23
1 2 Dinamički opterećeni temelji 2.1 Općenito Temelje onih konstrukcija, koje su podvrgnute vibracijama ili vibrirajućem opterećenju, mora se projektirati tako da se zajamči kako vibracije neće izazvati prekomjerno slijeganje ni vibracije. Uz to treba poduzeti mjere opreza da ne nastupi rezonancija zbog približavanja frekvencije pulsirajućeg opterećenja i svojstvene frekvencije sustava temelj - temeljno tlo. S druge strane treba obratiti pažnju da ne nastupi likvefakcija u temeljnom tlu. Dimenzioniranje dinamički opt. temelja kad su krutosti i prigušenja ovisni o frekvenciji (Gazetas, 1983). Osnovni pokazatelj ponašanja dinamički opterećenih temelja (sl. 2.1-1) su amplitude njihovog titranja. Pravilnim odabirom tipa temelja njih treba svesti na veličine koje nisu nepovoljne za normalan rad strojeva i ljudi, a pri tome treba voditi računa i o ekonomičnosti projekta. Pri projektiranju treba odrediti sljedeće: 1. kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine, akceleracije itd., 2. dinamička opterećenja, 3. dinamička svojstva temeljnog tla, 4. metodu analize. Slika 2.1-1 Skica dinamički opterećenog temelja i njegovog djelovanja. U ovom će se tekstu razmatrati prvenstveno metoda analize, uglavnom prema Gazetas (1983) (ovaj tekst je Szavits-Nossan, 1984. prilagodio za jednostavnu upotrebu), a o ostalim točkama će se više raspravljati kasnije. Analizirat će se samo kruti temelji opterećeni harmonijskim opterećenjem. Seizmička opterećenja se neće razmatrati. Prikazana rješenja mogu se primijeniti i za neharmonijski opterećene temelje, primjenom načela superpozicije, tako da se neharmonijsko opterećenje Fourierovom transformacijom rastavi u harmonijska za koja se odrede rješenja, a dobiveni rezultati se sintetiziraju inverznom Fourierovom transformacijom. Kriteriji ponašanja dinamički opterećenih temelja razlikuju se s obzirom na vrstu strojeva, tipove dinamičkih opterećenja, namjene i uvjete. Ti kriteriji najčešće se izražavaju u obliku dozvoljenih amplituda pomaka, brzina ili akceleracije u ovisnosti o pobudnoj frekvenciji.

02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

1

2 Dinamički opterećeni temelji

2.1 Općenito

Temelje onih konstrukcija, koje su podvrgnute vibracijama ili vibrirajućem opterećenju, mora se projektirati tako da se zajamči kako vibracije neće izazvati prekomjerno slijeganje ni vibracije. Uz to treba poduzeti mjere opreza da ne nastupi rezonancija zbog približavanja frekvencije pulsirajućeg opterećenja i svojstvene frekvencije sustava temelj - temeljno tlo. S druge strane treba obratiti pažnju da ne nastupi likvefakcija u temeljnom tlu. Dimenzioniranje dinamički opt. temelja kad su krutosti i prigušenja ovisni o frekvenciji (Gazetas, 1983). Osnovni pokazatelj ponašanja dinamički opterećenih temelja (sl. 2.1-1) su amplitude njihovog titranja. Pravilnim odabirom tipa temelja njih treba svesti na veličine koje nisu nepovoljne za normalan rad strojeva i ljudi, a pri tome treba voditi računa i o ekonomičnosti projekta. Pri projektiranju treba odrediti sljedeće:

1. kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine, akceleracije itd., 2. dinamička opterećenja, 3. dinamička svojstva temeljnog tla, 4. metodu analize.

Slika 2.1-1 Skica dinamički opterećenog temelja i njegovog djelovanja.

U ovom će se tekstu razmatrati prvenstveno metoda analize, uglavnom prema Gazetas (1983) (ovaj tekst je Szavits-Nossan, 1984. prilagodio za jednostavnu upotrebu), a o ostalim točkama će se više raspravljati kasnije. Analizirat će se samo kruti temelji opterećeni harmonijskim opterećenjem. Seizmička opterećenja se neće razmatrati. Prikazana rješenja mogu se primijeniti i za neharmonijski opterećene temelje, primjenom načela superpozicije, tako da se neharmonijsko opterećenje Fourierovom transformacijom rastavi u harmonijska za koja se odrede rješenja, a dobiveni rezultati se sintetiziraju inverznom Fourierovom transformacijom. Kriteriji ponašanja dinamički opterećenih temelja razlikuju se s obzirom na vrstu strojeva, tipove dinamičkih opterećenja, namjene i uvjete. Ti kriteriji najčešće se izražavaju u obliku dozvoljenih amplituda pomaka, brzina ili akceleracije u ovisnosti o pobudnoj frekvenciji.

