kursstand; Immobilie: Mieteinnahmen undlaufende Kosten; usw.)Hier bewerten wir Zahlungsströme unterUnsicherheit und zu verschiednenen Zeiten
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zins: Begriffe
.
......
”Zins (von lat. census, Vermögensschätzung) ist dasEntgelt, das der Schuldner dem Gläubiger fürentliehenes Kapital zahlt.“Quelle: de.wikipedia.org, Artikel Zins am 29.07.2013 um 16:00h
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Wieso werden Zinsen gezahlt?
Entgeld für ÜberlassungInflationsausgleichRisikoprämie (Schuldner könnte zahlungsunfähigwerden)Ausgleich für GegenwartspräferenzOpportunitätskosten: Konsumverzicht desGläubigers bzw. entgangeneInvestitionsmöglichkeiten (Verzicht auf Liquidität,d.h. Ausgleich für Liquiditätspräferenz)
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsen in der Finanzmathematik
Zahlungsströme zu unterschiedlichen Zeitpunktenkönnen per se nicht verglichen werden!Die Zinsrechnung ermöglicht den Vergleichungleichzeitiger Zahlungsströme (
”time value of
money“)Annahme eines Zinssatzes ist entscheidendIm Allgemeinen: Zinssatz hängt von der Laufzeit ab(Zinsstrukturkurve)In der Versicherungsmathematik meistlaufzeitunabhängiger Zinssatz.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsstrukturkurve
..
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
.
9
.
10
.
-1%
.0%.1%.
2%
.
3%
.
4%
.
5%
.
6%
.
7%
.
8%
.
9%
.
Restlaufzeit [Jahre]
.
Zins
.
31.01.1973
.
28.02.1990
.
30.12.1991
.
30.06.1995
.
03.01.2000
.
17.02.2005
.
16.01.2015
Quelle: de.wikipedia.org Artikel Zinsstruktur am 09.10.2013 um 22:20hBundesbank: Tägliche Zinsstruktur für börsennotierte Bundeswertpapiere, 17.01.2015.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsen I
Zinssatz: ijährlicher Aufzinsungsfaktor q = 1 + i
jährlicher Abzinsungsfaktor v = 1/q = 1/(1 + i)
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsen II
.Beispiel 2.1..
......Bei einem Zinssatz von i = 8% haben 500 Euro in einem Jahreinen Wert von 500 · (1 + 0,08) = 540.
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsen II
.Beispiel 2.2..
......
Bei einem Zinssatz von i = 7,5% hat eine Zahlung von 200 Euroin einem Jahr einen heutigen Wert von
200 · 1
1 + 0,075= 186,05.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Einfache Verzinsung
Bei einem Zinssatz von i und einer Laufzeit von t(gemessen in Jahren) ergibt sich aus einemAnfangskapitalK0 nach der Zeit t ∈ R der Betrag
Kt = K0 · (1 + t · i).
.Beispiel 2.3..
......
Ein Betrag von 300 Euro wird mit einem Zinssatz von i = 5%über t = 2,5 Jahre verzinst. Es ergibt sich danach bei einfacherVerzinsung ein Euro-Betrag von
K2,5 = 337,50.
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Geometrische Verzinsung
Nun werden zu jedem Jahrestag die Zinsen ausgezahltund in der Folge mitverzinst (sog. Zinseszins). Aus einemAnfangskapitalK0 wird dann nach n ∈ N Jahren beieinem Zinssatz von i
Kn = K0 · (1 + i)n = K0 · qn.
.Beispiel 2.4..
......
K0 = 700 Euro werden bei einem Zinssatz von 3% über zehnJahre angelegt. Es ergibt sich ein Kapital von
K10 = 940,74
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gemischte Verzinsung
Bei geometrische Verzinsung wurde bislang nur der Fallvon ganzjährigen Dauern betrachtet. In der Praxis werdeneinfache Verzinsung und Verzinsung häufig kombiniert,um auch angebrochene Jahre berücksichtigen zu können..Beispiel 2.5..
......
Sei zum 01.07.2009 der Betrag 500 Euro vorhanden. Dieserwerde bis zum 31.03.2013 mit i = 1,5% gemischt verzinst. DieAnlagedauer von 3,75 Jahren kann dann zerlegt werden in denganzjährigen Anteil und die am Anfang und am Endeangebrochenen Jahre. In den angebrochenen Jahren wirdjeweils einfach verzinst und der Betrag zum Jahresendegutgeschrieben.
Kt = 500(1 + 0,015 · 0,5) · (1 + 0,015)3 · (1 + 0,015 · 0,25)= 528,74
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsstaffel I
Bei der gemischten Verzinsung kann im allgemeinenauch der Zinssatz von Jahr zu Jahr variieren. Es soll nunangenommen werden, dass für jedes Jahr 1,2, ..., n eineigener Zins i1, i2, ..., in festgelegt wird. Die Entwicklungdes StartkapitalsK0 ist dann
Kn = K0 ·n∏
k=1
(1 + ik).
Angebrochene Jahre können analog zum bisherigenVorgehen berücksichtigt werden.
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsstaffel II
.Übung 2.1..
......
Ein Bundesschatzbrief (Typ B, d.h. Zinsbetrag wirdweiterverzinst) von 2008 wies folgende Verzinsung auf
Jahr i
1 3,50%2 3,75%3 4,00%4 4,25%5 4,25%
Wenn zu Beginn 10 000 Euro in diesen Schatzbrief investiertwurden, wieviel wurde Ende 2012 ausgezahlt?
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Barwerte
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsstaffel III
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsstaffel IV
.Übung 2.2..
......
Auf ein Sparkonto wird am 05.12.2004 ein Betrag von 2 500 Euroeingezahlt. Am 17.02.2007 wurde das Konto aufgelöst, ohne dasin der Zwischenzeit Ein- oder Auszahlungen stattgefundenhaben. Die jeweils für ein Kalenderjahr gültige Verzinsung desKreditinstituts betrug
Jahr i
2004 2,75%2005 2,25%2006 2,50%2007 1,75%
.
Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag (vor Steuern)?
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinsstaffel V
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Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterjährige Verzinsung I
Bislang wurde angenommen, Zinsausschüttungen fändenstets zum Jahreswechsel statt. Es können aber auchandere Auszahlungstermine vereinbart sein. So kann zumBeispiel eine Zinszahlung pro Quartal vereinbart werden.Damit wird auf die Zinses eines abgelaufenen Quartalsbereits ab dem Folgequartal ein Zinseszins gewährt.
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterjährige Verzinsung II
.Beispiel 2.6..
......
Es ist auf einem Sparbuch quartalsweise Verzinsung vereinbart.Zum Jahresbeginn liegen dort 1 000 Euro. Dann wird bei einemNominalzins von inom = 2,00% nach einem Quartal folgenderZins gezahlt.
1 000 · 0,024
= 1 000 · 0,005 = 5.
Dieser Zinsbetrag wird direkt gezahlt und fortan mitverzinst.
Datum Betrag am [e]31.03. 1 00530.06. 1 010,0230.09. 1 015,0831.12. 1 020,15
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterjährige Verzinsung III
Allgemein ergibt sich bei n gleichmäßig über ein Jahrverteilten Zinsterminen folgende Kapitalentwicklung
Kt = K0 (1 + in)t·n .
Der Periodenzins in kann unterschiedlich festgelegt sein.
linearer Periodenzins: in = inom/n
geometrischer Periodenzins: in = n√1 + inom − 1
Hier wurde zudem angenommen, dass t ein Vielfachesder Zinsperiode 1/n ist. Angebrochene Perioden könnenwiederum mit einfacher Verzinsung berücksichtigtwerden.
Übliche Verzinsungsvereinbarungen sind halb- odervierteljährlich, monatlich oder täglich.
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Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterjährige Verzinsung IV
.Übung 2.3..
......
Auf einen Kredit von 10 000 werden monatlich Zinsen fällig. DerNominalzins beträgt inom = 5%, es wird ein linearerPeriodenzins angewendet. Welche Schuld ergibt sich nach zweiJahren, wenn in der Zwischenzweit keine Zins- undTilgungszahlungen geleistet werden?
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterjährige Verzinsung IV
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Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterjährige Verzinsung V
.Übung 2.4..
......
Berechnen Sie, wieviel Geld nach 7 Jahren und neun Monatenaus 3 500 e geworden sind, wenn jeweils zum Quartal Zinsengutgeschrieben werden und mit inom = 6% und geometrischemPeriodenzins gerechnet wird.
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Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterjährige Verzinsung V
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Versicherungs-technischeBarwerte
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterschiede bei Verzinsung
.Übung 2.5..
......
Ein Betrag von 1 000 Euro werde über fünf Jahre verzinst miteinem Nominalzins von inom = 7%. Bestimmen Sie denEndbetrag bei folgenden verschiedenen Zinsvarianten:...1 monatliche Zinsperiode mit linearem Periodenzins...2 halbjährliche Zinsperiode mit linearem Periodenzins...3 monatliche Zinsperiode mit geometrischem Periodenzins...4 halbjährliche Zinsperiode mit geometrischem Periodenzins...5 jährliche Verzinsung mit dem Nominalzins.
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterschiede bei Verzinsung
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Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unterschiede bei Verzinsung
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Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Geometrischer Periodenzins
Die Verzinsung mit geometrischem Periodenzins führtfür alle Periodenlängen nach einem Jahr zumgleichen Kapital.
Wir verallgemeinern deswegen die geometrischeVerzinsung für beliebige Periodenlängen
Kt = K0(1 + i)t t ∈ R
Anmerkung: Im Ergebnis entspricht dies einerkontinuierlichen Verzinsung!
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Geometrischer Periodenzins: Abzinsung
Wenn giltKt = K0(1 + i)t t ∈ R,
dann ergibt sich der Barwert einer Zahlung zumZeitpunkt t als
K0 =Kt
(1 + i)t= Kt
1
(1 + i)t= Kt
(1
1 + i
)t
= Ktvt.
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Barwerte und Endwerte
Es wurde bereits erwähnt, dass die Zinsrechnung einenVergleich zwischen Geldzahlungen (cash flows) zuverschiedenen Zeitpunkten ermöglicht. Wesentlich istdazu eine Zinsannahme.
Werden eine Menge von GeldzahlungenM = {Z1, Z2, ..., Zn}, die zu unterschiedlichenZeitpunkten t1, t2, ..., tn erfolgen, mittels Zins i auf denheutigen Zeitpunkt abgezinst, so heißt die Summe dieserabgezinsten Zahlungen der Barwert der betreffendenMengeM .
