hendrafiles.files.wordpress.com · 1 BAB 1BBAABB 11BAB 1 ALJABAR MATRIX Dalam pokok bahasan ini akan disajikan dasar-dasar operasi aljabar matrix yang berhubungan dengan analisis

1

BAB 1BAB 1BAB 1BAB 1

ALJABAR MATRIX

Dalam pokok bahasan ini akan disajikan dasar-dasar operasi

aljabar matrix yang berhubungan dengan analisis struktur dengan

menggunakan metode matrix kekakuan (stiffness method).

1.1. Pengertian Matrix

Matrix merupakan suatu kumpulan bilangan sejumlah m x n yang

disusun menjadi m baris dan n kolom. Persamaan (1.1) menunjukkan

contoh sebuah matrix dengan m baris dan n kolom.

[ ]

=

mnamama

naaa

naaa

a

...21

:::

2...2221

1...1211

(1.1)

Jika nm ≠ maka matrix yang ditunjukkan pada Persamaan (1.1)

disebut sebagai matrix persegi (rectangular). Jika m = 1 dan n > 1, maka

elemen pada Persamaan (1.1) tersusun dalam satu baris angka yang

disebut matrix baris. Jika m > 1 dan n = 1 maka akan tersusun bilangan

dalam satu kolom yang disebut sebagai matrix kolom. Jika nm = , maka

susunan bilangan yang terbentuk disebut sebagai matrix bujur sangkar

(square). Penulisan matrix baris, persegi dan bujur sangkar dinotasikan

menggunakan tanda kurung akolade [ ], sedangkan matrix kolom

dinotasikan dalam tanda kurung kurawal { }. Untuk memudahkan

penulisan matrix (baris, kolom, persegi maupun bujur sangkar) sering

dinotasikan dalam bentuk sebuah variabel dengan garis di bawahnya atau

sebuah variabel yang dikelilingi tanda kurung akolade ataupun kurung

kurawal. Penggunaan matrix selanjutnya disesuaikan dengan kebutuhan

para pemakainya misalnya; matrix gaya (forces) dan perpindahan

2

(displacements) dalam analisis struktur disusun dalam bentuk matrix

kolom, sedangkan matrix kekakuan (stiffness matrix) disusun dalam

bentuk matrix bujur sangkar.

Identifikasi elemen dalam sebuah matrix −a , direpresentasikan

dengan notasi ija , di mana subscript i dan j menunjukkan jumlah baris dan

kolom pada matrix −a . Berikut disajikan beberapa alternatif notasi matrix

−a = [a] = [ ]ija (1.2)

Contoh numeris dari berbagai jenis matrix disajikan pada

Persamaan (1.3) sampai (1.6). Contoh matrix −a yang tergolong matrix

persegi

−a =

45

43

12

(1.3)

di mana matrix −a tersusun dalam 3 baris dan 2 kolom. Jika matrix

−a

dalam Persamaan (1.1) hanya terdiri dari satu baris (m = 1), maka akan

dihasilkan matrix baris seperti berikut :

−a = [2 3 4 -1] (1.4)

Jika n = 1 maka Persamaan (1.1) akan menghasilkan matrix kolom,

misalnya :

−a =

3

2 (1.5)

Jika m = n maka Persamaan (1.1) akan menghasilkan matrix bujur sangkar

sebagai berikut :

−a =

−

−

23

12 (1.6)

3

Matrix dan notasinya sering digunakan untuk mengekspresikan

Persamaan Aljabar dalam bentuk ringkas yang sering ditemui dalam

analisis struktur dengan metode matrix kekakuan karena dalam

penggunaannya akan sangat membantu dalam menyelesaikan suatu

permasalahan numeris.

1.2. Operasi Matrix

Sub pokok bahasan ini menyajikan berbagai operasi matrix yang

sering digunakan dalam analisis struktur.

Perkalian Matrix dan Bilangan Skalar

Jika kita mempunyai sebuah bilangan skalar k dan suatu matrx −c , maka

matrix −−

= cka . dapat dihasilkan dari Persamaan

ijij

cka−−

= . (1.7)

di mana setiap elemen dalam matrix −c dikalikan dengan bilangan skalar

k, sebagaimana dalam contoh berikut :

=

− 13

21c k = 4

menghasilkan matrix −−

= cka .

=

=

− 412

84

13

21.4a

Perlu dicatat bahwa matrix −c yang berordo m x n akan menghasilkan

matrix −a yang berordo m x n.

Penjumlahan Matrix

Matrix yang memiliki ukuran ordo yang sama dapat saling dijumlahkan

untuk masing-masing elemen yang memiliki “alamat” sama, aturan ini

juga berlaku untuk operasi pengurangan matrix. Matrix-matrix dengan

4

ordo yang sama dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan,

di mana untuk operasi penjumlahan akan mengikuti ketentuan hukum

komutatif dan asosiatif.

−−−−−

+=+= abbac (komutatif) (1.8)

−−−−−−−

+

+=++= cbacbad (asosiatif)

atau dalam bentuk notasi ber-index dapat dinyatakan :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ijijijijij abbac +=+= (komutatif) (1.9)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]ijijijijijijij cbacbad ++=++= (asosiatif)

sebagai contoh numerik dapat dilihat operasi matrix berikut :

−

−=

− 23

21a

=

− 13

21b

maka hasil penjumlahan −−−

=+ cba diperoleh :

=

+

−

−=

− 30

40

13

21

23

21c

Perlu dicatat bahwa matrix −a ,

−b dan

−c harus memiliki ukuran ordo yang

sama, misalnya matrix berordo 2 x 2 tidak dapat dijumlahkan atau

dikurangkan dengan matrix yang berordo 3 x 3.

Perkalian Matrix

Operasi perkalian antara dua matrix −a dan

−b sebagaimana ditunjukkan

pada Persamaan (1.10), hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom pada

matrix −a sama dengan jumlah baris pada matrix

−b , sebagai contoh :

−−−

= bac (1.10)

5

Jika −a adalah sebuah matrix berordo m x n, maka matrix

−b harus

memiliki n buah baris. Dengan notasi subscript dapat dituliskan hasil

perkalian matrix −a dan

−b sebagai :

[ ] ej

n

e

ieij bac ∑=

=

1

(1.11)

Di mana n merupakan jumlah keseluruhan kolom pada matrix −a atau

baris pada matrix −b . Untuk matrix

−a dan

−b yang berordo 2 x 2, dalam

operasi perkaliannya akan dihasilkan :

[ ]

++

++=

2222122121221121

2212121121121111

....

....

babababa

babababacij (1.12)

Perhatikan contoh berikut :

=

− 23

12a

−=

− 02

11b

hasil perkalian −−ba . diperoleh :

−

−=

+−+

+−+=

−− 37

24

)0(2)1(3()2(2)1(3

)0(1)1(2)2(1)1(2ba

Pada umumnya operasi perkalian matrix tidak mengikuti hukum

komutatif, di mana

−−−−

≠ abba (1.13)

Validitas/kebenaran hasil perkalian antara dua buah matrix −a dan

−b

dapat diilustrasikan sebagai berikut :

−−−

= cba

)())(( ixjexjixe = (1.14)

6

di mana matrix −c yang dihasilkan akan berordo i x j; dengan jumlah baris

sama dengan baris pada matrix −a dan jumlah kolom sama dengan kolom

pada matrix −b .

Dalam operasi perkalian matrix terdapat beberapa sifat penting,

antara lain :

(a). −−−−−−−

+=

+ cabacba (distributif) (1.15)

(b). −−−−−−−

+=

+ cbcacba (distributif)

(c). −−−−−−

=

cbacba (asosiatif)

Matrix Transpose

Pada semua jenis matrix, baik yang berupa baris, kolom, persegi maupun

bujur sangkar dapat dilakukan operasi transpose. Operasi ini sering

digunakan dalam menyelesaikan permasalahan analisis struktur dengan

metode matrix kekakuan. Transpose dari suatu matrix −a dilambangkan

sebagai −

Ta . Transpose dari suatu matrix diperoleh dengan cara

menukarkan elemen baris dan kolom, sehingga elemen-elemen pada baris

pertama akan menempati kolom pertama; baris kedua menjadi kolom

kedua dan seterusnya. Operasi transpose dari matrix −a ,

[ ] [ ]Tjiij aa = (1.16)

contoh :

[ ]

=

54

23

12

a

maka

7

[ ]

=

521

432Ta

di mana kita telah menukarkan elemen elemen baris dengan kolom untuk

mendapatkan matrix transpose.

Perlu diketahui bahwa terdapat hubungan yang penting dalam operasi

transpose matrix :

TTT

abba−−−−

=

.. (1.17)

Persamaan (1.16) menunjukkan transpose dari sebuah matrix yang

merupakan hasil perkalian antara matrix −a dan

−b sama dengan hasil

perkalian antara transpose matrix −b dikalikan dengan transpose matrix

−a .

Ketentuan ini berlaku secara umum berapapun jumlah matrix yang

dioperasikan, sehingga :

TTTTT

abckkcba−−−−−−−−

=

.......... (1.18)

Transpose dari sebuah matrix kolom akan menghasilkan matrix baris.

Contoh kasus dari Persamaan (1.17) dapat dilihat di bawah ini :

=

− 43

21a

=− 6

5b

maka

=

=

−− 39

17

6

5.

43

21.ba

selanjutnya

[ ]3917. =

−−

T

ba (1.19)

Cara lain dilakukan dengan operasi transpose matrix dan hasilnya akan

dikalikan :

[ ] [ ]391742

31.65. =

=

−−

TTab (1.20)

8

Hasil dari Persamaan (1.18) dan (1.19) menunjukkan kebenaran dari

Persamaan (1.17).

