1. Elektromagnetische Wellen1.1. Schwingkreise

1.1.1. Freie Schwingung

0QLQR

0ILRI

CQ

CQ

Maschenregel R

C

L

I

Q

D

γ m

xMechanisches Analogon:

0xmxγxD 0xmxγxD

Übersetzung: Mechanik Elektrodynamikx Qm L R

D C1

Elektrodynamik

0QLQR CQ 0QLQR CQ

R

C

L

I

Q

Lösung übersetzt aus Mechanik:

C

L2R

2tωiτt

τ

1

CL

1ω

R

L2τee~Q

Schwingfall:

C

L2R CLτe.constt~Q τt

Aperiodischer Grenzfall:

CL

1

L4

R

L2

R

τ

1e~Q

2

2τt

Kriechfall:

C

L2R

1.1.2. Erzwungene Schwingung ( Übersetzung aus Mechanik)

Serienschwingkreis:

U(t)R

C

L

Q

I

Resonanzfrequenz: Z R minimal CL

1ω

R

CL

1ω

R

Bandbreite: L

Rω

L

Rω

D

γ m

xF(t)

xQI

tFtU

DC

γRmL1

Parallelschwingkreis:

Bandbreite: L

Rω

L

Rω

m

xm

D

F(t)γ

x

U(t)

QCI

R

C

L

IL

Kleine Dämpfung

Resonanzfrequenz: maximal CL

1ω

R

CL

1ω

R

CR

LZ

DCγRmL

xxQxIxI

tFtU

1

mCmL

1.1.3. Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger )

Induktive Kopplung:R1

C1L1I1Q1

R2

C2L2 I2

Q2

L12

QLQQRQL

QLQQRQL

1122C1

2222

2121C1

1111

2

1

QLQQRQL

QLQQRQL

1122C1

2222

2121C1

1111

2

1

Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten

Beispiel: L1L2 L C1C2C R1R2 R

Normalkoordinaten: QQQ 21 QQQ 21

Eigenfrequenzen: αω 241

CLL1

12 αω 241

CLL1

12

0QQRQLL C1

12 0QQRQLL C

112

α 12LL

R α

12LLR

ee~Q tωitα21

ee~Q tωitα2

1

Normalmoden ( Schwingfall ):

Analoges Verfahren

R1

C1

L1 R2

C2

L2Ck

Kapazitive Kopplung:

Galvanische Kopplung:

R1

C1

L1 R2

C2

L2Rk

Lade-Widerstand

Puffer-Kondensator

npn-Transistor als elektronischer Schalter

Schwingkreis

CL1

0 ω

CL1

0 ω

1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen

Beispiel: Meißner-Schaltung

L C

R1 C1

TCR τ0

ωπ2

11 TCR τ0

ωπ2

11

L C

R1 C1

sperrt

Schwingphase 1

autarker Schwingkreis

TCR τ0

ωπ2

11 TCR τ0

ωπ2

11

Lade-Widerstand

Puffer-Kondensator

npn-Transistor als elektronischer Schalter

Schwingkreis

CL1

0 ω

CL1

0 ω

L C

R1 C1

L C

R1 C1

leitet

Schwingphase 2

Nachladung

Beispiel: Meißner-Schaltung

1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen

1.2. Elektromagnetische Wellen auf Leitern1.2.1. Die Telegraphengleichungviele gekoppelte Schwinger Kontinuumsübergang Wellen

Beispiele: , Leitermantel

x

I ( x , t )I ( x , t )

Doppelleitung( Flachbandkabel, Twisted Pair ) Koaxialkabel ( Koax-Kabel )

Voraussetzung: d c ≪ T bzw. c≪ dd. h. lokal gelten weiterhin die Gesetze der Quasistatik!

CLR xdCd

xdLd

xdRd CLR xd

CdxdLd

xdRd

dx dx dx dx

Ersatzschaltbild:

x

dR dL dR dL dR dL dR dLdC dC dC dC dC

dd

Beispiel: d mm ≪ 30 GHz

dC

Maschenregel:

t,xUt,xIRdt,xIdLt,xU 2xd

2xd

2xd

t2xd

xdRdt,xIRdxdLdt,xIdLt,xUxd tx

ΟΟ

xdRxdLt,xIRt,xILt,xU tx ΟΟ

für dx IR

t

IL

x

U

IRt

IL

x

U

Also:

Am Ort x zur Zeit t:

dx x

dR dL

dCdC

x

dR dL

t,xU 2xd t,xU 2

xd

t,xQ t,xI 2xd t,xI 2

xd

Knotenregel: t,xIxdxIxIt,xQ x2xd

2xd

t

t,xIxdt,xUCdt,xUCdt,xQ xt

t

UC

x

I

t

UC

x

I

Also:

