17
1. DIFERENCIJALNI RAČUN 1.1 Pojam i značenje izvoda Izvod funkcije f x u tački x , u oznaci f x , definiše se kao granična vrednost oblika: 0 lim h f x h f x f x h ukoliko ovaj limes postoji. Drugim rečima, izvod funkcije je količnik priraštaja funkcije i priraštaja argumenta kada priraštaj argumenta teži nuli. Osim navedene oznake za označavanje izvoda funkcije koriste se i oznake: y kao i dy dx . Ako je granična vrednost f x konačan broj kažemo da je funkcija f x diferencijabilna u tački x , a ukoliko f x postoji u otvorenom intervalu , ab tada je funkcija f x diferencijabilna na ovom intervalu. Postupak izračunavanja izvoda funkcije zove se diferenciranje i ovo je osnovna operacija diferencijalnog računa. Izvod funkcije f x koji smo označili sa f x je nova funkcija, i njen domen je podskup od domena funkcije f x . Direktno iz definicje izvoda kao opisane granične vrednosti, zaključuje se da postoje levi i desni izvod funcije f x u tački x koji se definišu na sledeći način: Levi izvod: 0 lim h f x h f x f x h , odnosno u pitanju je približavanje nuli sa leve strane, tj. približavanje nuli preko vrednosti koje su manje od nje. Postojanje ove granične vrednosti znači da je funkcija diferencijabilna sleva. Desni izvod: 0 lim h f x h f x f x h , što znači da se nuli približavamo sa desne strane, pa je funkcija diferencijabilna zdesna kada navedeni limes postoji. Analogno definiciji neprekidnosti funkcije, kaže se da je funkcija f x diferencijabilna u tački, odnosno da ima izvod u ovoj tački ako postoje njen levi i desni izvod i ukoliko se njihove vrednosti poklapaju, odnosno važi: f x f x . Primer 1. Naći prvi izvod funkcije a) () = 2 b) = 3 + 2 c) 2 2 f x x x

1.1 Pojam i značenje izvoda

  • Upload
    others

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 1.1 Pojam i značenje izvoda

1. DIFERENCIJALNI RAČUN

1.1 Pojam i značenje izvoda

Izvod funkcije f x u tački x , u oznaci f x , definiše se kao granična vrednost oblika:

0limh

f x h f xf x

h

ukoliko ovaj limes postoji. Drugim rečima, izvod funkcije je količnik priraštaja funkcije i priraštaja

argumenta kada priraštaj argumenta teži nuli. Osim navedene oznake za označavanje izvoda

funkcije koriste se i oznake: y kao i dy

dx.

Ako je granična vrednost f x konačan broj kažemo da je funkcija f x diferencijabilna u tački

x , a ukoliko f x postoji u otvorenom intervalu ,a b tada je funkcija f x diferencijabilna

na ovom intervalu.

Postupak izračunavanja izvoda funkcije zove se diferenciranje i ovo je osnovna operacija

diferencijalnog računa. Izvod funkcije f x koji smo označili sa f x je nova funkcija, i njen

domen je podskup od domena funkcije f x .

Direktno iz definicje izvoda kao opisane granične vrednosti, zaključuje se da postoje levi i desni

izvod funcije f x u tački x koji se definišu na sledeći način:

Levi izvod:

0

limh

f x h f xf x

h

, odnosno u pitanju je približavanje nuli sa leve

strane, tj. približavanje nuli preko vrednosti koje su manje od nje. Postojanje ove granične

vrednosti znači da je funkcija diferencijabilna sleva.

Desni izvod:

0

limh

f x h f xf x

h

, što znači da se nuli približavamo sa desne

strane, pa je funkcija diferencijabilna zdesna kada navedeni limes postoji.

Analogno definiciji neprekidnosti funkcije, kaže se da je funkcija f x diferencijabilna u tački,

odnosno da ima izvod u ovoj tački ako postoje njen levi i desni izvod i ukoliko se njihove vrednosti

poklapaju, odnosno važi: f x f x .

Primer 1.

Naći prvi izvod funkcije a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 b) 𝑦 = 3𝑥 + 2 c) 22f x x x

Page 2: 1.1 Pojam i značenje izvoda

Rešenje: 𝑎) 𝑓 ‚(𝑥) = lim ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

(𝑥+ℎ)2−𝑥2

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ(2𝑥+ℎ)

ℎ= 2𝑥

b) 𝑓 ‚(𝑥) = lim ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

3(𝑥+ℎ)+2−(3𝑥+2)

ℎ= lim

ℎ→0

3ℎ

ℎ= 3

c)

2 2

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0

2

0 0 0

2 2lim lim

2 2 2 2 2 2 2 2lim lim

2 22 2lim lim lim 2 2 2 2

h h

h h

h h h

x h x h x xf x h f xf x

h h

x h x xh h x x x h x xh h x x

h h

h x hh xh hx h x

h h

Primer 2: Za funkciju f x definisanu sa 5f x x izračunati prvi izvod u tački 2x .

