LEZIONE 10

10.1. Distanze.

Definizione 10.1.1. In Sn sia fissata un’unita di misura u. Se A,B ∈ Sn,definiamo distanza fra A e B, e scriviamo d(A,B), la lunghezza del segmentoAB rispetto ad u.

Abbiamo gia precedentemente visto come calcolare la lunghezza del segmentoavente come estremi due punti A,B ∈ S3 di cui si conoscono le coordinate rispettoad un fissato sistema di riferimento O~ı~~k . Se A = (xA, yA, zA) e B = (xB , yB , zB)allora

d(A,B) = |AB| = | ~AB| =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2.

(si veda la Formula (6.2.8)).Vogliamo estendere la nozione di distanza ad una qualsiasi coppia di sottoinsiemi

X,Y ⊆ Sn. A tale scopo osserviamo che, in generale, X ed Y conterranno piupunti, quindi avremo piu segmenti aventi un estremo in X ed uno in Y .

x

x

x

yy

y

1

122

3 3

X

Y

d(X,Y)

Figura 10.1.2

E possibile percio associare agli insiemi X ed Y un insieme di numeri reali

DX,Y = { d(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.

Poiche d(x, y) ≥ 0 per ogni coppia di punti x, y ∈ Sn segue che DX,Y ⊆ [0,+∞[.In particolare DX,Y e un insieme limitato inferiormente, quindi risulta avere unestermo inferiore per la completezza di R.

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1

2 10.2. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA O DA UN PIANO

Definizione 10.1.3. In Sn sia fissata un’unita di misura u. Se X,Y ⊆ Sn,definiamo distanza fra X e Y il numero

d(X,Y ) = inf{ d(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.

Verrebbe naturale pensare alla distanza fra X ed Y come alla “minima” delledistanze fra i punti di X ed i punti di Y . In generale cio non e vero.

Esempio 10.1.4. Si considerino in S2 gli insiemi X = { (−1/n, 0) |n ∈ Z, n > 0 }e Y = { (0, 0) }. Allora

d(X,Y ) = inf{ d((−1/n, 0), (1, 0)) | n ∈ Z, n > 0 } = 0

ma, chiaramente,

d((−1/n, 0), (0, 0)) =1n> 0

per ogni n ∈ Z, n > 0.

Chiaramente se X = { A } e Y = { B } allora

d(X,Y ) = d(A,B).

Inoltre sia X ∩ Y 6= ∅. Scelto A ∈ X ∩ Y risulta

0 ≤ d(X,Y ) = inf{ d(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } ≤ d(A,A) = 0,

sicche d(X,Y ) = 0. Il viceversa, cioe se d(X,Y ) = 0 allora X ∩ Y 6= ∅, non e vero(si veda l’Esempio 10.1.3).

10.2. Distanza di un punto da una retta o da un piano.Andiamo ora ad esaminare i vari casi in cui X e un punto fissato P0 ed Y e una

retta o un piano. A tale scopo ci restringeremo al caso di sottoinsiemi dello spazioS3 e supporremo, d’ora innanzi, di aver fissato un sistema di riferimento O~ı~~k :sia P0 = (x0, y0, z0).

Consideriamo come primo caso quello di un piano α di equazione ax+by+cz = d.Si deve valutare

d(P0, α) = inf{ d(P0, P ) | P ∈ α }.

Si consideri la retta r passante per P0, perpendicolare ad α e sia H il punto diintersezione di r con α. Allora se P ∈ α il triangolo di vertici P0, H e P risultaessere rettangolo in H. E noto dalla geometria elementare che, in un triangolorettangolo, la lunghezza dell’ipotenusa e sempre maggiore od eguale alla lunghezzadi ogni suo cateto. In particolare d(P0, H) ≤ d(P0, P ) per ogni P = (x, y, z) ∈ α.D’altra parte fra i punti che intervengono nella definizione di d(P0, α) c’e ancheH, quindi risulta

d(P0, H) ≤ d(P0, α) = inf{ d(P0, P ) | P ∈ α } ≤ d(P0, H).

