Embed Size (px)
Ορισμός αντιπαραγώγου(ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης)
Μια συνάρτηση F ονομάζεταιαντιπαράγωγος της f σε ένα διάστημαΙ, αν F'(x)=f(x) για x� I.
Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση έχει μίαπαράγωγο, αλλά μια συνάρτηση έχει ένασύνολο αντιπαραγώγων.
Αν η F(x) είναι μια αντιπαράγωγος της f(x) τότε όλες οι συναρτήσεις G(x)=F(x)+c, cσταθερά, είναι αντιπαράγωγοι (γενικήαντιπαράγωγος) της f(x).
Αόριστο ολοκλήρωμα
Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων τηςσυνάρτησης f ονομάζεται αόριστοολοκλήρωμα της f ως προς x καισυμβολίζεται
cxFdxxf +=∫ )()(
Αντιπαράγωγοι βασικών συναρτήσεων
Γραμμικότητα του ολοκληρώματος
Έστω και
Τότε
1.
2.
3.
cxFdxxf +=∫ )()(
cxGdxxg +=∫ )()(
cxaFdxxfadxxaf +=∫=∫ )()()(
( )cxGxF
dxxgdxxfdxxgxf
++=
∫+∫=∫ +
)()(
)()()()(
( )cxGxF
dxxgdxxfdxxgxaf
++=
∫+∫=∫ +
)()(
)()()()(
βα
βαβ
Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων
μέθοδος ολοκλήρωσης μεαντικατάσταση ή αλλαγήςμεταβλητής
μέθοδος ολοκλήρωσης κατά μέρηή κατά παράγοντες
ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεωνή ολοκλήρωση με μερικάκλάσματα.
Μέθοδος με αντικατάσταση ήαλλαγής μεταβλητής- βασίζεται στην παραγώγιση σύνθεσης
συναρτήσεων
Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων τηςμορφήςανάγεται στον υπολογισμόολοκληρωμάτων της μορφής
όπου u=g(x) και du=g΄(x)dx
∫ ′ dxxgxgf )()]([
∫ duuf )(
Παραδείγματα
cxcu
duuduudxx
++=+=
==+ ∫∫∫
2/3
2/3
)32(31
2/321
21
232 .1
Θέτουμε u=2x+3 με du=2dx
ce
cu
du
uee
t
t
t
dt
++
−=
+−+
== ∫∫
)1(2
1
2
1
2
1
)1(
2
222
2
.2
Θέτουμε u=1+e2t με du=2e2tdt
Μέθοδος ολοκλήρωσης κατάμέρη ή κατά παράγοντες
- βασίζεται στον κανόνα παραγώγισης τουγινομένου
Αν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναιπαραγωγίσιμες, τότε
∫∫ ′−=′ dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(
Παραδείγματα (1)
cxecexedxexedxxexedxexdxxe
x
xxxx
xxxx
+−=+−=−=
′−=′=
∫
∫∫∫
)1(
)()( .1
cxxxdxxx
dxxxxx
dxxxdxxxdx
+−=−=
′−=
′⋅=⋅=
∫
∫
∫∫∫
lnln
)(lnln
)(ln1lnln .2
Παραδείγματα (2)
cxxecexeex
dxxeexdxxeexdxxeexdxexdxex
x
xxx
xxxx
xxxx
++−=+−−=
−=−=
′−=′=
∫∫
∫∫∫
)22( )(2
22 )()( .3
2
2
22
2222
( )( ) ceex
ceue
duuedxe
xx
uu
uxdxxdu
xu
+−=
+−=
∫=∫==
2 2
2 .42
1
Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων
Για να ολοκληρώσουμε ρητέςσυναρτήσεις είναι συνήθως αναγκαίονα γράψουμε τη συνάρτηση σανάθροισμα ενός πολυωνύμου και πιοαπλών ρητών συναρτήσεων τηςμορφής
ή
όπου A,B,C,a,b, και c είναι σταθερές και k θετικός ακέραιος. Ο παρανομαστής τουδευτέρου κλάσματος δεν αναλύεται σε γινόμενοπρωτοβάθμιων όρων, δηλαδή δεν έχειπραγματικές ρίζες.
