1

§1. Hulga mõiste. Alamhulk

Hulk on matemaatikas algmõiste, mida ei defineerita üldisemate mõistete kaudu. Samasugused

algmõisted on tavalises käsitluses ka naturaalarv, punkt, sirge. Seega järgnev piiritlus pole rangelt

võttes definitsioon. Aga ta selgitab mõnesid momente, mida on vaja konkreetsete hulkade

määratlemisel ja hulkadega opereerimisel õigesti mõista.

Hulga all mõistetakse üksteisest erinevate objektide kogumit, mida vaadeldakse ühe tervikuna ja kus

iga objekti korral on võimalik üheselt kindlaks määrata, kas ta kuulub antud hulka.

Hulka kuuluvaid objekte nimetatakse selle hulga elementideks.

Mõned näited hulkadest:

1) Kõigi naturaalarvude hulk

2) Võrrandi x4 + 2x

3 – 3 = 0 kõigi lahendite hulk

3) Tähestikus {a, b, c} moodustatavate mittetühjade (lõpliku pikkusega) sõnade hulk

4) Kõigi süntaktiliselt korrektsete Pythoni programmide hulk

5) Lõiku [0, 1] kuuluvate reaalarvude hulk

6) Lõigul [0, 1] pidevate reaalarvuliste funktsioonide hulk

7) Kõigi kaheelemendiliste naturaalarvuhulkade hulk

Hulki tähistame tavaliselt suurte ladina tähtedega 𝐴, 𝐵, 𝐶 jne, elemente väikeste tähtedega. Aga kui

hulga elemendid on omakorda hulgad (vt näide 7), siis me sellest kinni pidada ei saa. Mõnede

arvuhulkade jaoks on välja kujunenud standardsed tähistused. Tavaliselt tähistatakse

- naturaalarvude hulka tähega 𝑁,

- täisarvude hulka tähega 𝑍,

- ratsionaalarvude hulka tähega 𝑄,

- reaalarvud hulka tähega 𝑅 ja

- kompleksarvude hulka tähega 𝐶.

Mõnikord kasutatakse nende tähiste jaoks ka erilist fonti või paksu kirja, näiteks ℕ või 𝑵.

Kui element a kuulub hulka 𝐴, siis kirjutame 𝑎 ∈ 𝐴, vastasel korral 𝑎 𝐴. Näiteks

2 ∈ 𝑍, 𝑍, ∈ 𝑅.

Elementide erinevuse nõue hulga mõiste määrangus tähendab, et hulgas ei saa olla mitut elementi,

mida loeme omavahel võrdseteks. Näiteks ei saa rääkida hulgast, mis koosneb kahest punasest ja

kolmest sinisest kuulikesest, kusjuures punaseid kuule omavahel ja siniseid kuule omavahel loeksime

ühesugusteks. Võrrandi (x – 1)2 = 0 lahendite hulgas on üks element, mitte kaks võrdset arvu 1. Koos

kordsusega vaadeldavate kogumite jaoks on matemaatikas olemas multihulga mõiste, mida me selles

kursuses ei käsitle.

Hulga elemendiks olemise/mitteolemise ühesuse nõue välistab häguselt piiritletud hulkade

moodustamise. Näiteks ei saa defineerida kõigi Eestimaa piirides kasvavate puude hulka, sest mõnede

objektide korral pole selge, kas on tegemist puuga, ja mõnede korral arvatavasti ka see, kas ta asub

Eestimaal.

2

Hulki saab esitada mitmel erineval viisil. Kõige otsesem viis on hulga esitamine elementide loendina,

kus hulga elemendid on paigutatud loogelistesse sulgudesse. Sealjuures võib ühese arusaadavuse nõuet

rahuldada nii kõiki elemente sisaldav kui ka osaline nimekiri:

1) 𝐴 = {1, 2}

2) 𝐵 = {1, 2, 4, … , 1024}

3) 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, … , ℎ}

4) 𝐷 = {3, 6, 9, 12, … }

Hulga elementide loendi esitamise asemel võib hulga määrata ka temasse kuulumise tingimuse abil.

Näiteks

1) 𝐴 = {𝑥 | 𝑥2 – 3𝑥 + 2 = 0}

2) 𝐵 = {2𝑛 | 𝑛 ∈ 𝑁 𝑗𝑎 0 𝑛 10}

3) 𝐷 = {3𝑛 | 𝑛 ∈ 𝑁 𝑗𝑎 𝑛 > 0}

Erinevates allikates pannakse siin elemendi üldkuju ja tingimuste vahele püstkriips või koolon.

Mitmetes matemaatika ja informaatika valdkondades on kasutusel veel spetsiifilised tähistused.

Näiteks kasutatakse intervallide jaoks matemaatilises analüüsis sulge:

[𝑎, 𝑏] = {𝑥 | 𝑎 𝑥 𝑏},

(𝑎, 𝑏] = {𝑥 | 𝑎 < 𝑥 𝑏} jne.

Def. Kahte hulka A ja B loetakse võrdseteks ja kirjutatakse A = B, kui hulgad A ja B koosnevad

samadest elementidest:

A = B x [ x ∈ A x ∈ B ].

Näiteks annab ruutvõrrandi lahendamine tulemuseks, et {𝑥 | 𝑥2 – 3𝑥 + 2 = 0} = {1, 2}.

Kui hulk määratakse temasse kuulumise tingimusega, siis võib juhtuda, et tingimust ei rahulda ükski

objekt.

Näiteks võime ruutvõrrandi reaallahendite hulga panna kirja kujul

{𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑅 𝑗𝑎 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0}, aga mõnede kordajate 𝑎, 𝑏 ja 𝑐 korral lahendid puuduvad.

Def. Tühjaks hulgaks ehk tühihulgaks nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi.

Tühja hulka tähistatakse sümboliga .

Näide. {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑅 𝑗𝑎 𝑥2 + 5 = 0} = .

Tühja hulga võime määrata tingimusega, mida ei rahulda ükski objekt, näiteks:

= {𝑥 | 𝑥 𝑥}.

Paljudes matemaatika ja informaatika valdkondades on olemas selline hulk, et uurimise objektiks on

peamiselt selle hulga elemendid ja alamhulgad ning nende vahel defineeritud seosed, tehted ja

funktsioonid. Näiteks kooliaritmeetikas võib niisugune hulk (sõltuvalt klassist) olla naturaalarvude

3

hulk või täisarvude hulk, geomeetrias tasandi või ruumi kõigi punktide hulk, matemaatilises analüüsis

kõigi reaalarvude hulk, võrrandite uurimisel kõigi kompleksarvude hulk jne. Hulgateoorias

nimetatakse sellist hulka universaalhulgaks. Selles konspektis tähistame universaalhulka tähega 𝑈.

Kui vaatluse all on ainult hulga 𝑈 elemendid, siis võime hulka 𝑈 kulumise tingimuseks kirjutada

tingimuse, mida rahuldab iga objekt 𝑥:

𝑈 = {𝑥 | 𝑥 = 𝑥}.

Def. Hulka 𝐴 nimetatakse hulga 𝐵 alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse 𝐴 ⊆ 𝐵, kui kõik

hulga 𝐴 elemendid kuuluvad ka hulka 𝐵, st

𝐴 ⊆ 𝐵 𝑥 [ 𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 ].

Kui hulk 𝐴 on hulga 𝐵 alamhulk, siis nimetatakse hulka 𝐵 ka hulga 𝐴 ülemhulgaks ja kirjutatakse

𝐵 ⊇ 𝐴.

Näiteid:

1) (0, 1) ⊆ [0, 1] 2) Hulgal {a} on järgmised kaks alamhulka: ∅ ja {𝑎}.

3) Hulgal {𝑎, 𝑏} on järgmised alamhulgad: ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}. 4) Kui hulgas 𝐴 on 𝑛 elementi, siis sellel hulgal on 2𝑛 erinevat alamhulka.

Hulkade sisalduvusseosel ⊆ on järgmised põhiomadused.

1. Refleksiivsus: iga hulga 𝐴 korral 𝐴 ⊆ 𝐴.

2. Antisümmeetrilisus: kui 𝐴 ⊆ 𝐵 ja 𝐵 ⊆ 𝐴, siis 𝐴 = 𝐵.

3. Transitiivsus: kui 𝐴 ⊆ 𝐵 ja 𝐵 ⊆ 𝐶, siis 𝐴 ⊆ 𝐶.

4. Tühi hulk on iga hulga alamhulk.

Tõestuseks kontrollime, et alamhulga/võrduse definitsioonis nõutud tingimus on täidetud.

Antisümmeetrilisuse omadust kasutatakse sageli siis, kui on vaja tõestada, et kaks hulka on võrdsed, st

võrduse tõestamiseks tõestatakse, et kumbki hulkadest on teise hulga alamhulk.

Hulga 𝐴 kõigi alamhulkade hulka tähistatakse tavaliselt 𝑃(𝐴):

𝑃(𝐴) = {𝑋 | 𝑋 𝐴}.

Def. Hulka 𝐴 nimetatakse hulga 𝐵 pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse 𝐴 ⊂ 𝐵,

kui hulk 𝐴 on hulga 𝐵 alamhulk ja 𝐴𝐵.

Seda seost tähistame 𝐴 ⊂ 𝐵. Samuti võib öelda, et 𝐵 on 𝐴 pärisülemhulk ja kirjutada 𝐵 ⊃ 𝐴.

Näiteid:

1) Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused 𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅 ⊂ 𝐶.

2) Kui 𝑎 < 𝑏, siis (𝑎, 𝑏) ⊂ (𝑎, 𝑏] ⊂ [𝑎, 𝑏].

4

Märkus. Seoste 𝐴 ⊆ 𝐵 ja 𝐴 ⊂ 𝐵 vahekord on analoogiline arvudevahelise mitterange ja range

võrratusega. Mõnedes raamatutes, kus osahulgaks või pärisosahulgaks olemisel pole vaja täpset vahet

teha, kasutatakse 𝐴 ⊆ 𝐵 tähenduses tähistust 𝐴 ⊂ 𝐵.

§2. Tehted hulkadega

Selles paragrahvis defineerime hulkade ühendi, ühisosa, vahe, sümmeetrilise vahe ja hulga täiendi

ning vaatleme nende tehete omadusi.

2.1. Hulkade ühend

Def. Hulkade 𝐴 ja 𝐵 ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka 𝐴𝐵, mille moodustavad kõik

elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte hulkadest 𝐴 ja 𝐵, st

𝐴 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 }

Näiteid:

1) {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑜, 𝑢} 2) [0, 1) (0, 1] = [0, 1] 3) {𝑥 𝑁 | 𝑛 on algarv ja 𝑛 10} {𝑥 𝑁 | 𝑛 on kordarv ja 𝑛 10} = {2, … , 10}

Operatsiooni omadusi

Kõikide hulkade 𝐴, 𝐵, 𝐶 korral kehtib:

1. 𝐴𝐴𝐵 ja 𝐵𝐴𝐵,

2. 𝐴𝐴 = 𝐴 (idempotentsus),

3. 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 (kommutatiivsus),

4. 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 (assotsiatiivsus).

Tõestus. Kui kirjutame need omadused ühendi, alamhulga ja hulkade võrduse definitsioonide põhjal

lahti, siis osutub, et tegemist on ilmselt kehtivate väidetega.

Näiteks esimene sisalduvus tähendab alamhulga definitsiooni järgi, et

𝑥 [ 𝑥 𝐴 𝑥 𝐴 𝐵 ],

mis ühendi definitsiooni põhjal omakorda tähendab, et

𝑥 [ 𝑥𝐴 𝑥𝐴 𝑥𝐵 ].

Selle väite tõesus on aga ilmne, sest disjunktsiooni esimese liikme tõesusest järeldub kogu

disjunktsiooni tõesus.

Võrdused 2-4 järelduvad samasuguste omaduste olemasolust disjunktsioonil, mille kaudu ühend on

defineeritud. Näiteks ühendi kommutatiivsus tähendab hulkade võrduse definitsiooni järgi, et kehtib

𝑥 [ 𝑥 ∈ 𝐴𝐵 𝑥 ∈ 𝐵𝐴 ].

Vasakul ja paremal ühendi definitsiooni rakendades saame, et see on samaväärne tingimusega

𝑥[𝑥 ∈ 𝐴𝑥𝐵 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴],

mis aga on täidetud disjunktsiooni kommutatiivsuse tõttu.

5

Venni diagramm

Hulgateoreetilistele tehetele ja avaldistele vastavaid hulki kujutatakse tihti nn Venni diagrammide abil,

kus hulkadele vastavad joontega piiratud piirkonnad. Ühendit kujutab selline Venni diagramm:

2.2. Hulkade ühisosa

Def. Hulkade 𝐴 ja 𝐵 ühisosaks ehk lõikeks nimetatakse hulka 𝐴𝐵, mille moodustavad kõik

elemendid, mis kuuluvad nii hulka 𝐴 kui hulka 𝐵, st

𝐴𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 𝐴 & 𝑥 𝐵 }.

Näiteid:

1) {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑎, 𝑒}

2) [0, 1) (0, 1] = (0, 1) 3) {𝑥 𝑁 | 𝑛 on algarv} {𝑥 𝑁 | 𝑛 10} = {2, 3, 5, 7}

Operatsiooni omadusi

Kõikide hulkade A ja B korral kehtib:

1. 𝐴 𝐵 𝐴 ja 𝐴𝐵 𝐵,

2. 𝐴𝐴 = 𝐴 (idempotentsus),

3. 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 (kommutatiivsus),

4. 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵) 𝐶 (assotsiatiivsus).

Analoogiliselt ühendi omadustega taanduvad ühisosa omadused definitsioonide lahtikirjutamise järel

konjunktsiooni vastavatele omadustele.

Ühisosa Venni diagramm on selline:

6

2.3. Hulkade vahe

Def. Hulkade 𝐴 ja 𝐵 vaheks nimetatakse hulka 𝐴\𝐵, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad

hulka 𝐴, aga ei kuulu hulka 𝐵, st

𝐴\𝐵 = { 𝑥| 𝑥 𝐴 & (𝑥 𝐵) }.

Näiteid:

1) {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} \ {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔, ℎ}, 2) [0, 1) \ (0, 1] = {0}, 3) {𝑥 𝑁 | 𝑛 10} \ {𝑥 𝑁 | 𝑛 on algarv} = {0, 1, 4, 6, 8, 9, 10}.

Operatsiooni \ omadusi

1. Kõikide hulkade 𝐴 ja 𝐵 korral kehtib 𝐴\𝐵 𝐴.

2. Hulkade vahe ei ole idempotentne, kommutatiivne ega assotsiatiivne tehe.

Tõestus. Esimese kahe omaduse kehtivust näeme kohe, kui rakendame vahe definitsiooni.

On selge, et idempotentsuse asemel kehtib iga hulga 𝐴 korral hoopis 𝐴\𝐴 = .

Hulkade vahe ei ole kommutatiivne tehe, sest näiteks

{𝑎, 𝑏} \ {𝑏, 𝑐} = {𝑎}, aga {𝑏, 𝑐} \ {𝑎, 𝑏} = {𝑐}.

Vahe assotsiatiivsust kummutava kontranäite leidmise jätame lugejale.

Vahet kujutab selline Venni diagramm:

2.4. Hulkade sümmeetriline vahe

Def. Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse hulka 𝐴 𝐵, mille moodustavad elemendid,

mis kuuluvad parajasti ühte kahest hulgast 𝐴 ja 𝐵:

𝐴 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 𝐴 & (𝑥 𝐵) (𝑥 𝐴) & 𝑥 𝐵 }.

Näiteid:

1) {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑜, 𝑢},

2) [0, 1) (0, 1] = {0, 1}

7

Operatsiooni omadusi

1. 𝐴 𝐵 = (𝐴\𝐵)(𝐵\𝐴),

2. 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 (kommutatiivsus),

3. (𝐴 𝐵) 𝐶 = (𝐵 𝐶) (assotsiatiivsus).

Ka sümmeetrilise vahe põhiomaduste tuvastamiseks piisab definitsioonide lahtikirjutamisest ja saadud

tingimuste kontrollist lausearvutuse vahenditega.

Sümmeetrilist vahet kujutab selline Venni diagramm:

2.5. Hulga täiend

Kui tegeldakse mingi universaalse hulga 𝑈 elementidega, siis võivad iga konkreetse hulga 𝐴 𝑈

puhul huvi pakkuda ka sellised universaalse hulga elemendid, mis hulka 𝐴 ei kuulu. Näiteks kui

aritmeetikas on universaalseks hulgaks naturaalarvude hulk, siis koos paarisarvude hulgaga pakuvad

huvi ka paaritud arvud. Tasandi geomeetrias väidab Eukleidese viies postulaat, et igat väljaspool sirget

asuvat punkti läbib parajasti üks sirge, millel ei ole antud sirgega ühiseid punkte.

Def. Hulga 𝐴 täiendiks 𝐴’ nimetatakse hulka, moodustavad kõik need universaalse hulga elemendid,

mis ei kuulu hulka A:

𝐴’ = { 𝑥 𝑈 | 𝑥 𝐴 } = { 𝑥 𝑈 | (𝑥 𝐴) }

Näiteid:

1) Kui universaalse hulga rollis on naturaalarvude hulk, siis paarisarvude hulga täiend on

paaritute arvude hulk.

2) Kui universaalne hulk on reaalarvude hulk, siis [1,)’ = (−, 1).

Täiendi omadusi

Iga hulga 𝐴 korral kehtib:

1. 𝐴’ = 𝑈 \ 𝐴

2. 𝐴’’ = 𝐴

3. 𝐴 𝐴’ = , 𝐴 𝐴’ = 𝑈

Tühi ja universaalne hulk on teineteise täiendiks:

4. ’ = 𝑈, 𝑈 ’ =

Ka nende omaduste tõestamiseks piisab hulkadesse kuulumise tingimuste lahtikirjutamisest .

8

Kui uuritavad avaldised sisaldavad ka täiendi tehet, siis Venni diagrammil kujutatakse universaalset

hulka ristkülikuna, mille sees on avaldises esinevaid hulki kujutavad ringid. Piirkond, mis jääb

väljapoole ringe, kujutab universaalse hulga elemente, mis ei kuulu ühtegi tähega tähistatud hulka.