LEZIONE 10 3

In particolare d(P0, α) = d(P0, H) e, dunque, l’estremo inferiore e, in questo caso,un minimo.

α

P

r

P

P1

2

H

0

Figura 10.2.1

Passiamo ora a determinare una formula esplicita per calcolare d(P0, α). Innanzitutto osserviamo che si tratta di calcolare la distanza d(P0, H): questo numeropuo essere facilmente calcolato osservando che coincide con la lunghezza dellaproiezione del vettore

P0 − P = (x0 − x)~ı + (y0 − y)~ + (z0 − z)~k

lungo una direzione r ortogonale a α.A tale scopo possiamo far uso di quanto visto nell’Osservazione 7.1.9. Si ricordi

che, dato un vettore ~w ed una retta r per l’origine, la proiezione ortogonale ~w‖, di~w lungo r si ottiene come

~w‖ =〈~w,~v〉|~v|

~v

|~v|,

ove ~v e un qualsiasi vettore parallelo a r: dunque

|~w‖| =|〈~w,~v〉||~v|

.

Nel nostro caso a~ı + b~ + c~k e perpendicolare ad α, percio

d(P0, α) = d(P0, H) = |P0 −H| =|a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)|√

a2 + b2 + c2=

=|ax0 + by0 + cz0 − ax− by − cz|√

a2 + b2 + c2.

D’altra parte P ∈ α, quindi ax+ by + cz = d, sicche otteniamo

(10.2.2) d(P0, α) =|ax0 + by0 + cz0 − d|√

a2 + b2 + c2.

4 10.2. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA O DA UN PIANO

Esempio 10.2.3. In S3 sia fissato sistema di riferimento O~ı~~k e si considerino ilpunto P0 = (1, 2, 3) e il piano α di equazione cartesiana 3x− 2y − z = 0. Allora,utilizzando la Formula (10.2.2), si ha

d(P0, α) =|3− 4− 3|√

9 + 4 + 1=

4√14.

Ovviamente la distanza d(P0, α) puo anche essere ottenuta calcolando diretta-mente come d(P0, H) = |H − P0|. Nel nostro caso la retta r passante per P0 eperpendicolare ad α ha equazioni parametriche

x = 1 + 3ty = 2− 2tz = 3− t.

Quindi H = (xH , yH , zH), punto di intersezione di r con α, corrisponde allasoluzione dell’equazione 3(1 + 3t) − 2(2 − 2t) − (3 − t) = 0, cioe a t = 2/7. Inparticolare H − P0 = (6~ı − 4~ − 2~k )/7, da cui segue

d(P0, α) = d(P0, H) = |H − P0| =√

87

(si noti che H = (13/7, 10/7, 19/7)).

Come secondo caso consideriamo quello di una retta r. Si deve valutare

d(P0, r) = inf{ d(P0, P ) | P ∈ r }.

Si consideri la retta s passante per P0, perpendicolare ed incidente a r e sia Hil punto di intersezione di r con s. Come nel caso precedente deduciamo ched(P0, r) = d(P0, H) e, di nuovo, l’estremo inferiore e un minimo.

r

s

0

P

P

H

Figura 10.2.4

Determiniamo anche in questo caso una formula per determinare d(P0, H). Sinoti che la determinazione della retta s menzionata sopra puo presentare difficolta.

LEZIONE 10 5

Infatti tale retta deve soddisfare due condizioni: di essere perpendicolare e, simul-taneamente, incidente ad r. Possiamo aggirare il problema in due modi.

Un primo modo e quello di osservare che s e sempre contenuta nel piano αpassante per P0 e perpendicolare a r, sicche r ∩ s = r ∩ α. La determinazione diun’equazione di α e, in generale, semplice, cosı come calcolarne l’intersezione Hcon r: a questo punto d(P0, r) = d(P0, H).

