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VERSICHERUNGSMATHEMATIK UND TARIFIERUNG Mathematik der Lebensversicherung WS 2016/2017 Prof. Dr. Thomas Neusius Wiesbaden Business School

tneusius.comtneusius.com/DHBW/neusius_tarifierung_DHBW_2017.pdf · PVM Neusius Einführung Finanzmathematik Barwerte Versicherungs-technische Barwerte Rechnungsgrundlagen Äquivalenzprinzip&

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VERSICHERUNGSMATHEMATIK UNDTARIFIERUNGMathematik der Lebensversicherung

WS 2016/2017

Prof. Dr. Thomas NeusiusWiesbaden Business School

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Inhaltsübersicht

...1 Einführung

...2 Finanzmathematik

...3 Barwerte

...4 Versicherungstechnische Barwerte

...5 Rechnungsgrundlagen

...6 Äquivalenzprinzip & Prämienkalkulation

...7 Deckungsrückstellung

...8 Rechtliche Rahmenbedingungen

...9 Geschäftsvorfälle

...10 Überschüsse

...11 Aktuelles Umfeld der LV

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Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Lehrbücher

C. Führer und A. Grimmer: Einführung in dieLebensversicherungsmathematik. – Verlag derVersicherungswirtschaft: Karlsruhe, 22010.

Klaus D. Schmidt: Versicherungsmathematik. –Springer: Berlin, 32009.

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1. EINFÜHRUNG

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Versicherung: Elemente desGeschäftsmodells

Risikotransfer (vom Kunden zumVersicherungsunternehmen)Ausgleich im Kollektiv und in der Zeit (Gesetz dergroßen Zahlen)Sicherheitszuschlag als Ausdruck vorsichtigerKalkulation des VersicherersRisikoaversion des Kunden: Akzeptanz einer Prämie,die höher ist als der erwartete Schaden.

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Personenversicherung

Versicherungszweige der PersonenversicherungLebensversicherungPrivate KrankenversicherungKrankenzusatzversicherungen (bei Kalkulation nachArt der LV)BerufsunfähigkeitsversicherungUnfallrentenPensionskassen

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Summenversicherung

Die Lebensversicherung ist i.d.R. eineSummenversicherung, d.h., die Leistungen sind alsGeldbeträge definiert und passen sich nicht automatischder Inflation an. Dies ist anders als beiSchadenversicherungen, die die tatsächlicheSchadenshöhe begleichen, wie z.B. in derHaftpflichtversicherung.

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Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Mathematik und Versicherung?

Mathematische Anforderungen im Versicherungsbetrieb(Auswahl):

Kalkulation von PrämienKalkulation von Rückstellungen für dieRechnungslegungPrognoserechnungen zur zukünftigenErtragsentwicklung (Profit Testing)Bewertung von Risiken

Bereiche, in denen mathematische Themen anfallen(Auswahl)

ProduktentwicklungVertragsänderungenRechungswesenRisikomanagementInvestmentmanagement

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Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Mathematik und Karriere

Catherine Weinberger: The Increasing Complementarity between Cognitive and Social Skills. – Rev. Econ.

Stat. 96 (2014) 5, 849.

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Finanzmathematik

..Finanzmathematik

.

Zinsrechnung

.

Barwerte

.

Rentenrechnung

.

Versicherungs-mathematik

.

biometrischeBarwerte

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2. FINANZMATHEMATIK

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Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Finanzmathematik

Finanzmathematik befasst sich mit dem BewertenBewertet werden z.B. die Zahlungen, die durchFinanzanlagen ausgelöste werden (Anleihe:Zinszahlungen und Rückzahlung; Aktie: Dividendenund Kursstand; Immobilie: Mieteinnahmen undlaufende Kosten; usw.)Hier bewerten wir Zahlungsströme unterUnsicherheit und zu verschiednenen Zeiten

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zins: Begriffe

.

......

”Zins (von lat. census, Vermögensschätzung) ist dasEntgelt, das der Schuldner dem Gläubiger fürentliehenes Kapital zahlt.“Quelle: de.wikipedia.org, Artikel Zins am 29.07.2013 um 16:00h

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Wieso werden Zinsen gezahlt?

Entgeld für ÜberlassungInflationsausgleichRisikoprämie (Schuldner könnte zahlungsunfähigwerden)Ausgleich für GegenwartspräferenzOpportunitätskosten: Konsumverzicht desGläubigers bzw. entgangeneInvestitionsmöglichkeiten (Verzicht auf Liquidität,d.h. Ausgleich für Liquiditätspräferenz)

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsen in der Finanzmathematik

Zahlungsströme zu unterschiedlichen Zeitpunktenkönnen per se nicht verglichen werden!Die Zinsrechnung ermöglicht den Vergleichungleichzeitiger Zahlungsströme (

”time value of

money“)Annahme eines Zinssatzes ist entscheidendIm Allgemeinen: Zinssatz hängt von der Laufzeit ab(Zinsstrukturkurve)In der Versicherungsmathematik meistlaufzeitunabhängiger Zinssatz.

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Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsstrukturkurve

..

1

.

2

.

3

.

4

.

5

.

6

.

7

.

8

.

9

.

10

.

-1%

.0%.1%.

2%

.

3%

.

4%

.

5%

.

6%

.

7%

.

8%

.

9%

.

Restlaufzeit [Jahre]

.

Zins

.

31.01.1973

.

28.02.1990

.

30.12.1991

.

30.06.1995

.

03.01.2000

.

17.02.2005

.

16.01.2015

Quelle: de.wikipedia.org Artikel Zinsstruktur am 09.10.2013 um 22:20hBundesbank: Tägliche Zinsstruktur für börsennotierte Bundeswertpapiere, 17.01.2015.

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsen I

Zinssatz: ijährlicher Aufzinsungsfaktor q = 1 + i

jährlicher Abzinsungsfaktor v = 1/q = 1/(1 + i)

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsen II

.Beispiel 2.1..

......Bei einem Zinssatz von i = 8% haben 500 Euro in einem Jahreinen Wert von 500 · (1 + 0,08) = 540.

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsen II

.Beispiel 2.2..

......

Bei einem Zinssatz von i = 7,5% hat eine Zahlung von 200 Euroin einem Jahr einen heutigen Wert von

200 · 1

1 + 0,075= 186,05.

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Einfache Verzinsung

Bei einem Zinssatz von i und einer Laufzeit von t(gemessen in Jahren) ergibt sich aus einemAnfangskapitalK0 nach der Zeit t ∈ R der Betrag

Kt = K0 · (1 + t · i).

.Beispiel 2.3..

......

Ein Betrag von 300 Euro wird mit einem Zinssatz von i = 5%über t = 2,5 Jahre verzinst. Es ergibt sich danach bei einfacherVerzinsung ein Euro-Betrag von

K2,5 = 337,50.

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Geometrische Verzinsung

Nun werden zu jedem Jahrestag die Zinsen ausgezahltund in der Folge mitverzinst (sog. Zinseszins). Aus einemAnfangskapitalK0 wird dann nach n ∈ N Jahren beieinem Zinssatz von i

Kn = K0 · (1 + i)n = K0 · qn.

.Beispiel 2.4..

......

K0 = 700 Euro werden bei einem Zinssatz von 3% über zehnJahre angelegt. Es ergibt sich ein Kapital von

K10 = 940,74

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Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gemischte Verzinsung

Bei geometrische Verzinsung wurde bislang nur der Fallvon ganzjährigen Dauern betrachtet. In der Praxis werdeneinfache Verzinsung und Verzinsung häufig kombiniert,um auch angebrochene Jahre berücksichtigen zu können..Beispiel 2.5..

......

Sei zum 01.07.2009 der Betrag 500 Euro vorhanden. Dieserwerde bis zum 31.03.2013 mit i = 1,5% gemischt verzinst. DieAnlagedauer von 3,75 Jahren kann dann zerlegt werden in denganzjährigen Anteil und die am Anfang und am Endeangebrochenen Jahre. In den angebrochenen Jahren wirdjeweils einfach verzinst und der Betrag zum Jahresendegutgeschrieben.

Kt = 500(1 + 0,015 · 0,5) · (1 + 0,015)3 · (1 + 0,015 · 0,25)= 528,74

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsstaffel I

Bei der gemischten Verzinsung kann im allgemeinenauch der Zinssatz von Jahr zu Jahr variieren. Es soll nunangenommen werden, dass für jedes Jahr 1,2, ..., n eineigener Zins i1, i2, ..., in festgelegt wird. Die Entwicklungdes StartkapitalsK0 ist dann

Kn = K0 ·n∏

k=1

(1 + ik).

Angebrochene Jahre können analog zum bisherigenVorgehen berücksichtigt werden.

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsstaffel II

.Übung 2.1..

......

Ein Bundesschatzbrief (Typ B, d.h. Zinsbetrag wirdweiterverzinst) von 2008 wies folgende Verzinsung auf

Jahr i

1 3,50%2 3,75%3 4,00%4 4,25%5 4,25%

Wenn zu Beginn 10 000 Euro in diesen Schatzbrief investiertwurden, wieviel wurde Ende 2012 ausgezahlt?

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Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsstaffel III

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsstaffel IV

.Übung 2.2..

......

Auf ein Sparkonto wird am 05.12.2004 ein Betrag von 2 500 Euroeingezahlt. Am 17.02.2007 wurde das Konto aufgelöst, ohne dasin der Zwischenzeit Ein- oder Auszahlungen stattgefundenhaben. Die jeweils für ein Kalenderjahr gültige Verzinsung desKreditinstituts betrug

Jahr i

2004 2,75%2005 2,25%2006 2,50%2007 1,75%

.

Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag (vor Steuern)?

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinsstaffel V

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterjährige Verzinsung I

Bislang wurde angenommen, Zinsausschüttungen fändenstets zum Jahreswechsel statt. Es können aber auchandere Auszahlungstermine vereinbart sein. So kann zumBeispiel eine Zinszahlung pro Quartal vereinbart werden.Damit wird auf die Zinses eines abgelaufenen Quartalsbereits ab dem Folgequartal ein Zinseszins gewährt.

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterjährige Verzinsung II

.Beispiel 2.6..

......

Es ist auf einem Sparbuch quartalsweise Verzinsung vereinbart.Zum Jahresbeginn liegen dort 1 000 Euro. Dann wird bei einemNominalzins von inom = 2,00% nach einem Quartal folgenderZins gezahlt.

1 000 · 0,024

= 1 000 · 0,005 = 5.

Dieser Zinsbetrag wird direkt gezahlt und fortan mitverzinst.

Datum Betrag am [e]31.03. 1 00530.06. 1 010,0230.09. 1 015,0831.12. 1 020,15

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterjährige Verzinsung III

Allgemein ergibt sich bei n gleichmäßig über ein Jahrverteilten Zinsterminen folgende Kapitalentwicklung

Kt = K0 (1 + in)t·n .