Werden die Zahlungen auf den Termin der letztenZahlung tn aufgezinst, so spricht man vom Endwert derZahlungsmengeM .
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Barwert I
Der Barwert einer einzelnen Zahlung Z zum Zeitpunktt ∈ R ergibt sich mit dem Abzinsungsfaktor v zu
B = Z · 1
(1 + i)t= Z · vt.
Nun betrachten wir mehrere Zahlungen Zk mitk = 1, ..., n. Es sollen hier alle Zahlungen zu Jahrestagenstattfinden, d.h. tk ∈ R für alle k. Dann gilt für denBarwert
B =
n∑k=1
Zk · vtk .
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Barwert II
.Beispiel 3.1..
......
Es soll per Vergleich der Barwerte entschieden werden, welcheder beiden folgenden Zahlungen
”wertvoller“ ist.
tk Zk
1 4504 500
Der Barwert der beiden Zahlungen ergibt sich mit i = 10% zu
B1 = 450 · v = 409,09
B2 = 500 · v4 = 341,51.
Die Zahlung von 450 Euro in einem Jahr wäre in dieser Sichtwertvoller als die von 500 Euro in vier Jahren.
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Barwert III
.Übung 3.1..
......Berechnen Sie die Barwerte aus dem vorangegangenen Beispielfür einen Zins von i = 1%.
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rentenrechnung I
Als Rente bezeichnet man in der Finanzmathematik eineregelmäßige Zahlung. Im folgenden werdenBarwertformeln für verschiedene, gebräuchlicheRentenformen zusammengestellt.
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rentenrechnung II
.Beispiel 3.2..
......
Eine sofortbeginnende, vorschüssige Rente der Höhe 1000 injährlicher Zahlungsweise über drei Jahre besteht aus folgendenZahlungen
k tk Zk
1 0 1 0002 1 1 0003 2 1 000
sofortbeginnend: bedeutet nicht aufgeschobenvorschüssig: Rente wird am Beginn jeder Zahlungsperiodegezahltjährliche Zahlungsweise: die Zahlperiode ist ein Jahr, d.h. dieJahresrente wird in einem Betrag ausgezahlt.über drei Jahre: die Rentenzahlung endet nach drei Jahren.
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rentenrechnung III
.Beispiel 3.3..
......
Eine um vier Jahre aufgeschobene, nachschüssige Rente der Höhe4 000 in halbjährlicher Zahlungsweise über zwei Jahre besteht ausfolgenden Zahlungen
k tk Zk
1 4,5 2 000
2 5 2 000
3 5,5 2 000
4 6 2 000
aufgeschoben: Rente beginnt erst in der Zukunftnachschüssig: Rente wird am Ende jeder Zahlungsperiodegezahlthalbjährliche Zahlungsweise: die Zahlperiode ist ein Halbjahr,d.h. die Jahresrente wird in zwei Beträgen ausgezahlt.über zwei Jahre: wie oben.
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Notation
Für finanzmathematische Barwerte hat sich einestandardisierte Notation durchgesetzt:
Grundsymbol: der Buchstabe a für Annuität/engl.annuity.vorschüssige Rente: zwei Punkte gekennzeichnet, a.nachschüssig: keine besondere Kennzeichnungbefristete Rente über n Jahre: an|.
Zahlweise k (falls nicht jährlich): a(k)n| .
Rente umm Jahre aufgeschoben: m|a(k)n| .
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Vorschüssige Rente
Eine sofortbeginnende, vorschüssige Rente über n Jahremit jährlicher Zahlweise der Höhe eins hat folgendenBarwert
an| = 1 + 1 · v + 1 · v2 + ...+ 1 · vn−1
= v0 + v1 + v2 + ...+ vn−1
=n−1∑k=0
vk
=1− vn
1− v.
48
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Geometrische Reihe I
In der Herleitung des Barwerts an| wurde im letztenSchritt eine Formel benutzt, die hier kurz erläutertwerden soll.Eine Zahlenfolge (hier mit n Gliedern) der Form
1, v, v2, v3, ..., vn−1
wird geometrische Folge genannt: je zweiaufeinanderfolgende Glieder haben das gleiche Verhältniszueinander. Die Summe über eine geometrische Folgemit n Gliedern läßt sich folgendermaßen schreiben
n−1∑k=0
vk = 1 + v + v2 + ...+ vn−1.
49
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Geometrische Reihe II
Dies kann man umformen, indem auf beiden Seiten der Gleichung mit(1− v)mutlipliziert wird
(1− v)
n−1∑k=0
vk = (1− v)(1 + v + v2 + ...+ vn−1)
= (1 + v + v2 + ...+ vn−1)−
v(1 + v + v2 + ...+ vn−1)
= 1 + v + v2 + ...+ vn−1 − v − v2 − ...− vn
= 1− vn.
Daraus läßt sich die gesuchte Formel ableiten
n−1∑k=0
vk =1− vn
1− v.
50
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Barwerte
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Geometrische Reihe III
Diese gilt für beliebige Werte von v ∈ R und n ∈ N.
Eine unendliche geometrische Folge kann auch summiertwerden. Man spricht dann von einer geometrischen Reihe.
Es ist direkt aus der Formel für die endliche Summeersichtlich, dass für v < 1 gilt
∞∑k=0
vk = limn→∞
n−1∑k=0
vk =1
1− v.
Für v ≥ 1 ist die geometrische Reihe divergent, d.h., siebesitzt kein endliches Ergebnis.
51
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Barwerte
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Vorschüssige Rente II
.Übung 3.2..
......
Einer in den vorzeitigen Ruhestand entlassenen Staatsekretärinwerden für drei Jahre (vorschüssig) jährliche Abfindungen vonL = 60 000 Euro gezahlt. Wie hoch ist der Barwert dieserZusage bei einem Zins von i = 3,5%?
52
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Barwerte
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Vorschüssige, aufgeschobene Rente
Mit der bekannten Formel für die sofortbeginnendeRente, lässt sich auch die Formel der umm Jahreaufgeschobenen, vorschüssigen Rente bestimmen:
m|an| = an+m| − am|
=1− vn+m
1− v− 1− vm
1− v
= vm1− vn
1− v.
53
PVM
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Aufgeschobene Rente
.Übung 3.3..
......
Ein auf fünf Jahre befristeter Arbeitsvertrag einer Tropenärztinsieht vor, dass nach der Rückkehr ins Heimatland für zwei Jahreeine Rente von jährlich L = 24 000 Euro gezahlt wird.Wie hoch ist der Barwert dieser Zusage bei Vertragsbeginnwenn ein Zinssatz von i = 4% zugrunde gelegt wird?
54
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Barwerte
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kredit
.Beispiel 3.4..
......
Ein Immobilienkredit über 350 000 Euro soll über nachschüssigeQuartalsraten während einer 20-jährigen Tilgungsphasevollständig zurückgezahlt werden. Der Zins betrage i = 6%.Die Bank erbringt gegenüber dem Schuldner eine einmaligeLeistung durch auszahlen der Kreditsumme. Der Barwert dieserLeistung beträgt 350 000 Euro, da die Summe sofort ausgezahltwird.Der Schuldner verpflichtet sich als Gegenleistung zur Zahlungder insgesamt 80 Quartalsraten. Diese Zahlungsverpflichtungwird von der Bank mit ihrem Barwert bewertet.
55
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Barwerte
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kredit
.Beispiel 3.4..
......
Der Barwert der Ratenzahlung der Quartalsrate der Höhe R4
beträgt über 20 Jahre nachschüssig
4 ·R4 · a(4)20|
Die Quartalsrate wird nun so bestimmt, dass der Barwert derLeistung des Schuldners dem Barwert der Leistung desGläubigers (d.h. der Bank) entspricht:
350 000!= 4 ·R4 · a(4)20|
Daraus lässt sich die Quartalsrate bestimmen
R4 =350 000
4 · a(4)20|
= 7 462,78.
56
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kredit
.Übung 3.4..
......
Ein Kredit über 280 000 Euro soll über nachschüssigeMonatsraten innerhalb von 15 Jahren vollständig getilgtwerden. Der Zins betrage i = 2,7%. Bestimmen Sie die Höhe derMonatrate.
57
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kredit
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Restschuld
.Beispiel 3.5..
......
Der Kredit über 350 000 Euro soll nach sechs Jahren vorzeitigaufgelöst werden. Wie groß ist die Restschuld, also der Betrag,den der Kunde der Bank noch schuldet, wenn die Zinsen undseine geleisteten Raten berücksichtigt werden?Dazu wird ermittelt, welchen Wert die nach fünf Jahren nochausstehenden Ratenzahlungen haben. Wenn sechs Jahre seitAuszahlung der Kreditsumme vergangen sind, so schuldet derKunde der Bank weitere 14 Jahre mit quartalsweisenachschüssigen Raten.
59
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Restschuld
.Beispiel 3.5..
......
Der Barwert dieser noch ausstehenden Raten bestimmt sich als
4 ·R4 · a(4)14 = 4 ·R4 · 9,501582= 283 632,90
60
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Restschuld
.Übung 3.5..
......
Ein Kredit über 450 000 soll über 30 Jahre bei einem Zins voni = 3,25% durch halbjährlich nachschüssige Raten vollständiggetilgt werden....1 Bestimmen Sie die Halbjahresrate....2 Bestimmen Sie die Restschuld nach zwölf Jahren.
61
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Restschuld
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kapitalmarktschaden
.Übung 3.6..
......
In der Praxis: vorzeitige Auflösung des Darlehensvertrages nurmit Ausgleichszahlung.
Wieso verlangt eine Bank einen Ausgleich für dieKündigung?
Welche Größen spielen eine Rolle für die Bewertung?
63
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kapitalmarktschaden
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Restschuld & Kapitalmarktschaden
Restschuld als Zeitwert der noch offenen ZahlungenKapitalmarktschaden als Zeitwertdifferenz dernoch ausstehenden Rückzahlungen
65
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kreditvertrag
.Übung 3.7..
......