Un secondo modo puo essere il seguente. Siano P1 e P2 punti arbitrari su r.Allora il segmento P0H e esattamente l’altezza di un parallelogramma avente latoobliquo P0P1 e base P1P2: se A e la misura dell’area di tale parallelogramma allora

d(P0, r) = d(P0, H) = |P0H| =A

|P1P2|.

r

s

2

0

1P

P

P

H

Figura 10.2.5

Ricordiamo quanto visto nell’Osservazione 7.2.6. Se abbiamo un parallelogram-ma di cui conosciamo tre vertici consecutivi P0, P1, P2 la sua area A si determinacome

A = |(P0 − P1)× (P1 − P2)|.

Consideriamo il nostro caso. Se r e data tramite le sue equazioni parametrichex = x1 + lt

y = y1 +mt

z = z1 + nt.

Allora, presi ad esempio P1 e P2 i punti corrispondenti rispettivamente a t = 0 et = 1, cioe P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x1 + l, y1 +m, z1 + n), segue che

(10.2.6) d(P0, r) =|((x0 − x1)~ı + (y0 − y1)~ + (z0 − z1)~k )× (l~ı +m~ + n~k )|√

l2 +m2 + n2.

6 10.3. DISTANZA DI UN PIANO DA UNA RETTA O DA UN PIANO

Esempio 10.2.7. In S3 sia fissato sistema di riferimento O~ı~~k e si considerino ilpunto P0 = (1, 2, 3) e la retta r di equazioni parametriche

x = 3 + t

y = t− 2z = 2t− 3.

Un vettore parallelo a r e ~v = ~ı + ~ + 2~k . Allora il piano α passante perP0 e perpendicolare a r ha equazione cartesiana x + y + 2z = 9. Quindi ilpunto d’intersezione H = (xH , yH , zH) di r con α corrisponde alla soluzionedell’equazione

(3 + t) + (t− 2) + 2(2t− 3) = 9

cioe t = 7/3, sicche H = (16/3, 1/3, 5/3). Risulta H −P0 = (13~ı − 5~ − 4~k )/3, dacui segue

d(P0, r) = d(P0, H) = |H − P0| =√

2109

=

√703.

Procediamo nel secondo modo utilizzando la Formula (10.2.6). Poiche

P0 − P1 = −2~ı + 4~ + 6~k ,

si ha

d(P0, r) =|(−2~ı + 4~ + 6~k )× (~ı + ~ + 2~k )|√

1 + 1 + 4=|2~ı + 10~ − 6~k |√

6=

√1406

=

√703.

10.3. Distanza di un piano da una retta o da un piano.

Andiamo ora ad esaminare il caso in cui X sia un piano. A tale scopo, comeal solito, supporremo di aver fissato sistema di riferimento O~ı~~k nello spazio S3 esia ax+ by + cz = d l’equazione di α..

Iniziamo ad esaminare il caso in cui Y sia un secondo piano α′, di equazionecartesiana a′x + b′y + c′z = d′. Se α 6 ‖α′ allora α ∩ α′ 6= ∅, dunque d(α, α′) = 0.Possiamo percio ridurci ad esaminare il caso in cui α‖α′.

Per ogni punto A ∈ α sia A′ ∈ α′ l’unico punto tale che

d(A,α′) = d(A,A′).

LEZIONE 10 7

α

A

r

α'

A'

Figura 10.3.1

Come gia osservato nel paragrafo precedente per ogni altro P ∈ α′ si had(A,A′) ≤ d(A,P ), quindi per ogni A ∈ α

d(α, α′) = inf{ d(A,A′) | A ∈ α,A′ ∈ α′ } =

= inf{ d(A,A′) | A′ ∈ α′ } = d(A,A′) = d(A,α′).

Utilizzando la Formula (10.2.2) che esprime la distanza di A = (xA, yA, zA) daα′, otteniamo subito

d(α, α′) = d(A,α′) =|a′xA + b′yA + c′zA − d′|√

a′2 + b′2 + c′2.

