a n q r

Criterii de divizibilitate.

Def. Spunem că un număr natural a este divizibil cu un număr natural b dacă există un alt număr natural c astfel încât a=bc. În acest caz a se numeşte multiplu al lui b şi c , iar b şi c se numesc divizori ai lui a. Vom nota a b şi citim a este divizibil cu b, sau b/a şi citim b divide a , dacă a este divizibil cu b, iar în caz contrar a b sau a ∤ b Exemple: 1) 8 este divizibil cu 2 deoarece există numărul natural 4 astfel încât 8=24. În acest caz notăm 82 sau 2/8. 2) 6 3 deoarece 6=32; 45 9 deoarece 45=95; 20 / 60 deoarece 60=205; 10/50 deoarece 50=105 etc. Contraexemple : 6 ∤ 7 deoarece nu există nici un număr natural care înmulţit cu 6 să ne dea 7 ; 2∤ 5 deoarece nu există nici un număr natural care înmulţit cu 2 să ne dea 5. Teorema împărţirii cu rest. Fie a şi n două numere naturale cu n0. Atunci există şi sunt unice două numere naturale q şi r astfel încât a = nq + r cu 0 r < n. a se numeşte deîmpărţit, n se numeşte împărţitor, q se numeşte cât iar r se numeşte rest. Relaţia mai este şi cunoscută sub forma D= îc + r, 0 r < î.

Conform teoremei de mai sus observăm că un număr natural n divide pe a dacă şi numai dacă restul împărţirii lui a la n este zero, adică a= nq.

Folosind acest rezultat şi ştiind tabla înmulţirii ( din care rezultă şi cea a împărţirii cu rest zero ) obţinem foarte uşor unele rezultate ca de exemplu: 6 /18 ; 5/25; 81 9; 48 8 , dar nu la fel de evident este că 18 / 72 sau 16 / 48 etc. , acest lucru verificându-se prin împărţiri. Pentru a simplifica calculele şi studiind tabla înmulţirii au apărut criteriile de divizibilitate.

C0. Singurul număr divizibil cu 0 este 0. ( deoarece 0=00) C1. Orice număr natural este divizibil cu 1.

Exp . 5 1 deoarece 5=15; 53 1 deoarece 53=153; 0 1 deoarece 0=10 C2. Un număr natural este divizibil cu 2 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este un număr par , adică este

0,2,4,6,sau 8. Exp . 244 2 deoarece u.c(244)= 4 - cifră pară; 3570 2 deoarece u.c(3570)= 0 - cifră pară; 166 2 deoarece u.c(166)= 6- cifră pară; 1008 2 deoarece u.c(1008)= 8 - cifră pară; etc.

C3. Un număr natural este divizibil cu 3 dacă şi numai dacă suma cifrelor numărului este un număr divizibil cu 3. Exp . Voi nota cu S.c.(n) suma cifrelor numărului n. Atunci 42 3 fiindcă S.c(42)= 4+2= 6 3 ; 426 3 fiindcă S.c(426)= 4+2+6= 12 3 ; 678 3 fiindcă S.c(678)= 6+7+8= 30 3 123456789 3 fiindcă S.c(123456789)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9= 45 3 pentru că S.c(45)=4+5=9 3 .

C4. Un număr natural este divizibil cu 4 dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale sale luate în ordinea în care sunt scrise formează un număr divizibil cu 4.

Numerele divizibile cu 4 până la 100 (adică multiplii de-ai lui 4): 0 ; 4; 8 ; 12 ;16; 20;24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; 72; 76; 80; 84; 88; 92; 94; 96.

Exp . 244 4 deoarece u.2.c.(244)= 44 4 ; 3560 2 deoarece u.2.c(3560)= 60 4 . 6204 4 deoarece u.2.c.(04)= 4 4 ; 3332 2 deoarece u.2.c(3332)= 32 4 .

C5. Un număr natural este divizibil cu 5 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Exp . 420 5 fiindcă u.c(420)= 0 ; 6355 5 fiindcă u.c(6355)= 5;

C6. Un număr natural este divizibil cu 6 dacă şi numai dacă se divide şi cu 2 şi cu 3 , deci ultima sa cifră este pară iar suma cifrelor numărului este un număr divizibil cu trei. Exp . 420 6 fiindcă u.c(420)= 0 2 şi S.c(420)= 6 3; 744 6 fiindcă u.c(744)= 4 2 şi S.c(744)= 15 3.