kaxA
)( − kcbxxCBx
)( 2 +++
Η διαδικασία ανάλυσης σε μερικάκλάσματαΒήμα 1 Αν στον παρανομαστή υπάρχει
πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσουαπό το βαθμό του πολυωνύμου τουαριθμητή τότε πριν κάνουμε την ανάλυσησε μερικά κλάσματα πρέπει πρώτα ναεκτελέσουμε τη διαίρεση του αριθμητήδια τον παρανομαστή.
Βήμα 2 Αναλύουμε τον παρανομαστή σεγινόμενο πρωτοβάθμιων (x-a)k καιδευτεροβάθμιων (x2+bx+c)k (με b2-4c<0) παραγόντων.
Βήμα 3. γραμμικοί παράγοντες
Σε κάθε απλό γραμμικό παράγοντα τουπαρονομαστή x-α, αντιστοιχεί στηνανάλυση του κλάσματος ένας όρος τηςμορφής
Αν ο γραμμικός παράγοντας x-a εμφανίζεται k φορές στηνπαραγοντοποίηση του παρονομαστή,τότε η ανάλυση σε μερικά κλάσματαπεριέχει όρους της μορφής
axA−
k
k
axA
axA
axA
)()( 2
21
−+
−+
−L
Υπολογισμός του ολοκληρώματος
Αν k =1, τότε
Αν k≥2, τότε
∫−
dxax k)(
1
caxk
dxax kk
+−−
−=− −∫ 1)(
11
1)(
1
caxdxax
+−=−
∫ ln1
Παράδειγμα 1Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Αναλύουμε σε μερικά κλάσματα
Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε
Οπότε A+C =15A+B+4C=06A+3B+4C=0
∫ ++dx
xxx
)3()2( 2
2
3)2(2)3()2( 22
2
++
++
+=
++ xC
xB
xA
xxx
)436()45()( )2()3()3)(2(
2
22
CBAxCBAxCAxCxBxxAx
+++++++=++++++=
A=-8B=4C=9
cxxx
xdx
xdx
xdxdx
xxx
++++−+−=
++
++
+−=
++
−
∫∫∫∫
3ln9)2(42ln8
39
)2(4
28
)3()2(
1
22
2
Παράδειγμα 2Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου στοναριθμητή = το βαθμό του πολυωνύμουστον παρανομαστή
∫ −−dx
xxx
)2)(1(
2
.2
41
11)2)(1(
231)2)(1(
2
−+
−−=
−−−
+=−− xxxx
xxx
x
διαίρεση Ανάλυσησε μερικά κλάσματα
cxxxxdx
xdxdxdx
xxx
+−+−−=
−+
−−=
−−∫∫∫∫
2ln41ln 2
41)2)(1(
2
Βήμα 3. δευτεροβάθμιοι παράγοντες
Αν ο δευτεροβάθμιος παράγοντας x2+bx+c (με b2 -4c<0) εμφανίζεται k φορές στηνπαραγοντοποίηση του παρονομαστή, τότε ηανάλυση σε μερικά κλάσματα περιέχειόρους της μορφής
όπου Bi και Ci είναι σταθερές
Γράφουμε τον δευτεροβάθμιο παράγονταστη μορφή (x-μ)2 +ν με συμπλήρωσητετραγώνου
k
kk
cbxxCxB
cbxxCxB
cbxxCxB
)()( 222
22
2
11
+++
+++
++
+++
L
Παράδειγμα 3
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Ανάλυση σε μερικά κλάσματα
Ολοκληρώνοντας
∫+++ dx
xxx
22
2
)1(1
22222
2
)1(11
)1(1
++
+=
+++
xx
xxxx
cx
x
cu
x
udux
dxx
xdxx
dxx
xx
xu
++
−=
+−=
+=
++
+=
+++
−
−
−
+=∫
∫∫∫
)1(21tan
21tan
tan
)1(11
)1(1
2
1
1
2
1
1
22222
2
2
12
Ολοκληρώματα και ΑθροίσματαΠαράδειγμα
Ρυθμός μεταβολής του όγκου νερού σε ένα δοχείο
V(t) : όγκος νερού (cm3) t : χρόνος (s)
Ζητάμε τη συνολική μεταβολή του όγκου από t=0 μέχρι t=1
2tdtdV
=
Συνολική μεταβολή
dtdV
t t
dtdV
Ολοκληρώματα και Αθροίσματα
Έστω ότι ο ρυθμός μεταβολής της Μ στοδιάστημα [α,β] είναιΖητάμε τη συνολική μεταβολή της Μ στο
διάστημα [α,β].
