03 Stmm Imagini FFT1

8/18/2019 03 Stmm Imagini FFT1

1/51

METODE GENERALE PENTRUPRELUCRĂRI NUMERICE DE

IMAGINI


2/51

Cuprins

Eşantionarea semnalelor

Utilizarea transformatei Fourier in prelucrarea semnalelor

Transformata Fourier discretă

Algoritmi de transformare Fourier rapidă

Transformata Fourier bidimensionala continua

Transformata Fourier bidimensionala discreta


3/51

Semnale şi sisteme disrete

Semnalele: functii continand informatii asupra mediului. Matematic: valoricontinue semnale continue! sau valori discrete semnale discrete!" una sau

mai multe variabile semnal unidimensional # multidimensional. $ariabilele

unei functii: continue sau discrete.

Exemplu: semnalul audio un canal: 0),( ≥= t t f U tensiunea la momentul de timp t %& functia: valori continue intr'un interval[Umin,Umax] .

Exemplu: imagine dinamica bidimensionala niveluri de gri:

),,( y xt f G =

valoarea nivelului de gri a imaginii ( stralucirii" la momentul de timp t " in

punctul de coordonate (x,y) din plan" x si y in [Xmin,Xmax] si respectiv

[Ymin,Ymax] " dimensiunile imaginii" iar G in [Gmin,Gmax] .


4/51

Semnalul discret: definit la momente de timp discrete" variabilele si valorile

functiei iau numai valori discrete reprezentare prin secventa de numere.

Exemplu: semnal audio" discretizat : ,...2,1,0),( == it f U ik iar U k , k=1,2,...,m, apartin unei multimi finite de valori {Umin,..., Umax}.

Exemplu: imagine bidimensionala statica t fi)at ! %& matrice de valori ale

stralucirii:

1,...,1,0

1,...,1,0),,(],[ ,,

−=

−===

m j

ni y x f GGG ii ji ji

Gi,j apartinand unei multimi finite {Gmin,...,Gmax}.


5/51

Eşanti!narea semnalel!r peri!die

*n vederea prelucrarii numerice un semnal analogic este esantionat laintervale egale de timp T %& secventa de valori : Z k kT f k u ∈= ),(][unde f(t) functia continua + semnalul analogic" frecventa de esantionare 1! .

,aca "(#) transformata Fourier a semnalului analogic teoremaimportanta privind frecventa minima de esantionare" in vederea

reconstituirii semnalului initial din esantioane. Teorema -S -/itta0er"

otelni0ov si S/annon!:

!e$%ema. ,aca un semnal f(t) are transformata Fourier "(#) de banda

limitata astfel incat "(#)=& pentru #'# max

" atunci f(t) poate fi reconstituit in

mod unic din esantioanele f(k!)" k daca 1!'=# max

* .


6/51

!e$%ema. 2 functie periodica f(t) care satisface conditiile dezvoltarii in serie

Fourier si contine k componente armonice" poate fi reconstituita fara erori

pe baza a + esantioane prelevate uniform dintr'o perioada daca estesatisfacuta conditia + ≥ 2k1.

1reluarea uniforma a celor + esantioane intr'un interval de timp egal cu o

perioada a semnalului ! & " necesita sincronizarea dispozitivului deesantionare cu semnalul prelucrat. $aloarea ma)ima a perioadei de

esantionare in vederea evitarii erorilor la reconstituire este data de relatia :

k

k T

N

T T

/12

/00

+==

deci mai mica decit 3umatate din perioada ! & k a componentei de cea mai

inalta frecventa din spectrul semnalului" rezultand astfel o frecventa de

esantionare a semnalului periodic mai mare decat cea a semnalului

neperiodic.


7/51

2 forma mai generala a teoremei esantionarii functiilor periodice se poate

enunta astfel :

!e$%ema. Un semnal periodic f(t) care satisface conditiile dezvoltarii in serie

Fourier si care nu contine armonici de rang mai mare decat k " poate fi

reconstituit fara erori pe baza a + esantioane preluate uniform pe durata a -

perioade" daca frecventa de esantionare satisface conditia :12 +≥ kP N

,in aceasta inegalitate rezulta ca pentru o aceeasi valoare a lui k " teorema

generalizata impune preluarea unui numar mai mare de esantioane - ' 1!.