Ein Hauskredit besteht aus der einmaligen Auszahlung von350000 e am Vertragsbeginn. Die Schuld soll über monatlichnachschüssige Raten innerhalb von 25 Jahren vollständigzurückgezahlt werden. Der Zins betrage i = 5,9%....1 Wie hoch ist die Monatsrate?...2 Wie hoch ist die Restschuld nach 17 Jahren?...3 Welche Vorfälligkeitsentschädigung ergibt sich bei einemMarktzins von 2,7%, wenn der Vertrag nach 17 Jahrenvorzeitig aufgelöst werden soll?
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kreditvertrag
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kreditvertrag
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kreditvertrag
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Wieso Wahrscheinlichkeiten?
Bisher: Sichere Zahlungen wurden bewertetVersicherung: Zahlungen hängen von zukünftigenEreignissen ab, die nicht mit Sicherheit eintreten.Deswegen nötig: Quantifizierung der Unsicherheit(Risiko)Bewertung dieser Zahlungen auf Basis derWahrscheinlichkeiten
71
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterberwahrscheinlichkeit
in der Versicherungsmathematik zentral:Sterbewahrscheinlichkeit
72
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbetafeln
Sterbetafel: demografisches Modell zurVerdeutlichung der Sterblichkeit unab. von Größeder betrachteten Bevölkerung und AlterstrukturSterbetafel zeigt statistische Werte zumSterblichkeitsgeschehen in Abhängigkeit von Alterund GeschlechtGrundlage von demografischen Berechnungen, insb.BevölkerungsprognosenWichtige Planungsgrundlage, z.B. im Gesundheits-und PflegesektorUrsprünge im Bereich der Versicherungsmathematik(17. Jh.)
73
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Einjährige Sterbewahrscheinlichkeit
Der Tod ist ein zufälliger Zeitpunkt, den wir hier in Jahren vonder Geburt aus messen (Sterbealter).
Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines Jahres zu sterben, wennman das Alter x bereits erreicht hat, wird in einer Sterbetafelals qx bezeichnet. Manchmal wird parallel qy verwendet, dannsteht qy für die Sterbewahrscheinlichkeit von Frauen und qx fürdie von Männern
Hier soll sowohl das Alter als auch der Todeszeitpunkt nur inganzjährigen Schritten beschrieben werden.
Die qx sind die Ausgangsbasis in einer Sterbetafel, aus denenalle anderen Größen abgeleitet werden.
74
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Überlebenswahrscheinlichkeit
Die einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit ist definiert als
px = 1− qx.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine x-jährige Person, mindestensdas Alter x+ z erreicht, lautet
zpx := px · px+1 · ... · px+z−1
75
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbetafel: Notation
lx: Zahl der im Alter x noch Lebendendx: Zahl der im Alter x Verstorbenenqx: einjährige Sterbe-WK des x-jährigenpx = 1− qx: einjährige Überlebens-WK desx-jährigennpx: n-jährige Überlebens-WK des x-jährigen
Es gilt
dx = lx − lx+1 qx =dxlx
px =lx+1
lx
Damit folgt
npx =
n−1∏k=0
px+k =
n−1∏k=0
lx+k+1
lx+k=
lx+n
lx
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Überlebenskurve
Wenn man annimmt, eine Gruppe von 100 000Neugeborenen hätte eine Sterblichkeit im Laufeihres Lebens, die exakt der Sterbetafel entspricht.Dann würden im Alter x exakt der Anteil qxversterben und px das Alter x+ 1 erreichen.Die Zahl derjenigen in dieser Geburtskohorte, die imAlter x noch leben, wird als lx bezeichnet.Damit ist lx+1 = lxpx für alle x. Da die Altersstufenx = 0, 1, 2, ..., handelt es sich um eine Folge.Es ist
px =lx+1
lxkpx =
lx+k
lx
77
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rektangularisierung
Quelle: Eisenmenger & Emmerling: Amtliche Sterbetafeln. Statistisches Bundesamt, Wirtschaft undStatistik, März 2011, S. 232
78
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Lebenserwartung bei Geburt
Wir gehen hier davon aus, dass sich die Todeszeitpunkteinnerhalb einer Alterstufe gleichmäßig verteilen.Näherungsweise sterben damit Personen des Alters k imAlter k + 1/2.
e0 = E(T ) =∞∑k=0
(k +
1
2
)qk kp0
=∞∑k=0
(k +
1
2
)lk − lk+1
lk
lkl0
=1
l0
∞∑k=1
lk +1
2
79
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Restlebenserwartung
Nun kann der Erwartungswert, der verbleibenden Lebenszeit imAlter y berechnet werden.
Der Erwartungswert dieser verbleibenden Lebenszeit heißtauch fernere Lebenserwartung, ey .
ey =
∞∑k=0
(k +
1
2
)qy+k kpy
=∞∑
k=0
(k +
1
2
)ly+k − ly+k+1
ly+k
ly+k
ly
=1
ly
∞∑k=y+1
lk +1
2
Der Erwartungswert des Sterbealters, E(T |T ≥ y), ist gegebenals
E(T |T ≥ y) = ey + y
80
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Wüstenspringmaus
.Beispiel 4.1..
......
Bei einer speziellen Wüstenspringmaus habe sich folgendeSterblichkeit in langen Beobachtungen statistisch ermittelnlassen
x qx lx0 0,051 0,102 0,203 0,304 0,405 0,506 1,00
81
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Wüstenspringmaus
.Beispiel 4.1..
......
Bei einer speziellen Wüstenspringmaus habe sich folgendeSterblichkeit in langen Beobachtungen statistisch ermittelnlassen
x qx lx
0 0,05 100 0001 0,10 95 0002 0,20 85 5003 0,30 68 4004 0,40 47 8805 0,50 28 7286 1,00 14 364
82
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Wüstenspringmaus
.Beispiel 4.1..
......
Die Lebenserwartung einer neugeborenen Wüstenspringmausliegt bei
e0 =1
l0
6∑k=1
lk +1
2= 3,90.
83
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Südseefisch
.Übung 4.1..
......
Die Sterblichkeit eines Südseefisches entspreche der folgendenTabelle. Berechnen Sie die Überlebenskurve und dieLebenserwartung von neugeborenen Südseefischen und vondrei-jährigen Südseefischen.
x qx lx
0 0,051 0,082 0,123 0,194 0,275 0,396 0,477 1,00
84
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Südseefisch
85
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Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbestatistik
Erstellung von SterbetafelnErhebung von Rohdaten (z.B. ausRentenversicherung)Glättung und Trendanalyse⇒Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung (
”realistisches
Bild“)Sicherheitszuschläge⇒ Rechnungsgrundlagen 1.Ordnung (werden zur Kalkulation verwendet)
Unterschiedliche Sterbetafeln für Versicherungen mitTodesfallcharakter und Erlebensfallcharakter.
86
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbetafel
UnterscheidungsmerkmaleAlterGeburtsjahrgangRaucher/Nichtraucherbesondere Risiken, Vorerkrankungen etc.Geschlecht [ABER: in der Prämienkalkulation seit21.12.2012 unzulässig]
87
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Erlebensfallleistung
.Beispiel 4.2..
......
Eine Versicherung verspricht bei Erreichen des 65. Geburtstageseine Zahlung von 100000 e. Wenn die heute 30-jährige Personzuvor verstirbt, sollen den Angehörigen in 35 Jahren nur 20 000e gezahlt werden. Welchen Barwert besitzt diese Zahlung?
Um die Frage zu beantworten, werden zwei weitere Angabenbenötigt:
Zins i
Wahrscheinlichkeit 35p30, den 65. Geburtstag zu erreichen.
Der Barwert für die beiden Fälle ist gegeben als
BWfin =
{100 000 · v35 bei Erleben20 000 · v35 sonst
88
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Erlebensfallleistung
.Beispiel 4.3..
......
Der versicherungstechnische Barwert für dasZahlungsversprechen muss im Vorhinein bestimmbar sein. Eswird als Erwartungswert der beiden finanzmathematischenBarwerte definiert
BWvt = E(BWfin) =35 p30 ·100 000v35+(1−35 p30) ·20 000v35
Bei einem Zins von i = 0,9% und einerÜberlebenswahrscheinlichkeit von 35p30 = 72% ergäbe sich
BWvt = 0,72 · 100 000 · v35 + 0,28 · 20 000 · v35 = 56 711,47
89
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Todesfallleistung
.Beispiel 4.4..
......
Eine Risikolebensversicherung zahle 50000 e bei Tod(nachschüssig am Ende des Sterbejahres). Wie groß ist derBarwert für eine 65-jährige Person?
A65 = 50 000(q65 · v + 1p65 · q66 · v2 + 2p65q67 · v3 + ...)
= 50 000∞∑k=0
kp65 · q65+k · vk+1
= 50 000
∞∑k=0
l65+k
l65
d65+k
l65+kvk+1
= 50 000∞∑k=0
d65+k
l65vk+1
90
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kommutationswerte
Kommutationswerte erlauben die schnelle Berechungvon Barwertausdrücken. Sie leiten sich aus denSterbetafeln und dem Zins her und liegen in der Praxis intabellierter Form vor.
Dx = vxlx (”abgezinste Lebende“)Cx = vx+1dx (”abgezinste Tote“)
Nx =
∞∑k=0
Dx+k (”summierte abgezinste Lebende“)
Mx =
∞∑k=0
Cx+k (”summierte abgezinste Tote“)
91
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Risikolebensversicherung I
Der Barwertfaktor der sofortbeginnenden,nachschüssigen Todesfallleistung der Höhe einsberechnet sich nun für die x-jährige Person als
Ax =1
lx
∞∑k=0
dx+kvk+1
=1
lxvx
∞∑k=0
dx+kvx+k+1
=1
Dx
∞∑k=0
Cx+k
=Mx
Dx
92
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbegeld
.Übung 4.2..
......
Eine heute 25-jährige Person möchte, dass im Todesfall eineLeistung von 10000 e ausgezahlt wird (sog.Sterbegeldversicherung). Wie hoch ist der Barwert dieserVersicherung bei einem Zinssatz von i = 0,9% und Verwendungder Sterbetafel 2008T für Männer?
