matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/wp-content/uploads/2017/01/... · Web viewMata kuliah ini mempelajari tentang konsep dasar pembuktian deduktif, penalaran induktif

KEMENTERIAN RISET & TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGIUNIVERSITAS SRIWIJAYA

Jalan Palembang-Prabumulih Km 32 Indralaya Ogan Ilir Sumatera SelatanTelpon 0711-....................................; Fax:...........................................

RENCANA PROGRAM SEMESTER(RPS)

I. Deskripsi Mata Kuliah: Mata kuliah ini mempelajari tentang konsep dasar pembuktian deduktif, penalaran induktif dan deduktif, kalimat matematika, intuisi dan bukti, logika matematika, pernyataan berkuantor, argumentasi logis, membaca definisi dan teorema, teknik pembuktian, pembuktian langsung dan tak langsung, induksi matematika, serta menyusun dan menulis bukti.

II. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah : Mahasiswa dapat memahami tentang konsep dasar pembuktian deduktif Mahasiswa mampu mengembangkan pemikiran matematis yang diawali dari pemahaman prosedural hingga pemahaman yang luas

meliputi penalaran logis, abstraksi, dan bukti formal untuk menyelesaikan masalah-masalah pembuktian deduktif Mahasiswa dapat memahami penalaran induktif dan deduktif, kalimat matematika, intuisi dan bukti, logika matematika, pernyataan

berkuantor, argumentasi logis, membaca definisi dan teorema Mahasiswa mampu memaknai teknik pembuktian, pembuktian langsung dan tak langsung, induksi matematika, serta menyusun dan

menulis bukti. Mahasiswa memiliki sikap bertanggung jawab, bekerja sama dalam menyelesaikan tugas

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Pembukrian Deduktif / GMA 15435Jumlah SKS : 2 SKSSemesterDosen Pengampu

::

Ganjil 1. Dr. Yusuf Hartono2. Weni Dwi Pratiwi, S. Pd,. M. Sc



Pert

Capaian Pembelajaran

(CP) Pertemuan

Kemampuan akhir capaian

pembelajaran

Bahan Kajian/Materi

Pembelajaran

Metode Pembelajaran

Pengalaman Belajar

Kriteria Penilaian(Indikator) Waktu

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

1 Rencana perkuliahan dan sistem penilaian yang digunakan di dalam perkuliahan

Mahasiswa memahami rencana perkuliahan dan sistem penilaian yang digunakan di dalam perkuliahan

Silabus, Sistem Penilaian, Pengantar, dan Review

Penyajian oleh dosen, Diskusi, dan Tanya jawab

Mahasiswa paham dengan rencana perkuliahan & pemberian sedikit review

Sikap Pengetahuan

2 x 50 menit

2 Memahami Penalaran induktif dan deduktif

1. Mahasiswa dapat memahami penalaran deduktif dan induktif.

2. Mahasiswa dapat membedakan antara penalaran deduktif dan induktif

Penalaran induktif dan deduktif

Penyajian oleh dosen, Diskusi, dan Tanya jawab

Menjelaskan definisi penalaran deduktif dan penalaran induktif

Sikap Pengetahuan

2 x 50 menit

3 Memahami Kalimat Matematika

Mahasiswa dapat memahami Kalimat Matematika

Preposisi, Keterhubungan dan Tabel Kebenaran

Penyajian oleh dosen, Diskusi, Tanya jawab, Latihan

Membuat kalimat matematika dalam tabel kebenaran Ms. Excel

Sikap Pengetahuan Keterampilan

2 x 50 menit



(Preposisi, Keterhubungan, Tabel kebenaran, Negasi, Kalimat terbuka, Kalimat tertutup, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi)

dan Tugas

4 Memahami Intuisi dan Bukti

Mahasiswa dapat memahami berbagai macam pembuktian dalam matematika

Intuisi dan Bukti

Penyajian oleh dosen, Diskusi, tanya jawab, Latihan dan tugas

Menjelaskan intuisi dan cara pembuktiannya

Sikap Pengetahuan

2 x 50 menit

5 Memahami Logika Matematika

Mahasiswa dapat memahami Logika Matematika

Logika Matematika

Penyajian oleh dosen, Problem Solving, Diskusi, tanya jawab, latihan dan tugas

Menjelaskan definisi Logika Matematika dan cara penyelesaiannya.

Sikap Pengetahuan Keterampilan

2 x 50 menit

6 Memahami Pernyataan Berkuantor

Mahasiswa dapat memahami Pernyataan Berkuantor

Pernyataan Berkuantor

Penyajian oleh dosen, Problem Solving,

Menjelaskan definisi Pernyataan Berkuantor dan contohnya

Sikap Pengetahuan

2 x 50 menit



diskusi, dan tanya jawab, latihan tugas

7 Memahami Argumentasi Logis

Mahasiswa dapat: 1. Memahami

definisi barisan argument logis

2. Menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan argumentasi logis

Argumentasi Logis

Diskusi, tanya jawab, latihan dan tugas

1. Penjelasan materi oleh dosen

2. Tanya jawab3. Pembahasan soal-

soal latihan

2 x 50 menit

8 UTS (Ujian Tengah Semester)

Ujian tertulis Tes tertulis 2 x 50 menit

9 Dapat Membaca Definisi dan Memahami Teorema

Mahasiswa dapat:1. Dapat Membaca

Definisi 2. Memahami

Teorema

Definisi dan Teorema

Penyajian oleh dosen, Problem Solving, diskusi, dan tanya jawab

Menjelaskan, Membaca Definisi dan Memahami Teorema

SikapPengetahuanKeterampilan

2 x 50 menit



10 Memahami Teknik pembuktian

Mahasiswa dapat mengetahui macam-macam teknik pembuktian serta membuktikan suatu teorema dengan berbagai macam teknik tersebut