Page 2: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

2

Često i sami proizvoñači odreñuju kriterije za pravilan rad strojeva. Opširnije o toj problematici i nekim primjerima kriterija može se naći u Richart i dr. (1970). Za pravilno dimenzioniranje dinamički opterećenih temelja potrebno je poznavati dinamička opterećenja, ali tu često nastaju problemi, jer proizvoñač nerado priznaje da u strojevima postoje neizbalansirane mase i sile. O raznim tipovima strojeva i njihovom opterećenju više se može naći u Richart i dr. (1970). Odrediti dinamička svojstva tla, znači odrediti profil tla s relevantnim parametrima: raspored i debljinu slojeva i njihove mehaničke karakteristike. Ti se podaci dobivaju interpretacijom in situ i laboratorijskih mjerenja: geomehaničkih i geofizičkih istraživačkih radova. Deformacije tla izazvane oscilacijama dinamički opterećenih temelja strojeva uglavnom su vrlo male i u području linearno-elastičnog ponašanja tla. Iz tog razloga najčešće se koriste parametri tla dobiveni mjerenjem brzina širenja longitudinalnih i transverzalnih valova u tlu (vp i vs). Ti podaci dobiju se interpretacijom raznih geofizičkih mjerenja (površinskih, i u bušotinama: cross-hole, down-hole itd). Na temelju spomenutih brzina i poznavanja gustoće tla mogu se odrediti posmični modul G i Poissonov koeficijent ν. Kod tih malih deformacija mala su i materijalna prigušenja tla (manja od 5%). Više o ponašanju tla pri malim deformacijama može se saznati iz literature (Richart i dr., 1970, Richart, 1978, Woods 1978 te Prange, 1978).

2.2 Starije metode analize

Temelji strojeva nekad su se projektirali prema iskustvu, bez analize amplituda vibracija. Jedno takvo iskustveno pravilo tražilo je da masa temelja bude tri do pet puta veća od mase stroja. Takav pristup ne uzima u obzir niti tip opterećenja niti vrstu i karakteristike temeljnog tla. Primjenom tog pravila:

Snižava se rezonantna frekvencija sustava temelj-tlo, čime se povećava vjerojatnost da ־se pobudna frekvencija približi rezonantnoj.

Još je gora posljedica da se na taj način smanjuje prigušenje sustava pri rezonantnoj ־frekvenciji, što sigurno nije u skladu s težnjom projektanta niti s principima dimenzioniranja dinamički opterećenih temelja.

S ozbiljnijim razmatranjima dimenzioniranja dinamički opterećenih temelja započelo se u tridesetim godinama dvadesetog stoljeća. Tada su se razvila razna empirička pravila, bazirana na eksperimentalnim istraživanjima koja su bila usmjerena prvenstveno na odreñivanje rezonantnih frekvencija sustava stroj-temelj-tlo. Relativno mali broj eksperimenata nije mogao pokriti velik broj mogućih kombinacija stroja, temelja i tla, pa su se primjenom tih pravila često dobivali neracionalno ili loše projektirani temelji. Te metode nisu mogle poslužiti za dobivanje najvažnijeg parametra => Amplituda vibracija. Dugo se zadržao u primjeni tzv. dinamički Winklerov model, koji se bazirao na pokusu cikličkog opterećivanja probnom pločom s kojim su se odreñivale konstante Winklerove opruge. Na bazi sovjetskih ispitivanja Barkan je formirao tablice i empirijske formule za razna tla i forme oscilacija. Ta metoda može dati prihvatljive rezultate za ponašanje temelja pri malim (gotovo statičkim) pobudnim frekvencijama idealno elastičnih sistema, ali ne može dati pouzdane rezultate pri frekvencijama blizu rezonantnih, jer zanemaruje radijacijsko prigušenje. Osim toga krutost dinamički opterećenog tla ovisi o pobudnoj frekvenciji i to tako da krutost opada s porastom frekvencije, pa rezultati ispitivanja relativno sporog opterećenja

Page 3: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

3

probne ploče nisu primjenjivi. Razvojem Winklerovog modela, opruzi je dodan prigušivač (viskozni element) te je time dobiven tzv. Winkler-Voigtov model. Takav model ugrañen je u nekadašnje sovjetske propise. Parametri za taj model dobiju se mjerenjem ponašanja dinamički opterećene probne ploče pri rezonantnoj frekvenciji. Eksperimenti su pokazali da to ponašanje nije u skladu s ponašanjem probne ploče pri nižim frekvencijama. Postupak se pokušalo popraviti popravnim koeficijentima u obliku "dodatne mase“ tla koja vibrira zajedno s temeljem te nekim drugim parametrima. Iz svega slijedi da je Winkler-Voigtov model potpuno empirijski i zahtijeva statička i dinamička ispitivanja probnom pločom za svaki pojedinačni slučaj. To ne samo da je skupo, nego je takve rezultate često vrlo teško pa i nemoguće ekstrapolirati na stvarno stanje. Zato, prema Gazetasu (1983), takvom modelu nedostaje ono što bi svaki model trebao imati => nedostaju svojstvo i mogućnost predviñanja.

