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ELEMENTI DI PROIETTIVA

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Gli enti geometrici fondamentali sono: il punto, la retta e il piano

Gli enti geometrici fondamentali sono descritti dai postulati esistenziali (verità non dimostrabili assunte come principi base di tutta la geometria descrittiva):

Il punto non ha dimensioni

La retta è un insieme infinito di punti ed ha una sola direzione

Il piano è un insieme infinito di rette ed ha due dimensioni

È consuetudine indicare i punti con lettere maiuscole (P, A, B….), le rette con lettere minuscole (r, a, b…) e i piani con lettere dell’alfabeto greco (α, β…)

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Postulati di appartenenza I postulati di appartenenza descrivono le relazioni immediate fra enti:

1. Due punti distinti, A eB, individuano una retta

2. Due piani distinti α e β individuano una retta (αβ)

3. Tre punti non allineati individuano un piano

4. Tre piani distinti, che non appartengo alla stessa retta, individuano un punto

5. Una retta e un punto che non si appartengono individuano un piano

6. Una retta e un piano che non si appartengono individuano un punto

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Operazioni geometriche fondamentali: proiezione e sezione

Proiezione

Il centro di proiezione può essere un punto proprio, o improprio

Proiettare un punto P da un centro S significa costruire una retta che passa per entrambi e prende il nome di retta proiettante

Se proiettiamo da un centro S finito un numero qualsiasi di punti appartenenti ad un piano otteniamo un fascio di rette, se i punti proiettanti non appartengono ad un piano otteniamo una stella di rette.

Se proiettiamo da un centro S una retta r otteniamo un piano, detto anche piano proiettante.

Retta proiettante

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Fascio di rette

Stella di rette

Stella di rette e di piani

Retta punteggiata

Piano rigato e punteggiato

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SezioneL’operazione di sezione si può svolgere nel piano, ad esempio sezionando un fascio di rette, o nello spazio sezionando per esempio una stella di rette. Nel primo caso la sezione avviene utilizzando una retta e si ottiene una retta punteggiata, nel secondo caso (il più diffuso) utilizzando un piano detto piano di sezione, di proiezione, di quadro o ancora, piano iconico e si ottiene un piano rigato e punteggiato.

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Enti impropri

Lo spazio euclideo, finito, ampliato del concetto di infinito si dice spazio proiettivo. Data una retta r e un punto esterno ad essa (S) possiamo tracciare la parallela alla retta data immaginando di collegare S con un punto P che si allontana dal punto A infinitamente. Le due rette saranno parallele quando S si unirà con il punto P appartenente a r e posto all’infinito. La retta r è composta quinti di un numero infinito di punti propri e di un punto improprio. Per indicare quest’ultimo si usa il termine direzione.

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La giacitura è l’insieme delle infinite direzioni delle rette di un piano, la giacitura è detta anche retta impropria del piano e può essere giustificata con un procedimento analogo a quello appena illustrato per la direzione di una retta.(per ulteriori delucidazioni su questo argomento vedi pagg.1-19 di Docci, Migliari, La scienza della rappresentazione)

Centro di proiezione proprio S

Centro di proiezione improprio S∞

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La geometria proiettiva studia le proprietà invariantive delle figure piane sottoposte ad operazioni di proiezione e sezione.

Le proprietà proiettive sono tre:

Appartenenza, Allineamento, Incidenza

Appartenenza

Se il punto P appartiene alla retta r anche la sua immagine P’ appartiene alla proiezione r’ della retta r.

Allineamento

Se A B e C sono tre punti allineati anche le loro immagini A’,B’ e C’ sono allineate.

Incidenza

Se due o più rette complanari sono incidenti in un punto P’ anche le loro immagini sono incidenti nel punto P’.

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I FERRI DEL MESTIERE

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Occorrente per disegnare:

Carta: da schizzo, carta lucida, carta opaca (fogli formato A4 e A3) cartoncino liscio (disegno tecnico) e ruvido (disegno a mano libera)

Nastro adesivo di carta, o da carrozziere

Matite: portamine con mine da 2 mm. La durezza delle mine varia da quelle molto dure 4H, 2H a quelle dure HB, fino a quelle morbide 2B 4B

Colori: si possono usare, al posto dei pastelli tradizionali, le mine colorate. Queste ultime consentono di tracciare linee rette e sottili. Per campiture ampie e sfumate è meglio ricorrere ai pastelli o, per chi ha un minimo di esperienza, agli acquarelli.