Täiendi diagramm näeb välja selline:

2.6. Tehete järjekord

Lugedes ühisosa võtmist korrutamisele sarnaseks ja teisi binaarseid tehteid liitmise taolisteks teheteks,

kasutame sellist prioriteedijärjekorda:

1) täiend,

2) ühisosa,

3) ühend, vahe, sümmeetriline vahe.

Mõnedes raamatutes loetakse binaarsete hulgateoreetiliste tehete prioriteedid võrdseteks ja määratakse

tehete järjekord kõikjal sulgudega.

2.7. Tehete keerulisemad algebralised omadused ja nende tõestamine/kontroll

Avaldiste lihtsustamisel ja võrdlemisel on kasulik teada tehete algebralisi omadusi. Hulgateoreetilisi

tehteid sisse tuues esitasime mõned lihtsamad omadused, mis tulenesid otseselt tehete

definitsioonidest. Näiteks ühend, ühisosa ja sümmeetriline vahe on kommutatiivsed tehted, aga vahe ei

ole (tuua kontranäide!).

Mõned samasused saame lausearvutusest otse üle võtta. Ühend, ühisosa ja täiend on defineeritud

vastavalt komponenthulkadesse kuulumise tingimuste disjunktsiooni, konjunktsiooni ja eituse abil.

Seetõttu on neil tehetel nii ühekaupa kui ka omavahelistes seostes samad omadused, mis vastavatel

lausearvutuse tehetel.

Nagu reaalarvude ja lausearvutuse jaoks, kehtivad ka hulgateoreetiliste tehete kohta mitmed

keerulisemad samasused, kus esineb korraga mitu tehet. Peale idempotentsuse, kommutatiivsuse ja

assotsiatiivsuse kehtivad mõned distributiivsuse seadused, ühtesid tehteid saab avaldada teiste kaudu

jne. Esitame siin olulisemad samasused, mida koos eelpool toodutega sagedasti kasutatakse.

1. Nagu lausearvutuses disjunktsiooni ja konjunktsiooni vahel, kehtivad ühendi ja ühisosa vahel kaks

distributiivsuse seadust. Aga ühisosa võtmine jaotub ka hulkade vahele ja sümmeetrilisele vahele.

𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶), 𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶),

𝐴 (𝐵 \ 𝐶) = (𝐴 𝐵) \ (𝐴 𝐶), 𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶).

9

2. Neelduvuse seadused

𝐴 (𝐴 𝐵) = 𝐴, 𝐴 (𝐴 𝐵) = 𝐴.

3. De Morgani seadused

(𝐴 𝐵)’ = 𝐴’ 𝐵’, (𝐴 𝐵)’ = 𝐴’ 𝐵’.

4. Vahe ja sümmeetriline vahe avalduvad ühisosa, ühendi ja täiendi kaudu:

𝐴 \ 𝐵 = 𝐴 𝐵’,

𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵’ 𝐵 𝐴’.

5. Vahe seosed teiste tehetega:

𝐴 \ 𝐵 = 𝐴 \ (𝐴 𝐵),

𝐴 𝐵 = 𝐴 (𝐵 \ 𝐴),

(𝐴 \ 𝐵) \ 𝐶 = 𝐴 \ (𝐵 𝐶).

6. Sümmeetriline vahe avaldub sümmeetriliselt 𝐴 ja 𝐵 suhtes:

𝐴 𝐵 = (𝐴 𝐵) \ (𝐴 𝐵).

Nii siintoodud nimekirjas olevate samasuste endi kui nende kehtimise tõestuste meeldejätmine on üsna

raske. Kuidas aga üldisel juhul hulgateoreetilisi samasusi tõestada/kontrollida? Selleks on olemas mitu

meetodit, mis on rakendatavad ilma iga võrduse tõestust eraldi meelde jätmata.

1. Kui avaldises esinevad hulkade tähised 𝑋1, … , 𝑋𝑛, siis saab tehete abil moodustatud avaldisega

𝐴(𝑋1, … , 𝑋𝑛) esitatud hulka kuulumise tingimuse avaldada (tehete definitsioone lahti kirjutades)

lausearvutuse tehete abil atomaarsete tingimuste 𝑥 𝑋𝑖 kaudu. Samasuse kontrolliks peame nüüd

kontrollima, et saadud valemid on lausearvutuse mõttes samaväärsed. Selleks võime kasutada

tõeväärtustabeleid või viia valemid täielikule disjunktiivsele normaalkujule.

Näide. Oletame näiteks, et soovime omavahel võrrelda kolme avaldist 𝐴 𝐵, 𝐴 𝐵 ja 𝐴 (𝐵 \ 𝐴).

Avaldame hulkadesse kuulumise tingimused atomaarsete tingimuste 𝑥 𝐴 ja 𝑥 𝐵 kaudu ning viime

tulemused täielikule disjunktiivsele normaalkujule (lisades vajadusel elementaarkonjunktsioonidesse

puuduvad liikmed).

1) 𝑥 𝐴 𝐵 𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 𝐴 &𝑥 𝐵 𝑥 𝐴 &(𝑥 𝐵) (𝑥 𝐴) & 𝑥 𝐵,

2) 𝑥 𝐴 𝐵 𝑥 𝐴 &(𝑥 𝐵) (𝑥 𝐴) & 𝑥 𝐵,

3) 𝑥 𝐴 (𝐵 \ 𝐴) 𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 \ 𝐴 𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 & (𝑥 𝐴)

𝑥 𝐴 & 𝑥 𝐵 𝑥 𝐴 & (𝑥 𝐵) (𝑥 𝐴) & 𝑥 𝐵.

Võrdlemisel näeme, et esimene ja kolmas normaalkuju ühtivad (st kehtib number 5 all esitatud teine

samasus), aga teine normaalkuju ei sisalda hulkade 𝐴 ja 𝐵 ühisosa. Järelikult kõikide hulkade 𝐴 ja 𝐵

korral kehtib 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐴 𝐵 = 𝐴 (𝐵\ 𝐴) ning kõik need hulgad on võrdsed parajasti siis, kui

𝐴𝐵 = .

10

2. Lihtsamal juhul võime võrduse kontrolliks kasutada ka Venni diagramme. Piirkonnad Venni

diagrammil on tegelikult vastavuses täielike elementaarkonjunktsioonidega normaalkujus, st nad on

„elementaarühisosad“. Kahe hulga korral on diagrammis 4 piirkonda:

Kolme hulga korral on diagrammil 8 piirkonda, mis vastavad 8-le elementaarkonjunktsioonile

(„elementaarühisosale“).

Et meie diagrammid kajastaks üldist juhtu, peavad kõik ühisosad olema joonisel esindatud mittetühja

piirkonnaga. Muidu teeme joonist kasutades lisaeelduse, et vastav ühisosa on tühi. Kui tahaksime

kolme hulga jaoks joonistatud Venni diagrammile lisada veel neljanda hulga, siis oleks meil vaja see

hulk joonistada niisuguse kujundina, mis jagab eelmisel joonisel igaühe kaheksast piirkonnast kaheks.

Seda aga enam Venni diagrammidele omase ülevaatlikkusega teha ei saa.

Diagramme koostades peame hoolitsema, et võrreldavad diagrammid moodustataks samadest

hulkadest (kui näiteks võrreldavad avaldised sisaldavad erinevat arvu hulki). Võrdlemiseks on

soovitav, et hulgad oleksid diagrammidel ühtemoodi paigutatud. Kui avaldistes ei esine täiend, siis

võib universaalset hulka kujutava ristküliku ja kõikide täiendite ühisosa joonistamata jätta, sest

kummalegi avaldisele vastav hulk ei sisalda täiendite ühisosa elemente.

Sarnaselt täielike DNK-de võrdlemisega võimaldab ka Venni diagrammide võrdlus mitte ainult

võrdust või sisaldumist demonstreerida või ümber lükata, vaid diagrammidelt võib ka välja lugeda

tarviliku ja piisava tingimuse selleks, et võrdus (sisaldumine) kehtiks. Näiteks võime hulkade ühendi

ja sümmeetrilise vahe definitsioonide järel toodud diagramme võrreldes järeldada, et

võrdus 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵 kehtib parajasti siis, kui 𝐴 𝐵 = .

11

Toome nüüd ka ühe näite kolme hulga tähiseid sisaldavate avaldiste normaalkujude ja Venni

diagrammide kohta. Siia -näide

3. Matemaatikas on tihti vaja kahe hulgateoreetilise avaldise võrdsust tõestada ka siis, kui tegemist

pole üldise samasusega, vaid võrdus kehtib vaadeldaval juhul mõne seose tõttu, mis on teada mingite

avaldistes esinevate konkreetsete hulkade kohta. Tavaliselt esitatakse siis kahe hulga A ja B võrdsuse

tõestus seose antisümmeetrilisust kasutades kahe osana, kus tõestatakse, et iga võimaliku x korral

1) kui x A, siis x B,

2) kui x B, siis x A.

Kõigi hulkade korral kehtivate sammude (hulgateoreetiliste või lausearvutuse avaldiste teisendamine

tuntud samaväärsuste abil, üleminekud hulgateoreetilistelt tehetelt lausearvutusele ja vastupidi jms)

kõrval kasutatakse tõestuse ühes või mõlemas pooles mõnel sammul ka konkreetsete hulkade kohta

teadaolevaid fakte. Muidugi võib tõestuse niimoodi kahe osana esitada ka siis, kui see koosneb ainult

kõikide hulkade jaoks kehtivatest sammudest. Näide

2.8. Hulkade hulga ühend ja ühisosa

Kahe hulga ühendi ja ühisosa definitsioone saab üldistada

- 𝑛 hulga juhule (𝑛 1),

- hulkade jadale {𝐴𝑖 | 𝑖 = 1, 2, 3, … }

- ja koguni suvalisele hulkade hulgale.

Need üldised definitsioonid rakendavad sama ideed, nagu definitsioonid kahe komponendi puhul:

ühendi moodustavad objektid, mis kuuluvad vähemalt ühte liidetavatest hulkadest, ja ühisosa need

objektid, mis kuuluvad igasse vaadeldavasse hulka.

Nii saame 𝑛 hulga (𝑛 1) ühendi ja ühisosa defineerida võrdustega

𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 = {𝑥 | 𝑥 𝐴1 𝑥 𝐴2 … 𝑥 𝐴𝑛},

𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 = {𝑥 | 𝑥 𝐴1 & 𝑥 𝐴2 & … & 𝑥 𝐴𝑛}.

Kui näiteks 𝐴𝑖 tähistab lõiku [𝑖– 1, 𝑖] ja 𝐵𝑖 lõiku [0, 1/2𝑖] (kus 𝑖 = 1, 2, 3, …), siis

𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 = [0, 𝑛] ja

𝐵1 𝐵2 … 𝐵𝑛 = [0, 1/2𝑛].

Hulkade jada A1, A2, A3, … ühendi ja ühisosa saame defineerida võrdustega

⋃ Ai = i=1 A1 A2 A3 … = {x | leidub i 1, nii et x Ai}

⋂ Aii=1 = A1 A2 A3 … = {x | iga i 1 korral x Ai}

Kui Ai ja Bi tähistavad sama mis eelmises näites, siis

A1 A2 A3 … = [0,) ja

B1 B2 B3 … = {0}.

12

Kui 𝐵 on suvaline hulk, mille elemendid on hulgad, siis saame rääkida ka hulkade hulga 𝐵 kõigi

elementide ühendist ja ühisosast:

⋃ 𝐴 = {𝑥 | leidub 𝐴 𝐵, mille korral 𝑥 𝐴}𝐴𝐵 ,

⋂ 𝐴 = 𝐴𝐵 {𝑥 | iga 𝐴 𝐵 korral 𝑥 𝐴} .

Olgu näiteks hulga B elementideks kõik hulga C üheelemendilised alamhulgad: 𝐵 = {{𝑥} | 𝑥 𝐶}.

§3. Hulkade otsekorrutis

3.1. Otsekorrutise definitsioon

Olgu 𝐴 ja 𝐵 hulgad. Vaatleme järjestatud paare (𝑎, 𝑏), kus 𝑎 𝐴 ja 𝑏 𝐵. Väga tähtis on siinjuures ka

selline juht, kus 𝐴 = 𝐵, st paaride komponendid kuuluvad ühte ja samasse hulka. Sõna „järjestatud“

tähendab siin seda, et kahte paari loeme võrdseks parajasti siis, kui vastavad komponendid on võrdsed:

Def. (𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) 𝑎 = 𝑐 & 𝑏 = 𝑑

Otsekorrutis on kõigi ülalkirjeldatud viisil moodustatud paaride hulk:

Def. Hulkade 𝐴 ja 𝐵 otsekorrutiseks ehk Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka 𝐴 𝐵, mille

moodustavad kõik järjestatud paarid (𝑎, 𝑏), kus 𝑎𝐴 ja 𝑏 𝐵:

𝐴 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 𝐴 & 𝑏 𝐵}

Matemaatikas on otsekorrutis on väga tähtis mõiste, millel põhineb koordinaatide meetod geomeetrias,

seose, kujutuse ja funktsiooni definitsioon, paljud mõisted algebras jpm. Informaatikas on

otsekorrutise mõiste aluseks relatsioonide teooriale ja väga tähtis ka graafiteoorias.

Toome siin mõned otsekorrutise näited. Näeme, et mõnes valdkonnas saab paare kirja panna ilma

sulgude ja eraldava komata.

1) {1, 2, 3} {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}.

2) Analüütilises geomeetrias seatakse igale tasandi punktile vastavusse koordinaadid – reaalarvude

paar (𝑥, 𝑦), st vaadeldakse tasandit kui kahe reaalsirge otsekorrutist.

3) Hulka 𝑍 𝑍 (kus 𝑍 on kõigi täisarvude hulk) võime vaadelda kui tasandi kõigi täisarvuliste

koordinaatidega punktide hulka.

4) Malelaua ruutude tähistamiseks seatakse neile vastavusse tähest ja numbrist koosnev paar, st

hulkade {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} ja {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} otsekorrutise element.

5) Tähestiku 𝐴 kõigi kahetäheliste sõnade hulka võime vaadelda kui otsekorrutist 𝐴 𝐴.

Kui hulgas 𝐴 on 𝑚 elementi ja hulgas 𝐵 on 𝑛 elementi, siis otsekorrutises 𝐴 𝐵 on 𝑚 𝑛 elementi, sest

otsekorrutis sisaldab iga 𝑎 𝐴 jaoks 𝑛 paari, milles 𝑎 on esimeseks komponendiks.

3.2. Otsekorrutise algebralised omadused

Otsekorrutis ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne operatsioon.

Tõestus. Juba üheelemendiliste hulkade puhul koosnevad vastavad otsekorrutised erinevatest

elementidest:

{1} {2} {2} {1}, sest {1} {2} = {(1, 2)}, aga {2} {1} = {(2, 1)};

13

({1} {2}) {3} {1} ({2} {3}), sest

({1} {2}) {3} = {((1, 2), 3)}, aga {1} ({2} {3}) = {(1, (2, 3))}.

Aga otsekorrutis distributeerub kõigi binaarsete hulgateooria tehetega:

𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶),

𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶),

𝐴 (𝐵 \ 𝐶) = (𝐴 𝐵) \ (𝐴 𝐶),

𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶).

Tõestuseks võime avaldada võrduse vasakusse ja paremasse poolde kuulumise tingimused hulkadesse

𝐴, 𝐵 ja 𝐶 kuulumise kaudu ja teisendada saadud valemi konjunktsioonide disjunktsiooniks.

Näiteks kolmanda samasuse vasakust poolest saame avaldamise järel

(𝑥, 𝑦) 𝐴 (𝐵 \ 𝐶) 𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐵 \ 𝐶 𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐵 & (𝑦 𝐶).

Paremast poolest saame vahe ja otsekorrutise definitsioone rakendades

(𝑥, 𝑦) (𝐴 𝐵) \ (𝐴 𝐶) (𝑥, 𝑦) 𝐴 𝐵 & ((𝑥, 𝑦) (𝐴 𝐶))

𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐵 & ((𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐶)).

Edasi viime eituse De Morgani seaduse abil konjunktsiooni sisse, korrutame disjunktsiooni kahe

esimese liikmega läbi ja jätame esimese konjunktsiooni ära, sest seal on 𝑥 𝐴 konjugeeritud iseenda

eitusega:

… 𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐵 & ((𝑥 𝐴) (𝑦 𝐶))

𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐵 & (𝑥 𝐴) 𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐵 & (𝑦 𝐶) 𝑥 𝐴 & 𝑦 𝐵 & (𝑦 𝐶).

Näeme, et tingimused on identsed ja järelikult samasus kehtib. Samal viisil saame tõestada ka teised

võrdused. Sümmeetria põhjal on selge, et samasuguste omadustega on ka otsekorrutis, milles ühend,

ühisosa, vahe või sümmeetriline vahe on vasakpoolne liige.

Otsekorrutise definitsiooni rakendades on ilmne, et otsekorrutis tühja hulgaga on tühi hulk:

𝐴 = , 𝐴 =

3.3. Mitme hulga otsekorrutis

Kahe hulga otsekorrutise mõistet saab üldistada 𝑛 hulgale (𝑛 1):

𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 = {(𝑎1, … , 𝑎𝑛) | 𝑎1𝐴1 & … & 𝑎𝑛 𝐴𝑛}

Järjestatud 𝑛-komponendilisi komplekte nimetatakse korteežideks, mõnikord ka vektoriteks.

Mõnikord kasutatakse korteežide jaoks ka tähistust 𝑎1, … , 𝑎𝑛.

Kõige tuntum mitmekomponendilise otsekorrutise rakendus on muidugi ruumipunktide esitamine

reaalarvuliste koordinaatide kolmikute (𝑥, 𝑦, 𝑧) abil. Relatiivsusteoorias on vaatluse all aegruum –

otsekorrutis, milles kolm esimest komponenti on ruumikoordinaadid ja neljas on aeg.

Kui otsekorrutise komponendid on võrdsed, räägitakse ka otseastmest.

14

Hulga 𝐴 𝒏-ndaks otseastmeks 𝐴𝑛 nimetatakse otsekorrutist 𝐴 … 𝐴, kus 𝐴 esineb 𝑛 korda.

