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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
El teorema Wigner-Eckart I
Veremos aquí un teorema considerado por v arios autores como uno de los más importantes
en la Mecánica Cuántica, el cual nos permite una reducción considerable de trabajo en el
cálculo de las integrales de productos que resultan del uso de operadores tensoriales
esféricos.
En la entrada prev ia “El momento de cuadripolo”, se v ió casi al final de la misma lo que se
conoce como el tensor de cuadripolo , un tensor Cartesiano definido en coordenadas
Cartesianas rectangulares:
que consta de nuev e elementos Qij y que en ocasiones es simbolizado como Q, los cuales
podemos agrupar en un arreglo rectangular como el siguiente:
El tensor de cuadripolo, por estar especificado con nuev e elementos Qij, parecería poder
proporcionar más información que la que proporciona el tensor esférico momento de
cuadripolo de segundo orden el cual consta de tan solo cinco elementos (los cuales pueden
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)
▼ agosto (136)
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de ray os-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
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La Mecánica Cuántica
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ser definidos a su v ez empleando armónicas esféricas):
Sin embargo, esto no es así. Ninguno puede proporcionar más información que el otro,
porque si bien el tensor Cartesiano de cuadripolo consta de nuev e elementos, por ser
simétrico (esto es Qij.=.Qji) en realidad solo contiene seis elementos independientes. Pero
tomando en cuenta además que la traza del tensor de cuadripolo es igual a cero, esto es:
con lo cual dados dos elementos cualesquiera de la traza podemos obtener de inmediato el
tercero, en realidad el número de elementos independientes se reduce a cinco, justo la
misma cantidad de componentes de que consta el tensor esférico para el momento de
cuadripolo. ¿Entonces por qué razón usar un tensor esférico en lugar de usar de usar de usar
el tensor de cuadripolo definido en coordenadas Cartesianas rectangulares? Porque, como
y a se señaló en la entrada “Operadores tensoriales”, los tensores esféricos
son irreducibles (esto es una consecuencia directa del hecho de que estén definidos en base
a las armónicas esféricas, las cuales también son irreducibles) mientras que los tensores
Cartesianos no lo son, lo cual los v uelv e sumamente atractiv os.
Los conceptos delineados en la entrada “El momento de cuadripolo” forman parte de las
bases que fueron asentadas para el adv enimiento de lo que puede llamarse
la espectroscopía nuclear. La física atómica nació de la necesidad de entender los
espectros atómicos, sus hermosas líneas con los colores del arco iris y sus espaciamientos
inmutables para cada átomo. Los espectros atómicos permanecieron incomprendidos por
buen tiempo hasta que Niels Bohr sugirió en 1913 que las líneas espectrales correspondían a
transiciones entre dos estados del átomo, y que eran ray os luminosos emitidos cuando un
electrón brincaba de una capa energética superior a una capa energética inferior. Lo que
v ino siendo conocido como espectroscopía atómica consistió en determinar los estados de
un átomo y sus propiedades que eran determinadas por sus funciones de onda. En
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observ ables compatibles e
incompatibles
Oscilador armónico simple: solución
matricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricial
I
Momento angular: tratamiento matricial
II
Momento angular: tratamiento matricial
III
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo de
hidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánica
matricial
La matriz momentum como generadora
de traslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
El aspecto estadístico de la Mecánica
Matricial
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contraste, la espectroscopía nuclear empezó mucho tiempo después, en los años
cincuentas. Su objetiv o era determinar también los estados del núcleo atómico, y sus
propiedades, lo cual equiv ale a determinar ev entualmente las funciones de onda que
corresponden al estado del núcleo, lo cual resultó ser más difícil de lograr en el caso del
átomo porque las interacciones que encadenan a los nucleones al átomo son menos
conocidas. Sin embargo, el modelo de capas nuclear postulado por Maria Goeppert-May er y
por Hans Jensen, extendido por Aage Bohr y Ben Mottelson con su concepto del núcleo
deformado (elipsoidal en v ez de esférico) proporcionó un modelo teorico sólido para
comprender la estructura interna del núcleo atómico. Fue precisamente en nov iembre de
1952 y en marzo de 1953 cuando Bohr y Mottelson env iaron dos cartas y a clásicas a la
publicación Physical Review . En la primera demostraron que las transiciones rápidas en el
estado basal del núcleo pueden ser explicadas si uno supone que el núcleo en lugar de tener
una forma esférica (una creencia que prev alecía desde los tiempos en los que Ernest
Rutherford postuló su modelo del átomo nuclear para explicar los resultados obtenidos en
experimentos de esparcimiento de partículas) en realidad es un núcleo deformado, e
inclusiv e estimaron momentos de cuadripolo que eran más o menos cercanos a los v alores
obtenidos experimentalmente, mientras que en su segunda carta insistieron en la
acumulación de ev idencias experimentales para apoy ar su hipótesis. Al concluir 1953,
resumieron sus conclusiones en un trabajo de 17 3 páginas titulado “Collectiv e and
indiv idual-particle aspects of nuclear structure ” publicado en el Mathematics and Physics
Communications of the Royal Society of Sciences of Denmark (Det Kgl. Danske
v idenskabernes selskab. Matematisk-fy siske meddelelser) que describe un modelo unificado
de la estructura nuclear que terminó conv irtiéndose en una referencia importante para una
generación de físicos nucleares alrededor del mundo.