Teknik pembuktian

Problem Solving, diskusi, dan tanya jawab

Menjelaskan dan memahami teknik-teknik pembuktian


2 x 50 menit

11 Memahami Pembuktian Langsung


konsep pembuktian langsung

2. Siswa mampu menyelesaikan cara pembuktian langsung

Pembuktian Langsung


Menjelaskan dan memahami cara pembuktian langsung


2 x 50 menit

12. Memahami Pembuktian tak Langsung

Mahasiswa dapat:1. Memahami

pembuktian langsung

2. Siswa mampu menyelesaikan secara

Pembuktian tak langsung

Probem Solving, ceramah, diskusi, dan tanya jawab

Menjelaskan dan memahami cara pembuktian langsung


2 x 50 menit



pembuktian tak langsung.

13. Memahami Induksi Matematika

Mahasiswa dapat:1. Memahami

induksi matematika

2. Meyelesaikan permasalahan menggunakan metode dengan induksi matematika

Induksi Matematika

Penyajian oleh dosen, Problem Solving, diskusi, dan tanya jawab, tugas serta latihan

Menjelaskan dan menyelesaian permasalahan dengan metode induksi matematika


2 x 50 menit

14. Dapat Menyusun Bukti

Mahasiswa dapat Memahami dan tahu bagaimana cara Menyusun Bukti

Menyusun Bukti


Mengetahui bagaimana Menyusun Bukti

Sikap PengetahuanKeterampilan

2 x 50 menit

15. Dapat Menulis Bukti


bagaimana cara menulis bukti

1. Dapat Menulis Bukti


1. Mengetahui bagaimana cara Menulis Bukti


2 x 50 menit

16 UAS (ujian akhir semester)

Ujian tulis Tes 2 x 50 menit



Daftar Referensi :

Taylor, J and Garnier, R. 2014. Understanding Mathematical Proof. Boca Raton, FL: CRC Press.

Penetapan Nilai Akhir

Nilai Akhir (NA) = Total nilai persubkompetensi

Keterangan

Kriteria penentuan nilai subkompetensi adalah sebagai berikut.

Komponen BobotTugas 20%Sikap/Absensi 10 %UTS 30%UAS 40%

Mengetahui Inderalaya, Juni 2015

Ketua Jurusan/Prodi, Dosen Ybs,

Dr.H. Ismet, M.Si. Dr. Yusuf Hartono



Weni Dwi Pratiwi, S. Pd,. M. Sc

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN

(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Mahasiswa memahami rencana perkuliahan dan sistem penilaian yang digunakan di dalam perkuliahan

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)1. Mahasiswa dapat memahami silabus perkuliahan2. Mahasiswa dapat memahami sistem penilaian3. Mahasiswa dapat memahami pengantar dan review tentang pembuktian matematika

III. Bahan Kajian Pembelajaran1. Silabus2. Sistem Penilaian3. Pengantar dan Review

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode/SKS : Pembukrian Deduktif / GMA 15435/2 SKSKelas/Semester : Indralaya/Palembang/5JP/Pertemuan Ke-Dosen Pengampu

::

2 JP/Ke-11. Dr. Yusuf Hartono2. Weni Dwi Pratiwi, S. Pd,. M. Sc



IV. Metode dan Model PembelajaranPenyajian oleh dosen, diskusi, tanya-jawab

V. Pengalaman PembelajaranLANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN Waktu

Kegiatan Awal Dosen mengkondisikan kelas Dosen menanyakan kabar dan kesiapan mahasiswa dalam mengikuti mata kuliah Pembuktian Deduktif Dosen memperkenalkan diri selaku pengajar mata kuliah Pembuktian Deduktif serta mengecek kehadiran mahasiswa

sekaligus perkenalan terhadap mahasiswa dan sebagai kegiatan apersepsi Dosen memberikan motivasi kepada mahasiswa bahwa pentingnya mata kuliah ini Menyampaikan tujuan pembelajaran. Menyampaikan prosedur pembelajaran dengan belajar secara individu

20 menit

Kegiatan Inti Eksploration (Eksplorasi)

1. Dosen menjelaskan:a. Tujuan mata kuliahb. Ruang lingkup mata kuliahc. Kebijaksanaan pelaksanaan perkuliahand. Kebijakan penilaian hasil belajare. Tugas yang harus diselesaikanf. Buku ajar yang digunakan dan sumber belajar lainnya

Elaboration (Elaborasi) Memberikan pengantar pembuktian deduktif dan review Diskusi

60 menit



Confirmation (Konfirmasi) Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin ditanyakan

terhadap apa yang disajikan oleh dosen.

Kegiatan Akhir Menjelaskan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya dan apa perlengkapan yang diperlukan untuk

belajar

10 menit

VI. Alat/Bahan/Sumber Belajar LCD Silabus Diktat (PDF)

VII. Penilaian Hasil Belajar: -VIII. Catatan Diskusi Kelas.

NO Nama/ NIM Pertanyaan Jawaban Tanggapan

1 Monalisa Mengapa aksioma tidak memerlukan pembuktian?

Karena aksioma adalah suatu kesepakatan nyata yang melandasi pernyataan matematika dan harus diterima oleh pembelajar matematika.

Sesi Winarni



2. Qonitha Amalia

Apa perbedaan Lemma dan Teorema?