Matrix Simetris

Jika sebuah matrix sama dengan transpose-nya, maka matrix tersebut

dapat dikategorikan sebagai matrix simetris; atau jika :

Taa−−

= (1.21)

misalnya matrix berikut ini :

=−

302

041

213

a

Matrix di atas tergolong matrix yang simetris karena setiap elemen ij

a−

sama dengan elemen ji

a−

untuk ji ≠ . Pada contoh di atas terlihat

diagonal utama dari arah sudut kiri atas ke arah sudut kanan bawah

merupakan garis simetri pada matrix tersebut. Perlu dicatat bahwa hanya

matrix bujur sangkar yang dapat digolongkan dalam matrix simetris.

Matrix Satuan

Matrix satuan yang juga disebut matrix identitas lazim dilambangkan

sebagai matrix −I , di mana :

−−−−−

== aaIIa .. (1.22)

Matrix satuan selalu berupa matrix bujur sangkar di mana semua

elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utama selalu bernilai satu.

Apabila matrix satuan dikalikan dengan suatu matrix tertentu akan

menghasilkan matrix itu sendiri.

Contoh matrix satuan yang berordo 3 x 3 :

9

=−

100

010

001

I

Determinan

Determinan matrix bujur sangkar dapat dihitung dengan

persamaan di bawah ini :

[ ]

=

2221

121122

aa

aaA x ; maka Determinan [ ] 21122211 .. aaaaAA −==

[ ]

=

333231

232221

131211

33

aaa

aaa

aaa

A x ; maka

( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211 ......... bbbabbbabbbaA −+−−−=

Untuk matrix yang berordo lebih besar dapat digunakan persamaan

berikut :

ininiiiiik

n

k

ik cacacacaA +++== ∑=

L2211

1

(1.23)

di mana ikki

ik Mc+

−= )1( merupakan cofactor ika

dengan ikM merupakan minor ika

Perlu diketahui minor merupakan determinan dari bagian matrix [ ]A di

luar baris ke-i dan kolom ke-k.

Matrix Inverse

Matrix inverse adalah suatu matrix yang jika dikalikan dengan

matrix “asal”-nya akan menghasilkan matrix identitas. Dalam bentuk

persamaan matematis dapat dituliskan sebagai berikut :

−

−

−−−

−

−== Iaaaa

11.. (1.24)

10

Sebuah matrix akan mempunyai matrix inverse jika matrix tersebut

berbentuk bujur sangkar. Matrix inverse dapat diperoleh dengan beberapa

cara di antaranya; metode cofactor atau adjoint dan metode Gauss-Jordan.

Metode adjoint atau cofactor dapat digunakan untuk menghitung

inverse dari sebuah matrix bujur sangkar, berdasarkan persamaan berikut

ini :

−

−

−=

a

C

a

T

(1.25)

di mana −C merupakan matrix cofactor

TC−

merupakan transpose dari matrix cofactor yang

disebut sebagai matrix adjoint.

Berikut ini diberikan contoh penghitungan matrix inverse dari matrix −a ,

jika diketahui :

−

−−

=−

140

242

231

a

cofactor dari matrix −a dapat dihitung dengan :

1214

24)1(

1111 −=

−−=

+c

210

22)1(

2112 −=−=

+c

840

42)1(

3113 =

−−=

+c

1114

23)1(

1221 −=

−−=

+c

110

21)1(

2222 −=

−−−=

+c

11

440

31)1(

3223 =

−−=

+c

Analog cara di atas diperoleh, 231 −=c ; 232 −=c ; 233 −=c

maka didapatkan cofactor matrix −a :

−−−

−−

−−

=−

222

4111

8212

c

sehingga dapat ditentukan adjoint matrix

−

−−−

−−−

=−

248

212

21112T

c

selanjutnya determinan matrix −a dapat dihitung sebagai berikut :

131312121111 cacacaA ++=

10)8)(2()2)(3()12)(1( −=−+−+−−=A

maka matrix inverse 1−

−a diperoleh :

−

−−−

−−−

−==

−

−248

212

21112

10

11

A

ca

T

selanjutnya dapat diperiksa bahwa :

=−

−−100

010

0011

aa

Cara lain yang juga sering digunakan untuk menghitung inverse

dari suatu matrix adalah Metode Gauss-Jordan. Langkah-langkah yang

harus dilakukan untuk mencari inverse dari matrix −a dengan ordo n x n

dengan metode Gauss-Jordan adalah sebagai berikut :

12

(a). Tentukan matrix satuan −I dengan ordo n x n.

(b). Dengan cara operasi baris, ubahlah matrix −a menjadi matrix satuan

−I dengan tahapan sebagai berikut :

(i). Bagilah baris ke-i dengan 11a , sehingga nilai 11a bernilai sama

dengan satu.

(ii). Jumlahkan baris ke-2 dengan baris ke-1 yang telah diperkalikan

dengan (- 21a ), sehingga nilai 21a sekarang berubah menjadi

nol.

(iii). Ulangi langkah (ii) untuk baris ke-3,4,5,...,n, sehingga semua

elemen pada kolom ke-1 bernilai dama dengan nol, kecuali

elemen 11a yang bernilai sama dengan satu.

(iv). Ulangi langkah (i), (ii), (iii) untuk baris kedua, dimulai dengan

membuat nilai 122 =a , dan elemen lainnya pada kolom ke-2

bernilai sama dengan nol ( 012 =a , 032 =a , 042 =a , ..., 02 =na ).

(v). Ulangi langkah (iv) untuk baris ke-3, 4, 5, ..., n.

(vi). Proses selesai.

(c). Proses (b) sekaligus juga dilakukan terhadap marix −I sekaligus,

sehingga setelah proses selesai matrix −I telah berubah menjadi

matrix 1−

−a yang merupakan inverse dari matrix

−a .

(d). Proses keseluruhan dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

[ ] [ ]−

−

−−− →

1:: aI

barisoperasiIa (1.26)

Contoh :

=−

431

341

331

a

13

Untuk mencari inverse dari matrix −a dengan metode Gauss-Jordan,

dilakukan operasi baris dengan notasi Hp

ik

)( yang menunjukkan

penjumlahan pada baris ke-i dengan baris ke-k yang telah

diperkalikan dengan p, misalnya : H)2(

21 menunjukkan baris ke-2

dijumlahkan dengan 2 kali baris ke-1.

431

341

331

:

:

:

100

010

001

→

−

H)1(

21

431

010

331

:

:

:

−

100

011

001

431

010

331

:

:

:

−

100

011

001

→

−

H)1(

31

100

010

331

:

:

:

−

−

101

011

001

100

010

331

:

:

:

−

−

101

011

001

→

−

H)3(

12

100

010

301

:

:

:

−

−

−

101

011

034

100

010

301

:

:

:

−

−

−

101

011

034

→

−

H)3(

13

100

010

001

:

:

:

−

−

−−

101

011

337

Maka diperoleh

−

−

−−

=−

−101

011

3371

a

Suatu matrix yang memiliki matrix inverse disebut sebagai matrix non-

singular sedangkan matrix yang tidak memiliki inverse disebut matrix

singular, yang ditandai dengan nilai determinan sama dengan nol.

1.3. Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Inversi Matrix

Dalam analisis struktur dengan metode matrix akan banyak

dijumpai bentuk-bentuk susunan persamaan linear, yang secara

matematis dapat ditulis sebagai berikut :

14

[ ]{ } { }BXA =. (1.27)

di mana :

[ ]A = Matrix bujur sangkar yang menunjukkan koefisien

persamaan linear yang dimaksud.

[ ]X = Matrix kolom dari bilangan “unknown”.

[ ]B = Matrix kolom dari “konstanta”.

Jika Persamaan (1.27) dikalikan dengan matrix [ ] 1−A , maka :

[ ] [ ]{ } [ ] { }BAXAA11 −−

=

[ ]{ } [ ] { }BAXI1−

=

{ } [ ] { }BAX1−

= (1.28)

Contoh : diketahui suatu susunan persamaan linear sebagai berikut;

x + 3y + 3z = -2

x + 4y + 3z = 0

x + 3y + 4z = 1

Persamaan di atas dapat disusun dalam bentuk matrix

[ ]{ } { }BXA =

−

=

1

0

2

431

341

331

z

y

x

maka

{ } [ ] { }BAX1−

=

−

−

−

−−

=

1

0

2

101

011

337

z

y

x

sehingga diperoleh

−

=

3

2

17

z

y

x

15


KONSEP DASAR METODE MATRIX KEKAKUAN

2.1. Metode Matrix

Seperti telah diketahui, analisis struktur mencakup penentuan

tanggap (respons) sistem struktur terhadap gaya maupun pengaruh luar

yang bekerja pada sistem struktur tersebut. Akibat bekerjanya beban

maupun pengaruh luar lainnya, respons pertama yang terjadi adalah

adanya perubahan dari kedudukan (konfigurasi) awalnya, struktur

berpindah ke kedudukan akhir di mana terjadi keseimbangan dalam

pengaruh gaya luar. Dalam hal ini dihadapi medan perpindahan

(displacement field) yang merupakan salah satu tanggap struktur terhadap

beban atau pengaruh luar.

Perpindahan yang dialami struktur secara umum mencakup dua

bagian. Yang pertama adalah perpindahan badan kaku (rigid body

displacement) yang tidak menimbulkan reaksi dalam elemen, karena

perpindahan ini tidak menimbulkan deformasi. Yang kedua adalah

perpindahan yang menimbulkan deformasi. Perpindahan deformatif ini

akan menimbulkan gaya reaksi dalam elemen struktur maupun

perletakannya.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa tanggap struktur

terhadap adanya gaya maupun pengaruh luar yang bekerja padanya

dapat dibedakan menjadi dua yaitu : (a) perpindahan dan (b) gaya dalam

elemen struktur dan perletakan. Dua aspek inilah yang dipelajari dan

dikaji dalam analisis struktur, dimana perpindahan dan gaya dalam

dihitung dengan memperhatikan kriteria keseimbangan (equilibrium

criteria), keselarasan (compatibility criteria) dan hubungan gaya-

perpindahan (force-displacement relationship criteria).