Der Periodenzins in kann unterschiedlich festgelegt sein.

linearer Periodenzins: in = inom/n

geometrischer Periodenzins: in = n√1 + inom − 1

Hier wurde zudem angenommen, dass t ein Vielfachesder Zinsperiode 1/n ist. Angebrochene Perioden könnenwiederum mit einfacher Verzinsung berücksichtigtwerden.

Übliche Verzinsungsvereinbarungen sind halb- odervierteljährlich, monatlich oder täglich.

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterjährige Verzinsung IV

.Übung 2.3..

......

Auf einen Kredit von 10 000 werden monatlich Zinsen fällig. DerNominalzins beträgt inom = 5%, es wird ein linearerPeriodenzins angewendet. Welche Schuld ergibt sich nach zweiJahren, wenn in der Zwischenzweit keine Zins- undTilgungszahlungen geleistet werden?

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterjährige Verzinsung IV

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterjährige Verzinsung V

.Übung 2.4..

......

Berechnen Sie, wieviel Geld nach 7 Jahren und neun Monatenaus 3 500 e geworden sind, wenn jeweils zum Quartal Zinsengutgeschrieben werden und mit inom = 6% und geometrischemPeriodenzins gerechnet wird.

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterjährige Verzinsung V

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterschiede bei Verzinsung

.Übung 2.5..

......

Ein Betrag von 1 000 Euro werde über fünf Jahre verzinst miteinem Nominalzins von inom = 7%. Bestimmen Sie denEndbetrag bei folgenden verschiedenen Zinsvarianten:...1 monatliche Zinsperiode mit linearem Periodenzins...2 halbjährliche Zinsperiode mit linearem Periodenzins...3 monatliche Zinsperiode mit geometrischem Periodenzins...4 halbjährliche Zinsperiode mit geometrischem Periodenzins...5 jährliche Verzinsung mit dem Nominalzins.

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Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterschiede bei Verzinsung

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unterschiede bei Verzinsung

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Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Geometrischer Periodenzins

Die Verzinsung mit geometrischem Periodenzins führtfür alle Periodenlängen nach einem Jahr zumgleichen Kapital.

Wir verallgemeinern deswegen die geometrischeVerzinsung für beliebige Periodenlängen

Kt = K0(1 + i)t t ∈ R

Anmerkung: Im Ergebnis entspricht dies einerkontinuierlichen Verzinsung!

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Geometrischer Periodenzins: Abzinsung

Wenn giltKt = K0(1 + i)t t ∈ R,

dann ergibt sich der Barwert einer Zahlung zumZeitpunkt t als

K0 =Kt

(1 + i)t= Kt

1

(1 + i)t= Kt

(1

1 + i

)t

= Ktvt.

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3. BARWERTE

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

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Barwerte und Endwerte

Es wurde bereits erwähnt, dass die Zinsrechnung einenVergleich zwischen Geldzahlungen (cash flows) zuverschiedenen Zeitpunkten ermöglicht. Wesentlich istdazu eine Zinsannahme.

Werden eine Menge von GeldzahlungenM = {Z1, Z2, ..., Zn}, die zu unterschiedlichenZeitpunkten t1, t2, ..., tn erfolgen, mittels Zins i auf denheutigen Zeitpunkt abgezinst, so heißt die Summe dieserabgezinsten Zahlungen der Barwert der betreffendenMengeM .

Werden die Zahlungen auf den Termin der letztenZahlung tn aufgezinst, so spricht man vom Endwert derZahlungsmengeM .

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Barwert I

Der Barwert einer einzelnen Zahlung Z zum Zeitpunktt ∈ R ergibt sich mit dem Abzinsungsfaktor v zu

B = Z · 1

(1 + i)t= Z · vt.

Nun betrachten wir mehrere Zahlungen Zk mitk = 1, ..., n. Es sollen hier alle Zahlungen zu Jahrestagenstattfinden, d.h. tk ∈ R für alle k. Dann gilt für denBarwert

B =

n∑k=1

Zk · vtk .

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Barwert II

.Beispiel 3.1..

......

Es soll per Vergleich der Barwerte entschieden werden, welcheder beiden folgenden Zahlungen

”wertvoller“ ist.

tk Zk

1 4504 500

Der Barwert der beiden Zahlungen ergibt sich mit i = 10% zu

B1 = 450 · v = 409,09

B2 = 500 · v4 = 341,51.

Die Zahlung von 450 Euro in einem Jahr wäre in dieser Sichtwertvoller als die von 500 Euro in vier Jahren.

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Barwert III

.Übung 3.1..

......Berechnen Sie die Barwerte aus dem vorangegangenen Beispielfür einen Zins von i = 1%.

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rentenrechnung I

Als Rente bezeichnet man in der Finanzmathematik eineregelmäßige Zahlung. Im folgenden werdenBarwertformeln für verschiedene, gebräuchlicheRentenformen zusammengestellt.

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rentenrechnung II

.Beispiel 3.2..

......

Eine sofortbeginnende, vorschüssige Rente der Höhe 1000 injährlicher Zahlungsweise über drei Jahre besteht aus folgendenZahlungen

k tk Zk

1 0 1 0002 1 1 0003 2 1 000

sofortbeginnend: bedeutet nicht aufgeschobenvorschüssig: Rente wird am Beginn jeder Zahlungsperiodegezahltjährliche Zahlungsweise: die Zahlperiode ist ein Jahr, d.h. dieJahresrente wird in einem Betrag ausgezahlt.über drei Jahre: die Rentenzahlung endet nach drei Jahren.

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rentenrechnung III

.Beispiel 3.3..

......

Eine um vier Jahre aufgeschobene, nachschüssige Rente der Höhe4 000 in halbjährlicher Zahlungsweise über zwei Jahre besteht ausfolgenden Zahlungen

k tk Zk

1 4,5 2 000

2 5 2 000

3 5,5 2 000

4 6 2 000

aufgeschoben: Rente beginnt erst in der Zukunftnachschüssig: Rente wird am Ende jeder Zahlungsperiodegezahlthalbjährliche Zahlungsweise: die Zahlperiode ist ein Halbjahr,d.h. die Jahresrente wird in zwei Beträgen ausgezahlt.über zwei Jahre: wie oben.

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Rechnungsgrundlagen

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Notation

Für finanzmathematische Barwerte hat sich einestandardisierte Notation durchgesetzt:

Grundsymbol: der Buchstabe a für Annuität/engl.annuity.vorschüssige Rente: zwei Punkte gekennzeichnet, a.nachschüssig: keine besondere Kennzeichnungbefristete Rente über n Jahre: an|.

Zahlweise k (falls nicht jährlich): a(k)n| .

Rente umm Jahre aufgeschoben: m|a(k)n| .

47

PVM

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Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Vorschüssige Rente

Eine sofortbeginnende, vorschüssige Rente über n Jahremit jährlicher Zahlweise der Höhe eins hat folgendenBarwert

an| = 1 + 1 · v + 1 · v2 + ...+ 1 · vn−1

= v0 + v1 + v2 + ...+ vn−1

=n−1∑k=0

vk

=1− vn

1− v.

48

PVM

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Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Geometrische Reihe I

In der Herleitung des Barwerts an| wurde im letztenSchritt eine Formel benutzt, die hier kurz erläutertwerden soll.Eine Zahlenfolge (hier mit n Gliedern) der Form

1, v, v2, v3, ..., vn−1

wird geometrische Folge genannt: je zweiaufeinanderfolgende Glieder haben das gleiche Verhältniszueinander. Die Summe über eine geometrische Folgemit n Gliedern läßt sich folgendermaßen schreiben

n−1∑k=0

vk = 1 + v + v2 + ...+ vn−1.

49

PVM

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Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Geometrische Reihe II

Dies kann man umformen, indem auf beiden Seiten der Gleichung mit(1− v)mutlipliziert wird

(1− v)

n−1∑k=0

vk = (1− v)(1 + v + v2 + ...+ vn−1)

= (1 + v + v2 + ...+ vn−1)−

v(1 + v + v2 + ...+ vn−1)

= 1 + v + v2 + ...+ vn−1 − v − v2 − ...− vn

= 1− vn.

Daraus läßt sich die gesuchte Formel ableiten

n−1∑k=0

vk =1− vn

1− v.

50

PVM

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Finanzmathematik

Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Geometrische Reihe III

Diese gilt für beliebige Werte von v ∈ R und n ∈ N.

Eine unendliche geometrische Folge kann auch summiertwerden. Man spricht dann von einer geometrischen Reihe.

Es ist direkt aus der Formel für die endliche Summeersichtlich, dass für v < 1 gilt

∞∑k=0

vk = limn→∞

n−1∑k=0

vk =1

1− v.

Für v ≥ 1 ist die geometrische Reihe divergent, d.h., siebesitzt kein endliches Ergebnis.

51

PVM

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Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Vorschüssige Rente II

.Übung 3.2..

......

Einer in den vorzeitigen Ruhestand entlassenen Staatsekretärinwerden für drei Jahre (vorschüssig) jährliche Abfindungen vonL = 60 000 Euro gezahlt. Wie hoch ist der Barwert dieserZusage bei einem Zins von i = 3,5%?

52

PVM

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Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Vorschüssige, aufgeschobene Rente

Mit der bekannten Formel für die sofortbeginnendeRente, lässt sich auch die Formel der umm Jahreaufgeschobenen, vorschüssigen Rente bestimmen:

m|an| = an+m| − am|

=1− vn+m

1− v− 1− vm

1− v

= vm1− vn

1− v.

53

PVM

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Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Aufgeschobene Rente

.Übung 3.3..

......

Ein auf fünf Jahre befristeter Arbeitsvertrag einer Tropenärztinsieht vor, dass nach der Rückkehr ins Heimatland für zwei Jahreeine Rente von jährlich L = 24 000 Euro gezahlt wird.Wie hoch ist der Barwert dieser Zusage bei Vertragsbeginnwenn ein Zinssatz von i = 4% zugrunde gelegt wird?

54

PVM

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kredit

.Beispiel 3.4..

......

Ein Immobilienkredit über 350 000 Euro soll über nachschüssigeQuartalsraten während einer 20-jährigen Tilgungsphasevollständig zurückgezahlt werden. Der Zins betrage i = 6%.Die Bank erbringt gegenüber dem Schuldner eine einmaligeLeistung durch auszahlen der Kreditsumme. Der Barwert dieserLeistung beträgt 350 000 Euro, da die Summe sofort ausgezahltwird.Der Schuldner verpflichtet sich als Gegenleistung zur Zahlungder insgesamt 80 Quartalsraten. Diese Zahlungsverpflichtungwird von der Bank mit ihrem Barwert bewertet.

55

PVM

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kredit

.Beispiel 3.4..

......