Rešenje:

0 0 0 0

2 2 2 5 2 5 7 72 lim lim lim lim 1

h h h h

f h f h h hf

h h h h

Prvi izvod funkcije ima višestruke primene, kao i interpretacije, pri čemu je jedna od najvažnijih

sledeća.

Interpretacija izvoda: Za svako x koje pripada oblasti definisanosti funkcije f x , prvi izvod

funkcije - f x predstavlja nagib (koeficijent pravca) tangente grafika funkcije f x u tački

,x f x .

Page 3: 1.1 Pojam i značenje izvoda

1.2 Izvodi nekih elementarnih funkcija

Cy ( .constC ) 0'y

axy 1' aaxy

xay ( 1,0 aa ) aay x ln'

xey xey '

xy alog ( 1,1 aa )

axy

ln

1'

xy ln

xy

1'

Osnovna pravila diferenciranja

Diferenciranje proizvoda konstante i funkcije

xfCxfC '

, C - konstanta

Izvod zbira, odnosno razlike funkcija

'' vuvu

, gde je funkcija xvvxuu ,

Izvod proizvoda funkcija

'' uvvuvu

Izvod količnika funkcija

2

''

v

uvvu

v

u

Primer 2.

Naći izvod sledećih funkcija:

a) 2

2

3xy b) 532 24 xxxy

d) xexy 33 e) 5

22

x

xy f)

2

5

9

xy

x

Page 4: 1.1 Pojam i značenje izvoda

Rešenje:

a) xxxy 322

3

2

3' 2

b) 62532 56824

xxxxxxy

d) xexexexexexy xxxxx

33333 23233

e)

22

2

22

22

22

22

5

102

5

4102

5

5252'

x

x

x

xx

x

xxxxy

f)

22 2 2

2 22 2

5 9 5 9 1 9 5 2

9 9

x x x x x x xy

x x

2 2 2

2 22 2

9 10 2 10 9

9 9

x x x x xy

x x

Izvod složene funkcije

Složena funkcija, u oznaci y f g x predstavlja kompoziciju funkcija f i g pri čemu je

y f u i u g x .

Izvod složene funkcije definiše se na sledeći način:

dy du

y x y u u x f u g x f g x g xdu dx

Direktno iz navedene definicije izvodimo pravila, odnosno formule za izračunavanje izvoda

pojedinih oblika složenih funkcija:

Složena stepena funkcija: n

y f x 1n

y n f x f x

Složena korena funkcija: y f x

1

2y f x

f x

Složena eksponencijalna funkcija: f x

y e f x

y e f x

Page 5: 1.1 Pojam i značenje izvoda

Složena logaritamska funkcija: lny f x

1

y f xf x

Primer 4.

Naći prvi izvod funkcije:

a) 5ln 2 xy b) xexy 22 3 c) xy 3 d) 22 3y x

e) xxy 2ln f) 23 xxy g) 222 xey h) x

xy

1

1ln

i) 2x

xy

e

a) 5ln 2 xy

52 xu 5

22

5

11ln

22

x

xx

xu

uuuy

b) xexy 22 3

uexxeexexy uxxx

3233 222222 xu 2

3232232 2222222 xxexxeexxe xxxx

c) xy 3

2

1

3 xy

xx

xuuuuy

32

1

32

113

2

1

2

1

2

12

12

1

2

1

d) 22 3y x

1 12 2 22 2

1 22 2

1 1 1 22 3 2 3 2 3

2 2 2 32 3 4

xy x x x

xx x

e) xxy 2ln

xxx

xxxy ln2ln1

ln2ln 22

Page 6: 1.1 Pojam i značenje izvoda

f) 23 xxy

3 2

333

3

1

2

122

xxxxxxxxy

g) 222 xey

222 22

122

xxxx exxxey

h) x

xy

1

1ln

xxx

xx

x

xy

11

2

1

111

1

1

12

i) 2x

xy

e

2 2 22 2

4 4 4 2

1 22 1 2x x xx x

x x x x

x e x e e xe x e xy

e e e e

1.3 Izvod višeg reda

Neka je data funkcija xfy definisana na nekom skupu ba, i neka postoji prvi izvod

funkcije xf za bax , . Tada je

drugi izvod xfxf

treći izvod xfxf

..........................................................

n-ti izvod xfxf nn 1

Primer 5.

