暫定版 修正・加筆の可能性あり

（付録） 「微分形式：外微分」 1. 復習 2. 直交基底：ベクトルと微分 3. 微分形式 4. ウェッジ積（勾配、回転、発散） 5. 外微分 6. ストークスの定理：微分形式 7. ガウスの発散定理：微分形式 8. 微分形式の積分

微分形式：differential forms • 本付録では「勾配、回転、発散」の意味・詳細には踏み込まず、微分形式に話題を限定する。 • モーレー・カルタン： Maurer–Cartan form • 外微分：exterior derivative • お詫び：表記法がやや自己流になっています。

７１４－1

７１４－2

復習：直交座標：デカルト座標系

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

( ), ,x y zr( ), , x y zu x v y w z x y z= = = = + +r e e e

位置ベクトル：position vector

正規直交基底：orthonormall basis

( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1x y zd d ddx dy dy

= = = = = =r r re e e

線要素ベクトル：デカルト座標系

( ), ,

x y z

d u x v y w zd d ddx dy dzdu dv dwd d ddx dy dzdx dy dz

dx dy dz

= = =

= + +

= + +

= + +

rr r r

r r r

e e e

参考：701-5

７１４－3

直交基底：ベクトルと微分

線要素ベクトル

( ), ,

x y z

y z z x x y

d u x v y w z

dx dy dzdx dy dz

= = =

= + +

= × + × + ×

r

e e ee e e e e e

正規直交基底

0

x y y z

y z z y

z x z x

x x y y z z

× = − ×

× = − ×

× = − ×× = × = × =

e e e ee e e ee e e ee e e e e e

微分形式：とりあえず、形式に名前をつける。 次頁：微分形式は全部で４個

x y z

x y z

f dx f dy f dz

f dy dz f dz dx f dx dy

+ +

∧ + ∧ + ∧

微分で記述

0

dx dy dy dxdy dz dz dydz dx dx dz

dx dx dy dy dz dz

∧ = − ∧∧ = − ∧∧ = − ∧

∧ = ∧ = ∧ =

微分１形式

微分２形式

微分形式

微分形式：0,1,2,3形式

７１４－4

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

0

1 1

2 2

3

, ,, ,

, ,, ,

f

f

x y z x y z

x y zx y z

f f x y zf f f f dx f dy f dz

f dy dz f dz dx f dx dyf f ff x y z dx dy dzf

ω

ω ω

ω ω

ω

== + +=

∧ + ∧ + ∧== ∧ ∧=

双対空間（dual spaces of spaces of differential forms）：0,1,2,3形式

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )( )( )

03

1 1 2

12 2

03

* , ,* * , ,

* * , ,, ,*

f fff

x y z x y z

x y zx y z

f f x y z dx dy dz ff f f f dy dz f dz dx f dx dy

f dx f dy f dzf f ff x y z ff

ω ωω ω ω

ωω ωωω

∧ ∧= == ∧ + ∧ + ∧= =

+ += == = =

ωの添字：0,1,2,3形式

differential 0 form

differential 1 form

differential 2 form

differential 3 form

７１４－5

ウェッジ積（１）

ウェッジ積：次頁計算例

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2

3

, ,

, ,

, ,

f

f

x y z x y z

x y z x y z

f f f f dx f dy f dz

f f f f dy dz f dz dx f dx dy

f f x y z dx dy dz

ω ω

ω ω

ω

= = + +

= = ∧ + ∧ + ∧

= ∧ ∧

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )

1 1 2

1 2 2 1 3

1 1 1 1 2 3

ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

∧ = ×

∧ = ∧ =

∧ ∧ = ∧ × =

a b a b

a b a b a b

a b c a b c abc

[ ] == × = × × = × = × = ×abc a b c a b c b c a b c a c a b c a b

ωの添字：0,1,2,3形式

ウェッジ積：Wedge product 外戚：exterior product

７１４－6

ウェッジ積（２）

計算例

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1 1a b x y z x y z

x x y z y x y z

z x y z

x y z y x z z x y

x y x z y x y z z x z y

a dx a dy a dz b dx b dy b dz

a dx b dx b dy b dz a dy b dx b dy b dz

a dz b dx b dy b dz

a dx b dy b dz a dy b dx b dz a dz b dx b dy

a b dx dy a b dx dz a b dy dx a b dy dz a b dz dx a b dz

ω ω∧ = + + ∧ + +

= ∧ + + + ∧ + +

+ ∧ + +

= ∧ + + ∧ + + ∧ +

= ∧ + ∧ + ∧ + ∧ + ∧ + ∧

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1 1 2

, ,

, ,

a b

a b

a b a b

x y y x y z z y z x x z

y z z y z x x z x y y x

y z z y z x x z x y y x

y z z y z x x z x y y x

dy

a b a b dx dy a b a b dy dz a b a b dz dx

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b a b dy dz a b a b dz dx a b a b dx dy

ω ω

ω ω ω

= − ∧ + − ∧ + − ∧

× = − − −

× = − − −

= − ∧ + − ∧ + − ∧

∧ = ×

７１４－7

ウェッジ積（３）

計算例

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

( )

1 2

x y z x y z

x x y z

y x y z

z x y z

x x y y z z

x x y y z z

a dx a dy a dz b dy dz b dz dx b dx dy

a dx b dy dz b dz dx b dx dy

a dy b dy dz b dz dx b dx dy

a dz b dy dz b dz dx b dx dy

a dx b dy dz a dy b dz dx a dz b dx dy

a b a b a b dx dy dz

a

ω ω∧

= + + ∧ ∧ + ∧ + ∧

= ∧ ∧ + ∧ + ∧

+ ∧ ∧ + ∧ + ∧

+ ∧ ∧ + ∧ + ∧

= ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧

= + + ∧ ∧

=

a b

a b

( ) ( )3

x x y y z z

x x y y z z

b a b a b

a b a b a b dx dy dzω

+ +

= + + ∧ ∧a b

７１４－8

ウェッジ積（４）

計算例

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )

( )

2 1

1

a b

a

x y z x y z

x y z x

x y z y

x y z z

x x y y z z

x x y y z z

a dy dz a dz dx a dx dy b dx b dy b dz

a dy dz a dz dx a dx dy b dx

a dy dz a dz dx a dx dy b dy

a dy dz a dz dx a dx dy b dz

a dy dz b dx a dz dx b dy a dx dy b dz

a b a b a b dx dy dz

ω ω

ω ω

∧

= ∧ + ∧ + ∧ ∧ + +

= ∧ + ∧ + ∧ ∧

+ ∧ + ∧ + ∧ ∧

+ ∧ + ∧ + ∧ ∧

= ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧

= + + ∧ ∧

∧ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 3b a b a bω ω ω= ∧ =

７１４－9

勾配：ウェッジ積

勾配：divergence

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

1 0 1 0

0

0 0 0

0 0 0

, ,1

0 0 0 0 0 0

1 0 1 0

, ,

, ,

, , ,

x y z

f x y z

f fx y z

dx dy dz f

dx f dy f dz fx y z

dx dy dzx y z

f f fdx dy dz fx y z

dx dx dy dy dz dz

f f f x y z

ω

ω ω ω ω

ω

ω ω ω

ω ω ω

ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

=

∂ ∂ ∂∇ ∧ = ∧ ∂ ∂ ∂

= ∂ + ∂ + ∂ ∧

∂ ∂ ∂= ∧ + ∧ + ∧∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂→ + + = ∇

∂ ∂ ∂

∧ = ∧ = ∧ =

∇ ∧ = ∇ =

ωの添字：0,1,2,3形式

７１４－10

回転：ウェッジ積

回転：rotation

( ) ( ) ( )1 1 2

y yx xz zf ff ff fdy dz dz dx dx dy

y z z x x y

ω ω ω∇ ∧ = ∇×

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − ∧ + − ∧ + − ∧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f

双対空間：714-2

( ) ( ) ( )1 1 2* *f f

y yx xz zf ff ff fdx dy dz

y z z x x y

ω ω ω ∇ ∧ = ∇× ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

( ) ( )

1 1

1 1

, ,

, ,f f rx y z x y z

dx dy dzx y z x y z

f f f f dx f dy f dz d

ω ω

ω ω

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + + =

微分形式：differential form

ωの添字：0,1,2,3形式

注意：双対空間では回転ベクトルらしくなる！

７１４－11

発散：ウェッジ積

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 dx dy dzω ω ω∇ ∧ = ∇ = ∇ ∧ ∧f f f

発散：divergence

双対空間：714-2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 2 1 1 1

* *

* * * *

f f f

f f f f

ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

∇ ∧ = ∇ = ∇ ∇ ∧ = ∇ ∧ = ∇ ∧ = ∇

微分形式：differential form

( )

( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2

3

, ,

, ,f

f fx y z x y z

dx dy dzx y z x y z

f f f f dy dz f dz dx f dx dy

dx dy dz

ω ω

ω ω

ω

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = ∧ + ∧ + ∧

∇ = ∇ ∧ ∧

注意：微分１形式のウェッジ積で記述

注意：双対空間では発散になる！

ωの添字：0,1,2,3形式

７１４－12

外微分（１）

微分形式：0,1,2,3形式

外微分：exterior derivative 次頁：計算確認

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0 0

1

1 1 2

2 2

3 , , ,

r

f f

f

f f

x y z

x y z

x y z

f f fd d f dx dy dzx y z

f d f

d d d f dx f dy f dz

d d d f dy dz f dz dx f dx dy

f f f

ω ω

ω

ω ω ω

ω ω

ω

∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂

= ∇ = ∇

= = + + = ∇×

= = ∧ + ∧ + ∧

= ∇ =

微分形式０→１

微分形式２→３

微分形式１→２

ωの添字：0,1,2,3形式

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

0

1 1

2 2

3

, ,, ,

, ,, ,

f

f

x y z x y z

x y zx y z

f f x y zf f f f dx f dy f dz

f dy dz f dz dx f dx dyf f ff x y z dx dy dzf

ω

ω ω

ω ω

ω

== + +=

∧ + ∧ + ∧== ∧ ∧=

７１４－13

外微分（２）

計算例：微分形式１→２

( ) ( )1 1 f x y z

y y yx x x

z z z

y yx x z

x y zd d

f f ff f fdx dy dz dx dx dy d

d f dx f dy f dz df dx df dy d

z dyx y z x y z

f f fdx dy dz dzx y z

f ff f fdy dx dz dx dx dy dz dy dx dzy z z

f dz

x x

ω ω= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ∧ + + + ∧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + ∧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ∧ + ∧ + ∧ + ∧ + ∧ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = ∧ + ∧ + ∧

( )2 f

z

y yx xz z

f dy dzy

f ff ff fdy dz dz dx dx dyy z z x x y

ω

∂∧

∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − ∧ + − ∧ + − ∧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇×

定義：外積分

７１４－14

外微分（３）

計算例：微分形式２→３

( ) ( )2 2 f

x x x

y y y

z z z

yx

x y z

x y z

d d

f f fdx dy dz dy dzx y z

d f dy dz f dz dx f dx dy

f f fdx dy dz dz dx

x y z

f f fdx dy dz dx dyx y z

ff dx dy dz

df dy dz df dz

dy dz d

dx df dx d

x y

y

x

ω ω= =

∂ ∂ ∂= + + ∧ ∧ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + + + ∧ ∧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + ∧ ∧ ∂ ∂ ∂ ∂∂

