BENTUK ALJABAR

I. PENGERTIAN BENTUK ALJABARDikelas VII yang kita telah mempelajari tentang Bentuk Aljabar :Bahwa bentuk Aljabar dapat berbentuk penjumlahan , pengurangan , perkalian , pembagian(pecahan), perpangkatan dan pengakaran. Pada Bentuk Aljabar kita jumpai adanya : suku , Variabel (perubah) ,Koifisien dan Konstanta.Jika sukunya hanya satu disebut Suku Tunggal.Misalnya : 2xJika banyak sukunya dua disebut Suku dua (binom). Misalnya : 2p + 2l Bila banyak sukunya tiga disebut Suku tiga (trinom). Misalnya : 4p + 4l + 4t Bentuk aljabar yang banyak sukunya lebih dari 3 disebut suku banyak atau polynom.

Unsur-unsur Pada Bentuk AljabarYang termasuk unsur-unsur pada bentuk aljabar adalahSuku , Variabel , Koifisien dan Konstanta.Contoh 1 : Bentuk aljabar : 3x + 7y + 5Suku ke satu = 3xSuku ke dua = 7ySuku ke tiga = 5Catatan : 1. 3x artinya 3 x x dan 7y = 7 x y2. x = 1x , jadi koifisien x adalah 13. 5 = konstanta tidak ada variabelnya

Contoh 2 :Diketahui bentuk aljabar : 13x y + Z2 9 Terdiri dari berapa suku bentuk aljabar itu? Sebutkan masing-masing sukunyaTuliskan seluruh Variabel dan KonstantanyaTuliskan Koifisien masing-masing variabelJawab :a. Banyak suku = 4 sukub. (i). 13x , (ii). -y , (iii). z dan (iv). -9c. Variabel adalah x , y dan z2 Konstantanya adalah -9d. 13 = koifisien x , -1 = koifisien y dan 1 = koifisien z2Perhatikan bahwa :13x y + 14z2 9 = 13x + (-y) + z2 + (-9) Suku ke : 1 2 3 4

II. SUKU-SUKU SEJENIS Pada setiap bentuk aljabar suku-suku sejenis adalah suku yang Variabelnya SamaContoh :1. Tuliskan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar berikut!a. x2 + 3x 2x + 1b. 6y3 + 3 5y3 + x 7Jawab :a. Pada x2 + 3x 2x + 1 suku sejenis adalah : 3x dan 2xb. Pada 6y3 + 3 5y3 + x 7 suku yang sejenis adalah : (i). 6y3 dan 5y3 , (ii). 3 dan 7

2. Manakah suku-suku sejenis pada masing-masing bentuk aljabar berikut?a. 2xy x + 3yx + 5x + xyb. ax + ay bx + by

`Jawab :a. Pada : 2xy x + 3yx + 5x + xy ada 2 jenis , yaitu : (i). 2xy , 3yx dan xy(ii). -x dan 5xb. Pada : ax + ay bx + by Tidak ada yang sejenis

III. OPERASI PADA BENTUK ALJABAR

A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGANSoal pengantarAda dua orang kakak beradik membawa lima ekor kambing lewat dari depan rumah Si A. Ditanyakan : Ada berapa yang lewat dari depan rumah Si A ?Jawab :2 orang manusia + 5 ekor kambing = 2m + 5k

Pada penjumlahan dan pengurangan yang dapat diselesaikan ialah suku-suku sejenis7 ? Tujuh orangkah atau tujuh ekor?

Contoh :Sederhanakanlah :a. 10x2 + 3x + 6xb. 4xy x + 7y xy + 2Tuliskan dalam bentuk paling sederhana : a. 2(4x 3) 5b. -5(2y + 6) + (6x 12y) Jawab :1 a. 10x2 + 3x + 6x = 10x2 + (3 + 6)x = 10x2 + 9xb. 4xy x + 7y xy + 2 = 4xy xy x + 7y + 2 = (4 1)xy x + 7y + 2 = 3xy x + 7y + 2

2. a. 2(4x 3) 5= 8x 6 5

= 8x (6 + 5)= 8x 11

b. -5(2y + 6) + (6x 12y) = -10y 30 + 4x 8y = -10y 8y + 4x 30= (-10 8)y + 4x 30= -18y + 4x 30 Catatan : Mengenai bentuk a(bx c) , akan kita bahas lebih lanjut pada pelajaran berikutnya