4alculand raportul intre perioada semnalului ! & si perioada de esantionare ! :

P k P

kP

P

N

T

T /12

120 +=

+==

Acest raport nu este un numar intreg" deci esantioanele corespunzatoare

oricarei perioade nu reprezinta o reluare a esantioanelor din celelalte -1

perioade.


8/51

Un semnal multidimensional: o functie reala de mai multe variabile reale"

f/0

n→

0 . E)emplu: imagini bidimensionale. Metode de esantionare asemnalelor bidimensionale: esantionarea rectangulara si esantionarea

/e)agonala.

Eanti$na%ea %etan3ula%a: avanta3e algoritmi de prelucrare obtinuti pringeneralizarea teoremei stabilite pentru semnale unidimensionale si circuite

fizice mai simple.

Eanti$na%ea 4exa3$nala: mai eficienta semnale de banda limitata intr'o

regiune circulara din planul Fourier!. Astfel" pentru o reconstruire e)acta a

semnalului initial este necesara o densitate de esantionare cu apro)imativ

56.78 9 esantionarea rectangulara.


9/51

+∞


10/51

Dvu pentruvu F ∉= ),(,0),(

Semnalul f(x,y) se considera de banda limitata pe un domeniu 5 din planul

Fourier care contine originea! daca transformata sa Fourier "(u,6) satisface

conditia:


11/51

Teorema de esantionare rectangulara a semnalelor:

!e$%ema. Un semnal f(x,y) poate fi reconstituit fara erori pe baza secventei

de esantioane" daca este de banda limitata pe un domeniu 5 apartinand

planului Fourier si perioada de esantionare dupa cele doua a)e satisfaceconditia:

00 // vY siu X π π ≤≤

unde u& si 6 & caracterizeaza domeniul rectangular din planul Fourier


12/51

1rocesul de esantionare /e)agonala este descris de relatia:

,...2,1,0,1,2...,),2

2

(],[ −−=

−

= nmnY X

nm

f nm g


13/51

urmatoarea teorema :

!e$%ema. ,aca f(x,y) este de banda limitata pe un domeniu /e)agonal din

planul Fourier si daca perioada de esantionare dupa cele doua a)e satisface

conditia :00 /),2/(4 vY uu X π π ≤∆±≤

atunci f(x,y) poate fi reconstituit fara erori pe baza secventei


14/51

UTILI"AREA TRANS#ORMATEI #OURIER INPRELUCRAREA SEMNALELOR

Trans$!rmata #!urier a unui semnal

4onsiderand un semnal neperiodic unidimensional" reprezentat printr'o functie

reala f(t)" se defineste transformata Fourier prin relatia :

∫ +∞

∞−

−= dt et f w F wt i π 2)()(

1−unde i %

*n cazul in care functia "(#) este cunoscuta" utilizand transformata Fourier

inversa se poate determina functia originala:

∫ +∞

∞−

= dwew F t f wt i π 2)()(


15/51

∫ +∞

∞−

−= dt et f w F iwt )()(

∫

+∞

∞−

= dwew F t f iwt )(2

1)(

π

∫

+∞

∞−

−= dt et f w F iwt )(2

1)(

π

∫ +∞

∞−

= dwew F t f iwt )(2

1)(

π


16/51

,aca f(t) este continua si integrabila si "(#) este integrabila. TransformataFourier a unei functii reale este de obicei o functie imaginara:

)()()( wiI w Rw F +=

unde 0(#) este partea reala si 7(#) este partea imaginara. ,aca f(t) este

para f(t)=f(t)! atunci 7(#)=& " pentru ca in(2*#t) este o functie impara

antisimetrica!. ,aca f(t) este antisimetrica f(t)=f(t)! 0(#)=& pentru ca

$(2*#t) este para simetrica!.


17/51

)()()( wiew F w F Ω=

)()()( 22 w I w Rw F +=

)(

)()(

w R

w I artg w =Ω

)()()( 22 w I w Rw ! +=

forma

unde:

este numit si spectrul amplitudinea! Fourier al lui f(t)" iar:

este faza. 1atratul spectrului:

reprezinta energia spectrului.