93
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbegeld
94
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbegeld
95
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbetafel, Zins und Geschlecht
Um das Rechnen mit den Sterbetafeln nicht unnötig zuerschweren, wird hier und im folgenden stets gerechnetmit
Sterbetafel DAV 2008TMännerspalte [im Text steht neutral
”x-jährige
Person“]Zins i = 0,9% (derzeit gültiger HRZ)
Dies ist in der Praxis nicht richtig:Es muss fallweise zwischen Sterbetafel mitTodesfallcharakter (Risikolebensversicherung) undErlebensfallcharakter (Rentenversicherung) gewähltwerdenEs muss eine passende Geschlechtermischungunterstellt werden
96
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Risikolebensversicherung II
Der Barwertfaktor der sofortbeginnenden,nachschüssigen Todesfallleistung der Höhe eins, die beiTod bis zum Alter x+ n gezahlt wird, berechnet sich nunfür die x-jährige Person als
|nAx =1
lx
n−1∑k=0
dx+k · vk+1
=1
lxvx
n−1∑k=0
dx+k · vx+k+1
=1
Dx
n−1∑k=0
Cx+k
=Mx −Mx+n
Dx
97
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Leistungsbarwert: Risikoleben
.Übung 4.3..
......
Eine heute 35-jährige Person möchte ihre Hinterbliebenen fürden Fall absichern, dass sie vor dem 65. Geburtstag stirbt. Essoll dann 1 mio. e gezahlt werden. Wie hoch ist der Barwert(gem. Konvention: DAV 2008T, männl., i = 0,9%)?
98
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Leistungsbarwert: Risikoleben
99
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Erlebensfallleistung
Der Barwertfaktor der Erlebensfallleistung der Höhe ein,die der heute x-jährigen Person in n Jahren gezahlt wird,ist
nEx =n px · vn
=lx+n
lx· vn
=lx+nv
x+n
lxvx
=Dx+n
Dx
100
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Erlebensfallleistung
.Übung 4.4..
......
Die Leistung einer kapitalbildenden Versicherung sehe vor, dasseiner heute 27-jährigen Person im Alter von 67 Jahren beiErleben eine Summe von 50000 e gezahlt wird [d.h.: bei Todvor dem 67. Geburtstag wird keine Leistung gezahlt]. Wie hochist der Barwert dieser Leistung unter den üblichen Annahmen[gem. Konvention: DAV 2008T, männl., i = 0,9%].
101
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Erlebensfallleistung
102
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sofortbeginnende, vorschüssige Leibrente
Barwertfaktor der soforbeginnenden, jährlichenLeibrente der Höhe eins für eine x-jährige Person
ax = 1 + 1px · v + 2px · v2 + 3px · v3 + ...
=∞∑k=0
kpx · vk
=1
lx
∞∑k=0
lx+kvk
=1
lxvx
∞∑k=0
lx+kvx+k
=1
Dx
∞∑k=0
Dx+k
=Nx
Dx 103
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sofortbeginnende Leibrente
.Übung 4.5..
......
Eine heute 65-jährige Person soll ab sofort (und lebenslang)eine vorschüssige jährliche Rente von 3 000 e erhalten. Wiehoch ist der Barwert dieser Rentenzahlung?
104
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sofortbeginnende Leibrente
105
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Aufgeschobene, vorschüssige Leibrente
Barwertfaktor der um n Jahre aufgeschobenen, jährlichen Leibrenteder Höhe eins für eine x-jährige Person
n|ax = npx · vn + n+1px · vn+1 + n+2px · vn+2 + ...
=∞∑
k=0
n+kpx · vn+k
=1
lx
∞∑k=0
lx+n+kvn+k
=1
lxvx
∞∑k=0
lx+n+kvx+n+k
=1
Dx
∞∑k=0
Dx+n+k
=Nx+n
Dx
106
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Aufgeschobene Rente
.Übung 4.6..
......
Eine heute 22-jährige Person will eine monatliche, vorschüssigeRente ab dem Alter 65 vereinbaren der Höhe 1 000 evereinbaren. Dabei soll hier so getan werden, als würdevorschüssig die volle Summe von jährlich 12 000 e gezahlt. Wiegroß ist der Barwert?
107
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Aufgeschobene Rente
108
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Aufgeschobene, vorschüssige Leibrenteüber m Jahre
Barwertfaktor der um n Jahre aufgeschobenen,jährlichen Leibrente der Höhe eins für eine x-jährigePerson, die maximalm Jahre gezahlt wird
n|ax,m| =n| ax − n+m|ax
=Nx+n
Dx− Nx+m+n
Dx
=Nx+n −Nx+m+n
Dx.
109
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sofortbeginnende, vorschüssige Leibrenteüber m Jahre
Der Barwertfaktor der sofortbeginnenden, jährlichenLeibrente der Höhe eins für eine x-jährige Person, diemaximalm Jahre gezahlt wird, ergibt sich als Grenzfallfür n = 0.
ax,m| = 0|ax,m|
=Nx −Nx+m
Dx.
110
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Beitragsbarwert
.Übung 4.7..
......
Eine heute 29-jährige Person vereinbart die Zahlung vonBeiträgen von jährlich vorschüssig 1 200 e bis zum Alter 60. Beivorzeitigem Tod besteht keine Zahlungsverpflichtung. Wie hochist der Barwert dieser Beitragszusage?
111
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Beitragsbarwert
112
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nachschüssige Leibrenten
Barwertfaktor der soforbeginnenden, nachschüssigen, jährlichenLeibrente der Höhe eins für eine x-jährige Person
ax = 1px · v + 2px · v2 + 3px · v3 + ...
=∞∑
k=1
kpx · vk =∞∑
k=0
k+1px · v1+k
=1
lx
∞∑k=0
lx+1+kv1+k
=1
lxvx
∞∑k=0
lx+1+kvx+1+k
=1
Dx
∞∑k=0
Dx+1+k =Nx+1
Dx
= 1|ax
In analoger Weise können sämtliche Barwertfaktoren fürnachschüssige Renten hergeleitet werden.
113
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rechnungsgrundlagen in derLebensversicherung
Rechnungszinsbiometrische Rechnungsgrundlagen, insb.Ausscheideordnungen (Sterbetafeln,Invaliditätstafeln)KostensätzeGeschlechtermischung
Unterscheidung: RGL 1. Ordung kommen in Kalkulationzur Anwendung, RGL 2. Ordung werden als besterSchätzer (Best Estimate) für Prognoserechnungenverwendet.
115
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rechnungszins
Höchstrechnungszins (HRZ): Gesetzlichfestgelegter Höchstzins für bilanzielleDeckungsrückstellungenDamit Prämie dazu passt: i.d.R.:Höchstrechnungszins = Zins in der Tarifierung (sog.»Garantiezins«, vgl. §138.1 VAG)HRZ wird von Bundesfinanzministerium in derDeckRV festgesetzt (gem. §88.3 VAG)Soll kleiner 60% des Referenzzinses seinReferenzzins: 10-jähriges Mittel derJahresmittelwerte aus den Monatsendständen derNull-Kupon-Euro-Swapsätze mit 10jährigerRestlaufzeit. (§5.3 DeckRV)Seit 01.01.2017 HRZ: i = 0,9%
116
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gesetzlicher Höchstrechnungszins
..
1989
.
1990
.
1991
.
1992
.
1993
.
1994
.
1995
.
1996
.
1997
.
1998
.
1999
.
2000
.
2001
.
2002
.
2003
.
2004
.
2005
.2006
.2007
.2008
.2009
.
2010
.
2011
.
2012
.
2013
.
2014
.
2015
.
2016
.
2017
.
2018
.0.25% .0.50%
.
0.75%
.
1.00%
.
1.25%
.
1.50%
.
1.75%
.
2.00%
.
2.25%
.
2.50%
.
2.75%
.
3.00%
.
3.25%
.
3.50%
.
3.75%
.
4.00%
.
4.25%
.
4.50%
.
3.50%
.
seit07.86
.
4.00%
.
01.07.94
.
3.25%
.
01.07.00
.
2.75%
.
01.01.04
.
2.25%
.01.01.07
.
1.75%
.
01.01.12
.
1.25%
.
01.01.15
.
0.90%
.
01.01.17
117
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbetafeln I
Zur Erstellung und Merkmalen siehe Folie 86f.
Sterbetafeln auf Basis der eigenen KundendatenoderStandard-Sterbetafeln von der DeutschenAktuarvereinigung (DAV)aktuell: DAV 2008T (mit Todesfallcharakter) undDAV 2004R (mit Rentenfallcharakter undTrendfortschreibung)
118
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbetafeln II
Quelle: Stat. Bundesamt. Sterbetafel 2012/2014
119
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Sterbetafeln II
Quelle: Stat. Bundesamt. Sterbetafel 2012/2014
120
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rückversicherung in der LV
Ziel des Versicherungsunternehmens: homogenerBestand.Problem: einzelne Großrisiken, Korrelationen.
Rückversicherung (RV) kann helfen:Maximierung der Zeichnungskapazität, Erhaltungder LiquiditätMinimierung der benötigten SolvenzmittelVerringerung der Ruinwahrscheinlichkeit
Rückversicherung bietet:Quoten-RV: Beteiligung des RV proportional amSchadenSummen-Exzedenten-RV: RV trägt komplettenSchaden oberhalb einer bestimmten GrenzeFinancial Reinsurance: Absicherung gegenLiquiditätsrisikenErfahrung und Beratung bei Bewertung von Risiken 121
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Kosten
α-Kosten: einmalige Abschlusskosten fürProduktentwicklung, Beratung, Risikoprüfung,Provision etc.αβ-Kosten: laufende Abschlusskosten (da einmaligeAbschlusskosten häufig nicht deckend)β-Kosten: Inkassokosten, Verwaltungskostenγ-Kosten: laufende Verwaltungskosten in derRentenphaseStückkosten (konstanter Kostenteil, laufend, abernicht abh. von Beitragshöhe)Ratenzuschläge für unterjährige Zahlweise beijährlicher KalkulationKosten für Beteiligung am Sicherungsvermögen inder FRVFondsgebühren
122
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unisex-Kalkulation
Quelle: Berücksichtigung des Geschlechts als Faktor der Risikobewertung bei der Kalkulation vonLebensversicherungstarifen, Ausarbeitung DAV, 2008
123
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Unisex-Kalkulation
EuGH verlangt seit 21.12.2012geschlechtsunabhängige Prämienkeine Unisex-Tafelnkeine Bisex-Kalkulation der DRstattdessen: Geschlechtermix als RGL,VU-individuellAchtung: Geschlechtermix nicht statisch(Entmischung, Nachfrage, Wahrnehmung vonOptionen)
124
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Leistungsbarwert (LBW)
In der Prämienkalkulation empfängt der Kundebestimmte Leistungen.