Contoh 3 :Jumlahkanlah 13x + 15y dengan -12x 3yKurangkan 7x 3y + 2z dari 2x + y 5zJawab :13x + 15y + (-12x 3y) = 13x + 15y 12x 3y = 13x 12x + 15y 3y = x + 12yatau :13x + 15y -12x 3yx + 12y7x 3y + 2z2x + y 5z()b.= 2x 7x + y + 3y 5z 2z) = 2x + y 5z 7x + 3y 2z= -5x + 4y 7z

Catatan :Setiap pengurangan dapat dirobah menjadi penjumlahan , sebagai berikut :p q = p (+q) = p + (-q)k (m + n) = k m n k (m n) = k m + n

B. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN (i). Perkalian Pada bentuk aljabar : (i). 4 x 7 = 28 , sering ditulis 4.7 = 28 (ii). a x b = a.b = ab (iii).a(b + c) artinya a dikali dengan yang ada dalam kurung2.ap x aq x br = ap+qbr2m x 4n = 2.4.m.n = 8mn4. (i). (+) x (+) = (+) (ii). () x () = (+) (iii). (+) x () = () (iv). () x (+) = ()

(ii). Pembagian.Pembagian pada bentuk Aljabar :`1. (i). axy : ay = x(ii). axy : xy = a2. a : b = a x = 3. am : an = = am-n 4. a : a = a0 = 15. (x + y) : p =6.7.

(iii) Sifat distributif perkalianContoh :Sebidang ladang berbentuk persegi panjang ditanami dengan padi dan sebagian lagi ditanamai jagung seperti gambar dibawah ini. Hitung luas yang ditanami padiHitung luas ladang yang ditanami jagungHitung luas ladang seluruhnyaJawab :a. Luas yang ditanam Padi :L.padi = 60 m x 30 m = 1.800 m2b. Luas yang ditanami jagung :L. jagung = 60 m x 18 m = 1.080 m218 m30 m60 mPadiJagung

c. Luas ladang seluruhnya :Cara I :L = L.padi + L.jagung = 1800 m2 + 1080 m2 = 2880 m2Cara II :L = 60 m x ( 30 m + 18 m)= 60 m x 48 m= 2880 m2

Cara III :L = 60 m x ( 30 m + 18 m)= (60 m x 30 m) + (60 m x 18 m)= 1800 m2 + 1080 m2= 2880 m2

18 m30 m60 mPadi :L = 60 x 30 = 1800Jagung :L = 60 x 18 = 1080

Kita lihat Cara III :Ternyata :60 m x ( 30 m + 18 m) = (60 m x 30 m) + (60 m x 18 m)= 1800 m2 + 1080 m2= 2880 m2Atau 60(30 + 18) = (60 x 30) + (60 x 18)Pengerjaan itu disebut penggunaan Sifat Distributif Terhadap Penjumlahan

Sifat distributif Perkalian terhadap Penjumlahan adalah sebagai berikut : a(b + c) = ab + ac

Sifat Distributif perkalian terhadap Pengurangan adalah : a(b c) = ab acContoh : Dengan menggunakan Sifat Distributif tentukanlah hasil dari :20(15 + 6 )2. 45(8 2)Jawab :1. 20( 15 + 6 ) = 20.15 + 20.6 = 300 + 120 = 4202. 45(8 2) = 45.8 45.2 = 360 90 = 270

L = L1 + L2 + L3 + L4L = ac + ad + bc + bd (i)Rumus Luas suatu persegipanjangadalah : L = p x lPanjang = p = a + bLebar = l = c + dMaka L = (a + b)(c + d) (ii)

Dari (ii) dan (i) : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdacbL1 = acdL2 = adL3 = bcL4 = bdplPerhatikan gambar berikut ini !Luas seluruh persegipanjang itu adalah :

Kesimpulan :1). (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)= ac + ad + bc + bdatau langsung sebagai berikut :(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Contoh :1. (13 + 7)(5 + 4)= 13(5 + 4) + 7(5 + 4) = 13.5 + 13.4 + 7.5 + 7.4= 65 + 52 + 35 + 28= 1802. (8 5)(9 + 1)= (8 + (-5))(9 + 1)= 8.9 + 8.1 + (-5).9 + (-5).1= 72 + 8 + (-45) + (-5) = 303. (12 + 3)(17 7)= (12 + 3)(17 + (-7))= 12.17 + 12.(-7) + 3.17 + 3.(-7)= 204 + (-84) + 51 + (-21)= 1504.(9 4)(8 6)= (9 + (-4))(8 + (-6))= 9.8 + 9.(-6) + (-4).8 + (-4).(-6)= 72 + (-54) + (-32) + 24= 10Cara Singkat :1. (13 + 7)(5 + 4) = 20.9 = 180 2. (8 5)(9 + 1) = 3.10= 303. (12 + 3)(17 7) = 15.10= 1504. (9 4)(8 6) = 5.2= 10

Catatan :Pada bentuk aljabar biasanya digunakan cara yang panjang sebab suku yang ada dalam kurung sering tidak sejenis.