Teorema adalah pernyatan yang harus dibuktikan dengan definisi dan aksioma. Sedangkan Lemma adalah suatu pernyataan yang dibuktikan dengan menggunakan definisi, aksioma dan teorema pada sebelumnya.

Hurairoh

Mengetahui, Indralaya, Juni 2015Ketua Program Studi Dosen Pengampu,

Cecil Hiltrimartin, M.Si,. Ph. D Dr. Yusuf Hartono





(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Memahami perbedaan penalaran induktif dan deduktif perkuliahan

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa memahami perbedaan penalaran induktif dan deduktif

III. Bahan Kajian PembelajaranPenalaran Induktif dan Deduktif

IV. Metode dan Model PembelajaranPenyajian oleh dosen, diskusi, dan tanya-jawab

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode/SKS : Pembukrian Deduktif / GMA 15435/2 SKSKelas/Semester : Indralaya/Palembang/5JP/Pertemuan Ke- : 2 JP/Ke-2Dosen Pengampu : 1. Dr. Yusuf Hartono

2. Weni Dwi Pratiwi, M. Sc




Kegiatan Awal Dosen mengkondisikan kelas Dosen menanyakan kabar dan kesiapan mahasiswa dalam mengikuti mata kuliah Pembuktian Deduktif Dosen memberikan motivasi kepada mahasiswa bahwa pentingnya mata kuliah ini

20 menit


Dosen menjelaskan: Mengingatkan kembali tentang penalaran matematika Memotivasi mahasiswa dengan memberitahu manfaat penalaran induktif dan deduktif

Elaboration (Elaborasi) Menjelaskan pengertian penalaran deduktif dan induktif Mahasiswa berdiskusi perbedaan dari kedua penalaran tersebut



60 menit

Kegiatan Akhir Memberikan tes kepada mahasiswa tentang beberapa contoh dari penalaran induktif dan deduktif Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan.

60 menit




VII. Penilaian Hasil BelajarPembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajar

No. Aspek Penilaian Bobot Tertinggi Nilai Siswa

1. Siswa aktif bertanya dan berargumen secara kritis 20

2. Siswa cukup aktif bertanya dan berargumen secara kritis

15

3. Siswa kurang aktif bertanya dan berargumen secara kritis

10

4. Siswa tidak aktif bertanya dan berargumen secara kritis

5

Perhitungan nilai akhirNilai akhir : Skor yang diperoleh X 100

Skor maksimal



Catatan Diskusi Kelas.


1 Fitri Indah Sari Apa yang dimaksud dengan penalaran induktif dan penalaran deduktif ?

Penalaran induktif adalah cara berpikir atau bernalar matematika dengan menggunakan informasi yang spesifik untuk mendapatkan generalisasi.Sedangkan Penalaran Induktif adalah penalaran matematis dengan cara berpikir dari suatu yang umum ke lebih khusus.

Qonitha Amalia


Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr. Yusuf Hartono




SATUAN ACARA PEMBELAJARAN(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami kalimat matematika

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat memahami Kalimat Matematika (Preposisi, Keterhubungan, Tabel kebenaran, Negasi, Kalimat terbuka, Kalimat tertutup, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi)

III. Bahan Kajian PembelajaranPreposisi, Keterhubungan dan Tabel Kebenaran

IV. Metode dan Model PembelajaranProblem Solving, diskusi, dan tanya-jawab

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode/SKS : Pembukrian Deduktif / GMA 15435/2 SKSKelas/Semester : Indralaya/Palembang/5JP/Pertemuan Ke- : 2JP/Ke-3Dosen Pengampu : 1. Dr. Yusuf Hartono






20 menit


Dosen menjelaskan: Menjelaskan pengertian kalimat matematika Menjelaskan macam-macam keterhubungan dalam kalimat matematika

Elaboration (Elaborasi) Melatih membuat kalimat matematika dalam table kebenaran menggunakan Ms. Excel



60 menit

Kegiatan Akhir Memberikan tes beberapa kalimat matematika untuk melihat nilai kebenarannya menggunakan formula pada Ms.

Excel

10 menit

VI. Alat/Bahan/Sumber Belajar LCD Silabus



Diktat (PDF)

VII. Penilaian Hasil Belajar

1. Penilaian menulis hasil diskusi


1. Isi gagasan yang dikemukakan 30

2. Organisasi isi 20

3. Tata Bahasa 20

4. Gaya: pilihan struktur dan kosa kata 15

5. Ejaan 5

Jumlah 90

2. Pembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajar

No. Aspek Penilaian Bobot

Tertinggi Nilai Siswa





7


5


2

KeteranganSkor maksimum = Jumlah Skor Hasil Menulis Makalah + Skor tertinggi keaktivan Mhs.

Perhitungan nilai akhir

Nilai akhir : Skor yang diperoleh X 100

Lampiran

No Soal Jawaban Bobot1. Ingkaran dari pernyataan :

“Jika kamu rajin belajar, maka kamu akan naik kelas” adalah

Ingkaran dari pernyataan :“Jika kamu rajin belajar, maka kamu akan naik kelas” adalah“Kamu rajin belajar tetapi tidak naik kelas”

30

2 Ekuivalen dari pernyataan :“ Jika hari ini hujan, saya akan membawa payung”

Ekuivalensinya adalahp :hariini hujanq : sayaakanmembawa payung p→q ≡−q →−p

−q →−pJika hari tidak hujan, saya tidak akan membawa payung.

