Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1. DIFERENCIJALNI RAČUN
1.1 Pojam i značenje izvoda
Izvod funkcije f x u tački x , u oznaci f x , definiše se kao granična vrednost oblika:
0limh
f x h f xf x
h
ukoliko ovaj limes postoji. Drugim rečima, izvod funkcije je količnik priraštaja funkcije i priraštaja
argumenta kada priraštaj argumenta teži nuli. Osim navedene oznake za označavanje izvoda
funkcije koriste se i oznake: y kao i dy
dx.
Ako je granična vrednost f x konačan broj kažemo da je funkcija f x diferencijabilna u tački
x , a ukoliko f x postoji u otvorenom intervalu ,a b tada je funkcija f x diferencijabilna
na ovom intervalu.
Postupak izračunavanja izvoda funkcije zove se diferenciranje i ovo je osnovna operacija
diferencijalnog računa. Izvod funkcije f x koji smo označili sa f x je nova funkcija, i njen
domen je podskup od domena funkcije f x .
Direktno iz definicje izvoda kao opisane granične vrednosti, zaključuje se da postoje levi i desni
izvod funcije f x u tački x koji se definišu na sledeći način:
Levi izvod:
0
limh
f x h f xf x
h
, odnosno u pitanju je približavanje nuli sa leve
strane, tj. približavanje nuli preko vrednosti koje su manje od nje. Postojanje ove granične
vrednosti znači da je funkcija diferencijabilna sleva.
Desni izvod:
0
limh
f x h f xf x
h
, što znači da se nuli približavamo sa desne
strane, pa je funkcija diferencijabilna zdesna kada navedeni limes postoji.
Analogno definiciji neprekidnosti funkcije, kaže se da je funkcija f x diferencijabilna u tački,
odnosno da ima izvod u ovoj tački ako postoje njen levi i desni izvod i ukoliko se njihove vrednosti
poklapaju, odnosno važi: f x f x .
Primer 1.
Naći prvi izvod funkcije a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 b) 𝑦 = 3𝑥 + 2 c) 22f x x x
Rešenje: 𝑎) 𝑓 ‚(𝑥) = lim ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)2−𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥+ℎ)
ℎ= 2𝑥
b) 𝑓 ‚(𝑥) = lim ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
3(𝑥+ℎ)+2−(3𝑥+2)
ℎ= lim
ℎ→0
3ℎ
ℎ= 3
c)
2 2
0 0
2 2 2 2 2 2
0 0
2
0 0 0
2 2lim lim
2 2 2 2 2 2 2 2lim lim
2 22 2lim lim lim 2 2 2 2
h h
h h
h h h
x h x h x xf x h f xf x
h h
x h x xh h x x x h x xh h x x
h h
h x hh xh hx h x
h h
Primer 2: Za funkciju f x definisanu sa 5f x x izračunati prvi izvod u tački 2x .
Rešenje:
0 0 0 0
2 2 2 5 2 5 7 72 lim lim lim lim 1
h h h h
f h f h h hf
h h h h
Prvi izvod funkcije ima višestruke primene, kao i interpretacije, pri čemu je jedna od najvažnijih
sledeća.
Interpretacija izvoda: Za svako x koje pripada oblasti definisanosti funkcije f x , prvi izvod
funkcije - f x predstavlja nagib (koeficijent pravca) tangente grafika funkcije f x u tački
,x f x .
1.2 Izvodi nekih elementarnih funkcija
Cy ( .constC ) 0'y
axy 1' aaxy
xay ( 1,0 aa ) aay x ln'
xey xey '
xy alog ( 1,1 aa )
axy
ln
1'
xy ln
xy
1'
Osnovna pravila diferenciranja
Diferenciranje proizvoda konstante i funkcije
xfCxfC '
, C - konstanta
Izvod zbira, odnosno razlike funkcija
'' vuvu
, gde je funkcija xvvxuu ,
Izvod proizvoda funkcija
'' uvvuvu
Izvod količnika funkcija
2
''
v
uvvu
v
u
Primer 2.
Naći izvod sledećih funkcija:
a) 2
2
3xy b) 532 24 xxxy
d) xexy 33 e) 5
22
x
xy f)
2
5
9
xy
x
Rešenje:
a) xxxy 322
3
2
3' 2
b) 62532 56824
xxxxxxy
d) xexexexexexy xxxxx
33333 23233
e)
22
2
22
22
22
22
5
102
5
4102
5
5252'
x
x
x
xx
x
xxxxy
f)
22 2 2
2 22 2
5 9 5 9 1 9 5 2
9 9
x x x x x x xy
x x
2 2 2
2 22 2
9 10 2 10 9
9 9
x x x x xy
x x
Izvod složene funkcije
Složena funkcija, u oznaci y f g x predstavlja kompoziciju funkcija f i g pri čemu je
y f u i u g x .