Leistungszusage: Todesfallleistung, LeibrenteOptionen: Rückkaufwert, KapitalwahlrechtBeratung durch Vertreter/Online-Auftritt, zu zahlenbei Abschlusslaufende Betreuung, Service-Center etc.
126
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Beitragsbarwert (BBW)
Als Gegenwert zur Leistung verpflichtet sich der Kundezur Zahlung einer Prämie
Einmalbeitrag (EB)laufende Beitragszahlung (meist mtl. od. jrl.vorschüssig)Prämie deckt die Leistungenenthält die laufenden Kosten
127
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Äquivalenzprinzip
Zentral zur Prämienfestlegung ist:
Der Leistungsbarwert ist gleich dem Beitragsbarwert
LBW = BBW.
Die Prämie muss nun so bestimmt werden, dass dieseGleichung erfüllt ist.
128
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
Prämie nur auf Basis der versicherungstechnischenLeistungenkeinerlei Kosten berücksichtigtman spricht von Nettoprämie, Pnet
entspricht dem Anteil, der nur für dieVersicherungsleistung erforderlich ist
129
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie: Risikoleben gg. EB
.Beispiel 6.1..
......
Eine 40-jährige Person wünscht eine Risikolebensversicherung, die beiTod vor dem 70. Geburtstag L = 150000 e an die Hinterbliebenenzahlt. Welcher Nettoeinmalbeitrag wird dafür fällig? [DAV 2008T (m),i = 0,9%]
Da der EB einen Barwertfaktor von eins hat, ist der Leistungsbarwertgleich der Netto-Prämie, also
LBW!= BBW = EB
Man berechnet
LBW = L · |30A40
= L · M40 −M70
D40
= 150 000490 313− 353 266
677 791
= 30 329,48.130
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
.Beispiel 6.2..
......
Eine 25-jährige Person möchte gerne gegen laufenden Beitrageine Kapitalversicherung abschließen, die bei Erleben des 60.Geburtstags L = 100000 e auszahlt. Wie hoch ist dieNettoprämie?Die Äquivalenzgleichung lautet
LBW!= BBW = Pnet · a25;35|.
Barwertfaktor für den Beitrag
a25;35| =N25 −N60
D25= 29,481818
131
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
.Beispiel 6.2..
......
Der Leistungsbarwert ist
LBW = L ·35 E25 = L · D60
D25
= 100 000519 239
785 458= 66 106,53.
Es ergibt sich eine Nettoprämie von
Pnet =LBW
a25;35|=
66 106,53
29,481818= 2 242,28.
132
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
.Übung 6.1..
......
Eine 35-jährige Person will eine Rente ab dem Alter 67 von L =18 000 e jährlich abschließen. Der Beitrag ist ein Einmalbeitrag.Wie hoch ist der Netto-EB?
133
PVM
Neusius
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
134
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
.Übung 6.2..
......
Eine 20-jährige Person will eine Rentenversicherungabschließen: Eine vorschüssige Leibrente von jährlich L =6000 e soll ab dem Alter 65 gezahlt werden. Bis zum Alter 60soll ein laufender Beitrag entrichtet werden. Wie hoch ist dieNettoprämie? [DAV 2008T (m), i = 0,9%]
135
PVM
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
136
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettoprämie
137
PVM
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie
Prämie unter Einschluss aller Kostenman spricht von Bruttoprämie, Bder Betrag, der vom VN verlangt wird (Ausnahme:Verrechnung⇒ siehe Überschussbeteiligung)
138
PVM
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Sterbegeld
.Beispiel 6.3..
......
Eine 42-jährige Person möchte eine Sterbegeldversicherungabschließen. Diese zahlt L = 15 000 e im Todesfall. Der Beitragsoll als Einmalbeitrag erbracht werden. Es fallen α = 3%Abschlussgebühr (bezogen auf die Todesfallleistung) an undβ = 2% Verwaltungskosten (bezogen auf den EB). Wie hoch istdie Bruttoprämie?
139
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Sterbegeld
.Beispiel 6.3..
......
Der Netto-Leistungsbarwert ist
LBWnet = L ·A42
= LM42
D42
= 15 000 · 488 477
663 925= 11 036,12
Dieser Leistungsbarwert entspricht gleichzeitig derNettoprämie, da es sich hier um einen EB handelt.Der Leistungsbarwert mit Kosten ist
LBW brut = LBWnet + α · L+ β · P brut.
140
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Sterbegeld
.Beispiel 6.3..
......
Der Beitragsbarwert besteht aus der Bruttoprämie (bei EB,sonst Bruttoprämie mal Beitragsbarwertfaktor), also
BBW brut = P brut
Die Äquivalenzgleichung lautet
P brut != LBWnet + α · L+ β · P brut.
141
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Sterbegeld
.Beispiel 6.3..
......
Damit ist die Bruttoprämie
P brut =LBWnet + α · L
1− β
=11 036,12 + 0,03 · 15 000
1− 0,02
= 11 720,53
142
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag
.Beispiel 6.4..
......
Eine 37-jährige Person möchte eine vorschüssigeRentenversicherung über L = 12 000 e jährlich ab Alter 65abschließen. Der Beitrag P brut soll laufend, vorschüssig überdie 28 Jahre Aufschubzeit gezahlt werden. Es fallenAbschlusskosten von α = 2,5% der Beitragssumme, β = 1,5%laufende Verwaltungskosten, γ = 0,5% Verwaltungskosten aufdie Rente und während der Aufschubzeit 24 e Stückkostenjährlich an. Wie hoch ist die Bruttoprämie?
143
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag
.Beispiel 6.4..
......
Die Äquivalenzgleichung einschließlich Kosten kann nunaufgestellt werden
P brut · a37;28| =L · (1 + γ) · 28|a37 + α · 28 · P brut+
+ βP brut · a37;28| + 24 · a37;28|.
Der Netto-Leistungsbarwert ist
LBWnet = L · 28|a37
= LN65
D37
= 12 000 · 6 382 366
698 537= 109 641,14
144
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag
.Beispiel 6.4..
......
Der Barwertfaktor für die Beitragszahlung ist
a37;28| =N37 −N65
D37
=23 093 047− 6 382 366
698 537= 23,922399.
145
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag
.Beispiel 6.4..
......
Man löst die Äquivalenzgleichung nach P brut auf:
P brut =LBWnet · (1 + γ) + 24 · a37;28|
(1− β) · a37;28| − α · 28
=109 641,14 · (1 + 0,005) + 24 · 23,922399
(1− 0,015) · 23,922399− 0,025 · 28= 4 844,54
146
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie Risikoleben gg. lfd. Beitrag
.Übung 6.3..
......
Eine 30-jährige Person will eine Risikolebensversicherung gegenlaufenden Beitrag bis zum Alter 62 abschließen. Es sollen imTodesfall L = 50000 e gezahlt werden. An Kosten werdenα = 2,5% (bezogen auf L) und laufende Verwaltungskosten vonβ = 2% der Bruttoprämie fällig. Stellen Sie dieÄquivalenzgleichung auf und berechnen Sie die Bruttoprämie.
147
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie Risikoleben gg. lfd. Beitrag
148
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie Risikoleben gg. lfd. Beitrag
149
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Rentenversicherung
.Übung 6.4..
......
Eine 23-jährige Person schließt eine Rentenversicherung ab, dieab dem Alter 70 eine jährlich vorschüssige Leibrente von L =24000 e zahlt. Der laufende Beitrag (bis Alter 70) enthältβ = 1,25% Verwaltungskosten und α = 2% Abschlusskosten(bezogen auf die Beitragssumme). Stellen Sie dieÄquivalenzgleichung auf und berechnen Sie die Prämie.
150
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Rentenversicherung
151
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Bruttoprämie: Rentenversicherung
152
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
gezillmerte Prämie
Prämie auf Basis von versicherungstechnischenLeistungen zzgl. einmalige Abschlusskosten (Kostendie im sog. Zillmerverfahren abgerechnet werden,also bei Vertragsabschluss fällig sind)man spricht von der sog. gezillmerten Prämie, P z
Es gilt P < P z < B.Zillmerprämie berückichtigt die Rückzahlung dergezillmerten Kosten
153
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte Prämie
.Beispiel 6.5..
......
Eine Risikolebensversicherung (L = 250000e) gegenlaufenden Beitrag für eine 29-jährige Person bis zum Alter 65wird bei α = 2% Abschlusskosten (bezogen auf dieVersicherungssumme L) durch folgende Äquivalenzgleichungcharaktersisiert.
L ·|36 A29 + L · α != P z · a29;36|
Bezieht sich der Abschlusskostensatz auf dieBruttoprämiensumme, so gilt
L ·|36 A29 + 36 · P brut · α != P z · a29;36|.
Diese zweite Variante kann nicht nach P z aufgelöst werden. Esmuss dann erst die Bruttoprämie bestimmt werden und dannP z .
154
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte Prämie
.Beispiel 6.5..
......
Die Barwertfaktoren lauten
|36A29 =M29 −M65
D29
=497 301− 407 844
755 395
= 0,118424
a29;36| =N29 −N65
D29
=28 935 156− 6 382 366
755 395
= 29,855625.
Die gezillmerte Prämie lautet im ersten Fall (Abschlusskosten bezogenauf L)
P z =L ·|36 A29 + L · α
a29;36|= 1 159,11.
155
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte Prämie
.Übung 6.5..
......
Eine Sterbegeldversicherung gegen laufenden Beitrag (bis Alter65) für eine 38-jährige Person zahlt bei Tod L = 17 000 e.Abschlusskosten in Höhe von α = 1,5% von L werden erhoben.Wie hoch ist die gezillmerte Prämie?
156
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte Prämie
157
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte Prämie
158
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Deckungsrückstellung (DR)
Gleichheit von Leistungs- und Beitragsbarwert amVertragsbeginn (Äquivalenzprinzip)Gleichheit von zukünftigem Leistungs- undBeitragsbarwert während der Vertragslaufzeitnicht gegeben.i.A.: Barwert der zukünftigen Leistungen ist größerals Barwert der noch zu zahlenden Beiträge. D.h. VNtritt in Vorleistung.deswegen: VN hat eine Forderung/einenLeistungsanspruch an das Unternehmen.