Teise ja kolmanda astme korral räägitakse ka ruudust ja kuubist. Näiteks reaalarvude hulga 𝑅 otseruut

ja -kuup esitavad (koordinaatide kaudu) tasandi ja ruumi kõigi punktide hulki:

𝑅2 = 𝑅 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥, 𝑦 𝑅},

𝑅3 = 𝑅 𝑅 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) | 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑅}.

§4. Seose mõiste

4.1. Seose (relatsiooni) definitsioon

Nii matemaatikas kui väljaspool vaadeldakse tihti seoseid mingite hulkade elementide vahel. Näiteks:

1) Matemaatikas vaadeldakse seoseid „𝑥 < 𝑦“ ja „𝑥 + 1 = 𝑦“ naturaalarvude, täisarvude või

reaalarvude vahel.

2) Maksuamet tegeleb seosega „𝑥 on saanud töötasu 𝑦-lt“, kus 𝑥 kuulub Eesti elanike hulka, 𝑦 on

ettevõte või isik.

3) Panga andmebaasis on kajastatud seos „konto 𝑥 omanik on klient 𝑦“.

4) Tunnis viibimise tabel, ühel teljel kuupäevad ja teisel isikud. Kui isik on kohal, siis märgistatakse

„+“ märgiga.

5) 𝑋 = 𝑌 = 𝑅, siis seos 𝑥² + 𝑦² = 1 annab meile ringjoone.

6) Olgu 𝑋 ülikoolis õppivate tudengite hulk, siis üheks seoseks sellel hulgal on kõikide paaride (𝑥, 𝑦)

hulk, mille korral tudengil 𝑥 on sama sünniaasta, mis tudengil 𝑦.

Matemaatika ja informaatika tarbeks tuuakse sisse suvalise seose mõiste:

Def. Binaarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade 𝑋 ja 𝑌 elementide vahel nimetatakse nende

hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka 𝜌 ⊆ 𝑋 × 𝑌.

Kui (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌, siis kirjutatakse ka 𝑥 𝜌 𝑦.

Seose definitsioon samastab seose tema tõesuspiirkonnaga: meie definitsiooni mõttes on seos <

reaalarvude vahel paaride hulk {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ 𝑅 & 𝑦 ∈ 𝑅 & 𝑥 < 𝑦}, seos 𝑥² + 𝑦² = 1 aga paaride

hulk {(𝑥, 𝑦)| 𝑥² + 𝑦² = 1}.

Kuna seosed on hulgad (otsekorrutise 𝑋 × 𝑌 osahulgad), siis saab rääkida seoste ühendist, ühisosast,

vahest, täiendist hulgani 𝑋 × 𝑌. Näiteks seos 𝑥 ≥ 𝑦 on seose 𝑥 < 𝑦 täiend (loogika mõttes eitus).

Praktilistes rakendustes me ei esita seost < paaride hulgana, sest oskame selle seose kehtimist või

mittekehtimist igal konkreetsel paaril (𝑥, 𝑦) arvude 𝑥 ja 𝑦 järgi ära tunda. See on tavaliselt nii ka siis,

kui me saame vaadeldava seose avaldada tuntud seose kaudu. Majanduse jms seoste jaoks tihti

selliseid kompaktseid kirjeldusi pole ja on tõepoolest vaja andmebaasides säilitada otseselt andmeid

üksikute paaride kohta. Lõplike hulkade 𝑋 ja 𝑌 korral saab seoseid esitada vastavate paaride loendina

või tabelina. Loendina esitamine on võimalik ka siis, kui 𝑋 ja/või 𝑌 on lõpmatu, aga seos ise koosneb

lõplikust hulgast paaridest.

Seosed (relatsioonid) on väga tähtsad nii matemaatikas (eriti nn. ekvivalentsiseosed ja järjestusseosed)

kui ka informaatikas (seoste esitamine erinevate andmestruktuuride abil ja nendel struktuuridel

töötavad algoritmid, operatsioonid seostega, transitiivne sulund jne).

15

Selles kursuses me kasutame seose mõistet seose ühe erijuhu – kujutuse ehk funktsiooni mõiste

defineerimiseks.

4.2. n-aarsed seosed

Kasutatakse ka seoseid, milles on rohkem kui 2 liiget. Sellised n argumendiga seosed on hulgateooria

seisukohalt otsekorrutise alamhulgad:

Def. 𝒏-aarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋n elementide vahel nimetatakse nende

hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka

𝜌 ⊆ 𝑋1 × 𝑋2 × … × 𝑋n

Näiteks:

1) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 > 𝑣, kus 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣 ∊ 𝑅.

2) 𝑥 on saanud 𝑦-lt töötasu 𝑧 eurot.

3) Tartu Ülikooli andmebaasis on kajastatud seos „matrikli number 𝑥 kuulub õpilasele nimega 𝑦

teaduskonnast 𝑧“.

Seostega tegeldakse palju nii matemaatikas (ekvivalentsiseosed, järjestusseosed jne) kui ka

informaatikas (seoste esitamine erinevate andmestruktuuride abil ja nendel struktuuridel töötavad

algoritmid, operatsioonid seostega jne).

4.3. Pöördseos

Binaarse seose 𝜌 pöördseoseks ehk pöördrelatsiooniks nimetatakse seost

𝜌 −1 = {(𝑦, 𝑥) | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌}

Näiteid

1) Olgu 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 ja ρ reaalarvudel defineeritud range järjestuse seos <, s.o 𝜌 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 < 𝑦}.

Siis

ρ −1 = {(y, x) | (x, y) ∈ ρ} = {(y, x) | x < y} = {(y, x) | y > x},

st seose < pöördseos on seos >.

2) Olgu 𝑋 = 𝑌 = 𝑅 ja ρ reaalarvudel defineeritud võrdusseos, s. o. 𝜌 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 = 𝑦}. Siis

𝜌 −1 = {(𝑦, 𝑥) | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌} = {(𝑦, 𝑥) | 𝑥 = 𝑦} = {(𝑦, 𝑥) | 𝑦 = 𝑥},

st võrdusseose pöördseos on ta ise.

Definitsioonist näeme, et igal seosel on olemas pöördseos. Sealhulgas on pöördseos olemas ka igal

funktsioonil. Funktsiooni pöördseos ei tarvitse aga alati olla funktsioon. Järgmises paragrahvis me

uurime neid probleeme.

Kui 𝜌 ⊆ 𝑋 × 𝑌, siis 𝜌−1 ⊆ 𝑌 × 𝑋, st 𝜌−1 on seos hulkade 𝑌 ja 𝑋 elementide vahel. Paljudel olulistel

juhtudel on 𝑋 ja 𝑌 üks ja seesama hulk.

§5. Funktsioonid

5.1. Funktsiooni definitsioon

Funktsiooni mõiste on üks kesksetest matemaatikas. Pikka aega olid funktsioonid peamiselt

matemaatilise analüüsi uurimisobjektid ja vaadeldi ainult reaal- või kompleksarvudel

defineeritud funktsioone, mida saab esitada mingi (elementaarfunktsioonidest koostatud) avaldise abil.

Uuriti funktsioonide pidevust, diferentseeruvust, integreeruvust jne.

16

Ühe muutuja elementaarfunktsioonid on näiteks 𝑓(𝑥) = 6, 𝑔(𝑥) = 3𝑥, ruutfunktsioon

ℎ(𝑥) = 𝑥2, 𝑘(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥), 𝑙(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑚(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) jne. Aritmeetilised tehted ja astendamine

annavad meile viis kahe muutuja funktsiooni 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥 ∙ 𝑦, 𝑥: 𝑦 ja 𝑥𝑦. Nii ühe kui mitme muutuja

funktsioone ja konstante avaldistes kombineerides saame moodustada keerulisemaid funktsioone,

näiteks

𝑛(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(2𝑥 + 𝑙𝑛(3𝑥4 − 5𝑥 + 8)) või 𝑝(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛 3𝑥.

Matemaatilise analüüsi alastes raamatutes kirjutatakse ka praegu mõnikord, et „Funktsiooniks

nimetatakse eeskirja, mis seab hulga 𝑋 igale elemendile vastavusse hulga 𝑌 mingi elemendi“.

Informaatik võiks seda ilmselt mõista nii, et see eeskiri tähendab algoritmi (programmi), mille abil

saab argumendi väärtuse järgi leida funktsiooni väärtuse. Avaldise kujul antud funktsioonide jaoks on

sellised algoritmid tõesti olemas, aga matemaatikas vaadeldakse ka üldisemaid olukordi, kus

funktsiooni ei saa avaldada elementaarfunktsioonide kaudu ega ole olemas ka tema arvutamise

algoritmi. Tegelikult ei eelda ka matemaatilise analüüsi teoreemid mingi eeskirja olemasolu, sest

nende teoreemide tõestustes eeldust mingi eeskirja olemasolu kohta ei kasutata. Eeldatakse vaid seda,

et igale argumendi väärtusele vastab mingi funktsiooni väärtus. Hulgateooria teoreemidest (vt näiteks

teor. 11.4 ) järeldub, et näiteks juba funktsioone naturaalarvude hulgast naturaalarvude hulka on

rohkem, kui saab olla lõplikus või loenduvas (st lõpmatu jadana esitatavas, vt teor. 9.1) tähestikus kirja

pandud „eeskirju“.

Hulgateoreetilises matemaatika käsitluses defineeritakse funktsiooni mõiste seose mõiste baasil.

Argumentide ja väärtuste hulgad võivad olla suvalised (sealhulgas ei tarvitse nad ühtida) ja suvaline

võib olla ka seadus, mille järgi argumendi väärtusele vastab funktsiooni väärtus.

Def. Olgu X ja Y mittetühjad hulgad. Seost 𝑓 ⊆ 𝑋 × 𝑌 nimetatakse funktsiooniks ehk kujutuseks

hulgast 𝑿 hulka 𝒀, kui iga 𝑥 ∈ 𝑋 jaoks leidub täpselt üks selline 𝑦 ∈ 𝑌, et (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓.

Kui 𝑓 on funktsioon hulgast 𝑋 hulka Y, siis kirjutatakse 𝑓 kohta ka:

𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌.

Kui (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, siis kirjutatakse 𝑥 ja 𝑦 kohta ka

𝑓(𝑥) = 𝑦 või 𝑓𝑥 = 𝑦 või 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑦.

Nendest kirjaviisidest teist ei saa kasutada, kui argumendi kohal on avaldis.

Nendes võrdustes nimetatakse hulga 𝑋 elementi 𝑥 funktsiooni argumendiks ning hulga 𝑌 elementi 𝑦

väärtuseks.

Definitsioonis esinevat hulka 𝑋 nimetatakse funktsiooni 𝑓 määramispiirkonnaks.

Näiteid funktsioonidest:

1) Elementaarmatemaatikast tuntud lineaarne funktsioon 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, ruutfunktsioon 𝑓(𝑥) = 𝑥2

ja trigonomeetrilised funktsioonid 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ning 𝑐𝑜𝑠(𝑥) on funktsioonid reaalarvude hulgast

reaalarvude hulka: 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅.

2) 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 on funktsioon 𝑓: 𝑅\{0} → 𝑅.

3) Iga funktsioon 𝑓 ∶ 𝑁 → 𝑅 esitab reaalarvuliste liikmetega jada 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 … ., kus 𝑎𝑖 = 𝑓(𝑖).

4) Samasusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋, kus 𝑓(𝑥) = 𝑥.

5) Konstantne funktsioon 𝑓(𝑥) = 𝑐 seab kõigile hulga 𝑋 elementidele 𝑥 vastavusse ühe ja sama

𝑐 ∈ 𝑌.

6) Funktsioon on ka seos Eesti elanike ja nende kaalude vahel.

17

Ülaltoodud funktsiooni mõiste definitsioon ei tarvitse olla täielikus kooskõlas kõige sellega, mida aine

kuulaja varem funktsioonide kohta teab. Püüame siin mõned seosed ja erinevused välja tuua.

Funktsiooni mõiste hulgateoreetiline käsitlus samastab funktsiooni tema graafikuga, nagu me

oleme seda reaalarvuliste funktsioonide korral harjunud mõistma, kus funktsiooni 𝑓 graafik on

tasandi punktide ehk reaalarvupaaride hulk: 𝐺𝑓 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ 𝑅 & 𝑦 = 𝑓(𝑥)}.

Matemaatika erinevates distsipliinides on olemas veel erinevus funktsiooni argumentide hulgast

rääkimisel. Hulgateoreetilises käsitluses antav definitsioon vastab algebra traditsioonidele, kus

tavaliselt tegeldakse ainult vaadeldava algebralise süsteemi kõigil elementidel defineeritud

funktsioonidega (tihti nimetatakse neid seal kujutusteks). Matemaatilises analüüsis (ja ka

koolimatemaatikas) öeldakse aga tavaliselt, et 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥), 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) 𝑗𝑎 ℎ(𝑥) = √𝑥 on

funktsioonid reaalarvude hulgast reaalarvude hulka, st näiteks 𝑙𝑛 ∶ 𝑅 → 𝑅. See tähendab, et neis

distsipliinides kasutatav funktsiooni mõiste ei välista ka mitte kõikjal defineeritud funktsioone.

Konkreetse funktsiooni tundmaõppimine sisaldab aga muuhulgas tema määramispiirkonna ja

muutumispiirkonna kindlakstegemist. Funktsiooni määramispiirkond matemaatilises analüüsis

vastab hulgale 𝑋 meie definitsioonis. Muutumispiirkond on aga hulga 𝑌 mingi alamhulk.

5.2. Elemendi ja hulga kujutis

Olgu antud funktsioon f : X → Y.

Def. Kui x ∈ X, y ∈ Y ja y = f(x), siis y nimetatakse elemendi x kujutiseks (funktsiooniga f).

Igal määramispiirkonna X elemendil on parajasti üks kujutis.

Näiteid elemendi kujutistest:

1) Vaatleme funktsiooni f(x) = x2, f : R → R. Siis arvu 0 kujutis on 0 (f(0) = 0), arvu −1 ja arvu 1

kujutis on 1 (f(−1) = 1; f(1) = 1).

2) Vaatleme funktsiooni f(x) = √x, f : N → R. Siis arvu 4 kujutis on 2 (f(4) = 2).

3) Vaatleme funktsiooni f(x) = x + 1, f : R → R. Siis elemendi 0 kujutis on 1 (f(0) = 1).

Def. Hulga A ⊆ X kujutiseks nimetatakse hulga Y alamhulka, mis koosneb kõikide hulga A elementide

kujutistest:

f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x[x ∈ A & f(x) = y])

Näiteid hulga kujutistest:

1) Vaatleme funktsiooni f(x) = x2 , f: R → R. Siis f([−10, 10]) = [0, 100] ja f(R) = [0, ∞).

2) Vaatleme funktsiooni f(x) = sin(x). Siis f(R) = [−1, 1], aga ka sin([−π, π]) = sin([0, 2π] = [−1, 1].

3) Vaatleme funktsiooni f(x) = log(x). Siis f((0, 1]) = [-∞, 0]

4) Vaatleme funktsiooni f(x) = x + 2 , f: R → R. Siis f([−10, 10]) = [−8, 12].

NB! Kujutis ≠ kujutus. Sõna „kujutus“ tähistab funktsiooni (kujutamise viisi), sõna „kujutis“ –

funktsiooni väärtust, st kujutamise tulemust.

Def. Funktsiooni kogu määramispiirkonna kujutist nimetatakse funktsiooni väärtuste piirkonnaks ehk

muutumispiirkonnaks.

Näiteid.

1) Reaalarvulise funktsiooni f(x) = x2 väärtuste piirkond on [0, ∞).

2) sin : R → R väärtuste piirkond on [−1, 1].

18

5.3. Hulga ja elemendi originaal

Olgu antud funktsioon f : X → Y.

Def. Hulga B ⊆ Y originaaliks nimetatakse hulka, mis koosneb kõigist nendest X elementidest, mis

kujutuvad hulga B elemendiks:

f -1

(B) = {x∈ X | f(x)∈ B}

Tähistus f -1

ei tähenda siin, et funktsioonil f peaks leiduma pöördfunktsioon (küll aga tähendab

pöördrelatsiooni).

Räägitakse ka sellest, et funktsiooni f määramispiirkonna X element x on hulga Y elemendi y

originaal, mõistes selle all seda, et f(x) = y.

Selge, et mõnel hulga Y elemendil võib originaale olla üks, mõnel rohkem ja mõnel mitte ühtegi.

Näiteks kui me vaatleme ruutfunktsiooni kui funktsiooni reaalarvude hulgast reaalarvude hulka, siis on

igal positiivsel reaalarvul kaks originaali, nullil on üks ja negatiivsetel reaalarvudel mitte ühtegi.

Näiteid:

1) Vaatleme funktsiooni f(x) = x2 , f : R → R. Siis f

-1({1}) = {1, −1} ja f

-1([−10, −5]) = ∅

2) Vaatleme funktsiooni f(x) = 0 , f : R → R. Siis f

-1({0}) = R.

3) Vaatleme funktsiooni f(x) = x + 1 , f: R → R. Siis f

-1({0}) = {−1}.

5.4. Hulga kujutise omadusi

Olgu f funktsioon X → Y ja A, B ⊆ X. Siis

1. f(∅) = ∅

2. f(X) ⊆ Y

3. Kui A ⊆ B, siis f(A) ⊆ f(B)

4. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

5. f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

Tõestused. Nii kujutise omaduste kui ka neile järgnevate originaali omaduste tõestuste juures

soovitame jälgida, et nende väljamõtlemine on suhteliselt mehhaaniline. Igal sammul rakendame

mingi avaldises esineva operaatori (kujutis, originaal, hulgateoreetiline tehe, lausearvutuse tehe)

definitsiooni. Tõestuse esimeses pooles kirjutame ühe võrreldavatest avaldistest definitsioonide järgi

lahti. Teises pooles paneme ta teiseks avaldiseks kokku (lihtsamatel juhtudel pole teine pool vajalik).

Kui teine pool koosneb ainult paarist sammust, siis on ta üsna läbinähtav. Vajadusel võiks teise poole

konstrueerida tagantpoolt ettepoole, kirjutades ka teist avaldist definitsioonide abil lahti.