Izvod složene funkcije definiše se na sledeći način:
dy du
y x y u u x f u g x f g x g xdu dx
Direktno iz navedene definicije izvodimo pravila, odnosno formule za izračunavanje izvoda
pojedinih oblika složenih funkcija:
Složena stepena funkcija: n
y f x 1n
y n f x f x
Složena korena funkcija: y f x
1
2y f x
f x
Složena eksponencijalna funkcija: f x
y e f x
y e f x
Složena logaritamska funkcija: lny f x
1
y f xf x
Primer 4.
Naći prvi izvod funkcije:
a) 5ln 2 xy b) xexy 22 3 c) xy 3 d) 22 3y x
e) xxy 2ln f) 23 xxy g) 222 xey h) x
xy
1
1ln
i) 2x
xy
e
a) 5ln 2 xy
52 xu 5
22
5
11ln
22
x
xx
xu
uuuy
b) xexy 22 3
uexxeexexy uxxx
3233 222222 xu 2
3232232 2222222 xxexxeexxe xxxx
c) xy 3
2
1
3 xy
xx
xuuuuy
32
1
32
113
2
1
2
1
2
12
12
1
2
1
d) 22 3y x
1 12 2 22 2
1 22 2
1 1 1 22 3 2 3 2 3
2 2 2 32 3 4
xy x x x
xx x
e) xxy 2ln
xxx
xxxy ln2ln1
ln2ln 22
f) 23 xxy
3 2
333
3
1
2
122
xxxxxxxxy
g) 222 xey
222 22
122
xxxx exxxey
h) x
xy
1
1ln
xxx
xx
x
xy
11
2
1
111
1
1
12
i) 2x
xy
e
2 2 22 2
4 4 4 2
1 22 1 2x x xx x
x x x x
x e x e e xe x e xy
e e e e
1.3 Izvod višeg reda
Neka je data funkcija xfy definisana na nekom skupu ba, i neka postoji prvi izvod
funkcije xf za bax , . Tada je
drugi izvod xfxf
treći izvod xfxf
..........................................................
n-ti izvod xfxf nn 1
Primer 5.
Za date funkcije naći y , y , y .
a) 222
1 xy b)
xe
xy
5 c) xxy ln1 d) 1 xy xe
Rešenje:
a) 222
1 xy
01
12
21222
1
y
xy
xxy
b) xe
xy
5
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx
x
xx
e
x
e
xe
e
exexy
e
x
e
xe
e
exexy
e
x
e
xe
e
xee
e
exexy
87177
76166
66555
22
22
222
1.4 Diferencijal prvog, drugog i višeg reda
Neka je data funkcija xfy koja u nekoj tački x ima prvi izvod xf . Neka je x priraštaj
argumenta x , a y odgovarajući priraštaj funkcije y . Tada važi
xyy
tj.
dxydy
(ako priraštaj funkcije zamenimo njenim diferencijalom) i to je diferencijal I -og reda.
diferencijal drugog reda 22 dxyyd
..........................................................
diferencijal n-tog reda nnn dxyyd
Primer 6.
Naći diferencijal I -og i II -og reda sledećih funkcija:
a) 4335 xxy b) 2 1 xy x e
c) xxy ln d) 2 2lny x x
a) 4335 xxy
32 49' xxy dxxxdy 32 49
21218 xxy 222 1218 dxxxyd
b) 2 1 xy x e
2 2 1 1 2x x xy e x e e x 1 2xdy e x dx
1 2 2 3 2x x xy e x e e x 2 23 2xd y e x dx
c) xxy ln
1ln1
ln xx
xxy dxxdy 1ln
x
y1
22 1dx
xyd
d) 2 2lny x x
2 2 12 ln 2lny x x x x
x
22 ln 2ln 2 ln ln 1y x x x x x x x dy y dx
1 1
2 ln ln 1 2 lny x x x x xx x
2ln 2 ln 1 2lny x x x 2 2d y y dx
2. PRIMENA IZVODA FUNKCIJE JEDNE REALNE PROMENLJIVE
2.1 Ekstremne vrednosti funkcije
Neka je funkcija xf neprekidna na segmentu ba, , diferencijabilna na ba, . Tada se pomoću
znaka prvog izvoda može zaključiti da li funkcija raste ili opada na intervalu ba, .
Funkcija xf je rastuća na intervalu ba, ako je 0 xf za bax , .
Funkcija xf je opadajuća na intervalu ba, ako je 0 xf za bax , .
Tačke 0x u kojima je 00 xf su stacionarne tačke, tj. moguće ekstremne vrednosti.
Potreban i dovoljan uslov da je funkcija xf u tački 0xx ima maksimum je da je
00 xf i 00 xf
tačka 1xx je minimum za
01 xf i 01 xf
Umesto znaka drugog izvoda funkcije u tački 0x ili 1x iz ba, u kojima je prvi izvod jednak
nuli može se ispitati da li u okolini tačke 0x ili 1x prvi izvod menja znak pa imamo dve
mogućnosti
1) max, 00 xfxM
2) min, 001 xfxM
Primer 7.