Am Ort x zur Zeit t:

dx x

dR dL

dCdC

x

dR dL

t,xU 2xd t,xU 2

xd

t,xQ t,xI 2xd t,xI 2

xd

IRt

IL

x

U

IRt

IL

x

U

t

UC

x

I

t

UC

x

I

Folgerung:

t

UCR

t

UCL

x

IR

tx

IL

x

U

2

22

2

2

t

ICR

t

ICL

tx

UC

x

I

2

22

2

2

t

ICR

t

ICL

x

I

t

UCR

t

UCL

x

U

2

2

2

2

2

2

2

2

Telegraphengleichung

Wellengleichung mit Dämpfung

2

2

2

2

2

2

2

2

t

ICL

x

I

t

UCL

x

U

Wellengleichung

Spezialfall: ideale Leiter 0R 0R

CL

1v

Phasengeschwindigkeit

Lösung: ( Tafelrechnung, Handout )

0

tωixkik

xkik

W

0

tωixkik

xkik

kdeeBeAZ

1t,xI

kdeeBeAt,xU

0

tωixkik

xkik

W

0

tωixkik

xkik

kdeeBeAZ

1t,xI

kdeeBeAt,xU

Dispersionsrelation

Wellenwiderstand (Impedanz)

kvkωω kvkωω

C

L ZW

C

L ZW

Ak ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x

Bk ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x

Flachbandkabel

d r≫2 r

Koaxialkabel

2 a2 b

rd0

0

ln

1εεπC

r

dln

π

μμL

ab0

0

ln

1εεπ2C

a

bln

π2

μμL

r

dln

ε

μ

π

Z

r

dln

εε

μμ

π

1

C

LZ 0

0

0W

a

bln

ε

μ

π2

Z

a

bln

εε

μμ

π2

1

C

LZ 0

0

0W

n

c

μεμε

1

CL

1v

00

n

c

μεμε

1

CL

1v

00

377Z0

0

εμ

0

Vakuum-Wellenwiderstand

sm8

με1 103c

00

Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

μεn Brechungsindex

1.2.2. Signalkabel

Bemerkung: Die Phasengeschwindigkeit hängt nicht von k ab. Alle harmonischen Komponenten laufen gleich

schnell im Kabel. Pulsformen bleiben erhalten. Es gibt keine Dispersion.

CL

1v Phasengeschwindigkeit:

Bemerkung: Reales Kabel, . Die harmonischen Komponenten werden k-abhängig

absorbiert. Pulsformen bleiben nicht erhalten; Pulse zerfließen. Es gibt Dispersion.

0R

Behandlung von Übergängen zwischen Kabeln (exemplarisch):

1

1

1 C

LWZ

2

2

2 C

LWZ

0 x

Puls

Harmonische Komponenten für x 0: ωCLk 11

einlaufend:

reflektiert:

xktωi0 eU

xktωi0 eUρ

Reflexionskoeffizient

xkixkitωi

ZU

xkixkitωi0

eρeeI

eρeeUU

1W

0

xkixkitωi

ZU

xkixkitωi0

eρeeI

eρeeUU

1W

0

Harmonische Komponenten für x 0:

transmittiert: xk~

tωi0 eUτ

ωCLk~

22

Transmissionskoeffizient xk~

itωiZU

xk~

itωi0

eτeI

eτeUU

2W

0

xk

~itωi

ZU

xk~

itωi0

eτeI

eτeUU

2W

0

xkixkitωi

ZU

xkixkitωi0

eρeeI

eρeeUU

1W

0

xkixkitωi

ZU

xkixkitωi0

eρeeI

eρeeUU

1W

0

xk~

itωiZU

xk~

itωi0

eτeI

eτeUU

2W

0

xk

~itωi

ZU

xk~

itωi0

eτeI

eτeUU

2W

0

Stetigkeit von U und I bei x 0 (Grund: am Übergang endlich)

C ,Lτρ1:U

ρ1τρ1:I2W2W1W Z

1Z

1Z

1

12

12

2W1W2W1W

WW

WW

Z1

Z1

Z1

Z1

ZZ

ZZρρ )(

12

2

WW

W

ZZ

Z2ρ1τ

offenes Ende: 2τ1ρZ2W

kurzgeschlossenes Ende: 0τ1ρ0Z2W

perfekte Anpassung: 1τ0ρZZ21 WW

aber I x

x 0: x 0:

1.3. Elektromagnetische Wellen im Vakuum1.3.1. Hertzscher DipolÜbergang: offener Schwingkreis

B

E

getrennt undt lokalisier B ,E

B

E B

B

tlokalisier E nur

E

B

B ,E

erfüllen den ganzen Raum

• Quasistatik versagt• Eigendynamik der Felder wird wichtig• Abstrahlung elektromagnetischer Wellen