40



3. Ingkaran dari “Saya suka bakso atau nasi padang”

Pernyataan : “Saya suka bakso atau nasi padang”Misalkan

p :saya sukabaksoq : Sayasuka nasi padang pvqIngkarannya adalah− ( pvq )≡−p∧−q

−p∧−qSaya tidak suka bakso dan nasi padang

30







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami materi intuisi dan bukti

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat memahami berbagai macam pembuktian dalam matematika

III. Bahan Kajian PembelajaranIntuisi dan bukti

IV. Metode dan Model PembelajaranPenyajian oleh dosen, diskusi, tanya-jawab







20 menit


Dosen menjelaskan: Menjelaskan intuisi dan pembuktian

Elaboration (Elaborasi)Memberikan penjelasan tentang macam-macam pembuktian matematika, atau metode dalam pembuktian matematikaConfirmation (Konfirmasi)

Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin ditanyakan terhadap apa yang disajikan oleh dosen.

60 menit

Kegiatan Akhir Tes tertulis Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan. Memberikan tugas.

10 menit




VII. Penilaian Hasil BelajarPembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajar





15


10


5

Perhitungan nilai akhirNilai akhir : Skor yang diperoleh X 100

Skor maksimal





1 Monalisa Apa yang dimaksud dengan konjektur apa bedanya dengan teorema ?

Konjektur adalah suatu pernyataam yang belum tentu nilai kebenarannya, sehingga kita harus membuktikan nilai kebenaran konjektur tersebut . Jika pernyataan tersebut memenuhi semua kondisi maka dapat dikatan sebagai teorema jika hanya kondisi tertentu saja yang dipenuhi maka dinamakan konjektur.

Hurairoh


Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr. Yusuf Hartono NIP. 196403111988032001 NIP. 196411161990031002




(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami materi logika matematika

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat memahami materi logika matematika

III. Bahan Kajian PembelajaranLogika Matematika

IV. Metode dan Model PembelajaranProblem Solving, diskusi, tanya-jawab







20 menit


Dosen menjelaskan: Mengingatkan mahasiswa tentang pelajaran logika matematika yang pernah dipelajari sebelumnya Memotivasi mahasiswa dengan memberitahu manfaat logika matematikaElaboration (Elaborasi) Dengan tanya jawab, dosen menggiring mahasiswa untuk menanamkan konsep logika matematika Mahasiswa mendiskusikan cara penyelesaian dalam permasalahan yang berkaitan dengan logika matematkaConfirmation (Konfirmasi)Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin ditanyakan terhadap apa yang disajikan oleh dosen.

60 menit

Kegiatan Akhir Tes tertulis Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan. Memberikan tugas.

10 menit

VI. Alat/Bahan/Sumber Belajar



LCD Silabus Diktat (PDF)

VII. Penilaian Hasil Belajar1. Penilaian Hasil Menulis Makalah




3. Tata Bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90








7


5


2




Skor maksimal





1







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami materi tentang pernyataan berkuantor

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat memahami materi pernyataan berkuantor

III. Bahan Kajian PembelajaranPernyataan berkuantor

IV. Metode dan Model PembelajaranPenyajian oleh dosen, problem solving, diskusi, tanya-jawab

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode/SKS : Pembuktian Deduktif / GMA 15435/2 SKSKelas/Semester : Indralaya/Palembang/5JP/Pertemuan Ke- : 2JP/Ke-6Dosen Pengampu : 1. Dr. Yusuf Hartono






20 menit

Kegiatan Inti Eksploration (Eksplorasi)Memotivasi mahasiswa dengan memberitahu manfaat pernyataan berkuantor Elaboration (Elaborasi) Menjelaskan pengertian pernyataan berkuantor Mahasiswa melakukan presentasi contoh pernyataan berkuantor Mahasiswa berdiskusi dan melakukan tanya jawab Confirmation (Konfirmasi)


60 menit

Kegiatan Akhir Tes tertulis Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan.

10 menit








3. Tata Bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90





7




5


2




Skor maksimal

Lampiran

No Soal Jawaban Bobot1 p ( x )=x sukaminum kopiPernyataan

mana yang bernilai sama ?1 ∀x , p(x )2 ∀x , ¬p(x )3 ¬∀x , p(x )4 ¬∀x , ¬p(x )5 ∃x , p(x )6 ∃x , ¬p(x )7 ¬∃x , p(x )

1 ∀x , p(x ) ≡ Semua anggota x suka minum kopi2 ∀x , ¬p(x ) ≡ Semua anggota x tidak suka minum kopi3 ¬∀x , p(x )≡ Tidak semua anggota x suka minum kopi4 ¬∀x , ¬p(x ) ≡ Tidak semua anggota x tidak suka minum kopi5 ∃x , p(x ) ≡ Ada anggota x yang suka minum kopi6 ∃x , ¬p(x )≡ Ada anggota x yang tidak suka minum kopi

7 ¬∃x , p(x )≡ Tidak ada anggota xyang suka minum kopi¬∃x , ¬p(x )≡ Tidak ada yang tidak suka minum kopi

100



¬∃x , ¬p(x ) Kesimpulan :∀x , p(x ) ≡¬∃ x ,¬ p (x)¬∀ x , p(x )≡∃x , ¬p(x )¬∀x , p(x )≡ ∃x , ¬p(x )

¬∀x , ¬p(x ) ≡∃ x , p(x)







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami materi argumentasi logis

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat memahami argumentasi logis

III. Bahan Kajian PembelajaranArgumentasi Logis

IV. Metode dan Model PembelajaranPenyajian oleh dosen, problem solving, diskusi, tanya-jawab







20 menit


Memotivasi mahasiswa dengan memberitahu manfaat argumentasi logis Elaboration (Elaborasi)

Dosen akan memberikan suatu permasalahan dan meminta mahasiswa untuk melakukan diskusi dan tanya jawab untuk strategi menyelesaikan suatu permasalahan tersebut

Setelah melakukan diskusi dan tanya jawab, dosen menggiring mahasiswa menemukan pengertian dari argumentasi logis



60 menit

Kegiatan Akhir Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan.