16

Analisis struktur dalam kebanyakan kasus yang dijumpai secara

nyata di lapangan, pada umumnya terdiri dari banyak bagian yang

tersusun secara komplex, sehingga analisis struktur statis tak tentu yang

hanya didasarkan pada prinsip-pirinsip keseimbangan tidak mungkin lagi

untuk diterapkan. Metode matrix merupakan konsep baru dalam analisis

struktur yang memungkinkan langkah idealisasi struktur untuk

menyusun persamaan-persamaan linear yang diperlukan dalam

penentuan tanggap struktur, baik yang berupa medan perpindahan

(translasi dan rotasi) maupun medan gaya (gaya aksial, gaya lintang,

momen lentur dan torsi) pada titik-titik diskrit dalam suatu struktur.

Keunggulan lain dari metode matrix adalah susunan persamaan linear

dalam penentuan perpindahan dan gaya dalam yang terjadi dapat

dijabarkan dalam bahasa program komputasi, sehingga akan

mempercepat waktu dan meningkatkan ketelitian hasil perhitungan yang

diperoleh. Dalam analisis metode matrix secara garis besar dapat

dibedakan menjadi dua yaitu; metode fleksibilitas dan metode

kekakuan. Selanjutnya pembahasan dalam diktat ini menitikberatkan

analisis struktur dengan metode kekakuan.

2.2. Metode Kekakuan

Dengan metode kekakuan (stiffness method) ini sebenarnya dicari

hubungan gaya dengan perpindahan, yang secara matematis dapat

dinyatakan :

{F} = [K].{D} (2.1)

di mana {F} menyatakan gaya-gaya yang timbul pada titik-titik diskrit

akibat terjadinya perpindahan {D} pada titik-titik tersebut. Tentu saja gaya

{F} merupakan gaya yang berhubungan (corresponding) dengan

perpindahan {D}. Sedangkan [K] menyatakan kekakuan dari struktur.

17

Metode kekakuan ini juga disebut metode perpindahan

(displacement method), karena analisis dimulai dengan menghitung

perpindahan yang terjadi pada titik-titik diskrit. Secara garis besar metode

kekakuan didasarkan pada tiga langkah utama yang merupakan prinsip

dasar analisis struktur yaitu :

(a). Keselarasan Deformasi (compatibility); yaitu kriteria yang mengatur

hubungan dari komponen perpindahan satu dengan yang lainnya,

sedemikian hingga kontinuitas perpindahan terjamin di seluruh

ataupun sebagian struktur. Dengan itu diperoleh suatu medan

perpindahan yang secara kinematis memungkinkan (kinematically

admissible). Tinjauan keselarasan deformasi ini didasarkan atas

konsep geometri. Sebagai contoh, pada tumpuan jepit tidak akan

terjadi rotasi dan translasi pada ujung batang. Contoh lain, dapat

disebutkan bahwa rotasi dan translasi harus sama pada semua ujung

batang yang bertemu pada satu titik simpul, di mana batang-batang

dihubungkan secara kaku.

(b). Persamaan Hubungan Tegangan dan Regangan (Stress-Strain

Relationship); yaitu mencari mencari besarnya gaya-gaya dalam yang

timbul sebagai akibat terjadinya perpindahan/deformasi pada

elemen-elemen struktur tersebut.

(c). Keseimbangan (equilibrium) sebagai langkah terakhir yang

menyatakan hubungan antara gaya-gaya luar yang bekerja di titik

diskrit dengan gaya-gaya dalam, atau mencari berapa besar gaya

luar di ujung elemen yang tepat diimbangi oleh gaya-gaya dalam

elemen di titik-titik diskrit.

Dengan menggabungkan ketiga prinsip dasar ini akan diperoleh

hubungan antara gaya dan perpindahan, sebagaimana dinyatakan dalam

Persamaan (2.1).

18

Perlu dicatat, karena dalam metode kekakuan ini analisis struktur

dimulai dengan penghitungan besaran perpindahan, dilanjutkan dengan

mencari hubungan antara perpindahan dengan gaya dalam yang terjadi

pada titik diskrit, maka akan sangat menguntungkan metode ini

digunakan untuk menganalisis suatu struktur di mana nilai derajat

ketidak-tentuan kinematisnya (berhubungan erat dengan derajat

kebebasan atau degree of freedom) adalah lebih kecil dari derajat ketidak-

tentuan statisnya. Dengan demikian struktur-struktur statis tak tentu yang

sering dijumpai pada kasus nyata di lapangan, akan lebih

menguntungkan bila dianalisis dengan metode kekakuan ini, karena

umumnya struktur-struktur ini memiliki derajat ketidak-tentuan statis

yang besar.

2.3. Derajat Ketidak-tentuan Kinematis

Sebagaimana telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, dalam

analisis struktur dengan mtode matrix kekakuan langkah pertama

dilakukan dengan menghitung perpindahan di titik-titik diskrit sebagai

sasaran/tujuan yang harus dihitung. Untuk mengetahui di mana harus

dihitung besaran perpindahan yang terjadi, maka terlebih dahulu harus

diketahui berapa derajat ketidak-tentuan kinematis atau kinematic

indeterminacy degree (KID) atau derajat kebebasan pergerakan (degree of

freefom) dari sistem struktur yang tidak terkekang.

Derajat ketidak-tentuan kinematis merupakan suatu besaran yang

menyatakan jumlah komponen bebas dari perpindahan di titik diskrit

yang mungkin terjadi sebagai akibat bekerjanya beban pada sistem

struktur.

Pada struktur bidang/dua dimensi (2D) dengan perilaku titik

simpul yang kaku sempurna (jepit), umumnya akan terjadi perpindahan

berupa translasi (linear) dan rotasi (anguler) di titik-titik diskrit.

19

Tabel 2.1. Derajat Kebebasan Berbagai Jenis Struktur

Jenis Struktur Komponen Perpindahan Degree of Freedom

Setiap nodal

Plane Truss

(2D)

2

Space Truss

(3D)

3

Balok

(aksial diabaikan)

2

Plane Frame

(2D)

3

Space Frame

(3D)

6

20

Perpindahan yang berupa translasi selalu dapat dinyatakan dalam

dua komponen yang saling tegak lurus, sedangkan komponen rotasi

dinyatakan oleh satu komponen anguler. Dengan demikian pada satu titik

simpul (nodal) secara lengkap akan terjadi tiga komponen perpindahan.

Untuk struktur ruang/tiga dimensi (3D) dengan titik simpul kaku

sempurna (jepit), pada umumnya secara lengkap akan ada enam buah

komponen perpindahan di setiap nodal, yang berupa tiga komponen

translasi dan tiga komponen rotasi.

Pada bangunan rangka batang dengan perilaku sambungan sendi,

maka dengan sendirinya komponen perpindahan rotasi tidak akan

muncul. Selengkapnya derajat kebebasan pergerakan awal (initial degree of

freedom) untuk satu buah titik simpul pada berbagai jenis struktur dapat

dilihat pada Tabel 2.1. Suatu struktur dengan derajat ketidak-tentuan

kinematis sama dengan nol disebut sebagai struktur kinematis tertentu.

Tabel 2.2. Contoh Perhitungan Derajat Ketidak-tentuan Kinematis

Struktur Komponen Perpindahan Bebas

KID

0

9

7

21

Analisis struktur dengan metode kekakuan dimulai dengan

mengubah sistem struktur yang ada menjadi struktur yang tergolong

kinematis tertentu, sehingga semua perpindahan yang tidak diketahui

sama dengan nol. Agar perpindahan yang tidak diketahui (translasi dan

rotasi pada titik simpul) sama dengan nol, maka titik simpul pada

struktur harus dikekang (restrained) terhadap segala macam perpindahan

yang mungkin terjadi. Struktur yang diperoleh dengan mengekang semua

titik simpul struktur awal disebut struktur terkekang (restrained structure).

Deformasi/perpindahan yang terjadi pada suatu titik simpul akibat

bekerjanya beban besarnya sama dengan deformasi yang tidak diketahui

pada struktur awal. Untuk mempermudah tinjauan terhadap struktur

terkekang maka dilakukan analisis untuk setiap satu satuan

perpindahan/deformasi. Besaran beban atau gaya luar yang dapat

menimbulkan terjadinya satu satuan deformasi yang tak diketahui disebut

sebagai koefisien kekakuan untuk struktur terkekang, besaran inilah

yang akan digunakan sebagai dasar penyusunan matrix kekakuan

struktur.

2.4. Prosedur Analisis Struktur

Tahapan-tahapan perhitungan dalam analisis struktur dengan

metode matrix kekakuan dapat diuraikan secara detail, sebagai berikut :

(a). Tentukan model diskritisasi struktur yang akan digunakan untuk

mempresentasikan struktur dalam analisis. Tetapkan jumlah

elemen, titik simpul serta derajat kebebasan aktif (atau yang perlu

diaktifkan untuk kekangan) struktur.

(b). Tetapkan jenis elemen yang perlu digunakan serta yang mampu

memodelkan medan perpindahan struktur.

22

(c). Untuk masing-masing elemen, susun matrix kekakuan dalam tata

sumbu lokal [ki], vektor beban ekivalen pada titik diskrit [fi], matrix

transformasi [Ti] serta vektor tujuan {Ds}.

(d). Rotasikan matrix kekakuan dan vektor beban ekivalen ke tata

sumbu global.