Poiche α‖α′ possiamo supporre che a = a′, b = b′, c = c′. Inoltre il fatto cheA ∈ α implica axA + byA + czA = d. Concludiamo allora che

(10.3.2) d(α, α′) =|d− d′|√a2 + b2 + c2

.

Esempio 10.3.3. In S3 sia fissato sistema di riferimento O~ı~~k e si considerino ipiani α, α′ e α′′ rispettivamente di equazioni cartesiane

α : x+ y + z = 1, α′ : x− y + 2z = −1, α′′ : y − 2z − x = −1.

Iniziamo a considerare i due piani α e α′. Poiche

rk(

1 1 11 −1 2

)= 2

segue che α 6 ‖α′, dunque d(α, α′) = 0.Consideriamo ora i due piani α′ e α′′. Poiche

rk(−1 1 −21 −1 2

)= 1

8 10.3. DISTANZA DI UN PIANO DA UNA RETTA O DA UN PIANO

segue che α′‖α′′. Per determinare la distanza d(α′, α′′) utilizzando la Proposizione10.3.2 si devono prima modificare le equazioni date di α′ e α′′ in modo che abbianolo stesso primo membro: possiamo allora supporre che le due equazioni sianorispettivamente

α′ : x− y + 2z = −1, α′′ : x− y + 2z = 1,

sicche la Formula (10.3.2) ci da

d(α′, α′′) =| − 1− 1|√1 + 1 + 4

=2√6.

In maniera simile si puo procedere nel caso in cui si debba calcolare la distanzafra una retta r ed un piano α. Anche in questo caso o r 6 ‖α e d(r, α) = 0 oppurer‖α e d(r, α) = d(P0, α) per un qualsiasi punto P0 ∈ α. Quindi, in questo secondocaso, si puo applicare la Formula (10.2.2).

Esempio 10.3.4. Si considerino le rette r, r′ rispettivamente di equazioni para-metriche

r :

x = 3 + t

y = t− 2z = 2t− 3,

r′ :{x+ y − z = 4x− y = 5

e il piano α di equazione 3x+ y − 2z = 0.Un vettore parallelo a r e ~vr = ~ı + ~ + 2~k mentre un vettore perpendicolare

ad α e ~vα = 3~ı + ~ − ~k . Poiche 〈~vr, ~vα〉 = 0 segue che r‖α. Pertanto, postoP0 = (3,−2,−3), dalla Formula (10.2.2) si ha

d(r, α) = d(P0, α) =13√14.

Un vettore parallelo ad r′ e

~vr′ = (~ı + ~ − ~k )× (~ı − ~ ) = −~ı − ~ − 2~k = ~vr,

quindi r′‖r e, dunque, r′‖α. Per calcolare d(r′, α) possiamo procedere in due modi.Un primo modo e quello di determinare un punto P0 ∈ r′, per esempio P0 = (5, 0, 1)e poi calcolare d(r′, α) = d(P0, α). Un altro modo e quello di osservare che il pianoα′ di equazione 3x+ y − 2z − 13 = 2(x+ y − z − 4) + (x− y − 5) = 0 contiene r′

ed e parallelo a α: percio

d(r′, α) = d(α′, α) =|9− 2 + 6|√

9 + 1 + 4=

13√14.

LEZIONE 10 9

10.4. Distanza fra due rette.Andiamo ora ad esaminare l’ultimo caso rimanente, cioe il caso in cui X ed Y

siano due rette, diciamo r ed r′. Sia O~ı~~k un sistema di riferimento fissato nellospazio S3.

Dobbiamo distinguere due casi principali. Il caso in cui r ed r′ siano complanaried il caso in cui non lo siano, ovvero il caso in cui r ed r′ siano rette sghembe.