1. f(∅) = ∅ kehtivuse tõestus:

Vastavalt hulga kujutise definitsioonile f(∅) = {f(x) | x ∈ ∅}. Kuna ükski x tühja hulka ei kuulu, siis

pole paremal olev tingimus rahuldatud ühegi x korral. Seega on parempoolne hulk tühi.

2. f(X) ⊆ Y kehtivuse tõestus:

Olgu y ∈ f(X). Hulga kujutise definitsiooni põhjal f(X) = {y ∈ Y | ∃x[x ∈ X & f(x) = y]}. Seega

y ∈ Y.

Esitame ka näite funktsioonist f, kus võrdus f(X) = Y ei kehti:

Vaatleme funktsiooni f(x) = x² kui funktsiooni reaalarvude hulgast reaalarvude hulka. Siis

f(R) = {f(x) | x ∈ R} = {x² | x ∈ R} = [0, ∞) ≠ R.

19

Tegelikult võib sellise näite konstrueerida iga funktsiooni baasil. Kui meil on f(X) = Y ja vaatleme

funktsiooni f funktsioonina hulgast X mingisse hulga Y pärisülemhulka, siis võrdus enam ei kehti.

3. Tõestame, et kehtib: Kui A ⊆ B, siis f(A) ⊆ f(B).

Olgu A, B ⊆ X ja A ⊆ B. Väite 3 tõestamiseks tuleb meil vastavalt alamhulga definitsioonile näidata, et

kui y ∈ f(A), siis y ∈ f(B). Olgu y ∈ f(A). Siis hulga kujutise definitsiooni järgi eksisteerib x ∈ A nii,

et y = f(x). Rakendades hulkadele A ja B alamhulga definitsiooni, saame x ∈ B. Seega eksisteerib

x ∈ B, nii et y = f(x), mistõttu hulga kujutise definitsiooni järgi y ∈ f(B).

4. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) tõestus:

Võrduse tõestamiseks näitame, et kumbki võrduse pooltest on teise poole alamhulk.

1) Olgu y ∈ f(A ∪ B). Siis hulga kujutise definitsiooni järgi eksisteerib x ∈ A ∪ B nii, et y = f(x).

Ühendi definitsiooni järgi kehtib x ∈ A ∨ x ∈ B, st vähemalt üks disjunktsiooni kahest poolest. Kui x

∈ A, siis hulga kujutise definitsiooni järgi f(x) ∈ f(A), millest y = f(x) tõttu saame y ∈ f(A) ja lõpuks

ühendi definitsiooni järgi y ∈ f(A) ∪ f(B). Kui x ∈ B, siis saame samal viisil f(x) ∈ f(B), y ∈ f(B) ja

lõpuks y ∈ f(A) ∪ f(B). Seega kehtib mõlemal juhul y ∈ f(A) ∪ f(B), millega oleme tõestanud, et

f(A ∪ B) on hulga f(A) ∪ f(B) alamhulk.

2) Olgu y ∈ f(A) ∪ f(B). Siis ühendi definitsiooni järgi kehtib y ∈ f(A) ∨ y ∈ f(B). Kui y ∈ f(A), siis

hulga kujutise definitsiooni järgi leidub selline x ∈ A, et f(x) = y. Siis ühendi definitsioon järgi ka x ∈

A ∪ B ja järelikult hulga kujutise definitsiooni järgi y ∈ f(A ∪ B). Kui y ∈ f(B), siis on tõestus

analoogiline. Oleme jälle mõlemal juhul saanud y ∈ f(A ∪ B) ja seega on hulk f(A) ∪ f(B) hulga f(A ∪

B) alamhulk.

5. f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B) tõestus:

Olgu y ∈ f(A ∩ B). Hulga kujutise definitsiooni järgi eksisteerib x ∈ A ∩ B, nii et y = f(x). Ühisosa

definitsiooni järgi kehtib siis x ∈ A & x ∈ B. Et y = f(x), siis hulga kujutise definitsiooni järgi saame

konjunktsiooni esimesest poolest y ∈ f(A) ja teisest poolest y ∈ f(B). Siit saame hulkade ühisosa

definitsiooni põhjal y ∈ f(A) ∩ f(B).

Näiteid, kus f(A ∩ B) ≠ f(A) ∩ f(B):

1) Olgu funktsioon f(x) = |x| ja hulgad A = {−c} ja B = {c}, võttes nende kahe hulga ühisosa, saame

võrduse A ∩ B = ∅, tuginedes funktsiooni kujutise esimesele omadusele, saame et f(A ∩ B) = ∅.

Samas aga f(A) = {c} ja f(B) = {c}, ehk f(A) ∩ f(B) = {c}.

2) Sama olukord tekib ka funktsiooniga f(x) = x², A = {−1} ja B = {1}.

Küsimus. Kui võrrelda punkte 4 ja 5, siis ühendi korral on väidetud võrdust, ühisosa korral aga

kõigest seda, et üks hulk on teise alamhulk. Punkti 5 jaoks toodud tõestus on sammude kaupa tõestuse

4.1) analoog. Millist sammu tõestuses 4.2) ei saa punkti 5 situatsioonis vajalikul viisil teha?

5.5. Hulga originaali omadusi

Olgu f funktsioon X → Y ja A, B ⊆ Y. Siis

1. f-1

(∅) = ∅

2. f-1

(Y) = X

3. Kui A ⊆ B, siis f-1

(A) ⊆ f-1

(B)

20

4. f-1

(A ∪ B) = f-1

(A) ∪ f-1

(B)

5. f-1

(A ∩ B) = f-1

(A) ∩ f-1

(B)

6. f-1

(B’) = (f-1

(B))’ st f-1

(Y \ B) = X \ f-1

(B)

Tõestused:

1. f-1

(∅) = ∅ kehtivuse tõestus:

Vahetult originaali definitsioonist saame f-1

(∅) = {x ∈ X | f(x) ∈ ∅}. Kuna pole selliseid hulga X

elemente, mis kujutuvad tühihulga elementideks, siis võrdus kehtib.

2. f -1

(Y) = X kehtivuse tõestus:

Vahetult originaali definitsioonist saame f-1

(Y) = {x ∈ X | f(x) ∈ Y}. Funktsiooni definitsiooni järgi

kujutub hulga X iga element mingiks hulga Y elemendiks. Seega võrdus kehtib.

3. Kui A ⊆ B, siis f-1

(A) ⊆ f-1

(B). Tõestus:

Olgu x ∈ f-1

(A). Originaali definitsioonist saame f(x) ∈ A. Et eelduse järgi on A hulga B alamhulk,

siis ka f(x) ∈ B. Hulga originaali definitsiooni järgi kehtib x ∈ f-1

(B).

4. f -1

(A ∪ B) = f-1

(A) ∪ f-1

(B) tõestus:

Näitame, et suvalise x ∈ X korral kehtib x ∈ f-1

(A ∪ B) parajasti siis, kui x ∈ f-1

(A) ∪ f-1

(B). Iga

teisenduse juures on paremal sulgudes toodud definitsioon, mida kasutatakse järgmise rea saamiseks.

x ∈ f -1

(A ∪ B) ≡ (originaali def.)

f(x) ∈ (A ∪ B) ≡ (ühendi def.)

f(x) ∈ A ∨ f(x) ∈ B ≡ (originaali def.)

x ∈ f -1

(A) ∨ x ∈ f -1

(B) ≡ (ühendi def.)

x ∈ f-1

(A) ∪ f-1

(B).

5. f -1

(A ∩ B) = f -1

(A) ∩ f -1

(B) tõestus:

Näitame, et suvalise x ∈ X korral kehtib x ∈ f -1

(A ∩ B) parajasti siis, kui x ∈ f -1

(A) ∩ f-1

(B).

x ∈ f -1

(A ∩ B) ≡ (originaali def.)

f(x) ∈ A ∩ B ≡ (ühisosa def.)

f(x) ∈ A & f(x) ∈ B ≡ (originaali def.)

x ∈ f -1

(A) & x ∈ f -1

(B) ≡ (ühisosa def.)

x ∈ f -1

(A) ∩ f-1

(B).

6. f-1

(Y \ B) = X \ f -1

(B) tõestus:

x ∈ f -1

(Y \ B) ≡ (originaali def.)

f(x) ∈ Y \ B ≡ (vahe def.)

f(x) ∈ Y & ¬(f(x) ∈ B) ≡ (originaali def.)

x ∈ f -1

(Y) & ¬(x ∈ f -1

(B)) ≡ (f -1

(Y) = X)

21

x ∈ X & ¬(x ∈ f -1

(B)) ≡ (vahe def.)

x ∈ X \ f -1

(B).

5.6. Hulga kujutise originaal ja originaali kujutis

Olgu f funktsioon X → Y. Siis

1. Kui A ⊆ X, siis A ⊆ f -1

(f(A))

2. Kui B ⊆ Y, siis f(f -1

(B)) ⊆ B

Tõestused.

1. Olgu A ⊆ X ja olgu x ∈ A. Meil on vaja näidata, et x ∈ f -1

(f(A)). Hulga kujutise definitsiooni

põhjal võime kirjutada f(x) ∈ f(A). Et saaksime kasutada hulga originaali omadusi, asendame

elemendi f(x) ∈ Y üheelemendilise hulgaga ja vastavalt seose „element“ seosega „alamhulk“. Saame

{f(x)} ⊆ f(A). Nüüd rakendame sellele seosele hulga originaali omadust 3 ja saame

f -1

({f(x)}) ⊆ f -1

(f(A)). Aga x ∈ f -1

({f(x)}), sest f(x) ∈ {f(x)} (vt hulga originaali definitsioon). Kahest

viimasest seosest saame x ∈ f -1

(f(A)).

2. Olgu B ⊆ Y ja olgu y ∈ f(f -1

(B)). Siis kujutise definitsiooni põhjal leidub x ∈ f -1

(B), nii et kehtib

f(x) = y. Seos x ∈ f -1

(B) tähendab originaali definitsiooni põhjal, et f(x) ∈ B. Seega y ∈ B.

Näide, kus A ⊆ X ja A ≠ f -1

(f(A)):

Olgu X = Y = R, f(x) = |x| ja A = {1, 2, 3}.

Kõigi x ∈ A korral kehtib f(x) = x, st f(A) = {1, 2, 3}.

Saame f -1

(f(A)) = {-3, -2, -1, 1, 2, 3}, sest arvudeks 1, 2 ja 3 kujutuvad lisaks A elementidele ka

nende vastandarvud.

Olgu X = Y = R, f(x) = x² ja B = {-1, 0, 4}.

Funktsiooniga f kujutuvad hulka B hulga f -1

(B) = {-2, 0, 2} elemendid, mida funktsiooniga f

kujutades saame f(f -1

(B)) = {0,4} ≠ B.

5.7. Funktsioonide kompositsioon ehk liitfunktsioon

Olgu meil hulgad X, Y ja Z ning funktsioonid f : X → Y, g : Y → Z. Moodustame hulkade X ja Z

elementide vahel seose

gf = {(x, z) | ∃y ∈ Y [(x,y) ∈ f & (y, z) ∈ g]} = {(x, z) | ∃y ∈ Y [f(x) = y & g(y) = z]}.

Näitame, et see seos on funktsioon. Olgu x suvaline hulga X element. Et seos f on funktsioon, siis

leidub täpselt üks y ∈ Y, mille puhul (x,y) ∈ f, st f(x) = y. Et g on funktsioon, siis leidub y jaoks

täpselt üks z ∈ Z, mille puhul (y, z) ∈ g, st g(y) = z. Seega leidub x jaoks täpselt üks z ∈ Z, mille jaoks

on täidetud seost gf defineeriv tingimus. Selle seose puhul ilmselt

(x, z) ∈ gf ⇔ z = g(f(x)).

Def. Funktsioonide f : X → Y ja g: Y → Z kompositsiooniks ehk liitfunktsiooniks nimetatakse

funktsiooni

gf = {(x, g(f(x)) | x ∈ X}.

Näide. Olgu f(x) = ax ja g(x) = x + b. Siis (gf)(x) = g(ax) = ax + b ja (fg)(x) = f(x + b) = a(x + b).

22

Näide demonstreerib ka seda, et kompositsioon ei ole kommutatiivne operatsioon.

Küll aga on kompositsioon assotsiatiivne, sest definitsioonist saame (f(gh))(x) = f(g(h(x))) ja ((fg)h)(x) = (fg)(h(x)) = f(g(h(x))).

§ 6. Hulga karakteristlik funktsioon

Def. Olgu 𝑈 universaalne hulk ja vaatleme tema alamhulka 𝐴 ⊆ 𝑈. Hulga 𝐴 ⊆ 𝑈 karakteristlikuks

funktsiooniks nimetatakse funktsiooni 𝐴

(𝑥) ∶ 𝑈 {0, 1}, kus

𝐴

(𝑥) = {1, 𝑘𝑢𝑖 𝑥 ∈ 𝐴,

0, 𝑘𝑢𝑖 𝑥 ∈ 𝑈\𝐴.

Karakteristliku funktsiooni väärtuse 𝐴

(𝑥) leidmine tähendab otsustamist, kas element 𝑥 𝑈 kuulub

hulka 𝐴 või mitte.

Näiteid.

1) Tühja hulga karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 0 ja hulga U karakteristlik

funktsioon – konstantne funktsioon 1.

2) Kui universaalne hulk on naturaalarvude hulk ℕ, siis paaritute arvude hulga karakteristlik

funktsioon on arvu jääk 2-ga jagamisel.

3) Kui universaalne hulk on naturaalarvude hulk ℕ ja A on algarvude hulk, siis hulga A karakteristlik

funktsioon on

A

(x) = {1, kui x on algarv,

0, kui x pole algarv.

4) Kui U on reaalarvude hulk ℝ ja A = {x | x > 5}, siis hulga A karakteristlik funktsioon on:

A

(x) = { 1, kui x > 5, 0, kui x 5.

On selge, et fikseeritud universaalse hulga U kaks alamhulka A ja B on võrdsed parajasti siis, kui neil

on sama karakteristlik funktsioon:

Võrdsete hulkade puhul on karakteristliku funktsiooni väärtused samad.

Erinevad hulgad peavad erinema vähemalt ühe elemendi poolest ja sellel elemendil on siis ka

karakteristlike funktsioonide väärtused erinevad.

Karakteristlikul funktsioonil on hulgateoreetiliste operatsioonide suhtes järgmised omadused:

1. A′

(x) = 1 − A

(x)

2. A B

(x) = A

(x) B

(x) = min(A

(x),B

(x))

3. AB

(x) = A

(x) + B

(x) − A

(x) B

(x) = max(A

(x),B

(x))

4. A\B

(x) = A

(x) − A

(x) B

(x)

5. AB

(x) = A

(x) + B

(x) − 2A

(x) B

(x)

6. AB

(x, y) = A

(x) B

(y)

Nende võrduste kontrolliks piisab, kui vaadatakse läbi kõik võimalused x jaoks (x kuulub mõlemasse

hulka, ainult hulka A, ainult hulka B, mitte kumbagi hulka) ja võrreldakse paremal esitatud avaldise

väärtust vajaliku väärtusega.

Karakteristliku funktsiooni A

(x) arvutamise algoritm (alamprogramm/funktsioon/protseduur mingis

programmeerimiskeeles) on üks võimalik viis hulga A esitamiseks arvutis.

23

Lihtsast võimalikust väärtusest (0 või 1) hoolimata võib karakteristliku funktsiooni arvutamine olla

tõsine probleem. Ta võib

- nõuda palju aega (otsustamine, kas x on algarv või kordarv) või

- koguni üldse mitte omada algoritmi (testimine, kas programm P arvutab funktsiooni F).

§ 7. Injektiivsed, sürjektiivsed ja bijektiivsed funktsioonid.

Üksühene vastavus

7.1. Injektiivsus, sürjektiivsus ja bijektiivsus

Def. Funktsiooni 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 nimetatakse

- injektiivseks ehk üksüheseks, kui erinevate argumendi väärtuste korral on funktsiooni väärtused

erinevad: 𝑥1 𝑥2 𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥2),

- sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga 𝑦 𝑌 jaoks leidub selline 𝑥 𝑋, et 𝑓(𝑥) = 𝑦,

- bijektiivseks, kui funktsioon on injektiivne ja sürjektiivne.

Injektiivsus tähendab, et ühelgi hulga Y elemendil pole rohkem, kui üks originaal.

Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub vähemalt üks originaal.

Bijektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub täpselt üks originaal.

Näiteid.

1) Olgu f(x) = x2. Vaatleme sellise avaldisega antud funktsiooni erinevatel hulkadel. Funktsioon f ∶ ℝ → ℝ ei ole injektiivne ega sürjektiivne. Igaks positiivseks reaalarvuks kujutatakse üks positiivne ja üks negatiivne arv. Negatiivseteks arvudeks ei kujutata ühtegi ℝ elementi. Funktsioonina f ∶ ℝ → [0,) on x2

sürjektiivne, aga pole injektiivne. Funktsioonina f ∶ [0,) → [0,), aga ka funktsioonina f ∶ (−, 0] → [0,) on x2 injektiivne ja sürjektiivne, st bijektiivne.

2) Funktsioon sin ∶ ℝ → ℝ ei ole injektiivne ega sürjektiivne. Funktsioon sin ∶ ℝ → [−1, 1] on sürjektiivne, aga pole injektiivne. Funktsioon sin ∶ [−/2,/2] → ℝ on injektiivne, aga pole sürjektiivne. Funktsioon sin ∶ [−/2,/2] → [−1, 1] on injektiivne ja sürjektiivne, st on bijektiivne.

3) Olgu meil kaks lõplikku hulka X = {x1, . . . , xm} ja Y = {y1, . . . , yn}, milles on vastavalt m ja n elementi. Uurime, millistel tingimustel leidub injektiivne/sürjektiivne/bijektiivne funktsioon f: X → Y. a) Injektiivsus. Kui m > n, siis iga funktsioon f ∶ X → Y peab kujutama mingid hulga X elemendid üheks ja samaks hulga Y elemendiks. Järelikult ei leidu injektiivset funktsiooni f ∶ X → Y. Kui m n, siis saab konstrueerida injektiivse funktsiooni, näiteks defineerides f(xi) = yi. b) Sürjektiivsus. Kui m < n, siis saavad hulga X elementide kujutisteks olla ainult m elementi hulgas Y, st ei leidu sürjektiivset kujutust. Kui m n, siis leidub sürjektiivne kujutus c) Bijektiivne kujutus leidub parajasti siis, kui m = n.

