02 Akar Akar Persamaan2

  • View
    10

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

metode numerik

Text of 02 Akar Akar Persamaan2

  • METODE NUMERIKAKAR-AKAR PERSAMAAN

  • PendahuluanAkar-akar suatu persamaan dari suatu fungsi x sebenarnya adalah harga x yang membuat f(x) = 0.Sebelum kemajuan komputer, menyelesaikan suatu akar persamaan menggunakan metode analitis dan grafik.Analitis f(x) = x2 - 4x x2 - 4x = 0 x(x-4) = 0x1 = 0 atau x2 = 4

  • Jumlah Akar Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang sama, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan genap.

  • Jumlah AkarBila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang berbeda, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan ganjil.

  • Jumlah Akar Meskipun generalisasi ini biasanya benar, tetapi ada kasus tertentu dimana suatu fungsi mempunyai akar kembar atau fungsi tersebut diskontinu.

  • PendahuluanBerapa akar dari suatu f(x) = e-x-x ? Dengan analitis sulit tetapi masih bisa diselesaikan dengan metode grafik, dengan cara:

  • Metode Pendekatan Mencari Akar PersamaanMetode Tertutup (Metode Akolade)Metode Grafik (selang bisa ditentukan lebih kecil dari manual)Metode Bisection (Metode bagi dua)Metode Regulafalsi (Interpolasi Linier)Metode TerbukaMetode SecantMetode Newton Raphson

  • Metode Tertutup (Akolade)Metode ini sering disebut metode terkurung/tertutup karena membutuhkan dua tebakan awal untuk menentukan akar suatu f(x). Dua tebakan harus mengapit akarnya, berarti harus ditentukan sebelum akar dan setelah akarDalam metode akolade, grafik fungsi harus digambar secara kasar.

  • Metode GrafikMetode paling sederhana untuk memperoleh tafsiran akar suatu f(x) dengan membuat grafik dari fungsi tersebut dan kemudian mengamati berapa nilai x yang menyebabkan f(x) berharga 0. Jika selang dari tiap perubahan nilai x ditentukan semakin kecil, maka akan menghasilkan nilai yang semakin teliti.

  • Metode Grafik (Ex.)Ingin dicari suatu akar dari f(x) = ex - 2 - x2Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,5

    xf(x)0,5 0,601281 0,281721,5 0,23169

  • Metode Grafik (Ex.)Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,25

  • Metode Grafik (Ex.)Tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1,5 dan selangnya (x) = 0,2Dengan selang x = 0,25, akarnya adalah x = 1,25.Dengan selang x = 0,2, akarnya adalah x = 1,3. Dengan selang ini lebih teliti karena menghasilkan f(x) yang nilainya lebih dekat dengan 0.

  • Metode Bisection (Bagi Dua)Syarat: f(x) real/nyata dan kontinu dalam interval xi s/d xu, dimana f(xi) dan f(xu) berbeda tanda sehingga f(xi).f(xu) < 0Metode ini digunakan untuk menentukan salah satu akar dari f(x). Dasar dari metode bagi 2 adalah metode carian inkremental.

  • Metode Carian InkrementalProses dimulai dengan menentukan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda. kemudian penempatan perubahan tanda dari akar ditandai lebih teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah subinterval (pada metode bagi 2, pencarian subintervalnya dengan cara membagi dua). Setiap subinterval dicari untuk menempatkan perubahan tanda. Proses tersebut diulangi dengan subinterval yang semakin lama semakin kecil hingga dicapai suatu proses konvergensi

  • Algoritma Metode BisectionPilih harga xi yaitu harga x yang terendah dan xu yaitu harga x yang tertinggi, agar fungsi berubah tanda sepanjang interval tersebut sehingga f(xi).f(xu) < 0Taksiran pertama akar sebut dengan xr ditentukan oleh:

  • Algoritma Metode BisectionEvaluasi harga xr untuk menentukan subinterval mana yang akan memuat harga akar dengan cara sebagai berikutJika f(xi).f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka xu baru = xr.Jika f(xi).f(xr) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xi baru = xr.Jika f(xi).f(xr) = 0, maka proses komputasi berhenti dan akarnya = xr.

  • Algoritma Metode BisectionBuat taksiran akar baru = xr baru dari

    Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat dengan kebutuhan yaitu biasanya |a| |s| yang ditentukan. Jika ya hentikan komputasi, jika tidak kembali lagi ke evaluasi.

  • Metode Bisection (Ex.)f(x) = ex 2 x2, cari akarnya dengan metode bisection dimana xi = 0.5; xu = 1.5; s = 1%

  • Metode Bisection (Ex.)Langkah 1:1. xi = 0,5; xu = 1,5; f(xi) = 0,60128; f(xu) = 0,231692. 3. f(xr) = 0,28172 f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,28172) > 0 maka xi baru = 1 4.

    5.

  • Metode Bisection (Ex.)Langkah 2:3. f(xr) = f(1,25) = 0,07216 f(xi).f(xr) = (0,28172).(0,07216) > 0 maka xi baru = 1,25 4.

    5.

  • Metode Bisection (Ex.)Langkah 3:3. f(xr) = f(1,375) = 0,06445 f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,06445) < 0maka xu baru = 1,3754.

    5.

  • Metode Bisection (Ex.)Langkah 4:3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072 f(xi).f(xr) = (0,07216).(0,0072) > 0 maka xi baru = 1,31254.

    5.

  • Metode Bisection (Ex.)Langkah 5:3. f(xr) = f(1,3125) = 0,0072 f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,0277) > 0maka xi baru = 1,343754.

    5.