Antes de entrar en detalles sobre la necesidad y la utilidad de recurrir a un teorema como el
teorema Wigner-Eckart, resulta conv eniente repasar algunos detalles que solo se
exploraron superficialmente en la entrada “El momento de cuadripolo”. La definición
misma del momento de cuadripolo implica que el meollo del asunto en su descripción
mecánico-cuántica se basa en la ev aluación de algo como lo siguiente:
en donde α es una función radial que relacionada con la función de onda total que describe
el estado del sistema:
Ev olución temporal de los sistemas
físicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación de
onda
Solución numérica de la ecuacion de
Schrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: solución
ondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflex ión de partículas I
Transmisión y reflex ión de partículas II
Transmisión y reflex ión de partículas III
Transmisión y reflex ión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre, rev isitado
El acto de medición
Momento angular orbital: análisisGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
α = α(r)
y J y m son las v ariables relacionadas con el momento angular y por lo tanto representan la
ev aluación (usualmente en coordenadas esféricas) de la parte angular de la función de onda.
Si enfocamos nuestro interés exclusiv amente sobre la parte angular haciendo a un lado la
parte radial, entonces lo que se quiere ev aluar es lo siguiente (obsérv ese que se ha
eliminado la referencia a α):
Sobre el supuesto de que la ev aluación de la parte angular se llev a a cabo recurriendo a
armónicas esféricas Y lm , el bra de la expresión anterior (destacado en color magenta)
necesariamente mete en la ev aluación una armónica esférica. Pero por otro lado,
el ket (destacado en color azul) también mete otra armónica esférica en la integral a ser
ev aluada (por el momento supondremos que una armónica esférica es el conjugado
complejo de la otra). El asunto se complica cuando tomamos en cuenta la siguiente relación
(v éase la entrada “Operadores tensoriales”):
Haciendo la substitución, tenemos entonces para ev aluar una doble integral (en
coordenadas esféricas, llev ada a cabo sobre los ángulos θ y φ) que inv olucra el producto de
tres armónicas esféricas:
Hasta aquí hemos supuesto que tanto el bra como el ket son conjugados complejos el uno
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio I
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio II
Momento angular orbital: funciones de
onda I
Momento angular orbital: funciones de
onda II
Polinomios de Legendre: aspectos
matemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angular
del spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
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del otro. Sin embargo, el asunto se puede complicar aún más si suponemos que el número
cuántico m en el bra posee un cierto v alor (llamémoslo m1 ) que es diferente del número
cuántico m en el ket (llamémoslo m2 ). Esto nos pide la ev alación de una doble integral sobre
el producto de tres armónicas esféricas. Este tipo de integrales ha sido bien estudiado y hay
bastante literatura sobre el tema. En su quintaesencia, la ev aluación de una integral de este
tipo posee una solución conocida que se puede expresar recurriendo a los símbolos 3-j de
Wigner del siguiente modo:
Hay disponibles en Internet v arios sitios de ay uda que nos proporcionan el v alor de un
símbolo 3-j de Wigner para cualquier combinación de los números cuánticos que estemos
manejando. También hay paquetes de programas computacionales que incluy en el cálculo
de los símbolos 3-j, uno de ellos es Mathematica con el comando:
ThreeJSy mbol[{.j1 , m1 }, {j2 , m2 }, {m3 , m3 }]
que a manera de ejemplo, se usa de la siguiente manera:
ThreeJSy mbol[{6, 0}, {4, 0}, {2, 0}]
regresándonos el siguiente v alor:
De este modo. lo que a primera v ista se antoja como una integral sumamente intimidante
llev ada a cabo sobre el producto de tres armónicas esféricas queda reducida a un asunto
El espacio-posición y el espacio-
momentum I
El espacio-posición y el espacio-
momentum II
El espacio-posición y el espacio-
momentum III
El espacio-posición y el espacio-
momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de mov imiento de
Heisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:
equiv alencia
Ev olución temporal de las ondas de
materia I
Ev olución temporal de las ondas de
materia II
El operador de traslación
El operador de ev olución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg y
Schrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan IIGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
triv ial. Esto debe ser motiv ación más que suficiente para asimilar las matemáticas que
pueden simplificar de tal modo un asunto de esta naturaleza. En este punto, es igualmente
importante destacar el hecho de que los símbolos 3-j de Wigner están relacionados con los
coeficientes Clebsch-Gordan (v éanse las entradas tituladas “Los coeficientes Clebsch-
Gordan”) de la siguiente manera permitiéndonos obtener un número 3-j de Wigner de un
coeficiente Clebsch-Gordan:
siendo la relación inv ersa (que nos permite obtener un coeficiente Clebsch-Gordan de un
número 3-j de Wigner):
Un operador tensorial esférico, por la manera en la que está definido, es también
un operador matricial. Precisamente en la entrada anterior titulada “El momento de
cuadripolo” v imos un ejemplo aplicado de un operador tensorial esférico, el operador