4) Iga naturaalarvuliste liikmetega jada {a0, a1, a2, . . . } võime vaadelda kui funktsiooni a: ℕ → ℕ, kus a(i) = ai. Kui näiteks ai = 2i, siis a on injektiivne, aga pole sürjektiivne. Kui bi = [i/2] (kus nurksulud tähistavad jagatise täisosa), siis b on sürjektiivne, aga pole injektiivne.

24

5) Iga reaalarvuliste liikmetega jada {a0, a1, a2, . . . } võime vaadelda kui funktsiooni a: ℕ → ℝ. Kui kõik jada liikmed on erinevad, siis on funktsioon a injektiivne. Paragrahvis 8 tõestame, et ükski funktsioon a: ℕ → ℝ ei saa olla sürjektiivne.

7.2. Bijektsioon kui üksühene vastavus

Hulgateooria seisukohalt on funktsioonid f ∶ X Y paaride hulgad

f = {(x, y) | x X & y = f(x)}.

Bijektiivne funktsioon f ∶ X Y on siis selline paaride hulk, kus

1) iga x X jaoks leidub parajasti üks paar, milles x on esimene komponent,

2) iga y Y jaoks leidub parajasti üks paar, milles y on teine komponent.

Bijektiivseid funktsioone nimetatakse ka üksühesteks vastavusteks hulkade X ja Y elementide vahel

(või lihtsalt – hulkade X ja Y vahel).

Näiteid üksüheste vastavuste kohta.

1) Olgu X = {1, 2, 3, 4, 5} ja Y = {a, b, c, d, e}.

Nende hulkade elemendid saame seada üksühesesse vastavusse näiteks paaride hulga (bijektiivse

funktsiooni) f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, e)} abil, st f(1) = a, f(2) = b, … , f(5) = e.

2) Olgu X = ℕ = {0, 1, 2, … } ja olgu Y = {x ℕ | x on paarisarv}. Need hulgad seab üksühesesse

vastavusse bijektiivne funktsioon f ∶ X Y, kus f(x) = 2x ehk paaride hulk

{(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), … }.

3) Vaatleme naturaalarvude hulka ℕ ja täisarvude hulka ℤ. Võime konstrueerida järgneva paaride

hulga f ℕ ℤ: f = {(0, 0), (1, 1), (2, −1), (3, 2), (4, −2), (5, 3), (6, −3), … }, st

f(x) = {(x + 1)/2, kui x on paaritu,

−x

2, kui x on paarisarv.

See paaride hulk on üksühene vastavus (bijektsioon).

4) Vaatleme lõike X = [a, b] ja Y = [c, d], kus a < b ja c < d. Leidub lineaarne funktsioon f(x) =

Ax + B, mis kujutab lõigu [a, b] üksüheselt lõigule [c, d]. Kordajad funktsiooni f avaldise jaoks

võime leida, kui nõuame, et funktsioon f kujutaks lõigu X otspunktid lõigu Y otspunktideks, st

f(a) = c ja f(b) = d. Siit saame võrrandisüsteemi

{Aa + B = cAb + B = d

Lahutades teisest võrrandist esimese, saame (b − a)A = d − c, seega A = d−c

b−a. Asendades nüüd

saadud A väärtuse esimesse võrrandisse, saame d−c

b−aa + B = c, millest B = c –

d−c

b−aa =

c(b−a)−a(d−c)

b−a=

bc−ad

b−a.

Märgime, et esialgsetes võrrandites väärtusi c ja d vahetades võime saada ka lineaarse funktsiooni,

mis kujutab punkti a punktiks d ja punkti b punktiks c.

25

7.3. Pöördfunktsioon

Kui on binaarne seos hulkade 𝑋 ja 𝑌 elementide vahel, siis pöördseoseks ehk pöördrelatsiooniks

me nimetasime seost

𝜌−1 = {(𝑦, 𝑥) | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌}

hulkade 𝑌 ja 𝑋 elementide vahel, mis saadi lihtsalt kõigi relatsiooni kuuluvate paaride ümberpööramise teel.

On selge, et igal binaarsel relatsioonil leidub pöördrelatsioon. Pöördrelatsiooni 𝑓−1 saame moodustada

ka siis, kui f on funktsioon. Aga funktsiooni pöördrelatsioon ei tarvitse olla funktsioon hulgast 𝑌 hulka

𝑋. Selleks on kaks võimalikku põhjust, millest üks on seotud sürjektiivsusega ja teine injektiivsusega.

Kui funktsioon 𝑓 pole sürjektiivne, siis leidub selline hulga 𝑌 element, milleks ei kujutu ükski hulga 𝑋

element. Vaatleme näiteks ruutfunktsiooni 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 funktsioonina reaalarvude hulgast reaalarvude

hulka. On selge, et negatiivseteks arvudeks ei kujutata ühtegi reaalarvu ja järelikult ei sisalda

pöördrelatsioon ühegi negatiivse arvu korral sellist paari, kus see arv oleks esimeseks komponendiks.

Järelikult ei ole ruutfunktsiooni pöördrelatsioon hulgal ℝ defineeritud funktsioon.

Kui funktsioon 𝑓 pole injektiivne, siis leidub selline hulga 𝑌 element, milleks kujutuvad kaks või

rohkem hulga 𝑋 elementi. Näiteks kui me vaatleme ruutfunktsiooni funktsioonina

𝑓 ∶ ℝ {𝑥 ℝ | 𝑥 0}, siis see funktsioon kujutab arvud −1 ja 1 samaks arvuks 1. Pöördrelatsioon

𝑓−1 sisaldab paare (1, −1) ja (1, 1) ja ei ole funktsioon, sest ta pole ühene.

Kui aga funktsioon 𝑓 ∶ 𝑋 𝑌 on bijektiivne, siis leidub iga 𝑦 ∈ Y jaoks parajasti üks paar

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, mille teine komponent on 𝑦. Järelikult on iga bijektiivse funktsiooni pööramisel saadud relatsioon funktsioon, mida on loomulik nimetada pöördfunktsiooniks.

Def. Bijektiivse funktsiooni 𝑓 ∶ 𝑋 𝑌 pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni 𝑓−1 ∶ 𝑌 𝑋, mis

seab igale 𝑦 𝑌 vastavusse sellise elemendi 𝑥 𝑋, mille korral 𝑓(𝑥) = 𝑦.

Paaride hulgana esitades kehtib muidugi 𝑓−1 = {(𝑦, 𝑥) | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 }.

Definitsioonile eelnenud arutlus näitab aga ka seda, et funktsioonil f leidub pöördfunktsioon parajasti

siis, kui 𝑓 on bijektiivne.

Teeme kindlaks mõned pöördfunktsiooni lihtsad omadused.

1. Kui funktsioon 𝑓−1 ∶ 𝑌 𝑋 on funktsiooni 𝑓 ∶ 𝑋 𝑌 pöördfunktsioon, siis iga 𝑥 𝑋 ja 𝑦 𝑌

korral kehtib 𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑓−1(𝑦) = 𝑥.

2. Kui funktsioonil 𝑓 ∶ 𝑋 𝑌 leidub pöördfunktsioon 𝑓−1, siis ka funktsioonil 𝑓−1 ∶ 𝑌 𝑋

leidub pöördfunktsioon ja (𝑓−1)−1 = 𝑓.

3. Kui funktsioonidel 𝑓 ∶ 𝑋 𝑌 ja 𝑔 ∶ 𝑌 Z leiduvad pöördfunktsioonid, siis ka funktsioonil

𝑔𝑓 ∶ 𝑋 𝑍 leidub pöördfunktsioon ja (𝑔𝑓)−1 = 𝑓−1𝑔−1.

Tõestused. Esimese omaduse kontrolliks piisab pöördfunktsiooni esitamisest paaride hulgana, teise

jaoks on lisaks vajalik ka pöördfunktsiooni injektiivsuse ning sürjektiivsuse kontroll. Esitame

detailsemalt kolmanda omaduse tõestuse.

Leidugu funktsioonidel 𝑓 ja 𝑔 pöördfunktsioonid. Pöördfunktsioonide olemasolust järeldub, et

funktsioonid 𝑓 ja 𝑔 on bijektiivsed, st iga 𝑦 𝑌 jaoks leidub parajasti üks 𝑥 𝑋 nii, et 𝑓(𝑥) = 𝑦,

ja iga 𝑧 𝑍 jaoks leidub parajasti üks 𝑦 𝑌, nii et 𝑔(𝑦) = z. Nendest järeldub, et iga 𝑧 𝑍 jaoks

26

leidub parajasti üks 𝑥 𝑋, nii et 𝑔𝑓(𝑥) = 𝑧, st funktsiooni 𝑔𝑓 bijektiivsus. Bijektiivse funktsiooni 𝑔𝑓

pöördrelatsioon on tema pöördfunktsioon ja omadusest 3 jääb veel tõestada võrdus.

Pöördfunktsiooni definitsioon nõuab, et iga 𝑧 𝑍 korral (𝑔𝑓)((𝑔𝑓)−1(𝑧)) = 𝑧. Kui paneme võrduse

vasakus pooles pöördfunktsiooni kohale 𝑓−1𝑔−1, rakendame esimesel sammul funktsioonide

kompositsiooni assotsiatiivsust ja edasi kaks korda pöördfunktsiooni definitsiooni, saame

(𝑔𝑓)(𝑓−1𝑔−1(𝑧)) = (𝑔𝑓)(𝑓−1 (𝑔−1 (𝑧))) = 𝑔(𝑔−1(𝑧)) = 𝑧,

st oleme näidanud, et (𝑔𝑓)−1 = 𝑓−1 𝑔−1.

Tähistust 𝑓−1 kasutasime me eespool ka hulga 𝐵 𝑌 originaali jaoks, defineerides

𝑓−1(𝐵) = {𝑥 | 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵}. Pöördfunktsiooni definitsioon võimaldab aga mõista nüüd vasakul 𝑓−1 kui

funktsiooni hulgast 𝑌 hulka 𝑋 ja 𝑓−1(𝐵) kui hulga 𝐵 kujutist selle funktsiooniga. Veendume, et selline

mõistmine on kooskõlas varasemaga:

𝑓−1(𝐵) = {𝑓−1(𝑦) | 𝑦 ∈ 𝐵} = {𝑥 | 𝑦[(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑓−1 & 𝑦 ∈ 𝐵]} =

{𝑥 | 𝑦[(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 & 𝑦 ∈ 𝐵]} = {𝑥 | 𝑦[𝑓(𝑥) = 𝑦 & 𝑦 ∈ 𝐵]} = {𝑥 | 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵}.

Esimesed kaks võrdust on saadud hulga kujutise definitsioonist, kolmas pöördfunktsiooni

definitsioonist, neljas funktsiooni relatsioonilise esituse (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 asendamisel esitusega 𝑓(𝑥) = 𝑦.

Viimasel sammul on 𝑦 asendatud temaga võrdse 𝑓(𝑥)-ga ja jäetud ära kvantor (sest tema

mõjupiirkonnas ei ole enam muutujat 𝑦).

§ 8. Hulkade ekvivalentsus

Selles paragrahvis me defineerime, milliseid hulki loeb hulgateooria ühesuurusteks.

Lõplike hulkade jaoks on hulkade suuruse mõõduks elementide arv. Juba eelajaloolistel aegadel

õppisid inimesed hulkade elemente loendama ja lõplikke hulki nende elementide arvu põhjal

võrdlema. Anname kõigepealt lõpliku ja lõpmatu hulga definitsiooni ning vaatame üle, mida me teame

hulkade suuruse võrdlemisest.

Def. Hulka 𝑋 nimetatakse lõplikuks, kui 𝑋 on tühi või leidub selline 𝑛 ≥ 1, et 𝑋 saab seada

üksühesesse vastavusse naturaalarvude hulga alamhulgaga {1, . . . , 𝑛}. Hulka 𝑋 nimetatakse lõpmatuks, kui ta ei ole lõplik.

On selge, et definitsioonis toodud üksühest vastavust ei saa konstrueerida mitme erineva 𝑛 puhul ja

järelikult seab lõpliku hulga definitsioon igale lõplikule hulgale vastavusse naturaalarvu - selle hulga

elementide arvu.

Elementide arvul on lõpliku hulga suuruse mõõduna järgmised omadused:

1. Hulkade 𝑋 ja 𝑌 elementide arvud on võrdsed parajasti siis, kui 𝑋 ja 𝑌 elementide vahel saab

defineerida üksühese vastavuse.

2. Hulga 𝑋 elementide arv on väiksem kui hulga 𝑌 elementide arv parajasti siis, kui ei leidu

üksühest vastavust hulkade 𝑋 ja 𝑌 vahel, aga leidub üksühene vastavus hulga 𝑋 ja hulga 𝑌

mingi pärisalamhulga 𝑌1 ⊆ 𝑌 vahel.

Omadusest 1 järeldub, et ühtegi lõplikku hulka ei saa seada üksühesesse vastavusse oma

pärisalamhulgaga. Lõpmatute hulkade puhul aga selline omadus ei kehti. Eelmises paragrahvis

seadsime naturaalarvude hulga vastavusse paarisarvude hulgaga ja näitasime, et omavahel saab seda

27

üksühesesse vastavusse suvalised positiivse pikkusega lõigud, näiteks [0, 2] ja [0 ,1]. Tegelikult saab

oma pärisosahulgaga vastavusse seada koguni iga lõpmatu hulga. Neist näidetest esimene ja sellega

sarnased olid tuntud juba Vana-Kreeka filosoofidele. Nemad käsitlesid sellist nähtust paradoksina,

mille tõttu lõpmatute hulkade uurimisega ei tegeldud. Lõpmatus oli lihtsalt lõplikkuse eitus. Alles 19.

sajandi teiseks pooleks oli matemaatika jõudnud selliste probleemide uurimiseni, mis tõid kaasa

lõpmatuse mõiste liigendamise. Cantor üldistas elementide arvu mõiste ka lõpmatutele hulkadele nn.

hulga võimsuse mõistena ja tulemuseks oli erinevate lõpmatute võimsuste avastamine.

Def. Hulgad 𝑋 ja 𝑌 on ekvivalentsed ehk sama võimsusega, kui kui leidub üksühene vastavus

hulkade 𝑋 ja 𝑌 elementide vahel (eksisteerib bijektsioon 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌).

Ajaolu, et hulgad 𝑋 ja 𝑌 on ekvivalentsed, tähistatakse järgmiselt: 𝑋 ~ 𝑌.

Jaotises 7.2 toodud üksühesed vastavused annavad meile ekvivalentsete hulkade näiteid:

1) Kaks lõplikku hulka 𝑋 ja 𝑌 on ekvivalentsed parajasti siis, kui nende elementide arvud on

võrdsed.

2) 𝑋 = ℕ = {0, 1, 2, … } ja 𝑌 = {𝑥 ℕ | 𝑥 𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑟𝑣}. Bijektsiooniks oli 𝑓(𝑥) = 2𝑥.

3) Naturaalarvude hulk ℕ ja täisarvude hulk ℤ. Bijektsioon: 𝑓(x) = {(𝑥 + 1)/2, 𝑘𝑢𝑖 𝑥 𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑎𝑟𝑖𝑡𝑢,

−𝑥

2, 𝑘𝑢𝑖 𝑥 𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑟𝑣.

4) Kui a < b ja c < d, siis [a, b] [c, d], (a, b) (c, d) ja [a, b) [c, d). Bijektsiooniks sobib

lineaarne funktsioon.

Kuigi me ei saa hulkade ekvivalentsusest rääkida kui mingil hulgal defineeritud seosest (kõikide

hulkade kogumit ei saa lugeda hulgaks), on sellel seosel olemas ekvivalentsiseose omadused:

refleksiivsus, sümmeetrilisus ja transitiivsus.

Teoreem 8.1.

1. Iga hulga 𝐴 korral kehtib 𝐴 ∼ 𝐴.

2. Kõikide hulkade 𝐴 ja 𝐵 korral kehtib: kui 𝐴 ∼ 𝐵, siis 𝐵 ∼ 𝐴.

3. Kõikide hulkade 𝐴, 𝐵 ja 𝐶 korral kehtib: kui 𝐴 ∼ 𝐵 ja 𝐵 ∼ 𝐶, siis 𝐴 ∼ 𝐶.

Tõestus.

1. Hulgal 𝐴 defineeritud samasusteisendus 𝑓(𝑥) = 𝑥 seab hulga 𝐴 üksühesesse vastavusse iseendaga.

2. Kui 𝐴 ∼ 𝐵, siis leidub bijektsioon 𝑓 ∶ 𝐴 𝐵. Funktsiooni 𝑓 pöördfunktsioon 𝑓−1: 𝐵 𝐴 on siis

samuti bijektsioon (kontrollida!).

3. Kui 𝐴 ∼ 𝐵 ja 𝐵 ∼ 𝐶, siis leiduvad bijektsioonid 𝑓: 𝐴 𝐵 ja 𝑔: 𝐵 𝐶. Nende kompositsioon

𝑔𝑓: 𝐴 𝐶 on siis samuti bijektsioon.

Teoreemi 8.1 põhjal saab hulgad jaotada ekvivalentsiklassidesse, kus igasse klassi kuuluvad hulgad

on omavahel ekvivalentsed ja erinevatesse klassidesse kuuluvad hulgad ei ole ekvivalentsed. Hulga 𝐴

ekvivalentsiklass koosneb kõigist hulgaga 𝐴 ekvivalentsetest hulkadest. Sealjuures ei saa

ekvivalentsiklasse lugeda hulkadeks, see tooks kaasa hulgateooria paradoksid.

Def. Hulga võimsuseks nimetatakse tema ekvivalentsiklassi seose ~ järgi.

28

Võimsusi nimetatakse ka kardinaalarvudeks. Hulga A võimsuse jaoks kasutatakse tähiseid |𝐴|, �̿� ja

card 𝐴.