18/51

∑

+∞

= ++= 1

0))sin()cos((2)( k

k k kwt " kwt #

#

t f

∫ −

=

2/

2/

0 )(2

T

T

dt t f T

#

∫ −

=2/

2/

)cos()(2 T

T

k dt kwt t f

T

#

∫ −

=2/

2/

)sin()(T

T

k dt kwt t f "

*n cazul functiilor periodice de perioada ! " e)ista posibilitatea dezvoltarii

acestora in serie Fourier" conform relatiei:

in care #=2*! " iar coeficientii dezvoltarii se calculeaza astfel:


19/51

∑+∞

=

++=1

0 )cos(2

)(k

k kwt $ $

t f δ

22 k k k " # $ +=

k

k

#

" artg −=δ

2 functie periodica poate fi dezvoltata in serie Fourier daca aceasta respecta

conditiile de convergenta. ,ezvoltarea in serie Fourier poate fi e)primata si sub

forma:

unde:

elatiile precedente indica faptul ca un semnal periodic poate fi e)primat sub

forma unei sume infinite de semnale sinusoidale de frecvente armonice ale

fundamentalei #=2*! . Transformata Fourier realizeaza o cone)iune intre

domeniul timp si domeniul frecventa" avand posibilitatea evaluarii marimii

componentelor spectrale.


20/51

1,...,1,0)(][ 0 −=+= N k kT t f k u

1,...,1,0][1

][1

0

/2 −== ∑−

=

− N jek u N

jU N

k

N jk i π

1,...,1,0][][1

0

/2−== ∑

−

=

N k e jU k u N

j

N jk i π

Se considera o functie continua f(t) discretizata printr'o secventa

{f(t & ),f(t & !),f(t & 2!),...,f(t & (+1)!)}" formata din + valori" preluate la intervale detimp egale ! . Se noteaza secventa corespunzatoare de valori prin relatia:

Se poate defini perec/ea de transformari Fourier discrete aplicate unui semnal

esantionat in + puncte:

si respectiv


21/51

1,...,1,0)(][ −== N j j" F jU

NT "

1=

$alorile U[j] din ecuatie pentru j=&,1,...,+1 corespund esantioanelor

transformatei Fourier continue" astfel:

in care s'a notat prin 8 intervalul de esantionare in domeniul frecventa" iar

esantionarea incepe in origine. Se poate arata ca intre intervalele de

esantionare in domeniul timp si domeniul freventa este adevarata urmatoarearelatie:


22/51

1,...,1,0][][

1

0−== ∑

−

= N j pentru% k u jU

N

k

jk

−

⋅

=

− −−−−

−

−

]1[...

]2[

]1[

]0[

]1[...

]2[

]1[

]0[

)1)(1()1(210

)1(2420

1210

0000

N u

u

u

u

% % % %

% % % %

% % % %

% % % %

N U

U

U

U

N N N N

N

N

9=1+ei2*+

care se mai poate scrie si sub forma matriciala:


23/51

2 proprietate importanta a transformatei Fourier discrete: te$%ema lui -a%e6al

relatia energiilor!:

!e$%ema. 1uterea medie a unei functii esantionate in timp este egala cu suma

puterilor asociate fiecarei componente Fourier individuale si nu este afectata

prin relatia de faza dintre aceste componente:21

0

21

0

][][1

∑∑−

=

−

=

= N

j

N

k

jU k u N

Alte proprietati importante se refera la convolutie si corelatie.