momento de cuadripolo Q(J)m desarrollado inicialmente a partir de una definición
electrostática clásica del momento de cuadripolo eléctrico. Como se v ió arriba, podemos
definir elementos matriciales para este operador tomando la esperanza matemática de
dicho operador tensorial para v arias combinaciones de eigenestados. Haciendo tal cosa
exclusiv amente sobre la parte angular (ignorando la parte radial) de la función de onda, en
la notación bra-ket de Dirac se tienen elementos matriciales como los siguientes:
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
El teorema v irial
Espectroscopías de resonancia
magnética I
Espectroscopías de resonancia
magnética II
Espectroscopías de resonancia
magnética III
Espectroscopías de resonancia
magnética IV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondas
esféricas
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De hecho, para representar estos elementos matriciales en un arreglo matricial
conv encional es necesario recurrir a matrices y submatrices (v éase la entrada “Matrices y
sub-matrices”). No todos los elementos matriciales que podamos ev aluar serán diferentes
de cero; algunos de ellos serán necesariamente igual a cero. Para poder determinar de
antemano aquellos elementos matriciales que serán iguales a cero, ex iste una regla de
selección conocida como la regla de selección m , la cual nos dice lo siguiente:
El elemento matricial:
del operador tensorial T (k)qes igual a cero, a menos de que:
La aplicación de este criterio, cuando se está empleando la notación bra-ket de Dirac,
resulta extremadamente sencilla, y se puede llev ar a cabo v isualmente en forma directa sin
may ores problemas:
esféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativ ista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores de
conv ersión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
A RMA NDO MA RTÍ NEZ
TÉLLEZ
V E R TODO MI P E R FIL
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Con solo ir v iendo cada uno de los elementos matriciales del operador tensorial, se puede
decir de inmediato cuáles son iguales a cero y cuáles no lo son.
Se v uelv e necesario justificar rigurosamente la regla de selección m. Esto lo haremos a
continuación partiendo de la siguiente relación fundamental:
Tomaremos lo anterior y lo aprisionaremos entre un bra de estado y un ket de estado a
manera de “sandwich”:
Lo anterior puede ser desarrollado de la siguiente manera:
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Para poder continuar adelante, recurriremos a la eigenecuación básica que nos describe la
acción del operador del momento angular Jz sobre un eigenestado del momento angular,
actuando sobre un ket que representa a dicho estado, regresándonos un eigenvalor que
multiplica al ket sobre el cual actuó el operador Jz (en esta relación no se incluy e la parte
radial α de la función de onda porque el operador Jz sólo actúa sobre la parte angular):
Con esto, el segundo término de la expresión prev ia se puede desarrollar de la siguiente
manera:
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En lo que respecta al primer término, recurriremos nuev amente a la eigenecuación básica
que nos describe la acción del operador del momento angular Jz sobre un eigenestado del
momento angular, pero esta ocasión actuando sobre el bra que está a su izquierda y que
representa a dicho estado, regresándonos un eigenvalor que multiplica al bra sobre el cual
actuó el operador Jz:
Con esto, el primer término de la expresión en la que estamos trabajando se puede
desarrollar de la siguiente manera:
Así pues, la expresión v iene quedando del modo siguiente:
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Recurriendo a simples factorizaciones algebraicas, lo anterior se reduce a:
Esto nos dice en forma directa algo innegable: el elemento matricial del operador tensorial
necesariamente es igual a cero:
a menos de que se cumpla la siguiente condición:
Estamos ahora en condiciones de poder enunciar, en su forma más sencilla, el teorem a
Wigner-Eckart (también referido en la literatura simplemente como el teorema WE):
Los elem entos m atriciales de operadores tensoriales (irreducibles)pueden ser factorizados com o el producto de una constante deacoplam iento (la cual resulta ser un coeficiente Clebsch-Gordan) yun factor que es independiente de núm eros cuánticosm agnéticos m .
Expresado simbólicamente, el teorema Wigner-Eckart toma la siguiente forma (obsérv ese
que el coeficiente Clebsch-Gordan está siendo resaltado en color magenta):
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En el enunciamiento simbólico anterior del teorema Wigner-Eckart, se ha utilizado una
notación que es común para la representación de los coeficientes Clebsch-Gordan, los
cuales son estudiados más a fondo en la serie de entradas tituladas [recisamente “Los
coeficientes Clebsch-Gordan”. Desafortunadamente, y como y a se ha señalado en dichas
entradas, la notación empleada para la simbolización de los coeficientes Clebsch-Gordan no
está estandarizada, y hay una v erdadera torre de Babel en lo que concierne a dicha
notación, lo cual se presta a confusiones al pasar de un texto a otro de diferentes autores.
Aquí emplearemos una notación que resalta el hecho de que los coeficientes Clebsch-
Gordan son simples constantes numéricas, enunciando el teorema Wigner-Eckart de la
siguiente forma alterna:
El lector observ ador se habrá dado cuenta en esto último de que en el bra y el ket que
describen los eigenestados del sistema no se ha incluído referencia a función radial alguna.
