04 Phys I Stiliaris - eclass.uoa.gr · ΔΙΑΝΥΣΜΑΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ v dt duˆ dt dv (uˆv) uˆ dt d a dt dv a T = ⇒ = T = T + r r r uˆ T uˆ N uˆ' T r r uˆ' T uˆ T

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗΜέση και Στιγμιαία Ταχύτητα ‐ ΕπιτάχυνσηΔιαφορικές & Ολοκληρωτικές Εξισώσεις ΚίνησηςΣταθερή ΕπιτάχυνσηΚατακόρυφη Ρίψη

ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΣΕΣΕ ΤΡΕΙΣΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΔιάνυσμα Θέσης ‐ ΜετατόπισηΔιανυσματικός Ορισμός Ταχύτητας – ΕπιτάχυνσηςΚαμπυλόγραμμη ΚίνησηΕφαπτομενική και Κάθετη Συνιστώσα της Επιτάχυνσης

ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟΕΠΙΠΕΔΟΚυκλική ΚίνησηΚίνηση ΒλημάτωνΠαραμετρικές Εξισώσεις ‐ Εξισώσεις Τροχιάς

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177

ALONSOALONSOFINNFINN

GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER

YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

5.1, 5.2, 5.3, 5.1, 5.2, 5.3, 5.45.4

2.1, 2.2, 2.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.92.7, 2.8, 2.9

2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.92.6, 2.7, 2.8, 2.9

2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.62.5, 2.6

ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΣΕΣΕ ΤΡΕΙΣΤΡΕΙΣΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

5.5, 5.6, 5.8, 5.5, 5.6, 5.8, 5.115.11

3.5, 3.63.5, 3.6 4.1, 4.2, 4.3, 4.44.1, 4.2, 4.3, 4.4 3.1, 3.23.1, 3.2

ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ 5.9, 5.105.9, 5.10 5.2, 5.55.2, 5.5 4.74.7 3.43.4

ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΩΝΒΛΗΜΑΤΩΝ 5.75.7 3.7, 3.83.7, 3.8 4.5, 4.64.5, 4.6 3.33.3


ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ: : ΤΑΧΥΤΗΤΑΤΑΧΥΤΗΤΑ

ΜέσηΜέση ΤαχύτηταΤαχύτητα: : ΜετατόπισηΜετατόπιση ((ΔΔx) x) σεσε δοσμένοδοσμένο χρονικόχρονικό διάστημαδιάστημα ((ΔΔt)t)

tsvav Δ

Δ=

O x

A B

Δx

ΣτιγμιαίαΣτιγμιαία ΤαχύτηταΤαχύτητα: : To To όριοόριο τηςτης μέσηςμέσης ταχύτηταςταχύτητας vvavav γιαγια ΔΔt t 00

txlimvlimv

0tav0t ΔΔ

==→Δ→Δ dt

dxv =

∫∫∫∫ +=⇔=−⇔=t

t0

t

t0

t

t

x

x 0000

dtvxxdtvxxdtvdx

Υπολογισμός της μετατόπισης από την συναρτησιακή εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο


ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ: : ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

ΜέσηΜέση ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΜέσηΜέση αλλαγήαλλαγή τηςτης ταχύτηταςταχύτητας ((ΔΔv) v) σεσε δοσμένοδοσμένο χρονικόχρονικό διάστημαδιάστημα ((ΔΔt)t)

tvaav Δ

Δ=

ΣτιγμιαίαΣτιγμιαία ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : To To όριοόριο τηςτης μέσηςμέσης επιτάχυνσηςεπιτάχυνσης aaavav γιαγια ΔΔt t 00

tvlimalima

0tav0t ΔΔ

==→Δ→Δ dt

dva =

∫∫∫∫ +=⇔=−⇔=t

t0

t

t0

t

t

v

v 0000

dtavvdtavvdtadv

Υπολογισμός της ταχύτητας από τη χρονική εξάρτηση της επιτάχυνσης

O x

A B

Δx

Δv


ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ: : ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