C. PERKALIAN BENTUK ax(by c)Contoh 1 :Tentukan hasil kalinya :a. 2(3x + 5)b. x(3x + 5) c. 2x(3x + 5)d. 2x(3x 5)e. x(-7 x) Jawab :a. 2(3x + 5) = 2.3x + 2.5 = 6x + 10b. x(3x + 5) = x.3x + x.5= 3x2 + 5xc. 2x(3x + 5)= 2x.3x + 2x.5= 6x2 + 10xd. 2x(3x 5)= 2x(3x+ (-5))= 2x.3x + 2x.(-5) = 6x2 + (-10x)= 6x2 10x e. x(-7 x)= x(-7 + (-x))= x.(-7) + x.(-x)= -7x x2

Contoh 2 :Jabarkanlah :a. -6x(4x + 0,5) b. -5x(7x 8) c. -y(-4x 8) + 2yJawab :a. -6x(4x + 0,5) = -6x.4x + (-6x).0,5= -24x2 + (-3x)= -24x2 3x b. -5x(7x 8) = -5x(7x + (-8)) = -5x.7x + (-5x).(-8)= -35x2 + 40x= -35x2 + 40xc. -y(-4x 8) + 2y= -y(-4x + (-8)) + 2y= -y.(-4x) + (-y).(-8) + 2y= 4yx + 8y + 2y= 4xy + 10y

D. PERKALIAN BENTUK (ax p)(bx q)Contoh 1 :Tentukanlah hasil kalinya :a. (x + 2)(x + 5)b. 4(2x + 1)(3x + 7)Jawab :a.(x + 2)(x + 5)= x(x + 5) + 2(x + 5)= x.x + x.5 + 2.x + 2.5= x2 + 5x + 2x + 10= x2 + 7x + 10b. 4(2x + 1)(3x + 9) = 4(2x.3x + 2x.9 + 1.3x + 1.9)= 4(6x2 + 18x + 3x + 9)= 4(6x2 + 21x + 9)= 24x2 + 84x + 36

Contoh 2 :Jabarkan dan sederhanakanlah bentuk Aljabar berikut ini.a.(x + 3)(2x 1)b. (2y 3)(4y + 2)c.(x 5)(x 8) d. (-x 2)(-3x 6)Jawab :a. (x + 3)(2x 1) = (x + 3)(2x + (-1)) = x.2x + x.(-1) + 3.2x + 3.(-1)= 2x2 + (-x) + 6x + (-3)= 2x2 + 5x 3 b. (2y 3)(4y + 2)= (2y + (-3))(4y + 2)= 2y.4y + 2y.2 + (-3).4y + (-3).2= 8y2 + 4y + (-12y) + (-6) = 8y2 + (-8y) 6 = 8y2 8y 6

c.(x 5)(x 8) = (x + (-5))(x + (-8)) = x.x + x.(-8) + (-5).x + (-5).(-8)= x2 + (-8x) + (-5x) + 40= x2 + (-13x) + 40= x2 13x + 40

d. (-x 2)(-3x 6) = (-x + (-2))(-3x + (-6)) = -x.(-3x) + (-x).(-6) + (-2).(-3x) + (-2).(-6)= 3x2 + 6x + 6x + 12= 3x2 + 12x + 12

Contoh 3 :Tentukan hasil kalinya dalam bentuk paling sederhana!a.(3x + 5)2b. (3x 5)2c. (x + k)2d. (7x 4y)2Jawab :a.(3x + 5)2= (3x + 5)(3x + 5)= 3x.3x + 3x.5 + 5.3x + 5.5 = 9x2 + 15x + 15x + 25= 9x2 + 30x + 25b. (3x 5)2= (3x 5)(3x 5)= 3x.3x 3x.5 5.3x + 5.5 = 9x2 15x 15x + 25= 9x2 30x + 25

c. (x + k)2= (x + k)(x + k)= x.x + x.k + k.x + k.k= x2 + kx + kx + k2= x2 + 2kx + k2

d. (7x 4y)2 = (7x 4y)(7x 4y)= 7x.7x 7x.4y 4y.7x + 4y.4y= 49x2 28xy 28xy + 16y2= 49x2 56xy + 16y2