2.3 Osnove suvremenih metoda analiza vibracija

Suvremene metode analiza vibracija temelje se na racionalnom modeliranju interakcije temelja i temeljnog tla. To modeliranje bazira se na teoriji širenja valova u elastičnom ili viskoelastičnom mediju, a nagli je razvoj doživjelo rješenjem problema harmonijski oscilirajuće koncentrirane sile na elastičnom poluprostoru ("dinamički Bousinesqov" problem) koji je riješio Lamb 1904. To je dovelo do razvoja elastodinamike naročito Reissnerovim (1936. god.) rješenjem oscilirajućeg kružnog jednolikog opterećenja na elastičnom poluprostoru. Kod ovog je rješenja prvi put uzeto u obzir radijacijsko prigušenje elastičnog poluprostora. To je pojava kod elastičnog poluprostora ili prostora kojemu je barem jedna dimenzija beskonačna da imaju svojstvo prigušivanja oscilacija makar nemaju materijalnog prigušenja (viskozno i/ili histerezijsko prigušenje). Prigušenje nastaje jer se energija sustava gubi s valovima koji je odnose «prema beskonačnosti». Prisilne oscilacije takvog tijela, pobuñene harmonijskim opterećenjem s kružnom frekvencijom ω , takoñer su

harmonijske i to s jednakom kružnom frekvencijom, ali pomaknute u fazi za neki kut ovisan o frekvenciji. To znači da se tijelo, pobuñeno harmonijski sa zadanom frekvencijom ω , ponaša

kao Kelvin-Voigtov model s jednim stupnjem slobode sl. 2.3-1.

kc

x(t)

P(t)

m

m … masa k … krutost c … viskoznost P(t) … pobudna sila u vremenu t, x(t) … pomak u vremenu t.

Slika 2.3-1 Kelvin-Voigtov model s jednim stupnjem slobode.

Page 4: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

4

Radi boljeg razumijevanja daljnjeg prikaza i definiranja nekih pojmova razmotrit će se ponašanje modela sa sl. 2.3-1 opterećenog harmonijskim opterećenjem. Ponašanje tog modela pogodno je opisivati kompleksnim funkcijama, pa će se harmonijsko opterećenje P (t) prikazati u obliku:

)exp()( 0 tiPtP ω= , gdje je )sin(cos)exp( 000 titPePtiP ti ωωω ω +== , (2.3-1)

gdje je P0 amplituda sile, a „exp“ označava eksponencijalnu funkciju, 1−=i , ω je

pobudna kružna frekvencija, a t je vrijeme. Diferencijalna jednadžba gibanja modela na sl.2.3-1ima tada dobro poznati oblik:

)exp(02

2

tiPkxdt

dxc

dt

xdm ω=++ (2.3-2)

Zanemarivši slobodne oscilacije sistema na sl. 2.1-1, koje se ionako zbog prigušenja brzo izgube, prisilne oscilacije prikazuju se u obliku

)exp()( 0 tixtx ⋅⋅= ω , (2.3-3)

gdje se veličina amplitude x0 dobije, uvrštavanjem (2.3-3) u (2.3-2):

)exp()exp()exp()exp( 0002

0 tiPtikxtiicxtimx ωωωωω =++− . (2.3-4)

U jednadžbi (2.3-4) krati se funkcija )exp( tiω pa se dobije

( )[ ] 02

0 Picmkx =+− ωω , odnosno (2.3-5)

( )[ ] 1200

−+−= ωω icmkPx . (2.3-6)

U gornjim jednadžbama amplituda sile P0 kao i amplituda oscilacija x0 su kompleksni brojevi. Kompleksni oblik se koristi samo zbog praktičnosti i jednostavnosti zapisa. Od praktičnog su interesa samo realne komponente kompleksne sile i oscilacija. Jasno je da se diferencijalne jednadžbe gibanja Kelvin-Voigtovog modela s jednim stupnjem slobode mogu izvesti i za realnu domenu. Čini se, meñutim, da prelazak u kompleksnu domenu pruža odreñene prednosti barem što re tiče "jednostavnijeg zapisa». Iz gornjih jednadžbi slijedi da je kvocijent:

Kicmkx

P

tx

tP=+−== ωω )(

)(

)( 2

0

0 (2.3-7)

neovisan o vremenu t, ali je ovisan o pobudnoj kružnoj frekvenciji. Taj kvocijent se zove impedancija modela sa sl.2.3-1, a odgovara definiciji krutosti u statici (jednak je krutosti k za 0=ω ). Recipročna vrijednost impedancije K označava se s F, tako

da je 1−= KF (2.3-8)

i naziva se podatljivošću (engl.: compliance, F) sistema i odgovara definiciji stišljivosti u statici. Impedancija i podatljivost u takvom obliku zapisa kompleksni su brojevi, štoviše, svaki oblik realne harmonijske pobudne sile može se prikazati u kompleksnom obliku. Realna komponenta kompleksne oscilacije x(t)

)exp()( 0 tiPFtx ω⋅= (2.3-9)

Page 5: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

5

rješenje je diferencijalne jednadžbe gibanja Kelvin-Voigtovog modela za realnu harmonijsku pobudu. Veza kompleksnog i realnog zapisa harmonijske pobudne sile i oscilacija prikazana je na sl. 2.3-2.; tumačenje uz sliku: Osnova svega je jedinični vektor )exp(1 tiω⋅ koji rotira oko ishodišta kružnom brzinom tω ;

s tim se vektorom množe vektori P0 i FP0; vektori u kompleksnom obliku se množe tako da se njihovi moduli meñusobno pomnože, a kutovi se zbroje. Prvi vektor predstavlja silu, a drugi pomak (u kompleksnom obliku). Stvarne veličine sile i pomaka su projekcije tih vektora na os Re.