[Ki] = [Ti]T[ki][Ti]

{Fie} = [Ti]T{fi} (2.2)

(e). Rakitkan matrix kekakuan dan vektor beban ekivalen serta beban

titik simpul ke dalam persamaan keseimbangan global, dengan

rumus :

[Ks] = Σ[Ti]T[ki][Ti]

{Fs} = {Fsj} + Σ[Ti]T{fi} (2.3)

(f). Berdasarkan hasil tahapan (e), sistem persamaan keseimbangan

dalam tata sumbu global dapat dinyatakan dalam :

[Ks]{Ds} = {Fs} (2.4)

(g). Jika terdapat kekangan, modifikasikan Persamaan Keseimbangan

(2.4) sesuai dengan kondisi batas yang ada, sehingga diperoleh :

[Ks1]{Ds} = {Fs1} (2.5)

di mana [Ks1] dan {Ds} merupakan matrix kekakuan dan vektor

beban dalam tata sumbu global yang termodifikasi akibat adanya

syarat pengekangan.

(h). Selesaikan Persamaan (2.5) untuk mendapatkan {Ds}, yang

merupakan vektor perpindahan global yang memenuhi syarat

keseimbangan struktur dan syarat kekangan (jika ada).

(i). Dengan telah diketahuinya medan perpindahan {Ds}, maka

perpindahan setiap elemen dalam tata sumbu lokal dapat dihitung

dengan :

{di} = [Ti]{Di} (2.6)

23

serta gaya dalam masing-masing elemen

{fi} = [ki]{di} - {fi0} (2.7)

di mana {fi0} merupakan vektor beban ekivalen di titik nodal.

dari urutan perhitungan di atas, analisis dapat dibagi menjadi 4

(empat) tahap utama, yaitu :

(a). Tahap data masukan dan pemodelan struktur.

(b). Tahap perakitan matrix kekakuan dan vektor gaya luar struktur

dalam tingkat elemen.

(c). Tahap solusi untuk memperoleh vektor perpindahan.

(d). Tahap penghitungan gaya dalam elemen dan pencatatan data

keluaran (output).

24


ANALISIS STRUKTUR RANGKA BATANG BIDANG

3.1. Kekakuan Rangka batang Bidang (Plane Truss)

Struktur plane truss merupakan suatu sistem struktur yang

merupakan gabungan dari sejumlah elemen (batang) di mana pada setiap

titik simpulnya dianggap berperilaku sebagai sendi dan setiap elemennya

hanya dapat menerima gaya berupa gaya aksial (tarik ataupun tekan).

Gambar 3.1. Struktur Plane Truss

Sumbu X-Y adalah sistem koordinat global struktur, yang nantinya

diacu semua elemen. Sedangkan sumbu Z tegak lurus terhadap bidang

gambar (mengarah pembaca) mengikuti kaidah tangan kanan, sehingga

terbentuk sistem koordinat yang mengikuti right-handed rule. Sumbu x-y

merupakan sistem koordinat lokal elemen, yang hanya berlaku untuk satu

elemen tertentu saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen

yang bersangkutan.

Setiap elemen plane truss selalu memiliki dua nodal (titik simpul)

ujung. Ujung awal elemen diberi notasi nodal i sedangkan ujung lainnya

diberi notasi j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i , dan arah sumbu

a

Y

j

i

y

X

x

25

x lokal positif selalu dibuat dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut.

Sumbu y lokal dibuat tegak lurus sumbu x, sedangkan sumbu lokal arah z

dibuat searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bidang

struktur (bidang X-Y).

Orientasi elemen secara global dapat dikenali berdasarkan sudut α,

yang dibuat oleh sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan sumbu

X global dari struktur. Sudut α diberi tanda positif berdasarkan kaidah

tangan kanan (right-handed rule), yaitu diukur dari sumbu X global

berputar menuju sumbu x lokal dengan poros sumbu Z positif, sehingga

pada gambar 3.1 sudut α akan bernilai positif jika perputaran berlawanan

dengan arah putaran jarum jam.

Hubungan antara aksi dan deformasi pada elemen plane truss

secara umum dapat diformulasikan dengan orientasi sumbu lokalnya

sebagai berikut :

Konvensi Arah Tanda Positif

Translasi Arah Aksial (satu satuan)

L

AEff ji =−=

L

AEff ji −=−=

Gambar 3.2. Hubungan Aksi-Deformasi pada Elemen Plane Truss

x

y

vi, gi vj, gj ui, fi

uj, fj

θi, mi θj, mj

26

Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen dalam

sistem koordinat lokal yang diperoleh berdasarkan prinsip superposisi

dapat diuraikan sebagai berikut :

jjiii vuL

AEvu

L

AEf .0.0 +−+=

jjiii vuvug .0.0.0.0 +++=

jjiij vuL

AEvu

L

AEf .0.0 +++−=

jjiij vuvug .0.0.0.0 +++= (3.1)

di mana :

x : sumbu batang

x, y : sistem koordinat lokal (elemen)

ui : displacement aksial pada titik nodal i

vi : displacement arah tegak lurus sumbu batang pada nodal i

fi : gaya aksial pada titik nodal i yang sesuai dengan ui

gi : gaya tegak lurus sumbu batang pada titik nodal i yang

sesuai dengan vi

Persamaan hubungan aksi-deformasi yang ditunjukkan Persamaan (3.1)

dapat dinyatakan dalam bentuk matrix :

−

−

=

j

j

i

i

j

j

i

i

v

u

v

u

L

AE

g

f

g

f

.

0000

0101

0000

0101

(3.2)

dengan :

A : Luas tampang batang

E : Modulus elastisitas batang

L : Panjang batang

Persamaan keseimbangan elemen dalam sistem koordinat lokal adalah

{ } [ ]{ }iii dkf = (3.3)

27

di mana :

{ }if : vektor gaya dalam sistem koordinat lokal

[ ]ik : matrix kekakuan elemen plane truss dalam sistem koordinat

lokal

{ }id : vektor displacement dalam sistem koordinat lokal.

Subscript i menunjukkan nomor elemen yang bersangkutan.

Selanjutnya matrix kekakuan elemen plane truss dalam sistem koordinat

lokal dapat dituliskan sebagai berikut :

[ ]

−

−

=

0000

0101

0000

0101

L

AEki (3.4)

3.2. Transformasi Sumbu

Dalam analisis struktur yang dilakukan pada kebanyakan kasus,

perlu dilakukan penyesuaian antara matrix kekakuan elemen struktur

lokal (yang mengacu sumbu lokal secara individual) ke dalam matrix

kekakuan elemen struktur global (mengacu pada sistem struktur global

yang dianut semua elemen struktur.

Penyesuaian tersebut dapat dilakukan dengan memandang titik

nodal awal i dan nodal akhir j dalam bidang X-Y (global) dari elemen

mengalami perpindahan ke nodal i’ dan j’ dalam bidang x-y (lokal),

sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 3.3.

28

Gambar 3.3. Transformasi Sumbu Kartesian

Berdasarkan Gambar 3.3 ditunjukkan perputaran sumbu Kartesian

dari sumbu global X-Y menuju sumbu lokal x-y dengan kemiringan sudut

α, sehingga dapat diperoleh Persamaan Transformasi Sumbu yang

menunjukkan perubahan posisi suatu titik nodal dalam bentuk berikut :

αα sin.cos.X Yx += (3.5.a.)

αα cos.sin. YXy +−= (3.5.b.)

Persamaan di atas jika diubah dalam bentuk matrix, dapat

dinyatakan sebagai berikut :

−=

Y

X

y

x

αα

αα

cossin

sincos (3.6.)

Analog dengan cara di atas, transformasi koordinat untuk suatu

elemen struktur yang dibatasi oleh dua buah titk nodal (i dan j) dapat

ditunjukkan dengan persamaan berikut :

αα SinYCosXx iii .. +=

αα CosYSinXy iii .. +−=

αα SinYCosXxj jj .. +=

αα CosYSinXy jjj .. +−= (3.7.)

y

O

y

a Y

x

X

X

x

Y

29

Atau dalam bentuk matrix dapat ditulis sebagai berikut :

−

−=

j

j

i

i

j

j

i

i

Y

X

Y

X

y

x

y

x

αα

αα

αα

αα

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

(3.8)

analog di atas untuk vektor displacement diperoleh

−

−=

j

j

i

i

j

j

i

i

DY

DX

DY

DX

dy

dx

dy

dx

αα

αα

αα

αα

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

(3.9.a)

atau

{ } [ ]{ }iii DTd = (3.9.b)

sedangkan untuk transformasi gaya diperoleh :

−

−=

j

j

i

i

j

j

i

i

G

F

G

F

g

f

g

f

αα

αα

αα

αα

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

(3.10.a)

atau

{ } [ ]{ }iii FTf = (3.10.b)

di mana;

{ }if : vektor gaya pada koordinat lokal

{ }iF : vektor gaya pada koordinat global

{ }id : vektor displacement pada koordinat lokal

{ }iD : vektor displacement pada koordinat global

[ ]iT : matrix transformasi

30

3.3. Matrix Kekakuan Elemen dalam Koordinat Global

Sistem Persamaan Kekakuan Struktur Elemen dalam orientasi sumbu

lokal dapat ditunjukkan pada persamaan di bawah ini :

{ }if = [ ]{ }ii dk (3.11)

dengan mensubstitusikan Persamaan (3.9) dan (3.10) ke dalam Persamaan

(3.11) maka diperoleh :

[ ]{ } [ ][ ]{ }iiiii DTkFT = (3.12)

selanjutnya dengan mempra-kalikan (premultiplied) ruas kiri dan ruas

kanan Persamaan (3.12) dengan matrix [ ] 1−iT , dapat diperoleh :

[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }iiiiiii DTkTFTT11 −−

=

dan mengingat [ ] [ ] 11

=−

ii TT , dan [ ] [ ]Tii TT =−1 , maka

[ ] [ ] [ ][ ]{ }iiiT

ii DTkTF = (3.13)

atau

{ }iF = [ ]{ }ii DK (3.14)

yang merupakan Persamaan Keseimbangan Elemen dalam Sistem

Koordinat Global, dengan :

[ ]iK = [ ] [ ][ ]iiT

i TkT (3.15)

di mana; [ ]iK merupakan matrix kekakuan elemen dalam

sistem koordinat global.

atau

[ ]

−−

−−

−−

−−

=

22

22

22

22

..