ΣτιγμιαίαΣτιγμιαία ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση:: ΔεύτερηΔεύτερη παράγωγοςπαράγωγος τηςτης θέσηςθέσης ωςως προςπρος τοντον χρόνοχρόνο

2

2

dtxda

dtdx

dtda

dtdva =⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇔=

dxadvvdtdxdtadvvdtadv =⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇔=

Υπολογισμός της ταχύτητας από τη χωρική εξάρτηση της επιτάχυνσης

∫∫∫ =−

⇔=x

x

20

2x

x

v

v00

0dxa

2vvdxavdv


ΟΜΑΛΑΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

ΣτηνΣτην ομαλάομαλά επιταχυνόμενηεπιταχυνόμενη ευθύγραμμηευθύγραμμη κίνησηκίνηση ισχύειισχύει a = a = σταθεράσταθερά

)tt(avvdtavv 00

t

t0

0

−+=⇔+= ∫

[ ] ∫∫∫∫ −++=−++=⇔+=t

t0

t

t00

t

t000

t

t0

0000

dt)tt(adtvxdt)tt(avxxdtvxx

20000 )tt(a

21)tt(vxx −+−+=



200

0

at21tvxx

tavvconsta

++=

+==

v=v(t)v=v(t) x=x(t)x=x(t)

a = cta = ct



200

0

at21tvxx

tavvttanconsa

++=

+== ΑπαλοιφήΑπαλοιφή τουτου χρόνουχρόνου

20

20

20000

2

200

00

0

vva)xx(2

)vv()vv(v2a)xx(2a

)vv(a21

avvvxx

avvt

−=−⇒

−+−=−⇒

−+

−+=

−=

a)xx(2vv 020

2 −+=ΣτηΣτη σχέσησχέση αυτήαυτή καταλήγουμεκαταλήγουμε καικαι μεμετηντην ολοκλήρωσηολοκλήρωση::

)xx(a2vv)xx(a2vvdxavdvadxvdv 0

20

20

20

2x

x

v

v 00

−+=⇒−=−

⇒=⇒= ∫∫



200

0

at21tvxx

tavvttanconsa

++=

+==ΑπαλοιφήΑπαλοιφή τηςτης επιτάχυνσηςεπιτάχυνσης

t2vvxx

t)vv(21tvxx

ttvv

21tvxx

tvva

00

000

2000

0

+=−⇒

−++=⇒

−++=

−=

t2vvxx 0

0+

=−

ΣτηΣτη σχέσησχέση αυτήαυτή καταλήγουμεκαταλήγουμε καικαιμεμε τηντην παρακάτωπαρακάτω ολοκλήρωσηολοκλήρωση, , κάνονταςκάνοντας χρήσηχρήση τουτου εμβαδούεμβαδού τουτουτραπεζίουτραπεζίου στοστο διάγραμμαδιάγραμμα v(t)v(t)::

t2vvxxvdtdxvdtdx 0

0

t

0

x

x0

+=−⇒=⇒= ∫∫


ΕΛΕΥΘΕΡΗΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗΠΤΩΣΗ

ΟιΟι εξισώσειςεξισώσεις τηςτης κίνησηςκίνησης γιαγια σταθερήσταθερή επιτάχυνσηεπιτάχυνση μπορούνμπορούν νανα εφαρμοστούνεφαρμοστούνστηνστην περίπτωσηπερίπτωση τηςτης ελεύθερηςελεύθερης πτώσηςπτώσης ((επιτάχυνσηεπιτάχυνση g = g = ‐‐9.8 ms9.8 ms‐‐22).).