E

B

Antenne(Sender / Empfänger)

Dämpfung:1) Ohmscher Widerstand

der Antenne2) Abstrahlung elektro-

magnetischer Wellen

Sender mit induktiver Energieeinspeisung:

Ungedämpfter Oszillator

0

Energie L12

L

0 Resonanzfrequenz ?

Wechselstromleitung in Antenne (Dämpfung vernachlässigt):

Telegraphengleichung & Randbedingungen

zksinet,zI

zkcoseUt,zU 2π

W

0 tωi

ZU

tωi0

zksinet,zI

zkcoseUt,zU 2π

W

0 tωi

ZU

tωi0

Tafelrechnung

mit m ℕ

nL2

cmν

Ln

cπmω

m

L2λ

L

πmk

nL2

cmν

Ln

cπmω

m

L2λ

L

πmk

z

0

μεn ZW

L

Kontinuitätsgleichung

zkcoseρt,zUCt,zUcZ

nt,zρ tωi

0

UCρ

W

00

zkcoseρt,zUCt,zUcZ

nt,zρ tωi

0

UCρ

W

00

Tafelrechnung

Linienladungsdichte

epeρtp tωi0

ρptωi

π

L20

2π

2L200

2

2

epeρtp tωi0

ρptωi

π

L20

2π

2L200

2

2

Tafelrechnung schwingender Dipol

Hertzscher Dipol

Anschauliches mikroskopisches Modell:

feste Ionenrümpfe (Gesamtladung Q)

frei bewegliche Elektronen (Gesamtladung

Q)

L

Dipolnäherung Bewegung der Ladungsschwerpunkte

d0

tωi0 edQtp

d0 ist sehr viel kleiner als L

d0 ist sehr viel kleiner als L

Abstrahlung elektromagn. Wellen vom Hertzschen Dipol ( Theorie VL)

t

BErot

t

BErot

t

E

c

1jμBrot

20

t

E

c

1jμBrot

20

wechselseitige

Anregung

jμ0

jμ0

Dynamik des Stromflusses

(Quasistatik)

r

1B ,E

3

Nahfelder:

E- und B-Feld 90 phasenverschoben

Eigendynamik der Felder r

1B ,E

Fernfelder:t

E

c

12

t

E

c

12

E- und B-Feld phasengleichdominant für r » d0

Tt 21 Tt 21 Tt 4

3 Tt 43

Tt 81 Tt 81 Tt 4

1 Tt 41 Tt 8

3 Tt 83

Zeitentwicklung des E-Feldes

Zeitentwicklung des E-Feldes

Tt 87 Tt 87 Tt Tt

…

E- und B-Fernfelder

E

B

Qualitative Eigenschaften der Fernfelder:z

0

tp

rB

-Feld konzentrisch um Dipolachse

(max. in Äquatorialebene)

mittlere Energiestromdichte

mittlere abgestrahlte Leistung

Abstrahlcharakteristik

sin|B|

sin|E| , rE , BE

(max. in Äquatorialebene)

r

sin

cεπ61

ωpS,S

2

2

30

2

420

r

sin

cεπ61

ωpS,S

2

2

30

2

420

cεπ6

ωpP

30

420

cεπ6

ωpP

30

420

z

S

Abstrahlung 4

senkrecht zur Dipolachse

Strahlung in großem Abstand von der Sendeantenne, r » d:

Krümmung der Phasenflächen zu vernachlässigen Ebene Wellen, Polarisation ∥ e

Strahlung senkrecht zur Antenne (x-Richtung):

z

S

e

x

y

z

xktωi0 eeEt,xE

y

xktωic

E eet,xB 0

E

B

1.3.2. Abstrahlung einer beschleunigten Ladung

Interpretation

q

a Momentaufnahme eines

Hertzschen Dipols

q

a

Antenne

Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger

Beschleunigte Ladungen strahlen (in ihrem Ruhesystem) e.m.-Wellen aus (Dipolstrahlung mit Beschleunigungsrichtung als Dipolachse)

S

q

av

0v

0

q

v

cv

c

a

q

a

v cv c

1

1γ

θ

1

2

2

cv

1

1γ

θ

1

2

2

cv

Anwendung: Röntgenstrahlung

e

VakuumröhreGlühkathode Anode

Röntgenstrahlen (X-Rays) zur Patientin

Kern im Anodenmaterial

pp

nn

nn np

ppp

p

n

nnp

pnp nn

p

e,,Bremsstrahlung“

Anwendung: Synchrotronstrahlung ( Beispiel: BESSY II )

Elektronen-SynchrotronRadius typisch 100 m

ea

Synchrotronstrahlung

EB

Strahlung ist…• intensiv & eng gebündelt• kurz gepulst• breitbandig (bis X-Rays)• polarisiert