Der Barwert der Ratenzahlung der Quartalsrate der Höhe R4

beträgt über 20 Jahre nachschüssig

4 ·R4 · a(4)20|

Die Quartalsrate wird nun so bestimmt, dass der Barwert derLeistung des Schuldners dem Barwert der Leistung desGläubigers (d.h. der Bank) entspricht:

350 000!= 4 ·R4 · a(4)20|

Daraus lässt sich die Quartalsrate bestimmen

R4 =350 000

4 · a(4)20|

= 7 462,78.

56

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kredit

.Übung 3.4..

......

Ein Kredit über 280 000 Euro soll über nachschüssigeMonatsraten innerhalb von 15 Jahren vollständig getilgtwerden. Der Zins betrage i = 2,7%. Bestimmen Sie die Höhe derMonatrate.

57

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kredit

58

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Restschuld

.Beispiel 3.5..

......

Der Kredit über 350 000 Euro soll nach sechs Jahren vorzeitigaufgelöst werden. Wie groß ist die Restschuld, also der Betrag,den der Kunde der Bank noch schuldet, wenn die Zinsen undseine geleisteten Raten berücksichtigt werden?Dazu wird ermittelt, welchen Wert die nach fünf Jahren nochausstehenden Ratenzahlungen haben. Wenn sechs Jahre seitAuszahlung der Kreditsumme vergangen sind, so schuldet derKunde der Bank weitere 14 Jahre mit quartalsweisenachschüssigen Raten.

59

PVM

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Restschuld

.Beispiel 3.5..

......

Der Barwert dieser noch ausstehenden Raten bestimmt sich als

4 ·R4 · a(4)14 = 4 ·R4 · 9,501582= 283 632,90

60

PVM

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Restschuld

.Übung 3.5..

......

Ein Kredit über 450 000 soll über 30 Jahre bei einem Zins voni = 3,25% durch halbjährlich nachschüssige Raten vollständiggetilgt werden....1 Bestimmen Sie die Halbjahresrate....2 Bestimmen Sie die Restschuld nach zwölf Jahren.

61

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Restschuld

62

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kapitalmarktschaden

.Übung 3.6..

......

In der Praxis: vorzeitige Auflösung des Darlehensvertrages nurmit Ausgleichszahlung.

Wieso verlangt eine Bank einen Ausgleich für dieKündigung?

Welche Größen spielen eine Rolle für die Bewertung?

63

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kapitalmarktschaden

64

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Restschuld & Kapitalmarktschaden

Restschuld als Zeitwert der noch offenen ZahlungenKapitalmarktschaden als Zeitwertdifferenz dernoch ausstehenden Rückzahlungen

65

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kreditvertrag

.Übung 3.7..

......

Ein Hauskredit besteht aus der einmaligen Auszahlung von350000 e am Vertragsbeginn. Die Schuld soll über monatlichnachschüssige Raten innerhalb von 25 Jahren vollständigzurückgezahlt werden. Der Zins betrage i = 5,9%....1 Wie hoch ist die Monatsrate?...2 Wie hoch ist die Restschuld nach 17 Jahren?...3 Welche Vorfälligkeitsentschädigung ergibt sich bei einemMarktzins von 2,7%, wenn der Vertrag nach 17 Jahrenvorzeitig aufgelöst werden soll?

66

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kreditvertrag

67

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kreditvertrag

68

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kreditvertrag

69

4. VERSICHERUNGSTECHNISCHEBARWERTE

PVM

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Wieso Wahrscheinlichkeiten?

Bisher: Sichere Zahlungen wurden bewertetVersicherung: Zahlungen hängen von zukünftigenEreignissen ab, die nicht mit Sicherheit eintreten.Deswegen nötig: Quantifizierung der Unsicherheit(Risiko)Bewertung dieser Zahlungen auf Basis derWahrscheinlichkeiten

71

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterberwahrscheinlichkeit

in der Versicherungsmathematik zentral:Sterbewahrscheinlichkeit

72

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbetafeln

Sterbetafel: demografisches Modell zurVerdeutlichung der Sterblichkeit unab. von Größeder betrachteten Bevölkerung und AlterstrukturSterbetafel zeigt statistische Werte zumSterblichkeitsgeschehen in Abhängigkeit von Alterund GeschlechtGrundlage von demografischen Berechnungen, insb.BevölkerungsprognosenWichtige Planungsgrundlage, z.B. im Gesundheits-und PflegesektorUrsprünge im Bereich der Versicherungsmathematik(17. Jh.)

73

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Einjährige Sterbewahrscheinlichkeit

Der Tod ist ein zufälliger Zeitpunkt, den wir hier in Jahren vonder Geburt aus messen (Sterbealter).

Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines Jahres zu sterben, wennman das Alter x bereits erreicht hat, wird in einer Sterbetafelals qx bezeichnet. Manchmal wird parallel qy verwendet, dannsteht qy für die Sterbewahrscheinlichkeit von Frauen und qx fürdie von Männern

Hier soll sowohl das Alter als auch der Todeszeitpunkt nur inganzjährigen Schritten beschrieben werden.

Die qx sind die Ausgangsbasis in einer Sterbetafel, aus denenalle anderen Größen abgeleitet werden.

74

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Barwerte

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Überlebenswahrscheinlichkeit

Die einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit ist definiert als

px = 1− qx.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine x-jährige Person, mindestensdas Alter x+ z erreicht, lautet

zpx := px · px+1 · ... · px+z−1

75

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Barwerte

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbetafel: Notation

lx: Zahl der im Alter x noch Lebendendx: Zahl der im Alter x Verstorbenenqx: einjährige Sterbe-WK des x-jährigenpx = 1− qx: einjährige Überlebens-WK desx-jährigennpx: n-jährige Überlebens-WK des x-jährigen

Es gilt

dx = lx − lx+1 qx =dxlx

px =lx+1

lx

Damit folgt

npx =

n−1∏k=0

px+k =

n−1∏k=0

lx+k+1

lx+k=

lx+n

lx

76

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Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Überlebenskurve

Wenn man annimmt, eine Gruppe von 100 000Neugeborenen hätte eine Sterblichkeit im Laufeihres Lebens, die exakt der Sterbetafel entspricht.Dann würden im Alter x exakt der Anteil qxversterben und px das Alter x+ 1 erreichen.Die Zahl derjenigen in dieser Geburtskohorte, die imAlter x noch leben, wird als lx bezeichnet.Damit ist lx+1 = lxpx für alle x. Da die Altersstufenx = 0, 1, 2, ..., handelt es sich um eine Folge.Es ist

px =lx+1

lxkpx =

lx+k

lx

77

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rektangularisierung

Quelle: Eisenmenger & Emmerling: Amtliche Sterbetafeln. Statistisches Bundesamt, Wirtschaft undStatistik, März 2011, S. 232

78

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Lebenserwartung bei Geburt

Wir gehen hier davon aus, dass sich die Todeszeitpunkteinnerhalb einer Alterstufe gleichmäßig verteilen.Näherungsweise sterben damit Personen des Alters k imAlter k + 1/2.

e0 = E(T ) =∞∑k=0

(k +

1

2

)qk kp0

=∞∑k=0

(k +

1

2

)lk − lk+1

lk

lkl0

=1

l0

∞∑k=1

lk +1

2

79

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Restlebenserwartung

Nun kann der Erwartungswert, der verbleibenden Lebenszeit imAlter y berechnet werden.

Der Erwartungswert dieser verbleibenden Lebenszeit heißtauch fernere Lebenserwartung, ey .

ey =

∞∑k=0

(k +

1

2

)qy+k kpy

=∞∑

k=0

(k +

1

2

)ly+k − ly+k+1

ly+k

ly+k

ly

=1

ly

∞∑k=y+1

lk +1

2

Der Erwartungswert des Sterbealters, E(T |T ≥ y), ist gegebenals

E(T |T ≥ y) = ey + y

80

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Wüstenspringmaus

.Beispiel 4.1..

......

Bei einer speziellen Wüstenspringmaus habe sich folgendeSterblichkeit in langen Beobachtungen statistisch ermittelnlassen

x qx lx0 0,051 0,102 0,203 0,304 0,405 0,506 1,00

81

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Wüstenspringmaus

.Beispiel 4.1..

......

Bei einer speziellen Wüstenspringmaus habe sich folgendeSterblichkeit in langen Beobachtungen statistisch ermittelnlassen

x qx lx

0 0,05 100 0001 0,10 95 0002 0,20 85 5003 0,30 68 4004 0,40 47 8805 0,50 28 7286 1,00 14 364

82

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Wüstenspringmaus

.Beispiel 4.1..

......

Die Lebenserwartung einer neugeborenen Wüstenspringmausliegt bei

e0 =1

l0

6∑k=1

lk +1

2= 3,90.

83

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Südseefisch

.Übung 4.1..

......

Die Sterblichkeit eines Südseefisches entspreche der folgendenTabelle. Berechnen Sie die Überlebenskurve und dieLebenserwartung von neugeborenen Südseefischen und vondrei-jährigen Südseefischen.

x qx lx

0 0,051 0,082 0,123 0,194 0,275 0,396 0,477 1,00

84

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Südseefisch

85

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbestatistik

Erstellung von SterbetafelnErhebung von Rohdaten (z.B. ausRentenversicherung)Glättung und Trendanalyse⇒Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung (

”realistisches

Bild“)Sicherheitszuschläge⇒ Rechnungsgrundlagen 1.Ordnung (werden zur Kalkulation verwendet)

Unterschiedliche Sterbetafeln für Versicherungen mitTodesfallcharakter und Erlebensfallcharakter.

86

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbetafel

UnterscheidungsmerkmaleAlterGeburtsjahrgangRaucher/Nichtraucherbesondere Risiken, Vorerkrankungen etc.Geschlecht [ABER: in der Prämienkalkulation seit21.12.2012 unzulässig]

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Erlebensfallleistung

.Beispiel 4.2..

......

Eine Versicherung verspricht bei Erreichen des 65. Geburtstageseine Zahlung von 100000 e. Wenn die heute 30-jährige Personzuvor verstirbt, sollen den Angehörigen in 35 Jahren nur 20 000e gezahlt werden. Welchen Barwert besitzt diese Zahlung?

Um die Frage zu beantworten, werden zwei weitere Angabenbenötigt:

Zins i

Wahrscheinlichkeit 35p30, den 65. Geburtstag zu erreichen.

Der Barwert für die beiden Fälle ist gegeben als

BWfin =

{100 000 · v35 bei Erleben20 000 · v35 sonst

88

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Erlebensfallleistung

.Beispiel 4.3..

......

Der versicherungstechnische Barwert für dasZahlungsversprechen muss im Vorhinein bestimmbar sein. Eswird als Erwartungswert der beiden finanzmathematischenBarwerte definiert

BWvt = E(BWfin) =35 p30 ·100 000v35+(1−35 p30) ·20 000v35

Bei einem Zins von i = 0,9% und einerÜberlebenswahrscheinlichkeit von 35p30 = 72% ergäbe sich

BWvt = 0,72 · 100 000 · v35 + 0,28 · 20 000 · v35 = 56 711,47

89

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RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Todesfallleistung

.Beispiel 4.4..