*C7. Un număr natural m=__________________

0121... aaaaa nn se divide cu 7 dacă şi numai dacă ________________

341... aaaa nn ________

012 aaa 7. Exp . 691355 7 deoarece 691 355=336 7; 336=7 48; se poate verifica că 691355=798765.

*C8. Un număr natural m=__________________

0121... aaaaa nn se divide cu 8 dacă şi numai dacă a0 +2a1 + 4a2 8.

Exp 984 8 deoarece a0 +2a1 + 4a2 =4+28 +49=4+16 +36=56 8; 7901234568 8 deoarece a0 +2a1 + 4a2 =8+26 +45=8+12+20=40 8; C9. Un număr natural este divizibil cu 9 dacă şi numai dacă suma cifrelor numărului este un număr

divizibil cu 9. Exp . 45 9 fiindcă S.c(45)= 4+5= 9 9 ; 423 3 fiindcă S.c(423)= 4+2+3= 9 3 ; 6786 9 fiindcă S.c(6786)= 6+7+8+6= 27 9

C10. Un număr natural este divizibil cu 10 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este 0 . Exp . 420 10 deoarece u.c(420)= 0 ; 3330 10 fiindcă u.c(3330)= 0 ; 102010 10 fiindcă u.c(102010)=0

*C11. Un număr natural m=

__________________

0121... aaaaa nn se divide cu 11 dacă şi numai suma a0 a1 + a2 a3 + a4-=….. este divizibilă cu 11, adică (a0 + a2 + a4+…)(a1 + a3 + a5 +…) 11 . Exp 2838 11 deoarece a0 a1 + a2 a3=83+82=11 11 ; 109989 11 deoarece(a0 + a2 + a4)(a1 + a3 + a5 )=(9+9+0)(8+9+1)=0 11

C12. Un număr natural este divizibil cu 12 dacă şi numai dacă se divide şi cu 3 şi cu 4. Exp . 420 12 fiindcă S.c(420)= 6 2 şi u.2.c(420)= 20 4; 1728 12 fiindcă S.c(1728)= 18 3 şi u.2.c(1728)= 28 4.

*C13. Un număr natural m=__________________

0121... aaaaa nn se divide cu 13 dacă şi numai dacă ________________

341... aaaa nn ________

012 aaa 13. Exp . 850616 13 deoarece 850 616=234 13; 336=7 48; se poate verifica că 850616=13 65432.

R. 1) Orice număr care se divide cu 7,11,13 se divide şi cu 1001=71113. Ce trebuie ştiut este faptul că ________________

1001 abcabcabc adică: 6931001=693.693 ; 1231001=123.123 ; 4551001=455.455

2) Un număr natural m=__________________

0121... aaaaa nn se divide cu 7,11 şi 13 dacă şi numai dacă ________________

341... aaaa nn ________

012 aaa se divide cu 7,11,13. C14. Un număr natural este divizibil cu 14 dacă şi numai dacă se divide şi cu 2 şi cu 7.

Exp . 84 14 fiindcă u.c(84)= 4 2 şi 84 7; 691362 14 deoarece 691 362=329 7 şi u.c(691362)=2 2. C15. Un număr natural este divizibil cu 15 dacă şi numai dacă se divide şi cu 3 şi cu 5.

Exp . 45 15 fiindcă S.c(45)= 9 3 şi u.c(45)= 5; 8475 15 fiindcă S.c(8475)= 24 3 şi u.c(8475)= 5. C25. Un număr natural este divizibil cu 25 dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale numărului luate în

ordinea care apar formează un număr care se divide şi cu 25, adică numărul se termină în 25,50,75 sau 00 . Exp . 975 25 fiindcă u.2.c(975)= 75 ; 67325 25 fiindcă u.2.c(67325)= 25.

C100. Un număr natural este divizibil cu 100 dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale numărului sunt 00 . Exp . 1000 100 fiindcă u.2.c(1000)= 00 ; 700 100 fiindcă u.2.c(700)= 00.