24/51

∫ +∞

∞−

−=∗ ds st g s f t g t f )()()()(

)()())()(( wGw F t g t f f&urier =∗

)()())()(( wGw F t g t f f&urier ∗=

4onvolutia a doua functii reprezinta un proces de combinare a acestora" de

introducere a unei functii in cadrul celeilalte. Astfel" fiind date doua functii f(t) si

3(t) se defineste convolutia acestora prin relatia:

unde este o variabila de integrare. ;otand "(#) si G(#) transformateleFourier ale celor doua functii se poate arata ca transformata Fourier a

convolutiei f(t):3(t) este produsul "(#)G(#):

Analog" transformata Fourirer a produsului de functii f(t)3(t) este convolutiatransformatelor lor Fourier:


25/51

t N uuu ]]1[],...,1[],0[[ −=u

t N vvv ]]1[],...,1[],0[[ −=v

t

N www ]]12[],...,1[],0[[ −==∗ wvu

∑−

=−=

1

0

][][][ N

j

jiv juiw

)()()( vuvu f&urier f&urier f&urier =∗

*n cazul discret" considerand doi vectori reprezentand esantioanele a doua

functii f(t) si 3(t):

acestora

cu

sau k ≥ + .

rezultat care permite obtinerea convolutiei a doi vectori aplicand transformata


26/51

c =a: b=b: a

comutativitatea!

c =a:( b: d )=( a: b ): d =a: b: d

asociativitatea!

c =a:( bd )=( a: b )( a: d )

distributivitatea!

unde a" b" c si d sunt semnale unidimensionale sau imaginibidimensionale continue sau discrete.


27/51

∫ +∞

∞−

+= ds st g s f t g t f )()()()(

wvu =

∑−

=+=

1

0

][][][ N

j

jiv juiw

C!relatia

Asemanator" se defineste corelatia a doua functii continue f(t) si 3(t) prin relatia:

indicand gradul de apropiere asemanare ! dintre ele.

*n cazul discret:

cu

considerand u[k]=6[k]=& pentru k;& sau k ≥ + .


28/51

)()()( vuvu f&urier f&urier f&urier =

)(v f&urier

)()()( vuvu f&urier f&urier f&urier =

demonstra

unde

reprezinta comple) con3ugatul lui f$u%ie%( v ). ,e asemenea:

aceste relatii fiind valabile si pentru cazul continuu.


29/51

Al'!ritmi de trans$!rmare #!urier rapid%

4alcularea valorilor date de ,FT numar de inmultiri si adunari

comple)e proportional cu + 2 . *ntr'adevar" pentru fiecare din cele +

valori ale lui U[j] sunt necesare + inmultiri comple)e dintre valorile

esantioanelor u[k] si valorile functiei e)ponentiale ei2*jk+ si +1

adunari ale rezultatelor. S'au considerat valorile e)ponentialeicalculate o singura data si pastrate intr'o tabela.

Au fost dezvoltati algoritmi care calculeaza transformata Fourier a

unui set de esantioane intr'un interval de timp mult mai scurt"necesitand un numar de operatii de inmultire si adunare proportional

cu +l$3 2 + %& algoritmi de transformare Fourier rapida FFT!.


30/51

knn N k % % =− )(

)( N nk kn% % +=

n N k kn% % )( +=

Multe din procedeele FFT utilizeaza in calcule proprietatile e)presiei 9=ei2*+

si anume:

proprietati care rezulta din simetria" respectiv periodicitatea functiilor sinus si

cosinus. 1rincipiul fundamental pe care se bazeaza algoritmii FFT:

descompunerea calculului transformarii Fourier discrete in mai multe

transformari succesive de lungimi mai mici.


31/51

Sc/ema algoritmului FFT pentru ;%


32/51


33/51

Se poate demonstra ca e)ecutia acestui algoritm se poate face intr'un timp

proportional cu +l$3+ . 1entru realizarea calculului efectiv al transformatei

Fourier rapide este necesar sa se lucreze numai cu coeficientii polinoamelor

care intervin in prelucrare" ceea ce simplifica foarte mult descrierea

algoritmului:


34/51

∫ ∫ +∞

∞−

+−= dxdye y x f vu F vyuxi )(2),(),( π

∫ ∫

+∞

∞−

+= dudvevu F y x f vyuxi )(2),(),( π

Transformata Fourier poate fi e)tinsa cu usurinta la o functie f(x,y) de doua

variabile" ca de e)emplu in cazul imaginilor statice. ,aca f(x,y) este continua si

integrabila si "(u,6) este integrabila sunt adevarate relatiile de transformare

Fourier directa si inversa:

Trans$!rmata #!urier (idimensi!nala !ntinua


35/51

),(),(),( 22 vu I vu Rvu F +=

),(

),(),(

vu R

vu I artg vu =Θ

),(),(),(

22vu I vu Rvu ! +=

=a fel ca in cazul unidimensional se pot defini relatiile pentru spectrul

magnitudinea! Fourier:

faza:

spectrul energiei:

unde 0(u,6) si 7(u,6) reprezinta componentele reala si imaginara ale lui "(u,6).