......

Eine Risikolebensversicherung zahle 50000 e bei Tod(nachschüssig am Ende des Sterbejahres). Wie groß ist derBarwert für eine 65-jährige Person?

A65 = 50 000(q65 · v + 1p65 · q66 · v2 + 2p65q67 · v3 + ...)

= 50 000∞∑k=0

kp65 · q65+k · vk+1

= 50 000

∞∑k=0

l65+k

l65

d65+k

l65+kvk+1

= 50 000∞∑k=0

d65+k

l65vk+1

90

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Barwerte

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kommutationswerte

Kommutationswerte erlauben die schnelle Berechungvon Barwertausdrücken. Sie leiten sich aus denSterbetafeln und dem Zins her und liegen in der Praxis intabellierter Form vor.

Dx = vxlx (”abgezinste Lebende“)Cx = vx+1dx (”abgezinste Tote“)

Nx =

∞∑k=0

Dx+k (”summierte abgezinste Lebende“)

Mx =

∞∑k=0

Cx+k (”summierte abgezinste Tote“)

91

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Barwerte

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Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Risikolebensversicherung I

Der Barwertfaktor der sofortbeginnenden,nachschüssigen Todesfallleistung der Höhe einsberechnet sich nun für die x-jährige Person als

Ax =1

lx

∞∑k=0

dx+kvk+1

=1

lxvx

∞∑k=0

dx+kvx+k+1

=1

Dx

∞∑k=0

Cx+k

=Mx

Dx

92

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbegeld

.Übung 4.2..

......

Eine heute 25-jährige Person möchte, dass im Todesfall eineLeistung von 10000 e ausgezahlt wird (sog.Sterbegeldversicherung). Wie hoch ist der Barwert dieserVersicherung bei einem Zinssatz von i = 0,9% und Verwendungder Sterbetafel 2008T für Männer?

93

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbegeld

94

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbegeld

95

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbetafel, Zins und Geschlecht

Um das Rechnen mit den Sterbetafeln nicht unnötig zuerschweren, wird hier und im folgenden stets gerechnetmit

Sterbetafel DAV 2008TMännerspalte [im Text steht neutral

”x-jährige

Person“]Zins i = 0,9% (derzeit gültiger HRZ)

Dies ist in der Praxis nicht richtig:Es muss fallweise zwischen Sterbetafel mitTodesfallcharakter (Risikolebensversicherung) undErlebensfallcharakter (Rentenversicherung) gewähltwerdenEs muss eine passende Geschlechtermischungunterstellt werden

96

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Risikolebensversicherung II

Der Barwertfaktor der sofortbeginnenden,nachschüssigen Todesfallleistung der Höhe eins, die beiTod bis zum Alter x+ n gezahlt wird, berechnet sich nunfür die x-jährige Person als

|nAx =1

lx

n−1∑k=0

dx+k · vk+1

=1

lxvx

n−1∑k=0

dx+k · vx+k+1

=1

Dx

n−1∑k=0

Cx+k

=Mx −Mx+n

Dx

97

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Leistungsbarwert: Risikoleben

.Übung 4.3..

......

Eine heute 35-jährige Person möchte ihre Hinterbliebenen fürden Fall absichern, dass sie vor dem 65. Geburtstag stirbt. Essoll dann 1 mio. e gezahlt werden. Wie hoch ist der Barwert(gem. Konvention: DAV 2008T, männl., i = 0,9%)?

98

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Leistungsbarwert: Risikoleben

99

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Erlebensfallleistung

Der Barwertfaktor der Erlebensfallleistung der Höhe ein,die der heute x-jährigen Person in n Jahren gezahlt wird,ist

nEx =n px · vn

=lx+n

lx· vn

=lx+nv

x+n

lxvx

=Dx+n

Dx

100

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Erlebensfallleistung

.Übung 4.4..

......

Die Leistung einer kapitalbildenden Versicherung sehe vor, dasseiner heute 27-jährigen Person im Alter von 67 Jahren beiErleben eine Summe von 50000 e gezahlt wird [d.h.: bei Todvor dem 67. Geburtstag wird keine Leistung gezahlt]. Wie hochist der Barwert dieser Leistung unter den üblichen Annahmen[gem. Konvention: DAV 2008T, männl., i = 0,9%].

101

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Erlebensfallleistung

102

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sofortbeginnende, vorschüssige Leibrente

Barwertfaktor der soforbeginnenden, jährlichenLeibrente der Höhe eins für eine x-jährige Person

ax = 1 + 1px · v + 2px · v2 + 3px · v3 + ...

=∞∑k=0

kpx · vk

=1

lx

∞∑k=0

lx+kvk

=1

lxvx

∞∑k=0

lx+kvx+k

=1

Dx

∞∑k=0

Dx+k

=Nx

Dx 103

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sofortbeginnende Leibrente

.Übung 4.5..

......

Eine heute 65-jährige Person soll ab sofort (und lebenslang)eine vorschüssige jährliche Rente von 3 000 e erhalten. Wiehoch ist der Barwert dieser Rentenzahlung?

104

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sofortbeginnende Leibrente

105

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Aufgeschobene, vorschüssige Leibrente

Barwertfaktor der um n Jahre aufgeschobenen, jährlichen Leibrenteder Höhe eins für eine x-jährige Person

n|ax = npx · vn + n+1px · vn+1 + n+2px · vn+2 + ...

=∞∑

k=0

n+kpx · vn+k

=1

lx

∞∑k=0

lx+n+kvn+k

=1

lxvx

∞∑k=0

lx+n+kvx+n+k

=1

Dx

∞∑k=0

Dx+n+k

=Nx+n

Dx

106

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Aufgeschobene Rente

.Übung 4.6..

......

Eine heute 22-jährige Person will eine monatliche, vorschüssigeRente ab dem Alter 65 vereinbaren der Höhe 1 000 evereinbaren. Dabei soll hier so getan werden, als würdevorschüssig die volle Summe von jährlich 12 000 e gezahlt. Wiegroß ist der Barwert?

107

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Aufgeschobene Rente

108

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Aufgeschobene, vorschüssige Leibrenteüber m Jahre

Barwertfaktor der um n Jahre aufgeschobenen,jährlichen Leibrente der Höhe eins für eine x-jährigePerson, die maximalm Jahre gezahlt wird

n|ax,m| =n| ax − n+m|ax

=Nx+n

Dx− Nx+m+n

Dx

=Nx+n −Nx+m+n

Dx.

109

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sofortbeginnende, vorschüssige Leibrenteüber m Jahre

Der Barwertfaktor der sofortbeginnenden, jährlichenLeibrente der Höhe eins für eine x-jährige Person, diemaximalm Jahre gezahlt wird, ergibt sich als Grenzfallfür n = 0.

ax,m| = 0|ax,m|

=Nx −Nx+m

Dx.

110

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsbarwert

.Übung 4.7..

......

Eine heute 29-jährige Person vereinbart die Zahlung vonBeiträgen von jährlich vorschüssig 1 200 e bis zum Alter 60. Beivorzeitigem Tod besteht keine Zahlungsverpflichtung. Wie hochist der Barwert dieser Beitragszusage?

111

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsbarwert

112

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nachschüssige Leibrenten

Barwertfaktor der soforbeginnenden, nachschüssigen, jährlichenLeibrente der Höhe eins für eine x-jährige Person

ax = 1px · v + 2px · v2 + 3px · v3 + ...

=∞∑

k=1

kpx · vk =∞∑

k=0

k+1px · v1+k

=1

lx

∞∑k=0

lx+1+kv1+k

=1

lxvx

∞∑k=0

lx+1+kvx+1+k

=1

Dx

∞∑k=0

Dx+1+k =Nx+1

Dx

= 1|ax

In analoger Weise können sämtliche Barwertfaktoren fürnachschüssige Renten hergeleitet werden.

113

5. RECHNUNGSGRUNDLAGEN

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rechnungsgrundlagen in derLebensversicherung

Rechnungszinsbiometrische Rechnungsgrundlagen, insb.Ausscheideordnungen (Sterbetafeln,Invaliditätstafeln)KostensätzeGeschlechtermischung

Unterscheidung: RGL 1. Ordung kommen in Kalkulationzur Anwendung, RGL 2. Ordung werden als besterSchätzer (Best Estimate) für Prognoserechnungenverwendet.

115

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rechnungszins

Höchstrechnungszins (HRZ): Gesetzlichfestgelegter Höchstzins für bilanzielleDeckungsrückstellungenDamit Prämie dazu passt: i.d.R.:Höchstrechnungszins = Zins in der Tarifierung (sog.»Garantiezins«, vgl. §138.1 VAG)HRZ wird von Bundesfinanzministerium in derDeckRV festgesetzt (gem. §88.3 VAG)Soll kleiner 60% des Referenzzinses seinReferenzzins: 10-jähriges Mittel derJahresmittelwerte aus den Monatsendständen derNull-Kupon-Euro-Swapsätze mit 10jährigerRestlaufzeit. (§5.3 DeckRV)Seit 01.01.2017 HRZ: i = 0,9%

116

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gesetzlicher Höchstrechnungszins

..

1989

.

1990

.

1991

.

1992

.

1993

.

1994

.

1995

.

1996

.

1997

.

1998

.

1999

.

2000

.

2001

.

2002

.

2003

.

2004

.

2005

.2006

.2007

.2008

.2009

.

2010

.

2011

.

2012

.

2013

.

2014

.

2015

.

2016

.

2017

.

2018

.0.25% .0.50%

.

0.75%

.

1.00%

.

1.25%

.

1.50%

.

1.75%

.

2.00%

.

2.25%

.

2.50%

.

2.75%

.

3.00%

.

3.25%

.

3.50%

.

3.75%

.

4.00%

.

4.25%

.

4.50%

.

3.50%

.

seit07.86

.

4.00%

.

01.07.94

.

3.25%

.

01.07.00

.

2.75%

.

01.01.04

.

2.25%

.01.01.07

.

1.75%

.

01.01.12

.

1.25%

.

01.01.15

.

0.90%

.

01.01.17

117

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbetafeln I

Zur Erstellung und Merkmalen siehe Folie 86f.

Sterbetafeln auf Basis der eigenen KundendatenoderStandard-Sterbetafeln von der DeutschenAktuarvereinigung (DAV)aktuell: DAV 2008T (mit Todesfallcharakter) undDAV 2004R (mit Rentenfallcharakter undTrendfortschreibung)

118

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbetafeln II

Quelle: Stat. Bundesamt. Sterbetafel 2012/2014

119

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sterbetafeln II

Quelle: Stat. Bundesamt. Sterbetafel 2012/2014

120

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückversicherung in der LV

Ziel des Versicherungsunternehmens: homogenerBestand.Problem: einzelne Großrisiken, Korrelationen.