Exerciţii: 1. Scrieţi numerele divizibile cu 2 din şirul de numere naturale, apoi pe cele divizibile cu 5: 1; 2; 5;10; 12;15; 20; 37;130;39; 45; 50; 2010. 2. Scrieţi toţi divizorii numerelor: 4; 12; 18; 24; 25. 3. Scrieţi numerele divizibile cu 2 cuprinse între 1 şi 15. 4. Scrieţi numerele divizibile cu 5 cuprinse între 1 şi 26. 5. Scrieţi numerele divizibile cu 10, cel puţin egale cu 1985 şi cel mult egale cu 2010. 6. Scrieţi multiplii lui 9 mai mici decât 100. 7. Aflaţi suma divizorilor numărului 18. 8. Aflaţi suma multiplilor numărului 5 cuprinşi între 10 şi 100. 9. Care este cel mai mare număr natural de 4 cifre distincte divizibil cu 2? 10. Care este cel mai mic număr natural de 3 cifre distincte divizibil cu 5?

11. Determinaţi numerele de forma xx54 divizibile cu 2.

12. Determinaţi numerele de forma xx21 divizibile cu 2. 13. Determinaţi numerele de forma xx21 divizibile cu 5. 14. Determinaţi numerele de forma aaaa divizibile cu 2.

15. Determinaţi numerele de forma aaa divizibile cu 5. 16. Folosind cifrele 2, 0 şi 5, o singură dată, să se scrie:

a) numerele divizibile cu 2; b) numerele divizibile cu 5; c) numerele divizibile cu 10. 17. Care este cel mai mic număr de forma xx76 divizibil cu 2? Dar cel mai mare?

18. Care este cel mai mic număr de forma yx9 divizibil cu 5? Dar cel mai mare? 19. Daţi exemple de trei numere naturale care sunt divizibile cu 5 dar nu sunt divizibile cu 10. 20. Daţi exemple de trei numere naturale divizibile cu 2 şi cu 5. 21. Care dintre următoarele numere sunt divizibile cu 2 ?

a)2n; b) 2n+1; c) 3n +2; d) (n+1)(n+2); e) n(n+2). 22. Care dintre următoarele numere sunt divizibile cu 5?

a)5n; b) 5n+5; c) 5n+1; d) 10n+11; e) 15(n+1)–15. 23. Aflaţi toate numerele de forma xy1 care sunt divizibile cu 2, iar suma cifrelor este divizibilă cu 2.

24. Aflaţi toate numerele de forma xy2 care sunt divizibile cu 5, iar suma cifrelor este divizibilă cu 2.

25. Aflaţi toate numerele de forma aabb ştiind că sunt divizibile cu 5 şi a+b= 10. 26. Aflaţi toate numerele de forma abcabc ştiind că sunt divizibile cu 5, iar a+b+c= 10, a este divizibil cu 2 şi a< b. 27. La un concurs participă 100 fete şi 35 băieţi. Toţi participanţii sunt grupaţi în echipe care au acelaşi număr de copii, iar fiecare echipă are

acelaşi număr de fete. a) Arătaţi că se pot forma 5 echipe; b) Arătaţi că nu se pot forma 10 echipe.

28. Aflaţi: a) nr de o cifră care au exact 3 divizori; b) nr de două cifre care au exact 2 divizori; c) nr de o cifră care au exact 4 divizori. 29. Arătaţi că dacă 2/x atunci 4/x2 şi 8 /x3. Generalizare : 2n /xn. 30. Scrieţi numerele divizibile cu 3 şi apoi cu 9 din şirul de numere naturale: 12; 252; 540; 123; 12345; 999; 207; 3771; 13039; 2550; 2010. 31. Scrieţi toţi divizorii numerelor: 3; 9; 42; 81, 100 . 32. Scrieţi numerele divizibile cu 3 cuprinse între 1 şi 15. 33. Scrieţi numerele divizibile cu 4 cuprinse între 1 şi 26. 34. Scrieţi numerele divizibile cu 3, cel puţin egale cu 85 şi cel mult egale cu 103. 35. Scrieţi multiplii lui 12 mai mici decât 80. 36. Aflaţi suma divizorilor numărului 15. 37. Aflaţi suma multiplilor numărului 25 cuprinşi între 10 şi 100. 38. Care este cel mai mare număr natural de 4 cifre distincte divizibil cu 3? 39. Care este cel mai mic număr natural de 3 cifre distincte divizibil cu 9?