  • Metode Bisection (Ex.)Langkah 6:3. f(xr) = f(1,328125) = 0,010 f(xi).f(xr) = (0,0072).(0,010) < 0 maka xu baru = 1,3281254.

    5.

  • Metode Bisection (Ex.)Jika s = 1 %, maka akarnya adalah x = 1,3203

  • Metode BisectionKelemahan:Membagi interval dengan subinterval dengan membagi 2 tanpa ada perhitungan mengenai f(xi) dan f(xu) yang mana sebenarnya yang lebih mendekati akarnya

  • Metode RegulafalsiYang membedakan antara metode Regulafalsi dan Bisection dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xr.

    Penentuan pergantian besarnya subinterval tetap dipengaruhi oleh f(xi).f(xr).

  • Metode Regulafalsi (Ex.)Tentukan salah satu akar dari metode Regulafalsi dalam suatu fungsi f(x) = ex 2 x2, dimana xi = 0,5; xu = 1,5; s = 1% !

  • Metode Regulafalsi (Ex.)Langkah 11.xi = 0,5; xu = 1,5; f(xi) = f(0,5) = 0,60128; f(xu) = f(1,5) = 0,23169 2.

    3. f(xr) = f(1,2219) = 0,0994 f(xi).f(xr) = (0,60128).(0,09941) > 0maka xi baru = 1,2219; f(xi) = 0,099414.

    5.

  • Metode Regulafalsi (Ex.)Langkah 2:3. f(xr) = f(1,3054) = 0,014905 f(xi).f(xr) = (0,09941).(0,014905) > 0maka xi baru = 1,3054; f(xi) = 0,0149054.

    5.

  • Metode Regulafalsi (Ex.)Dari hasil ini ternyata metode Regulafalsi lebih cepat konvergen, daripada Bisection, tetapi belum tentu teliti. Hal ini dibuktikan dengan a dari kedua metode. Untuk xr = 1,3203; a = 0,59 pada metode Bisection, sedangkan pada metode Regulafalsi xr = 1,31716; a = 0,8928 (a Bisection < a Regulafalsi)

  • Metode TerbukaHanya membutuhkan sebuah harga tunggal dari x untuk harga awalnya atau 2 harga x tetapi tidak perlu harus mengurung akar. Metode ini berbeda dengan metode tertutup yang memerlukan 2 harga awal dan harus dalam posisi mengapit atau mengurung akar

  • Metode Newton-RaphsonTentukan harga awal xi.Garis singgung terhadap f(xi) akan diekstrapolasikan ke bawah pada sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada xi+1, sehingga xi+1 dirumuskan:

  • Kelemahan Newton -RaphsonHarus menentukan turunan dari f(x) Karena kita menentukan titik awal hanya 1, maka sering didapatkan/ditemukan akar yang divergen. Hal ini disebabkan karenaDalam menentukan xi yang sembarang ternyata dekat dengan titik belok sehingga f(xi) dekat dengan 0, akibatnya

    menjadi tidak terhingga/tak tentu sehingga xi+1 semakin menjauhi akar yang sebenarnya

  • Kelemahan Newton -RaphsonKalau xi dekat dengan titik ekstrim/puncak maka turunannya dekat dengan 0, akibatnya xi+1 akan semakin menjauhi akar sebenarnya Kadangkadang fungsi tersebut tidak punya akar tetapi ada penentuan harga awal, sehingga sampai kapanpun tidak akan pernah ditemukan akarnya.

  • SaranDisarankan sebelum menentukan titik awal dilakukan sketsa grafik terlebih dahulu.Konvergen kesalahan semakin lama semakin kecilDivergen kesalahan semakin lama semakin besar

  • Metode Newton-Raphson (Ex.)Hitung salah satu akar dari f(x) = ex 2 x2 pada titik awal 1,5; s = 1 %

  • Metode Newton-Raphson (Ex.)Langkah 11.xi = 1.5 ; f(xi) = 0,23169f(xi) = ex 2x f(1.5) = 1.4817

    2.

    3.

  • Metode Newton-Raphson (Ex.)Langkah 21.xi = 1.3436 ; f(xi) = 0,027556 f(xi) = ex 2x f(1.3436) = 1.145617

    2.

    3.

  • Metode Newton-Raphson (Ex.)Langkah 31.xi = 1.319547 ; f(xi) = 0.0085217 f(xi) = ex 2x f(1.319547) = 1.102632

    2.

    3.

  • Metode Newton-Raphson (Ex.)Jadi akar dari f(x) = ex 2 x2 adalah x = 1,319074

  • Metode SecantKelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant.

  • Metode SecantMetode Secant memerlukan 2 tebakan awal yang tidak harus mengurung/ mengapit akar Yang membedakan antara metode Secant dan Newton-Raphson dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xi+1.

  • Metode Secant (Ex.)Hitung salah satu akar dari f(x) = ex 2 x2 dengan tebakan awal 1.4 dan 1.5; s = 1 %

  • Metode Secant (Ex.)Langkah 11.xi-1 = 1,5 f(xi-1) = 0,2317 xi = 1.5 ; f(xi) = 0,2317

    2.

    f(xi+1) = 0,0125

    3.

  • Metode Secant (Ex.)Langkah 11.xi-1 = 1.4 f(xi-1) = 0,0952 xi = 1,3303 f(xi) = 0,0125

    2.

    3.

  • Metode Secant (Ex.)Jika dibandingkan dengan Newton Raphson dengan akar = 1,3191 dan a = 0,03%, maka metode Secant lebih cepat, tapi tingkat kesalahannya lebih besar