Dejando abierta la posibilidad de que el operador tensorial esférico pueda cambiar también
los números cuánticos no-rotacionales (esto es, la función radial), si representamos dos
estados de la función radial como α y β, esto es:
α = α(r) , β = β(r)
entonces el elemento matricial general se puede representar como:
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tal y como lo hemos estado haciendo arriba (en donde antes se había supuesto por
simplicidad que α es igual a β e independiente de la acción del operador tensorial que actúa
únicamente sobre la parte angular que es la que tiene que v er con el momento angular).
Veamos ahora el factor que en el teorema Wigner-Eckart es independiente de los números
cuánticos magnéticos m, poniendo atención especial en el elemento que aparece en el
numerador mejor conocido como elem ento m atricial reducido y también como
el elem ento m atricial doble-barra (obsérv ense las barras paralelas dobles empleadas al
escribir dicho elemento, las cuales han sido destacadas de color rojo):
Como puede v erse, el sub-índice m2 que aparece en el elemento matricial del operador
tensorial T (k)q (al hacerse q.=.m2 en el teorema Wigner-Eckart) está ausente en el elemento
matricial doble barra. No aparece por lo tanto allí referencia a número cuántico
magnético m alguno. Pero no solo allí se ha eliminado cualquier referencia a números
cuánticos magnéticos en el operador tensorial. También en lo que parece ser un bra y
un ket se ha eliminado la referencia a m y m1 que aparece en la representación matricial del
operador tensorial. Esto significa que el factor al que se hace mención en el teorema Wigner-
Eckart que a su v ez multiplica al coeficiente Clebsch-Gordan es una constante independiente
de los números cuánticos magnéticos m, m1 y m2 . Pero si este factor, específicamente el
elemento matricial doble-barra, no hace referencia a número cuántico magnético alguno,
¿entonces cómo lo v amos a ev aluar? La respuesta es que no es posible ev aluar directamente
un elemento matricial doble-barra, tiene que ser ev aluado indirectamente. Esto implica que
hay que ev aluar primero un elemento matricial por la “v ía difícil”, llev ando a cabo un
proceso de integración múltiple de la manera usual. Hecho esto, como un segundo paso se
substituy e el resultado en el teorema Wigner-Eckart, y se llev a a cabo un despeje para elGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
elemento matricial doble barra, obteniéndolo así de esta manera. Sin embargo, una v ez
obtenido el elemento matricial doble-barra, no es necesario ev aluarlo de nuev o. Podemos
ev aluar otros elementos matriciales recurriendo únicamente a los coeficientes Clebsch-
Gordan que serán diferentes para cada elemento matricial. En rigor de v erdad, aunque por
su aspecto el elemento matricial doble-barra parece ser algo así como una esperanza
matemática representada en notación bra-ket de Dirac, no lo es, lo cual al principio puede
dar lugar a confusiones. Pero una v ez desarrollada la metodología para resolv er problemas
con la ay uda del teorema Wigner-Eckart, la confusión se desv anece con el aprendizaje de
este nuev o símbolo.
Obsérv ese también en el enunciado simbólico del teorema Wigner-Eckart otro hecho
importante: en el coeficiente Clebsch-Gordan no aparece operador tensorial alguno. Como
preludio de la aplicación del teorema Wigner-Eckart, se recurrió al momento de cuadripolo
Q expresado como un operador tensorial esférico. Sin embargo, hay otras observ ables
físicas además del momento de cuadripolo, como las que tienen que v er con la interacción
de los electrones orbitales de un átomo con un campo electromagnético, las cuales también
son expresables como operadores tensoriales. Sin embargo, en el coeficiente Clebsch-
Gordan no aparece referencia alguna a ningún tipo de operador tensorial. Y como en el
factor que hemos llamado elemento matricial doble-barra no aparece número cuántico
magnético m alguno, estos dos hechos por sí solos hacen que el teorema sea de aplicabilidad
casi univ ersal.
El teorema Wigner-Eckart está tan íntimamente ligado al concepto de los coeficientes
Clebsch-Gordan, que antes de continuar adelante daremos aquí un brev e repaso sobre lo
que son dichos coeficientes.
Supóngase que se tienen dos sistemas cuy os momentos angulares totales e individuales son:
j1 = 4 , j2 = 1
Por las reglas fundamentales de la Mecánica Cuántica (obtenidas de la solución de la parte
angular de la función de onda Ψ(r,θ,φ) con la ecuación diferencial de Schrödinger expresada
en tres dimensiones en coordenadas esféricas), el primer sistema tiene nuev e subestados
magnéticos posibles:
m1 : -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4
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mientras que el segundo sistema tiene tres subestados magnéticos posibles:
m2 : -1 , 0 , 1
Si el primer sistema está en un estado que podemos representar con el siguiente ket:
y si el segundo sistema está en un estado que podemos representar con el siguiente ket:
entonces el estado combinado de los dos sistemas será el siguiente estado que podemos
simbolizar con un solo ket:
Por combinatórica elemental, hay , en total, 9×3.=.27 estados combinados, entre los cuales
se encuentran los siguientes:
Los v alores posibles de j para el sistema combinado formado por j1 .=.4 y j2 .=.1 son:
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j : 3 , 4 , 5
al estar dados por la regla del triángulo (así llamada porque j1 .y j2 y j v an formando los
tres lados de un triángulo conforme v an v ariando los v alores de j1 .y j2 ) simbolizada
como Δ( j1 j2 . j) y la cual nos dice que dos momentos angulares j1 .y j2 solo pueden ser
combinados de modo tal que sean compatibles con un triángulo de adición v ectorial:
o sea, cada v alor de j solo puede ir tomando uno de los v alores:
j1 + j2 j1 + j2 - 1
j1 + j2 - 2 ...