⇒ Versicherungsunternehmen muss eine Rückstellungbilden und bilanziell ausweisen
160
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rechtlicher Rahmen DR
prospektive Methode: Barwert zukünftigerLeistungen abzgl. Barwert zukünftiger Beiträge.retrospektiveMethode: Endwert bereits erbrachterBeiträge abzgl. Endwert bereits erbrachterLeistungen.gem. §341f HGB sind (wenn möglich) DR nach derprospektiven Methode zu berechnengem. §2.1 DeckRV setzt HRZ fest (gem. §88 VAG),der maximal zur Anwendung kommen darfgem. §2.2 DeckRV ist der bei Vertragsabschlussgültige HRZ zu verwendenDR mindestens in Höhe des Rückkaufswertes (§25.2RechVersV)Auch Rückstellung für Beitragsrückerstattung (RfB)gem. §140 VAG i.V.m. §341e.1 HGB
161
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Nettodeckungsrückstellung
Die erweiterte Äquivalenzgleichung (ohneBerücksichtigung von Kosten) bei einer Versicherunglautet:
BBW nett + V net
t = LBW nett
162
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR bei Risiko-LV
.Beispiel 7.1..
......
Bei einer Risiko-LV ergibt sich nachm Jahren folgendeerweiterte Äquivalenzgleichung (Alter x bei Vertragsbeginn,Laufzeit n Jahre, Nettoprämie P , Todesfallleistung T )
P ax+m,n−m| + mV net
x = T · |n−mAx+m.
Damit egibt sich die Nettodeckungsrückstellung als
mV netx = T · |n−mAx+m − P a
x+m,n−m|.
163
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR bei Einmalbeitrag
.Beispiel 7.2..
......
Eine 40-jährige Person hat eine Risikolebensversicherung, die bei Todvor dem 70. Geburtstag L = 150 000 e an die Hinterbliebenen zahlt,abgeschlossen zum EB von 30 329,48. Wie hoch ist nach fünf und nachzehn Jahren die Deckungsrückstellung?Es gilt, da nur einmal am Beginn ein Beitrag entrichtet wird:
5Vnet40 = L ·|25 A45
Mit
|25A45 =M45 −M70
D45
=484 875− 353 266
642 744
= 0,204761
Damit ist5V
net40 = 30 714,17.
164
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR bei Einmalbeitrag
.Beispiel 7.2..
......
Weiterhin ist10V
net40 = L ·|20 A50
Mit
|20A50 =M50 −M70
D50
=475 594− 353 266
605 453
= 0,202044
Damit ist10V
net40 = 30 306,56
165
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR bei lfd. Beitrag
.Beispiel 7.3..
......
Eine 25-jährige Person hat gegen laufenden Beitrag eineKapitalversicherung abgeschlossen, die bei Erleben des 60.Geburtstags L = 100000 e auszahlt. Die Nettoprämie liegt beiPnet = 2 242,28 e. Wie hoch ist die DR nach zwölf Jahren?Es gilt
12Vnet25 = L · 23E37 − Pnet · a37;23|.
166
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR bei lfd. Beitrag
.Beispiel 7.3..
......
Die Barwertfaktoren lauten
23E37 =D60
D37=
519 239
698 537
= 0,743324
a37;23| =N37 −N60
D37
=23 093 047− 8 874 663
698 537= 20,354518.
Damit ist
12Vnet25 = 100 000 · 0,743324− 2 242,28 · 20,354518
= 28 691,80.
167
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR
.Übung 7.1..
......
Eine 20-jährige Person hat eine Rentenversicherungabgeschlossen: Eine vorschüssige Leibrente von jährlich L =6000 e wird ab dem Alter 65 gezahlt werden. Bis zum Alter 60ist dafür die Prämie Pnet = 1 407,71 zu zahlen. Wie hoch ist dieNetto-DR nach 15 Jahren und nach 42 Jahren?
168
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR nach 15 Jahren
.Lösung 7.1........
169
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Netto-DR nach 42 Jahren
.Lösung 7.1........
170
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
gezillmerte Deckungsrückstellung
Die erweiterte Äquivalenzgleichung (mitBerücksichtigung der gezillmerten Abschlusskosten) beieiner Versicherung lautet:
BBW zt + V z
t = LBW zt
171
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
gezillmerte DR bei Risiko-LV
.Beispiel 7.4..
......
Bei einer Risiko-LV ergibt sich nachm Jahren folgendeerweiterte Äquivalenzgleichung (Alter x bei Vertragsbeginn,Laufzeit n Jahre, Zillmerprämie P z , Todesfallleistung T )
P zax+m,n−m| + mV z
x = T · |n−mAx+m.
Damit egibt sich die gezillmerte Deckungsrückstellung als
mV zx = T · |n−mAx+m − P za
x+m,n−m|.
Im Beispiel wird deutlich, dass dies die gleiche Rechnungwie im Nettofall ist. Der Unterschied liegt lediglich in derhöheren Prämie, die nötig ist, um die Abschlusskostenwährend der Laufzeit zu finanzieren. Die gez. DR wirddadurch kleiner ausfallen.
172
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte DR
.Beispiel 7.5..
......
Eine Risikolebensversicherung (L = 250000 e) gegenlaufenden Beitrag für eine 29-jährige Person bis zum Alter 65weist bei α = 4% Abschlusskosten (bezogen auf dieVersicherungssumme L) eine gezillmerte Prämie vonP z = 1 326,59e auf. Die gezillmerte DR nach 19 Jahren beträgt
19Vz29 = L · |17A48 − P za48;17|
173
PVM
Neusius
Einführung
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte DR
.Beispiel 7.5..
......
Die Barwertfaktoren lauten
|17A48 =M48 −M65
D48
=479 831− 407 844
620 695= 0,115978
a48;17| =N48 −N65
D48
=15 792 392− 6 382 366
620 695= 15,160467
Damit ist19V
z29 = 8 882,86
174
PVM
Neusius
Einführung
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte DR
.Übung 7.2..
......
Die Rentenversicherung einer bei Abschluss 33-jährigen Person,welche ab Alter 67 eine jährlich vorschüssige Rente vonR =12 000 e zahlt gegen laufenden Beitrag bis zum Alter 67,weist folgende Beiträge auf
Pnet = 3 200,73
P brut = 3 356,13
P z = 3 293,79
[Zum Nachrechnen: α = 2,3% der Beitragssumme, β = 1,5%der Bruttoprämie und Stückkosten von 12 e pro Jahr.]Rechnen Sie die gezillmerte DR im Alter 55 aus und vergleichenSie mit der Netto-DR im Alter 55.
175
PVM
Neusius
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Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte DR
.Lösung 7.2........
176
PVM
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Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Gezillmerte DR
.Lösung 7.2........
177
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Typischer Verlauf der DR
Für 30-jährigen, der eine Todesfallleistung bis zum Alter 65 von 100 000 e verlangt. Die lebenslangeRente wird ab Alter 65 in Höhe von 1 200 e jährlich vorschüssig gezahlt. Der gezillmerte Beitrag zur Ri-sikolebensversicherung beträgt 396,69 e, der zur Rentenversicherung 411,56 e und der zur gemischtenKapitalversicherung 804,64 e (je vorschüssig zahlbar, α-Kosten je 4% der Beitragssumme. 178
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
DR-Zerlegung I
Wir betrachten hier eine Versicherung mit Erlebensfallleistung.Die Äquivalenzgleichung lautet:
L · nEx = P · ax,n|.
Die erweiterte Äquivalenzgleichung ist
L · n−mEx+m = mVx + P · ax+m,n−m|.
Es gilt:
Dx+1 = Dx(1− qx)v
und damit
nEx =Dx+n
Dx
=Dx+n
Dx+1(1− qx)v
= n−1Ex+1(1− qx)v
179
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
DR-Zerlegung II
Ebenso gilt mit Nx = Dx +Nx+1
ax,n| =Nx −Nx+n
Dx
=Dx +Nx+1 −Nx+n
Dx
= 1 +Nx+1 −Nx+n
Dx
= 1 +Nx+1 −Nx+n
Dx+1(1− qx)v
= 1 + ax+1,n−1|(1− qx)v.
180
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
DR-Zerlegung III
Damit kann die DR geschrieben werden als
mVx = m+1Vx(1− qx+m)v − P
Damit folgt
mVx(1 + i) = m+1Vx(1− qx+m)− P (1 + i)
m+1Vx −m Vx = mVx · i︸ ︷︷ ︸DR-Zins
+ m+1Vx · qx+m︸ ︷︷ ︸Vererbung
+ P (1 + i)︸ ︷︷ ︸verz. Prämie
181
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinszusatzreserve (§5.3 DeckRV)
Falls Referenzzins kleiner als HRZ: Aufstockung derDeckungsrückstellungRechne DR aus, wobei für die ersten 15 Jahre stattHRZ der Referenzzins angesetzt wirdRechne für Laufzeiten 16 Jahre und größer mit dembei Vertragsbeginn angesetzten RechnungszinsDie so bestimmte DR ist bilanziell anzusetzenAls Zinszusatzreserve (ZZR) wird der Mehraufwandbezeichnet, welcher durch den in den ersten 15Jahren abgesenkten Zins erforderlich wird.
182
PVM
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
ZZR für 4,00% Rechnungszins
.Beispiel 7.6..
......
1996 hat eine damals 30-jährige Person eineRentenversicherung über L = 12 000 EUR Jahresrenteabgeschlossen gegen laufenden Beitrag bis Alter 65. DerRechnungszins lag bei 4%. Die Bruttoprämie lauteteB = 1 649,73 (Zillmer-P: 1 604,74). Mit dem altenRechnungszins ergibt sich 2016 (20 Jahre nach Vertragsbeginn)eine DR gem.
V z50 = L · 15a50 − P z · a50;15|
= L · 5,292359− P z · 11,123539= 45 657,93
183
PVM
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Finanzmathematik
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
ZZR für 4,00% Rechnungszins
.Beispiel 7.6..
......
Nun muss aber für die ersten 15 Jahre mit dem Rechnungszinsr = 2,54% statt i = 4,00% gerechnet werden.