Pn μια διαμέριση του διαστήματος [α,β]
Η διαμέριση αυτή χωρίζει το διάστημα[a,β] σε n υποδιαστήματα
[t0, t1], [t1, t2], ..., [tn-1, tn]Δtj= tj - tj-1 μήκος του υποδιαστήματος [tj-1, tj]
Πλάτος της διαμέρισης :||P|| = max{Δt1, Δt2,…, Δtn}
)(tfdt
dM=
β=<<<= nn tttaP L10 :
Ολοκληρώματα και Αθροίσματα
Σε κάθε υποδιάστημα [tj-1, tj] παίρνουμε ένα σημείο ξj καισχηματίζουμε το άθροισμα
Άθροισμα Riemann της f στο [α,β].
β=<<<= nn tttaP L10 :
nn
n
jjjP
tftftfSn
Δ++Δ=Δ= ∑=
)()()(11
1ξξξ L
α βtj-1 tjξj t
y
f(ξj)
Ορισμός: Ορισμένο ολοκλήρωμα
Έστω , n=1,2,…μια ακολουθία διαμερίσεων του [α,β] με||P|| 0. Το ορισμένο ολοκλήρωμα της fαπό το α στο β είναι
αν το όριο υπάρχει. Τότε λέμε ότι ηf(x) είναι ολοκληρώσιμη στο [α,β].
Θεώρημα: Αν η f(x) είναι συνεχής στο[α,β], τότε είναι ολοκληρώσιμη στο
[α,β].
β=<<<= nn tttaP L10 :
∫ ∑ Δ==→
β
ξa
jjPtfdttf )(lim)(
n
1j0||||
Παραδείγματα - ΟρισμένοολοκλήρωμαΓια μια συνεχή συνάρτηση f(t) το είναιανεξάρτητο από τη διαμέριση και την επιλογήτων σημείων ξj
Για χάρη απλότητας υποθέτουμε ότι τομήκος κάθε διαστήματος είναι το ίδιοκαι επιλέγουμε ως ξj τα δεξιά άκρα τωνυποδιαστημάτων [tj-1, tj]
Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το ∫1
0tdt
nPPS
0||||lim
→
nat −
=Δβ
njn
ajatjaj ,,2,1 , L=−
+=Δ+=βξ
21
2)1(111
)1
1
0
21
21
11
limlim(lim
lim)(lim
=+
∞→=
∞→=
∞→
=∞→
=∞→
===
==
∑∑
∑∑∫nn
nnn n
n
jn
n
jn
n
jjn
n
jjn
jn
j
ΔtΔtftdt ξξ
Θεμελιώδες θεώρημα τουαπειροστικού λογισμού
Έστω f (x) μια συνεχής συνάρτηση στοδιάστημα [α,β], τότε
όπου F(x) είναι μια αντιπαράγωγοςτης f (x), δηλαδή F’ (x) = f (x).