| j1 - j2 |
El problema de la adición de los momentos angulares consiste en tomar los 27 estados:
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formando con ellos combinaciones lineares “en ciertas maneras” para formar 27 nuev os
estados, requiriéndose rigurosamente que todos esos nuev os estados sean eigenestados de
los operadores J2 y Jz (estos son los operadores para el sistema combinado) que a su v ez
tengan los eigenv alores j(.j+1) y m que corresponden a los v alores observ ados en el
laboratorio para el sistema combinado. Habrá un total de siete nuev os estados con el
eigenv alor j.=.3, habrá un total de nuev e nuev os estados con el eigenv alor j.=.4, y habrá un
total de once nuev os estados con el eigenv alor j.=.5; en total habrá 27 nuev os estados, el
mismo número que el número de estados |4,1 ,m1 ,m2 >, lo cual no es ningún accidente, y a
que los estados |.j,m> deben cubrir y abarcar (en la literatura inglesa en el lenguaje del
Algebra Linear, la palabra usada es “span”) el mismo espacio que el espacio que cubren y
abarcan los estados |4,1 ,m1 ,m2 >, y ese espacio tiene 27 dimensiones. Los once estados
posibles cuando el eigenv alor del sistema combinado es j.=.5 son los siguientes:
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Podemos v er casi de inmediato que exactamente dos de los 27 estados |4,1 ,m1 ,m2 > son y a
de por sí eigenestados de J2 y Jz, ellos son:
Obsérv ese que. en todos los demás casos, los estados |4,1 ,m1 ,m2 > utilizados para formar las
combinaciones lineares están premultiplicados por un coeficiente numérico. Estos
coeficientes numéricos son precisamente lo que hoy llamamos coeficientes Clebsch-
Gordan. Premultiplicando algunos de los kets |5,m> por los bras adecuados y usando en las
expansiones que aparecen al lado izquiedo de las igualdades la propiedad
de ortogonalidad que indica que:
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podemos extraer indiv idualmente cada uno de dichos coeficientes numéricos Clebsch-
Gordan:
Esto es precisamente lo que inspira la siguiente conv ención de notación para los
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coeficientes Clebsch-Gordan (la única diferencia entre ambas es que en la primera los
números cuánticos del momento angular para el sistema combinado se escriben en
minúsculas mientras que en la segunda se escriben en may úsculas, pero se sigue
representando lo mismo):
En muchas ocasiones, por razones de espacio, resulta conv eniente recurrir a formas
tipográficas más compactas para representar los coeficientes Clebsch-Gordan. Una de tales
conv enciones es la siguiente:
La utilidad práctica en el laboratorio de todo esto para la interpretación de los resultados
experimentales obtenidos se obtiene al tomar los productos internos bra-ket <j,m|.j,m>,
por ejemplo:
Efectuando todas las multiplicaciones requeridas y desechando aquellos términos que
contienen productos bra-ket que serán iguales a cero al aplicarles el principio de
ortogonalidad, se tiene entonces:
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Lo que se obtiene, en efecto, es la magnitud de la probabilidad para cada subestado del
sistema, lo cual se v erá reflejado en las intensidades relativ as de las líneas obtenidas
mediante experimentos de espectroscopía. Puede observ arse que en el ejemplo que se
acaba de dar el subestado intermedio tendrá la may or probabilidad de ser observ ado, una
probabilidad de 24/45.=.53.33%, mientras que el tercer subestado tendrá una probabilidad
de de 15/45.=.33.33%, y el primer subestado tendrá una probabilidad relativ amente escasa
del 6/45.=.13.33% de ser observ ado. Resulta fácil comprobar que la suma de las
probabilidades relativ as es igual a la unidad:
Así pues, v iendo la tabla completa dada arriba con todas las combinaciones posibles, resalta
de inmediato que en el caso del ejemplo del sistema combinado con j1 = 4 y con j2 = 1 , de
entre los 11 estados posibles del sistema combinado hay dos estados singlete (o singulete)
que solo pueden darse de una sola manera (con una probabilidad igual a la unidad o la
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certeza), hay dos estados doblete que pueden darse de dos maneras distintas (en cada caso,
uno de ellos con una probabilidad de 4/5 y el otro con una probabilidad de 1/5), y el resto
de los 7 estados posibles son estados triplete cuy as probabilidades se obtienen tomando el
cuadrado del coeficiente Clebsch-Gordan que v a anexado a cada sub-estado. No hay que
olv idar que el número de combinaciones posibles para cada sub-estado está dado por
las reglas de selección en base a las proy ecciones del v ector momento angular J2 sobre el
eje-z, como tampoco hay que olv idar que en un espacio tridimensional cada v ector del
momento angular J2 está situado en la superficie de un cono , habiendo un cono diferente
para cada combinación de números cuánticos magnéticos m. A manera de ejemplo,
mostraremos otros casos usando v alores diferentes de j1 y j2 (para la notación simbólica
del producto bra-ket en cada caso puesto arriba de cada figura se usará una notación algo
más superflua que la que fue dada arriba pero que suele encontrarse con frecuencia en la
literatura, la cual agrega j1 y j2 al ket aunque ello no es necesario por estar especificados
y a j1 y j2 en el bra):
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Resulta cosa fácil obtener la definición notacional que se ha dado arriba para los
coeficientes Clebsch-Gordan llev ando a cabo una expansión del ket |.j,m> recurriendo para
ello al operador identidad (relación de cerradura) aplicado dos v eces al mismo, una v ez
para los números cuánticos magnéticos m1 y la segunda para los números cuánticos
magnéticos m2 :
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Todo lo que tenemos que hacer ahora es reagrupar (esto se puede llev ar a cabo
mentalmente) dándole una intepretación al producto bra-ket que tenemos a la derecha,
llegando precisamente a la misma conv ención notacional dada arriba:
El problema se reduce ahora al cálculo de los coeficientes Clebsch-Gordan.