Nel primo caso o r 6 ‖r′, sicche r ∩ r′ 6= ∅ e, dunque d(r, r′) = 0, oppure r‖r′,nel qual caso d(r, r′) = d(P0, r

′) per un qualsiasi punto P0 ∈ r.

r

0

r'

P

Figura 10.4.1

Esempio 10.4.2. In S3 sia fissato sistema di riferimento O~ı~~k e si considerinole due rette r ed r′ di equazioni parametriche

r :

x = 3 + t

y = t− 2z = 2t− 3,

r′ :

x = 1 + t

y = 2 + t

z = 3 + 2t.

Le rette r e r′ sono entrambe parallele al vettore ~v = ~ı + ~ + 2~k , quindi sonoparallele fra loro. Poiche P0 = (1, 2, 3) ∈ r′ segue dall’Esempio 10.2.7 che

d(r, r′) = d(r, P0) =

√703.

Passiamo ora ad esaminare il caso piu interessante in cui le due rette r e r′

sono sghembe. In questo caso esiste un unico piano α contenente r e paralleloa r′. Infatti siano ~vr e ~vr′ vettori non nulli paralleli a r ed r′ rispettivamente.Poiche r 6 ‖r′ segue che ~vr 6 ‖~vr′ , sicche il vettore ~w = ~vr × ~vr′ e non nullo. Ognipiano contenente r e parallelo ad r′ deve essere parallelo sia a ~vr che a ~vr′ , quindideve essere perpendicolare a ~w: dovendo intersecare r tale piano e univocamentedeterminato.

In modo simile si dimostra l’esistenza e l’unicita di un piano α′ contenente r′ eparallelo a r. Poiche, per definizione, r ⊆ α e r′ ⊆ α′ si ha

d(α, α′) ≤ d(r, r′).

10 10.4. DISTANZA FRA DUE RETTE

Vedremo nel seguito che, di fatto, vale l’uguaglianza e, quindi, il calcolo delladistanza d(r, r′) si riduce al piu semplice calcolo della distanza fra i due pianiparalleli α e α′.

Proposizione 10.4.3. Siano r, r′ rette sghembe. Esiste un’unica retta s incidentee perpendicolare sia a r che ad r′.

Dimostrazione. Fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in S3 avente r′ come assedelle ascisse. Allora dei sistemi di equazioni parametriche per r e r′ sono

x = x0 + lt

y = y0 +mt

z = z0 + nt,

x = t

y = 0z = 0.

Poiche r 6 ‖r′ segue che m ed n non sono simultaneamente nulli.Vogliamo dimostrare che esistono due punti R ∈ r e R′ ∈ r′ univocamente

determinati tali che R−R′ ⊥ r e R−R′ ⊥ r′. Poiche

(10.4.3.1) R−R′ = (x0 + lt− t′) + (y0 +mt) + (z0 + nt),

r e parallela a l~ı+m~+n~k e r′ e parallela a~ı segue che i punti cercati corrispondonoalle eventuali soluzioni del sistema

(10.4.3.2){ 〈R−R′,~ı 〉 = 0

〈R−R′, l~ı +m~ + n~k 〉 = 0.

Si noti che allora R − R′ e parallelo al vettore ~w = ~ı × (l~ı + m~ + n~k ) che eperpendicolare ad ogni piano parallelo sia a r che ad r′.

Sostituendo l’espressione di R − R′ data dalla Formula (10.4.3.1) nel Sistema(10.4.3.2), si ottiene il sistema esplicito{

lt− t′ = −x0

(l2 +m2 + n2)t− lt′ = −x0l − y0m− z0n.

Poiche ∣∣∣∣ l −1l2 +m2 + n2 −l

∣∣∣∣ = −l2 + l2 +m2 + n2 = m2 + n2

che e diverso da zero perche m ed n non sono simultaneamente nulli, seguel’esistenza e l’unicita dei punti R ed R′ cercati e, di conseguena, della retta s. �

La retta s definita nell’enunciato della Proposizione 10.4.3 viene detta retta diminima distanza fra r ed r′. Tale retta e perpendicolare ad ogni piano simulta-neamente parallelo sia a r che ad r′.