Za date funkcije naći y , y , y .

a) 222

1 xy b)

xe

xy

5 c) xxy ln1 d) 1 xy xe

Page 7: 1.1 Pojam i značenje izvoda

Rešenje:

a) 222

1 xy

01

12

21222

1

y

xy

xxy

b) xe

xy

5

xx

x

x

xx

xx

x

x

xx

xx

x

x

xx

x

xx

e

x

e

xe

e

exexy

e

x

e

xe

e

exexy

e

x

e

xe

e

xee

e

exexy

87177

76166

66555

22

22

222

1.4 Diferencijal prvog, drugog i višeg reda

Neka je data funkcija xfy koja u nekoj tački x ima prvi izvod xf . Neka je x priraštaj

argumenta x , a y odgovarajući priraštaj funkcije y . Tada važi

xyy

tj.

dxydy

(ako priraštaj funkcije zamenimo njenim diferencijalom) i to je diferencijal I -og reda.

diferencijal drugog reda 22 dxyyd

..........................................................

diferencijal n-tog reda nnn dxyyd

Primer 6.

Naći diferencijal I -og i II -og reda sledećih funkcija:

Page 8: 1.1 Pojam i značenje izvoda

a) 4335 xxy b) 2 1 xy x e

c) xxy ln d) 2 2lny x x

a) 4335 xxy

32 49' xxy dxxxdy 32 49

21218 xxy 222 1218 dxxxyd

b) 2 1 xy x e

2 2 1 1 2x x xy e x e e x 1 2xdy e x dx

1 2 2 3 2x x xy e x e e x 2 23 2xd y e x dx

c) xxy ln

1ln1

ln xx

xxy dxxdy 1ln

x

y1

22 1dx

xyd

d) 2 2lny x x

2 2 12 ln 2lny x x x x

x

22 ln 2ln 2 ln ln 1y x x x x x x x dy y dx

1 1

2 ln ln 1 2 lny x x x x xx x

2ln 2 ln 1 2lny x x x 2 2d y y dx

2. PRIMENA IZVODA FUNKCIJE JEDNE REALNE PROMENLJIVE

2.1 Ekstremne vrednosti funkcije

Neka je funkcija xf neprekidna na segmentu ba, , diferencijabilna na ba, . Tada se pomoću

znaka prvog izvoda može zaključiti da li funkcija raste ili opada na intervalu ba, .

Funkcija xf je rastuća na intervalu ba, ako je 0 xf za bax , .

Funkcija xf je opadajuća na intervalu ba, ako je 0 xf za bax , .

Page 9: 1.1 Pojam i značenje izvoda

Tačke 0x u kojima je 00 xf su stacionarne tačke, tj. moguće ekstremne vrednosti.

Potreban i dovoljan uslov da je funkcija xf u tački 0xx ima maksimum je da je

00 xf i 00 xf

tačka 1xx je minimum za

01 xf i 01 xf

Umesto znaka drugog izvoda funkcije u tački 0x ili 1x iz ba, u kojima je prvi izvod jednak

nuli može se ispitati da li u okolini tačke 0x ili 1x prvi izvod menja znak pa imamo dve

mogućnosti

1) max, 00 xfxM

2) min, 001 xfxM

Primer 7.

Naći ekstremne vrednosti sledećih funkcija:

a) 0,2

1

x

x

xy b) 9ln 2 xy c) 1

1

xey , 1x

Rešenje:

a) 0,2

1

x

x

xy

222 2

1

4

222

4

2121

xx

xx

x

xxxxy

010 y što je netačno, pa funkcija nema ekstremnih vrednosti

Određivanjem znaka y videćemo da li je funkcija monotono rastuća (opadajuća)

0y za 0\Rx , pa je funkcija rastuća

b) 9ln 2 xy

Page 10: 1.1 Pojam i značenje izvoda

092 x ,33, fD

9

22

9

122

x

xx

xy

fDxy 00 (funkcija u tački 0x nije definisana pa to nije ekstremna

vrednost)

y - rastuća za ,3x , y - opadajuća za 3,x

c) 1

1

xey , 1x

2

1

1

1

1

1

1

1

1

xe

xey xx

0y za fx D pa funkcija nema ekstremnih vrednosti

0y za fx D , dakle funkcija je opadajuća na celoj oblasti definisanosti.