36/51

),(),(),( vuievu F vu F Θ

=

Urmatoarele proprietati sunt valabile atat in domeniul continuu" cat si in

domeniul discret:

a! transformata Fourier poate fi e)primata prin magnitudine si faza:

Transformata Fourier a unei imagini poate fi comple)a.

1entru reconstruirea completa a imaginii initiale sunt necesare ambele functii"

magnitudinea si faza.

*maginea initiala" magnitudinea si faza acesteia. efacerea imaginii initiale


37/51

Se considera doua imagini cu dungi" < dungi verticale" respectiv 6> dungi

orizontale. Se reprezinta magnitudinile transformatelor Fourier a)a u pe

orizontala si 6 pe verticala!. *n ambele cazuri rezulta un punct luminos in

centru" frecventa ?"?! insemnand valoarea medie. Frecventa mare in directiaverticala genereaza doua puncte simetrice pe directie verticala" departate.


38/51

),(),( vu F vu F −−=

),( vu F −−

),(),(),(),( vuvuvu F vu F −−Θ−=Θ−−=

b! daca semnalul >, este real" atunci transformata Fourier are o

anumita simetrie:

este comple) con3ugatul lui "(u,6). Aceasta implica:

c! daca semnal >, este real si par" atunci transformata Fourier este

reala si para:

),(),( vu F vu F −−=


39/51

d! transformarile Fourier directa si inversa sunt operatii liniare:

f$u%ie%(# 1

a# 2

>)=f$u%ie%(# 1

a)f$u%ie%(# 2

>)=# 1

?# 2

@

f$u%ie% 1(# 1 ?#

2 @)=f$u%ie% 1(#

1 ?)f$u%ie% 1(#

2 @)=#

1a#

2 >

unde a si > sunt semnale >, imagini!" iar # 1 si # 2 sunt constantecomple)e arbitrare.

e! transformata Fourier din spatiul discret este periodica in ambele

variabile u si 6 .

"(u2*j,62*k)="(u,6)

pentru j si k intregi.


40/51

A=?@

=a>

A=1(B* 2 )?:@

Este o proprietate foarte importanta egalitatea intre convolutia dindomeniul spatial si inmultirea din domeniul frecventa" si reciproc@

%& metodologie pentru implementarea convolutiei


41/51

4onsiderand discretizarea functiei continue f(x,y) intr'o matrice de esantioane de

tipul:

∆−+∆−+∆−+∆+∆−+

∆+∆−+∆+∆+∆+

∆+∆−+∆+∆+∆+∆−+∆+

))1(,)1((...))1(,())1(,(

............

)2,)1((...)2,()2,(

),)1((...),(),(

),)1((...),(),(

000000

000000

000000

000000

y ' y x N x f y ' y x x f y ' y x f

y y x N x f y y x x f y y x f

y y x N x f y y x x f y y x f

y x N x f y x x f y x f

in care (x & ,y

& )=(&,&)

−−−−

−

−

−

]1,1[...]1,1[]1,0[

............

]2,1[...]2,1[}2,0[

]1,1[...]1,1[]1,0[

]0,1[...]0,1[]0,0[

' N f ' f ' f

N f f f

N f f f

N f f f

pentru u=&,1,2,...(C1) si 6=&,1,2,...(+1).