ΚατακόρυφηΚατακόρυφη βολήβολή

200

0

gt21tvyy

tgvvga

−+=

−=−=

gr

0y0 =

0vr ΗΗ

ΥπολογισμόςΥπολογισμός μεγίστουμεγίστου ύψουςύψους ΗΗ

( )g2v

g2vg

21

gvvHg/vtyHy

gvt0v

20

200

00max

0

=−=⇒===

=⇒=

g2vH20=


ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

1rr

2rr

kzjyixrrrr zyx ++=++=rrrr

ΔιάνυσμαΔιάνυσμα ΘέσηςΘέσης

( ) ( )

kzjyixr

k)zz(j)yy(i)xx(r

kzjyixkzjyixrrr

121212

11122212

Δ+Δ+Δ=Δ

−+−+−=Δ

++−++=−=Δ

r

r

rrrΜετατόπισηΜετατόπιση

ktzj

tyi

tx

tkzjyix

trvav Δ

Δ+

ΔΔ

+ΔΔ

=Δ

Δ+Δ+Δ=

ΔΔ

=r

r

ΜέσηΜέση ΤαχύτηταΤαχύτητα

kdtdzj

dtdyi

dtdx)kzjyix(

dtd

dtrdv

trlimv

0t++=++==⇒

ΔΔ

=→Δ

rr

rr

ΤαχύτηταΤαχύτητα


ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

kdtdzj

dtdyi

dtdx)kzjyix(

dtd

dtrdv ++=++==r

r

ΤαχύτηταΤαχύτητα

2z

2y

2x

zyx

vvvv

kvjvivv

++=

++=r

tv

tvva 12

av ΔΔ

=Δ−

=rrr

r

ΜέσηΜέση ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση

kdtdvj

dtdv

idtdv)kvjviv(

dtd

dtvda

tvlima zyx

zyx0t++=++==⇒

ΔΔ

=→Δ

rr

rr

ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση

2z

2y

2x

zyx

aaaa

kajaiaa

++=

++=r


ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

ΚατάΚατά τητη κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος απόαπό τοτο ΑΑ στοστο ΒΒηη μετατόπισημετατόπιση ΔΔss πάνωπάνω στηνστην καμπύληκαμπύλη δίνεταιδίνεταιαπόαπό τοτο τόξοτόξο ΑΒΑΒ. .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

ΔΔ

=ΔΔ

=

→Δ→Δ

→Δ→Δ

tslim

srlimv

ts

srlim

trlimv

0t0s

0t0tr

r

rrr

ΣτοΣτο όριοόριο αυτόαυτό τοτο ΔΔs s γίνεταιγίνεται ίσοίσο μεμε τοτο μέτρομέτρο ΔΔrr, , οπότεοπότε οο πρώτοςπρώτος όροςόροςαντιπροσωπεύειαντιπροσωπεύει έναένα μοναδιαίομοναδιαίο διάνυσμαδιάνυσμα, , εφαπτόμενοεφαπτόμενο στηστη διαδρομήδιαδρομή((καμπύληκαμπύλη) ) πουπου περιγράφειπεριγράφει τηντην κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος..

Tvr

vdtds

ΔtΔslim

udrrd

ΔsrΔlim

0Δt

T0Δs

==

==

→

→

rr

vudtdsuv TT ==

r



ΕφαπτομενικήΕφαπτομενική ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στοστο μέτρομέτρο τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςTar

Σώμα κινείται στην τροχιά C και τηχρονική στιγμή t έχει ταχύτητα v καιεπιτάχυνση a. Η επιτάχυνση a έχει πάντακατεύθυνση προς τα κοίλα της τροχιάς.

Μπορούμε να αναλύσουμε τηνεπιτάχυνση σε δύο κάθετες συνιστώσες: Σε μια εφαπτομενική στην τροχιά και σεμια κάθετη συνιστώσα.

Tar

x

y

Nar a

rCC

vr

ΚάθετηΚάθετη ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στηστη διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςNar



vdtud

dtdvuv)u(

dtda

dtvda T

TT +==⇒=r

rr

Tu

Nu

'uT

rr 'uT

Tu Tud

x

y

dφ

Όταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα uT αλλάζειαλλάζεικατεύθυνσηκατεύθυνση και η παράγωγός του ωςπρος τον χρόνο υπολογίζεται ως εξής:

ρvu

dφρdφvu

dsdφvu

dtds

dsdφu

dtdφu

dtuddφuud NNNNNT

NT =====⇒=

dφuudφ1udφuud NNNTT =⋅==

όπου το μοναδιαίο διάνυσμα uN, το οποίο εισάγεται για να καθορίσει τηνκατεύθυνση της μεταβολής duT είναι κάθετο στο uT, δηλαδή κάθετο στηνεφαπτομενική διεύθυνση της τροχιάς. Έτσι:



vdtud

dtdvuv)u(

dtda

dtvda T

TT +==⇒=r

rr

NT

2

NTNT aaρvu

dtdvuv

ρvu

dtdvua

rrr+=+=+=

ΕφαπτομενικήΕφαπτομενική επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaTT:: ΡυθμόςΡυθμός αλλαγήςαλλαγής τουτου μέτρουμέτρου τηςτης ταχύτηταςταχύτητας..ΣεΣε περίπτωσηπερίπτωση ομαλήςομαλής καμπυλόγραμμηςκαμπυλόγραμμης κίνησηςκίνησης ((μέτρομέτρο ταχύτηταςταχύτητας v v σταθερόσταθερό)),,ηη εφαπτομενικήεφαπτομενική επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaTT εξαφανίζεταιεξαφανίζεται..

ΚάθετηΚάθετη επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaNN:: ΑλλάζειΑλλάζει τηντην κατεύθυνσηκατεύθυνση τηςτης ταχύτηταςταχύτητας. . ΣεΣε ευθύγραμμηευθύγραμμη κίνησηκίνηση ηη ακτίναακτίνα καμπυλότηταςκαμπυλότητας ρρ απειρίζεταιαπειρίζεται, , οπότεοπότε ηη κάθετηκάθετηεπιτάχυνσηεπιτάχυνση μηδενίζεταιμηδενίζεται..


ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

RR

vr

θθ

ΚυκλικήΚυκλική ΚίνησηΚίνηση:: ΗΗ τροχιάτροχιά είναιείναι κύκλοςκύκλοςσταθερήςσταθερής ακτίναςακτίνας RR, , οπότεοπότε ηη ταχύτηταταχύτητα είναιείναιπάνταπάντα εφαπτομένηεφαπτομένη τηςτης κυκλικήςκυκλικής τροχιάςτροχιάς καικαικάθετηκάθετη στηνστην επιβατικήεπιβατική ακτίναακτίνα..

Το μέτρο της ταχύτητας θα δίνεται από:

dtdR)R(

dtd

dtdsv θ

θ =⋅==r

dtdθ

ω =

ΗΗ ποσότηταποσότητα ddθθ//dt dt ονομάζεταιονομάζεται γωνιακήγωνιακή ταχύτηταταχύτητα ωω

ΗΗ γωνιακήγωνιακή ταχύτηταταχύτητα είναιείναι διανυσματικόδιανυσματικό μέγεθοςμέγεθος μεμε μέτρομέτρο ωω, , διεύθυνσηδιεύθυνση κάθετηκάθετηστοστο επίπεδοεπίπεδο κίνησηςκίνησης καικαι φοράφορά καθοριζόμενηκαθοριζόμενη απόαπό τοντον κανόνακανόνα τουτου δεξιούδεξιού χεριούχεριού..

ΜονάδαΜονάδα γωνιακήςγωνιακής ταχύτηταςταχύτητας: : rad/s = srad/s = s‐‐11


ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

RR

vr

θθ

Η κυκλική κίνηση στο χώρο μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμαδιάνυσμα θέσηςθέσης rr . Όπωςείναι προφανές από το παραπάνω σχήμα ισχύει γενικά:

vrωr

RR

rr

αα

rvrrr

×= ω

dtdRR)asinr(sinrv θ

ωωαω ====rrr


ΟΜΑΛΗΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

RR

vr

θθ

ΟμαλήΟμαλή κυκλικήκυκλική κίνησηκίνηση: Η γωνιακή ταχύτητα ωπαραμένει χρονικά σταθερή

ωω = = ddθθ//dt = constdt = const

ΠερίοδοςΠερίοδος ΤΤ :: Ο απαιτούμενος χρόνος για μια πλήρηπεριστροφή

ωω == 22ππ//ΤΤ = 2= 2ππff

ΣυχνότηταΣυχνότητα f : f : Αριθμός περιστροφών στη μονάδατου χρόνου

f = 1/Tf = 1/T

Για σταθερή γωνιακή ταχύτητα ισχύει:

∫∫ ⇒=−⇒=⇒=⇒=t

00 tdtddtd

dtd

0

ωθθωθωθθ

ωθ

θ

t0 ωθθ +=


ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

vr

θθ

ar Ta

r

Nar

NT

2

NT aaρvu

dtdvua rrr

+=+=

Στη γενική περίπτωση της καμπυλόγραμμης κίνησηςείδαμε ότι ισχύει:

Τα uT και uN είναι μοναδιαία διανύσματα, εφαπτόμενοστην τροχιά και κάθετο αντίστοιχα.

Στην περίπτωση κυκλικής κίνησης:

• Η ακτίναακτίνα καμπυλότηταςκαμπυλότητας ρρ παραμένει σταθερή και ταυτίζεται με την ακτίναακτίνα τουτου κύκλουκύκλου RR• Η γραμμική ταχύτητα v εκφράζεται μέσω της γωνιακής v = v = ωω RR• Η γραμμική επιτάχυνση dv/dt ομοίως εκφράζεται από την γωνιακή dv/dt = R ddv/dt = R dωω/dt/dt

⇒+=+= N

22

T

2

NT uRRωu

dtdωR

ρvu

dtdvuar N

2T uRu

dtdRa rrr

ωω

+=


ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

vr

θθ

ar Ta

r

Nar

Η επιτάχυνση στην κυκλική κίνηση έχει δύο συνιστώσεςaT και aN, εφαπτομενική και κάθετη στην τροχιάαντίστοιχα.

• Η εφαπτομενική συνιστώσα aT είναι υπεύθυνη για τηναλλαγή του μέτρου της ταχύτητας v

• Η συνιστώσα aNαντιστοιχεί στην κεντρομόλο επιτάχυνση

N2

T uRωudtdωRa +=

r

ΟΜΑΛΗΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗΣτηνΣτην ειδικήειδική περίπτωσηπερίπτωση τηςτης ομαλήςομαλής κυκλικήςκυκλικής κίνησηςκίνησης, , ηη ποσότηταποσότητα ddωω//dtdt μηδενίζεταιμηδενίζεταιμεμε αποτέλεσμααποτέλεσμα νανα παραμένειπαραμένει μόνομόνο ηη κεντρομόλοςκεντρομόλος επιτάχυνσηεπιτάχυνση ωω22RR,, ηη οποίαοποία είναιείναι ωςωςπροςπρος τοτο μέτρομέτρο σταθερήσταθερή..

N2

N2

T uRuRudtdRa rrrr

ωωω

=+=


ΟΜΑΛΗΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

vr

θθ

ar

xar

yar

xvr

yvr

xx

yy ΔιανυσματικόςΔιανυσματικός ΥπολογισμόςΥπολογισμός ΕπιτάχυνσηςΕπιτάχυνσης

Παρουσιάζεται εδώ μια εναλλακτική προσέγγισηυπολογισμού της επιτάχυνσης στην ομαλή κυκλικήκίνηση.

j)cosv(dtdi)sinv(

dtdj

dtdv

idtdv

dtvda yx

rrrrrr

θθ +−=+==

Το μέτρο της ταχύτητας v στην ομαλή κίνησηπαραμένει σταθερό:

jsinvicosvjdtdsinvi

dtdcosva

rrrrrθωθω

θθ

θθ −−=−−=

RsincosRajsinRicosRa 222222 ωθθωθωθω =+=⇒−−=rrrr


ΠΛΑΓΙΑΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗΒΟΛΗ

Κίνηση σωματιδίου (χωρίςαντιστάσεις) σε κατακόρυφοκατακόρυφοεπίπεδοεπίπεδο όπου επιδρά μόνο ησταθερή επιτάχυνσηεπιτάχυνση τηςτης ελεύθερηςελεύθερηςπτώσηςπτώσης gg.