Afortunadamente, no tenemos necesidad de hacer tal cosa. Además de haber disponibles
numerosos textos así como sitios Web en los cuales podemos consultar tablas que nos
proporcionan los coeficientes Clebsch-Gordan para cada combinación de v alores de
j1 , j2 , m1 y m2 >, ex isten programas computacionales que tienen tales constantes
numéricas en su base de datos; el programa computacional Mathematica nos los
proporciona con el comando:
ClebschGordan[{.j1 , m1 }, {j2 , m2 }, { j, m}]
que a manera de ejemplo, si se usa de la siguiente manera:
ClebshGordan[{1 , 0}, {1 , 0}, {2, 0}]
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nos regresa como respuesta correcta √2/3. De cualquier modo, en el dudoso caso en el cual
resulte difícil si no imposible el poder encontrar algún coeficiente Clebsch-Gordan en
particular, hay dos relaciones recursiv as que nos permiten partir de coeficientes Clebsch-
Gordan y a conocidos para poder llegar a los coeficientes Clebsch-Gordan que estamos
buscando. Estas relaciones que fueron descubiertas por el físico Giulio Racah son las
siguientes:
A manera de ejemplo sobre el uso de las relaciones recursiv as, obtendremos con la ay uda
de las mismas el coeficiente Clebsch-Gordan:
La primera de las dos relaciones recursiv as nos dice que:
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Simplificando un poco:
Damos por conocido el coeficiente Clebsch-Gordan que aparece del lado derecho (podemos
leerlo directamente en la tabla de expansiones que fue puesta arriba), el cual es:
Por lo tanto:
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lo cual podemos v erificar que concuerda con los v alores que tenemos tabulados arriba en
las expansiones.
Si tomamos la segunda relación recursiv a para coeficientes Clebsch-Gordan dada arriba y
hacemos una reagrupación de lo que aparece bajo la raíz cuadrada, podemos escribir la
segunda relación recursiv a de la siguiente forma alterna:
Podemos hacer algo similar con la primera relación recursiv a para los coeficientes Clebsch-
Gordan, y podemos ir un poco más lejos juntando ambas relaciones en una sola como se
muestra a continuación:
Usando los signos aritméticos superiores en donde aparecen los signos dobles se recupera
una de las relaciones recursiv as, y usando los signos aritméticos inferiores se recupera la
otra. Usaremos esto último más abajo para la demostración que llev aremos a cabo del
teorema Wigner-Eckart.
Habiéndose dado y a un ejemplo sobre la utilidad práctica de los coeficientes Clebsch-
Gordan para la interpretación de los resultados experimentales obtenidos en un laboratorio
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con experimentos de espectroscopía. dándonos las probabilidades de encontrar a los
subestados de un sistema, tal v ez hay a quien se pregunte sobre la utilidad teórica que
justifique el inv ertir algo de tiempo en el aprendizaje del teorema Wigner-Eckart. Para poder
apreciar la utilidad teórica del teorema Wigner-Eckart, resultará prov echoso recurrir a un
ejemplo ilustrativ o.
