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ESTATÍSTICA

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UDI - ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Ass 04: SEPARATRIZES E MODA

ESTATÍSTICA

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OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Calcular as principais separatrizes;

• Calcular a Moda Bruta;

• Interpretar as principais separatrizes;

• Calcular a moda de DF pelos critérios de Czuber e Pearson;

• Comparar graficamente os valores da Média, da Mediana e da Moda;

• Utilizar-se de dados estatísticos na tomada de decisão.

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SUMÁRIO1 - Separatrizes

2 - Cálculo das Separatrizes

3 - Mediana

4 - Moda

5 - Comparação entre Mo, Md e

6 - Uso do Computador

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1 - SEPARATRIZESSão os valores da variável aleatória que

dividem a série ORDENADA de dados em partes IGUAIS.

• Mediana (Md)

• Quartis (Qi i = 1, 2 e 3)

• Decis (Di i = 1, 2, ..., 9)

• Percentis ou Centis

(Pi = Ci i = 1, 2, ..., 99)

PRINCIPAISSEPARATRIZES

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6Mediana

50% 50%

Md = 7,5

Q1

25% 25%Q3

25% 25%

Q2 = 7,5

Q1 = 3,75 Q3 = 11,25

Q3 = P75Q1 = P25

Q2 = P50 = Md = D5

Suponha o fenômeno em um rol (crescente), representado por esta régua milimetrada.

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1,68 m 1,69 m 1,72 m 1,76 m 1,78 m 1,79 m 1,81 m

Emd = 4o Mediana = 1,76 m

Qual a altura mediana do grupo de

7 pessoas com essas alturas?

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1,68 m 1,69 m 1,72 m 1,76 m 1,78 m 1,79 m

Emd = 3o ou 4o ? Mediana = ?

Qual a altura mediana do grupo de

8 pessoas com essas alturas?

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SUMÁRIO1 - Separatrizes

2 - Cálculo das Separatrizes

3 - Mediana

4 - Moda

5 - Comparação entre Mo, Md e

6 - Uso do Computador

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2 - Cálculo das Separatrizes

2.b - Cálculo para dados em classes.

2.a - Cálculo para dados brutos.

Duas são as rotinas de cálculo:

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2.a - Cálculo para dados brutos

O cálculo, neste caso, é baseado na separatriz Percentil.

Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às demais separatrizes, aplicam-se as correspondências entre elas e os Percentis.

Ex: Md = P50 ; Q3 = P75 ; D2 = P20 ; ....

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2.a - Cálculo para dados brutos

A rotina de cálculo baseia-se na figura abaixo:

Ordem na série

Posição %

1o 2o xo no

100 %

p%

0%

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2.a - Cálculo para dados brutos

Ordem na série

Posição %

1o 2o xo no

100 %

p%

0%

0% - p%

1 -x

% 0 - % 100

1 - n

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0% - p%

1 -x

% 0 - % 100

1 - n

1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o

Exemplo 1: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79 ; 1,81}

Posição %

100 %

0% Ordem na série

Emd = xo = 4o

Md = 1,76

50 %

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0% - p%

1 - x

% 0 - % 100

1 - n

1o 2o 3o 4o 5o 6o

Exemplo 2: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79}

Posição %

100 %

0%Ordem na série

Emd = xo = 3,5o

Md = (1,72 + 1,76)/2 = 1,74 m

50 %

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0% - p%

1 - x

% 0 - % 100

1 - n

1o 2o 3o 4o 5o 6o

Exemplo 3: Calcule Q3 das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79}

Posição %

100 %

0 % Ordem na série

EQ3 = xo = 4,75o

Q3 = 1,76 + 0,75 (1,78 - 1,76) = 1,775 m

75 %

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2.b - Cálculo p/dados em classes

O cálculo, neste caso, é baseado na Hipótese Básica da Tabulação.

Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às separatrizes, são feitas interpolações lineares dentro da classe identificada como possuidora do valor da ordem desejada.

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Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Mediana.

Classes (kg) Fi Fai

59 | 63 3 3

63 | 71 14 17

71 | 83 22 39

83 | 90 6 45

45

1) Emd = 45/2 = 22,5o

2) Classe da Mediana:

71 | 83

3) Será o (22,5 - 17) = 5,5o valor da classe

22 __ 12 kg (83 - 71)

5,5 __ x kg

4) Md = 71 + x = 74 kg

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Fórmula Genérica

n r p F

F - p h l S

k

1 - kakkp

Sp = valor procurado para a separatrizk = número de ordem da classe da separatriz

lk = limite inferior da classe da separatriz

hk = amplitude da classe da separatriz

p = posição (ordem) do elemento separatriz

r = razão de divisão da separtriz

n = total de observações

Onde

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Fórmula Genérica

n r p

F

F - p h l S

k

1 - kakkp

p/ Quartis (Qi i = 1, 2 e 3) .......... r = i / 4

p/ Decis (Di i = 1, 2 , ... e 9) ....... r = i / 10

p/ Percentis (Pi i = 1, 2 , ... e 99) r = i / 100

p/ Mediana (Md) ........................... r = 1 / 2

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Ex. 2: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Md e o P82 usando a fórmula genérica