Beispiel: Himmelsblau

Streuung von Sonnenlicht an N- und O-Atomen der Atmosphäre

E

Elektronenhülle eines Atoms

Schwingung des Ladungsschwerpunkts Hertzscher Dipol

24 sinωθI

Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols

• Blau wird viel stärker gestreut als Rot blauer Himmel

• Streuung azimutal symmetrisch• Keine Streuung entlang der Dipolachse keine Streuung entlang des E-Vektors

des einfallenden Strahls

Polfilter-Anwendung in Fotografie:

• Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung

• Veränderung des Farbkontrasts

von Sonne

weißunpolarisiert

rötlichunpolarisiert

bläulichvoll polarisiert

1.3.3. Das elektromagnetische SpektrumCharakterisierung:• Frequenz• Wellenlänge• Photonenergie (Photon: Feldquant des e.m.-Feldes)

eVωνhE

mλ

Hzν

νc

π2ω

Plancksches Wirkungsquantum

h 6.6261034 Js π2h

400 nm 700 nm Violett Rot

Ultralangwelle: 1 Hz 300000 km

Ultralangwelle: 1 Hz 300000 km

kosmische Gammastrahlung: E ≲ 1014 eV 100 TeV ≳ 1020 m

kosmische Gammastrahlung: E ≲ 1014 eV 100 TeV ≳ 1020 m

1.4. Analogie: Mechanische Systeme

1.4.1. Erinnerung: Wellengleichungen

N 3: abstrakte Räume in Feldtheorie ... (x1,x2,,xN,t)

N: Dimension eines elastischen kontinuierlichen Mediums

N 2: Membran, Platte, Glocke, ... (x,y,t)

N 3: Festkörper, Flüssigkeitsvol., Gasvol., ... (x,y,z,t)

x,tN 1: Stab, Saite, ... x

x,t

Longitudinalwelle Transversalwelle

Linearer Elastizitätsbereich (Hookesches Gesetz)

Wellengleichung (isotropes Medium)

22

2

ct

x

N

1j2j

2

x

N

1j2j

2

c Phasengeschwindigkeit

Herleitung der Wellengleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip:

kj: mikroskopische Federkonstanten für den Auslenkungstyp

j

N1j1j1j xd

xdxdxdxdk

Isotrope elastische Materialkonst.

xd

xd2xd

xd1 N

22

N

21 kkη

z.B. Elastizitätsmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul

,x,xx 21 ,x,xdx 211

,xdx,x 221

k1

k2

Auslenkung t,x

dm

Massendichte:

xdρmd N

Kin. Energie:

xdρmdT N2

t21

2

t21

xdρmdT N2

t21

2

t21

Pot. Energie:

xdηxdη

dxk)x()xdx(kVd

N2N

1j21

N2

x21

N

1j

2

jxj21

2

jjj

N

1jj2

1

)(

)(

j

j][

xdρT N2

t21

xdρT N2

t21

xdηV N2

21

xdηV N2

21

Definition: c ρη c ρη

Lagrange-Funktion:

xdVTL N L

mit ][ 222

t21 cρ

L ][ 222

t21 cρ

L

xdL N L t,x ; ,, t

LLmit Lagrangedichte:

,, t kontinuierliche dynamische Variablen

t,x

gleichberechtigte Parameter

,x,xx 21 ,x,xdx 211

,xdx,x 221

k1

k2

Auslenkung t,x

dm

Massendichte:

xdρmd N

xdL N L xdL N L t,x ; ,, t

LL t,x ; ,, t

LL

Wirkung: tdxdtdLS N L

Hamiltonsches Prinzip: 0S

N

1i xit ixt

LLL

Euler-Lagrange-Gleichungen:

0 L

2N

1i i

2

i

N

1i xi

cρx

cρxx

i

L

2

2

t tρ

tρ

tt

L

ct

22

2

c

t 2

2

2

Wellengleichung

Unser Beispiel: cρ ][ 222

t21

L

Wellengleichung im isotropen Medium 22

2

ct

Allgemeine Lösung (vgl. Physik I): txkft,x txkft,x

mit Dispersionsrelation kcω ||

kcω ||

Spezielle Lösungsklassen:

et,x txki

harmonische Wellen:

Kugelwellen: N 3

N 2

tωirki

erk

et,r

erkJt,r tωi0

xr

1.4.2. Schwingende Saite

Kleine Auslenkung1

Auslenkung L L L V = SL

L

0

221

L

0

221

L

0

2 zdLzd1zd1LL zdSV

L

0

221 zdSV

L

0

221

xdηV N2

21

xdηV N2

21

Vergleich mit liefert: Sη Sη

z0 L

SS

Ruhelage

(z,t)