Rückversicherung (RV) kann helfen:Maximierung der Zeichnungskapazität, Erhaltungder LiquiditätMinimierung der benötigten SolvenzmittelVerringerung der Ruinwahrscheinlichkeit

Rückversicherung bietet:Quoten-RV: Beteiligung des RV proportional amSchadenSummen-Exzedenten-RV: RV trägt komplettenSchaden oberhalb einer bestimmten GrenzeFinancial Reinsurance: Absicherung gegenLiquiditätsrisikenErfahrung und Beratung bei Bewertung von Risiken 121

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Kosten

α-Kosten: einmalige Abschlusskosten fürProduktentwicklung, Beratung, Risikoprüfung,Provision etc.αβ-Kosten: laufende Abschlusskosten (da einmaligeAbschlusskosten häufig nicht deckend)β-Kosten: Inkassokosten, Verwaltungskostenγ-Kosten: laufende Verwaltungskosten in derRentenphaseStückkosten (konstanter Kostenteil, laufend, abernicht abh. von Beitragshöhe)Ratenzuschläge für unterjährige Zahlweise beijährlicher KalkulationKosten für Beteiligung am Sicherungsvermögen inder FRVFondsgebühren

122

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unisex-Kalkulation

Quelle: Berücksichtigung des Geschlechts als Faktor der Risikobewertung bei der Kalkulation vonLebensversicherungstarifen, Ausarbeitung DAV, 2008

123

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Unisex-Kalkulation

EuGH verlangt seit 21.12.2012geschlechtsunabhängige Prämienkeine Unisex-Tafelnkeine Bisex-Kalkulation der DRstattdessen: Geschlechtermix als RGL,VU-individuellAchtung: Geschlechtermix nicht statisch(Entmischung, Nachfrage, Wahrnehmung vonOptionen)

124

6. ÄQUIVALENZPRINZIP &PRÄMIENKALKULATION

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Leistungsbarwert (LBW)

In der Prämienkalkulation empfängt der Kundebestimmte Leistungen.

Leistungszusage: Todesfallleistung, LeibrenteOptionen: Rückkaufwert, KapitalwahlrechtBeratung durch Vertreter/Online-Auftritt, zu zahlenbei Abschlusslaufende Betreuung, Service-Center etc.

126

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsbarwert (BBW)

Als Gegenwert zur Leistung verpflichtet sich der Kundezur Zahlung einer Prämie

Einmalbeitrag (EB)laufende Beitragszahlung (meist mtl. od. jrl.vorschüssig)Prämie deckt die Leistungenenthält die laufenden Kosten

127

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Äquivalenzprinzip

Zentral zur Prämienfestlegung ist:

Der Leistungsbarwert ist gleich dem Beitragsbarwert

LBW = BBW.

Die Prämie muss nun so bestimmt werden, dass dieseGleichung erfüllt ist.

128

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

Prämie nur auf Basis der versicherungstechnischenLeistungenkeinerlei Kosten berücksichtigtman spricht von Nettoprämie, Pnet

entspricht dem Anteil, der nur für dieVersicherungsleistung erforderlich ist

129

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie: Risikoleben gg. EB

.Beispiel 6.1..

......

Eine 40-jährige Person wünscht eine Risikolebensversicherung, die beiTod vor dem 70. Geburtstag L = 150000 e an die Hinterbliebenenzahlt. Welcher Nettoeinmalbeitrag wird dafür fällig? [DAV 2008T (m),i = 0,9%]

Da der EB einen Barwertfaktor von eins hat, ist der Leistungsbarwertgleich der Netto-Prämie, also

LBW!= BBW = EB

Man berechnet

LBW = L · |30A40

= L · M40 −M70

D40

= 150 000490 313− 353 266

677 791

= 30 329,48.130

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

.Beispiel 6.2..

......

Eine 25-jährige Person möchte gerne gegen laufenden Beitrageine Kapitalversicherung abschließen, die bei Erleben des 60.Geburtstags L = 100000 e auszahlt. Wie hoch ist dieNettoprämie?Die Äquivalenzgleichung lautet

LBW!= BBW = Pnet · a25;35|.

Barwertfaktor für den Beitrag

a25;35| =N25 −N60

D25= 29,481818

131

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

.Beispiel 6.2..

......

Der Leistungsbarwert ist

LBW = L ·35 E25 = L · D60

D25

= 100 000519 239

785 458= 66 106,53.

Es ergibt sich eine Nettoprämie von

Pnet =LBW

a25;35|=

66 106,53

29,481818= 2 242,28.

132

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

.Übung 6.1..

......

Eine 35-jährige Person will eine Rente ab dem Alter 67 von L =18 000 e jährlich abschließen. Der Beitrag ist ein Einmalbeitrag.Wie hoch ist der Netto-EB?

133

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

134

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

.Übung 6.2..

......

Eine 20-jährige Person will eine Rentenversicherungabschließen: Eine vorschüssige Leibrente von jährlich L =6000 e soll ab dem Alter 65 gezahlt werden. Bis zum Alter 60soll ein laufender Beitrag entrichtet werden. Wie hoch ist dieNettoprämie? [DAV 2008T (m), i = 0,9%]

135

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

136

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettoprämie

137

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie

Prämie unter Einschluss aller Kostenman spricht von Bruttoprämie, Bder Betrag, der vom VN verlangt wird (Ausnahme:Verrechnung⇒ siehe Überschussbeteiligung)

138

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Sterbegeld

.Beispiel 6.3..

......

Eine 42-jährige Person möchte eine Sterbegeldversicherungabschließen. Diese zahlt L = 15 000 e im Todesfall. Der Beitragsoll als Einmalbeitrag erbracht werden. Es fallen α = 3%Abschlussgebühr (bezogen auf die Todesfallleistung) an undβ = 2% Verwaltungskosten (bezogen auf den EB). Wie hoch istdie Bruttoprämie?

139

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Sterbegeld

.Beispiel 6.3..

......

Der Netto-Leistungsbarwert ist

LBWnet = L ·A42

= LM42

D42

= 15 000 · 488 477

663 925= 11 036,12

Dieser Leistungsbarwert entspricht gleichzeitig derNettoprämie, da es sich hier um einen EB handelt.Der Leistungsbarwert mit Kosten ist

LBW brut = LBWnet + α · L+ β · P brut.

140

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Sterbegeld

.Beispiel 6.3..

......

Der Beitragsbarwert besteht aus der Bruttoprämie (bei EB,sonst Bruttoprämie mal Beitragsbarwertfaktor), also

BBW brut = P brut

Die Äquivalenzgleichung lautet

P brut != LBWnet + α · L+ β · P brut.

141

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Sterbegeld

.Beispiel 6.3..

......

Damit ist die Bruttoprämie

P brut =LBWnet + α · L

1− β

=11 036,12 + 0,03 · 15 000

1− 0,02

= 11 720,53

142

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag

.Beispiel 6.4..

......

Eine 37-jährige Person möchte eine vorschüssigeRentenversicherung über L = 12 000 e jährlich ab Alter 65abschließen. Der Beitrag P brut soll laufend, vorschüssig überdie 28 Jahre Aufschubzeit gezahlt werden. Es fallenAbschlusskosten von α = 2,5% der Beitragssumme, β = 1,5%laufende Verwaltungskosten, γ = 0,5% Verwaltungskosten aufdie Rente und während der Aufschubzeit 24 e Stückkostenjährlich an. Wie hoch ist die Bruttoprämie?

143

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag

.Beispiel 6.4..

......

Die Äquivalenzgleichung einschließlich Kosten kann nunaufgestellt werden

P brut · a37;28| =L · (1 + γ) · 28|a37 + α · 28 · P brut+

+ βP brut · a37;28| + 24 · a37;28|.

Der Netto-Leistungsbarwert ist

LBWnet = L · 28|a37

= LN65

D37

= 12 000 · 6 382 366

698 537= 109 641,14

144

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag

.Beispiel 6.4..

......

Der Barwertfaktor für die Beitragszahlung ist

a37;28| =N37 −N65

D37

=23 093 047− 6 382 366

698 537= 23,922399.

145

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Rentenversicherung gg. lfd.Beitrag

.Beispiel 6.4..

......

Man löst die Äquivalenzgleichung nach P brut auf:

P brut =LBWnet · (1 + γ) + 24 · a37;28|

(1− β) · a37;28| − α · 28

=109 641,14 · (1 + 0,005) + 24 · 23,922399

(1− 0,015) · 23,922399− 0,025 · 28= 4 844,54

146

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie Risikoleben gg. lfd. Beitrag

.Übung 6.3..

......

Eine 30-jährige Person will eine Risikolebensversicherung gegenlaufenden Beitrag bis zum Alter 62 abschließen. Es sollen imTodesfall L = 50000 e gezahlt werden. An Kosten werdenα = 2,5% (bezogen auf L) und laufende Verwaltungskosten vonβ = 2% der Bruttoprämie fällig. Stellen Sie dieÄquivalenzgleichung auf und berechnen Sie die Bruttoprämie.

147

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie Risikoleben gg. lfd. Beitrag

148

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie Risikoleben gg. lfd. Beitrag

149

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Rentenversicherung

.Übung 6.4..

......

Eine 23-jährige Person schließt eine Rentenversicherung ab, dieab dem Alter 70 eine jährlich vorschüssige Leibrente von L =24000 e zahlt. Der laufende Beitrag (bis Alter 70) enthältβ = 1,25% Verwaltungskosten und α = 2% Abschlusskosten(bezogen auf die Beitragssumme). Stellen Sie dieÄquivalenzgleichung auf und berechnen Sie die Prämie.

150

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Rentenversicherung

151

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bruttoprämie: Rentenversicherung

152

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

gezillmerte Prämie

Prämie auf Basis von versicherungstechnischenLeistungen zzgl. einmalige Abschlusskosten (Kostendie im sog. Zillmerverfahren abgerechnet werden,also bei Vertragsabschluss fällig sind)man spricht von der sog. gezillmerten Prämie, P z

Es gilt P < P z < B.Zillmerprämie berückichtigt die Rückzahlung dergezillmerten Kosten

153

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte Prämie

.Beispiel 6.5..

......

Eine Risikolebensversicherung (L = 250000e) gegenlaufenden Beitrag für eine 29-jährige Person bis zum Alter 65wird bei α = 2% Abschlusskosten (bezogen auf dieVersicherungssumme L) durch folgende Äquivalenzgleichungcharaktersisiert.

L ·|36 A29 + L · α != P z · a29;36|

Bezieht sich der Abschlusskostensatz auf dieBruttoprämiensumme, so gilt

L ·|36 A29 + 36 · P brut · α != P z · a29;36|.

Diese zweite Variante kann nicht nach P z aufgelöst werden. Esmuss dann erst die Bruttoprämie bestimmt werden und dannP z .

