1 Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé,

1

Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les

problèmes de dimensionnement de lots

Par : Nadjib BRAHIMI

Maître assistant associé, EMNantes

Laboratoire d'Informatique, Laboratoire d'Informatique,

Tours 17 juin 2005Tours 17 juin 2005Ecole des Mines de Nantes Université de Nantes

Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes

2

Plan de l’exposé

Introduction Une classification Introduction des contraintes de fenêtres de temps

Problème à un produit sans contraintes de capacité

Problèmes avec capacité : Problème à plusieurs produits avec capacité et fenêtres de temps Cas particulier : problème à un produit avec capacité Problème avec temps de préparation

Conclusions et perspectives

3

IntroductionUn problème de dimensionnement de lots d’un

produit

commande n° 814

commande n° 813

commande n° 812

commande n° 811

commande n° 823

commande n° 822

commande n° 821

commande n° 832

commande n° 831

commande n° 843

commande n° 842

commande n° 841

semaine 1 semaine 2 semaine 3 semaine 4

Demande dt (peutêtre prévisionnelle)

Périodes t (semaine, mois)

Ex. Palettes

4

IntroductionProblème de dimensionnement de lots à un

produit

p3p1 p2Coût de production

h3h1 h2Coût de stockage

s3s1 s2Coût de lancement (préparation)

X3X1 X2Quantité à fabriquer

I3I1 I2Niveau de stock

Y3Y1 Y2Période de production

31 2TTd1 d2 d3

{0,1}

O(TlogT) par Wagelmans, Van Hoesel et Colen (1992), Aggarwal et Park (1993) et Federgruen et Tzur (1991)

Résolu en O(T2) par Wagner et Whitin (1958)

1

Minimiser T

t t t t t tt

s Y p X h I

5

Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL)

PDL

un niveau

multi niveaux

un produit

multi produits

Ruptures de stock

Produits périssables

Refabrication

Avec capacité

Sans capacité

Zangwill (1969)

Hsu (2000)

Golany, Yan, Yu (2001)

Florian et Klein (1971)

Wagner et Whitin (1958)

Kuik et Salomon (1990)

Salomon, Kuik, Van Wassenhove (1993)

Etat de l’artBrahimi et al. 2003

Etat de l’artBrahimi et al. 2004Wolsey 1995

multi produits

Fenêtres de temps sur les

demandes

Lee, Cetinkaya, Wagelmans (2001)

6

Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL)

PDL

un niveau

multi niveaux

un produit

multi produits

Ruptures de stock


Refabrication

Avec capacité

Temps de préparation

Préparations communes

Manne (1958)

Trigeiro et al. (1989)

Suerie et Stadtler (2003)

Millar et Yang (1993)

Friedman et Hoch (1978)

Richter et Sonbrutzki (2000)

Kuik et Salomon (1990)

Salomon et al. (1993)

Etat de l’artBrahimi et al. 2003

Etat de l’artBrahimi et al. 2004Wolsey 1995

multi produits

7

d4

d5

Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5

d3

d2

d1

Hypothèse insuffisante

Dans le modèle classique sans fenêtres de temps, toutes les demandes peuvent êtres produites dès la première période.

d4

d5

8

Représentation par fenêtres de temps

Semaine 1

Semaine 2

Semaine 3

Semaine 4

Semaine 5

d14

d34

d12

d25

Cas avec clients spécifiques (CS)(Structure générale des fenêtres de temps)

d14

d25

d35

d12

Semaine 1

Semaine 2

Semaine 3

Semaine 4

Semaine 5

Cas avec clients non spécifiques (NCS)(Structure particulière des fenêtres de temps)

d34

d25

9

Applications du modèle avec fenêtres de temps

Traitement des déchets industriels (CS, NCS)

Problèmes avec stock périssable (NCS)

Disponibilité de la matière première Sans traçabilité (NCS) Avec traçabilité (CS)

Résolution des problèmes de dimensionnement de lots à plusieurs niveaux (NCS)

10

Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots

PDL

un niveau

multi niveaux

un produit

multi produits

Rupture de stock


Refabrication

Avec capacité

Sans capacité

Avec capacité

Temps de lancement

Lancements communs

11

Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots

PDL

un niveau

multi niveaux

un produit

multi produits

Ruptures de stock


Refabrication

Avec capacité

Sans capacité

Sans temps de préparation

Avec temps de préparation

Lancements communs

12

Problème à un produit sans contraintes de capacité

multi niveaux

multi produits

Rupture de stock


Refabrication

Avec capacité



Lancements communs

PDL

un niveau

un produit

Sans capacitéDauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002)

13

1

T

t t t t t tt

s Y p X h I

1t t t tI X d I t

1 1

t t T

k ksk k s k

X d t

2 2 2

1 1

1 2 1 2, ( )t t t

k klk t k t l k

X d t t t t

T

t t kk t

X Y d t

, 0t tI X t

0 ou 1tY t

Minimiser

Sous :

Modèle mathématique

Problème de Wagner-Whitin

Problème à clients spécifiques

Problème à clients non spécifiques

14

Complexité et algorithme de résolution du problème à clients spécifiques (CS)

Semaine 1

Semaine 2

Semaine 3

Semaine 4

Semaine 5

d14

d34

d12

d25

Problème NP-difficile ?