10 menit








3. Tata Bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90



2. Pembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajarNo. Aspek Penilaian Bobot Tertinggi Nilai Siswa


2. Siswa cukup aktif bertanya dan berargumen secara kritis 7

3. Siswa kurang aktif bertanya dan berargumen secara kritis 5

4. Siswa tidak aktif bertanya dan berargumen secara kritis 2




Skor maksimal



Lampiran


No Soal Jawaban Bobot1 Periksalah apakah argumentasi berikut sahih !

Jika saya belajar, maka saya akan lulus ujian.Jika saya tidak pacaran, maka saya dapat belajar.Saya tidak lulus ujian∴ Saya pacaran

Dengan mendefinisikan pernyataan-pernyataan :p=sayabelajarq=saya pacaranr=Saya lulus ujian

1. p → r2. ¬q → p3. ¬r ∴ q 4. ¬r → ¬p 1 kontraposisi5. ¬p 4,3 modus ponens6. q 2,5 modus tollens

Jadi argumen diatas shahih.

100








(SAP)

I. Capaian Pembelajaran PertemuanMenumbuhkan pemahaman dan mampu mengerjakan UTS dengan jujur dan percaya diri

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat menyelesaikan soal UTS dengan jujur dan percaya diri

III. Bahan Kajian Pembelajaran UTS (Ujian tengah semester)

IV. Metode dan Model PembelajaranUjian tertulis






Kegiatan Awal Mengkondisikan kelas. Dosen menanyakan kehadiran mahasiswa Menyampaikan prosedur UTS secara individu

10 menit

Kegiatan Inti Mahasiswa memulai UTS

70 menit

Kegiatan Akhir Dosen memberikan tugas untuk membaca materi pertemuan berikutnya.

10 menit


VII. Penilaian

Penilaian Hasil Belajar

No Soal Jawaban Bobot

1 Gunakan sifat operasi pernyataan untuk membuktikan:

a. ( p∨q )∧¬( p∧q)≡¬( p ↔ q)( p∨q )∧¬( p∧q)≡¬( p→ q)∧(q → p)( p∨q )∧¬( p∧ q)≡¬( p → q)∨¬(q → p)( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡¬ ( p∨¬q )∨¬ (q∨¬ p )( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡ (¬ p∧q )∨ (¬ q∧ p )

20



Adalah tautologi( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡¿( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡ (¬ p∨¬q )∧ (q∨¬ q )∧¿( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡¿( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡ (¬ p∨¬q )∧ (q∨ p )( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡¬ ( p∨q )∧ ( p∨q )( p∨q )∧¬ ( p∧q )≡ ( p∨q )∧¬ ( p∨q )

b. [ ( p∧¬ (¬ p∨q ) )∨ ( p∧q ) ] → p≡T

[ ( p∧ ( p∨¬ q ) )∨ ( p∧q ) ]→ p≡T[ ( p∧ p∧¬q )∨ ( p∧q ) ]→ p ≡T[ ( p∧¬q )∨ ( p∧q ) ]→ p≡T[ F∨ ( p∧q ) ] → p≡T( p∧q )→ p≡ T( p∧q )∧¬ p≡ T( p∧q )∧(q∨¬ p)≡TT∧ (T ) ≡T

2. Jika kacamataku di dapur, aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan. Aku membaca koran di ruang tamu atau di dapur. Aku membaca koran di ruang tamu atau di dapur. Jika aku membaca koran di ruang tamu, pastilah kacamataku kuletakkan di meja

Diketahui : p=kacamatakudidapurq=melihatnya ketika sarapanr=membacakorandi Ruangtamus=membacakorandidapurt=kacamata di Ruangtamup →qr∨ sr →t∼qs→ p∴tDijawab :p →q∼q∼ p

20



tamu. Aku tidak melihat kacamataku ketika sarapan. Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur. Jadi, kacamataku ada di meja tamu.

s→ p∼ p∼ s

r∨ s≡r →∼sr →∼ s∼ srr →t ≡∼ t →∼rrt(Terbukti)

3. Diberitakan a , b∈Z+¿¿sedemikian hingga b>a>0, tunjukkan bahwa:

3.A

a , bϵ Z+¿ ,b>a>0¿b>ab+b>a+b2 b>a+bb> a+b2

a+b2

<b

b>aa+b>a+aa+b>2aa> a+b2

a+b2

<a

Karena a+b

2<b dan a+b

2<amaka a< a+b

2<b

3BTunjukkan a<√a . b<b !0<a<ba<ba . a<a .ba2<a .ba<√a .ba<ba . b<b .ba .b<b2√a . b<bKarena a<√a .b dan √a .b<b maka a<√a .b<b.