Spannung S (Kraft auf die Einspannung)

Saite: Masse m, Länge Lideal flexibel (keine Steifigkeit)

Lmρ Lmρ

m

LS

ρ

S

ρ

ηc

m

LS

ρ

S

ρ

ηc Phasengeschwindigkeit

Actio Reactio S Kraft zwischen benachbarten Saitensegmenten

m

LS

ρ

ηc

m

LS

ρ

ηc

Lösung der Wellengl.: Zerlegung in Superposition ebener Wellen ,ψtkωsinzksinAt,zf kkkk k0,kckω

Randbedingungen: ,2,1nkk0Lksin0t,Lz

00t,0z

Lπn

n

k

Allgemeine Lösung:

ψtωnsinzsinAt,z 1n

nLπn

n

ψtωnsinzsinAt,z 1n

nLπn

n

mit

ρS

L21

π2ω

ρS

Lπ

1

ν

ckω

Eigenschwingungen

z0 L

SS

Ruhelage

(z,t)

Spannung S (Kraft auf die Einspannung)

Saite: Masse m, Länge Lideal flexibel (keine Steifigkeit)

Lmρ Lmρ

Eigenschwingungen:

Allgemeine Lösung:

ψtωnsinzsinAt,z 1n

nLπn

n

ψtωnsinzsinAt,z 1n

nLπn

n

mit

ρS

L21

π2ω

ρS

Lπ

1

ν

ckω

Grundfrequenz

Eigenschwingungen

n 1Grundschwingung

n 21. Oberschwingung

νν1

ν2ν2

ν3ν3 n 32. Oberschwingung

1 Bauch0 Knoten

2 Bäuche1 Knoten

3 Bäuche2 Knoten

1n

nLπn

n ψtωnsinzsinAt,z

1n

nLπn

n ψtωnsinzsinAt,zAnwendung: Saiteninstrumente

a) Zupf-Anregung (Gitarre, Cembalo, Harfe, )

Anfangszustand: 0t,z

00t,z 2π

nψ

1n

Lπn

n zsinA

Fourier-Entwicklung

An ,,Frequenzspektrum”

Anschauliche Fourierentwicklung für Zupfen bei L :

0A1 groß

0A2 0A4

0A3 klein

Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt

Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt

πnβsinπβ1βn

2

h

A ,

L

cπnckω

zksintωcosAt,z

2n

nn

nn1n

n

πnβsinπβ1βn

2

h

A ,

L

cπnckω

zksintωcosAt,z

2n

nn

nn1n

n

Asymmetrisch gezupfte Saite:

0.001

0.01

0.1

1

10

1 6 11 16 21 26 31

h

An

β = 1/3

n

0.001

0.01

0.1

1

10

1 6 11 16 21 26 31

β = 1/10

n

L

h

β·L

0,z

00,z

Bewegung der gezupften Saite:

Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführtPeriode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück

Ruheposition der Saite

Ruheposition der Saite

Mittlere Auslenkung

Mittlere Auslenkung

Zeit

Auslenkung beim Bogen

• Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude

• Spektrum ähnlich zum Zupfen

b)Streich-Anregung (Geige, Cello, ) Helmholtz-Bewegung

πnβsincπn

V2 A ,

L

cπnckω

zksintωsinAt,z

nnn

nn1n

n

πnβsincπn

V2 A ,

L

cπnckω

zksintωsinAt,z

nnn

nn1n

n

V

cAn

0.001

0.01

0.1

1

1 6 11 16 21 26 31

β = 1/3

n

0.001

0.01

0.1

1

1 6 11 16 21 26 31

β = 1/10

n

Idealfall: 00,z

LβzδV0,z

L

V

β·L

z,0φΔc) Hammer-Anregung (Klavier, ):

Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als

beim Zupfen

Cello Konzertgitarre

Problem für Musikerzeugung mit Saiten:

Saiten sind schwache Schallstrahler langer, aber sehr leiser Klang

Ausweg: mechanische Kopplung ( z.B. Steg ) an andere Schwinger (Platten, Lufthohlräume Helmoltz-Resonator , die effektiv Energie abstrahlen

1.4.3. Schwingende Membran

Kleine Auslenkung

1

Auslenkung A A A V = SA

ydxdAydxd1

dyxd1AA2

21

2

21

2

xdηV N2

21

xdηV N2

21

Vergleich mit liefert: Sη Sη

Membran: Masse m, Fläche Aideal flexibel (keine Steifigkeit)

m

AS

ρ

S

ρ

ηc

m

AS

ρ

S

ρ

ηc Phasengeschwindigkeit

Spannung: S S ds Spannkraft senkrecht auf Rand ds jedes Flächenelements

x

yEinspannungAmρ Amρ t,y,x

ydxdSV 2

21

ydxdSV 2

21

x

yEinspannung t,y,x

Wellengleichung …

yxtc

1

2

2

2

2

2

2

2

yxtc

1

2

2

2

2

2

2

2

r

1

rr

rr

1

t

c

1

2

2

22

2

2

r

1

rr

rr

1

t

c

1

2

2

22

2

2

günstig für Rechteckmembran günstig für Kreismembran

… in kartesischen Koordinaten (x , y) … in Polarkoordinaten (r , )