Primer 8.

Odrediti:

1) oblast definisanosti

2) nule

3) ekstremne vrednosti

sledećih funkcija:

a) xx

xy

5

32

b)

3

1ln

2

x

xy c) xxey

e) x

xy

ln1 f)

31

42

xx

xxy

Page 11: 1.1 Pojam i značenje izvoda

g) 1

122

2

x

xxy h) xexy 23 i)

1

2ln

x

xy

Rešenje:

a) xx

xy

5

32

1) 5005052 xxxxxx

,55,00, fD

2) 3030 xxy , fD3 (to je nula funkcije)

3)

22

2

22

22

22

2

5

156

5

151125

5

52351

xx

xx

xx

xxxx

xx

xxxxy

01560 2 xxy

Rx

2

603662,1 , pa funkcija nema ekstremnih vrednosti

0y za fx D , dakle y je opadajuća na celom fD

b)

3

1ln

2

x

xy

1)

30303

12

xx

x

x, ,3fD

2)

04331213

10 22

2

xxxxx

x

xy

Rx

2

16932,1 (nema nula)

3)

31

126262

3

11312

3

1

12

22

2

2

2

xx

xxxxx

x

xxx

x

xy

Page 12: 1.1 Pojam i značenje izvoda

31

562

2

xx

xxy

0560 2 xxy

2

46

2

166

2

203662,1

x

fDx 51 , fDx 12

0y za 3,5x , funkcija je opadajuća na intervalu 5,3

0y za 5,x , funkcija je rastuća na intervalu ,5

5,5 fM je minimum funkcije

c) xxey

1) RD f

2) 00 xy

3) xexeey xxx 11

1010 xxy

0y za 1,x , funkcija je rastuća

0y za ,1x , funkcija je opadajuća

Funkcija ima maksimum za 1x .

Page 13: 1.1 Pojam i značenje izvoda

e) x

xy

ln1

1) 0x , RD f

2) e

xxx1

1ln0ln1

3)

x

x

x

x

x

x

xxx

xy

2

ln1

2

1ln1

1

xx

x

xx

xxx

x

xx

xxxx

y2

ln3

2

ln32

ln2

2

3

3 13ln03ln0

exexxxy

33

1,

1

ef

eM - maksimum funkcije

f) 31

42

xx

xxy

1) 31 xx , ,33,11, fD

2) 4004040 2 xxxxxxy

3)

22

22

31

4243442

xx

xxxxxxy

2222

22

31

423

31

43442

xx

x

xx

xxxxxy

22

31

42

xx

xy

20420 xxy

Page 14: 1.1 Pojam i značenje izvoda

2,2 fM - minimum funkcije

g) 1

122

2

x

xxy

1) RDx f 012

2) 0120 2 xxy

12

4422,1

x

3)

22

2323

22

22

1

2422222

1

122122

x

xxxxxx

x

xxxxxy

22

2

1

22

x

xy

10 xy

1,1max fM , 1,1min fM

h) xexy 23

1) RD f

2) 3030 2,1

2 xxy

3) 22 3232 xxeexxey xxx

0320 2 xxy

2

42

2

12422,1

x

31 x , 12 x

Page 15: 1.1 Pojam i značenje izvoda

3,3min fM , 1,1max fM

i) 1

2ln

x

xy

1) 01

2

x

x

,21, fD

2) 1211

20

xx

x

xy . Nema nula.

3)

12

3

1

21

1

2

12

xxx

xx

x

xy

0y , pa funkcija nema ekstremnih vrednosti.

Primer 9.

Ispitati monotonost sledećih funkcija:

a) 2

1 xy

x

b) 21 xy x e c)

2ln xy

x

d)

1

2

1

xey

x

e) 2log 5 4y x x

Rešenje:

a) 2

1 xy

x

Page 16: 1.1 Pojam i značenje izvoda

2

4 3 3

1 1 2 1 1x x x x xy

x x x

0y za 0x ; na intervalu ,0 funkcija monotono raste, a 0y za 0x pa

funkcija opada za 0,x

b) 21 xy x e

2 2 22 1 1 2 1 2 1x x x xy xe x e e x x e x x

Na ,1 2 1 2, funkcija raste.

c) 2ln x

yx

, 0x

2

2 2

12ln ln 1 ln 2 lnx x x x xxy

x x

Funkcija raste na intervalu 21,10 .

d)

1

2

1

xey

x

Page 17: 1.1 Pojam i značenje izvoda