V z,r50 =
v(r)15
v(i)15· L · 15a50 − P z · a50;15|(r)
=0,686436
0,555265· L · 10,541472− P z · 12,153074
= 59 008,56
Die ZZR für diesen Vertrag beläuft sich auf
ZZR = V z,r50 − V z
50 = 13 350,63
184
PVM
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinszusatzreserve (§5.3 DeckRV)
Die ZZR wird in der Bilanz nicht gesondertausgewiesen, sondern ist in derversicherungstechnischen Rückstellungenenthalten.Das VU finanziert damit die Verträge vor: Die erhöhteRückstellung ermöglicht es, in der Zukunft mitgeringeren Kapitalerträgen auszukommenDie ZZR kann nicht aus den Spar-Beiträgen der VNfinanziert werden, sondern muss aus anderenErgebnisquellen stammenDie erforderlichen Erträge schmälern denÜberschuss und den Gewinn des VUVN mit niedrigem Rechnungszins haben deswegeneinen geringeren Überschuss, weil die KA-Erträgetlw. von den VN mit hohem Rechnungszins (via ZZR)aufgebraucht werden. 185
PVM
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinszusatzreserve
186
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zinszusatzreserve
187
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Beteiligte Parteien
An einem Versicherungsvertrag sind verschiedenePersonen beteiligt:
Versicherungsunternehmen (VU)evtl.: Vertreter/MaklerVersicherungsnehmer (VN): schließt Vertrag, zahltdie PrämieVersicherte Person (VP): Person, deren Risikoversichert istZahlungsempfänger/Begünstigter: Person, die imLeistungsfall die Leistung erhält
189
PVM
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rechtsquellen für die LV
Versicherungsaufsichtsgesetz VAG (wg. Solvency II:VAG-Novelle seit 01.01.2016 in Kraft)Versicherungsvertragsgesetz VVGHandelsgesetzbuch HGBVerordnung über die Rechnungslegung fürVersicherungsunternehmen (RechVersV)Verordnung über Rechnungsgrundlagen für dieDeckungsrückstellungen (DeckRV)Mindestzuführungsverordnung MindZV
190
PVM
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Einführung
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Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Zentrale Bestimmungen für die LV
Vorsichtsprinzip: Prämien müssen auskömmlichkalkuliert sein (§138.1 VAG und §5.1 DeckRV)Gleichbehandlungssatz: Prämien- und Leistungenmüssen bei gleichen Voraussetzungen für alle VNgleich sein (§138.2 VAG).Deckelung der einmaligen Abschlusskosten:max.2,5% Zillmersatz (§4.1 DeckRV)Mindestrückkaufwert: entspricht der DR bei glm.Verteilung d. Abschlusskosten auf die ersten fünfJahre (§169.3 VVG)
191
PVM
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
LVRG
LVRG = LebensversicherungsreformgesetzMehrere Anläufe, um Beteiligung an Bewertungsreserven neuzu regelnVerabschiedung im Sommer 2014 (während der Fußball-WM)An Bewertungsreserven auf Zinspapiere müssen dieVersicherten nur noch beteiligt werden, wenn diese denSicherungsbedarf übersteigenSicherungsbedarf: Notwendige Rückstellung für Verträge beiRechnungszins gem. aktuellem Zinsniveau (sog. Bezugszins)Ausschüttungssperre, wenn Sicherungsbedarf höher alsBewertungsreservenErhöhung der Mindestbeteiligung am Risikoergebnis (90% statt75%)Absenkung des Höchstrechnungszinses auf 1,25%Begrenzung der Bilanzierung von einmaligen Abschlusskostenauf 2,5% der Beitragsssumme
192
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Versicherungsaufsichtsgesetz (VAG)
Regelt die Aufsicht über Versicherungsunternehmen undPensionskassen
Prämienkalkulation, Gleichbehandlung (§138)
Verantwortlicher Aktuar (§141)
Treuhänder (§142)
Überschussbeteiligung, Bewertungsreserven, Direktgutschrift(§139)
§124 (1) 3 VAG: »[...] sämtliche Vermögenswerte sind soanzulegen, dass Sicherheit, Qualität, Liquidität und Rentabilitätdes Portfolios als Ganzes sichergestellt werden; [...]«
Überschussbeteiligung, RfB (§140)
Notfallparagraph, freie RfB (§140.1)
§88.3 ermächtigt Bundesfinanzministerium zur Festsetzung derDeckRV
193
PVM
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Verantwortlicher Aktuar
Der verantwortliche Aktuar (VA):ist verantwortlich für die versicherungstechnischenTeile der Bilanzhat über eine angemessen vorsichtige Kapitalanlagezu wachenhat die Angemessenheit der Prämienkalkulationsicherzustellenmacht dem Vorstand einen Vorschlag für dieÜberschussbeteiligungist persönlich haftbar
194
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Verantwortlicher Aktuar
Quelle: Geschäftsbericht Württembergische Leben 2012
195
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Private Krankenversicherung
KV »nach Art der Lebensversicherung«Bildung von DR (in PKV alsAlterungsrückstellungen bezeichnet)Vertrag ist auf Lebenszeit geschlossen (sehrlangfristige Verträge)Leistungen hängen von Gesundheit ab (Barwert fürmedizinischen Bedarf)Leistungsumfang ist festBeiträge dürfen erhöht werden, dann auchZinsanpassung möglich
196
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Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rückkaufswert
.Beispiel 9.1..
......
Wegen §169.3 VVG müssen im Falle eines Rückkaufs in denersten fünf Jahren die gezillmerten Abschlusskostengleichmäßig auf die ersten fünf Jahre verteilt werden.Im Fall einer Rentenversicherung gegen laufenden Beitrag(L = 12 000 ab 65) einer 27-jährigen Person betrage dieBruttoprämie B = 3 361,15 (P z = 3 281,93). Die rechnerischeDR nach einem Jahr ergibt sich als
V z28 = L · 37a28 − P z · a28;37|
Bei α = 2,5% waren 3 193,09 EUR Abschlusskosten angesetztworden, die zu Beginn als fällig betrachtet wurden. Diese sindnun teilweise herauszugeben.
198
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rückkaufswert
.Beispiel 9.1..
......
Der Barwert der Abschlusskosten entspricht einer Zahlung vonfünf vorschüssigen Jahresraten:
3 193,09!= R · a27;5
Mit dem Barwertfaktor a27;5 = 4,904216 ergibt sich eine Ratevon
R =3 193,09
a27;5= 651,09.
Nur die erste dieser Raten darf der Versicherer einbehalten. Ermuss den Barwert der weiteren vier Raten herausgeben, also
R · a28;4 = 651,09 · 3,942395 = 2 566,86
199
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rückkaufswert
.Übung 9.1..
......
Eine Person (x = 31) schließt eine Rentenversicherung gegenlaufenden Beitrag ab. Bis zum Alter 67 werden die Beiträgegezahlt, ab dann wird eine Jahresrente von 18.000 Euro gezahlt.Es werden 2,5% der Beitragssumme als Abschlusskostenangesetzt und Verwaltungskosten von 3% beitragsproportionalerhoben....1 Wie hoch sind Brutto- und Zillmerprämie?...2 Wie hoch ist die DR nach zwei Jahren?...3 Wie hoch ist der Rückkaufswert?
200
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rückkaufswert
201
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Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Rückkaufswert
202
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203
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Beitragsfreie Leistung
.Beispiel 9.2..
......
Eine 26-jährige Person schließt eine kapitalbildendeLebensversicherung ab. Diese zahlt 150.000 Euro bei Erlebendes 60. Geburtstages oder die selbe Summe an dieHinterbliebenen bei vorzeitigem Tod. Die Abschlusskostenbetragen 2,5% der Beitragssumme, 3,5% laufendeVerwaltungskosten und Stückkosten von 24 Euro sindvorgesehen.Die Bruttoprämie lautet B = 4 170,33, die Zillmerprämie4 000,36 und es ergibt sich im Alter 36 eine DR von
V z36 = 37 073,50
204
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Beitragsfreie Leistung
.Beispiel 9.2..
......
Nun möchte der VN die Prämienzahlung beenden ohne dieVersicherung zu kündigen, sog. Beitragsfreistellung. Dazu mussein Leistungsanspruch ermittelt werden, der »fair« gegenüberdem VN ist.Es wird dazu bestimmt, welche Leistung durch die bereitsgebildete DR finanziert werden kann. Es soll weiterhin imTodesfall die gleiche Summe L wie im Erlebensfall ausgezahltwerden:
L · (24E36 + |24A36)!= V z
36
d.h.
L =V z36
24E36 + |24A36
=37 073,50
0,735997 + 0,075315
= 45 695,76 205
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Aktuelles Umfeld derLV
Beitragsfreie Leistung
.Übung 9.2..
......
Eine 29-jährige Person schließt eine Rentenversicherung ab, dieab Alter 67 eine jährliche Rente von 6.000 Euro zahlt. Bis dahinsoll ein laufender Beitrag entrichtet werden, der 2,8% laufendeKosten enthält, zudem Stückkosten von 50 Euro undAbschlusskosten in Höhe von 2,2% der Beitragssumme....1 Berechnen Sie die Bruttoprämie....2 Berechnen Sie die DR im Alter 43....3 Berechnen Sie die beitragsfreie Leistung, wenn ab 43 keineBeiträge mehr gezahlt werden.
206
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Beitragsfreie Leistung
207
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Beitragsfreie Leistung
208
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Beitragsfreie Leistung
209
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Beitragsfreie Leistung
210
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Überschussentstehung
Versicherungsunternehmen kalkulieren vorsichtig⇒Prämien (meist) höher als nötig! Dadurch entsteht dersog. Risikogewinn. Zudem generieren andere FaktorenErträge. Überschüsse speisen sich aus
RisikoergebnisZins- und Kapitalanlageergebnissonstiges Ergebnis (v.a. Kostenergebnis)
§153 VVG verlangt, Versicherte in bestimmtemUmfang an diese Erträgen zu beteiligen!
212
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Mindestzuführungsverordnung (MindZV)
Regelt die Beteiligung der VN am Rohüberschussin der LV: seit 01.01.2015: 90% vom Risikoergebnis(zuvor 75%)in der LV: 90% vom Überzinsin der LV: 50% vom Kostenergebnis
213
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RechtlicheRahmenbedingungen
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Aktuelles Umfeld derLV
Rückstellung für Beitragsrückerstattung
§56a VAG verpflichtet, in entsprechendem UmfangRückstellungen zu bilden, sog. RfBeinmal jährlich deklariert das Unternehmen seineÜberschussbeteiligungdie dafür nötigen Mittel müssen in der RfBvorhanden sein (gebundener Teil der RfB)
214
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Aktuelles Umfeld derLV
Überschussentstehung in derLebensversicherung
..
Beitrag
.Risikogeschaft
. technisches Ergebnis.Dienstleistungsgeschaft
.
Kosten- und sonstiges Ergebnis
.