Errechnung der Eigenmoden durch Faktorisierungsansatz ( Tafel) :

thygxft,y,x thgrft,,r

Zusätzlich: Randbedingung durch Einspannung: 0t,Rand

ψtsinth

θyksinyg

θxksinxf

yy

xx

ψtsinth

1,,0p , θpsing

rkJrf p

Besselfunktionen

kkc

kc 2y

2x

kkc

kc 2y

2x

Fall 1: Rechteckmembranen:

x

yLx

Ly

Lösung der Wellengleichung: Superposition ebener Wellen

,ψtkωsinθyksinθxksinAt,y,xfkk,yykx,xkk

)( ||)( kckω

Randbedingungen:

,2,1m,n,,k,kk

0LksinLksin0t,L,xt,y,L

0θθ0t,0,xt,y,0

yxmn Lπm

Lπn

yx

yyxxyx

k,yk,x

2y

2

2x

2

mn

Lm

Ln

ρS

2y

2xnm

π

kkcω

Eigenfrequenzen

Allgemeine Lösung:

ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n

nmnmLπm

Lπn

nm yx

ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n

nmnmLπm

Lπn

nm yx

Eigenschwingungen

n = 1 m = 1 n = 2 m = 1

n = 1 m = 2 n = 2 m = 2

n = 3 m = 1 n = 3 m = 2

• n Bäuche in x-Richtung

• m Bäuche in y-Richtung

• n1 Knotenlinien in x-Richtung

• m1 Knotenlinien in y-Richtung

Saite: n n 1 harmonischer Klang

Membran: nicht-harmonisches Spektrum Eine schwingende Membran erzeugt keinen Klang Chladni-Muster

2y

2

2x

2

mn

Lm

Ln

ρS

2y

2xnm

π

kkcω

Eigenfrequenzen

Allgemeine Lösung:

ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n

nmnmLπm

Lπn

nm yx

ψtωsinysinxsinAt,y,x 1m,n

nmnmLπm

Lπn

nm yx

Eigenschwingungen

Fall 2: Kreismembranen: 2R

x

y

r

Randbedingung:

pnR1

pnp ξkk0RkJ 0t,,R Bezeichnung: pn n-te Nullstelle der p-ten Besselfunktion Jp (n ℕ)

,ψtωsinrkJθpsinAt,,rf kpkkk , pℕ0kcωLösung der Wellengleichung: Superposition von Kreiswellen

Allgemeine Lösung:

ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n

Rr

pnppn

ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n

Rr

pnppn

Eigenschwingungen

Eigenfrequenzen: ρS

R

ξ

pnpnpnkcω

p = 0 n = 1 p = 1 n = 1

p = 2 n = 1 p = 3 n = 1

p = 0 n = 2 p = 3 n = 2

ρS

R

ξ

pnpn

pn

kcω

ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n

Rr

pnppn

ψtωsinθpsinξJA t,,r pnpnpn0p 1n

Rr

pnppn

• n Bäuche in r-Richtung

• 2p Bäuche in -Richtung

• n1 Knotenkreislinien

• p Knotendurchmesserlinien

2,405ξ01 2,405ξ01 unharmonische Nullstellenfolge kein harmonischer Klang

Chladni-Muster

Bemerkung: Transversal schwingende (dünne) Stäbe und Platten

• Ähnlich zu Saiten und Membranen• Unterschied (1): Nichtlinearer Dispersionsrelation c c()

• Unterschied (2): Enden bzw. Rand frei / unterstützt / eingespannt

Beispiel: Stab

κt

222

2

κ

t 22

2

2

kκ 2

kκ 2

κkκk

c

κkκk

c

0xx 3

3

2

2

frei:

0x2

2

unterstützt / eingehängt:

0x

eingeklemmt:

Chladni-Muster nur qualitativ wie bei Saite / Membran

1.5. Elektromagnetische Hohlleiter und Resonatoren

1.5.1. Hohlleiter Literatur: K. Wille, ,,Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen”, TeubnerLiteratur: K. Wille, ,,Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen”, Teubner