I punti R ed R′ rispettivamente intersezione di r ed r′ con s soddisfano evi-dentemente la condizione d(r, r′) ≤ d(R,R′). Poiche si ha anche che la retta s

LEZIONE 10 11

e perpendicolare sia a α che a α′ risulta anche d(R,R′) = d(R,α′) = d(α, α′).Anche in questo caso l’estremo inferiore che definisce la distanza d(r, r′) e, quindi,un minimo.

α

R

rα'

R'r'

s

Figura 10.4.4

Esempio 10.4.5. In S3 sia fissato sistema di riferimento O~ı~~k e si considerinole rette r ed r′ rispettivamente di equazioni parametriche

r :

x = 3 + t

y = t− 2z = 2t− 3,

r′ :

x = −ty = t− 2z = 2t+ 1.

La retta r e parallela al vettore ~vr = ~ı + ~ + 2~k , mentre la retta r′ e parallela lavettore ~vr′ = −~ı + ~ + 2~k , quindi r 6 ‖r′. Inoltre il sistema

3 + t = −t′

t− 2 = t′ − 22t− 3 = 2t′ + 1,

non ha soluzione. Concludiamo che r ed r′ sono sghembe.Vogliamo determinare d(r, r′). A tale scopo procediamo come nella dimostra-

zione della Proposizione 10.4.2, determinando due punti R ∈ r ed R′ ∈ r′ tali cheR−R′ ⊥ ~vr, ~vr′ . Si ha

R−R′ = (3 + t+ t′)~ı + (t− t′)~ + (2t− 2t′ − 4)~k ,

dunque le condizioni R−R′ ⊥ ~vr, ~vr′ si traducono nel sistema{6t− 4t′ = 54t− 6t′ = 11

la cui unica soluzione e data da t = −7/10 e t′ = −23/10 corrispondente ai duepunti

R = (23/10,−27/10,−44/10), R′ = (23/10,−43/10,−36/10).

12 10.5. ANGOLI

Segue che

d(r, r′) = d(R,R′) =√

0 + 256 + 6410

=4√10

Per completezza osserviamo che la retta s di minima distanza fra r ed r′, che e laretta passante per R e R′, ha equazioni parametriche

x = 23/10y = −27/10− 16tz = −44/10 + 8t.

10.5. Angoli.In questo paragrafo vogliamo introdurre le nozioni di angolo fra due rette, due

piani, una retta e un piano e spiegare come calcolarli. Tali nozioni, al pari dellanozione di distanza, sono utili per descrivere la posizione relativa degli oggettigeometrici con cui lavoriamo.

Definizione 10.5.1. Sia O ∈ S3 e siano r, r′ ⊆ S3 rette. Diciamo che r e r′

formano un angolo ϕ ∈ [0, π] se esistono due vettori ~vr, ~vr′ ∈ V3(O), paralleli a re r′ rispettivamente, tali che vrvr′ = ϕ.

Osserviamo che se r e r′ formano l’angolo ϕ allora esse formano anche l’angoloπ − ϕ. Infatti se ~vr‖r allora anche −~vr‖r e si ha

−vrvr′ = π − vrvr′ .Ricordando quanto visto nella Lezione 7 in merito al significato geometrico delprodotto scalare si ha allora che gli angolo formati dalle due rette sono

arccos(〈vr, vr′〉|vr||vr′ |

), π − arccos

(〈vr, vr′〉|vr||vr′ |

).

Si noti che non e richiesto dalla definizione che le rette siano incidenti. In parti-colare si puo parlare di angoli fra rette parallele o sghembe.

α

O

rα'

r'

vrv

-vr'

r'

Figura 10.5.2

LEZIONE 10 13

Esempio 10.5.3. Siano date le rette

r :

x = 3 + t

y = t− 2z = 2t− 3,

r′ :{x+ 3z = 0y − z = −2.