Résolu par programmation dynamiqueen temps exponentiel [Dauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002)]

Non divisibilité de la demande : Il existe une solution optimale du problème où dst est produite dans une même période s≤ k ≤t.

Regroupement des demandes :ds2t2

ds1t1

k

ds1t1

ds2t2

15

Algorithme de programmation dynamique pour le problème à clients

spécifiques (CS)

0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

900

960

13 14 15 16 17 18 19 20 21

Nombre de périodes de l'horizon de planification

Sec

on

des

Temps de calcul (secondes) par rapport à l’horizon de planification et à la densité des fenêtres de temps

TWD = 0.8

TWD = 0.6

TWD = 0.4

TWD = Densité des fenêtres de temps = Nombre de demandes positives

Nombre maximal possible de demandes

16

L’algorithme exponentiel du problème à clients spécifiques

(CS) s’exécute en O(T4) quand les fenêtres de temps sont à

clients non spécifiques (NCS)

Algorithme de programmation dynamique pour la problème à clients

non spécifiques (NCS)

d14

d24

d35

d12

Semaine 1

Semaine 2

Semaine 3

Semaine 4

Semaine 5

17

Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et sans temps de

préparation

multi niveaux

un produit

Rupture de stock


Refabrication

Avec capacité

Sans capacité


Lancements communs

PDL

un niveau

multi produits


18

Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité

•Planifier la production de N produits sur T périodes•Une ressource à capacité limitée.•La production d’une unité du produit i à la période t

consomme σi unités de la capacité Ct.

Complexité:

Le problèmes sans fenêtres de temps est NP-difficile au sens fort (Chen & Thizy, 1990).

Le problèmes avec fenêtres de temps est NP-difficileau sens fort.

19

, 1i t it it itI X d I ,i t

1

N

i it ti

X C

t

,i tT

it il itl t

X d Y

,i t0 ou 1itY

,i t0itX 0itI

Sous :

1 1

t t T

ik iksk k s k

X d

,i t

2 2 2

1 1

t t t

ik iklk t k t l k

X d

1 2 1 2, , ( )i t t t t

Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité.

Modèle mathématique (clients spécifiques CS)

1 1

N T

it it it it it iti t

s Y p X h I

Min

21

20


1

N

i it ti

X C

t

,i tT

it il itl t

X d Y

,i t0 ou 1itY

,i t0itX 0itI

Sous :

1 1

t t T

ik iksk k s k

X d

,i t

2 2 2

1 1

t t t

ik iklk t k t l k

X d

1 2 1 2, , ( )i t t t t


Modèle mathématique (clients NON spécifiques NCS)

1 1

N T


s Y p X h I

Min

22

21

Points clés d’une heuristique Lagrangienne :

(e.g. Fisher, 1984)1. Relaxer les contraintes difficiles

Contraintes de capacité

+/- contraintes de fenêtres de temps

2. Résoudre le problème relaxé

Problèmes à un produits sans contraintes de capacité

(1) Sans fenêtres de temps (Wagner-Whitin),

(2) Avec fenêtres de temps à clients non spécifiques

(3) Avec fenêtres de temps à clients spécifiques

3. Modifier le problème relaxé et construire des solutions réalisablesHeuristiques basées sur trois procédures

4. Mettre à jour les multiplicateurs Lagrangiens

Méthode du sous gradient

22

2 2 2

1 1

t t t

ik iklk t k t l k

X d

1 2 1 2, , ( )i t t t t

Exponentiel


1

N

i it ti

X C

t

,i tT

it il itl t

X d Y

,i t0 ou 1itY

,i t0itX 0itI

Sous :

1 1

t t T

ik iksk k s k

X d

,i t


Quelles contraintes relaxer (CS) ?

O(TlogT)

O(T4)

1 1

N TL


s Y p X h I

1

t T TLit it i t ikl ik

k l t k t

p p

Min + constante

t1 2it t

it

CS

WW

NCS

26

23


1

N

i it ti

X C

t

,i tT

it il itl t

X d Y

,i t0 ou 1itY

,i t0itX 0itI

Sous :

1 1

t t T

ik iksk k s k

X d

,i t


Quelles contraintes relaxer (NCS) ?