Supóngase que se quiere ev aluar la siguiente integral:
que inv olucra el producto de tres armónicas esféricas, siendo la primera de ellas portadora
de tres unidades de momento angular, siendo la segunda de ellas portadora de dos unidades
de momento angular, y siendo la tercera de ellas portadora de una unidad de momento
angular. Este tipo de integrales aparecen repetidamente en problemas de espectroscopía al
intentar aclarar situaciones en los que la parte angular de la función de onda tiene efectos
relev antes en el análisis de los resultados obtenidos en el laboratorio. El elemento
infinitesimal es el que corresponde a un ángulo sólido que en coordenadas esféricas está
dado por la relación:
La ev aluación de la integral para la combinación de números cuánticos:
m1 = m2 = m3 = 0
resulta ser laboriosa. Usando las armónicas esféricas:
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entonces se tiene el siguiente producto triple:
con lo cual se puede proceder a la ev aluación de la integral (en coordenadas esféricas, sobre
un ángulo sólido completo, esto es, sobre el interior angular sólido de toda la esfera
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unitaria; la integral sobre el ángulo φ es triv ial siendo igual a 2π, mientras que la integral
sobre el ángulo θ es la que requiere el trabajo pesado de ev aluación y simplificación que no
se muestra en detalle):
Y esto es apenas el principio de la dura tarea. Puesto que la primera armónica esférica es
portadora de tres unidades de momento angular, m1 puede tomar siete v alores distintos:
m1 = 3 , 2 , 1 , 0 , -1 , -2 , -3
Por su parte, la segunda armónica esférica es portadora de dos unidades de momento
angular, con lo cual m2 puede tomar cinco v alores distintos:
m2 = 2 , 1 , 0 , -1 , -2
Y la tercera armónica esférica es portadora de una unidad de momento angular, pudiendo
por ello m3 tomar tres v alores distintos:
m3 = 1 , 0 , -1Guarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
Esto significa que hay 7 ×5×3 = 105 combinaciones distintas de m1 , m2 y m3 , ¡105
integrales a ev aluar! Aún con la ay uda de la regla de selección m para desechar de antemano
aquellas integrales que terminarán siendo iguales a cero, el trabajo a llev arese a cabo se
antoja duro y laborioso.
El teorema Wigner-Eckart nos permite escribir lo siguiente para la integral de las tres
armónicas esféricas:
Puesto que la integral y a fue ev aluada (laboriosamente), el trabajo efectuado nos permite
ev aluar el elemento matricial doble-barra del siguiente modo:
De este modo, todas las demás integrales a ser ev aluadas, para cualquier combinación de
números cuánticos magnéticos m1 , m2 y m3 , se pueden obtener del siguiente modo con la
aplicación del teorema Wigner-Eckart:
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En pocas palabras, el trabajo hercúleo de ev aluación de todas las demás integrales restantes
se reduce al cálculo de coeficientes Clebsch-Gordan, para lo cual hay disponibles muchas
tablas y sitios de Internet así como programas computacionales.
Expuesta la mecánica del teorema Wigner-Eckart y expuestas las razones del por qué nos
debe interesar tomar conocimiento del tema, procederemos a demostrar dicho teorema. El
teorema será demostrado en una forma parecida a como se llev ó a cabo arriba la
demostración de la regla de selección m, excepto que en v ez de utilizar el operador Jz del
momento angular usaremos los operadores escalera J± del momento angular. El punto de
partida es la siguiente relación fundamental (v éase la entrada “Operadores tensoriales”):
Nuev amente, tomaremos lo anterior y lo aprisionaremos entre un bra de estado y un ket de
estado a manera de “sandwich”:
En este punto, se v uelv e necesario hacer un alto para reflex ionar sobre lo que tenemos en el
lado izquierdo de la expresión. Tenemos un operador escalera del momento angular J± (en
realidad, dos operadores escalera, uno de ascenso y el otro de descenso) que puede actuar
sobre un ket a su derecha elev ando (o disminuy endo, en su caso) en una unidad el número
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cuántico magnético m del ket. Pero el operador escalera del momento angular J± también
puede actuar sobre un bra a su izquierda elev ando (o disminuy endo, en su caso) en una
unidad el número cuántico magnético m del bra. Para llegar a esto, procediendo del mismo
modo en que lo hicimos para demostrar la regla de selección m podemos desarrollar el
conmutador de Born que aparece en el lado izquierdo de la expresión de arriba, obteniendo:
Trabajaremos primero sobre el segundo término de esto último recurriendo a la
relación general que nos describe la acción del operador escalera J± sobre un estado del
momento angular actuando sobre el ket que representa a dicho estado, (en esto no
tomaremos en cuenta la parte radial α de la función de onda porque el operador
escalera J± sólo actúa sobre la parte angular):
Adecuando esta relación general a la notación que estamos empleando, se tiene:
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dándonos:
Por otro lado, trabajando ahora sobre el primer término de la expresión recurriendo a la
misma relación general que nos describe la acción del operador escalera J± sobre un
estado del momento angular actuando ahora sobre el bra que representa a dicho estado y
que está a su izquierda, se tiene (¡precaución!, obsérv ese la manera diferente en la que
actúan los operadores escalera al hacerlo sobre un bra en comparación a como lo hacen
cuando actúan sobre un ket):
dándonos:
De este modo, juntándolo todo y cancelando el factor ħ que es común a todos los términos,
se llega a lo siguiente:
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Esta es una expresión recursiv a (de hecho, son dos expresiones recursiv as, una de ellas se
obtiene usando los signos aritméticos superiores en donde aparecen los signos dobles y la
otra se obtiene usando los signos aritméticos inferiores) que nos permite obtener div ersos
elementos matriciales del operador tensorial partiendo de elementos matriciales y a
conocidos. Y el lector astuto se habrá dado cuenta y a de que esta relación se parece mucho
a las relaciones recursiv as dadas arriba para los coeficientes Clebsch-Gordan (encerradas en
un recuadro v erde). Con la finalidad de ev itar confusiones en v irtud de que símbolos
similares aparecen en lugares diferentes en los pares conjuntos de relaciones recursiv as,
modificaremos un poco la doble relación recursiv a obtenida arriba para los elementos
matriciales del operador tensorial T (k)q, escribiéndola de la siguiente manera (sigue siendo
esencialmente la misma expresión):
El parecido entre ambas relaciones en v erdad es sorprendente. Aunque se trata de cosas
diferentes, podemos establecer de inmediato las siguientes correspondencias usando como
punto común de referencia los factores que aparecen bajo las raíces cuadradas:
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Hay una correspondencia directa uno-a-uno entre los coeficientes Clebsch-Gordan
recursiv os y los elementos matriciales recursiv os:
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Por otro lado, si en la relación que nos dá las dos expresiones recursiv as para los
coeficientes Clebsch-Gordan substituímos los números que se ev alúan con las raíces
cuadradas por K1 , K2 y K3 , obtenemos lo siguiente:
Esto nos genera una serie de ecuaciones lineares (de primer orden) homogéneas con
coeficientes constantes. El conjunto completo de ecuaciones lineares nos dá la solución
completa del sistema, con lo cual todos los coeficientes quedan especificados y con ello los
subestados del sistema combinado de momentos angulares. Las ecuaciones lineares que se
obtienen son de la forma:
Siempre que tenemos algo como:
no es posible resolv er indiv idualmente para los xj (o los yj). Sin embargo, podemos resolv er
para dos cocientes, de modo tal que:
o bien:
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siendo c un factor univ ersal de proporcionalidad. En este punto cabe observ ar que el
cociente de dos coeficientes Clebsch-Gordan cualesquiera es un número independiente de
los números cuánticos magnéticos m. Esto lo v imos claramente en el ejemplo dado arriba en
donde:
En las relaciones recursiv as Clebsch-Gordan, el objetiv o es calcular un coeficiente Clebsch-
Gordan cuando se conoce otro o cuando se conocen otros dos. En el caso del teorema
Wigner-Eckart, el asunto es al rev és, y a que se supone que todos los coeficientes Clebsch-
Gordan son conocidos o se pueden obtener de algún lado sin necesidad de tener que
ev aluarlos, mientras que el objetiv o aquí es calcular los elementos matriciales de un
operador tensorial usando coeficientes Clebsch-Gordan y un elemento matricial doble-
barra calculado conv encionalmente una sola v ez tras lo cual el cálculo de los elementos
matriciales restantes del operador tensorial se reduce al cálculo de cocientes de coeficientes
Clebsch-Gordan multiplicados por el elemento matricial doble-barra. Esto lo podemos
hacer en v irtud de que las relaciones recursiv as para los elementos matriciales del operador
tensorial T (k)q tienen esencialmente la misma forma y estructura que las relaciones
recursiv as para el cálculo recursiv o de los coeficientes Clebsch-Gordan. Poniendo especial
atención en la correspondencia:
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y en base a las anteriores consideraciones, podemos reemplazar la correspondencia entre
los coeficientes Clebsch-Gordan contiguos y los elementos matriciales del operador
tensorial contiguos por una igualdad metiendo una constante de proporcionalidad que,
siendo una constante, necesariamente debe ser independiente de los números cuánticos
magnéticos (se ha actualizado la notación del coeficiente Clebsch-Gordan para que la
correspondencia pueda tener sentido como igualdad):
De este modo, y en pocas palabras, un elemento matricial del operador tensorial:
tomado entre dos eigenestados del momento angular es igual a una constante de
proporcionalidad universal que es independiente de los números cuánticos
magnéticos m, q y m', o sea, el elemento matricial doble-barra, lo cual esencialmente
demuestra el teorema Wigner-Eckart.
En rigor de v erdad, el teorema Wigner-Eckart fue obtenido por v ez primera de una manera
más rigurosa y formal que como lo hemos hecho aquí (aunque menos fácil de entender)
recurriendo a la Teoría de Grupos, las matemáticas de la simetría; ese fue el gran mérito
de Eugene Wigner consignado en su libro clásico Gruppentheorie publicado en 1931 , el
darse cuenta que los operadores de rotación del momento angular tienen su contraparte en
la representación matricial de un grupo, lo cual al emplear los grupos continuos de Sophus
Lie llev a al empleo del lema de Schur y al ev entual descubrimiento de los coeficientes
Clebsch-Gordan como el recurso con el cual se pueden metodizar las propiedades básicas
grupales de los operadores mecánico-cuánticos de rotación. La metodología empleada aquí
en la deriv ación del teorema Wigner-Eckart está en cierto modo sobresimplificada, pero es
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suficiente para nuestros propósitos didácticos extray endo de la teoría las ideas centrales
que suelen ser obscurecidas innecesariamente por notación críptica y poco común.
P U B LICA DO P OR A R MA N DO MA R TÍN E Z TÉ LLE Z E N 1 6 :3 0
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