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Résistance des matériaux Chapitre 4: cisaillement simple préparé par John BOTSIS, Professeur LMAF/FSTI/EPFL BIBLIOGRAPHIE 1. M. Del Pedro & Th. Gmür, éléments de mécanique des structures, PPUR, 2001. 2. E. P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1990. Source: www.almohandiss.com

04 Cisaillement Simple

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Résistance des matériaux

Chapitre 4: cisaillement simple

préparé par

John BOTSIS, Professeur LMAF/FSTI/EPFL

BIBLIOGRAPHIE 1. M. Del Pedro & Th. Gmür, éléments de mécanique des structures, PPUR, 2001.

2. E. P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1990.

Source: www.almohandiss.com

contrainte de cisaillement

exemples

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contraintes de cisaillement et de flexion

exemples

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cisaillement simple - définition

0Tdx

dMf

0Mf

La section normale F d’un solide est soumise au

cisaillement simple quand le torseur des efforts

intérieurs se réduit à l’effort tranchant T dans le plan de F

Le cisaillement simple ne peut jamais exister

dans un solide entier.

Il est réalisé de façon presque parfaite

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contrainte de cisaillement - hypothèse

Hypothèse : fondée sur l’expérience

L’évaluation des contraintes dans une

section soumise au cisaillement simple est basée sur

l’hypothèse de Bernoulli:

la section F' après déformation se déduit de F par simple

translation dans la direction de l’effort T,

une section plane avant déformation

reste plane après déformation

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contrainte de cisaillement - évaluation

Fz

Fy

F

dF0

dFT

dF0

F

F

Fyz

ydF0

zdF0

dF)zy(0

FdFT yF

y

F

Ty

0TT zy

D’après l’hypothèse de Bernoulli 0z

constantey

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cisaillement - déformation

dxG

1dy

dx

dy

G

(loi de Hooke)

o1,0Pour un acier

Considérons deux sections F1 & F2 infiniment proches 0dx

faire l’hypothèse: dM = Tdx 0

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cisaillement - analyse de l’état de contrainte

Par définition:

0zyx

v axe principal M0z

v plan principal M0xy

N’oublions pas que les contraintes de cisaillement

sur deux sections perpendiculaires:

elles convergent vers une même arête

ou divergent d’une même arête.

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cisaillement - analyse de l’état de contrainte

Considérons une section oblique Fj perpendiculaire

au plan principal M0xy et tournant autour de l’axe M0z,

sa normale n formant un angle j avec l’axe M0x.

l’équilibre des forces conduit à:

0sinFcosFF

0cosFsinFF

yx

yx

j

j

)(2sin2cos)sin(cos

)(2cos2sincossin2

022

0

j cosFFx j sinFFy

Etant donné que

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cisaillement - analyse de l’état de contrainte

)(2sin

)(2cos

0

0

222 jj

)(2sin2cos)sin(cos

)(2cos2sincossin2

022

0

22 0

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cisaillement - contraintes principales

cercles de Mohr état de contrainte

autour d ’un point M0

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cisaillement - déformation

0)21(E

)21(E

dV

dVdVv

yx

zyx

'

La variation de volume est nulle

(au premier ordre)

variation de volume

en cisaillement simple

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cisaillement - énergie

dV2

1dxdxdz

2

1Tdy

2

1dU

Énergie de déformation

en cisaillement simple

G

en utilisant la loi de Hooke

2

Gu

2

2u

G2u

2

udV/dU

2

Eu

2

2u

E2u

2

comparaison avec le cas mono-dimensionnel

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relation entre E et G

GdxAA '

)1(E

12dx

)(E

12dxACAA 21

'''

'''' AA2AA

)1(E

2dx2G

dx

)1(2

EG

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relation entre E et G

)1(2

EG

G2u

2

cisaillement simple

état de contrainte ‘bidimensionnel’

31

23

21

22E

1u

avec 1 = et 3 = -

1E

u2

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