..

..

..

scsscs

csccsc

scsscs

csccsc

L

AEKi (3.16)

di mana; s : sin α

c : cos α

31

Langkah berikutnya adalah menyusun matrix kekakuan struktur global

[ ]sK , berdasarkan prinsip kompatibilitas di mana terdapat keselarasan

perpindahan di antara elemen-elemen struktur yang ada. Matrix

kekakuan struktur global [ ]sK dapat disusun dengan metode kekakuan

langsung (direct stiffness method) berdasarkan matrix kekakuan elemen

dalam koordinat global [ ]iK , yang telah diperoleh pada tahapan

sebelumnya. Pembentukan matrix kekakuan struktur global dapat

dinyatakan dalam persamaan berikut :

[ ] [ ]∑=

=n

i

is KK

1

(3.17)

di mana; [ ]sK : matrix kekakuan struktur global

[ ]iK : matrix kekakuan elemen global

Analog dengan cara di atas, setiap vektor gaya pada titik nodal masing-

masing elemen dapat dijumlahkan untuk membentuk vektor gaya total;

[ ] [ ]∑=

=n

i

is FF

1

(3.18)

di mana; [ ]sF : vektor gaya pada sistem struktur global

[ ]iF : vektor gaya elemen pada koordinat global

3.4. Perhitungan Tegangan pada Elemen Struktur Plane Truss

Untuk keperluan penghitungan tegangan pada elemen struktur plane

truss, terlebih dahulu harus disusun sistem persamaan keseimbangan

elemen pada sumbu lokal sebagai berikut :

{ } [ ]{ }iii dkf = ;

atau

−

−=

x

x

x

x

d

d

L

AE

f

f

2

1

2

1

11

11 (3.19)

32

Tegangan aksial tarik yang terjadi pada elemen batang dapat dihitung

dengan :

A

f x2=σ (3.20)

di mana f2x merupakan gaya aksial yang bekerja pada nodal akhir suatu

elemen, yang dapat dihitung dengan cara :

[ ]

−=x

xx

d

d

L

AEf

2

12 11 (3.21)

dengan menggabungkan Persamaan (3.20) dan (3.21) diperoleh :

{ } [ ]

−=x

x

d

d

L

E

2

111σ (3.22)

atau

{ } [ ][ ]{ }DTL

E11−=σ (3.23)

yang dapat disederhanakan dalam bentuk :

{ } [ ]{ }DC '=σ (3.24)

di mana;

[ ] [ ]

−=

SC

SC

L

EC

00

0011' (3.25)

3.5. Contoh Penerapan

Contoh 3.1 : Suatu struktur plane truss tersusun dari tiga elemen batang,

seperti ditunjukkan pada Gambar 3.4, menerima beban

searah gravitasi sebesar 10.000 lb tepat pada nodal 1.

Tentukan besarnya displacement ke arah X dan Y dan

tegangan pada masing-masing elemen, jika diketahui nilai

Elastisitas (E) = 3x106 psi dan luas tampang (A) = 2 in2.

33

Gambar 3.4.

Penyelesaian :

Langkah pertama yang dilakukan adalah membentuk matrix kekakuan

elemen dalam orientasi sumbu global, sehingga perlu diketahui besaran

sudut transformasi (α) dari sumbu global ke sumbu lokal masing-masing

elemen, seperti ditunjukkan pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1. Data Elemen Struktur pada Gambar 3.4.

Elemen α o C S C2 S2 CS

1.

2.

3.

90o

45o

0o

0

2/2

1

1

2/2

0

0

½

1

1

½

0

0

½

0

10 ft

10 ft

2 3

4

1

45o

45o

Y

X

10.000 lb

3

2

1

34

Matrix kekakuan untuk masing-masing elemen dalam orientasi sumbu

global dapat dihitung dengan cara berikut :

Elemen 1 yang berawal dari nodal 1 menuju nodal 2, menghasilkan :

[ ]

−

−=

1010

0000

1010

0000

120

)1030)(2(

2211

6

1

yxyx DDDD

xK (3.26)


[ ]

−−

−−

−−

−−

=

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

2120

)1030)(2(

3311

6

2

yxyx DDDD

xK (3.27)


[ ]

−

−

=

0000

0101

0000

0101

120

)1030)(2(

4411

6

3

yxyx DDDD

xK (3.28)

Selanjutnya ketiga matrix kekakuan elemen dalam sumbu global tersebut

digunakan untuk menyusun matrix kekakuan struktur total, dalam kasus

ini karena struktur yang dihitung terdiri dari empat titik nodal dan

masing-masing nodal mempunyai dua derajat kebebasan pergerakan

(d.o.f), maka matrix kekakuan struktur yang terbentuk nantinya akan

berukuran 8 x 8.

Pembentukan matrix kekakuan struktur total (Ks) dapat dilakukan dengan

cara menambahkan bagian-bagian matrix kekakuan elemen global (Ki) ke

dalam matrix kekakuan struktur total sesuai dengan lokasi baris dan

kolomnya, sehingga diperoleh :

35

[ ]

−

−−

−−

−

−−−

−−−

=

00000000

01000001

00354,0354,000354,0354,0

00354,0354,000354,0354,0

00001010

00000000

00354,0354,010354,1354,0

01354,0354,000354,0354,1

120

)1030)(2(

44332211

6

yxyxyxyx

s

DDDDDDDD

xK

(3.29)

atau

[ ]

−

−−

−−

−

−−−

−−−

=

00000000

01000001

00354,0354,000354,0354,0

00354,0354,000354,0354,0

00001010

00000000

00354,0354,010354,1354,0

01354,0354,000354,0354,1

)000.500(

44332211 yxyxyxyx

s

DDDDDDDD

K

Matrix kekakuan struktur global pada Persamaan (3.29), selanjutnya

dihubungkan dengan vektor gaya dan displacement dalam sumbu global,

sehingga diperoleh sistem persamaan kekakuan struktur total :

−

−−

−−

−

−−−

−−−

=

y

x

y

x

y

x

y

xyxyxyxyx

y

x

y

x

y

x

y

x

D

D

D

D

D

D

D

DDDDDDDDD

F

F

F

F

F

F

F

F

4

4

3

3

2

2

1

144332211

4

4

3

3

2

2

1

1

00000000

01000001

00354,0354,000354,0354,0

00354,0354,000354,0354,0

00001010

00000000

00354,0354,010354,1354,0

01354,0354,000354,0354,1

)000.500(

(3.30)

36

Sistem Persamaan di atas selanjutnya direduksi sesuai dengan kondisi

batas (tumpuan) yang ada dalam sistem struktur. Karena pada nodal

nomor 2, 3 dan 4 merupakan tumpuan sendi, maka hanya dimungkinkan

terjadinya pergerakan pada nodal 1 ke arah X dan Y (D1x dan D1y).

Selanjutnya dapat dibentuk sistem persamaan kekakuan struktur yang

telah direduksi :

=

− y

x

D

D

1

1

354,1354,0

354,0354,1)000.500(

000.10

0 (3.31)

Persamaan (3.31) dapat diselesaikan dengan metode inversi matrix :

−=

−

−

−=

−

−

−−

−−

inchix

inchix

xx

xx

D

D

y

x

2

2

67

76

1

1

1059,1

10414,0

000.10

0

10585,11014,4

1014,410585,1

Tanda minus (-) pada arah D1y menunjukkan bahwa komponen

displacement pada nodal 1 dalam arah Y, hasilnya berkebalikan dengan

arah Y posistif, dengan kata lain perpindahan terjadi menuju ke bawah.

Perhitungan tegangan pada elemen batang dapat dilakukan dengan

menggunakan Persamaan (3.23) dan memanfaatkan Tabel (3.1), sehingga

untuk masing-masing elemen didapatkan :

Elemen 1 :

[ ] psi

D

D

xD

xD

x

y

x

y

x

3965

0

0

1059,1

10414,0

1010120

1030

2

2

21

21

6

1 =

=

=

−=

=

−=−

−

σ

Elemen 2 :

psi

D

D

xD

xD

x

y

x

y

x

1471

0

0

1059,1

10414,0

2

2

2

2

2

2

2

2

2120

1030

3

3

21

21

6

2 =

=

=

−=

=

−−=

−

−

σ

37

Elemen 3 :

[ ] psi

D

D

xD

xD

x

y

x

y

x

1035

0

0

1059,1

10414,0

0101120

1030

4

4

21

21

6

3 −=

=

=

−=

=

−=−

−

σ

Kebenaran hasil perhitungan di atas dapat diperiksa dengan cara berikut :

0)2)(1035(2

2)2)(1471(0 22 =−=∑ inpsiinpsiFx

0000.102

2)2)(1471()2)(3965(0 22 =−+=∑ inpsiinpsiFy

Contoh 3.2 : Suatu struktur plane truss tersusun dari dua elemen batang,

seperti ditunjukkan pada Gambar 3.5, menerima beban

horisontal sebesar 1000 kN tepat pada nodal 1. Selain itu

pada nodal 1 juga terjadi penurunan (vertical settlement)

sebesar δ = 50 mm. Tentukan besarnya displacement nodal 1

ke arah sumbu Y dan gaya aksial pada masing-masing

elemen, jika diketahui nilai Elastisitas (E) = 210 GPa dan luas

tampang (A) = 6 cm2.

Gambar 3.5

X

Y

1 3

2

3 m

4 m

δ = 50 mm

1

2 1000 kN

38

Penyelesaian :

Data Geometri Struktur

Tabel 3.2. Data Elemen Struktur pada Gambar 3.5.

Elemen α o C S C2 S2 CS

1.

2.