Re

ωt

tωtα

FP0exp(iωt)=x(t)

Imα

P0exp(iωt)

P0

F

Re [x(t)]

Re [P0(t)]exp(iωt)

Slika 2.3-2 Veza kompleksnog i realnog zapisa harmonijske pobudne sile i oscilacija. Radi kasnijeg boljeg razumijevanja pokazat će se da se jednadžba gibanja Kelvin-Voigtovog modela s jednim stupnjem slobode (sl.2.3-1) može formalno izvesti i u kompleksno području.

Iz diferencijalne jednadžbe (2.3-2) za harmonijske oscilacije, veličina kxxc +.

označava reakciju Kelvin-Voigtovog modela na gibanje x mase m. Kako je

)exp()( 0 tixtx ⋅⋅= ω to je (2.3-10)

RxKxickkxxc =⋅=⋅+=+ '.

)( ω (2.3-11) gdje R kompleksna reakcija Kelvin-Voigtovog modela, pa jednadžba gibanje formalno glasi

)exp(0

..

tiPRxm ω=+ (2.3-12)

s time da postoji veza izmeñu R i x, u obliku xKR ⋅= ' , ωickK +=' , a (2.3-13)

K’ je impedancija Kelvin-Voigtovog modela bez mase.

Time je pokazano da mora postojati ravnoteža kompleksnih sila ..

xm i R i harmonijske

funkcije )(tP .

Vezom R=K'.x, je viskoelastičan Kelvin-Voigtov element u realnom području => preslikan na elastičan u kompleksnom.

Treba naglasiti da time nije promijenjen fizikalni model ponašanja sustava stroj-temelj-tlo, već je samo iskorišteno praktično svojstvo kompleksnih funkcija.

Page 6: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

6

Vratimo li se na rješenja elastodinamike potaknuta Lambovim i Reissnerovim rješenjima, može se konstatirati da se sva rješenja za komponente pomaka ispod temelja (uslijed djelovanja harmonijske pobudne sile) mogu izraziti pomoću kompleksne impedancije ili podatljivosti. Impedancija i podatljivost su takoñer funkcije pobudne kružne frekvencije ω .

Pokazalo se da je Reissnerovo rješenje samo gruba aproksimacija rješenja za kruti kružni temelj. Nešto bolja rješenja za krute temelje pojavljaju se u 50-tim godinama, a rigorozna u 60-tim, dvadesetog stoljeća. Poteškoće pri pronalaženju rigoroznih rješenja za krute temelje nastaju zbog tzv. «miješanog problema rubnih uvjeta". Znatne poteškoće pri pronalaženju rješenja u elastodinamici javljaju se i zbog složenijih geometrijskih uvjeta: višeslojni sistem, ukopani teme1j, razni oblici temeljne kontaktne plohe i s1. Ovdje se neće prikazivati metodologija dobivanja rješenja elastodinamike. Neki se izvori mogu naći u preglednom članku Gazetasa (1983). Snažan poticaj praktičnoj primjeni egzaktnih rješenja za harmonijski opterećene temelje na elastičnom poluprostoru dala su otkrića pojedinih autora sredinom 60-tih godina da se sve forme oscilacija, a to su: torzijska, vertikalna, horizontalna i zibajuća (rocking) harmonijski opterećenog kružnog krutog temelja mogu približno opisati pomoću zamjenjujućeg sistema mase, krutosti i viskoznosti čiji su parametri neovisni o frekvenciji za niski i srednji raspon frekvencija. Pri tome se, za vertikalnu i torzijsku formu oscilacija, sistem kruti temelj-tlo može opisati sistemom s jednim stupnjem slobode, dok se horizontalna i zibajuća forma moraju uklopiti u sistem s dva stupnja slobode, jer postoji povezanost izmeñu te dvije forme oscilacija - naime, horizontalna harmonijska sila, osim horizontalne, proizvodi i zibajuću oscilaciju i obratno. Za kruti kružni temelj na e1astičnom poluprostoru ta povezanost je vrlo slaba pa se impedancija koja povezuje horizontalnu silu i zibajuću oscilaciju kao i zibajuću pobudu (moment) i horizontalnu oscilaciju mogu zanemariti. S ciljem boljeg opisivanja rezonantnih frekvencija stvarnog sistema sa zamjenjujućim, predložena je upotreba "dodatne mase". U proračunu se dodatna masa dodaje masi temelja i stroja. U tablici 2.3-1 dane su vrijednosti parametara za jednadžbu (2.3-2) za kružni kruti temelj na elastičnom poluprostoru za sve forme oscilacija. Tablica 2.3-1. Ekvivalentni parametri za analizu kružnih krutih temelja na elastičnom

poluprostoru.