Το σώμα βάλλεται με αρχικήταχύτητα v0=vi υπό γωνία θ0=θi

jsinθvicosθvjvivv 00000y0x0 +=+=r

ΚατάΚατά τητη διάρκειαδιάρκεια τηςτης κίνησηςκίνησης τοτο διάνυσμαδιάνυσμα θέσηςθέσης rr καθώςκαθώς καικαι τοτο διάνυσμαδιάνυσμα τηςτηςταχύτηταςταχύτητας vv μεταβάλλονταιμεταβάλλονται συνεχώςσυνεχώς, , ενώενώ τοτο διάνυσμαδιάνυσμα τηςτης επιτάχυνσηςεπιτάχυνσης aaπαραμένειπαραμένει σταθερόσταθερό ((aa==‐‐gg). ).

ΤοΤο βλήμαβλήμα δενδεν έχειέχει οριζόντιαοριζόντια επιτάχυνσηεπιτάχυνση!!

ΣτηνΣτην πλάγιαπλάγια βολήβολή ηη οριζόντιαοριζόντια καικαι ηη κατακόρυφηκατακόρυφηκίνησηκίνηση είναιείναι ανεξάρτητεςανεξάρτητες ηη μιαμια απόαπό τηντην άλληάλλη..



ΕξισώσειςΕξισώσεις τηςτης ΚίνησηςΚίνησης

ΟριζόντιαΟριζόντια ΚίνησηΚίνηση

( )tcosvxxtvxx 000x00 θ+=⇒=−

ΚατακόρυφηΚατακόρυφη ΚίνησηΚίνηση

( ) 2000

2y00 gt

21tsinvyygt

21tvyy −+=⇒−=− θ

gtsinvv 00y −= θ

a)yy(2vv

0

2y0

2y −=− ( ) ( )02

002y yyg2sinvv −−= θ



ΕξίσωσηΕξίσωση τηςτης ΤροχιάςΤροχιάςΗ εξίσωση της κίνησης που προκύπτει εάν συμπλέξουμε την οριζόντια και κατακόρυφησυνιστώσα της απόστασης, απαλείφοντας τον χρόνο από τις εξισώσεις αυτές.

( )tcosvxx 000 θ+=

( ) 2000 gt

21tsinvyy −+= θ

00

0

cosvxxtθ

−=

( )2

00

0

00

0000 cosv

xxg21

cosvxxsinvyy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−+=

θθθ

( )( )200

2

0 cosv2gxxtany

θθ −=

0yx 00 ==


ΠΛΑΓΙΑΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗΒΟΛΗΒεληνεκέςΒεληνεκές

ΗΗ οριζόντιαοριζόντια απόστασηαπόσταση R R πουπου διανύειδιανύει τοτο βλήμαβλήμα ότανόταν επιστρέψειεπιστρέψει στοστο αρχικόαρχικό ύψοςύψος εκτόξευσηςεκτόξευσης..

t)cosv(xxR 000 θ=−=

ΟΟ χρόνοςχρόνος πτήσηςπτήσης υπολογίζεταιυπολογίζεται απόαπό τηντηνκατακόρυφηκατακόρυφη κίνησηκίνηση, , έτσιέτσι ώστεώστε yy‐‐yy00=0=0::

200 gt

21t)sinv(0 −= θ

ΑπαλείφονταςΑπαλείφοντας τοντον χρόνοχρόνο απόαπό τιςτις παραπάνωπαραπάνωεξισώσειςεξισώσεις καταλήγουμεκαταλήγουμε στηνστην σχέσησχέση::

⇒= 00

20 cossingv2R θθ 0

20 2singvR θ=

ΤοΤο μέγιστομέγιστο βεληνεκέςβεληνεκές επιτυγχάνεταιεπιτυγχάνεται γιαγια βολήβολή μεμε θθ0 0 = 45= 45οοStathis STILIARIS, UoA 2016-2017 26

Documents

04 Phys I Stiliaris - eclass.uoa.gr · ΔΙΑΝΥΣΜΑΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ v dt duˆ dt dv (uˆv) uˆ dt d a dt dv a T = ⇒ = T = T + r r r uˆ T uˆ N uˆ' T r r uˆ' T uˆ T