Lõplike hulkade kohta teame, et samasse ekvivalentsiklassi kuuluvad kõik ühesuguse elementide

arvuga hulgad, st igale naturaalarvule vastab üks ekvivalentsiklass. Tavaliselt tähistataksegi lõplikke

võimsusi naturaalarvudega: || = 0, |{1}| = 1, |{1, 2}| = 2 jne.

Esimeseks sammuks lõpmatute võimsuste uurimisel on järgmine teoreem.

Teoreem 8.2. Hulgad ℕ ja (0, 1) ei ole ekvivalentsed.

Tõestus. Selle teoreemi tõestas G. Cantor nn diagonaalmeetodiga, mida järgnevalt on kasutatud väga paljude väidete tõestamiseks hulgateoorias, matemaatilises loogikas, keerukuse teoorias jm.

Oletame vastuväiteliselt, et hulkade ℕ ja (0, 1) vahel leidub üksühene vastavus. Definitsiooni järgi on

see paaride hulk, kus paari esimene komponent on naturaalarv ja teine komponent reaalarv vahemikust

(0, 1). Reaalarv on kümnendmurd, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis. Vahemikku (0, 1) kuuluvate

reaalarvude korral on täisosa võrdne nulliga, st need arvud on kujul 0, 𝑥0𝑥1𝑥2 … 𝑥𝑗 … . Olgu üksühese

vastavuse kui paaride hulga elemendid kirjutatud üksteise alla esimese komponendi kasvamise

järjekorras, kusjuures esimene indeks paari teise komponendi kümnendkohtade juures tähistab arvu

numbrit ja teine indeks kümnendkoha numbrit:

(0; 0, 𝑎00𝑎01𝑎02 … 𝑎0𝑗 … ),

(1; 0, 𝑎10𝑎11𝑎12 … 𝑎1𝑗 …),

(2; 0, 𝑎20𝑎21𝑎22 … 𝑎2𝑗 …),

………..

(j; 0, 𝑎𝑗0𝑎𝑗1𝑎𝑗2 … 𝑎𝑗𝑗 …),

………..

Siis saame moodustada kümnendmurru 𝑑 = 0, 𝑑0𝑑1𝑑2 … 𝑑𝑗 …, kus 𝑑0 ≠ 𝑎00, 𝑑1 ≠ 𝑎11, 𝑑2 ≠

𝑎22, … , 𝑑𝑗 ≠ 𝑎𝑗𝑗 , … ning iga 𝑗 korral 𝑑𝑗 ≠ 9 & 𝑑𝑗 ≠ 0. Viimased tingimused garanteerivad, et

kümnendmurd kujutaks endast reaalarvu ja see arv poleks 0. Saadud reaalarv 𝑑 kuulub vahemikku

(0, 1) ja erineb vähemalt diagonaalil oleva kümnendkoha poolest kõigist paaride parempoolseteks

komponentideks olevatest arvudest, mistõttu see paaride hulk ei saa olla üksühene vastavus ℕ ja (0, 1)

vahel.

Järeldus. Leidub lõpmatuid hulki, mis ei ole võrdse võimsusega.

§ 9. Loenduvad hulgad

Def. Hulka 𝑋 nimetatakse loenduvaks, kui leidub üksühene vastavus naturaalarvude hulga ℕ ja

hulga 𝑋 vahel.

Näiteid

1. Täisarvude hulk ja paaris-naturaalarvude hulk on loenduvad hulgad

2. Vahemik (0, 1) ei ole loenduv.

Tõestame kõigepealt mõned üldised teoreemid loenduvate hulkade kohta.

29

Teoreem 9.1. Hulk 𝑋 on loenduv parajasti siis, kui hulga 𝑋 elemendid saab esitada paarikaupa

erinevate elementidega lõpmatu jadana: 𝑋 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … }.

Tõestus. Kui hulk 𝑋 on loenduv, siis leidub paaride hulk {(0, 𝑥0), (1, 𝑥1), (2, 𝑥2), (3, 𝑥3), … }, mis

seab ℕ ja 𝑋 üksühesesse vastavusse. Selles paaride hulgas esineb iga naturaalarv täpselt ühe korra

paari esimese komponendina ja hulga 𝑋 iga element täpselt ühe korra paari teise komponendina. Kui

vaatleme paaride teistest komponentidest koostatud jada 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …, siis selle jada elemendid

on paarikaupa erinevad ja kehtib võrdus {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … } = 𝑋.

Kui hulk 𝑋 on esitatud kujul 𝑋 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … }, kus lõpmatu jada 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … on

paarikaupa erinevate liikmetega, siis paaride hulk {(0, 𝑥0), (1, 𝑥1), (2, 𝑥2), (3, 𝑥3), … } on üksühene

vastavus ℕ ja 𝑋 vahel (kontrollida!).

Teoreem 9.2. Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat osahulka.

Tõestus. Olgu 𝑋 lõpmatu hulk. Kirjeldame, kuidas 𝑋 elemente valides saab moodustada paarikaupa

erinevate elementidega lõpmatu jada.

1. Valime elemendi 𝑥0 𝑋. See on võimalik, sest X ei ole tühi.

2. Valime elemendi 𝑥1 𝑋 \ { 𝑥0}. See on võimalik, sest kui hulk 𝑋 \ {𝑥0} oleks tühi, peaks hulk 𝑋

sisalduma hulgas {𝑥0} ja seega olema lõplik.

3. Valime elemendi 𝑥2 𝑋 \ { 𝑥0, 𝑥1}. See on võimalik, sest kui hulk 𝑋 \ { 𝑥0, 𝑥1} oleks tühi, peaks

hulk 𝑋 sisalduma hulgas { 𝑥0, 𝑥1} ja seega olema lõplik.

4. Valime elemendi 𝑥3 𝑋 \ { 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2}. See on võimalik, sest kui hulk 𝑋 \ { 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2} oleks

tühi, peaks hulk 𝑋 sisalduma hulgas {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2} ja seega olema lõplik.

Seda valikut saab piiramatult jätkata ja tekib lõpmatu jada. Jada elemendid on paarikaupa erinevad,

sest konstruktsiooni järgi erineb iga valitud element kõigist eelmistest. Vaatleme selle jada elementide

hulka 𝑋1 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … }. Teoreemi 9.1 järgi on hulk 𝑋1 loenduv. Järelikult on ta hulga 𝑋

loenduv osahulk, sest jada moodustati hulga 𝑋 elementidest.

Järeldus (konstruktsiooni põhjal). Iga lõpmatu hulk sisaldab iga 𝑛 1 jaoks 𝑛-elemendilist lõplikku

osahulka.

Teoreem 9.3. Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on loenduv.

Tõestus. Olgu 𝑋 loenduv hulk ja 𝑌 tema lõpmatu osahulk. Teoreemi 9.1 põhjal saame 𝑋 elemendid

esitada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jadana:

𝑋 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … }.

Kui jätame sellest jadast välja need liikmed, mis hulka 𝑌 ei kuulu, siis saame lõpmatu osajada, mille

elementide hulk on 𝑌:

Y = {𝑥𝑖0, 𝑥𝑖1

, 𝑥𝑖2, … }.

Jada {𝑥𝑖𝑗} liikmed on paarikaupa erinevad, sest see jada saadi erinevate liikmetega jadast elemente

välja jättes. Teoreemi 9.1 põhjal on hulk 𝑌 loenduv.

Järeldus. Naturaalarvude hulga ja täisarvude hulga kõik lõpmatud osahulgad on loenduvad.

30

Teoreeme 2 ja 3 on loomulik mõista nii, et loenduv võimsus on vähim lõpmatu võimsus. Paragrahvis

10 me defineerime võimsuste järjestuse, rakendades ka lõpmatutele hulkadele paragrahvi 8 alguses

toodud lõplike hulkade elementide arvude omadusi 1 ja 2. Siis osutub, et intuitiivne võrdlus on

kooskõlas ka formaalse definitsiooniga.

Järgmiseks esitame rea loenduvuse omadusi, mis on seotud ühendi ja otsekorrutisega.

Teoreem 9.4.

1. Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv.

2. Kahe loenduva hulga ühend on loenduv.

3. Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv.

4. Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv.

5. Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv.

6. Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv.

7. Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv.

Tõestused – praktikumides. Loenduvuse tõestamiseks saab siin kasutada hulga esitamist jadana.

Saadud üldiste tulemuste abil saame näidata, et mitmed matemaatikast tuntud hulgad on loenduvad.

Teoreem 9.5.

1. Ratsionaalarvude hulk on loenduv.

2. Kahe- ja kolmemõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv.

3. Ratsionaalsete kordajatega polünoomide hulk on loenduv.

Järgmine teoreem väidab, et mitmed informaatika ja programmeerimise jaoks tähtsad hulgad on

loenduvad.

Teoreem 9.6.

1. Kui 𝐴 on lõplik tähestik {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus 𝐴

on loenduv.

2. Programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv.

3. Lähendeid arvutava algoritmi kujul esitatavate reaalarvude hulk on loenduv.

4. Võrrandisüsteemi vms tingimuste kirjelduse abil saab esitada loenduva hulga reaalarvude hulki.

Ka need väited järelduvad üsna lihtsalt loenduvuse üldistest omadustest.

Arvuteid kasutades tegutseme me tegelikult loenduvate hulkade piirides. Kogu informatsioon

esitatakse arvuti mälus naturaalarvude kujul. See tähendab, et fikseeritud viisil esitatavaid andmeid

(reaalarve, programme, keele sõnu jm) on potentsiaalselt loenduv hulk. „Potentsiaalselt“ tähendab siin

seda, et konkreetse arvuti mälu suurus ja/või andmetüübi määrang programmis või

programmeerimiskeeles lõikavad sellest hulgast tegelikult lõpliku alamhulga, aga põhimõtteliselt on

võimalik seda lõplikku alamhulka kuitahes suureks teha (kasutades suurema mäluga arvutit,

dünaamilisi andmestruktuure jms). Programmi kirjutades me enamasti mõtleme selle lõpmatu hulga

elementidele (näiteks suvalistele täisarvudele). Aga mõnede probleemide juures (näiteks

andmestruktuuride valik) arvestame ka piiranguid.

31

§10. Võimsuste võrdlemine

10.1. Võimsuste järjestusseose definitsioon

Paragrahvis 8 tegime kindlaks, et ka lõpmatuid võimsusi on rohkem kui üks. Mõne aja pärast näeme,

et tegelikult on neid lõpmata palju. Lõplike hulkade võimsuste – naturaalarvude – jaoks on meil

olemas mitterange järjestusseos ja temale vastav range järjestusseos <. Me tahame ka lõpmatuid

võimsusi omavahel võrrelda ja defineerime selleks üldise võimsuste järjestuse, üldistades selleks

sobivat lõplike võimsuste järjestuse omadust.

Def. Hulga 𝑨 võimsus ei ole suurem kui 𝑩 võimsus, kui hulgal 𝐵 leidub selline alamhulk 𝐵1 𝐵, et

𝐴 𝐵1, st 𝐴 𝐵1 𝐵.

Tähistame seda seost tavalise mitterange võrratuse märgiga: |𝐴| |𝐵|.

Kontrollime kõigepealt, et selline definitsioon defineerib tõepoolest seose võimsuste (s.o. hulkade

klasside) vahel, mitte ainult konkreetsete hulkade vahel. Olgu 𝐶 ja 𝐷 suvalised hulgad, mis on sama

võimsusega nagu 𝐴 ja 𝐵: |𝐶| = |𝐴| ja |𝐷| = |𝐵|, st 𝐶 ~ 𝐴 ja 𝐷 ~ 𝐵. Viimasest ekvivalentsusest

järeldub, et leidub bijektsioon 𝑔: 𝐵 𝐷. Peame näitama, et |𝐴| |𝐵| |𝐶| |𝐷|. Olgu |𝐴| |𝐵|, st

leidub 𝐵1 𝐵 nii, et 𝐴 𝐵1. Vaatleme hulga 𝐷 alamhulka 𝐷1 = 𝑔(𝐵1). Funktsioon 𝑔 seab siis hulgad

𝐵1 ja 𝐷1 üksühesesse vastavusse ja saame ekvivalentsuste ahela: 𝐶~𝐴 ~ 𝐵1 ~ 𝐷1. Seega on hulgal 𝐷

alamhulk 𝐷1, mis on ekvivalentne hulgaga 𝐶, st |𝐶| |𝐷|. Tõestuse teine pool on analoogiline.

Defineeritud seosel on järgmised lihtsad omadused:

Teoreem 10.1.

1. Kui A B, siis |A| |B|.

2. Kui A ja B on lõplikud hulgad elementide arvudega m ja n, siis |A| |B| m n.

3. Kui A on lõplik hulk ja B on lõpmatu hulk, siis |A| |B|.

4. Kui A on loenduv hulk ja B on suvaline lõpmatu hulk, siis |A| |B|.

5. Refleksiivsus: iga hulga A korral kehtib: |A| |A|.

6. Transitiivsus: kõikide hulkade A, B, C korral kehtib: kui |A| |B| ja |B| |C|, siis |A| |C|.

Omadused 1-5 järelduvad meile juba teada olevatest faktidest (millistest?). Omaduse 6 tõestamiseks

saame analoogiliselt võimsuste võrdlemise korrektsuse tõestusele ekvivalentsuste ahela. Olgu 𝑔

bijektsioon hulgast 𝐵 hulga 𝐶 mingisse alamhulka 𝐶1. Siis 𝐴 ~𝐵 1~ 𝐶2 𝐶, kus 𝐶2 = 𝑔(𝐵1).

Me tähistasime defineeritud seost mitterange võrratuse märgiga . See on õigustatud, kui seos

rahuldab mitterange järjestuse aksioome, st on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.

Refleksiivsuse ja transitiivsuse näitamine osutusid suhteliselt triviaalseteks. Antisümmeetrilisus kehtib

samuti, aga tema tõestamine on oluliselt keerulisem.

10.2. Cantori-Bernsteini teoreem

Tõestame kõigepealt teoreemi

Teoreem 10.2. Kui 𝐴 𝐴1 𝐴2 ja 𝐴 𝐴2, siis 𝐴 𝐴1 𝐴2 .

32

Tõestus. Olgu 𝐴 𝐴1 𝐴2 ja 𝐴 𝐴2. Ekvivalentsus tähendab, et leidub bijektsioon 𝑓: 𝐴 𝐴2.

Tähistagu 𝐴3 hulga 𝐴1 kujutist funktsiooniga 𝑓 , st 𝐴3 = 𝑓(𝐴1). Siis võime hulgad 𝐴 ja 𝐴2

esitada mittelõikuvate hulkade summadena:

𝐴 = (𝐴 \ 𝐴1) 𝐴1 ,

𝐴2 = (𝐴2 \ 𝐴3) 𝐴3 .

Et bijektsioon 𝑓 seab hulga 𝐴1 elementidele vastavusse hulga 𝐴3 elemendid ja hulga 𝐴 \ 𝐴1

elementidele hulga 𝐴2 \ 𝐴3 elemendid, siis kehtib

𝐴1 ~ 𝐴3 ja 𝐴 \ 𝐴1 ~ 𝐴2 \ 𝐴3 .

Edasi olgu 𝐴4 = 𝑓(𝐴2). Et 𝐴2 𝐴1 , siis kehtib 𝐴4 𝐴3. Hulkade 𝐴 ja 𝐴2 avaldistest saame

nüüd

𝐴 = (𝐴 \ 𝐴1) (𝐴1 \ 𝐴2) 𝐴2 ,

𝐴2 = (𝐴2 \ 𝐴3) (𝐴3 \ 𝐴4) 𝐴4

ning bijektsiooni 𝑓 kasutamist jätkates saame 𝐴2 ~ 𝐴4 ja 𝐴1 \ 𝐴2 ~ 𝐴3 \ 𝐴4 .

Protsessi jätkates saame hulkade jada

𝐴 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 … 𝐴𝑖 𝐴𝑖+1 … ,

kus 𝐴𝑖 \ 𝐴𝑖+1 ~ 𝐴𝑖+2 \ 𝐴𝑖+3.

Tähistagu 𝐷 kõigi jadasse kuuluvate hulkade ühisosa:

𝐷 = 𝐴 𝐴1 𝐴2 𝐴3 … .

Järgneval joonisel on hulgad 𝐴 ja 𝐴1 avaldatud mittelõikuvate hulkade summadena. Ülemise ühendi

paaritud liikmed on ülaltoodu põhjal ekvivalentsed ühekordse joonega näidatud alumise ühendi

liikmetega. Paarisarvulised liikmed ja viimane liige aga ühtivad kahekordse joonega näidatud alumise

ühendi vastava liikmega.

Bijektsiooniks hulgast 𝐴 hulka 𝐴1 on funktsioon 𝑔, mis jada paaritute liikmete 𝐴 \ 𝐴1, 𝐴2\ 𝐴3 jne

elementidel ühtib funktsiooniga 𝑓 ja ülejäänud liikmete elementidel on identsusfunktsioon, st 𝑔(𝑥) =

𝑥.

Seega 𝐴 ~ 𝐴1 ja järelikult 𝐴 𝐴1 𝐴2.

Teor. 10.3. (Cantori-Bernsteini teoreem)

Kui hulgal 𝐴 leidub selline alamhulk 𝐴1 𝐴, et 𝐴1 𝐵 ja hulgal 𝐵 leidub selline alamhulk

𝐵1 𝐵, et 𝐵1 𝐴, siis 𝐴 𝐵.

Tõestus. Esimese eelduse põhjal leidub bijektsioon 𝑓: 𝐴1 𝐵. Olgu 𝐴2 = 𝑓−1 (𝐵1), st 𝐴2 koosneb

nendest hulga 𝐴1 elementidest, mis kujutuvad funktsiooniga 𝑓 hulka 𝐵1 𝐵. Funktsioon 𝑓 on

bijektsioon hulgast 𝐴2 hulka 𝐵1 (põhjendada!). Seega kehtib 𝐴2 ~ 𝐵1. Sellest ekvivalentsusest ja

teisest eeldusest saame seose ~ transitiivsuse tõttu 𝐴2 ~ 𝐴. Nüüd on hulkade 𝐴, 𝐴1 ja 𝐴2 jaoks

täidetud teoreemi 10.2 eeldused, mistõttu 𝐴 ~ 𝐴1. Veel kord transitiivsust kasutades saame 𝐴 ~ 𝐵.