40. Determinaţi numerele de forma xx54 divizibile cu 3.

41. Determinaţi numerele de forma xx21 divizibile cu 4. 42. Determinaţi numerele de forma xx21 divizibile cu 6. 43. Determinaţi numerele de forma aaaa divizibile cu 9.

44. Determinaţi numerele de forma aaa divizibile cu 12. 45. Folosind cifrele 1, 2 şi 3, o singură dată, să se scrie:

a) numerele divizibile cu 2; b) numerele divizibile cu 3; c) numerele divizibile cu 6. 46. Care este cel mai mic număr de forma xx76 divizibil cu 3? Dar cel mai mare?

47. Care este cel mai mic număr de forma yx9 divizibil cu 9? Dar cel mai mare? 48. Daţi exemple de trei numere naturale care sunt divizibile cu 3 dar nu sunt divizibile cu 9. 49. Daţi exemple de trei numere naturale divizibile cu 4 şi cu 8. 50. Care dintre următoarele numere sunt divizibile cu 3?

a) 3n; b) 2n +3; c) 3n +3 ; d) n(n+1)(n+2); e) 6n+3 f) 3(n+1)+6n. 51. Care dintre următoarele numere sunt divizibile cu 9?

a) 9n; b) 9n + 1; c) 9n +9; d) 10n 1; e) 9n+4 . 52. Aflaţi toate numerele de forma x1 care sunt divizibile cu 3, iar suma cifrelor este divizibilă cu 3. 53. Demonstraţi că dacă cifrele unui număr de trei cifre sunt consecutive atunci numărul se divide cu 3. 54. Dacă 4/a şi 8/ a atunci 32 / a ? 55. Aflaţi toate numerele de forma x2 care sunt divizibile cu 4, iar suma cifrelor este divizibilă cu 2. 56. Aflaţi toate numerele de forma aa ştiind că sunt divizibile cu 6. 57. Aflaţi toate numerele de forma abcabc ştiind că sunt divizibile cu 11. 58. La un concurs participă 33 fete şi 18 băieţi. Toţi participanţii sunt grupaţi în echipe care au acelaşi număr de copii, iar fiecare echipă

are acelaşi număr de fete. a) Arătaţi că se pot forma 3 echipe; b) Arătaţi că nu se pot forma 2 echipe.

59. Care propoziţii sunt adevărate şi care sunt false : a) 3/42 b) 5 ∤ 25 c) 11 / 77 d) 27 3 e) 41 6 f)8 ∤ 88 g)13 este divizor al numărului 65 60. Care este cel mai mic număr de două cifre divizibil cu 15?. 61. Care este cel mai mare număr de două cifre divizibil cu 30?. 62. Aflaţi în fiecare caz cel mai mic număr natural care se divide simultan cu : a) 2 şi 5 b) 2 şi 3 c) 3 şi 4 d) 2 , 3 şi 4 e) 3 şi 5 f)2 , 3 şi 4 g) 1,2,3,4şi 5 63. Dovediţi că există numărul natural n pentru care 3n + 2 are mai mulţi de doi divizori. 64. Care este cel mai mic număr natural de trei cifre divizibil cu 2 ? Dar cu 4? Dar cu 5? Dar cu 10? Dar cu 25? Dar cu 100?. 65. O scară are 20 de trepte numerotate de la 1 la 20( treapta 1 este la sol). Un şoricel sare din două în două trepte, iar un motan sare din 5 în

5 trepte. Scrieţi numerele treptelor călcate de şoricel şi de motan.

66. Arătaţi că numerele de forma _______aabb sunt divizibile cu 11.

67. Demonstraţi că: a) ___

ab +___

ba 11 b) _____

0ba +____

0ab 101 c) _____

abc +_____

bca +_____

cab 111 d) _______

abab 101 68. Demonstraţi că :

a) Produsul a două numere naturale consecutive se divide cu 2 b) suma oricăror trei numere naturale consecutive este un număr divizibil cu 3 c) suma oricăror cinci numere naturale consecutive este un număr divizibil cu 5 d) produsul oricăror cinci numere naturale consecutive este un număr divizibil cu trei e) suma a p numere naturale consecutive se divide cu p, dacă p este impar f) produsul a p numere naturale consecutive se divide cu p.

69. Arătaţi că numărul N= 36 + 621 se divide cu 9. 70. Să se demonstreze că 1024 divide produsul primelor 100 de numere naturale nenule.