− m0, Ix0 i Iz0 su: masa, moment inercije mase oko horizontalne i vertikalne osi temelja

sa strojem; u jed (2) m = m0+m1,

− kmcc 2= ili 02 kIcc = za translacijske odnosno rotacijske forme oscilacija s

I0 = Ix0, ili I0 = Iz0 za zibajuću ili torzijsku formu.

Forma Vertikalna Horizontalna Zibajuća Torzijska krutost, k

ν−1

4GR

ν−2

8GR

)1(3

8 3

ν−GR

3

16 3GR

koeficijent

mase,_

m 3

0

4

)1(

R

m

ρν−

3

0

8

)2(

R

m

ρν−

5

0

8

)1(3

R

I x

ρν−

5

0

8 R

I z

ρ

koeficijent

prigušenjacc

cD =

_

425,0

m

_

29,0

m

__

)1(

15,0

mm+

_

21

50,0

m+

Fiktivna dodatna masa, m1 _

027,0

m

m

_0095,0

m

m

_024,0

m

I x _

024,0

m

I z

Page 7: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

7

− Horizontalno-zibajuća veza je u ovom slučaju zanemariva pa nije niti uključena u tablicu.

Za pravokutne temelje moguće je koristiti izraze iz tab. 2.3-1, uz upotrebu tzv. ekvivalentnih radijusa koji se dobiju iz jednakosti površina za kružni i pravokutni temelj, odnosno na osnovi jednakosti momenata inercije mase. Ti ekvivalentni radijusi prikazani su u tab. 2.3-2. Tablica 2.3-2 Ekvivalentni radijusi za pravokutne temelje širine 2B i duljine 2L (B<L), B

paralelno s osi y, L paralelno s osi x.

U novije su vrijeme razvijena "rigorozna" rješenja za slučajeve koji su mnogo bliži onima u praksi. To su primjerice pravokutni temelji, ukopani temelji na elastičnom sloju ograničene debljine koji leži na krutoj podlozi kao i za temelje na sloju ograničene debljine na elastičnom poluprostoru . Za odreñene slučajeve postoje i rješenja i za anizotropne pa i nehomogene sredine. To sve omogućuje da se s našim modeliranjem bolje prilagodimo praktičnim problemima ne koristeći „svemoguću", ali često prekompliciranu metodu konačnih elemenata. Iz tog razloga Gazetas (1983) predlaže da se koriste «gotova» rješenja za te slučajeve koja se mogu izraziti u obliku kompleksnih impedancija ili podatljivosti (compliances), ovisnih o pobudnoj frekvenciji. Račun je to nešto kompliciraniji nego pri upotrebi formula iz tab. 2.3-1, ali ga je bez problema moguće programirati i na džepnim računarima, kad su poznate funkcije impedancije ili podatljivosti.

Forma Vertikalna translacijske u smjeru x, y, z

2

1

0

22

⋅=

πLB

R

zibajuće oko osi x 4

13

0 3

16

⋅=

πBL

R x

zibajuće oko osi y 4

13

0 3

16

⋅=

πLB

R y

torzijske oko osi z 4

122

0 6

)(16

+⋅=

πLBLB

R z

Page 8: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

8

2.4 Upotreba funkcija impedancije

U nastavku će se prikazati analiza dinamički opterećenih krutih temelja, ako su poznate funkcije impedancije, a zatim slijedi pregled nekih za praksu važnijih impedancija, kako ih je prikazao Gazetas (1983). Na slici 3 shematski je prikazan temelj sa strojem s dvije okomite ravnine simetrije ukopan u tlo; naznačene su varijable pomaka i pobudnih sila. Označi li se sa: m0 ... masa sistema temelj-stroj ( u ovim rješenjima nema pojma dodatne mase), Ix0 ... moment inercije mase oko horizontalne osi koja prolazi težištem T sistema temelj-stroj, Iz0 ... moment inercije mase oko vertikalne osi koja prolazi težištem T sistema temelj-stroj. Rv , Tz , Rh, Tr ... vertikalna, torzijska, horizontalna i zibajuća reakcija tla (kompleksne) koje

djeluju u centru baze temelja Qv , Mz , Qh, Mr ... vertikalna, torzijska, horizonta1na i zibajuća pobudna sila (kompleksna)

koje djeluju u težištu T sistema temelj-stroj zc ... udaljenost težišta T sistema temelj-stroj od centra baze temelja mogu se pisati jednadžbe gibanja težišta T za četiri forme oscilacija u kompleksnom području

vv QRvm =+..

(2.4-1)

zzz MTI =+..

0ϑ (2.4-2)

hh QRhm =+..

(2.4-3)

rchrx MzRTrI =−+..

0 =>suma momenata s obzirom na težište sistema temelj-stroj (2.4-4)

Za harmonijske pobude vrijedi

( )[ ]aaa tiQQ ϕω +⋅= exp0 , hva ,= (2.4-5)

( )[ ]aaa tiMM ϕω +⋅= exp0 , rza ,= (2.4-6)

Qa i Ma su realne konstante ili funkcije pobudne frekvencije ω kod strojeva s rotirajućim ekscentričnim masama, a u ovom drugom slučaju je realna amplituda pobudne sile jednaka umnošku ekscentrične mase, ekscentriciteta i kvadratu pobudne kružne frekvencije -

2ω⋅⋅= emQ e .