ββ
β aaxFaFFdxxf )()()()( =−=∫
Τεχνικές ολοκλήρωσης
- με αντικατάσταση ή αλλαγή μεταβλητής
- κατά παράγοντες
∫∫==′
)(
)()()()]([
)(
ββ g
agaduufdxxgxgf
xgu
∫
∫
′−−=
=′
β
β
ααββa
a
dxxgxfgfgf
dxxgxf
)()()()()()(
)()(
Ιδιότητες των ορισμένωνολοκληρωμάτωνΈστω ότι f(x) και g(x) είναι ολοκληρώσιμεςστο [α, β]. Τότε
0)( =∫a
adxxf
∫∫ −=α
β
β
dxxfdxxfa
)()(
∫∫∫ +=ββ
γ
γ
dxxfdxxfdxxfaa
)()()(5. Αν α<γ<β, τότε
1.
2.
,0)(είναι ],[ Αν ≥∈∀ tfat β
4.
0)( ≥∫β
adttf
),()(είναι ],[ Αν tgtfat ≤∈∀ β
3.
∫∫ ≤ββ
aadttgdttf )()(
σταθερά ,)()( kdxxfkdxxkfaa∫∫ =ββ
6.
7.
( ) ∫∫∫ +=+β
α
β
α
β
αdxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Εφαρμογές της ολοκλήρωσης
Υπολογισμός εμβαδούa) Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο
[α, β] και f(x) ≥ 0 στο [α, β], τότε
όπου Α το εμβαδόν της περιοχήςμεταξύ του x-άξονα και τουγραφήματος της f στο [α, β].
Adxxfa
=∫β
)(
y
α βΔx
A f(x)
x
y=f(x)
∑∫ Δ=→Δ
xxfdxxfxa
)(lim)(0
β
Υπολογισμός εμβαδού
Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο [α, β]και f(x) < 0 στο [α, β], τότε
όπου Α το εμβαδόν της περιοχήςμεταξύ του x-άξονα και τουγραφήματος της f στο [α, β].
Adxxfa
−=∫β
)(
y
α β
Ax
y=f(x)
y= -f(x)
B
Επειδή εμβαδόν του A= εμβαδόν του B, και
∫ −=β
adxxfB )]([
Υπολογισμός εμβαδού
c) Εμβαδόν χωρίου μεταξύγραφημάτων
∫ −β
adxxgxf )()(
f(x)
g(x)
α βx
y
Μέση τιμή
Έστω f μια συνεχή συνάρτηση στο[a,β]. Η μέση τιμή της f στο διάστημα[a,β] είναι
∫−
=β
β adxxf
af )(1
Υπολογισμός της μάζας αντικειμένου(μια διάσταση)
μάζα αντικειμένου =
όπου ρ(x) η πυκνότητα στη θέση x.
βα
∫βρ
adxx)(
Αφθονία ενός είδους στη στήλητου νερού
A(x) : αριθμός ατόμων (π.χ. φυτοπλαγκτού, ψαριών) από την επιφάνεια στο βάθος x ( ή συνολικήποσότητα αλατιού, νιτρικών κ.α.)
ρ(x) : πυκνότητα ή συγκέντρωση στο βάθος x
Δx
1m1m
x
x +Δx
∫=x
dyyxA0
)()( ρ
Όγκος στερεού
Όγκος στερεού από περιστροφή μιαςπεριοχής Α(x) μεταξύ α και β
A
α β x
r=f(x)Δx
y
α β
[ ]∫∑ ⎯⎯ →⎯Δ →Δ
βππ
adxxfxxf x
20
2 )()]([
[ ]∫=βπ
adxxfV 2)(
Καταχρηστικά ή γενικευμέναολοκληρώματα (improper integrals)
Χαρακτηριστικά των καταχρηστικώνολοκληρωμάτων
1. Το ένα ή και τα δύο όρια τηςολοκλήρωσης είναι το άπειρο, δηλαδή το διάστημα ολοκλήρωσηςδεν είναι φραγμένο
2. Η συνάρτηση που ολοκληρώνεταιδεν είναι φραγμένη, δηλαδήαπειρίζεται σε ένα ή περισσότερασημεία στο διάστημα ολοκλήρωσης
α) Πρώτου είδους- μη φραγμένοδιάστημα ολοκλήρωσης
ή ή
Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο[α, ∞), ορίζουμε
Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο(-∞, β], ορίζουμε
∫∞
adxxf )( ∫
∞−
βdxxf )( ∫
∞
∞−dxxf )(
∫∫ ∞→=
∞ z
aadxxfdxxf
z)()( lim