Classes (kg) Fi Fai

59 | 63 3 3

63 | 71 14 17

71 | 83 22 39

83 | 90 6 45

45

1) Md

n r p

F

F - p h l S

k

1 - kakkp

p= 45/2 = 22,5 k = 3

kg 74 22

17 - 22,5 12 71 Md

2) P82

p= 0,82 x 45 = 36,9 k = 3

kg 81,8545 22

17 - 36,9 12 71 P82

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SUMÁRIO1 - Separatrizes

2 - Cálculo das Separatrizes

3 - Mediana

4 - Moda

5 - Comparação entre Mo, Md e

6 - Uso do Computador

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3 - Mediana (Md)

• É o valor do meio da série ordenada.

• Divide a série em duas partes, sendo maior (ou igual) que uma metade dos valores e menor (ou igual) à outra metade.

Já sabemos que a Md:

Mas tem mais

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3 - Mediana (Md)• Divide o histograma em duas áreas iguais.

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44

2

1 1 1

Média = (2 + 2 + 6 + 14 + 26) / 5 = 10

Md = 6

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25Média = (2 + 2 + 6 + 14 + 126) / 5 = 30

Md = 6

• Na presença de valores discrepantes (muito altos ou muito baixos), torna-se mais representativa que a média.

0 4 8 12 16 20 24 28 32 124 128

2

1 1 1

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SUMÁRIO1 - Separatrizes

2 - Cálculo das Separatrizes

3 - Mediana

4 - Moda

5 - Comparação entre Mo, Md e

6 - Uso do Computador

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4 - Moda (Mo)

Moda de uma série de dados é o valor que ocorre com maior freqüência.

OBS: A Moda pode não existir e, existindo pode não ser única. Em virtude disto, a série pode ser classificada quanto a Moda em: AMODAL, UNIMODAL, BIMODAL ou MULTIMODAL.

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4 - Moda (Mo)4.a - Moda para dados brutos:

Neste caso a Moda é obtida por observação direta da série ou com o uso de planilhas eletrônicas (para grandes massas de dados).

X = { 2, 3, 4, 4, 6, 18 }

Y = {3, 3, 4, 4, 6,18 }

Z = { 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6 }

Mo = 4 (Unimodal)

Mo = 3 e 4 (Bimodal)

Amodal

Exemplos:

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4 - Moda (Mo)4.b - Moda para dados em classes:

Neste caso a Moda só pode ser obtida através de aproximações. As mais conhecidas aproximações são:

• Moda Bruta (MoB)

• Moda de Czuber (Mocz)

• Moda de Pearson (MoP)

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4.b - Moda para dados em classes:

• Moda Bruta (MoB)

• Moda de Pearson (MoP)

É a aproximação mais rudimentar. A Moda é admitida como sendo o ponto médio da classe com maior freqüência (classe modal).

É uma aproximação restrita aos fenômenos moderadamente assimétricos, que são os que têm 3 0,05.

x 2 - Md 3 Mo P

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• Moda Czuber (MoCZ)

É a aproximação mais elaborada. Leva em consideração as classes vizinhas à classe modal.

1

2

Mo

h l Mo 21

1kkcz

onde:

2 = Fk - Fk + 1

k = ordem da classe modal

1 = Fk - Fk -1

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Classes (kg) Fi

59 | 63 3

63 | 71 14

71 | 83 22

83 | 90 6

45

Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Moda Bruta e a de Czuber.

• Moda Bruta (MoB)

MoB = (83 + 71)/2 = 77 kg

• Moda Czuber (MoCZ)

h l Mo 21

1kkcz

6 - 22 14 - 22

14 - 22 12 71 Mo cz

Mocz = 75 kg

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SUMÁRIO1 - Separatrizes

2 - Cálculo das Separatrizes

3 - Mediana

4 - Moda

5 - Comparação entre Mo, Md e

6 - Uso do Computador

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5 - Comparação entre Mo, Md e

Simétrica Mo = Md =

Assimétrica NegativaMo > Md >

Assimétrica PositivaMo < Md <

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SUMÁRIO1 - Separatrizes

2 - Cálculo das Separatrizes

3 - Mediana

4 - Moda

5 - Comparação entre Mo, Md e

6 - Uso do Computador

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6 - Uso do Computador

FUNÇÃO O QUE FAZ

ORDEMObtém a posição x de umdado da série de dados

PERCENTILObtém o valor que

corresponde ao percentilespecificado

QUARTILObtém os quartis para uma

série de dados

O que o Excel pode fazer por você:

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6 - Uso do Computador

FUNÇÃO O QUE FAZ

MEDCalcula a Mediana da série

de dados

ORDEMPORCENTUAL

Obtém o percentual que éultrapassado por uma

observação especificada

MODOObtém a Moda. Reconhece

apenas uma Moda.

O que o Excel pode fazer por você:

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Exemplo de uso das funções do Excel

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PRATIQUE COM OS

EXERCÍCIOS

BOA SORTE!