Harmonijsko gibanje pojedinih formi može se tada napisati u obliku

)exp(0 tivv ⋅⋅= ω , 210 vivv += , (2.4-7)

)exp(0 ti ⋅⋅= ωϑϑ , 210 ϑϑϑ i+= , (2.4-8)

)exp(0 tihh ⋅⋅= ω , 210 hihh += , (2.4-9)

)exp(0 tirr ⋅⋅= ω , 210 rirr += , (2.4-10)

gdje su 1v , 2v , 1ϑ , 2ϑ , 1h , 2h , 1r , 2r realni brojevi.

Page 9: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

9

Slika 2.4-1. Shematski je prikaz temelja sa strojem s dvije vertikalne ravnine

simetrije, ukopanog u tlo; naznačene su varijable pomaka i pobudnih sila. Ovdje treba naglasiti da gibanja v,ϑ , h i r ne trebaju biti u fazi. Fazni pomaci gibanja

„skriveni“ su u kompleksnom zapisu izraza (2.4-7) do (2.4-10), tj. fazni kut pojedinog gibanja iznosi

2

1arctana

aa

b

b=ψ gdje je (2.4-11)

a = v,ϑ , h i r

ba1= 1v , 1ϑ , 1h , 1r

ba2= 2v , 2ϑ , 2h , 2r

Page 10: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

10

Amplituda (realna) pojedinog gibanja korijen je iz sume kvadrata realnog i imaginarnog dijela od 0v , 0ϑ , 0h , 0r . Fazni pomak izmeñu pobude i gibanja iznosi

1ψϕ −a .

Reakcije tla Rv , Tz , Rh, Tr vezane su odgovarajućim pomacima v,ϑ , h i r preko

impedancija Kr , Kt , Kh, Khr, Kr sljedećim izrazima:

vKR vv ⋅= (2.4-12)

ϑ⋅= tz KT (2.4-13)

rKrzhKR hrchh +−⋅= )( (2.4-14)

)( rzhKrKT chrrr −+⋅= (2.4-15)

Impedancija hrK u izrazima (2.4-14) i (2.4-15) se javlja zbog meñusobnog utjecaja tih gibanja,

a faktor rzc ⋅ pojavljuje se zbog toga što se gibanje h odnosi na težište T, a impedancije su

dane za bazu temelja. Sve veličine u izrazima (2.4-12) do (2.4-15), osim cz , su kompleksne.

Uvrštavanjem odgovarajućih veličina u gornje jednadžbe dobije se sustav od četiri algebarske jednadžbe koje daju kompleksne amplitude oscilacija.

200

0 )(

)exp(

ωωϕ

mK

iQv

r

v

−⋅

= (2.4-16)

20

0 )(

)exp(

ωωϕ

ϑzt

zz

IK

iM

−⋅

= (2.4-17)

[ ] NiMKiQKh rrhrhhr ⋅⋅⋅−⋅⋅= )exp()exp( 0,

0,

0 ϕϕ (2.4-18)

[ ] NiQKiMKr hhhrrrr ⋅⋅⋅−⋅⋅= )exp()exp( ,0

,0 ϕϕ (2.4-19)

gdje je

2' )( ωω ⋅−= mKK hh (2.4-20)

chhrhr zKKK ⋅−= )()(' ωω (2.4-21)

chrchxrr zKzKIKK ⋅−⋅+−= )(2)()( 220

' ωωωω (2.4-22)

( )[ ] 12,,'−

−= hrrh KKKN (2.4-23)

Pogodno je impedancije K za razne forme oscilacija normalizirati. Općenito je impedancija kompleksna funkcija oblika

)()()( 21 ωωω iKKK += (2.4-24) U slučaju da je 0=ω mora biti i 0)(2 =ωK jer je to statičko opterećenje kod kojeg nema meñusobnog pomaka u fazi izmeñu pobudne sile i gibanja. S druge strane, pogodno je uvesti bezdimenzionalnu mjeru pobudne oscilacijeω . Jedan od načina je da se uvede bezdimenzionalna kružna pobudna frekvencija

sv

Ba

ω=0 (2.4-25)

Page 11: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

11

gdie je B neka karakteristična dimenzija temelja kao npr. radijus, R, kružnog temelja ili polovina širine (B) pravokutnog temelja, a vs je karakteristična brzina posmičnih valova u tlu. Sada se definira normalizirani oblik impedancije

)( 00 ciakKK ⋅+= (2.4-26)

gdje su k i c funkcije od ω , a za 0=ω , k=1,0, pa K0 ima značenje statičke krutosti (K0, k i c su realne funkcije). Katkada se vrše korekcije impedancije zbog histerezisnog prigušenja u materijalu, a na temelju tzv. principa korespondencija. Ako tlo ima materijalno histerezisno prigušenje izraženo s koeficijentom prigušenja, ξ. Korigirana impedancija se može izraziti u obliku:

Kij = Kijst ( kij + i ao cij ) ( 1 + 2iξ), (2.4-

27) gdje je

Kij ־st.....stat. krut., funkcija G, v i karakt dim. temelja, B. Modul G = ρ vs

2. ao.....koeficijent frekvencije gdje je ־ ,f … prisilna frekvencija, f = ω / 2π [Hz], ω [rad / s] ־ ,B …karakteristična dimenzija temelja [m] ־ ,vs …brzina posmičnih elastičnih valova u tlu [m/s] ־ ,kij …koeficijent krutosti ־ cij …koeficijent radijalnog prigušenja i ־ <= ,ξ … koeficijent materijalnog prigušenja ־

(h se odreñuje ispitivanjem uzoraka tla u laboratoriju).

Gazetas (1983) je pokazao da takva korekcija nije uvijek opravdana . Na stranicama u nastavku prikazat će se vrijednosti normaliziranih krutosti i prigušenja, za neke tipove temelja i tla. Takoñer će se u obzir uzimati i dubinu temeljenja s oznakama sa sl. 2.4-2.

W

W

1 =

∆π

ξ4

Page 12: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

12

Slika 2.4-2. Oznake uz dijagrame normaliziranih krutosti i prigušenja.

Page 13: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

13

Slika 2.4-3 Impedancije krutog kružnog temelja na elastičnom poluprostoru.

Page 14: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

14

Slika 2.4-4 Dinamički koeficijenti krutog pravokutnog temelja na elast. poluprostoru.

Page 15: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

15

Tablica 2.4-1 Statičke krutosti krutog trakastog temelja na elastičnom sloju na krutoj podlozi.

Slika 2.4-5 Dinamički koeficijenti za kruti kružni temelj na elastičnom sloju na krutoj

podlozi; efekt odnosa H/R (Poiss., ν=1/3, ξ= 0,05).

Page 16: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

16

Slika 2.4-6 Dinamički koeficijenti za kruti kružni temelj na elastičnom sloju na krutoj

podlozi; efekt prigušenja ξ, (H/R=2,0, Poiss. ν =1/3). Tablica 2.4-2 Statičke krutosti krutog kružnog temelja na elastičnom sloju na krutoj

podlozi.

Page 17: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

17

Tablica 2.4-3 Statičke krutosti ukopanog krutog kružnog temelja u elastičnom sloju na

krutoj podlozi.

Page 18: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

18

Slika 2.4-7 Utjecaj ukopanosti na dinamičke koeficijente krutog kružnog temelja u

elastičnom sloju na krutoj podlozi (H/R = 3,0, ni ν =1/3, ξ =0,05, khr =1,0 i chr=0). Crtkana linija za D/R=0, a puna za D/R=1,0

Page 19: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

19

2.5 Praktične upute za korištenje Gazetasovih formula

Funkcije impedancija, prikazane na priloženim dijagramima. odnose se na kruti temelj bez mase. Uzimanje u obzir mase temelja prikazano je u prvom dijelu ovoga teksta. Impedancije su dekomponirane na statički (K) i dinamički dio (k +c). Kako priloženi dijagrami ne daju rješenja za sve kombinacije za koje je potrebno odrediti k +c, Gazetas (1983) sugerira sljedeći postupak, ovisno o tome je li normalizirana frekvencija a0, veća ili manja od jedinice:

Za a0> 1,0 gibanje temelja je prvenstveno kontrolirano statičkom krutošću K dok k+c ־

imaju mali utjecaj. U tom slučaju K treba dobro odrediti, a za k+c se mogu uzeti izrazi za ekvivalentni kružni temelj na elastičnom poluprostoru.

Za a0<1,0 gibanje temelja ovisi bitno o K dok k+c kao i o masi temelja. U tom slučaju ־na konzervativnoj je strani da se dobro odredi K, a da se za c uvrsti vrijednost kao za bazu ekvivalentnog kružnog temelja na površini tla:

o c = 0 za f < f1, o c = cpoluprost. za f > f1.

pri tome je osnovna vlastita frekvencija sloja (u kojem se prvenstveno prenosi opterećenje temelja, debljine H, a je pobudna (prisilna) frekvencija. Za k se odabere vrijednost kao za sloj na krutoj podlozi.

Praktične preporuke:

Kod strojeva čija je radna frekvencija visoka (>1000 obrtaj/min), rezonantna frekvencija sustava temelj-tlo treba biti barem dva puta manja (fradna>2 frez). U ovom slučaju pri pokretanju i zaustavljanju strojeva frekvencija vibracije će kratko biti jednaka rezonantnoj.

1) Kod strojeva čija je radna frekvencija niska (<400 obrtaj/min), rezonantna frekvencija sustava temelj-tlo treba biti barem dva puta veća (fradna< 0,5 frez).

2) U svim slučajevima temeljenja, povećanje težine smanjuje rezonantnu frekvenciju (fm ∼1 / W).

3) Povećanje radijusa temeljenja, r0 , povećava rezonantnu frekvenciju temelja (fm ∼ r0). Povećanje krutosti temeljnog tla (npr. injektiranjem), povećava rezonantnu frekvenciju temelja (fm ∼ G).