Gomme: per cancellare la matita su fogli opachi va bene una gomma a pasta bianca, per il disegno a mano libera è meglio la gomma pane e per i dettagli la gomma/matita; per i disegni a china, sul lucido, l’unica è la lametta da barba. Dopo aver cancellato con la lametta da barba bisogna ripassare con una gomma dura e ripristinare lo strato grasso della carta con un po’ di borotalco.

Squadrette: vanno scelte di buona qualità (Vittorio Martini) e tenute nella custodia per evitare che i bordi possano sbeccarsi. Per coppia si intende una squadretta con angoli 30°, 90° e 60° e una con angoli 45°, 90° e 45°. La dotazione minima prevede una coppia di squadrette grande (25 cm circa) e una piccola (10 cm circa)

Compasso: i migliori hanno una vite che consente di regolarne l’ampiezza con la massima precisione, hanno una prolunga, per archi di cerchio molto grandi, e l’attacco per i pennini.

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Esercitazione del 4.10.2009

1. Attaccare il foglio sul tavolo con il nostro adesivo di carta

2. Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)

3. Realizzare una serie di rette verticali distanti 1 cm

4. Realizzare, sullo stesso foglio una serie di rette orizzontali distanti 1 cm

5. Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)

6. Realizzare una serie di rette inclinate a quarantacinque gradi rispetto il bordo del foglio e distanti 1 cm

7. Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)

8. Realizzare 36 rette verticali disposte alla stessa distanza l’una dall’altra

9. Ridurre, con il compasso, il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)

10. Realizzare delle rette orizzontali distanti 1.27 cm l’una dall’altra

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Prendendo spunto da questa immagine realizzare sedici differenti tipi di texture a mano libera

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Ritagliare nove quadrati aventi il lato di 2 cm e provare a realizzare una composizione grafica astratta….

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Lavoro da fare a casa:

Stampare il Programma, e praticare un foro nei punti indicati in copertina; fissare i fogli con piccoli anelli …

Se non trovate gli anelli fissate i fogli con delle piccole clips

Scaricare la foto realizzata in aula, stamparla formato 20 X 20 e inserirla nel programma

Ritagliare l’autoritratto in formato 20 X 20 e inserirlo nel programma

Inserire nel Programma del corso le esercitazioni fatte in aula

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Raccogliere il materiale relativo al tema assegnato10 immagini di panorami reali (riportare per ognuno la località e la nazione)3-5 descrizioni letterarie (di autori importanti!)Vi suggerisco alcuni nomi:Spazio: Isaac Asimov, Notturno ; Verne, Nuvole:vedi De Andrè, Le Nuvole, Luigi Ghirri (è un fotografo), Quasi niente; Aristofane, Le nuvole;la nuvola può essere anche quella atomica, quella minacciosa dei temporali…Foreste: Calvino, Il barone rampante; Fiume: Lago: Manzoni…(vedi anche la ragazza del Lago è un film) oppure le descrizioni fiabesche…Mare: Pedrag Matvejevic, Il Mediterraneo, Garzanti, 1992 , Sciascia, Il mare color del vino; Deserto: Italo Calvino, Collezione di sabbia, Mondatori, 1990 3-5 immagini tratte da film

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Rispondete intuitivamente alle domande seguenti e provate a graficizzare la risposta1. Il luogo assegnato può essere rappresentato più facilmente da: punti, linee, o superfici?(se può essere esemplificato da linee definire se queste sono orizzontali o verticali, se sono rette, spezzate o linee sinuose. Per i piani la differenza può essere fatta fra superfici piane, superfici composite (composte da più piani) superfici ondulate.)2. Qual è il colore prevalente? È piatto o presenta sfumature?Prova a campionarlo: inserisci più tessere relative al colore o ai colori che rappresentano il sito.3. Quali aggettivi puoi usare per definire la materia che lo compone?Ruvida/lisciaCompatta/scioltaDura/morbidaFredda/caldaSolida/fluidaTrasparente/opaca …4. Che tipo di luce lo illumina?Abbagliante, flebile, opaca, scomposta, uniforme, puntuale …