90o

53o

0

0,60

1

0,80

0

0,36

1

0,64

0

0,48

Penyusunan Matrix Kekakuan Elemen Global ;

Elemen 1 :

[ ]

−−

−−

−−

−−

=−

64,048,064,048,0

48,036,048,036,0

64,048,064,048,0

48,036,048,036,0

5

)/10210)(106(

2211

2624

1

yxyx DDDD

m

mkNxmxK

atau;

[ ]

−−

−−

−−

−−

=

64,048,064,048,0

48,036,048,036,0

64,048,064,048,0

48,036,048,036,0

)200.25(

2211

1

yxyx DDDD

K (3.32)

Elemen 2 :

[ ]

−

−=−

1010

0000

1010

0000

4

)/10210)(106(

3311

2624

2

yxyx DDDD

m

mkNxmxK

atau;

39

[ ]

−

−=

25,1025,10

0000

25,1025,10

0000

)200.25(

3311

2

yxyx DDDD

K (3.33)

Penyusunan Matrix Kekakuan Struktur Global :

[ ]

−

−−

−−

−−−

−−

=

25,100025,10

000000

0064,048,064,048,0

0048,036,048,036,0

25,1064,048,089,148,0

0048,036,048,036,0

)200.25(

332211 yxyxyx

s

DDDDDD

K (3.34)

Penyusunan Sistem Persamaan Kekakuan Struktur Total :

−

−−

−−

−−−

−−

=

y

x

y

x

y

xyxyxyx

y

x

y

x

y

x

D

D

D

D

D

DDDDDDD

F

F

F

F

F

F

3

3

2

2

1

1332211

3

3

2

2

1

1

25,100025,10

000000

0064,048,064,048,0

0048,036,048,036,0

25,1064,048,089,148,0

0048,036,048,036,0

)200.25( (3.35)

Penyusunan Sistem Persamaan Kekakuan Struktur yang Telah Direduksi :

Kasus di atas memiliki kondisi batas (boundary conditions) sebagai berikut;

D1x = δ; D2x = 0; D2y = 0; D3x = 0; D3y = 0

Sehingga diperoleh Persamaan :

−==

=

y

x

D

mD

P 1

1 05,0

89,148,0

48,036,0)200.25(

0 δ (3.36)

)89,148,0(200.25 1yDP += δ

yD147628)8,604(1000 +−=

40

mD y 0337,047628

)8,6041000(1 =

+=

Penghitungan Gaya Aksial masing-masing elemen;

Elemen 1 :

−

−=

x

x

x

x

d

d

L

AE

f

f

2

1

2

1

11

11

atau

−

−=

y

x

y

x

x

x

D

D

D

D

SC

SC

L

AE

f

f

2

2

1

1

2

1

00

00

11

11

=

=

=

−=

−

−=

0

0

0337,0

05,0

80,060,000

0080,060,0

11

11)200.25(

2

2

1

1

2

1

y

x

y

x

x

x

D

D

D

D

f

f (3.37)

maka diperoleh :

f1x = -76,6 kN dan f1y = 76,6 kN

atau pada elemen 1 menerima gaya aksial tarik sebesar 76,6 kN.

Elemen 2 :

=

=

=

−=

−

−=

0

0

0337,0

05,0

1000

0010

11

11)500.31(

3

3

1

1

3

1

y

x

y

x

x

x

D

D

D

D

f

f (3.38)

maka diperoleh :

f1x = 1061 kN dan f1y = -1061 kN

atau pada elemen 1 menerima gaya aksial tekan sebesar 1061 kN.

41


ANALISIS STRUKTUR BALOK

4.1. Kekakuan Balok (Beam)

Struktur beam merupakan suatu sistem struktur yang merupakan

gabungan dari sejumlah elemen (batang) yang lurus (a = 0) di mana pada

setiap titik simpulnya dianggap berperilaku sebagai jepit dan setiap

elemennya dapat menerima gaya berupa gaya aksial, geser dan momen

lentur. Pembahasan dalam bab ini hanya dipelajari struktur balok yang

tidak menerima pengaruh (beban) aksial.

Gambar 4.1. Struktur Beam







yang bersangkutan.

Setiap elemen balok selalu memiliki dua nodal (titik simpul) ujung.

Ujung awal elemen diberi notasi nodal i sedangkan ujung lainnya diberi

notasi j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i , dan arah sumbu x lokal

X

Y

42

positif selalu dibuat dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut. Sumbu y

lokal dibuat tegak lurus sumbu x, sedangkan sumbu lokal arah z dibuat

searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bidang struktur

(bidang X-Y).





berputar menuju sumbu x lokal dengan poros sumbu Z positif.

Selanjutnya karena semua elemen tersusun segaris (lurus), seperti terlihat

pada gambar 4.1, maka sudut transformasi (α) akan bernilai nol.

Hubungan antara aksi dan deformasi pada elemen balok secara

umum dapat diformulasikan dengan orientasi sumbu lokalnya sebagai

berikut :


Transalasi Melintang (satu satuan)

2

6

L

EImm ji ==

3

12

L

EIgg ji =−=


uj, fj

θi, mi θj, mj

43

2

6

L

EImm ji −==

3

12

L

EIgg ji −=−=

Rotasi Akibat Lentur (satu satuan)

L

EImi

2= ;

L

EIm j

4=

2

6

L

EIgg ji =−=

L

EImi

4= ;

L

EIm j

2=

2

6

L

EIgg ji =−=

Gambar 4.2. Hubungan Aksi-Deformasi pada Elemen Beam

Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen balok dalam

sistem koordinat lokal yang diperoleh berdasarkan prinsip superposisi

dapat diuraikan sebagai berikut :

jjiiiL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIg θθ .

6.

12.

6.

12

2323

+

−+

+

=

jjiiiL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIm θθ .

2.

6.

4.

6

22

+

−+

+

=

jjiijL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIg θθ .

6.

12.

6.

12

2323

−+

+

−+

−=

44

jjiijL

EIv

L

EI

L

EIv

L

EIm θθ .

4.

6.

2.

6

22

+

−+

+

= (4.1)

di mana :

x : sumbu batang



θi : rotasi pada titik nodal i


sesuai dengan vi

mi : momen lentur pada titik nodal i yang selaras dengan θi



−

−−−

−

−

=

j

j

i

i

j

j

i

i

v

v

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EI

m

g

m

g

θ

θ.

4626

612612

2646

612612

22

22

3 (4.2)

sehingga diperoleh matrix kekakuan elemen lokal sebagai berikut :

[ ] .

4626

612612

2646

612612

22

22

3

−

−−−

−

−

=

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIki (4.3)

4.2. Beban Sepanjang Elemen balok (Element Loads)

Analisis struktur dengan metode matrix kekakuan mensyaratkan

bahwa beban yang bekerja harus berada tepat di titik simpul, sehingga

dapat disusun sistem persamaan kekakuan struktur. Dalam

kenyataannya, struktur balok maupun portal pada umumnya juga

menerima beban yang bekerja di sepanjang bentang elemen struktur

(element load). Agar dapat dibentuk persamaan kekakuan struktur, maka

45

beban-beban yang berupa element load harus dipindahkan menjadi beban

setara yang bekerja di dua nodal dalam elemen yang bersangkutan. Beban

setara pada dua titik nodal akibat adanya beban yang bekerja di sepanjang

bentang elemen disebut sebagai equivalent joint load, di mana kasus yang

sering dijumpai berikut cara perhitungannya disajikan pada Tabel 4.1.

Apabila semua komponen equivalent joint load yang dibutuhkan

telah terhitung, maka sekarang semua beban telah terletak di titik nodal

dalam sistem struktur, selanjutnya dapat dibentuk sistem persamaan

kekakuan struktur total dalam orientasi sumbu global sebagai berikut :

{ } [ ]{ } { }0FDKF s −= (4.4)

di mana; { }0F : vektor beban berupa equivalent joint load.

{ } [ ] { }iT

i fTF 00 =

{ }F : vektor beban yang berupa nodal load.

[ ]sK : Matrix Kekakuan Struktur Total.

{ }D : vektor displacement sumbu global.

selanjutnya sistem persamaan kekakuan elemen struktur dalam orientasi

sumbu lokal dinyatakan dalam persamaan berikut :

{ } [ ]{ } { }iiii fdkf 0−= (4.5)

atau { } [ ][ ]{ } [ ]{ }iiiiii FTDKTf 0−=

di mana; { }if : gaya dalam elemen (sumbu lokal).

{ }if0 : vektor beban yang berupa equivalent joint load

(sumbu lokal).

[ ]ik : matrix kekakuan elemen lokal.

{ }id : vektor displacement elemen sumbu lokal.

[ ]iK : matrix kekakuan elemen global.

[ ]iD : vektor displacement elemen sumbu global.

[ ]iT : matrix transformasi elemen.

46

Tabel 4.1. Beban Titik Ekuivalen

No. f1y m1 Kasus Pembebanan f2y m2

1.

2

P−

8

PL−

2

P−

8

PL

2.

3

2 )2(

L

aLPb +−

2

2

L

Pab−

3

2 )2(

L

bLPa +−

2

2

L

bPa

3.

P−

( )PLαα −− 1

P−

( )PLαα −1

4.

2

.Lw−

12

2wL−

2

.Lw−

12

2wL

5.

20

7wL−

20

2wL−

20

3wL−

30

2wL

6.

4

wL−

96

5 2wL−

4

wL−

96

5 2wL

L/2 L/2

P

b a

P

P P

aL aL

w

L

L

w

L

w

47


Contoh 4.1 : Suatu struktur balok kantilever sepanjang l = 10 ft seperti

ditunjukkan pada Gambar 4.3, menerima beban merata

searah gravitasi sebesar w = 1800 lb/ft di sepanjang batang.

Tentukan besarnya displacement ke arah X dan Y serta

besarnya gaya dalam pada masing-masing nodal, jika

diketahui nilai Elastisitas (E) = 3x107 psi dan inersia

tampang (I) = 200 in4.