42/51

∑ ∑−

=

−

=

+−=1

0

1

0

)//(2],[1

],[ '

x

N

y

N vy ' uxie y x f 'N

vu F π

∑∑−

=

−

=

+=1

0

1

0

)//(2],[],[ '

u

N

v

N vy ' uxievu F y x f π

y N v

x ' u

∆=∆

∆=∆

11

iar transformarea Fourier inversa:

pentru x=&,1,2,...,(C1) si y=&,1,2,...,(+1).

elatiile dintre imcrementii in domeniile spatial si frecventa sunt:


43/51

∑∑ −=

−−

=

−= 1

0

/21

0

/2 ],[1],[ N

y

N vyi N

x

N uxi e y x f e N

vu F π π

∑∑ −

=

−

=

=1

0

/21

0

/2 ],[1

],[ N

v

N vyi N

u

N uxi evu F e N

y x f π π

4onsiderindu'se pentru o imagine patrata +=C " ecuatiile precedente se

mai pot scrie si sub forma:

1)

pentru x,y=&,1,2,...,(+1). ,e notat faptul ca in e)presiile ambelor functii s'

a inclus un factor 1+ .


44/51

∑

−

=

−=

1

0/2 ]],[

1[],[

N

y N vyie y x f N N v x F

π

∑−

=

−=1

0

/2],[1

],[ N

x

N uxiev x F N

vu F π

1rincipalul avanta3 al proprietatii de separabilitate este acela ca "[u,6] si f[x,y]

se pot obtine in doua etape succesive" aplicand transformari Fourier directe si

inverse unidimensionale. Astfel" pentru calculul lui "[u,6] intr'o prima etapa seconsidera x constant transformare pe randuri ! si se calculeaza:


45/51

4alcularea unei transformări bidimensionale Fourier ca o serie de

transformări unidimensionale:


46/51

2 proprietate importanta a transformarii Fourier discrete este

periodicitatea:

"[u,6]=f[u,+6] f[x,y]=f[Cx,y]

"[u,6]=f[Cu,6] f[x,y]=f[x,+y]

"[aCu,>+6]="[u,6] f[aCx,>+y]=f[x,y]

=a fel ca in cazul continuu se pot defini relatiile pentru spectrul de frecventa


47/51

],[],[],[ 22

vu I vu Rvu F +=

],[

],[],[

vu R

vu I artg vu =Θ

],[],[],[],[ 222

vu I vu Rvu F vu ! +==

=a fel ca in cazul continuu se pot defini relatiile pentru spectrul de frecventa

magnitudinea! Fourier:

faza:

spectrul energiei:

unde 0[u,6] si 7[u,6]

"[u,6] = 0[u,6] i 7[u,6]

reprezinta componentele reala si imaginara ale lui "[u,6] .

Urmatoarele proprietati sunt valabile atat in domeniul continuu" cat si ind i l di t


48/51

∫ ∫ +∞

∞−

−−=∗ β α β α β α d d y x g f y x g y x f ),(),(),(),(

∑ ∑−

=

−

=

−−=1

0

1

0

],[],[],[*],[ '

m

N

n

n ym x g nm f y x g y x f

],[],[]),[],[( vuGvu F y x g y x f f&urier =∗

],[],[]),[],[( vuGvu F y x g y x f f&urier ∗=

domeniul discret:

,efinitia !n&!lutiei pentru doua functii bidimensionale f(x,y) si 3(x,y) estedata de relatia:

iar pentru cazul discret:

doua dimensiuni

si


49/51

∫ ∫ +∞

∞−++= β α β α β α d d y x g f y x g y x f ),(),(),(),(

∑ ∑

−

=

−

=++=

1

0

1

0],[],[],[],[

'

m

N

nn ym x g nm f y x g y x f

],[],[]),[],[( vuGvu F y x g y x f f&urier =

],[],[]),[],[( vuGvu F y x g y x f f&urier =

Analog cazului unidimensional" !relatia a doua functii bidimensionale f(x,y) si3(x,y) este data de relatia:

iar pentru cazul discret:

pentru x=&,1,2,...,C1 si y=&,1,2,...,+1. Se poate demonstra ca:

si ca:


50/51

Algoritm de dedublare succesiva! pentru calcularea FFT a valorilor

furnizate prin vectorul F " cu lungimea 2 D+ de valori reale partea

imaginara se initializeaza cu & !. ezultatul este returnat tot prin

vectorul F " cu valori comple)e.


51/51

Documents

03 Stmm Imagini FFT1