20

4. Periksa pernyataan berikut:”Jika n adalah bilangan genap, maka (n2−3 n+1) positif”.a. Beri satu contoh yang kontradiksi

dengan pernyataan di atas

Pernyataan : Jika nadalah genap, maka n2−3 n+1 positifa. Jika n=2 , maka n2−3 n+1=22−3. n+1=4−6+2=0 (bukan positif)b. Jika n=4 , maka n2−3 n+1=42−3.4+1=16−12+1=5 ( positif )c. Misalkan

20



b. Beri satu contoh yang tidak kontradiksi dengan pernyataan di atas

c. Tuliskan ingkaran dari pernyataan

p=nadalah genapq=n2−3n+1 positif p→q≡ p∨∼qIngkarannya adalah∼ ( p∨∼q )≡∼ p∧q

∼ p∧q≡ nadalahbilangan ganjil dan n2−3n+1 positif

5. Tentukkan ingkaran dari pernyataan: “Ada bilangan rasiona r sedemikian hingga r ϵ A= {√2 , π }∨r ϵ B={−√2 ,√3 , e }

. Pernyataan : Ada bilangan rasional r sedemikian hingga r ϵ A={√2 , π } or r ϵ B={−√2 ,√3 , e }Ingkaran : Semua bilangan rasional r sedemikian hingga r ϵ A={√2 , π } and r ϵ B={−√2 ,√3 , e }

20

JUMLAH 100







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :





Agar mahasiswa memahami cara membaca definisi dan teorema

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat membaca definisi dan teorema

III. Bahan Kajian PembelajaranMembaca definisi dan teorema




20 menit


Memotivasi mahasiswa dengan cara memberi tahu manfaat membaca definisi dan teorema Elaboration (Elaborasi)

Menjelaskan cara membaca definisi dan memahami teorema Mahasiswa diberi contoh definisi dan teorema Mahasiswa berlatih bagaimana cara membaca definisi dan bagaimana memahami teorema dengan

60 menit



berdiskusi Mahasiswa dapat mengajukan pertanyaan dalam penjelasan materi

Confirmation (Konfirmasi) Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin

ditanyakan terhadap apa yang disajikan oleh dosen.

Kegiatan Akhir Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan

i. menit








3. Tata bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90






7


5


2






Skor maksimal

Lampiran


1




Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr. Yusuf Hartono NIP. 196403111988032001 NIP. 196411161990031002




(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan Agar mahasiswa memahami materi macam-macam teknik pembuktian

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat mengetahui macam-macam teknik pembuktian serta membuktikan suatu teorema dengan berbagai macam teknik tersebut

III. Bahan Kajian PembelajaranTeknik Pembuktian








20 menit

Kegiatan Inti Eksploration (Eksplorasi)Memotivasi mahasiswa dengan memberitahu manfaat mempelajari teknik pembuktian Elaboration (Elaborasi) Dosen akan menampilkan suatu teorema dan menjelaskan salah satu teknik untuk membuktikan teorema tersebut Dengan tanya jawab antara dosen dan mahasiswa, dosen menggiring mahasiswa untuk memahami macam-macam teknik

pembuktian Mahasiswa akan diberi beberapa teorema dan diminta berdiskusi untuk menjelaskan bagaimana membuktikan suatu

teorema dengan berbagai macam teknik pembuktian Confirmation (Konfirmasi)


60 menit


10 menit

VI. Alat/Bahan/Sumber Belajar LCD Silabus



Diktat (PDF)





3. Tata bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90





7




5


2




Skor maksimal



Lampiran


1







I. Capaian Pembelajaran Pertemuan Agar mahasiswa memahami materi pembuktian langsung

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat:

1. Memahami konsep pembuktian langsung2. Siswa mampu menyelesaikan cara pembuktian langsung

III. Bahan Kajian PembelajaranPembuktian Langsung





IV. Metode dan Model Pembelajaran

Problem Solving, diskusi, tanya-jawab



20 menit


Dosen menjelaskan: Menjelaskan konsep pembuktian langsung

Elaboration (Elaborasi) Mahasiswa diberi sebuah pembuktian (teorema atau lemma) dan diminta untuk menjelaskan pembuktian langsung

berdasarkan konsep Mahasiswa lain akan berkomentar mengenai pembuktian langsung sehingga terjadi tanya jawab dan diskusi kelas



60 menit


10 menit








3. Tata bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90

4. Pembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajarNo. Aspek Penilaian Bobot






7


5


2




Skor maksimal

Lampiran

No Soal Jawaban Bobot1 Buktikan teorema berikut ini .

“Jumlah dua bilangan bulat berurutan ganjil”

“Jumlah dua bilangan bulat berurutan ganjil”Pernyataan diatas ekuivalen dengan “Jika m dan n adalah bilangan bulat berurutan, maka m+n ganjil”Akan dibuktikan dengan metode



kontrapositif.Kontrapositif : Jika m+ngenap, maka m dan n bukan bilangan bulat berurutan.Analisis bukti :Jika m dan n berurutan (dengan m>n¿,

maka m−n=1. Berarti harus dibuktikan bahwa m−n tidak mungkin

sama dengan 1. Kalau m+n genap, maka m+n=2k atau m=2k−n

sehingga m−n=(2k−n )−n=2 (k−n )

Jadi, m−n genap dan tidak mungkin sama dengan 1







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami materi pembuktian tak langsung


1. Memahami definisi pembuktian langsung2. Siswa mampu menyelesaikan secara pembuktian tak langsung.

III. Bahan Kajian PembelajaranPembuktian tak langsung








20 menit


Dosen menjelaskan: Menjelaskan pengertian pembuktian tak langsung

Elaboration (Elaborasi) Mahasiswa diberi sebuah pembuktian (teorema atau lemma) dan diminta untuk menjelaskan pembuktian tak langsung

berdasarkan konsep Mahasiswa lain akan berkomentar mengenai pembuktian langsung sehingga terjadi tanya jawab dan diskusi kelas



60 menit


10 menit








3. Tata bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90







7


5


2




Skor maksimal

Lampiran



No Soal Jawaban Bobot1 Susunlah bukti dari teorema berikut

ini. Untuk semua bilangan real x , jika 0<x<1, maka

1x(1−x)

≥ 4

Akan dibuktikan dengan kontradiksiBukti :

Misalkan 0<x<1 dan 1

x(1−x)<4 .. 2¿

Karena x>0 dan 1−x>0, mengalikan kedua ruas persamaan 2) dengan x (1−x ) memberikan 1<4 x(1−x) atau

4 x2−4 x+1<0Tetapi 4 x2−4 x+1= (2 x−1 )2. Jadi kita peroleh (2 x−1 )2<0 sebuah kontradiksi karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif. Kontradiksi ini membuktikan teorema.