Dalam kasus ini hanya terdapat satu elemen balok, sehingga matrix

kekakuan struktur global dapat disusun sebagai berikut :

[ ]

−

−−−

−

−

=

22

22

2211

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

DD

L

EIK

yy

s

θϑ

(4.6)

mengingat nodal 1 merupakan tumpuan jepit, maka kondisi batas

(boundary conditions) yang dapat diterapkan dalam kasus ini adalah :

D1X = 0 dan θi = 0

Y

X

w

l

2

wl

2

wl

12

2wl

12

2wl

48

sehingga diperoleh sistem persamaan kekakuan struktur yang telah

direduksi dalam bentuk sebagai berikut :

{ } { } [ ]{ }DKFF s=+ 0

−

−=

+

2

223

0

2

2

2

46

612

θ

y

z

yy D

LL

L

L

EI

M

F

M

F (4.7)

di mana { }0F merupakan vektor equivalent joint load

Persamaan di atas dapat diselesaikan untuk memperoleh besaran D2X dan

θ2 sebagai berikut :

−

=

12

2

126

64.

12

12

23

22

2

wL

wL

L

LL

EI

L

L

D y

θ

atau;

−

=

12

2

63

32

62

2

2

2

wL

wL

L

LL

EI

LD y

θ (4.8)

sehingga diperoleh :

−

−

=

−

−

=

−

−

=

rad

inchi

xxx

x

xxx

x

EI

wL

EI

wLD y

0072,0

648,0

2001036

)1210)(12/1800(

2001038

)1210)(12/1800(

6

8

7

3

7

4

3

4

2

2

θ (4.9)

Gaya dalam pada setiap titik nodal dapat dihitung menurut persamaan

berikut :

{ } [ ]{ } { }0FDKF s −=

atau;

49

02

2

1

1

3

4

22

22

2211

2

2

1

1

6

8

0

0

4626

612612

2646

612612

−

−

−

−

−−−

−

−

=

M

F

M

F

EI

wL

EI

wL

LLLL

LL

LLLL

LL

DD

L

EI

M

F

M

F

y

yyy

y

y

θϑ

(4.10)

=

=

−

−

−

−

−=

0

02

)1210()12/1800(

)1210()12/1800(

0

02

12

2

12

2

12

2

12

5

2

22

2

2

2

2

2

2

1

1xx

xx

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

M

F

M

F

y

y

(4.11)

=

0

0

.1080000

18000

2

2

1

1

inlb

lb

M

F

M

F

y

y

(4.12)

di mana F1y dan M1 merupakan reaksi pada tumpuan jepit di nodal 1.

50


ANALISIS STRUKTUR PORTAL BIDANG

5.1. Kekakuan Portal Bidang (Plane Frame)

Struktur plane frame merupakan suatu sistem struktur yang

merupakan gabungan dari sejumlah elemen (batang) di mana pada setiap

titik simpulnya dianggap berperilaku sebagai jepit dan setiap elemennya

hanya dapat menerima gaya berupa gaya aksial, gaya geser dan momen

lentur.

Gambar 5.1. Struktur Plane Frame







yang bersangkutan.

X

a Y

51

Setiap elemen plane frame selalu memiliki dua nodal (titik simpul)

ujung. Ujung awal elemen diberi notasi nodal i sedangkan ujung lainnya

diberi notasi j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i , dan arah sumbu

x lokal positif selalu dibuat dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut.

Sumbu y lokal dibuat tegak lurus sumbu x, sedangkan sumbu lokal arah z

dibuat searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bidang

struktur (bidang X-Y).





berputar menuju sumbu x lokal dengan poros sumbu Z positif, sehingga

pada gambar 5.1 sudut α akan bernilai positif jika perputaran berlawanan

dengan arah putaran jarum jam.

Hubungan antara aksi dan deformasi pada elemen plane frame

secara umum dapat diformulasikan dengan orientasi sumbu lokalnya

sebagai berikut :


Translasi Arah Aksial (satu satuan)

L

AEff ji =−=

L

AEff ji −=−=


uj, fj

θi, mi θj, mj

52

Transalasi Melintang (satu satuan)

2

6

L

EImm ji ==

3

12

L

EIgg ji =−=

2

6

L

EImm ji −==

3

12

L

EIgg ji −=−=

Rotasi Akibat Lentur (satu satuan)

L

EImi

2= ;

L

EIm j

4=

2

6

L

EIgg ji =−=

L

EImi

4= ;

L

EIm j

2=

2

6

L

EIgg ji =−=

Gambar 5.2. Hubungan Aksi-Deformasi pada Elemen Plane Frame

Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen portal bidang

dalam sistem koordinat lokal yang diperoleh berdasarkan prinsip

superposisi dapat diuraikan sebagai berikut :

jjjiii vuL

AEvu

L

AEf θθ .0.0..0.0. 1 ++

−+++

=

53

jjjiiiL

EIv

L

EIu

L

EIv

L

EIug θθ .

6.

12.0.

6.

12.0

23231

+

−++

+

+=

jjjiiiL

EIv

L

EIu

L

EIv

L

EIum θθ .

2.

6.0.

4.

6.0

221

+

−++

+

+=

jjjiij vuL

AEvu

L

AEf θθ .0.0..0.0. 1 ++

+++

−=

jjjiijL

EIv

L

EIu

L

EIv

L

EIug θθ .

6.

12.0.

6.

12.0

23231

−+

++

−+

−+=

jjjiijL

EIv

L

EIu

L

EIv

L

EIum θθ .

2.

6.0.

4.

6.0

221

+

−++

+

+= (5.1)

di mana :

x : sumbu batang


ui : displacement aksial pada titik nodal i


θi : rotasi pada titik nodal i

fi : gaya aksial pada titik nodal i yang sesuai dengan ui


sesuai dengan vi

mi : momen lentur pada titik nodal i yang selaras dengan θi



54

−

−−−

−

−

−

−

=

j

j

j

i

i

i

j

j

j

i

i

i

v

u

v

u

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AE

m

g

f

m

g

f

θ

θ

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

(5.2)

sehingga diperoleh matrix kekakuan elemen lokal sebagai berikut :

[ ]

−

−−−

−

−

−

−

=

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AE

ki

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

(5.3)

5.2. Transformasi Sumbu

Dalam analisis struktur yang dilakukan pada kebanyakan kasus,

perlu dilakukan penyesuaian antara matrix kekakuan elemen struktur

lokal (yang mengacu sumbu lokal secara individual) ke dalam matrix

kekakuan elemen struktur global (mengacu pada sistem struktur global

yang dianut semua elemen struktur.

Penyesuaian tersebut dapat dilakukan dengan memandang titik

nodal awal i dan nodal akhir j dalam bidang X-Y (global) dari elemen

mengalami perpindahan ke nodal i’ dan j’ dalam bidang x-y (lokal),

sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 5.3.

55

Gambar 5.3. Transformasi Sumbu Kartesian

Berdasarkan Gambar 5.3 ditunjukkan perputaran sumbu Kartesian

dari sumbu global X-Y menuju sumbu lokal x-y dengan kemiringan sudut

α, sehingga dapat diperoleh Persamaan Transformasi Sumbu yang

menunjukkan perubahan posisi suatu titik nodal dalam bentuk berikut :

αα sin.cos.X Yx += (5.4.a.)

αα cos.sin. YXy +−= (5.4.b.)

Zz θθ = (5.4.c.)

Persamaan di atas jika diubah dalam bentuk matrix, dapat

dinyatakan sebagai berikut :

−=

Zz

Y

X

y

x

θ

αα

αα

θ 100

0cossin

0sincos

(5.5)

Analog dengan cara di atas, transformasi koordinat untuk suatu

elemen struktur yang dibatasi oleh dua buah titk nodal (i dan j) dapat

ditunjukkan dengan persamaan berikut :

αα SinYCosXx iii .. +=

αα CosYSinXy iii .. +−=

Zizi θθ =

y

O

y

a Y

x

X

X

x

Y

56

αα SinYCosXxj jj .. +=

αα CosYSinXy jjj .. +−=

Zjzj θθ = (5.6.)

Atau dalam bentuk matrix dapat ditulis sebagai berikut :

−

−

=

Zj

j

j

Zi

i

i

Zj

j

j

zi

i

i

Y

X

Y

X

y

x

y

x

θ

θ

αα

αα

αα

αα

θ

θ

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

(5.7)

sehingga diperoleh Matrix Transformasi [Ti], untuk elemen portal adalah :

[ ]

−

−

=

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

αα

αα

αα

αα

iT (5.8)

selanjutnya Matrix Kekakuan Elemen Global dapat disusun dengan

persamaan berikut :

[ ]iK = [ ] [ ][ ]iiT

i TkT (5.9)

di mana; [ ]iK : matrix kekakuan elemen dalam sistem

koordinat global.

[ ]iT : matrix transformasi elemen

[ ]ik : matrix kekakuan elemen dalam sistem

koordinat lokal.

atau;

57

[ ] XL

EKi =

−+

−+

−

+−

−−+

−

−−

+−−

−+

I

CL

IC

L

IAS

SL

ICS

L

IAS

L

IAC

ICL

IS

L

II

CL

IC

L

IASCS

L

IAC

L

IC

L

IAS

SL

ICS

L

IAS

L

IACS

L

ICS

L

IAS

L

IAC

4

612

61212

266

4

61212612

6121261212

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(5.10)

di mana; s : sin α

c : cos α


Contoh 5.1 : Suatu struktur portal bidang dengan perletakan jepit pada

nodal 1 dan 4 seperti ditunjukkan pada Gambar 5.4,

menerima beban horisontal positif sebesar 10.000 lb di nodal

2 dan momen positif sebesar 5000 lb.in di nodal 3. Tentukan

besarnya displacement ke arah X dan Y serta besarnya gaya

dalam pada masing-masing elemen, jika diketahui nilai

Elastisitas semua elemen (E) = 3x107 psi, luas penampang

semua elemen (A) = 10 in2 dan inersia tampang (I) = 200 in4

untuk elemen 1 dan 3 serta I = 100 in4 untuk elemen 2.