O(TlogT)

O(T4)

1 1

N TL


s Y p X h I

Min + constante

tit

WW

NCS

27

24

Résumé des différentes relaxations

Nom de la relaxation

Sous- problèmes

Résolus en

Clients spécifiques

CS-CS CS Exponentiel

CS-NCS NCS O(T4)

CS-WW WW O(TlogT)

Clients non spécifiques

NCS-NCS NCS O(T4)

NCS-WW WW O(TlogT)

25

Construction de solutions réalisables

26

Construction de solutions réalisables

Première contrainte de fenêtres de

temps

Début

Deuxième contrainte de

fenêtres de temps

Satisfaire les contraintes de

capacité

Fin

La production dépasse ce qui est disponible

La production n’est pas suffisante pour satisfaire la demande désagrégée

La production dépasse la capacité

Produit par produit

Considérer l’ensemble des produits (basée sur

TTM 1989)

27

Utilisation des inégalités valides Problème à clients spécifiques (CS)

Dans les relaxations CS-NCS et CS-WW

Si ditt>0 alors Yit=1

,ittit T

ill t

dY i t

D

28

Utilisation des inégalités valides Exemple : Relaxation CS-WW

, 1i t it it itI X d I tT

it il itl t

X d Y

0 ou 1itY

0itX 0itI

Sous :

1

Min T

Lit it it it it it

t

s Y p X h I

t

t

t

Pour chaque produit i on a le problème

,ittit T

ill t

dY i t

D

Exemple : écart entre la borne inférieure et la borne supérieure

0.97 %5.85 %

Avec inégalités valides

Sans inégalités valides

29

Résultats numériques : Résumé

UB - LBEcart (%) 200*

UB LB

•Données générées aléatoirement pour plusieurs paramètres (nombre de produits, densité des fenêtres de temps, coût de préparation…)

•Longueur de l’horizon : T=12 périodes

•Nombre maximum d’itérations : 100


Ecart moyen

Temps de calcul

CS-CS 0.02 % 2.04 secs

CS-NCS 0.25 % 0.59 secs

CS-WW 0.34 % 0.08 secs


Ecart moyen

Temps de calcul

NCS-NCS 0.07 % 0.27 secs

NCS-WW 0.91 % 0.07 secs

30

Résultats numériques détaillésProblème à clients spécifiques (CS)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0.1 0.6 0.9 10 20 50 100 200 20 40 60 80 50 100 200 400 1 1.2 1.6 2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 6 12 6 3 2

CS-WW

CS-NCS

CS-CSMoyennes

0.34 %

0.25 %

0.02 %

TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX

~Opt = 2

UB(CS-CS) +LB(CS-CS) Solutions optimales estimées :

Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures

31

CS-WW

CS-NCS

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.1 0.6 0.9 10 20 50 100 200 20 40 60 80 50 100 200 400 1.0 1.2 1.6 2.0 0.4 0.6 0.8 1.0 1 3 6 12 6 3 2

TWD Produits Demande prépa/stock Capa/Dem Absorbtion LMIN LMAX

0.40

0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0.10

0.10

0.00

UB

LB

Résultats numériques détaillésProblème à clients spécifiques (CS)

Ecart de la borne inférieure par rapport à l’optimum estimé

~Opt = 2

UB(CS-CS) +LB(CS-CS)

Ecart de la borne supérieure par rapport à l’optimum estimé

LMIN = 2UB -> 1.38 %LB -> 1.84 %

Absorption

32

Résultats numériques détaillésProblème à clients non spécifiques

0

0.5

1

1.5

2

2.5

NCS-WW

NCS-NCS

Moyenne

0.91 % (NCS-WW)

0.07 % (NCS-NCS)

Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures

TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX

33

Suggestions pour la résolution des problèmes à plusieurs produits

Problèmes à clients spécifiques

Problèmes à clients non spécifiques

T ≤ 18 périodes CS-CS NCS-NCS

19 ≤ T ≤ 48 périodes

CS-NCS NCS-NCS

T > 48 périodes CS-WW NCS-WW

34

multi produits


Problèmes à un produit avec contraintes de capacité

multi niveaux

Rupture de stock


Refabrication

Sans capacité


Lancements communs

PDL

un niveau

un produit

Avec capacité

35

Problème avec fenêtres de temps à un produit et avec

contraintes de capacité

Problème NP-difficile (Florian, Lenstra et Rinnooy Kan, 1980)

Résolution heuristique basée sur la relaxation Lagrangienne.