100







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami materi induksi matematika


1. Memahami definisi induksi matematika2. Meyelesaikan soal menggunakan metode dengan induksi matematika

III. Bahan Kajian PembelajaranInduksi Matematika








20 menit


Dosen menjelaskan: Menjelaskan pengertian induksi matematika Menjelaskan konsep induksi matematika dan prinsip induksi matematika, serta metode pembuktian dengan induksi

Elaboration (Elaborasi) Mahasiswa diminta menyelesaikan soal-soal berupa soal induksi matematika Mahasiswa diminta mendiskusikan hasil pengerjaan soal dari masing-masing siswa dan terjadi proses tanya jawab

antar mahasiswa. Sosen membimbing dan memfasilitasi jalannya diskusi



60 menit

Kegiatan Akhir Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan

10 menit








3. Tata bahasa 20


5. Ejaan 5

Jumlah 90







7


5


2




Skor maksimal





1







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami cara menyusun bukti

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat Memahami dan tahu bagaimana cara Menyusun Bukti

III. Bahan Kajian PembelajaranMenyusun bukti








20 menit


Dosen menjelaskan:Garis besar dasar-dasar menyusun bukti dan cara menyusun bukti

Elaboration (Elaborasi)Dengan Tanya jawab, dosen menggiring mahasiswa untuk menyusun bukti Confirmation (Konfirmasi)Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin ditanyakan terhadap apa yang disajikan oleh dosen.

60 menit

Kegiatan Akhir Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan Memberikan tugas

10 menit




VII. Penilaian Hasil BelajarTeknik dan Bentuk Instrumen PenilaianTeknik penilaian : Tes dan Non TesBentuk : Tertulis (uraian)a. Penilaian Hasil BelajarNo Indikator Soal Jawaban Bobot

1

b. Penilaian KinerjaMeliputi partisipasi dalam bertanya, menjawab, dan memberi tanggapan.

Lampiran

No Soal Jawaban Bobot1 Susunlah bukti dari teorema berikut ini.

Untuk semua bilangan real x , jika 0<x<1, maka

1x(1−x)

≥ 4

Akan dibuktikan dengan kontradiksiBukti :

Misalkan 0<x<1 dan 1

x(1−x)<4 .. 2¿

Karena x>0 dan 1−x>0, mengalikan kedua ruas persamaan 2) dengan x (1−x ) memberikan 1<4 x(1−x) atau

4 x2−4 x+1<0Tetapi 4 x2−4 x+1= (2 x−1 )2. Jadi kita peroleh (2 x−1 )2<0

100



sebuah kontradiksi karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif. Kontradiksi ini membuktikan teorema.







(SAP)

I. Capaian Pembelajaran Pertemuan :Agar mahasiswa memahami bagaimana menulis bukti

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat menulis bukti dengan benar

III. Bahan Kajian PembelajaranMenulis Bukti








20 menit


Dosen menjelaskan: Bagaimana menulis bukti

Elaboration (Elaborasi)Dengan tanya jawab, dosen menggiring mahasiswa untuk menulis bukti Confirmation (Konfirmasi)


60 menit

Kegiatan Akhir Tes tertulis Menggiring mahasiswa untuk merangkum materi yang diperkuliahkan. Memberikan tugas

10 menit




VII. Penilaian Hasil BelajarTeknik dan Bentuk Instrumen PenilaianTeknik penilaian : Tes dan Non TesBentuk : Tertulis (uraian)

a. Penilaian Hasil BelajarNo Indikator Soal Jawaban Bobot

1 makalah

b. Penilaian KinerjaMeliputi partisipasi dalam bertanya, menjawab, dan memberi tanggapan.

Lampiran

No Soal Jawaban Bobot1 Buktikan n2+1≥2n untuk bilangan

bulat n dengan 1 ≤n ≤ 4. Buktikan dengan kasus :

n=1 ,2=12+1≥ 21=2n=2 ,5=22+1≥ 22=4n=3 ,10=32+1≥23=8

n=4 ,17=42+1≥ 24=16Jika a bilangan real negatif,

40

2 Jika a bilangan real negatif, buktikan bahwa fungsi

Bukti. Akan ditunjukkan bahwa ax˜2

+ bx˜ + c ≥ ax 2 + bx + c atau 60



f (x ) = ax 2 + bx + c mencapai maksimum pada x˜ = −b/(2a).

setara dengan (x˜ − x )[a(x˜ + x ) + b] ≥ 0, yang tentu benar apabila x˜ − x = 0, menyisakan kasus x˜ − x = 0; yaitu, x˜ − x < 0 atau

x˜ − x > 0. Without loss of generality, misalkan x˜ − x > 0. Karena a < 0 dan x˜ = −b/(2a), kita peroleh a(x˜ + x ) + b ≥ 0. Bukti selesai







