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Résistance des matériaux
Chapitre 4: cisaillement simple
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/FSTI/EPFL
BIBLIOGRAPHIE 1. M. Del Pedro & Th. Gmür, éléments de mécanique des structures, PPUR, 2001.
2. E. P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1990.
Source: www.almohandiss.com
cisaillement simple - définition
0Tdx
dMf
0Mf
La section normale F d’un solide est soumise au
cisaillement simple quand le torseur des efforts
intérieurs se réduit à l’effort tranchant T dans le plan de F
Le cisaillement simple ne peut jamais exister
dans un solide entier.
Il est réalisé de façon presque parfaite
Source: www.almohandiss.com
contrainte de cisaillement - hypothèse
Hypothèse : fondée sur l’expérience
L’évaluation des contraintes dans une
section soumise au cisaillement simple est basée sur
l’hypothèse de Bernoulli:
la section F' après déformation se déduit de F par simple
translation dans la direction de l’effort T,
une section plane avant déformation
reste plane après déformation
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contrainte de cisaillement - évaluation
Fz
Fy
F
dF0
dFT
dF0
F
F
Fyz
ydF0
zdF0
dF)zy(0
FdFT yF
y
F
Ty
0TT zy
D’après l’hypothèse de Bernoulli 0z
constantey
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cisaillement - déformation
dxG
1dy
dx
dy
G
(loi de Hooke)
o1,0Pour un acier
Considérons deux sections F1 & F2 infiniment proches 0dx
faire l’hypothèse: dM = Tdx 0
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cisaillement - analyse de l’état de contrainte
Par définition:
0zyx
v axe principal M0z
v plan principal M0xy
N’oublions pas que les contraintes de cisaillement
sur deux sections perpendiculaires:
elles convergent vers une même arête
ou divergent d’une même arête.
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cisaillement - analyse de l’état de contrainte
Considérons une section oblique Fj perpendiculaire
au plan principal M0xy et tournant autour de l’axe M0z,
sa normale n formant un angle j avec l’axe M0x.
l’équilibre des forces conduit à:
0sinFcosFF
0cosFsinFF
yx
yx
j
j
)(2sin2cos)sin(cos
)(2cos2sincossin2
022
0
j cosFFx j sinFFy
Etant donné que
Source: www.almohandiss.com
cisaillement - analyse de l’état de contrainte
)(2sin
)(2cos
0
0
222 jj
)(2sin2cos)sin(cos
)(2cos2sincossin2
022
0
22 0
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cisaillement - contraintes principales
cercles de Mohr état de contrainte
autour d ’un point M0
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cisaillement - déformation
0)21(E
)21(E
dV
dVdVv
yx
zyx
'
La variation de volume est nulle
(au premier ordre)
variation de volume
en cisaillement simple
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cisaillement - énergie
dV2
1dxdxdz
2
1Tdy
2
1dU
Énergie de déformation
en cisaillement simple
G
en utilisant la loi de Hooke
2
Gu
2
2u
G2u
2
udV/dU
2
Eu
2
2u
E2u
2
comparaison avec le cas mono-dimensionnel
Source: www.almohandiss.com
relation entre E et G
GdxAA '
)1(E
12dx
)(E
12dxACAA 21
'''
'''' AA2AA
)1(E
2dx2G
dx
)1(2
EG
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