Risulta r ∩ r′ = ∅. Infatti gli eventuali punti d’intersezione corrisponderebbero aivalori del parametro t che soddisfano simultaneamente le due equazioni 7t − 6 =t−3 = 0. Inoltre i vettori ~vr =~ı +~ + 2~k e ~vr′ = (~ı + 3~k )× (~ −~k ) = −3~ı +~ +~ksono rispettivamente paralleli alle rette r e r′. Poiche

〈~vr, ~vr′〉 = 0

segue che le due rette r e r′ formano un angolo di π/2 radianti: si dice anche chele rette r e r′ sono ortogonali.

Sia poi r′′ la retta di equazioni parametriche

r′′ :

x = t

y = t

z = t.

Si ha ~vr′′‖r′′, quindi gli angoli formati da r e r′ sono

arccos(

4√18

), π − arccos

(4√18

).

Definizione 10.5.4. Sia O ∈ S3 e siano r, α ⊆ S3 una retta e un piano rispetti-vamente. Diciamo che r e α formano un angolo ϕ ∈ [0, π] se esistono due vettori~vr, ~vα ∈ V3(O), il primo parallelo a r e il secondo perpendicolare a α, tali chevrvα = π/2− ϕ.

La ragione per cui si da la definizione sopra e che l’angolo fra r e α puo esserepensato come l’angolo formato dalla retta r con la sua proiezione ortogonale r′ sulpiano α.

Osserviamo che, anche in questo caso, se r e α formano l’angolo ϕ allora essiformano anche l’angolo π − ϕ. Sempre per il significato geometrico del prodottoscalare, tenendo conto che cos(π/2−ϕ) = sinϕ, si ha allora che gli angolo formatidalla retta e dal piano sono

arcsin(〈vr, vα〉|vr||vα|

), π − arcsin

(〈vr, vα〉|vr||vα|

).

14 10.5. ANGOLI

O

r

α

r'

v

rv

vr'

α

Figura 10.5.5

Esempio 10.5.6. Sia data la retta

r :

x = 3 + t

y = t− 2z = 2t− 3,

ed il piano α di equazione x + y + z = 0. Si noti che un vettore parallelo a r e~vr =~ı + ~ + 2~k , mentre un vettore perpendicolare a α e ~vα =~ı + ~ + ~k . Poiche

〈~vr, ~vα〉 = 4

segue che r e α formano gli angoli

arcsin(

4√18

), π − arcsin

(4√18

).

Definizione 10.5.7. Sia O ∈ S3 e siano α, α′ ⊆ S3 piani. Diciamo che α e α′

formano un angolo ϕ ∈ [0, π] se esistono due vettori ~vα, ~vα′ ∈ V3(O), perpendicolaria α e α′ rispettivamente, tali che vαvα′ = ϕ.

Se α‖α′ e facile verificare che gli angoli formati da α e α′ sono 0 e π. Supponiamoche α 6 ‖α′, sicche s = α∩α′ e una retta: allora gli angoli fra α e α′ sono gli angoliformati dalle rette r = α ∩ β e r′ = α′ ∩ β per ogni piano β perpendicolare a s.

Anche in questo caso, se α e α′ formano l’angolo ϕ allora essi formano anchel’angolo π−ϕ. Per il significato geometrico del prodotto scalare gli angolo formatidai due piani sono

arccos(〈vα, vα′〉|vα||vα′ |

), π − arccos

(〈vα, vα′〉|vα||vα′ |

).

LEZIONE 10 15

β

O

α

s

α'

v

v

α

α'

Figura 10.5.8

Esempio 10.5.9. Siano dati i piani α e α′ rispettivamente di equazioni cartesiane

α : x+ 2y − z = 1, α′ : 3x− y + z = 0.

I vettori ~αr = ~ı + 2~ − ~k e ~vα′ = 3~ı − ~ − ~k sono perpendicolari rispettivamentea α e α′. Poiche

〈~vα, ~vα′〉 = 2

segue che α e α′ i due angoli

arccos(

2√66

), π − arccos

(2√66

).