•Hochfrequenzsysteme zur Teilchenbeschleunigung

•Mikrowellentransport

•Lichtleiter, Optoelektronik

z

Ausbreitungs-richtung ( kz )total reflektierende Wand

( z.B. idealer Leiter )

k

Wellengleichung: Zusätzlich: EE tB

tE

c1

2

2

2

Zeitseparation:

iˆt

erBt,rB,erEt,rE titi

Einsetzen mit rErBωi

rEkrE 2

rErBωi

rEkrE 2

kcω kcω

rErBωi

rEkrE 2

rErBωi

rEkrE 2

kcω kcω

Separation für Ez in : )z,r(r

2rz k

zg

zg

rf

rfzgrfrE

2ck 2

zk

Bemerkung: Randbedingung ( reflektierende Wand )

stehende Wellen rf

0k2c

Ausbreitung in z-Richtung: 1kkkk 2

2c

k

k2c

2z 1kkkk 2

2c

k

k2c

2z

1

λλ

2c

2

λλ

z

1

λλ

2c

2

λλ

z

Benennung: kc heißt Grenzwellenzahl ( für die betrachtete Mode ) ,

heißt Grenzwellenlängeckπ2

cλ

z

Ausbreitungs-richtung ( kz )total reflektierende Wand

( z.B. idealer Leiter )

k

Fall 1:

exponentiell gedämpft bzw. unphysikalisch keine Ausbreitung

zk2zcc

2zezg0kλλ,kk

0zgkzg

zgrfrE 2z

z

0zgkzg

zgrfrE 2z

z

Fall 2:

Wellenausbreitung in z-Richtung

zz2zcc φzksinzg0kλλ,kk

rErBωi

rEkrE 2

rErBωi

rEkrE 2

kcω kcω

Ausbreitung in z-Richtung: 1kkkk 2

2c

k

k2c

2z 1kkkk 2

2c

k

k2c

2z

1

λλ

2c

2

λλ

z

1

λλ

2c

2

λλ

z

0zgkzg

zgrfrE 2z

z

0zgkzg

zgrfrE 2z

z

Dispersionsrelation: 2z

2cz kkckckω

c1cv 2z

2c

z k

kkω

φ Phasengeschwindigkeit:

cv2zk

2ck2

z2c

z

z1

c

kk

kckdωd

g

Gruppengeschwindigkeit:

rErBωi

rEkrE 2

rErBωi

rEkrE 2

kcω kcω

Ausbreitung in z-Richtung: 1kkkk 2

2c

k

k2c

2z 1kkkk 2

2c

k

k2c

2z

1

λλ

2c

2

λλ

z

1

λλ

2c

2

λλ

z

Fall 2: Wellenausbreitung in z-Richtung

zz2zcc φzksinzg0kλλ,kk

Beispiel: Rechteckhohlleiter kartesische Koordinaten günstig

z

x

y

a > b

bModen Produkte ebener Wellen (vgl. Membran)

Zusätzlich (Maxwellgleichungen): 0E

0E

Einzig mögliche Amplituden-Phasen-Kombination:

ψzkcosθyksinφxksinErE

ψzksinθykcosφxksinErE

ψzksinθyksinφxkcosErE

zyx0z

zyx0y

zyx0x

z

y

x

mit: 0Ek 0

0Ek 0

,0θφ bπm

yaπn

x k,k ( n,mℕ0 )

Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor am Rand Wand

0z,b,xEz,0,xEz,y,aEz,y,0E zzzz 0z,y,aEz,y,0Ez,b,xEz,0,xE yyxx

ψzkcosysinxsinErE

ψzksinycosxsinErE

ψzksinysinxcosErE

zbπm

aπn

0z

zbπm

aπn

0y

zbπm

aπn

0x

z

y

x

0Ek 0nm

0Ek 0nm

k

k

z

bπm

aπn

nm

kk

z

bπm

aπn

nm

ψzkcosθyksinφxksinErE

ψzksinθykcosφxksinErE

ψzksinθyksinφxkcosErE

zyx0z

zyx0y

zyx0x

z

y

x

0Ek 0

0Ek 0

ψzkcosysinxsinErE

ψzksinycosxsinErE

ψzksinysinxcosErE

zbπm

aπn

0z

zbπm

aπn

0y

zbπm

aπn

0x

z

y

x

0Ek 0nm

ψzksinycosxcosBrB

ψzkcosysinxcosBrB

ψzkcosycosxsinBrB

zbπm

aπn

0z

zbπm

aπn

0y

zbπm

aπn

0x

z

y

x

0Bk 0nm

EB ωi1

EB ωi

1

EkB 0nmωi1

0

EkB 0nmωi

10

BkE 0nmωic

0

2

BkE 0nmωic

0

2

BE ωic2

BE ωi

c2

Zwei Moden-Klassen:

Transversal elektrisch: TEnm

0E z0 0E z0 0B

z0 0B z0

Transversal magnetisch: TMnm

0B z0 0B z0 0E

z0 0E z0

TE10 TE01 TE20 TE11 TE02 TE30 TM11 TM21 TM12 TM31 TM22

k

k

z

bπm

aπn

nm

kk

z

bπm

aπn

nm

Beispiel: TE10-Mode ( Fundamentalmode)

x

y

za > b

b

0rE

ψzksinxsinErE

0rE

z

zaπ

0y

x

y

0rE

ψzksinxsinErE

0rE

z

zaπ

0y

x

y

ψzksinxcosBrB

0rB

ψzkcosxsinBrB

zaπ

0z

y

zaπ

0x

z

x

ψzksinxcosBrB

0rB

ψzkcosxsinBrB

zaπ

0z

y

zaπ

0x

z

x

xa

EyBx

Bz

y

xa

bEyBx

y

z

EyBz

b

x

z

a

⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

⊙ ⊙

⊙⊙

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗ ⊗

⊗⊗

B

E

Bemerkung:

2

2

2

2

bm

an2

y2xc

mnc

2

kk

π2

k

π2λ

zb

πmaπn

nm k,,k

,λ,λ,λλba11c20c01c01c

Wahl der Frequenz derart, dass gilt:

,λ,λ,λλλ 11c20c01cν

c01c ,λ,λ,λλλ

11c20c01cνc

01c

Folge: Nur die TE10-Mode wird geleitet Mono-Moden-Leiter

Bemerkung: Zylindrische Hohlleiter

Zylinderkoordinaten

zx

y

R

TE Moden: TE11 TE21 TE01 TE31 TE41 TE12 TE51

TM Moden: TM01 TM11 TM21 TM02 TM31 TM12 TM41

Fundamentalmode p=0, n=1 für Teilchenbeschleuniger

r z zksin z φpsin

p 0 , 1 ,

φpcos zkcos z

Rr

pnpJ

n 1 , 2 ,

Rr

pnpJ

pn Nullstellen von

TEJ

TMJ

p

p

Beispiel:

Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen

TE10

(Rechteckiger Querschnitt)

Reflexionsfreier Absorber

HF-Quelle (Klystron)

Teilchenpaket (e , e , p , )

Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure”Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle

TeilchengeschwindigkeitE

TE10

TM01-Mode E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage

des Teilchenpakets

Rechteckiger Wellenleiter

Wanderwellen-Beschleunigungskavität

1.5.2. Hohlraumresonator (Hohlleiter mit ideal leitenden ,,Deckeln“)

Deckel zusätzliche Randbedingung in z stehende Wellen

Hohlleiter ohne Deckel:

ψzkcosrE

ψzksinrE

ψzksinrE

zz

zy

zx

ψzkcosrE

ψzksinrE

ψzksinrE

zz

zy

zx

Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor an Deckeln Wand

00,y,xE0,y,xE yx 0ψ 0ψ

(q ℕ0) 0L,y,xEL,y,xE yx ,k qL2

zLπq

z ,k qL2

zLπq

z

Resonanzwellenlängen R:

2z

2c

2 kkk 21

2

2

2c L

q41

λ1

Rλ

21

2

2

2c L

q41

λ1

Rλ

Resonanzfrequenzen: R R c

Sehr kleine ohmsche Verluste in Wänden Hohlraumresonator ≙ Schwingkreis extrem hoher Güte

z

x

y

L

Deckel

Deckel

Deckel

z

xy

a

b

L

DeckelBeispiel: Rechteckresonator

ψzkcosysinxsinErE

ψzksinycosxsinErE

ψzksinysinxcosErE

zbπm

aπn

0z

zbπm

aπn

0y

zbπm

aπn

0x

z

y

x

ohne Deckel Hohlleiter

21

2

2

2

2

bm

an

c 2

21

2

2

2

2

bm

an

c 2

zcosysinxsinErE

zsinycosxsinErE

zsinysinxcosErE

Lπq

bπm

aπn

0z

Lπq

bπm

aπn

0y

Lπq

bπm

aπn

0x

z

y

x

Resonator-Schwingungsmoden 2

1

2

2

2

2

2

2

L

q

bm

an

R 2λ

21

2

2

2

2

2

2

L

q

bm

an

R 2λ

,,E Lq

bm

an

0 ,,E L

qbm

an

0

TEnmq: TMnmq: 0E z0 0E

z0 0B z0 0B

z0 (TE001: Fundamentalmode)

Beispiel:

Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen

Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure”Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle

Teilchengeschwindigkeit

HF-Quelle (Klystron)

Stehende-Wellen-Beschleunigungskavität

TM01q

r z

Teilchenpaket (e , e , p , )

E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage

des Teilchenpakets

Rechteckiger Wellenleiter

E

TE10