Spargeschaft
.
Sparbeitrage, erfolgsneutral
.
Kapitalanlage
.
Rechungszins
.
erfolgsneutral
.
Uberzins
.
Ertrag
.
Verbindl. ggu. VN
.
Verzinsliche Ansammlung
.
Deckungsruckstellung
.
Bonussystem
.
Roh
uberschuss
vor
Direktgutschrift
.
Direktgutschift
.
Pramienreduktion
.
Nettozufuhrungzur RfB
. Eigenkapital, Dividende, Steuern.
Schlussuberschuss-anteilfonds
.
gebundene RfB
.
festgelegt, noch nicht zugeteilt
.
freie RfB
.
Residualgroße
.
Zuteilu
ngim
Folgejah
r
.
Versich
erungsleistu
ngen
.
Quelle: Nach Deutsche Aktuar-Akademie, Kurs Versicherungswirtschaftslehre
215
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Aktuelles Umfeld derLV
Arten der Überschussbeteiligung
laufende Überschussbeteiligung: dem Kunden wirdwährend der Vertragslaufzeit eineÜberschussbeteiligung gewährtder Schlussüberschuss wird erst bei Ablaufgewährt – stärkerer Anreiz zum Durchhalten derVersicherungsdauerBeteiligung an Bewertungsreserven:muss auchbei Rückkauf gewährt werden (gem. §153.3 VVG).
216
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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Beteiligung an Bewertungsreserven
Mindestzuführungsverordnung sichert Beteiligungder VN an Gewinnquellenaußerbilanzielle Werte (»Bewertungsreserven«)sind davon nicht betroffenBundVerfG am 26.07.2005: VN sind am Vermögen zubeteiligen (Reserven auf Immobilien und Aktien)Stand 2013: Niedriges Zinsniveau führt zuBewertungsreserven auf Zinspapiere (2011Q1: 2,7Mrd.; 2012Q4: 87,8 Mrd.)Abfluss von Reserven (ca. 3,6 Mrd. in 2013)LVRG: Beteiligung nur noch bei Reserven oberhalbdes Sicherungsbedarfes
217
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
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Aktuelles Umfeld derLV
Sicherungsbedarf
Es soll verhindert werden, dass das VUBewertungsreserven ausschütten muss, welche zurErfüllung des Zinsversprechens benötigt werdenDazu müsste die DR des gesamten Bestandes miteinem »sicheren« Zins bestimmt werdenAber: Was heißt sicher?Tatsächlich wird für die ersten 15 Jahre ein niedrigerZins angesetzt, danach der vertraglicheRechnungszinsDer gesenkte Zins ist im LVRG der jeweiligeMonatsendstand der10-Jahres-Zerobond-Euro-Swap-Rate.Die Differenz aus dieser DR zu abgesenktem Zinsund der DR aus dem Rechnungszins ist derSicherungsbedarf
218
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Überschüsse
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Arten der Überschussgutschreibung
VerrechnungBeitragsrückerstattung (PKV)Verzinsliche Ansammlung (verzinstesKundenguthaben)Bonusleistungen
219
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Aktuelles Umfeld derLV
Bonusbaustein
.Beispiel 10.1..
......
Eine 25-jährige Person hat gegen laufenden Netto-Beitrag vonPnet = 1 903,10 e eine Kapitalversicherung abgeschlossen, diebei Erleben des 60. Geburtstags L = 100 000 e auszahlt. Nunwurde im Jahr neun nach Vertragsbeginn ein Überschuss von1 500 e zugeteilt, der zu einer Bonusleistung führt. Die Leistung,die für diesen Betrag gewährt werden kann bestimmt sich als
Lbonus · 26E34 = 1 500.
Damit ist
Lbonus = 1500 · D34
D60= 1500
639 591
421 828= 2 274,36.
220
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Deckungsrückstellung
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Aktuelles Umfeld derLV
Bonusbaustein Rentenversicherung
.Übung 10.1..
......
Eine Person hat im Alter 28 eine Rentenversicherung gegenlaufenden Beitrag abgeschlossen. Der Beitrag wird bis zumAlter 65 gezahlt, dann beginnt die Rentenzahlung, die anfangsauf 12 000 EUR vereinbart war. Dafür musste ein Beitrag von2 972,30 gezahlt werden. Durch Bonusbausteine ausÜberschüssen ist die Rentenhöhe im Alter 33 auf 12 096gestiegen. Nun werden im Alter 33 nochmals 530 EUR alsÜberschuss in Form eines Bonusbausteins zugeteilt. BestimmenSie die neue Rentenhöhe.
221
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Bonusbaustein Rentenversicherung
222
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Aktuelles Umfeld derLV
laufende Verzinsung
..1%.
2%
.
3%
.
4%
.
5%
.
6%
.
7%
.
8%
.
3.25%
.
7.22%
.2000
.
3.25%
.
7.13%
.2001
.
3.25%
.
6.20%
.2002
.
3.25%
.
4.91%
.2003
.
2.75%
.
4.50%
.2004
.
2.75%
.
4.45%
.2005
.
2.75%
.
4.29%
.2006
.
2.25%
.
4.33%
.2007
.
2.25%
.
4.44%
.2008
.
2.25%
.
4.33%
.2009
.
2.25%
.
4.20%
.2010
.
2.25%
.
4.07%
.2011
.1.75%
.3.91%
.2012
.1.75%
.3.60%
.2013
.1.75%
.3.40%
.2014
.
1.25%
.
3.15%
.2015
.
1.25%
.
2.9%
.2016
. 0.9%.
2.45%
.
2017*
.
Quelle: de.statista.com: Laufende Verzinsung der Lebensversicherer in Deutschland inden Jahren 1995 bis 2014http://www.cecu.de/ueberschussbeteiligung-lebensversicherung.html (für Werte 2015,2016).*Prognose cecu.
.
Höchstrechnungszins
.
laufende Überschussbet.
223
PVM
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RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
laufende Verzinsung (in %)
Versicherer 2012 2013 2014 2015 2016 2017Allianz Leben 4,00 3,60 3,60 3,40 3,10 2,80Alte Leipziger 3,85 3,35 3,35 3,05 3,05 2,65AXA 3,80 3,65 3,40 3,40 3,10 2,90Cosmos Direkt 4,05 3,85 3,65 3,40 3,00Debeka Leben 4,10 3,70 3,60 3,40 3,10ERGO 3,80 3,20 3,20 2,70 2,70 2,25ERGO direkt 4,00 3,80 3,40 3,20 3,20 2,75Generali 3,60 3,50 3,15 2,90 2,25HUK-Coburg 4,00 3,75 3,50 3,25 3,00R+V 3,85 3,60 3,40 3,20 3,00 2,70Stuttgarter 4,20 4,00 3,60 3,30 2,80 2,30Württembergische 3,50 3,25 3,25 3,00 2,75 2,40
Quelle: http://www.cecu.de/ueberschussbeteiligung-lebensversicherung.html
224
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Situation der Lebensversicherung
Quelle: Finanzstabilitätsbericht der Bundesbank 2015 und 2016
226
PVM
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Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Private Rentenversicherung jenseits derKlassik
Klassische LV: Keine Risiken bei Kunde, VU erledigt KA,Garantiezins zzgl. Überschüsse
Fondsgebundene LV: KA-Risiko bei Kunde, evtl. direkter Einflussauf Auswahl der KA, VU nur für Absicherung (Todesfall) undRentenphase
In der Praxis: Mischformen.
Klassik ohne Garantiezins (nur Beitragserhalt), dafür mehrÜberschuss
Fondsgebundene LV mit Garantien (begrenzte Verlusthöhe),dargestellt über Hybridprodukt oder Derivate
Fondsgebundene mit aktivem KA-Management durch Kunde(Auswahl von Fonds, Wahl zw. Fonds und festem Zins)
227
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Hybridprodukt
Mischung aus klassicher LV und fondsgebundener LVz.B. fixe Aufteilung jedes Sparanteils aufDeckungsstock mit Rechnungszins und riskanteAnlagen (Aktienfonds) mit Kursrisiko bei Kundeetvtl. zusätzliche Option die Aufteilung für dieZukunft anzupassenKapital wird aber nicht umgeschichtet, sog.statisches Hybrid
228
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Dynamisches Hybridprodukt
Kapital wird aufgeteilt zwischen Deckungsstock (mitRechungszins), riskanter Anlageform mitAbsicherung und evtl. ungesicherter AnlageformAbsicherung z.B. durch Derivate (Verkaufsoptionen)oder Fonds mit Wertgarantie (sog. Garantiefonds)Dynamische Umschichten von Kapital zwischen denversch. Anlageformen (vertragsindividuell)
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PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Dynamisches Hybridprodukt
.Beispiel 11.1..
......
Es wird ein Einmalbeitrag von 36 000 EUR gezahlt. Dieser sollmöglichst chancenorientiert angelegt werden, jedoch gibt es dieGarantie, dass die eingezahlten Beiträge in 30 Jahrenmindestens als Kapital ausgezahlt werden.Variante 1:
Bei i = 0,9% entspricht die Garantie von 36 000 in 30Jahren einem Barwert von 27 514,87
Damit könnten 8 485,13 z.B. in Aktien angelegt werden,wenn der Rest mit 0,9% verzinst würde.
230
PVM
Neusius
Einführung
Finanzmathematik
Barwerte
Versicherungs-technischeBarwerte
Rechnungsgrundlagen
Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
RechtlicheRahmenbedingungen
Geschäftsvorfälle
Überschüsse
Aktuelles Umfeld derLV
Dynamisches Hybridprodukt
.Beispiel 11.1..
......
Variante 2:
In einem Jahr müssen mindestens 27 762,51 EUR für dieGarantie vorhanden sein
Wenn der maximale Verlust des Garantiefonds pro Jahr bei 70%läge, wäre es auch möglich heute 27 707,09 in den Garantiefondszu legen und den Rest 8 292,91 zu 0,9% zu verzinsen.
Dann wäre im worst case noch
0,7 · 27 707,09 + 8 292,91 · 1,09 = 27 762,51
übrig, gerade genug für die Garantie.
Läuft es jedoch im Garantiefonds besser, so kann im Folgejahrmehr Geld in den Garantiefonds gelegt werden
Bei guten Verläufen kann evtl. sogar die ganze Garantie über denGarantiefonds gedeckt werden und weiteres Kapital inungesicherte Anlageformen fließen.
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