∫∫ →−∞=
∞−
ββ
zdxxfdxxf
z)()( lim
Παράδειγμα
Έστω ότι ο ρυθμός παραγωγής ενόςχημικού μειώνεται εκθετικά με τοχρόνο σύμφωνα με την εξίσωση
Η ποσότητα της ουσίας που παράγεταιμεταξύ t=0 και t=T είναι
Πόση ποσότητα της ουσίας θαπαραγόταν αν το πείραμα διαρκούσεάπειρο χρόνο;
)(moles/sec te
dtdP −=
Tt eT
dte −− −=∫ 10
( ) (mole) 11limlim00
=−== −
∞→
−
∞→
− ∫∫∞
T
T
t
T
t eT
dtedte
Παράδειγμα
Παραγωγή χημικού με ρυθμό
Πόσο χημικό παράγεται μετά από πολύχρόνο;
)(moles/sec 1
1tdt
dQ+
=
( ) !!!! )1ln(limlim00 1
11
1∞=+===
∞→∞→∞ ∫∫ ++
∞TQ
TT
Tdtdt
tt
Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής στο[α, ∞). Αν
υπάρχει και έχει πεπερασμένη τιμή, λέμε ότι το ολοκλήρωμα
συγκλίνει. ∆ιαφορετικά, λέμε ότι τοολοκλήρωμα αποκλίνει
∫∞→
z
adxxf
z)(lim
∫∞
adxxf )(
Παραδείγματα
Η συνάρτηση είναι συνεχήςστο [1,∞) και η g(x)=e-ax είναι συνεχής στο[0,∞)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<∞=∫
∞
1 ,1-p
11p0 ,
1
1px
dxp
0 ,1
)( >= px
xfp
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤∞+
>=∫
∞−
0 ,
0 ,1
0
a
aadxe ax
∆ιάστημα ολοκλήρωσης (-∞, ∞)
Έστω f(x) μια συνεχής συνάρτηση στοδιάστημα (-∞, ∞). Τότε
όπου α πραγματικός αριθμός. Αν καιτα δύο καταχρηστικά ολοκληρώματαστο δεξιό μέλος συγκλίνουν, τότε ητιμή του καταχρηστικού ολοκληρώματοςστο αριστερό μέλος ισούται με τοάθροισμα των δύο οριακών τιμών στοδεξιό μέλος.
∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
+=a
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
β) ∆ευτέρου είδους- μη φραγμένησυνάρτηση
Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε έναδιάστημα (α,β] και , τότε τοΟλοκλήρωμα
αν το όριο υπάρχει (πεπερασμένο) τότε τοκαταχρηστικό ολοκλήρωμα λέμε ότισυγκλίνει. Αν το όριο είναι ±∞ τότε λέμεότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει.
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Η συνάρτηση f(x) =1/√x είναι συνεχής στο (0,1], αλλάγια x 0+, f(x) ∞. Για c � (0,1) υπολογίζουμε
±∞=+→)(lim xf
ax
),()(lim)( , βββ
α
acdxxfdxxfca
c
∈= ∫∫+
→
1
0
1∫ dx
x
cc
xdxxc
221
211
−==∫
2)22(lim1
lim1
0
11
0 0
=−=++
→→
=∫∫ cdxx
dxx cc
c
Παράδειγμα
Η συνάρτηση είναι συνεχήςστο (0, 1]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥∞=∫ 1 ,
p-11
1p , 11
0px
dxp
pxxf
1)( =
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία
C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004Chapter 6: όλοChapter 7: 7.1, 7.2, 7.3 και 7.4
F. R. Adler. “Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists”. Brooks/Cole, 1998. Chapter 4: 4.3- 4.8
M. R. Cullen “Mathematics for the biosciences”. Techbooks, 1983Sections: 18-25