= ∧ ∧ + ∧ ∧ +∂ ∂

∧ + ∧ + ∧

= ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧

( ) ( )3f f

zf dz dx dyz

dx dy dz ω

∂∧ ∧

∂

= ∇ ∧ ∧ = ∇

定義：外積分

７１４－15

整理：勾配・回転・発散

微分形式：0,1,2,3形式

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0 0 1

1 1 2

2 2 3

f f

f f

d d f f

d d

d d

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

= = ∇

= = ∇×

= = ∇

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 0 1

1 1 2

1 2 3

f f

f f

f fω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

∇ ∧ = ∇

∇ ∧ = ∇×

∇ ∧ = ∇

外微分 ウェッジ積：参照717-7～9

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0 1

1 1 1 2

2 1 2 3

f f f

f f f

d f f f

d

d

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

= ∇ ∧ = ∇

= ∇ ∧ = ∇×

= ∇ ∧ = ∇

( )1d ω= ∇ ∧

関係式：外微分とウェッジ積

ωの添字：0,1,2,3形式

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

0

1 1

2 2

3

, ,, ,

, ,, ,

f

f

x y z x y z

x y zx y z

f f x y zf f f f dx f dy f dz

f dy dz f dz dx f dx dyf f ff x y z dx dy dzf

ω

ω ω

ω ω

ω

== + +=

∧ + ∧ + ∧== ∧ ∧=

７１４－16

積分：微分形式

定義：積分

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

1

2

3

f f r

f

f S f n

x y zC C C

x y zS S

x y zS S S

V V V V

f dx f dy f dz d

f dx dy f dy dz f dz dx

f dxdy f dydz f dzdx d dS

f fdx dy dz fdxdydz fdV

ω

ω

ω

= + + =

= ∧ + ∧ + ∧

= + + = =

= ∧ ∧ = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

( ) ( )x y z x y zS S

V V

f dx dy f dy dz f dz dx f dxdy f dydz f dzdx

fdx dy dz fdxdydz

∧ + ∧ + ∧ ≡ + +

∧ ∧ ≡

∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

積分：微分形式 ωの添字：0,1,2,3形式

n f

法線ベクトル

dS：微小面積

７１４－17

ストークスの定理：微分形式

定理：Stokes' theorem

( )f S f rS S C

d d∂ =

∇× =∫∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 1

1 1

1

2

1 1 2

f f

f f

f f r

f f S

f f

S S C

S S C

x y zC C C

S S

d

f dx f dy f dz d

d

d d

ω ω

ω ω

ω

ω

ω ω ω

∂ =

∂ =

⇔ ∇× =

⇔ =

= + + =

=

= = ∇×

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫∫

積分：微分形式

n f ループC

面積分：閉ループＣの内側

線積分の向き

法線ベクトル

参照：714-16

参照：714-15

微分形式：ストークスの定理 注意：微分１形式 ( ) ( )1 1f f

S S Cdω ω

∂ ==∫ ∫

δＳ：表面Ｓを囲むループ

７１４－18

ガウスの発散定理：微分形式

定理：divergence theorem

f f SV V S

dV d∂ =

∇ =∫∫∫ ∫∫

θ nf

S∆

表面積分と体積分

積分：微分形式 δＶ：体積Ｖを囲む表面

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

3 2

2 2

2

3

2 2 3

f f

f f

f f S

f f

V V S

V V S

S S

V V

d

d

f fdV

d d

ω ω

ω ω

ω

ω

ω ω ω

∂ =

∂ =

⇔ ∇ =

⇔ ∇ =

=

=

= = ∇

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫∫ ∫∫∫

参照：714-16

参照：714-15

微分形式：ガウスの発散定理 注意：微分２形式 ( ) ( )2 2f f

V V Sdω ω

∂ ==∫ ∫

７１４－19

整理：微分形式の積分（１）

微分形式：ストークスの定理 注意：微分１形式 ( ) ( )1 1f f

S S Cdω ω

∂ ==∫ ∫

微分形式：ガウスの発散定理 注意：微分２形式

( ) ( )2 2f fV V S

dω ω∂ =

=∫ ∫

疑問：微分０形式や微分３形式？ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 3 3? ? ? ?? ? , ? ?d dω ω ω ω= =∫ ∫ ∫ ∫

積分範囲 面（左辺）から線（右辺）へ

積分範囲 体積（左辺）から表面（右辺）へ

残念ながら、微分３形式はありません！

( ) ( )( )

( )

3

3

... 03

, ,

0dx dx

f f x y z dx dy dz

d f df dx dy dz

f f fdx dy dz dx dy dz d fx y z

ω

ω

ω∧ = =

= ∧ ∧

= ∧ ∧ ∧

∂ ∂ ∂= + + ∧ ∧ ∧ → = ∂ ∂ ∂

参照：714-３

次頁：微分０形式について考えてみましょう！

７１４－20

整理：微分形式の積分（２）

( ) ( )0 0C Cd f fω ω

∂=∫ ∫

( ) ( )1 1f fS S C

dω ω∂ =

=∫ ∫微分形式：ストークスの定理 注意：微分１形式

積分範囲 面（左辺）から線（右辺）へ

予想：微分０形式 予想：積分範囲 線（左辺）から点（右辺）へ

しかしながら ループ積分の場合

ループ積分でない場合 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

0

0 2 1 0

r r

r r

r r r

r r r

r

r r

d f f d

d f df f f f

ω

ω ω

= ∇

= = − ≡

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )0 00, , ,C C

d f df f f x y zω ω= = =∫ ∫

何がいいたいのかな？：やや強引ではあるが •確かに微分０形式では積分範囲が線（左辺）から点（右辺）へ変化する。 •もちろん、点の積分範囲という表現は不自然であり、出発点と終着点での関数ｆ値の差となる。 •やってることは、お馴染みの定積分と考えて良いでしょう。

確かに、左辺は線積分 ( ) ( )0 1 rC C C

d f f f dω ω= ∇ = ∇∫ ∫ ∫

出発点 終着点

確かに、線積分

７１４－21

整理：微分形式の積分（３）

簡略化：但し、暗号文みたいですが…

M Mdω ω

∂=∫ ∫

ガウスの発散定理：微分２形式

( ) ( )2 2f fM VM V S V V S

dω ω=∂ =∂ = ∂ =

→ =∫ ∫

ストークスの定理：微分１形式

( ) ( )1 1f fM SM S C S S C

dω ω=∂ =∂ = ∂ =

→ =∫ ∫

定積分：微分０形式

[ ] ( ) ( )2 21 2

1 2 1 1

,0 0,

r rr rr r r r

MM d f fω ω=∂ =→ =∫ ∫

Ｍ：区間、δM：２点 出発点と終着点を示す２本の位置ベクトル

微分２形式 積分範囲：体積（左辺）から表面積（右辺）へ

微分１形式 積分範囲：面（左辺）から線（右辺）へ

微分０形式 積分範囲：線（左辺）から点（右辺）へ