Pendalaman (Pengayaan)2 a. (x + 3)(2x 1) = 2x2 + 5x 3 b. (2y 3)(4y + 2) = 8y2 8y 6

Cobalah kalikan dengan cara diatas!c. (x 5)(x 8) = ..d. (-x 2)(-3x 6) = x.2x = 2x2x.(-1) + 3.2x = -1x + 6x = 5x3.(-1) = -32y.4y = 8y22y.2 + (-3).4y = 4y + (-12y) = -8y-3.2 = -6(1). Pada Contoh No. 2 :

(2). Pada Contoh 3 :a.(3x + 5)2= 9x2 + 30x + 25

d. (7x 4y)2 = (7x + (-4y))2 = (7x)2 + 2.7x.(-4y) + (-4y)2 = 49x2 56xy + 16y2Gunakan Cara diatas untuk soal 3b dan 3c2.3x.5 = 30x

E. MEMFAKTORKAN(i).Pengertian Faktor (Mengulang Pel. Kls VII)Contoh :1. 1 x 6 = 2 x 3 = 6 , maka 1 , 6 , 2 dan 3 adalah faktor dari 6.2. 5 x a x b x a = 5a2b , maka 5 , a dan b adalah faktor dari 5a2b.Selain 5 , a dan b yang merupakan faktor dari 5a2b adalah : (i). 5a dan ab , sebab 5a x ab = 5a2b (ii). 5a2 dan b , sebab 5a2 x b = 5a2b(iii). 5b dan a2 , sebab 5b x a2 = 5a2b(iv). dll

(ii). Faktor Persekutuan ter-Besar (FPB)Contoh 1:Tentukan FPB dari 16 dan 24!Jawab :Faktor dari 16 adalah : 1 , 2 , 4 , 8 dan 16Faktor dari 24 adalah : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 dan 24Maka FPB dari 16 dan 24 = 8Contoh 2 :Tentukan FPB dari 5a2b dan 10ab !Jawab :5a2b = 5.a.a.b10ab = 2.5.a.bMaka : FPB dari 5a2b dan 10ab = 5.a.b = 5ab

(iii). Memfaktorkan bentuk ax cContoh 1 :Faktorkanlah : a. 9x + 12b. 9x2 12xc. 5y + 10d. 3xy y2Jawab :9x + 12 = = b. 9x2 12x== c. 5y + 10= = d. 3xy y2 ==3.3x + 3.43(3x + 4)3x.3x 4.3x3x(3x 4)5.y + 2.55(y + 2)3.x.y y.yy(3x y)Soal c dan d : coba lakukan sendiri

Contoh 2 :Faktorkanlah!xy + 2yx24x2y 20xy-2x2 + 6x-15xy 20x

Jawab :a. xy + 2yx2= x.y + 2.x.x.y= xy(1 + 2x)4x2y 20xy = 4.x.x.y 4.5.x.y= 4xy(x 5)c. -2x2 + 6x = -2.x.x + 2.3.x= -2.x.x (-2).3.x= -2x(x 3)d. -15xy 20x = -3.5.x.x 4.5.x= 5x(-3x 4)atau : -15xy 20x = -5.3.x.x 5.4.x= -5.3.x.x + (-5).4.x= -5x(3x + 4)Cara yang kedua ini lebih sering dibuat dari pada yang pertama

(iv). MEMFAKTORKAN BENTUK : ax2 bx c(a). Soal-soal PengantarContoh 1 :Jika p dan q adalah faktor dari 24 dan p + q = 10 Cari nilai p dan q! Penyelesaian :24 = 1 x 2424= 2 x 1224= 3 x 824= 4 x 6Maka : p = 6 dan q = 4atau p = 4 dan q = 6

Contoh 2:Lengkapilah tabel berikut ini (p dan q boleh berbalik)!

No.p x qp + qpqa.67b.129,5c.189d.1811e.18-11f.36-12g.42-23h.42-13

No.p x qp + qpqi.-61j.-121k.-183l.-5610m.-6-1n.-36-5o.-30-13p.-1440

Jika p.q = positif , maka p dan q sama-sama positif atau sama-sama negatif.Jika p.q = negatif , maka satu dari p dan qadalah positif dan satu lagi negatif.