58

2 3

1 4

Gambar 5.4. Struktur Plane Frame

Penyelesaian :

Dengan memanfaatkan Persamaan (5.10) dapat diperoleh matrix

kekakuan elemen global sebagai berikut :

Elemen 1

Elemen 1 diasumsikan mengarah dari nodal 1 ke nodal 2, dengan sudut

transformasi α antara sumbu global X dan sumbu lokal x sebesar 90o

sehingga :

cos α = 0 dan sin α = 1

sedangkan :

167,0)1210(

)200(1212

22==

xL

I

0,10)1210(

)200(66==

xL

I

000.250)1210(

1030 6

==x

x

L

E

maka dengan menggunakan Persamaan (5.10) diperoleh :

5000 lb-in

X

Y

10.000 lb

10 ft

10 ft

1

2

3

59

[ ]

−

−

−

−

−

−−−

=

800010400010

01000100

100167,0100167,0

400010800010

01000100

100167,0100167,0

000.250

222111

1

θθ yxyx DDDD

K (5.11)



sehingga :

cos α = 1 dan sin α = 0

sedangkan :

0835,0)1210(

)100(1212

22==

xL

I

0,5)1210(

)100(66==

xL

I

000.250)1210(

1030 6

==x

x

L

E


[ ]

−

−−

−

−

−

=

4005020050

50835,0050835,00

00100010

2005040050

50835,0050835,00

00100010

000.250

333222

2

θθ yxyx DDDD

K (5.12)

60



sehingga :

cos α = 0 dan sin α = -1

sedangkan :

sedangkan :

167,0)1210(

)200(1212

22==

xL

I

0,10)1210(

)200(66==

xL

I

000.250)1210(

1030 6

==x

x

L

E


[ ]

−

−

−−−

−

−

−

=

800010400010

01000100

100167,0100167,0

400010800010

01000100

100167,0100167,0

000.250

444333

3

θθ yxyx DDDD

K (5.13)

Selanjutnya dengan melakukan superposisi Persamaan (5.11), (5.12) dan

(5.13) dan dengan menerapkan kondisi batas (boundary conditions) D1x = 0,

D1y = 0, θ1 = 0, D4x = 0, D4y = 0 dan θ4 = 0 maka dapat diperoleh sistem

persamaan kekakuan struktur yang telah direduksi sebagai berikut :

61

−

−−

−

−

−

=

3

3

3

2

2

2

120051020050

5084,1005084,00

100167,100010

200501200510

5834,005084,100

0010100167,10

000.250

5000

0

0

0

0

000.10

θ

θ

y

x

y

x

D

D

D

D

(5.14)

Persamaan (5.14) di atas dapat diselesaikan dengan matode inversi matrix,


−

−

−=

rad

in

in

rad

in

in

D

D

D

D

y

x

y

x

00149,0

00148,0

209,0

00153,0

00148,0

211,0

3

3

3

2

2

2

θ

θ (5.15)

Untuk menghitung gaya dalam masing-masing elemen dapat digunakan

Persamaan berikut :

{ } [ ]{ }iii FTf =

atau;

{ } [ ][ ]{ }iiii DKTf = (5.16)

sehingga gaya dalam pada elemen 1 diperoleh sebesar :

{ } [ ][ ]{ }1111 DKTf =

−

−

−

−

−

−

−−−

−

−

=

00153,0

00148,0

211,0

0

0

0

800010400010

01000100

100167,0100167,0

400010800010

01000100

100167,0100167,0

000.250

100000

001000

010000

000100

000001

000010222111

2

2

2

1

1

1

θθ yxyx

y

x

y

x

DDDD

m

f

f

m

f

f

(5.17)

62


−

−

−

−

=

inlb

lb

lb

inlb

lb

lb

m

f

f

m

f

f

y

x

y

x

000.223

4990

3700

000.376

4990

3700

2

2

2

1

1

1

(5.18)

Analog dengan cara di atas maka dapat diperoleh :

Gaya Dalam Elemen 2 :

−−

−

−−

−

=

inlb

lb

lb

inlb

lb

lb

m

f

f

m

f

f

y

x

y

x

000.221

3700

5010

000.223

3700

5010

3

3

3

2

2

2

(5.19)

2

1

223.000 lb-in

376.000 lb-in

3770 lb

3770 lb

4990 lb

4990 lb

z

y

x

63

Gaya Dalam Elemen 3 :

−

−

−

−=

inlb

lb

lb

inlb

lb

lb

m

f

f

m

f

f

y

x

y

x

000.375

5010

3700

000.226

5010

3700

4

4

4

3

3

3

(5.20)

Contoh 5.2 : Sebuah elemen batang nomor 2 digunakan untuk

memperkaku elemen balok kantilever bernomor 1 seperti

ditunjukkan pada Gambar 5.5. Hitung besarnya

perpindahan nodal 1 dan gaya dalam masing-masing

elemen, jika diketahui nilai Elastisitas semua elemen (E) =

210 GPa, luas penampang semua elemen 2 (A2) = 1 x 10-3 m2,

luas tampang elemen balok 1 (A1) = 2 x 10-3 m2 dengan

inersia tampang (I) = 5 x 10-5 m4. Sudut antara elemen 1 dan

2 sebesar 45o, dengan beban sebesar 500 kN searah gravitasi

di titik nodal 1.

Gambar 5.5 Balok Kantilever dengan Pengaku

Y

X

45o

1

2

500 kN

1

3

2

3 m

64

Penyelesaian :

Mengingat nodal nomor 2 dan 3 merupakan tumpuan jepit dan sendi,

maka hanya dibutuhkan matrix kekakuan di nodal 1 untuk dapat

menghitung perpindahan yang terjadi pada sistem struktur tersebut.

Elemen 2 merupakan batang pengaku, sehingga hanya dapat menerima

gaya aksial sebagaimana perilaku elemen plane truss, sehingga matrix

kekakuan elemen global dapat dihitung menurut Persamaan (3.16), maka ;

[ ]

=

−

5,05,0

5,05,0

45cos3

)10210)(101( 63

2

o

xxK

atau;

[ ]

=

354,0354,0

354,0354,01070

113

2

yx DD

xK (5.21)

sedangkan matrix kekakuan elemen global untuk balok (dengan

memperhitungkan pengaruh aksial) digunakan Persamaan (5.10) sehingga

diperoleh :

[ ]

=

20,010,00

10,0067,00

0021070

111

31

θyx DD

xK (5.22)

di mana (E/L) x 10-3 merupakan skalar pada Persamaan (5.22)

Selanjutnya dapat dibentuk matrix kekakuan struktur global yang telah

direduksi :

[ ]

=

20,010,00

10,0421,0354,0

0354,0354,2

1070 3xKs (5.23)

65

sehingga dapat dibentuk sistem persamaan kekakuan struktur tereduksi

sebagai berikut :

=

−

1

1

13

20,010,00

10,0421,0354,0

0354,0354,2

1070

0

500

0

θ

y

x

D

D

x (5.24)

Penyelesaian Persamaan (5.24) menghasilkan :

−=

rad

m

m

D

D

y

x

0113,0

0225,0

00338,0

1

1

1

θ

(5.25)

Persamaan umum yang dapat digunakan untuk menghitung gaya dalam

setiap elemen adalah fi = ki.di. Untuk elemen batang (truss) gaya dalam

elemen dapat dihitung dengan :

−

−=

y

x

y

x

x

x

D

D

D

D

SC

SC

L

AE

f

f

3

3

1

1

3

1

00

00

11

11 (5.26)

Triple product ketiga matrix di atas menghasilkan :

( )yxx DSinDCosL

AEf 111 .. αα += (5.27)

untuk kasus ini;

−+=

−

)0225,0(2

2)00338,0(

2

2

24,4

)/10210)(101( 2623

1m

mkNxmxf x

maka diperoleh :

kNf x 6701 −=

di mana tanda negatif menunjukkan arah yang berlawanan dengan

sumbu x.

Analog dengan cara di atas maka dapat diperoleh :

kNf x 6703 =

66

Mengingat sumbu lokal dan global pada elemen balok memiliki arah yang

sama (α = 0), maka pada elemen balok akan diperoleh f = F dan d = D,

maka :

−

−−−

−

−

−

−

=

2

2

2

1

1

1

22

2323

22

2323

2

2

2

1

1

1

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

θ

θ

y

x

y

x

y

x

y

x

D

D

D

D

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AE

m

f

f

m

f

f

(5.28)

sehingga untuk nodal 1 :

=

1

1

1

2

23

1

1

1

460

6120

00

θ

y

x

y

x

D

D

L

EI

L

EIL

EI

L

EIL

AE

m

f

f

(5.29)

atau;

−

=

0113,0

0225,0

00338,0

20,010,00

10,0067,00

002

1070 3

1

1

1

x

m

f

f

y

x

−=

mkN

kN

kN

m

f

f

y

x

.0,0

5,26

473

1

1

1

(5.30)

Analog cara di atas untuk nodal 2 :

−

−−

−

=

0113,0

0225,0

00338,0

10,010,00

10,0067,00

002

1070 3

2

2

2

x

m

f

f

y

x

67

−

−

=

mkN

kN

kN

m

f

f

y

x

.3,78

5,25

473

1

1

1

(5.31)

670 kN

670 kN

1

3

y

z

x

26,5 kN

473 kN

2

1 78,3 kN.m

0,0 kN.m

473 kN

26,5 kN

Documents

hendrafiles.files.wordpress.com · 1 BAB 1BBAABB 11BAB 1 ALJABAR MATRIX Dalam pokok bahasan ini akan disajikan dasar-dasar operasi aljabar matrix yang berhubungan dengan analisis