1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 ...· Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung

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  • Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007

    Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007

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    1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

    1.1 Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge

    • Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen

    Bedingungen beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit mindestens 2 möglichen

    (bekannten) Ergebnissen. Es ist nicht bekannt bzw. ungewiss, welches Ergebnis

    eintreten wird, d.h. es kann nicht exakt vorausgesagt werden.

    (Bsp.: Werfen eines Würfels oder einer Münze)

    • Elementarereignisse = einzelne, nicht mehr zerlegbare und sich gegenseitig aus-

    schließende Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

    (Z.B. Zahl der Augen beim Würfel)

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    • Ereignisraum: Die Menge Ω aller n Elementarereignisse nωωω ,...,, 21 eines Zu-

    fallsexperiments stellt den Ereignisraum (Stichprobenraum) dieses Zu-

    fallsexperiments dar: { }nωωω ,...,, 21=Ω

    Voraussetzung: endlich viele oder höchstens abzählbar unendlich viele nω

    ⇔ stetiges Kontinuum

    • Zusammengesetztes Ereignis:

    Ein zufälliges Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω . Das Ereignis A ist eingetreten,

    wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments ein Element der Teilmenge A ist.

    • Ereignismenge: Alle Ereignisse eines Zufallsexperiments mit Ereignisraum Ω

    bilden die dazugehörige Ereignismenge )(ΩE .

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    1. sicheres Ereignis: Ω⊂Ω

    2. unmögliches Ereignis: Ω∅⊂

    Tritt das Ereignis A immer ein, wird es mit Ω=A bezeichnet; tritt es niemals ein wird

    es mit ∅=A bezeichnet.

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    1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfungen

    • Wenigstens eines der beiden Ereignisse A oder B (oder beide) treten ein: BA ∪

    (Vereinigung).

    • Gemeinsam auftretende Ereignisse: sowohl A als auch B müssen eintreten:

    BA ∩ (Durchschnitt)

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    • Komplementärereignis: Das Komplementärereignis A tritt genau dann ein, wenn

    A nicht eintritt (Negation): A\: Ω=A , d.h. A und A sind komplementär zuein-

    ander

    Es gilt: ∅=∩ AA und Ω=∪ AA

    AA = , ∅=Ω und Ω=∅

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    • Differenz B\A : Das Ereignis A ohne das Ereignis B :

    • Disjunkte Ereignisse: Falls A und B niemals gleichzeitig eintreten können,

    ∅=∩ BA , dann gelten die Ereignisse als disjunkt (unvereinbar), d.h. sie schließen

    sich gegenseitig aus.

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    • Implikation: Das Ereignis A enthält das Ereignis B : AB⊂ ( B impliziert A )

    Da das Ergebnis eines Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar, aber man kann mög-

    lichen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten (reelle Zahlen) zuordnen:

    ℜ→EP : (reellwertige Funktion)

    )(: APAP →

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    Regeln für Ereignisoperationen:

    ABBA ∪=∪ bzw. ABBA ∩=∩ Kommutativgesetze

    CBACBA ∪∪=∪∪ )()( bzw. CBACBA ∩∩=∩∩ )()( Assoziativgesetze

    )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪

    bzw. )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ Distributivgesetze

    BABA ∩=∪ bzw. BABA ∪=∩ De Morgansche Regeln

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    1.3 Wahrscheinlichkeitsbegriffe

    • Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace (klassische Wahrscheinlich-

    keit): Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A ist die Anzahl der

    (günstigen) Fälle in denen A eintritt im Verhältnis zu allen möglichen Fällen. (Ach-

    tung: Setzt die Gleichwahrscheinlichkeit für das Eintreten aller möglichen Fälle

    voraus.)

    Ω ==

    ElementederAnzahl

    AElementederAnzahl

    AusgängemöglichenderAnzahl

    AusgängegünstigenderAnzahl AP :)(

    Rechtfertigung: Prinzip des unzureichenden Grundes

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    • Definition der Wahrscheinlichkeit nach von Mises (statistische Wahrscheinlich-

    keit): Nach n-maligem Durchführen eines Zufallsexperiments konvergiert die

    relative Häufigkeit ( )Af bei sehr großen n gegen die statistische Wahrscheinlich-

    keit des Auftretens von A , )(AP :

    ( ) ( )AfAP n ∞→

    = lim bzw. ( ) ( )( ) 0lim =>− ∞→

    εAPAfP n

    Bsp.: Würfel wird 3000mal hintereinander geworfen. Es interessiert die Anzahl der

    Sechser:

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    Anzahl der Würfe Absolute H. der

    Augenzahl 6 Relative Häufigkeit

    der Augenzahl 6

    1 1 1,00000

    2 1 0,50000

    3 1 0,33333

    4 1 0,25000

    5 2 0,40000

    10 2 0,20000

    M M M

    3000 560 0,16867

    Konvergenz der relativen Häufigkeit wird als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet.

    ( )Af wird dann als Näherungswert oder Schätzwert P̂ für die gesuchte

    Wahrscheinlichkeit )(AP verwendet

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    • Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff

    Risikosituation A: Man erhält 1000 EUR mit Wahrscheinlichkeit p .

    Man erhält 0 EUR mit Wahrscheinlichkeit p−1 .

    Risikosituation B: Man erhält 1000 EUR, wenn DAX innerhalb nächsten

    drei Monate um 100 Punkte steigt.

    Wenn nicht, geht man leer aus.

    • Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogorov

    Axiom 1 (Nichtnegativität): ( ) 0≥AP für jedes EA∈ . P(A) ist eine nichtnegative

    reelle Zahl.

    Axiom 2 (Normierung): Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: ( ) 1=ΩP

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    Axiom 3 (Additivität): ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪ , falls ∅=∩ BA (Additionsregel für

    disjunkte Ereignisse).

    Für die Ereignismenge E muss gelten:

    (1) E∈Ω (s