Järeldus. Seos |𝐴| |𝐵| on ka antisümmeetriline ja seega mitterange järjestusseos.

33

10.3. Range järjestusseos ja võimsuste järjestuse lineaarsus

Mitterange ja range järjestusseos reaalarvude vahel on teineteise kaudu defineeritavad:

𝑥 𝑦 𝑥 < 𝑦 𝑥 = 𝑦 ja 𝑥 < 𝑦 𝑥 𝑦 & (𝑥 = 𝑦),

st need seosed erinevad võrduse lisamise/keelamise võrra.

Samuti võime ka võimsuste jaoks defineerida range võrratusse:

Def. |𝐴| < |𝐵| |𝐴| |𝐵| & (|𝐴| = |𝐵|)

Kui vaatleme kahe hulga 𝐴 ja 𝐵 jaoks võimalikke variante teise hulgaga ekvivalentse alamhulga

olemasolu jaoks, siis a priori on olemas 4 varianti:

1. Hulgal 𝐴 leidub selline alamhulk 𝐴1 𝐴, et 𝐴1 𝐵 ja hulgal 𝐵 leidub selline alamhulk

𝐵1 𝐵, et 𝐵1 𝐴.

2. Hulgal 𝐴 leidub selline alamhulk 𝐴1 𝐴, et 𝐴1 𝐵, aga hulgal 𝐵 ei leidu sellist alamhulka

𝐵1 𝐵, et 𝐵1 𝐴.

3. Hulgal 𝐵 leidub selline alamhulk 𝐵1 𝐵, et 𝐵1 𝐴, aga hulgal 𝐴 ei leidu sellist alamhulka

𝐴1 𝐴, et 𝐴1 𝐵.

4. Hulgal A ei leidu sellist alamhulka 𝐴1 𝐴, et 𝐴1 𝐵 ja hulgal B ei leidu sellist alamhulka

𝐵1 𝐵, et 𝐵1 𝐴.

Esimesel variandi korral on hulkade 𝐴 ja 𝐵 võimsused Cantor-Bernsteini teoreemi järgi võrdsed.

Teisel ja kolmandal juhul kehtib vastavalt |𝐴| > |𝐵| ja |𝐴| < | 𝐵|.

Valikuaksioomi kasutades saab tõestada, et neljas variant (kaks mittevõrreldava võimsusega hulka)

pole võimalik. See tähendab, et valikuaksioomi tunnistavas hulgateoorias (nagu seda tavaliselt

kasutatakse matemaatilises analüüsis) on võimsuste järjestus lineaarne ning suvalise kahe hulga 𝐴 ja

𝐵 korral kehtib

|𝐴| < |𝐵| |𝐴| = |𝐵| |𝐴| > |𝐵|.

§11. Kontiinumi võimsusega hulgad

Paragrahvis 9 me defineerisime loenduva võimsuse ja näitasime, et rida matemaatikas ja informaatikas

vaadeldavaid hulki on loenduvad. Teoreem 8.1 väitis aga, et hulgad ℕ ja (0, 1) ei ole ekvivalentsed, st

juba koolimatemaatikas on vaatluse all ka sellised hulgad, mis ei ole loenduvad. Osutub, et kõik

rohkem kui ühest punktist koosnevad intervallid on omavahel ekvivalentsed ja samuti ekvivalentsed

kõigi reaalarvude hulgaga.

11.1. Intervallide ekvivalentsus

Teoreem 11.1.

1. Vahemik (0, 1) on ekvivalentne poollõiguga [0, 1).

2. Poollõik [0, 1) on ekvivalentne lõiguga [0, 1].

3. Kõik rohkem kui ühest punktist koosnevad intervallid on omavahel ekvivalentsed.

4. Vahemik (0, 1) on ekvivalentne kõigi reaalarvude hulgaga ℝ.

34

Tõestus. Väiteid 1-3 saab tõestada Cantori-Bernsteini teoreemi abil, seades kummalegi hulgale

vastavusse temaga samatüübilise intervalli, mis on teise hulga osahulk. Esitame siin siiski ka otsesed

bijektsioonide konstruktsioonid.

1. Jagame vahemiku (0, 1) poollõikude summaks

(0, 1) = (0, 1/2] (1/2, 3/4] (3/4, 7/8] (7/8, 15/16] . . .

ja poollõigu [0, 1) poollõikude summaks

[0, 1) = [0, 1/2) [1/2, 3/4) [3/4, 7/8) [7/8, 15/16) . . . ,

kus 𝑖-nda poollõigu parempoolne otspunkt on 1 − 2−𝑖 (vt joonis).

Kontrollime, et võrdused kehtivad. Kummaski võrduses on ühend vasakul oleva intervalli

alamhulk, sest ühenditesse kuuluvate kõikide hulkade kõik punktid kuuluvad vasakul olevasse

hulka. Teiselt poolt kuulub vasakul oleva hulga iga punkt paremal olevasse ühendisse. Iga punkt

𝑥, kus 0 < 𝑥 < 1, kuulub nii esimeses kui teises ühendis mingisse poollõiku, sest piisavalt suure

𝑖 korral kehtib 𝑥 < 1 − 2−𝑖 ja järelikult katavad poollõigud ka punkti 𝑥. Punkt 0 kuulub teise

ühendi esimesse poollõiku. Esimese ühendi iga poollõigu (1 − 2−𝑖+1, 1 − 2−𝑖 ] jaoks leidub

sellel poollõigul defineeritud (lineaarne) funktsioon 𝑓𝑖, mis vahetab lõigu otspunktid ja teisendab

selle poollõigu üksüheselt teise ühendi vastavaks poollõiguks (vt jaotis 7.2). Otspunktide

teisenemine on joonisel kujutatud nooltega. Defineerime vahemikul (0, 1) määratud funktsiooni 𝑓

kui funktsioonide 𝑓𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, … ) ühendi:

𝑓(𝑥) = 𝑓𝑖 (𝑥), kui 𝑥 [1 − 2−𝑖+1 , 1 − 2−𝑖).

See funktsioon kujutab vahemiku (0, 1) üksüheselt poollõiguks [0, 1).

2. Sobivaks bijektsiooniks on funktsioon 𝑔 = 𝑓 𝑓0, kus 𝑓 on funktsioon eelmisest tõestusest ja 𝑓0

on määratud ühesainsas punktis 𝑥 = 0 ning 𝑓(0) = 1.

3. Paragrahvis 8 konstateerisime, et jaotises 7.2 toodud konstruktsiooni abil võime üksühesesse

vastavusse seada suvalised ühetüübilised intervallid (kujutades intervalli kummagi otsa teise

intervalli vastavaks otsaks). Edasi on selge, et punktide 1 ja 2 tõestustes konstrueeritud

funktsioonide kompositsioon 𝑔𝑓 kujutab vahemiku (0, 1) üksüheselt lõiguks [0, 1]. Seega saame

bijektiivse funktsiooniga suvaliselt muuta nii intervalli pikkust kui tüüpi.

Ülesanne. Kirjutada välja avaldis funktsiooni 𝑔𝑓 arvutamiseks.

4. Väite 4 saame tõestada analoogiliselt väitega 1, jagades mõlemad hulgad poollõikude ühendiks.

Poollõigu [0, 1) esitame kujul

[0, 1) = [0, 1/2) [1/2, 3/4) [3/4, 7/8) [7/8, 15/16) …

ja reaalarvude hulga ℝ esitame vaheldumisi positiivsel ja negatiivsel poolteljel asuvate

poollõikude summana

35

ℝ = [0,1) [1, 2) [-1, 0) [2, 3) [-2, -1) [3, 4) [-3, -2) ... .

Kujutuse konstrueerimise ideed illustreerib alljärgnev joonis:

Jälle saab bijektsiooni konstrueerida lineaarsete funktsioonide kaupa, kujutades

[0, ½) [0, 1),

[1/2, 3/4) [−1, 0),

[3/4, 7/8) [1, 2),

[7/8, 15/16) [−2, −1),

[15/16, 31/32) [2, 3) jne.

Meie siiani toodud reaalarvuhulkade ekvivalentsuse tõestused kasutavad osalt algebralist, osalt

geomeetrilist esitust. Nendest on võimalik ka geomeetriline pilt välja jätta, asendades ta konkreetsete

funktsioonide 𝑓𝑖(𝑥) avaldiste väljakirjutamisega 𝑖 ja 𝑥 kaudu. Teiselt poolt on võimalik vajalikke

kujutusi puhtalt geomeetriliste teisendustena konstrueerida. Näiteks võime ühe lõigu teiseks kujutada

sobivast punktist lähtuva tsentraalprojektsiooni abil (pöörates vajadusel ühte lõiku). Poollõigu otsi

saab ümber pöörata homoteetiat kasutades. Tasandil kaldselt asuva poollõigu saab

tsentraalprojektsiooniga projekteerida poolsirgeks.

Ülesanne. Teha vastavad joonised ja veenduda, et tegemist on bijektsioonidega.

11.2. Kontiinumi võimsus. Definitsioon ja omadused

Tavaliselt kasutatakse kontiinumi võimsuse defineerimisel etalonina reaalarvude hulka.

Def. Hulka 𝐴 nimetatakse kontiinumi võimsusega hulgaks, kui 𝐴 on ekvivalentne kõigi reaalarvude

hulgaga ℝ.

Kontiinumi võimsust tähistatakse tavaliselt tähega c: |ℝ| = c.

Järeldus 1. Kõik rohkem kui ühte punkti sisaldavad intervallid on kontiinumi võimsusega.

Järeldus 2. Kontiinumi võimsus on suurem kui loenduv võimsus.

Et ℕ on reaalarvude hulga alamhulk, siis |ℕ| |ℝ|. Aga teoreemi 8.1 ja intervallide kontinuaalsuse

tõttu ei ole need võimsused võrdsed.

Soovime nüüd näidata mitmete matemaatikas tähtsate hulkade kontinuaalsust. Enne seda tõestame

mõned väited hulgateoreetiliste operatsioonide rakendamisest kontiinumi võimsusega hulkadele.

Teoreem 11.2.

1. Kui 𝐴 on kontiinumi võimsusega hulk ja 𝐵 on loenduv, siis 𝐴𝐵 on kontiinumi võimsusega.

36

2. Kui 𝐴 on kontiinumi võimsusega hulk ja 𝐵 on loenduv, siis 𝐴 \ 𝐵 on kontiinumi võimsusega.

3. Kui 𝐴 ja 𝐵 on kontiinumi võimsusega hulgad, siis 𝐴 𝐵 on kontiinumi võimsusega.

4. Kui 𝐴 ja 𝐵 on kontiinumi võimsusega hulgad, siis 𝐴 𝐵 on kontiinumi võimsusega.

Tõestused.

1. Olgu 𝐴 kontiinumi võimsusega ja 𝐵 loenduv. Ühendi kohta kehtib 𝐴 𝐵 = 𝐴 (𝐵 \ 𝐴).

Hulgal 𝐴 leidub loenduv osahulk 𝐶. Saame avaldada: 𝐴 = (𝐴 \ 𝐶) 𝐶, 𝐴 𝐵 = (𝐴 \

𝐶) 𝐶 (𝐵 \ 𝐴), kusjuures kummaski ühendis on liidetavad ühisosata hulgad. Hulk 𝐵 \ 𝐴 on

𝐵 alamhulk, seega lõplik või loenduv. Järelikult 𝐶 𝐶 (𝐵 \ 𝐴). Järelikult saab hulkade 𝐴 ja

𝐴 𝐵 elementide vahel konstrueerida üksühese vastavuse, kus 𝐴 \ 𝐶 iga element seatakse

vastavusse iseendaga ja 𝐶 elemendid 𝐶 (𝐵 \ 𝐴) elementidega.

2. Olgu jälle 𝐴 kontiinumi võimsusega ja 𝐵 loenduv. Kehtib 𝐴 = (𝐴\𝐵) (𝐴 ∩ 𝐵) ja hulk

𝐴 ∩ 𝐵 on lõplik või loenduv. Hulk 𝐴 \ 𝐵 on lõpmatu, sest vastasel korral oleks 𝐴 kui lõpliku ja

lõpliku/loenduva hulga summa ülimalt loenduv. Lõpmatul hulgal 𝐴 \ 𝐵 leidub loenduv osahulk

𝐶 ja saame avaldada

𝐴 \ 𝐵 = (𝐴 \ 𝐵) \ 𝐶 𝐶, 𝐴 = (𝐴 \ 𝐵) \ 𝐶 𝐶 (𝐴 ∩ 𝐵),

kus jälle kummaski ühendis on liidetavad ühisosata hulgad ja esimese ühendi liidetav 𝐶 on

ekvivalentne hulgaga 𝐶 (𝐴 ∩ 𝐵) teises ühendis.

3. Olgu 𝐴 ja 𝐵 kontiinumi võimsusega hulgad. Siis leiduvad bijektsioonid

𝑓: 𝐴 [0, 1) ja 𝑔: 𝐵 [1, 2).

Hulkade 𝐴 ja 𝐵 ühendi kohta kehtib 𝐴 𝐵 = 𝐴 (𝐵 \ 𝐴). Defineerime hulgal 𝐴 𝐵

funktsiooni

ℎ(𝑥) = {𝑓(𝑥), kui 𝑥 𝐴,

𝑔(𝑥), kui 𝑥 𝐵 \ 𝐴.

Funktsioon ℎ on üksühene ja kujutab hulga 𝐴 𝐵 hulgale [0, 1) 𝑔(𝐵). Järelikult

𝐴 𝐵 ~ [0, 1) 𝑔(𝐵). Aga parempoolne ühend on teoreemi 10.2 põhjal kontiinumi võimsusega

hulk, sest [0, 1) [0, 1) 𝑔(𝐵) [0, 2).

4. Näitame kõigepealt, et hulk [0, 1) [0, 1) on kontiinumi võimsusega. On ilmne, et

|[0, 1) [0, 1)| 𝑐, sest näiteks hulk {0} [0, 1) on hulga [0, 1) [0, 1) kontiinumi võimsusega

alamhulk.

Näitame, et kehtib ka vastupidine võrratus. Selleks konstrueerime bijektsiooni hulgast

[0, 1) [0, 1) hulga [0, 1) alamhulka. Otsekorrutise iga element on reaalarvude paar (𝑥, 𝑦), kus

arvud 𝑥 ja 𝑦 on esitatavad kümnendmurdudena kujul 𝑥 = 0, 𝑥1𝑥2𝑥3 … 𝑥𝑗 … ja 𝑦 =

0, 𝑦1𝑦2𝑦3 … 𝑦𝑗 …, kus kümnendmurrud ei lõpe numbriga 9 perioodis. Defineerime funktsiooni

𝑓: [0, 1) [0, 1) [0, 1), kus funktsiooni 𝑓 väärtuses on vaheldumisi arvude 𝑥 ja 𝑦 kahendkohad:

𝑓((𝑥, 𝑦)) = 0, 𝑥1𝑦1𝑥2𝑦2𝑥3𝑦3 … 𝑥𝑗 𝑦𝑗 … . See funktsioon on üksühene. Tema väärtuste

piirkonnaks on poollõigu [0, 1) selliste reaalarvude hulk, kus arvu kümnendesituses paaris- ega

paaritute kohtade jada ei lõpe numbriga 9 perioodis (näiteks arvuks 0,191919 … ei kujutu ükski

paar (𝑥, 𝑦), sest arvu 𝑦 kümnendesitus ei saa lõppeda numbriga 9 perioodis). Seega

[0, 1) [0, 1) ~ 𝑓( [0, 1) [0, 1)) [0, 1)

ja järelikult |[0, 1) [0, 1)| | [0, 1)| = 𝑐. Et meil on tõestatud ka vastupidine võrratus, siis kehtib

|[0, 1) [0, 1)| = 𝑐.

37

Olgu nüüd 𝐴 ja 𝐵 suvalised kontiinumi võimsusega hulgad. Leiduvad bijektsioonid

𝑔1 ∶ 𝐴 [0, 1) ja 𝑔2 ∶ 𝐵 [0, 1). Seadku kujutus ℎ igale paarile (𝑎, 𝑏) 𝐴 𝐵 vastavusse

paari (𝑔1(𝑎), 𝑔2(𝑏)) [0, 1) [0, 1). Siis ℎ on bijektsioon (kontrollida injektiivsust ja

sürjektiivsust!) ja järelikult |𝐴 𝐵| = |[0, 1) [0, 1)| = 𝑐.

11.3. Mõned tähtsamad kontinuaalsed hulgad

Näitame, et mitmed matemaatikas olulised hulgad on kontiinumi võimsusega.

Teoreem 11.3.

1. Irratsionaalarvude hulk on kontiinumi võimsusega.

2. Reaalarvuliste koordinaatidega tasandipunktide hulk on kontiinumi võimsusega.

3. Reaalarvuliste koordinaatidega ruumipunktide hulk on kontiinumi võimsusega.

4. Kompleksarvude hulk on kontiinumi võimsusega.

Tõestused.

1. Irratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga (kontiinumi võimsusega) ja ratsionaalarvude hulga

(loenduv) vahe.

2. Tasandi punktide hulk on ekvivalentne nende punktide koordinaatide hulgaga ℝ ℝ = ℝ2.

3. Kolmemõõtmelise ruumi punktide hulk on ekvivalentne hulgaga ℝ ℝ ℝ = ℝ3.. Selle hulga

kontinuaalsuse tõestuseks võime teoreemi 11.2.4 tõestuses asendada arvu 𝑓(𝑥, 𝑦) kümnendesituse

konstruktsioonis kahe jada kombineerimise kolme jada kombineerimisega. Teine võimalus on

rakendada sedasama väidet 11.2.4 (kontinuaalsete hulkade otsekorrutis on kontiinumi võimsusega)

otsekorrutisele ℝ2 ℝ. Hulgad ℝ3 ja ℝ2 ℝ ei ole küll võrdsed (esimese elemendid on kolmikud

ja teise elemendid on paarid), aga nende vahel saab loomulikul viisil konstrueerida üksühese

vastavuse, kus kolmikule (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) vastab paar ((𝑥1, 𝑥2), 𝑥3) .

4. On ilmne, et kompleksarvude hulk on ekvivalentne reaalarvude paaride hulgaga.

Teoreem 11.4.

