10. Osnove Teorije Grafova I

OSNOVE TEORIJE GRAFOVA

() 8. sijecnja 2012. 1 / 19


Podrucje koje cemo obradivati zove se i osnove teorije grafova.

Grafovi su jedna od osnovnih i najcesce primjenjivanijih matematickih struktura.

Brojne pojave i situacije se modeliraju pomocu grafova.

Grafovi se uvijek sastoje od tocaka i spojnica, npr.

tocke spojnice

ljudi iz skupine parovi prijateljagradovi ceste/zeljeznicke prugemolekule kemijske veze

() 8. sijecnja 2012. 2 / 19


Definicija

Graf je ureden par G = (V , E) gdje je ∅ 6= V = V (G) skup vrhova (vertex), aE = E(G) skup bridova (edge) dusjunktan sa V , a svaki brid e ∈ E spaja dva vrhau, v ∈ V koji se zovu krajevi od e.

() 8. sijecnja 2012. 3 / 19


Definicija


Preciznije:

Definicija

Graf je uredena trojka G = (V , E , ϕ) gdje je ϕ : E →((

V

2

))

funkcija koja svakom bridue pridruzuje 2-clani multiskup vrhova ϕ(e) = {u, v} koji se zovu krajevi od e. Joskazemo da su vrhovi u i v INCIDENTNI s e, a u i v su susjedni.

() 8. sijecnja 2012. 3 / 19


Definicija


Preciznije:

Definicija

Graf je uredena trojka G = (V , E , ϕ) gdje je ϕ : E →((

V

2

))

funkcija koja svakom bridue pridruzuje 2-clani multiskup vrhova ϕ(e) = {u, v} koji se zovu krajevi od e. Joskazemo da su vrhovi u i v INCIDENTNI s e, a u i v su susjedni.

Graf G je konacan ako su V i E konacni skupovi, inace je beskonacan.

() 8. sijecnja 2012. 3 / 19


Grafovi G i H su izomorfni, G ≈ H, ako postoje bijekcije θ : V (G) → V (H) iϕ : E(G) → E(H) tako da je vrh V incidentan s bridom e u G ako i samo ako je θ(v)incidentan s ϕ(e) u H.

Tada se ureden par f = (θ, ϕ) : G → H zove IZOMORFIZAM iz G u H (izomorfizamcuva incidenciju i susjednost).

-brid ciji se krajevi podudaraju zove se PETLJA, a ako su krajevi razliciti-PRAVI BRID(ili KARIKA).

-dva ili vise bridova s istim parom krajeva zovu se visestruki bridovi.

PRAVI BRID PETLJA

VIŠESTRUKI BRIDOVI

() 8. sijecnja 2012. 4 / 19


-graf je jednostavan ako nema ni petlji ni visestrukih bridova

-graf s jednim vrhom - trivijalanako je E(G) = ∅ → prazan graf

- promatrati cemo samo konacne grafove, a dva osnovna parametra vezana uz konacnegrafove su

v(G) = |V (G)| =RED OD G= broj vrhova od G

e(G) = |E(G)| =VELICINA OD G= broj bridova od G

() 8. sijecnja 2012. 5 / 19


NEKI SPECIJALNI GRAFOVI:

-jednostavan graf u kojem je svaki par vrhova spojen bridom - POTPUN GRAF-do na izomorfizam postoji jedinstven potpun graf s n vrhova (i

(

n

2

)

bridova), oznaka Kn

V (Kn) = {1, 2, . . . , n} = [n], E(Kn) =

(

[n]

2

)

.

() 8. sijecnja 2012. 6 / 19



BIPARTITAN GRAF- skup vrhova se moze particionirati u dva skupa X i Y tako dasvaki brid ima jedan kraj u X , a drugi u Y .(X , Y )-biparticija grafa

POTPUN BIPARTITAN GRAF- jednostavan bipartitan graf s biparticijom (X , Y ) ukojem je svaki vrh iz X spojen sa svakim vrhom u Y .

-ako je |X | = m i |Y | = n, takav je graf jedinstven do na izomorfizam i oznacava se sKm,n

v(Km,n) = m + n, e(Km,n) = m · n

K1 K2 K3 K4 K5

K2K1,1 K1,2 K2,3

() 8. sijecnja 2012. 7 / 19



CIKLUS Cn: jednostavan graf s n vrhova V = [n] i skupom bridovaE = {{i , i + 1} : i < n} ∪ {1, n}

K3C3 C4C3 C5

PUT Pn: jednostavan graf s n vrhova, V = [n], E = {{i , i + 1} : i < n}

K2,12 P4P P6

() 8. sijecnja 2012. 8 / 19


-cesto zna biti korisno relacije incidencije i susjedstva u grafu prikazati matricama

-neka je G graf s vrhovima v1, . . . , vn i bridovima e1, . . . , em u nekom poretku

MATRICA INCIDENCIJE grafa G je pravokutna n ×m matrica M = M(G) = [mij ], gdjeje mij broj koliko puta su vi i ej incidentni (0,1 ili 2).Ova matrica potpuno odreduje graf!

MATRICA SUSJEDSTVA grafa G je kvadratna n × n matrica A = A(G) = [aij ] gdje jeaij broj bridova koji spajaju vi i vj .A je simetricna matrica ciji su clanovi nenegativni cijeli brojevi-ako je graf jednostavan, tada je aij = 0 ili 1 ∀i , j , a aii = 0 ∀i .

Matrica susjedstva je u pravilu mnogo manja od matrice incidencije.

() 8. sijecnja 2012. 9 / 19


PRIMJER:G:

v1 v2

v3

v4

e1

e2

e3e

4

e5

e6

e7

M(G) =

1 1 0 1 0 0 11 1 1 0 0 0 00 0 1 1 1 0 00 0 0 0 1 2 1

A(G) =

0 2 1 12 0 1 01 1 0 11 0 1 1

-primijetimo da je suma elemenata svakog stupca od M(G) jednaka 2

() 8. sijecnja 2012. 10 / 19


Neka su G i H grafovi. Ako je V (H) ⊆ V (G) i E(H) ⊆ E(G), a svaki brid iz H ima istekrajeve u H kao sto ima u G , onda kazemo da je H PODGRAF od G i pisemo H ⊆ G , aG zovemo NADGRAF od H.

- H zovemo RAZAPINJUJUCI PODGRAF od G ako je H ⊆ G i V (H) = V (G).

-potpun podgraf H ⊆ G zove se KLIKA u G .

UNIJA dvaju podgrafova G1, G2 ⊆ G je podskup G1 ∪ G2 ciji je skup vrhovaV (G1) ∪ V (G2), a skup bridova E(G1) ∪ E(G2).

PRESJEK G1 ∩ G2 je podgraf sa skupom vrhova V (G1) ∩ V (G2) i skupom bridovaE(G1) ∩ E(G2).

-neka je G = (V , E), a V ′ ⊆ V

-podgraf od G ciji je skup vrhova V \ V ′, a skup bridova se sastoji od bridova iz G cijasu oba kraja u V \ V ′ oznacavamo s G − V ′.

-slicno za E ′ ⊆ E , podgraf od G ciji je skup vrhova V , a skup bridova E \ E ′

oznacavamo s G − E ′

() 8. sijecnja 2012. 11 / 19


- u slucaju V ′ = {v} ili E ′ = {e} → G − v ili E − e, kazemo da smo odstranili V ′

odnosno E ′.

Ako je ∅ 6= V ′ ⊆ V , onda se podgraf od G ciji je skup vrhova V ′, a skup bridova jepodskup od E cija su oba kraja u V ′, zove podgraf induciran s V ′ i oznacava s G [V ′].

Za E ′ ⊆ E , podskup od G ciji je skup vrhova skup krajeva od E ′, a skup bridova E ′,

zove se podgraf induciran bridovima E ′ i oznacava s G [E ′].

() 8. sijecnja 2012. 12 / 19


Primjer:

z

wy

c de

b

x

f

a

G=

z

wy

b

x

f

a

RAZAPINJUJUĆIPODGRAF OD G

wye

fG-{x,z}

z

wy

c de

x

f

G-{a,b}

z

wy

c

e

x a

BRIDOVIMA INDUCIRANPODGRAF G[{a,c,e}]

z

y

b

x a

INDUCIRANIPODGRAF G[{x,y,z}]

() 8. sijecnja 2012. 13 / 19


- skup susjeda vrha v ∈ V (G) u grafu G oznacavamo sa NG (v)

-ako je G jednostavan graf, onda definiramo STUPANJ VRHA v , dG (v) kao broj susjedaod v

-opcenito, u bilo kojem grafu G je stupanj od v broj dG (v) bridova od G incidentnih sav , pri cemu se svaka petlja racuna kao dva brida-intuitivno, stupanj vrha je broj sjecista male kruznice oko vrha s linijama koje izlaze iztog vrha

-nekad pisemo samo d(v) umjesto dG (v)

-oznake za minimalni i maksimalni stupanj grafa

δ := δ(G) := minv∈V (G)dG (v)

∆ := ∆(G) := maxv∈V (G)dG (v)

-graf G je d-REGULARAN ako je δ(v) = d ∀v ∈ V (G), a REGULARAN ako jed-regularan za neko d ≥ 0.

-vrh v je IZOLIRAN, ako je d(v) = 0, a LIST ako je d(v) = 1.

-tako je npr. potpun graf Kn (n − 1)-regularan, a potpun bipartitni graf Kn,n n-regularan

() 8. sijecnja 2012. 14 / 19


Propozicija 1

U svakom je grafu G = (V , E) zbroj svih stupnjeva jednak dvostrukom broju bridova

∑

v∈V

d(v) = 2 · e(G).

() 8. sijecnja 2012. 15 / 19


Propozicija 1

U svakom je grafu G = (V , E) zbroj svih stupnjeva jednak dvostrukom broju bridova

∑

v∈V

d(v) = 2 · e(G).

Dokaz: Neka je M matrica incidencije grafa G , izracunajmo sumu njenih clanova takoda zbrojimo retke i stupce

-suma svakog stupca je 2, a suma clanova retka od M koji odgovara vrhu v je d(v)

-ako zapisemo M = [mve ], v ∈ V , e ∈ E imamo

∑

v∈V

d(v) =∑

v∈V

∑

e∈E

mve =∑

e∈E

∑

v∈V

mve =∑

e∈E

2 = 2 · e(G)

�

() 8. sijecnja 2012. 15 / 19


Korolar 1 (Lema o rukovanju)

U svakom je grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj. (ili: na svakom je skupubroj onih koji su se rukovali sa neparnim brojem ostalih paran broj.)

() 8. sijecnja 2012. 16 / 19




Dokaz: Konstruirajmo graf ovako:vrhovi su svi clanovi skupa (zabave), a dva vrha spojimo bridom ako i samo ako su se ticlanovi rukovali

-Po propoziciji 1 imamo∑

v∈V

d(v) = 2e(G)

∑

v∈V (d(v)-paran)

d(v) +∑

v∈V (d(v)-neparan)

d(v) = 2e(G)

-prva suma i desna strana su parni nenegativni cijeli brojevi pa i druga suma mora bititakva⇒∑

v∈V (d(v)-neparan) d(v) = 2n n ∈ Z+

() 8. sijecnja 2012. 16 / 19




Dokaz:-kako su sumandi neparni, mora ih biti paran broj⇒ |{v ∈ V : d(v)neparan}| je paran broj⇒ broj vrhova neparnog stupnja je paran broj �

() 8. sijecnja 2012. 17 / 19

SETNJE, PUTOVI I POVEZANOST GRAFOVA

Setnja u grafu G je niz W := v0e1v1e2 · · · ehvh ciji clanovi su naizmjenicno vrhovi vi ibridovi ei , tako da su krajevi od ei vrhovi vi−1 i vi (1 ≤ i ≤ h)

U jednostavnom grafu setnja je potpuno odredena samo nizom vrhova v0, v1, . . . , vh.

Kazemo da je v0 pocetak, a vh kraj setnje W ili da je W setnja od v0 do vh ili(v0, vh)-setnja.

h-duljina setnje

v1, v2, . . . , vh−1 =unutarnji vrhovi setnje

W = v0e1v1 · · · ehvh, W ′ = vheh+1vh+1 · · · elvl

NADOVEZIVANJE: v0e1v1 · · · ehvheh+1vh+1 · · · elvl

W−1 = vheh · · · v1e1v0 -INVERZNA SETNJA

() 8. sijecnja 2012. 18 / 19

SETNJE, PUTOVI I POVEZANOST GRAFOVA

Setnja W je zatvorena ako je v0 = vh

-ako su svi bridovi e1, e2, . . . , eh setnje W medusobno razliciti, onda se W zove STAZA

-ako su, osim bridova, i svi vrhovi medusobno razliciti, onda se zove PUT

-zatvorena staza pozitivne duljine ciji su vrhovi (osim krajeva) medusobno razliciti zovese CIKLUS

-vrhovi u i v grafa G su povezani ako postoji (u, v)-put u G

-udaljenost dG (u, v) ili d(u, v) je duljina najkraceg (u, v)-puta u G

DIJAMETAR grafa G : diam(G) je maksimalna udaljenost medu njegovim bridovima, tj.duljina puta maksimalne duljine u G

-STRUK je duljina najkraceg ciklusa

-ciklus je (ne)paran ako je (ne)parne duljine

() 8. sijecnja 2012. 19 / 19

Documents

10. Osnove Teorije Grafova I