154

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte Prämie

.Beispiel 6.5..

......

Die Barwertfaktoren lauten

|36A29 =M29 −M65

D29

=497 301− 407 844

755 395

= 0,118424

a29;36| =N29 −N65

D29

=28 935 156− 6 382 366

755 395

= 29,855625.

Die gezillmerte Prämie lautet im ersten Fall (Abschlusskosten bezogenauf L)

P z =L ·|36 A29 + L · α

a29;36|= 1 159,11.

155

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte Prämie

.Übung 6.5..

......

Eine Sterbegeldversicherung gegen laufenden Beitrag (bis Alter65) für eine 38-jährige Person zahlt bei Tod L = 17 000 e.Abschlusskosten in Höhe von α = 1,5% von L werden erhoben.Wie hoch ist die gezillmerte Prämie?

156

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte Prämie

157

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte Prämie

158

7. DECKUNGSRÜCKSTELLUNG

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Deckungsrückstellung (DR)

Gleichheit von Leistungs- und Beitragsbarwert amVertragsbeginn (Äquivalenzprinzip)Gleichheit von zukünftigem Leistungs- undBeitragsbarwert während der Vertragslaufzeitnicht gegeben.i.A.: Barwert der zukünftigen Leistungen ist größerals Barwert der noch zu zahlenden Beiträge. D.h. VNtritt in Vorleistung.deswegen: VN hat eine Forderung/einenLeistungsanspruch an das Unternehmen.

⇒ Versicherungsunternehmen muss eine Rückstellungbilden und bilanziell ausweisen

160

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rechtlicher Rahmen DR

prospektive Methode: Barwert zukünftigerLeistungen abzgl. Barwert zukünftiger Beiträge.retrospektiveMethode: Endwert bereits erbrachterBeiträge abzgl. Endwert bereits erbrachterLeistungen.gem. §341f HGB sind (wenn möglich) DR nach derprospektiven Methode zu berechnengem. §2.1 DeckRV setzt HRZ fest (gem. §88 VAG),der maximal zur Anwendung kommen darfgem. §2.2 DeckRV ist der bei Vertragsabschlussgültige HRZ zu verwendenDR mindestens in Höhe des Rückkaufswertes (§25.2RechVersV)Auch Rückstellung für Beitragsrückerstattung (RfB)gem. §140 VAG i.V.m. §341e.1 HGB

161

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Nettodeckungsrückstellung

Die erweiterte Äquivalenzgleichung (ohneBerücksichtigung von Kosten) bei einer Versicherunglautet:

BBW nett + V net

t = LBW nett

162

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR bei Risiko-LV

.Beispiel 7.1..

......

Bei einer Risiko-LV ergibt sich nachm Jahren folgendeerweiterte Äquivalenzgleichung (Alter x bei Vertragsbeginn,Laufzeit n Jahre, Nettoprämie P , Todesfallleistung T )

P ax+m,n−m| + mV net

x = T · |n−mAx+m.

Damit egibt sich die Nettodeckungsrückstellung als

mV netx = T · |n−mAx+m − P a

x+m,n−m|.

163

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR bei Einmalbeitrag

.Beispiel 7.2..

......

Eine 40-jährige Person hat eine Risikolebensversicherung, die bei Todvor dem 70. Geburtstag L = 150 000 e an die Hinterbliebenen zahlt,abgeschlossen zum EB von 30 329,48. Wie hoch ist nach fünf und nachzehn Jahren die Deckungsrückstellung?Es gilt, da nur einmal am Beginn ein Beitrag entrichtet wird:

5Vnet40 = L ·|25 A45

Mit

|25A45 =M45 −M70

D45

=484 875− 353 266

642 744

= 0,204761

Damit ist5V

net40 = 30 714,17.

164

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR bei Einmalbeitrag

.Beispiel 7.2..

......

Weiterhin ist10V

net40 = L ·|20 A50

Mit

|20A50 =M50 −M70

D50

=475 594− 353 266

605 453

= 0,202044

Damit ist10V

net40 = 30 306,56

165

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR bei lfd. Beitrag

.Beispiel 7.3..

......

Eine 25-jährige Person hat gegen laufenden Beitrag eineKapitalversicherung abgeschlossen, die bei Erleben des 60.Geburtstags L = 100000 e auszahlt. Die Nettoprämie liegt beiPnet = 2 242,28 e. Wie hoch ist die DR nach zwölf Jahren?Es gilt

12Vnet25 = L · 23E37 − Pnet · a37;23|.

166

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR bei lfd. Beitrag

.Beispiel 7.3..

......

Die Barwertfaktoren lauten

23E37 =D60

D37=

519 239

698 537

= 0,743324

a37;23| =N37 −N60

D37

=23 093 047− 8 874 663

698 537= 20,354518.

Damit ist

12Vnet25 = 100 000 · 0,743324− 2 242,28 · 20,354518

= 28 691,80.

167

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR

.Übung 7.1..

......

Eine 20-jährige Person hat eine Rentenversicherungabgeschlossen: Eine vorschüssige Leibrente von jährlich L =6000 e wird ab dem Alter 65 gezahlt werden. Bis zum Alter 60ist dafür die Prämie Pnet = 1 407,71 zu zahlen. Wie hoch ist dieNetto-DR nach 15 Jahren und nach 42 Jahren?

168

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR nach 15 Jahren

.Lösung 7.1........

169

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Netto-DR nach 42 Jahren

.Lösung 7.1........

170

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

gezillmerte Deckungsrückstellung

Die erweiterte Äquivalenzgleichung (mitBerücksichtigung der gezillmerten Abschlusskosten) beieiner Versicherung lautet:

BBW zt + V z

t = LBW zt

171

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

gezillmerte DR bei Risiko-LV

.Beispiel 7.4..

......

Bei einer Risiko-LV ergibt sich nachm Jahren folgendeerweiterte Äquivalenzgleichung (Alter x bei Vertragsbeginn,Laufzeit n Jahre, Zillmerprämie P z , Todesfallleistung T )

P zax+m,n−m| + mV z

x = T · |n−mAx+m.

Damit egibt sich die gezillmerte Deckungsrückstellung als

mV zx = T · |n−mAx+m − P za

x+m,n−m|.

Im Beispiel wird deutlich, dass dies die gleiche Rechnungwie im Nettofall ist. Der Unterschied liegt lediglich in derhöheren Prämie, die nötig ist, um die Abschlusskostenwährend der Laufzeit zu finanzieren. Die gez. DR wirddadurch kleiner ausfallen.

172

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte DR

.Beispiel 7.5..

......

Eine Risikolebensversicherung (L = 250000 e) gegenlaufenden Beitrag für eine 29-jährige Person bis zum Alter 65weist bei α = 4% Abschlusskosten (bezogen auf dieVersicherungssumme L) eine gezillmerte Prämie vonP z = 1 326,59e auf. Die gezillmerte DR nach 19 Jahren beträgt

19Vz29 = L · |17A48 − P za48;17|

173

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte DR

.Beispiel 7.5..

......

Die Barwertfaktoren lauten

|17A48 =M48 −M65

D48

=479 831− 407 844

620 695= 0,115978

a48;17| =N48 −N65

D48

=15 792 392− 6 382 366

620 695= 15,160467

Damit ist19V

z29 = 8 882,86

174

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte DR

.Übung 7.2..

......

Die Rentenversicherung einer bei Abschluss 33-jährigen Person,welche ab Alter 67 eine jährlich vorschüssige Rente vonR =12 000 e zahlt gegen laufenden Beitrag bis zum Alter 67,weist folgende Beiträge auf

Pnet = 3 200,73

P brut = 3 356,13

P z = 3 293,79

[Zum Nachrechnen: α = 2,3% der Beitragssumme, β = 1,5%der Bruttoprämie und Stückkosten von 12 e pro Jahr.]Rechnen Sie die gezillmerte DR im Alter 55 aus und vergleichenSie mit der Netto-DR im Alter 55.

175

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte DR

.Lösung 7.2........

176

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Gezillmerte DR

.Lösung 7.2........

177

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Typischer Verlauf der DR

Für 30-jährigen, der eine Todesfallleistung bis zum Alter 65 von 100 000 e verlangt. Die lebenslangeRente wird ab Alter 65 in Höhe von 1 200 e jährlich vorschüssig gezahlt. Der gezillmerte Beitrag zur Ri-sikolebensversicherung beträgt 396,69 e, der zur Rentenversicherung 411,56 e und der zur gemischtenKapitalversicherung 804,64 e (je vorschüssig zahlbar, α-Kosten je 4% der Beitragssumme. 178

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

DR-Zerlegung I

Wir betrachten hier eine Versicherung mit Erlebensfallleistung.Die Äquivalenzgleichung lautet:

L · nEx = P · ax,n|.

Die erweiterte Äquivalenzgleichung ist

L · n−mEx+m = mVx + P · ax+m,n−m|.

Es gilt:

Dx+1 = Dx(1− qx)v

und damit

nEx =Dx+n

Dx

=Dx+n

Dx+1(1− qx)v

= n−1Ex+1(1− qx)v

179

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

DR-Zerlegung II

Ebenso gilt mit Nx = Dx +Nx+1

ax,n| =Nx −Nx+n

Dx

=Dx +Nx+1 −Nx+n

Dx

= 1 +Nx+1 −Nx+n

Dx

= 1 +Nx+1 −Nx+n

Dx+1(1− qx)v

= 1 + ax+1,n−1|(1− qx)v.

180

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

DR-Zerlegung III

Damit kann die DR geschrieben werden als

mVx = m+1Vx(1− qx+m)v − P

Damit folgt

mVx(1 + i) = m+1Vx(1− qx+m)− P (1 + i)

m+1Vx −m Vx = mVx · i︸ ︷︷ ︸DR-Zins

+ m+1Vx · qx+m︸ ︷︷ ︸Vererbung

+ P (1 + i)︸ ︷︷ ︸verz. Prämie

181

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinszusatzreserve (§5.3 DeckRV)

Falls Referenzzins kleiner als HRZ: Aufstockung derDeckungsrückstellungRechne DR aus, wobei für die ersten 15 Jahre stattHRZ der Referenzzins angesetzt wirdRechne für Laufzeiten 16 Jahre und größer mit dembei Vertragsbeginn angesetzten RechnungszinsDie so bestimmte DR ist bilanziell anzusetzenAls Zinszusatzreserve (ZZR) wird der Mehraufwandbezeichnet, welcher durch den in den ersten 15Jahren abgesenkten Zins erforderlich wird.

182

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

ZZR für 4,00% Rechnungszins

.Beispiel 7.6..

......

1996 hat eine damals 30-jährige Person eineRentenversicherung über L = 12 000 EUR Jahresrenteabgeschlossen gegen laufenden Beitrag bis Alter 65. DerRechnungszins lag bei 4%. Die Bruttoprämie lauteteB = 1 649,73 (Zillmer-P: 1 604,74). Mit dem altenRechnungszins ergibt sich 2016 (20 Jahre nach Vertragsbeginn)eine DR gem.

V z50 = L · 15a50 − P z · a50;15|

= L · 5,292359− P z · 11,123539= 45 657,93

183

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

ZZR für 4,00% Rechnungszins

.Beispiel 7.6..

......

Nun muss aber für die ersten 15 Jahre mit dem Rechnungszinsr = 2,54% statt i = 4,00% gerechnet werden.

V z,r50 =

v(r)15

v(i)15· L · 15a50 − P z · a50;15|(r)

=0,686436

0,555265· L · 10,541472− P z · 12,153074

= 59 008,56

Die ZZR für diesen Vertrag beläuft sich auf

ZZR = V z,r50 − V z

50 = 13 350,63

184

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinszusatzreserve (§5.3 DeckRV)

Die ZZR wird in der Bilanz nicht gesondertausgewiesen, sondern ist in derversicherungstechnischen Rückstellungenenthalten.Das VU finanziert damit die Verträge vor: Die erhöhteRückstellung ermöglicht es, in der Zukunft mitgeringeren Kapitalerträgen auszukommenDie ZZR kann nicht aus den Spar-Beiträgen der VNfinanziert werden, sondern muss aus anderenErgebnisquellen stammenDie erforderlichen Erträge schmälern denÜberschuss und den Gewinn des VUVN mit niedrigem Rechnungszins haben deswegeneinen geringeren Überschuss, weil die KA-Erträgetlw. von den VN mit hohem Rechnungszins (via ZZR)aufgebraucht werden. 185

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinszusatzreserve

186

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zinszusatzreserve

187

8. RECHTLICHERAHMENBEDINGUNGEN

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beteiligte Parteien

An einem Versicherungsvertrag sind verschiedenePersonen beteiligt:

Versicherungsunternehmen (VU)evtl.: Vertreter/MaklerVersicherungsnehmer (VN): schließt Vertrag, zahltdie PrämieVersicherte Person (VP): Person, deren Risikoversichert istZahlungsempfänger/Begünstigter: Person, die imLeistungsfall die Leistung erhält

189

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rechtsquellen für die LV

Versicherungsaufsichtsgesetz VAG (wg. Solvency II:VAG-Novelle seit 01.01.2016 in Kraft)Versicherungsvertragsgesetz VVGHandelsgesetzbuch HGBVerordnung über die Rechnungslegung fürVersicherungsunternehmen (RechVersV)Verordnung über Rechnungsgrundlagen für dieDeckungsrückstellungen (DeckRV)Mindestzuführungsverordnung MindZV

190

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Zentrale Bestimmungen für die LV

Vorsichtsprinzip: Prämien müssen auskömmlichkalkuliert sein (§138.1 VAG und §5.1 DeckRV)Gleichbehandlungssatz: Prämien- und Leistungenmüssen bei gleichen Voraussetzungen für alle VNgleich sein (§138.2 VAG).Deckelung der einmaligen Abschlusskosten:max.2,5% Zillmersatz (§4.1 DeckRV)Mindestrückkaufwert: entspricht der DR bei glm.Verteilung d. Abschlusskosten auf die ersten fünfJahre (§169.3 VVG)

191

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

LVRG

LVRG = LebensversicherungsreformgesetzMehrere Anläufe, um Beteiligung an Bewertungsreserven neuzu regelnVerabschiedung im Sommer 2014 (während der Fußball-WM)An Bewertungsreserven auf Zinspapiere müssen dieVersicherten nur noch beteiligt werden, wenn diese denSicherungsbedarf übersteigenSicherungsbedarf: Notwendige Rückstellung für Verträge beiRechnungszins gem. aktuellem Zinsniveau (sog. Bezugszins)Ausschüttungssperre, wenn Sicherungsbedarf höher alsBewertungsreservenErhöhung der Mindestbeteiligung am Risikoergebnis (90% statt75%)Absenkung des Höchstrechnungszinses auf 1,25%Begrenzung der Bilanzierung von einmaligen Abschlusskostenauf 2,5% der Beitragsssumme

192

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Versicherungsaufsichtsgesetz (VAG)

Regelt die Aufsicht über Versicherungsunternehmen undPensionskassen

Prämienkalkulation, Gleichbehandlung (§138)

Verantwortlicher Aktuar (§141)

Treuhänder (§142)

Überschussbeteiligung, Bewertungsreserven, Direktgutschrift(§139)

§124 (1) 3 VAG: »[...] sämtliche Vermögenswerte sind soanzulegen, dass Sicherheit, Qualität, Liquidität und Rentabilitätdes Portfolios als Ganzes sichergestellt werden; [...]«

Überschussbeteiligung, RfB (§140)

Notfallparagraph, freie RfB (§140.1)

§88.3 ermächtigt Bundesfinanzministerium zur Festsetzung derDeckRV

193

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Verantwortlicher Aktuar

Der verantwortliche Aktuar (VA):ist verantwortlich für die versicherungstechnischenTeile der Bilanzhat über eine angemessen vorsichtige Kapitalanlagezu wachenhat die Angemessenheit der Prämienkalkulationsicherzustellenmacht dem Vorstand einen Vorschlag für dieÜberschussbeteiligungist persönlich haftbar

194

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Verantwortlicher Aktuar

Quelle: Geschäftsbericht Württembergische Leben 2012

195

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Private Krankenversicherung

KV »nach Art der Lebensversicherung«Bildung von DR (in PKV alsAlterungsrückstellungen bezeichnet)Vertrag ist auf Lebenszeit geschlossen (sehrlangfristige Verträge)Leistungen hängen von Gesundheit ab (Barwert fürmedizinischen Bedarf)Leistungsumfang ist festBeiträge dürfen erhöht werden, dann auchZinsanpassung möglich

196

9. GESCHÄFTSVORFÄLLE

PVM

Neusius

Einführung

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückkaufswert

.Beispiel 9.1..

......

Wegen §169.3 VVG müssen im Falle eines Rückkaufs in denersten fünf Jahren die gezillmerten Abschlusskostengleichmäßig auf die ersten fünf Jahre verteilt werden.Im Fall einer Rentenversicherung gegen laufenden Beitrag(L = 12 000 ab 65) einer 27-jährigen Person betrage dieBruttoprämie B = 3 361,15 (P z = 3 281,93). Die rechnerischeDR nach einem Jahr ergibt sich als

V z28 = L · 37a28 − P z · a28;37|

Bei α = 2,5% waren 3 193,09 EUR Abschlusskosten angesetztworden, die zu Beginn als fällig betrachtet wurden. Diese sindnun teilweise herauszugeben.

198

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückkaufswert

.Beispiel 9.1..

......

Der Barwert der Abschlusskosten entspricht einer Zahlung vonfünf vorschüssigen Jahresraten:

3 193,09!= R · a27;5

Mit dem Barwertfaktor a27;5 = 4,904216 ergibt sich eine Ratevon

R =3 193,09

a27;5= 651,09.

Nur die erste dieser Raten darf der Versicherer einbehalten. Ermuss den Barwert der weiteren vier Raten herausgeben, also

R · a28;4 = 651,09 · 3,942395 = 2 566,86

199

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückkaufswert

.Übung 9.1..

......

Eine Person (x = 31) schließt eine Rentenversicherung gegenlaufenden Beitrag ab. Bis zum Alter 67 werden die Beiträgegezahlt, ab dann wird eine Jahresrente von 18.000 Euro gezahlt.Es werden 2,5% der Beitragssumme als Abschlusskostenangesetzt und Verwaltungskosten von 3% beitragsproportionalerhoben....1 Wie hoch sind Brutto- und Zillmerprämie?...2 Wie hoch ist die DR nach zwei Jahren?...3 Wie hoch ist der Rückkaufswert?

200

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückkaufswert

201

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückkaufswert

202

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückkaufswert

203

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsfreie Leistung

.Beispiel 9.2..

......

Eine 26-jährige Person schließt eine kapitalbildendeLebensversicherung ab. Diese zahlt 150.000 Euro bei Erlebendes 60. Geburtstages oder die selbe Summe an dieHinterbliebenen bei vorzeitigem Tod. Die Abschlusskostenbetragen 2,5% der Beitragssumme, 3,5% laufendeVerwaltungskosten und Stückkosten von 24 Euro sindvorgesehen.Die Bruttoprämie lautet B = 4 170,33, die Zillmerprämie4 000,36 und es ergibt sich im Alter 36 eine DR von

V z36 = 37 073,50

204

PVM

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Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsfreie Leistung

.Beispiel 9.2..

......

Nun möchte der VN die Prämienzahlung beenden ohne dieVersicherung zu kündigen, sog. Beitragsfreistellung. Dazu mussein Leistungsanspruch ermittelt werden, der »fair« gegenüberdem VN ist.Es wird dazu bestimmt, welche Leistung durch die bereitsgebildete DR finanziert werden kann. Es soll weiterhin imTodesfall die gleiche Summe L wie im Erlebensfall ausgezahltwerden:

L · (24E36 + |24A36)!= V z

36

d.h.

L =V z36

24E36 + |24A36

=37 073,50

0,735997 + 0,075315

= 45 695,76 205

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsfreie Leistung

.Übung 9.2..

......

Eine 29-jährige Person schließt eine Rentenversicherung ab, dieab Alter 67 eine jährliche Rente von 6.000 Euro zahlt. Bis dahinsoll ein laufender Beitrag entrichtet werden, der 2,8% laufendeKosten enthält, zudem Stückkosten von 50 Euro undAbschlusskosten in Höhe von 2,2% der Beitragssumme....1 Berechnen Sie die Bruttoprämie....2 Berechnen Sie die DR im Alter 43....3 Berechnen Sie die beitragsfreie Leistung, wenn ab 43 keineBeiträge mehr gezahlt werden.

206

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsfreie Leistung

207

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsfreie Leistung

208

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsfreie Leistung

209

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beitragsfreie Leistung

210

10. ÜBERSCHÜSSE

PVM

Neusius

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Überschussentstehung

Versicherungsunternehmen kalkulieren vorsichtig⇒Prämien (meist) höher als nötig! Dadurch entsteht dersog. Risikogewinn. Zudem generieren andere FaktorenErträge. Überschüsse speisen sich aus

RisikoergebnisZins- und Kapitalanlageergebnissonstiges Ergebnis (v.a. Kostenergebnis)

§153 VVG verlangt, Versicherte in bestimmtemUmfang an diese Erträgen zu beteiligen!

212

PVM

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Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Mindestzuführungsverordnung (MindZV)

Regelt die Beteiligung der VN am Rohüberschussin der LV: seit 01.01.2015: 90% vom Risikoergebnis(zuvor 75%)in der LV: 90% vom Überzinsin der LV: 50% vom Kostenergebnis

213

PVM

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Rückstellung für Beitragsrückerstattung

§56a VAG verpflichtet, in entsprechendem UmfangRückstellungen zu bilden, sog. RfBeinmal jährlich deklariert das Unternehmen seineÜberschussbeteiligungdie dafür nötigen Mittel müssen in der RfBvorhanden sein (gebundener Teil der RfB)

214

PVM

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Überschussentstehung in derLebensversicherung

..

Beitrag

.Risikogeschaft

. technisches Ergebnis.Dienstleistungsgeschaft

.

Kosten- und sonstiges Ergebnis

.

Spargeschaft

.

Sparbeitrage, erfolgsneutral

.

Kapitalanlage

.

Rechungszins

.

erfolgsneutral

.

Uberzins

.

Ertrag

.

Verbindl. ggu. VN

.

Verzinsliche Ansammlung

.

Deckungsruckstellung

.

Bonussystem

.

Roh

uberschuss

vor

Direktgutschrift

.

Direktgutschift

.

Pramienreduktion

.

Nettozufuhrungzur RfB

. Eigenkapital, Dividende, Steuern.

Schlussuberschuss-anteilfonds

.

gebundene RfB

.

festgelegt, noch nicht zugeteilt

.

freie RfB

.

Residualgroße

.

Zuteilu

ngim

Folgejah

r

.

Versich

erungsleistu

ngen

.

Quelle: Nach Deutsche Aktuar-Akademie, Kurs Versicherungswirtschaftslehre

215

PVM

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Arten der Überschussbeteiligung

laufende Überschussbeteiligung: dem Kunden wirdwährend der Vertragslaufzeit eineÜberschussbeteiligung gewährtder Schlussüberschuss wird erst bei Ablaufgewährt – stärkerer Anreiz zum Durchhalten derVersicherungsdauerBeteiligung an Bewertungsreserven:muss auchbei Rückkauf gewährt werden (gem. §153.3 VVG).

216

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Beteiligung an Bewertungsreserven

Mindestzuführungsverordnung sichert Beteiligungder VN an Gewinnquellenaußerbilanzielle Werte (»Bewertungsreserven«)sind davon nicht betroffenBundVerfG am 26.07.2005: VN sind am Vermögen zubeteiligen (Reserven auf Immobilien und Aktien)Stand 2013: Niedriges Zinsniveau führt zuBewertungsreserven auf Zinspapiere (2011Q1: 2,7Mrd.; 2012Q4: 87,8 Mrd.)Abfluss von Reserven (ca. 3,6 Mrd. in 2013)LVRG: Beteiligung nur noch bei Reserven oberhalbdes Sicherungsbedarfes

217

PVM

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Sicherungsbedarf

Es soll verhindert werden, dass das VUBewertungsreserven ausschütten muss, welche zurErfüllung des Zinsversprechens benötigt werdenDazu müsste die DR des gesamten Bestandes miteinem »sicheren« Zins bestimmt werdenAber: Was heißt sicher?Tatsächlich wird für die ersten 15 Jahre ein niedrigerZins angesetzt, danach der vertraglicheRechnungszinsDer gesenkte Zins ist im LVRG der jeweiligeMonatsendstand der10-Jahres-Zerobond-Euro-Swap-Rate.Die Differenz aus dieser DR zu abgesenktem Zinsund der DR aus dem Rechnungszins ist derSicherungsbedarf

218

PVM

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Arten der Überschussgutschreibung

VerrechnungBeitragsrückerstattung (PKV)Verzinsliche Ansammlung (verzinstesKundenguthaben)Bonusleistungen

219

PVM

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Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bonusbaustein

.Beispiel 10.1..

......

Eine 25-jährige Person hat gegen laufenden Netto-Beitrag vonPnet = 1 903,10 e eine Kapitalversicherung abgeschlossen, diebei Erleben des 60. Geburtstags L = 100 000 e auszahlt. Nunwurde im Jahr neun nach Vertragsbeginn ein Überschuss von1 500 e zugeteilt, der zu einer Bonusleistung führt. Die Leistung,die für diesen Betrag gewährt werden kann bestimmt sich als

Lbonus · 26E34 = 1 500.

Damit ist

Lbonus = 1500 · D34

D60= 1500

639 591

421 828= 2 274,36.

220

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bonusbaustein Rentenversicherung

.Übung 10.1..

......

Eine Person hat im Alter 28 eine Rentenversicherung gegenlaufenden Beitrag abgeschlossen. Der Beitrag wird bis zumAlter 65 gezahlt, dann beginnt die Rentenzahlung, die anfangsauf 12 000 EUR vereinbart war. Dafür musste ein Beitrag von2 972,30 gezahlt werden. Durch Bonusbausteine ausÜberschüssen ist die Rentenhöhe im Alter 33 auf 12 096gestiegen. Nun werden im Alter 33 nochmals 530 EUR alsÜberschuss in Form eines Bonusbausteins zugeteilt. BestimmenSie die neue Rentenhöhe.

221

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Bonusbaustein Rentenversicherung

222

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

laufende Verzinsung

..1%.

2%

.

3%

.

4%

.

5%

.

6%

.

7%

.

8%

.

3.25%

.

7.22%

.2000

.

3.25%

.

7.13%

.2001

.

3.25%

.

6.20%

.2002

.

3.25%

.

4.91%

.2003

.

2.75%

.

4.50%

.2004

.

2.75%

.

4.45%

.2005

.

2.75%

.

4.29%

.2006

.

2.25%

.

4.33%

.2007

.

2.25%

.

4.44%

.2008

.

2.25%

.

4.33%

.2009

.

2.25%

.

4.20%

.2010

.

2.25%

.

4.07%

.2011

.1.75%

.3.91%

.2012

.1.75%

.3.60%

.2013

.1.75%

.3.40%

.2014

.

1.25%

.

3.15%

.2015

.

1.25%

.

2.9%

.2016

. 0.9%.

2.45%

.

2017*

.

Quelle: de.statista.com: Laufende Verzinsung der Lebensversicherer in Deutschland inden Jahren 1995 bis 2014http://www.cecu.de/ueberschussbeteiligung-lebensversicherung.html (für Werte 2015,2016).*Prognose cecu.

.

Höchstrechnungszins

.

laufende Überschussbet.

223

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

laufende Verzinsung (in %)

Versicherer 2012 2013 2014 2015 2016 2017Allianz Leben 4,00 3,60 3,60 3,40 3,10 2,80Alte Leipziger 3,85 3,35 3,35 3,05 3,05 2,65AXA 3,80 3,65 3,40 3,40 3,10 2,90Cosmos Direkt 4,05 3,85 3,65 3,40 3,00Debeka Leben 4,10 3,70 3,60 3,40 3,10ERGO 3,80 3,20 3,20 2,70 2,70 2,25ERGO direkt 4,00 3,80 3,40 3,20 3,20 2,75Generali 3,60 3,50 3,15 2,90 2,25HUK-Coburg 4,00 3,75 3,50 3,25 3,00R+V 3,85 3,60 3,40 3,20 3,00 2,70Stuttgarter 4,20 4,00 3,60 3,30 2,80 2,30Württembergische 3,50 3,25 3,25 3,00 2,75 2,40

Quelle: http://www.cecu.de/ueberschussbeteiligung-lebensversicherung.html

224

11. AKTUELLES UMFELD DER LV

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Situation der Lebensversicherung

Quelle: Finanzstabilitätsbericht der Bundesbank 2015 und 2016

226

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Private Rentenversicherung jenseits derKlassik

Klassische LV: Keine Risiken bei Kunde, VU erledigt KA,Garantiezins zzgl. Überschüsse

Fondsgebundene LV: KA-Risiko bei Kunde, evtl. direkter Einflussauf Auswahl der KA, VU nur für Absicherung (Todesfall) undRentenphase

In der Praxis: Mischformen.

Klassik ohne Garantiezins (nur Beitragserhalt), dafür mehrÜberschuss

Fondsgebundene LV mit Garantien (begrenzte Verlusthöhe),dargestellt über Hybridprodukt oder Derivate

Fondsgebundene mit aktivem KA-Management durch Kunde(Auswahl von Fonds, Wahl zw. Fonds und festem Zins)

227

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Hybridprodukt

Mischung aus klassicher LV und fondsgebundener LVz.B. fixe Aufteilung jedes Sparanteils aufDeckungsstock mit Rechnungszins und riskanteAnlagen (Aktienfonds) mit Kursrisiko bei Kundeetvtl. zusätzliche Option die Aufteilung für dieZukunft anzupassenKapital wird aber nicht umgeschichtet, sog.statisches Hybrid

228

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Dynamisches Hybridprodukt

Kapital wird aufgeteilt zwischen Deckungsstock (mitRechungszins), riskanter Anlageform mitAbsicherung und evtl. ungesicherter AnlageformAbsicherung z.B. durch Derivate (Verkaufsoptionen)oder Fonds mit Wertgarantie (sog. Garantiefonds)Dynamische Umschichten von Kapital zwischen denversch. Anlageformen (vertragsindividuell)

229

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Dynamisches Hybridprodukt

.Beispiel 11.1..

......

Es wird ein Einmalbeitrag von 36 000 EUR gezahlt. Dieser sollmöglichst chancenorientiert angelegt werden, jedoch gibt es dieGarantie, dass die eingezahlten Beiträge in 30 Jahrenmindestens als Kapital ausgezahlt werden.Variante 1:

Bei i = 0,9% entspricht die Garantie von 36 000 in 30Jahren einem Barwert von 27 514,87

Damit könnten 8 485,13 z.B. in Aktien angelegt werden,wenn der Rest mit 0,9% verzinst würde.

230

PVM

Neusius

Einführung

Finanzmathematik

Barwerte

Versicherungs-technischeBarwerte

Rechnungsgrundlagen

Äquivalenzprinzip &Prämienkalkulation

Deckungsrückstellung

RechtlicheRahmenbedingungen

Geschäftsvorfälle

Überschüsse

Aktuelles Umfeld derLV

Dynamisches Hybridprodukt

.Beispiel 11.1..

......

Variante 2:

In einem Jahr müssen mindestens 27 762,51 EUR für dieGarantie vorhanden sein

Wenn der maximale Verlust des Garantiefonds pro Jahr bei 70%läge, wäre es auch möglich heute 27 707,09 in den Garantiefondszu legen und den Rest 8 292,91 zu 0,9% zu verzinsen.

Dann wäre im worst case noch

0,7 · 27 707,09 + 8 292,91 · 1,09 = 27 762,51

übrig, gerade genug für die Garantie.

Läuft es jedoch im Garantiefonds besser, so kann im Folgejahrmehr Geld in den Garantiefonds gelegt werden

Bei guten Verläufen kann evtl. sogar die ganze Garantie über denGarantiefonds gedeckt werden und weiteres Kapital inungesicherte Anlageformen fließen.

231