2.6 Primjeri

Kruti temelj kružnog oblika na elastičnoj podlozi(klasičan pristup)

Ponašanje tla ovisi o amplitudama vibriranja; ako su amplitude dovoljno male može se pretpostaviti da se tlo ponaša kao elastična sredina. Za model vibrirajućeg temelja često se uzima temelj kružnog oblika. Za taj su model analitička rješenja najjednostavnija, a ne razlikuju se bitno od rješenja za temelje drugih oblika, pa se često koriste u praksi za sve oblike temelja. Ovdje će se prikazati jednostavna procedura projektiranja dinamički opterećenog temelja kako je to opisano u Das (1992).

H

v = f s

41

πω21 = f

Page 20: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

20

Za slučaj krutog temelja kružnog oblika radijusa r0 , rezonantna frekvencija i amplituda vibriranja odreñuju se prema matematičkim izrazima danim u Das(1992). Općenito, postupak se provodi u slijedećim koracima (indeks z označava vertikalni smjer):

1) Odreñivanje rezonantne frekvencije a) proračun vlastite frekvencije

m

rG

m

kf z

n

1

1

4

2

1

2

1 0

−==

µππ

gdje je:

µ−=

1

4 0rGk z statička krutost opruge krutog temelja kružnog oblika

G posmični modul tla,

µ Poissonov koeficijent b) proračun koeficijenta prigušenja

zcz

z

Bc

cD

425,0==

gdje su slijedeće vrijednosti odreñene za kruti temelj kružnog oblika:

−=

304

1

r

mBz ρ

µ modificirani omjer masa

ρµ zzcz GB

rmkc

−==

1

82

20 kritično prigušenje

ρµ

Gr

cz −=

1

4,3 20 prigušenje

c) proračun rezonantne frekvencije

−=−=

2

02 425,021

1

1

4

2

121

z

nmBm

GrDff

µπ

2) Odreñivanje amplitude vibriranja pri rezonanciji ( )

18,085,04

1

12

1

0

0

2

0)(

−=

−=

z

z

zzz

rezzB

B

rG

Q

DDk

QA

µ

3) Odreñivanje ostalih amplituda

( )( )[ ] ( )222222

0

41 nzn

z

D

kQA

ωωωω +−=

Ovaj postupak odnosi se na kruti temelj kružnog oblika radijusa r0 . No isti postupak može se primijeniti i za temelje pravokutnog oblika (širine B i duljine L), upotrebom ekvivalentnog radijusa. Ekvivalentni radijus se izračunava na način da se izjednače površina pravokutnog temelja sa površinom kružnog temelja:

ππ BLrrBLAA kružnipravokutni =⇒=⇒= 02

0

Page 21: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

21

Upotreba ekvivalentnog radijusa pruža dobre rezultate za odnose L/B ≤ 2. Preporuke za temeljenje strojeva. Vibracije u blizini temelja nije moguće izbjeći ali se treba učiniti sve da se utjecaj vibracija umanji. Richart (1962) daje smjernice za prihvatljive vertikalne amplitude vibracija u odnosu na frekvenciju vibracija, sl. 2.6-1 i 2.6-2.

Kruti temelj kružnog oblika na elastičnoj podlozi- kompjutorski program Plaxis,

ver.8(dynamic)

Reference:

Szavits-Nossan, A. (1984). Analiza dinamički opterećenih temelja. Interni izvještaj Grañevinskog instituta iz Zagreba.

Das, B.M., (1992), Principles of soil dynamics, PWS-KENT Publishig Comapany, Boston USA Gazetas , G. (1983), Analysis of Machine Foundations: State of the Art, Soil Dynamics and

Earthquake Engineering, Vol. 2, No. 1, 2-42. HRN EN 1997-1, Eurokod 7: Geotehničko projektiranje Richart, F.E., Hall, J.R., Woods, R.D. (1970). Vibrations of Soils and Foundations, Prentice-

Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Woods, R.D. (1978), Parameters Affecting Elastic Properties, Proc. Dynamical Methods in

Soil and Rock Mechanics, Karlsruhe, Prange ed., Balkema, Rotterdam, Vol. 1, 37 - 59. Richart, F.E. (1978), Field and Laboratory Measurements of Dynamical Soil Properties, Proc.

Dynamical Methods in Soil and Rock Mechanics Karlsruhe, Prange - editor, Balkema, Rotterdam , Vol. 1, 3 - 36.

Prange, B. (1978), Parameters Affecting Damping Properties, Proc. Dynamical Methods in Soil and Rock Mechanics, Karlsruhe, Prange ed., Balkema., Rotterdam, Vol. 1, 61 – 78.

Page 22: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

22

Slika 2.6-1 Dopuštene vertikalne amplitude vibracija

Page 23: 02 DT DinOptTemelji1.Doc (1)

23

Dopuštene horizontalne amplitude vibracija

Slika 2.6-2 U projektiranju temelja strojeva treba slijediti slijedeća općenita pravila kako bi se izbjegli rezonantni uvjeti vibriranja.