(b). Penggunaan p dan q dalam PemfaktoranUntuk memfaktorkan ax2 + bx + c dapat dilakukan dengancara mencari dua bilangan p dan q , dengan catatan : (i). ac = pq (ii). b = p + qContoh 1 :Faktorkanlah 3x2 + 10x + 8 !Jawab :a = 3 , b = 10 dan c = 8ac = 3.8 = 24 = pqp + q = 10Jadi p = 6 dan q = 4(boleh p = 4 dan q = 6 ) Maka :3x2 + 10x + 8 = 3x2 + 6x + 4x + 8 = 3x(x + 2) + 4(x + 2)= (3x + 4)(x + 2) atau3x2 + 10x + 8 = 3x2 + 4x + 6x + 8 = x(3x + 4) + 2(3x + 4)= (x + 2)(3x + 4)

Contoh 2 :Faktorkanlah : a. 2x2 + 7x + 5 b. x2 5x + 6 Jawab :a. 2x2 + 7x + 5= 2x2 + 2x + 5x + 5= 2x(x +1) + 5(x + 1)= (2x + 5)(x + 1)

b. x2 5x + 6 = x2 2x 3x + 6 = x(x 2) 3(x 2) = (x 3)(x 2)3x + 6 = 3(x 2)2 . 5 = 102 + 5 = 7

Contoh 3 :Faktorkanlah : x2 + 3x + 2 b.x2 + 3xy + 2y2c. 3x2 8xy + 4y2Jawab :x2 + 3x + 2= x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1)= (x + 2)(x + 1)x2 + 3xy + 2y2= x2 + xy + 2xy + 2y2= x(x + y) + 2y(x + y)= (x + 2y)(x + y)3x2 8xy + 4y2 = 3x2 6xy 2xy + 4y2 = 3x(x 2y) 2y(x 2y) = (3x 2y)(x y)

(v). MEMFAKTORKAN BENTUK ax2 by2Selisih Dua KuadratTentukanlah hasil dari :52 42102 92212 20252 32102 82322 30252 22202 172502 402Jawab :52 42 = (5 + 4)(5 4) = 9.1= 9102 92 = (10 + 9)(10 9) = 19.1= 19212 202 = (21 + 20)(21 20) = 41.1= 4152 32 = (5 + 3)(5 3) = 8.2= 16102 82 = (10 + 8)(10 8) = 18.2 = 36322 302 = (32 + 30)(32 30) = 62.2 = 12452 22 = (5 + 2)(5 2) = 7.3 = 21202 172 = (20 + 17)(20 17) = 37.3 = 111502 402 = (50 + 40)(50 40) = 90.10 = 900

Dari soal-soal pengantar itu didapat bahwa :m2 n2 = (m + n)(m n) disebut : selisih dua kuadratPenggunaan Selisih Dua kuadrat.Contoh 1 :Faktorkanlah : 4x2 9 !Cara I :9x2 16 = 9x2 + 0x 16 = 9x2 12x + 12x 16= 3x(3x 4) + 4(3x 4) = (3x + 4)(3x 4)Catatan :p + q = 0 dan pq = 9.(-16) = -144Maka p = 12 dan q = -12 atau p = -12 dan q = 12Cara II :Dengan menggunakanSelisih Dua Kuadarat9x2 16 = 32x2 42= (3x)2 42= (3x + 4)(3x 4)m2 n2 = (m + n)(m n)

Contoh 2 :Dengan cara selisih dua kuadrat faktorkanlah :a. 4x2 9 b. 18x2 50 c. 80x2 45y2Jawab :a. 4x2 9 = 22x2 32 = (2x)2 32 = (2x + 3)(2x 3)b. 18x2 50 = 2.32.x2 2.52= 2((3x)2 52)= 2(3x + 5)(3x 5)c. 80x2 45y2= 5.42.x2 5.32y2= 5((4x)2 (3y)2)= 5(4x + 3y)(4x 3y) Catatan untuk soal b.Bilangan kuadrat :1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , dstJadi 18 dan 50 bukanBilangan Kuadrat.Tetapi 18 = 2.9 = 2.3250 = 2.25 = 2.52Untuk soal c :80 = 5.16 = 5.4245 = 5.9 = 5.32

IV. PECAHAN DALAM BENTUK ALJABARA. MENYEDERHANAKAN PECAHANContoh :Sederhanakanlah :a. Jawab : ========

Contoh 2 :Faktorkan kemudian sederhanakan!a. Jawab : ==========

+B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PECAHAN DALAM BENTUK ALJABARContoh 1 :Tentukan hasil paling sederhana dari :a. Jawab :++.3 .3 .2.2===+.b .b .a.a==

Jawaban c :+====+==Catatan :Penyebut pada bentukpecahan I dan II adalahxy dan x.KPK xy dan x = xy