Naturaalarvude hulga ℕ kõigi alamhulkade hulk 𝑃(ℕ) on kontiinumi võimsusega.

Tõestus.

Kasutame siin reaalarvude esitamist lõpmatute kahendmurdudena. Analoogiliselt kümnendesitusele

esituvad reaalarvud kahendmurdudena, mis ei lõpe numbriga 1 perioodis. Seame igale hulgale 𝐴 ℕ

vastavusse lõpmatu kahendmurru

𝑎𝐴 = 0, 𝑎0𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑗 … , kus 𝑎𝑗 = {1, kui 𝑗 𝐴,0, kui 𝑗 𝐴

Kui hulga 𝐴 täiend on lõplik, siis on jadas {𝑎𝑗} alates mingist kohast ainult numbrid 1. Kui hulga 𝐴

täiend on lõpmatu, siis kahendmurd 𝑎𝐴 ei lõpe numbriga 1 perioodis ja on reaalarv poollõigult [0, 1).

Erinevatele hulkadele 𝐴 ℕ vastavad ilmselt erinevad kahendmurrud 𝑎𝐴 ja iga murd saadakse

mingist hulgast 𝐴 ℕ, st tegemist on üksühese vastavusega ℕ alamhulkade ja selliste

kahendmurdude vahel, mille täisosa on 0. Olgu 𝐵1 kõigi selliste lõpmatute kahendmurdude

0, 𝑏0𝑏1𝑏2 … 𝑏𝑗 … hulk, mis lõpevad numbriga 1 perioodis. Saame:

𝑃(𝑁) [0,1) 𝐵1

Milline on hulga 𝐵1 võimsus? Numbriga 1 perioodis lõppevaid kahendmurde on sama palju kui

lõpliku täiendiga ℕ alamhulki, st sama palju kui lõplikke ℕ alamhulki. Iga lõplik ℕ alamhulk on aga

mingi 𝑛 korral hulga {0, 1, … , 𝑛} alamhulk. Saame:

38

𝐵1 ~ ⋃ 𝑃({0, 1, … , 𝑛})𝑛=0 .

Hulga {0, 1, … , 𝑛} kõigi alamhulkade hulk on iga 𝑛 korral lõplik. Seega on paremal olev hulk

loenduv, sest ta on lõplike hulkade loenduv ühend. Järelikult on hulk 𝑃(ℕ) kontiinumi võimsusega,

sest hulk [0,1) 𝐵1 on kontiinumi võimsusega hulga ja loenduva hulga ühend.

Järeldus 1. Leidub ℕ alamhulki, mille karakteristlikku funktsiooni ei arvuta ükski programm.

Hulga ℕ alamhulkade karakteristlikke funktsioone on sama palju, kui alamhulki. Varasemast teame, et

igas programmeerimiskeeles on kõigi programmide hulk loenduv. Teoreemi põhjal on hulgal ℕ

alamhulki rohkem, kui on olemas programme.

Võiks mõelda veel võimalusele, et erinevate hulkade karakteristlikud funktsioonid on arvutatavad

erinevate keelte programmidega. Aga tegelikult saab programme tõlkida ühest

programmeerimiskeelest teise ja kõikides keeltes on arvutatavad ühed ja samad funktsioonid.

Järeldus 2. Kui tähestikus on vähemalt kaks tähte, siis on lõpmatute sõnade hulk selles tähestikus

kontiinumi võimsusega.

Kui tähestikus on 2 tähte, siis võib nad seada vastavusse numbritega 0 ja 1. Numbritest 0 ja 1

koostatud lõpmatute jadade hulk on ekvivalentne kahendmurdude 𝑎𝐴 hulgaga teoreemi tõestuses. Siit

muidugi järeldub, et ka suurema tähtede arvu puhul on lõpmatute sõnade hulk vähemalt kontiinumi

võimsusega. Täpse vastavuse saame, kui kasutame 𝑛-tähelise tähestiku korral kahendmurdude asemel

𝑛-ndmurde.

§12. Suuremad võimsused

12.1. Cantori teoreem

Järgmine teoreem näitab, et lõpmatuid võimsusi on lõpmata palju. Tähistagu 𝑃(𝐴) hulga 𝐴 kõigi

alamhulkade hulka.

Teoreem 12.1. Iga hulga 𝐴 korral |𝐴| < |𝑃(𝐴)| .

Tõestus. Ilmselt |𝐴| |𝑃(𝐴)|, sest 𝐴 elemendid võib seada üksühesesse vastavusse 𝐴

üheelemendiliste alamhulkadega. Näitame, et 𝐴 ja 𝑃(𝐴) ei ole ekvivalentsed.

Oletame, et leidub üksühene pealekujutus 𝑓: 𝐴 𝑃(𝐴). Olgu 𝑋 = {𝑥 𝐴 | 𝑥 𝑓(𝑥)}. Hulk 𝑋 on

hulga 𝐴 alamhulk, st 𝑋 𝑃(𝐴) ja leidub selline 𝑎 𝐴, et 𝑓(𝑎) = 𝑋. Näitame, et 𝑎 ei saa kuuluda

ega mitte kuuluda hulka 𝑋.

1) Kui kehtib 𝑎 𝑋, siis X definitsiooni järgi 𝑎 𝑓(𝑎) = 𝑋 - vastuolu.

2) Kui kehtib 𝑎 𝑋, siis 𝑋 definitsiooni järgi 𝑎 𝑓(𝑎) = 𝑋 - jälle vastuolu.

Järelikult ei ole üksühene pealekujutus 𝑓: 𝐴 𝑃(𝐴) võimalik ja |𝐴| < |𝑃(𝐴)|.

12.2. Võimsuste hierarhia

Cantori teoreem võimaldab moodustada järjest suurenevate võimsustega hulkade jada. Me teame, et

loenduv võimsus on vähim lõpmatu võimsus. Kui alustame naturaalarvude hulgast ja rakendame

järjest alamhulkade hulga moodustamist, saame hulgad

ℕ, 𝑃(ℕ), 𝑃(𝑃(ℕ)), 𝑃(𝑃(𝑃(ℕ))), … .

39

Selles jadas on iga järgmise hulga võimsus eelmisest suurem. Teame ka, et 𝑃(ℕ) 𝑅.

Edasi saame leida alamhulkade hulga võtmise teel moodustatud hulkade jada ühendi:

𝑀 = ℕ 𝑃(ℕ) 𝑃(𝑃(ℕ)) 𝑃(𝑃(𝑃(ℕ))) … .

On selge, et hulga 𝑀 võimsus on suurem, kui ühelgi jada liikmel. Hulgast 𝑀 alustades võib jällegi

moodustada operatsiooni 𝑃 abil kasvavate võimsustega jada. Neid kahte konstruktsiooni vaheldumisi

kasutades saab moodustada kasvavate võimsuste jadade jada. Järgmises paragrahvis tegeleme ka

küsimusega, kas leidub võimsusi, mis asuvad kirjeldatud võimsuste vahel.

§13. Hulgateooria aksiomaatika

13.1. Naiivse hulgateooria paradoksid

Hulgateooria tekkis 19-nda sajandi lõpul peamiselt matemaatilise analüüsi vajadustest. Paarisaja aasta

jooksul arenenud matemaatilises analüüsis kasutati korraga dünaamilist ja staatilist keelt, kus räägiti

ühelt poolt „protsessidest“ (näiteks protsessid 𝑥 0 või 𝑥 ∞) ja teiselt poolt ka lõpmata väikestest

ja lõpmata suurtest suurustest. Mida need protsessid ja suurused endast kujutavad, polnud aga täpselt

defineeritud. Matemaatilise analüüsi mõistete ja tulemuste formuleerimine hulkade terminites

võimaldas selgemat arusaamist sellest, millega analüüsis tegeldakse ja mida väidetakse. Loodeti ka, et

väidete arusaadav formuleerimine võimaldab näidata, et matemaatikas ei ole võimalikud

vasturääkivused.

Matemaatilises analüüsis moodustatakse hulki varem teada olevatest objektidest: arvuhulgad,

erinevate omadustega funktsioonide hulgad jne. Hulgateooria oma üldisel Cantori poolt esialgu loodud

kujul (nn naiivne hulgateooria) aga ei seadnud piire hulkade defineerimisel. Näiteks ei keela naiivne

hulgateooria kõikide hulkade hulga moodustamist, hulga olemist iseenda elemendiks jne. Osutus, et

see võib viia paradoksideni hulgateoorias endas. Toome siin kaks paradokside näidet.

Cantori paradoks. Olgu 𝐴 kõigi hulkade hulk. Siis tema kõigi alamhulkade hulga 𝑃(𝐴) kohta kehtib

𝑃(𝐴) 𝐴, sest kõik 𝑃(𝐴) elemendid on hulgad, st nad on 𝐴 elemendid. Teoreemist 10.1.1 saame

nüüd |𝑃(𝐴)| |𝐴|. Teoreemist 12.1 saame aga |𝑃(𝐴)| > |𝐴|.

Russelli paradoks. Olgu hulga 𝐴 elementideks kõik sellised hulgad, mis ei sisalda iseennast

elemendina: 𝐴 = {𝑋 | 𝑋 𝑋}. Veendume, et nii oletus 𝐴 𝐴 kui ka selle eitus viivad vastuolule.

Kui 𝐴 𝐴, siis peab 𝐴 rahuldama hulga 𝐴 definitsioonks olevat tingimust, st 𝐴 𝐴. Kui 𝐴 𝐴,

siis rahuldab 𝐴 hulga 𝐴 definitsiooniks olevat tingimust, st 𝐴 𝐴.

13.2. Zermelo-Fraenkeli aksioomid ja valikuaksioom

Paradoksidest vabanemiseks formuleeriti hulgateooria aksiomaatilise teooriana, kus hulkade

moodustamise operatsioonid on kirjeldatud aksioomidega ja aksioomides antud kitsendused välistavad

teadaolevad paradoksidele viivad konstruktsioonid. Esimese aksiomaatika esitas E. Zermelo aastal

1908. Seda on hiljem täiendatud ja kõige populaarsem ning kõige enam uuritud on siiani nn. Zermelo-

Fraenkeli aksiomaatika, mis on esimest järku aksiomaatiline teooria.

Aksioomides kasutame muutujaid 𝑥, 𝑦, … , 𝑋, 𝑌, … hulkade jaoks ning signatuur koosneb kahest

kahekohalisest predikaatsümbolist = ja , st 𝜎 = ; ; =,. Muutujaid on suurte või väikeste

tähtedega tähistatud ainult valemite loetavuse huvides, nende vahel ei ole sisulist vahet (st kõik

vaadeldavad objektid aksiomaatikas on hulgad). Atomaarsed valemid on kujul 𝑥 = 𝑦 ja 𝑥 𝑦. Neist

40

saab moodustada valemeid lausearvutuse tehete ja kvantorite , abil. Implikatsiooni ja ekvivalentsi

on allpool tähistatud sümbolitega ja , et vältida kollisiooni pärisalamhulga tähisega ja

funktsioonide juures kasutatud noolega . Hüüumärgiga olemasolu kvantor ! tähendab „leidub

parajasti üks“ , st ! 𝑥𝐴(𝑥) saab tavaliste kvantorite abil lahti kirjutada kujul

𝑥𝐴(𝑥) & (𝑥𝑦(𝐴(𝑥) & 𝐴(𝑦) 𝑥 = 𝑦).

Esitame nüüd Zermelo-Fraenkeli hulgateooria aksioomid ja nendele mõnikord lisatava

valikuaksioomi, st teooria ZF + AC:

A1. Ekstensionaalsus (mahulisus): Kui hulgad koosnevad samadest elementidest, siis nad on võrdsed:

𝑧 (𝑧 𝑋 𝑧 𝑌) 𝑋 = 𝑌

A2. Järjestamata paari (ühe- või kaheelemendilise hulga) moodustamise aksioom:

𝑎𝑏𝑐𝑢 [𝑢 𝑐 (𝑢 = 𝑎 𝑢 = 𝑏)]

A3. Eraldamise aksioom. Kui 𝑋 on hulk ja 𝐴 on valem vaba muutujaga 𝑝, siis on hulk ka

𝑦 = {𝑢 | 𝑢 𝑋 & 𝐴(𝑢, 𝑝)}:

𝑋𝑝𝑌𝑢 [𝑢 𝑌 (𝑢 𝑋 & 𝐴(𝑢, 𝑝))]

A4. Ühendi aksioom. Kui 𝑋 on hulk, siis saab moodustada tema elementide ühendi:

𝑋𝑌𝑢 [𝑢 𝑌 𝑧 (𝑧 𝑋 & 𝑢 𝑧)]

A5. Osahulkade hulga aksioom. Kui X on hulk, siis saab moodustada tema osahulkade hulga Y.

XYu [u Y z (z u z X)]

A6. Lõpmatuse aksioom. Leidub (teatud konkreetne loenduv) lõpmatu hulk:

𝑆 [𝑡 (𝑢(𝑢 𝑡) & 𝑡 𝑆) & 𝑥[𝑥 𝑆 𝑦(𝑢(𝑢 𝑦 𝑢 𝑥 𝑢 = 𝑥) & 𝑦 𝑆)]]

Aksioomi idee: 𝑆 [ 𝑆 & (𝑥 𝑆)[𝑥 {𝑥}𝑆]]

A7. Asendamise aksioom. Kui valem 𝐴 kirjeldab parameetri väärtuse 𝑝 korral funktsiooni (st ühest

vastavust), siis hulga 𝑋 kujutis selle funktsiooniga on hulk:

𝑎𝑏𝑐 [𝐴(𝑎, 𝑏, 𝑝)& 𝐴(𝑎, 𝑐, 𝑝) 𝑏 = 𝑐] 𝑋𝑌𝑢 [𝑢 𝑌 𝑣 (𝑣 𝑋 & 𝐴(𝑣, 𝑢, 𝑝))]

A8. Fundeerituse (regulaarsuse) aksioom. Igas mittetühjas hulgas 𝑆 leidub element, mis ei sisalda 𝑆

elemente.

𝑆 [𝑥(𝑥 𝑆) 𝑦(𝑦 𝑆 &𝑢(𝑢 𝑦 & 𝑢 𝑆))]

AC. Valikuaksioom. Kui X on mittetühjade mittelõikuvate hulkade hulk, siis leidub „valikhulk“ Y,

mis sisaldab igast X elemendist täpselt ühe elemendi.

𝑋 [[𝑥 [𝑥 𝑋 𝑦 (𝑦 𝑥)] &𝑥𝑦 [𝑥 𝑋 & 𝑦 𝑋 𝑧 (𝑧 𝑥 & 𝑧 𝑦)]]

𝑌 [𝑦 [𝑦 𝑌 𝑥 (𝑥 𝑋 & 𝑦 𝑥)] & 𝑥 [𝑥 𝑋 ! 𝑦 (𝑦 𝑥 & 𝑦 𝑌)]]]

Enamus aksioome postuleerib tavaliste „naiivsete“ hulgateoreetiliste konstruktsioonide lubatavust uute

hulkade moodustamiseks. Aga aksioomid ei luba kõike.

1) Aksioom A3 lubab tingimuse/valemi abil uut hulka moodustada mitte suvalistest objektidest, vaid

ainult olemasoleva hulga 𝑋 elementidest. Näiteks ei saa me nii moodustada kõikide hulkade hulka

{𝑥 | 𝑥 = 𝑥}.

41

2) Fundeerituse aksioomist järeldub, et hulk ei saa olla iseenda elemendiks. Kui mingi hulga 𝑥

korral oleks 𝑥 𝑥, saaksime eraldamise aksioomi abil moodustada hulga

𝑦 = {𝑧 |𝑧 𝑥 & 𝑧 = 𝑥} = {𝑥}. Sellises hulgas 𝑦 ei leiduks elementi, mis ei sisalda ühtegi 𝑦

elementi, sest ainus element 𝑥 sisaldaks iseennast.

Aksiomaatilise hulgateooria kitsendavad aksioomid keelavad ära need konstruktsioonid, mis viivad

teadaolevatele naiivse hulgateooria paradoksidele. Aga alates K. Gödeli töödest (aritmeetika

mittetäielikkus, sealhulgas teoreem mittevasturääkivuse kohta, 1931) me teame, et ei ole erilist lootust

hulgateooria mittevasturääkivuse tõestamiseks.

Valikuaksioom ei ole paljude matemaatikute arvates hulkade iseenesestmõistetav omadus. Aga ta on

vajalik paljude matemaatilises analüüsis kasutatavate konstruktsioonide jaoks.

Mida tähendab, et „hulgateooriast lähtudes saab matemaatika üles ehitada“? ZF on „puhas

hulgateooria“, kus kõik vaadeldavad objektid on hulgad. Edasi saab minna kahel viisil:

a) Lisades teooriale mingid hulgad, mille elemendid ei ole hulgad (näiteks naturaalarvude hulga vms)

b) Konstrueerides puhta hulgateooria sees järjestikku objektid, mille kohta saab tõestada, et neil on

samad omadused kui naturaalarvude, reaalarvude, tasandipunktide jne hulkadel.

13.3. Kontiinumhüpotees

Cantor püstitas nn kontiinumhüpoteesi: Ei leidu vahepealseid võimsusi loenduva ja kontiinumi

võimsuse vahel.

Ülemaailmsel matemaatikute kongressil aastal 1900 tegi saksa matemaatik D. Hilbert ettekande

probleemidest, mida XIX sajandi matemaatika on jätnud lahendamiseks XX sajandi matemaatikutele.

Kontiinumhüpotees oli selles nimekirjas probleem nr. 1 (nn. Hilberti 1. probleem)

Austria matemaatik K. Gödel tõestas 1939. aastal, et tavalistest hulgateooria aksioomidest (Zermelo-

Fraenkeli aksioomid ja valikuaksioom) ei järeldu kontiinumhüpoteesi eitus, konstrueerides ZF + AC

aksioome rahuldava interpretatsiooni (hulkade universumi), kus vahepealseid võimsusi ei ole.

Ameerika matemaatik P. Cohen tõestas 1963. aastal, et samadest hulgateooria aksioomidest ei järeldu

kontiinumhüpotees, st on võimalik ka ZF + AC rahuldav hulkade universum, kus leiduvad vahepealsed

võimsused.