Utiliser l’heuristique Lagrangienne développée pour le problème multi-produits

Etudier les caractéristiques de ce problème et adapter l’approche

Versus

36

Min

Cas du problème à un produit avec contraintes de capacité

(Problème à clients spécifiques)

1. Quelles contraintes relaxer ? Multi produits ou Un produit ?

1

T

t t t t t tt

s Y p X h I

1t t t tI X d I t

1 1

t t T

k ksk k s k

X d t

2 2 2

1 1

1 2 1 2, ( )t t t

k klk t k t l k

X d t t t t

T

t t kk t

X Y d t

, 0t tI X t

0 ou 1tY t

Sous :

t tX C t

min( , )T

t t k tk t

X C d Y t

37

2. Pré-lissage de la demande

Capacité

Notre contribution : Pré-lissage de la demande disponible

Bitran et Yanasse (1982) : Pré-lissage de la demande agrégée

Problème initial Problème équivalent

0

5

10

15

Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 40

5

10

15


0

5

10

15


5

10

15


Capacité

Problème initial Problème équivalent

Demande agrégée dépasse la capacité

Demande disponible dépasse la capacité

38

Problèmes à un produit avec contraintes de capacité

Problèmes à clients spécifiques (CS) : Résultats numériques

Ancienne approche

Nouv. contraintes de capacité (seules)

Pré-lissage

(seul)

Nouvelle approche

Famille 1 15.28 % 3.49 % 1.68 % 0.58 %

Famille 2 16.15 % 4.64 % 1.91 % 0.65 %

Famille 3 26.99 % 5.35 % 1.95 % 0.79 %

Famille 4 15.90 % 8.65 % 0.07 % 0.07 %

Famille 5 16.15 % 4.64 % 1.91 % 0.65 %

Famille 6 0.98 % 0.61 % 0.53 % 0.24 %

Moyenne 15.24 % 4.56 % 1.34 % 0.50 %

Ecarts moyens (%) entre les bornes inférieures et les bornes supérieures : Relaxation CS-NCS

Conclusion : L’exploitation de la structure des problèmes à un produit améliore considérablement la qualité des heuristiques Lagrangiennes

39

un produit

Sans capacité

Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et avec temps de

préparation

multi niveaux

Rupture de stock


Refabrication

Avec capacité


Lancements communs

PDL

un niveau

multi produits Avec temps de

préparation

40

Temps de préparation (e.g. Trigeiro, Thomas, et McClain, 1989)

Semaine 1 Semaine 2

Prod 1 Prod 2 Prod 1 Prod 2

Semaine 1 Semaine 2

Prod 1 Prod 2 Prod 1 Prod 2

Préparation Production

Optimisation Problème NP-difficile au sens fort

Faisabilité Problème NP-complet Maes, McClain et Van Wassenhove (1991)

41

2 2 2

1 1

t t t

ik iklk t k t l k

X d

1 2 1 2, , ( )i t t t t


1

i i

N

i it ti

tX Y C

t

,i tT

it il itl t

X d Y

,i t0 ou 1itY

,i t0itX 0itI

Sous :

1 1

t t T

ik iksk k s k

X d

,i t

Extension du modèle mathématique

1 1

N TL


s Y p X h I

Min

41

Adapter l’heuristique Lagrangienne du problème à plusieurs produits pour prendre en considération les temps de préparation

Adapter l’heuristique Lagrangienne du problème à plusieurs produits pour prendre en considération les temps de préparation

42

Résultats numériques

Jeux de données obtenus en transformant les problèmes de Trigeiro, Thomas et McClain (1989) en problèmes avec fenêtres de temps.

Périodes : T=20 Produits : N=10, 20, 30 Résultats pour les relaxations CS-NCS et CS-WW;

NCS-NCS et NCS-WW

Aucune solution réalisable pour 38 problèmes sur 540.C’est aussi le cas pour un logiciel standard d’optimisation

(Xpress-MP) après plusieurs jours d’exécution.

43

Résultats numériquesProblèmes avec temps de

préparation


Ecart moyen

Temps de calcul

CS-NCS 6.34 % 4 secs

CS-WW 6.66 % 0.4 secs


Ecart moyen

Temps de calcul

NCS-NCS 2.57 % 4 secs

NCS-WW 5.04 % 0.3 secs

44

Conclusions

Etat de l’art sur les problèmes à un produit Intégration des fenêtres de temps Résolution des problèmes à un produit (méthodes

exactes et heuristiques) Etat de l’art sur les problèmes à plusieurs produits Heuristiques Lagrangiennes pour les problèmes à

plusieurs produits avec et sans temps de préparation

45

Perspectives

A court terme Complexité du problème à un produit avec fenêtres de

temps à clients spécifiques Améliorer les algorithmes de programmation dynamique

pour le problème à un produit Méthode exacte pour analyser les bornes des relaxations

A moyen terme Utiliser ces résultats pour résoudre des problèmes à

plusieurs niveaux Intégration des contraintes d’ordonnancement

Documents

1 Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé,