Materi Pembelajaran

EKSPONEN Konsep eksponen

Definisi 1Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. an adalah hasil kali bilangan a

sebanyak n faktor, dapat ditulis an=a × a ×a × …× a⏟

n faktor

dengan a sebagai basis bilangan pokok dan n sebagai pangkat.Catatan :

1. Pada definisi 1 di atas, kita sepakati a1 cukup ditulis a.2. Jika n adalah sebuah variabel( variabel sebagai eksponen dari a), maka perlu

dicermati semestanya dimana variabel itu dibicarakan. Sebab an=a × a ×a × …× a⏟

n faktor ,

berlaku ketika semesta n∈N .Contoh soal :

Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam. Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 24 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlahnya menjadi 96 bakteri.

a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.b. Berapa jumlah bakteri dalam waktu 8 jam. Pangkat Bulat Negatif

Definisi 2Untuk a adalah bilangan real dan a≠ 0, m bilangan bulat positif, didefinisikan

a−m=( 1a )

m

Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:

a−m=( 1

a )m

=( 1a )(1

a )( 1a )…( 1

a )⏟m faktor

¿ 1

a ×a × a ×…× a⏟mfaktor

¿ 1am

Contoh :Jika nilai x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x−3 ( y4 ) = ....Penyelesaian:

x−3 ( y4 )= y 4

x3 = 24

(−2)3=16−8

=−2

Pangkat NolDefinisi 3Untuk a bilangan real dan a ≠ 0 , maka a0=1

Sifat-sifat pangkat bulat positifSifat 1 Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka am× an=am+n

Bukti : a

m× an=a×a× a ×…× a⏟mfaktor

×a× a ×a × …×a⏟n faktor

¿a × a ×a × …×a⏟m+n faktor

¿am+n

Sifat 2Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif maka am

an =am−n .

Pembuktian sifat 2, terkait bilangan bulat positif m dan n. ada 2 kemungkinan, yaitu (a) m>n , (b ) m<n . Bukti :

(a) Kasus m>n

am

an =

a × a× a× …× a⏟m faktor

a × a× a× …× a⏟n faktor

¿a × a ×a × …×a⏟m−n faktor

¿am−n

Jadi am

an =am−n , dengan m, n bilangan bulat positif dan m>n

(b)Kasus m<n

am

an =

a × a× a × …× a⏟m faktor

a × a× a × …× a⏟n faktor

¿1

a ×a × a×…× a⏟n−mfaktor

¿ 1an−m

Sifat 3 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif maka (am)n=am× n

Bukti : (a

m)n=am × am ×am× …×am⏟n faktor

¿(a ×a × a ×…× a⏟

mfaktor )(a × a× a ×…× a⏟mfaktor )… (a × a× a × …× a⏟

m faktor )⏟n faktor

= (a × a×a × …×a⏟m×n faktor )

(am)n=am× n

BENTUK AKAR

PETA KONSEP

PRASYARAT MATERI POKOK MANFAAT

Bentuk Akar

Diberikan a bilangan real tidak negatif, maka akar kuadrat dari a ditulis √a, didefinisikan sebagai berikut :

√a=b dimana b2=a dan b≥ 0

Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai n√a , dengan a

adalah bilangan pokok/basis dan n adalah indeks/eksponen akar. Bentuk akar dan pangkat

memiliki kaitan erat. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya.

Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab , dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat, bilangan pecahan murni, dan bilangan pecahan

desimal. Sedangkan, bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk pecahan. Bilangan irrasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal

Menyelesaikan permasalahan bentuk akar pada operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

Merasionalkan bentuk akar

Definisi akar

Dalam bidang kimia, mencari konsentrasi H+¿¿ yang dirumuskan dengan H+¿=√Ka. M ¿

Perpangkatan pecahan

Bilangan Rasional dan

Irrasional

Bilangan Real

Dalam bidang fisika, mencari kecepatan benda pada Gerak Jatus Bebas, dimana kecepatan dirumuskan dengan v=√2gh

- Bilangan rasional dan irrasional dari bentuk akar

- Bentuk pangkat rasional dari akar

tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irrasional, misalnya √2 = 1,414213562373...,

e = 2,718..., π = 3,141592653… dan sebagainya.

Hubungan Bentuk Akar Dan Bilangan Berpangkat

Bentuk akar dapat diekspresikan ke dalam bentuk pangkat rasional. Diberikan a

bilangan real dan n bilangan bulat dengan n≥ 2. Jika akar pangkat n dari a ada, maka a1/n

didefinisikan sebagai berikut :

a1/n=n√a

Jika m adalah bilangan bulat positif yang tidak memiliki faktor persekutuan dengan n, maka :

am/n=( a1/n )m= ( n√a )m dan am/n=( am )1 /n=

n√am

Contoh Soal :

1. Tentukan bentuk akar di bawah ini merupakan bilangan rasional atau irrasional! Berikan

alasannya!

a. √27 b. 3√27

Jawab :

a. √27 merupakan bilangan irrasional karena tidak dapat diubah ke dalam bentuk ab

b. 3√27 merupakan bilangan rasional karena dapat diubah ke dalam bentuk ab , sehingga

hasil dari 3√27=3

2. Tentukan bentuk pangkat rasional dari bentuk akar berikut!

a. 4√ x3 y b. t 5√t 2

Jawab :

a. 4√ x3 y=x34 y

14

b. t 5√t 2=t . t25

¿ t1+2

5

¿ t75

3. Seorang pengamat meletakkan tiang pada titik A, B, dan C untuk mengukur jarak pada

seberang kolam. Jarak AC dan BC diukur dalam satuan yard seperti yang ditunjukkan

pada gambar. Tentukan jarak AB!

MANFAAT MATERI / MATERI LANJUT

MATERI POKOK

PENJUMLAHAN BENTUK AKARPENGURANGAN BENTUK AKAR

PERKALIAN BENTUK AKARPEMBAGIAN BENTUK AKAR

OPERASI HITUNG DALAM ALJABAR( SIFAT DISTRIBUTIF PERKALIAN TERHADAP

PENJUMLAHAN )

BENTUK AKAR

HUBUNGAN BENTUK AKAR DAN BILANGAN BERPANGKAT

PANGKAT PECAHAN

PESERTA DIDIK DAPAT MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR

PESERTA DIDIK DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH DALAM KEHIDUPAN SEHARI –

HARI YANG MENGGUNAKAN OPERASI BENTUK AKAR

MATERI PRASYARATPETA KONSEP

Jawab :

Titik A, B, dan C apabila dihubungkan membentuk segitiga siku-siku. Untuk mencari

jarak AB, kita menggunakan teorema Pythagoras.

c2=a2+b2

c2=472+252

c2=2209+625

c2=2834

c=√2834

c ≈ 53,2

Jadi jarak AB adalah 53,2 yard

OPERASI BENTUK AKAR

1. OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR

Operasi penjumlahan dan pegurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk

akarnya sejenis. Bentuk akar sejenis adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen

( pangkat ) dan basis ( bilangan pokok ) yang sama. Untuk setiap p , q , dan r adalah

bilangan real dan r≥0berlaku sifat-sifat berikut.

p n√r+q n√r=( p+q ) n√r

p n√r−q n√r=( p−q ) n√r

Contoh :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana !

1. 3√8+4 √8=. ..

2. √5+√7=. . .

3. 2 3√4−4 3√4=.. .

4. √8−√3=.. .Penyelesaian :

1. 3√8+4 √8=(3+4 )√8=7√8

2. √5+√7=. . .( tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak sama )

3. 2 3√4−4 3√4=(2−4 ) 3√4=−2 3√4

4. √8−√3=.. . ( tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak sama )

2. OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BENTUK AKAR

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa apq =

q√ap. Sifat perkalian dan

pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.

1. 4 3√5×2 3√7=( 4×2 ) ( 3√5×7 )=8 3√35

2. 3 5√5×5 7√5=(3×5 )(515×5

17 )=15(5

1235 )=15 35√512

3.

3 3√44 3√5

=34

3√ 45

4.

2 4√33 4√5

=23

4√ 35

Jadi secara umum dapat ditulis :

a n√c×b n√d=ab n√cd

dengan a , b , c , dan d bilangan real,c>0 dan d>0

a n√cb n√d

=ab

n√ cd

dengan a , b , c , dan d bilangan real, c>0 dan d>0 ,serta b≠0

Contoh soal penerapan :

1. Pada musim dingin jari- jari penampang melintang sebuah batang

pohon mangga adalah

52 √ x

cm, namun pada musim panas ukurannya

menyusut sejauh √ x cm. Hitunglah penurunan luas penampang

batang pohon mangga tersebut pada musim panas !