I. Capaian Pembelajaran Pertemuan1. Sikap dan Tata Nilai:

1. Menjunjung tinggi nilai kemanusiaan dalam menjalankan tugas berdasarkan agama, moral, dan etika;2. Berperan sebagai warga negara yang bangga dan cinta tanah air, memiliki nasionalisme serta rasa tanggungjawab pada Negara

dan bangsa;3. Bekerja sama dan memiliki kepekaan social serta kepedulian terhadap masyarakat dan lingkungan;4. Menunjukkan sikap bertanggungjawab atas pekerjaan di bidang keahliannya secara mandiri;

2. Pengetahuan:Agar mahasiswa memahami pembuktian deduktif

3. Keterampilan Kerjaa. Mampu menerapkan pemikiran logis, kritis, sistematis, dan inovatif dalam konteks pengembangan atau implementasi ilmu

pengetahuan dan teknologi yang memperhatikan dan menerapkan nilai humaniora yang sesuai dengan bidang keahliannya;b. Mampu menunjukkan kinerja mandiri, bermutu dan terukur;





c. Mampu mengambil keputusan secara tepat dalam konteks penyelesaian masalah di bidang keahliannya, berdasarkan hasil analisis informasi dan data.

II. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator)Mahasiswa dapat menyelesaikan soal UAS

III. Bahan Kajian Pembelajaran UAS (Ujian akhir semester)

IV. Metode dan Model PembelajaranUjian tertulis


Kegiatan Awal Mengkondisikan kelas. Dosen menanyakan kehadiran mahasiswa Menyampaikan prosedur UAS secara individu

10 menit

Kegiatan Inti Mahasiswa memulai UTS

70 menit

Kegiatan Akhir Dosen memberikan tugas untuk membaca materi pertemuan berikutnya.

10 menit




VII. Penilaian Penilaian Hasil Belajar

No Soal Jawaban Bobot

1 Tentukan hipotesis dan konklusi dari pernyataan-pernyataan berikuta. Bilangan bulat yang habis dibagi 3

dan 5 habis dibagi 15b. Hasil kali tiga bilangan genap

berurutan selalu habis dibagi 8c. Jika f dan g adalah dua fungsi naik,

maka g ° f juga naik

a. Hipotesis : 3|adan5|aKonklusi : 5∨a

b. Jika a , b , cadalah 3 bilangan berurutan, maka 8∨a , b , cHipotesis : a , b , c adalah 3 bilangan berurutanKonklusi : 8∨a ,b , c

c. Hipotesis : f dan g adalah 2 fungsi naikKlonkusi :go f adalah fungsi naik

15

2. Buktikan:a. Jika r∈R sedemikian hingga r2=2

irasional (bukti formal)b. Grafik fungsi

f ( x )=x3 dan g (x )=x2−2x mempunyai satu titik potong (bukti formal)

a. Jika rϵR sedemikian hingga r2=2 dan r rasional karena r

rasional , maka r=pq dimana p ,q bilangan bulat yang pembagi

terbesar adalah l . Oleh karena itu,

r2=2( pq )

2

=2 p2=2q2…1¿berdasarkan (1) maka p adalah

genap, makap2=2 q2(2 k )2=2q24 k2=2 q22 k2=q2 …2¿

Karena (ii) maka q adalah genap

20



Berdasarkan (i) dan (ii) maka p dan q adalah genap. Dan hal ini adalah kontradiksi dari asumsi awal, sehingga terbukti bahwa √ 2 adalah irasional.B. Grafik fungsi f ( x )=x3 dan g ( x )=x2−2 x mempunyai satu titik potong .Ambil sembarang titik didaerah asal misalnya a , b maka akan dibuktikan bahwa a=b .

Jika diambil titik a, makaf ( a )=a3g (a )=a2−2atitik potong f ( a ) dan g (a )

a3−a2+2 a=0a ( a2−a+2 )=0akar yang memenuhi

adalah a=0 Jika diambil titik b, maka

f (b )=b3f (b )=b2−2b

25

3. Periksa kesalahan pada bukti dibawah ini kemudian perbaiki:a. Buktikan bahwa ∀a>0 ,∃ xϵ R

sedemikian hingga x2>a. Bukti:

b. Buktikan bahwa ∀ x≠ 0ϵ R

3. A. Buktikan ∀a>0 ,∃❑xϵ R x2>aBukti : (2 a )2=4a2>ax=2 aKesalahannya :Seharusnya sebelum operasi, maka harus dideklarasikan dahulu bilangan x yang dipilih yaitu x=2 a . Berbanding terbalik dengan pernyataan tersebut. Sehingga bukti yang benar adalah ∀a>0 ,pilih x=2a ,maka x2=(2 a )2=4 a2>aBerdasarkan operasi diatas maka x2>a

20



B. Buktikan ∀ x≠ 0 ϵ RBukti :

|1x|= 1

|x|x≥ 0↔ 1

x≥ 0 1)so 1

x=1

x 3)

x≤ 0 ↔ 1x

≤ 0 2¿so−1x= 1

−x4¿¿−1

x

Dari 1 dan 2 tidak sesuai dengan data diketahui maka seharusnya x<0 dan x>0

Seharusnya dimulai dari |1x| dan akan dibulatkan menuju

1|x|

Seharusnya dimulai dari

|1x|=|1|

|x|= 1

|x|

20






Documents

matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/wp-content/uploads/2017/01/... · Web viewMata kuliah ini mempelajari tentang konsep dasar pembuktian deduktif, penalaran induktif