Penyelesaian :

Diketahui : Jari – jari batang mula – mula = r1=

52 √ x

cm

Jari – jari batang setelah menyusut = r2=

52 √ x−√ x

cm

Ditanya : Penurunan luas penampang ( L )

Jawab :

Konsep yang digunakan untuk menjawab soal adalah luas daerah lingkaran

dan operasi pada bentuk akar.

L = Luas mula- mula – Luas batang setelah menyusut

= πr

12− πr22

=π ( 5

2 √x )2−π ( 5

2 √x−√x )2

=25

4πx−π ( 5

2 √x−22 √ x)

2

=25

4πx−π ( 3

2 √x )2

=25

4πx− 9

4πx

=16

4πx

=4 πx

Jadi, penurunan luas penampang tumbuhan tersebut =4 πx cm2.

MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR

Suatu bentuk pecahan yang memuat bilangan bentuk akar dikatakan sederhana jika dipenuhi:

1. Setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.

1. Pecahan bentuk a√b

Bentuk akar a√b

dengan b ≠ 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara

mengalikan pecahan dengan √b sehingga:a√b

= a√b

× √b√b

=ab √b

Contoh:

Sederhanakan bentuk3√6

!

Penyelesaian: 3√6

= 3√6

× √6√6

=36 √6=1

2 √6

2. Pecahan bentuk a

b−√c

Untuk menyederhanakan bentuk pecahan a

b−√cdan a

b+√c adalah dengan

mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari b−√cadalah b+√c. Sebaliknya, bentuk sekawan dari b+√c adalah b−√c sehingga:

ab+√c

= ab+√c

× b−√cb−√c

=a¿¿

ab−√c

= ab−√c

× b+√cb+√c

=a(b+√c)

(b−√c)(b+√c)=

a(b+√c)b2−c

Contoh:

Rasionalkan penyebut2

3−√2Penyelesaian:

23−√2

= 23−√2

× 3+√23+√2

=2(3+√2)

9−2=6+2√2

7=6

7+ 2

7 √2

3. Pecahan bentuk a

√b−√c

Untuk menyederhanakan bentuk a

√b−√cdan a

√b+√c, yaitu dengan cara mengalikan

sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari√b+√c adalah √b−√c. Sebaliknya, bentuk √b−√c adalah √b+√c sehingga:

a√b+√c

= a√b+√c

× √b−√c√b−√c

=a(√b−√c)

b−ca

√b−√c= a

√b−√c× √b+√c

√b+√c=

a(√b+√c)b−c

Contoh:

Rasionalkan bentuk4

√7−√5Penyelesaian:

4√7−√5

= 4√7−√5

× √7+√5√7+√5

=4 (√7+√5)

7−5=2(√7+√5)

4. Menyederhanakan bentuk akar√ (a+b )−2√a .bBentuk√(a+b)±2√ab dapat diubah menjadi bentuk (√a ±√b) dengan syarat a ,b∈R dan a>bBukti:¿(√a ±√b )=√(a+b)± 2√abJadi, √(a+b)±2√ab=√a ±√bContoh:Sederhanakan bentuk√8+2√15Penyelesaian:

√8+2√15=√ (5+3 )+2√5× 3=√5+2√5× 3+3=√(√5+√3)2=√5+√3

LOGARITMA

Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan

pangkatnya disebut sebagai operasi logaritma, yang dapat ditulis:

Dimana: a disebut basis (0<a<1 atau a>1) b disebut numerus (b > 0) c disebut hasil logaritma

Misalkan a, b, c € R, a > 0, a ≠1, dan b >0 maka a log b=c⇔ac=b

Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) = a

log x dengan a bilangan real, a > 0, a ≠ 1 serta x > 0. x adalah variabel (peubah bebas) dan a adalah bilangan pokok atau basis.

Definisi

Sifat-Sifat LogaritmaMisalkan a dan n bilangan real, a>0, b>0 dan a≠1, maka

1.a log a=1

2.a log 1=0

3.a log an=n

4.a log (b×c )=a logb+ a log c

5.

a log( bc )=a logb−a log c

6. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a> 0, a≠1, dan b>0, berlaku a log bn=n a logb

7. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a≠1, b≠1 dan c≠1, berlaku

a log b=c log bc log a

= 1b log a

8. Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a≠1, dan c≠1, berlaku a log b×b log c=a logc

9. Untuk a, b, dan c bilangan real positif a≠1, berlaku

amlog bn= n

m(a log b )

dengan m, n

bilangan bulat dan m≠0

10. Untuk a dan b bilangan real positif a≠1, berlaku aa log b=b