Naći ekstremne vrednosti sledećih funkcija:
a) 0,2
1
x
x
xy b) 9ln 2 xy c) 1
1
xey , 1x
Rešenje:
a) 0,2
1
x
x
xy
222 2
1
4
222
4
2121
xx
xx
x
xxxxy
010 y što je netačno, pa funkcija nema ekstremnih vrednosti
Određivanjem znaka y videćemo da li je funkcija monotono rastuća (opadajuća)
0y za 0\Rx , pa je funkcija rastuća
b) 9ln 2 xy
092 x ,33, fD
9
22
9
122
x
xx
xy
fDxy 00 (funkcija u tački 0x nije definisana pa to nije ekstremna
vrednost)
y - rastuća za ,3x , y - opadajuća za 3,x
c) 1
1
xey , 1x
2
1
1
1
1
1
1
1
1
xe
xey xx
0y za fx D pa funkcija nema ekstremnih vrednosti
0y za fx D , dakle funkcija je opadajuća na celoj oblasti definisanosti.
Primer 8.
Odrediti:
1) oblast definisanosti
2) nule
3) ekstremne vrednosti
sledećih funkcija:
a) xx
xy
5
32
b)
3
1ln
2
x
xy c) xxey
e) x
xy
ln1 f)
31
42
xx
xxy
g) 1
122
2
x
xxy h) xexy 23 i)
1
2ln
x
xy
Rešenje:
a) xx
xy
5
32
1) 5005052 xxxxxx
,55,00, fD
2) 3030 xxy , fD3 (to je nula funkcije)
3)
22
2
22
22
22
2
5
156
5
151125
5
52351
xx
xx
xx
xxxx
xx
xxxxy
01560 2 xxy
Rx
2
603662,1 , pa funkcija nema ekstremnih vrednosti
0y za fx D , dakle y je opadajuća na celom fD
b)
3
1ln
2
x
xy
1)
30303
12
xx
x
x, ,3fD
2)
04331213
10 22
2
xxxxx
x
xy
Rx
2
16932,1 (nema nula)
3)
31
126262
3
11312
3
1
12
22
2
2
2
xx
xxxxx
x
xxx
x
xy
31
562
2
xx
xxy
0560 2 xxy
2
46
2
166
2
203662,1
x
fDx 51 , fDx 12
0y za 3,5x , funkcija je opadajuća na intervalu 5,3
0y za 5,x , funkcija je rastuća na intervalu ,5
5,5 fM je minimum funkcije
c) xxey
1) RD f
2) 00 xy
3) xexeey xxx 11
1010 xxy
0y za 1,x , funkcija je rastuća
0y za ,1x , funkcija je opadajuća
Funkcija ima maksimum za 1x .
e) x
xy
ln1
1) 0x , RD f
2) e
xxx1
1ln0ln1
3)
x
x
x
x
x
x
xxx
xy
2
ln1
2
1ln1
1
xx
x
xx
xxx
x
xx
xxxx
y2
ln3
2
ln32
ln2
2
3
3 13ln03ln0
exexxxy
33
1,
1
ef
eM - maksimum funkcije
f) 31
42
xx
xxy
1) 31 xx , ,33,11, fD
2) 4004040 2 xxxxxxy
3)
22
22
31
4243442
xx
xxxxxxy
2222
22
31
423
31
43442
xx
x
xx
xxxxxy
22
31
42
xx
xy
20420 xxy
2,2 fM - minimum funkcije
g) 1
122
2
x
xxy
1) RDx f 012
2) 0120 2 xxy
12
4422,1
x
3)
22
2323
22
22
1
2422222
1
122122
x
xxxxxx
x
xxxxxy
22
2
1
22
x
xy
10 xy
1,1max fM , 1,1min fM
h) xexy 23
1) RD f
2) 3030 2,1
2 xxy
3) 22 3232 xxeexxey xxx
0320 2 xxy
2
42
2
12422,1
x
31 x , 12 x
3,3min fM , 1,1max fM
i) 1
2ln
x
xy
1) 01
2
x
x
,21, fD
2) 1211
20
xx
x
xy . Nema nula.
3)
12
3
1
21
1
2
12
xxx
xx
x
xy
0y , pa funkcija nema ekstremnih vrednosti.
Primer 9.
Ispitati monotonost sledećih funkcija:
a) 2
1 xy
x
b) 21 xy x e c)
2ln xy
x
d)
1
2
1
xey
x
e) 2log 5 4y x x
Rešenje:
a) 2
1 xy
x
2
4 3 3
1 1 2 1 1x x x x xy
x x x
0y za 0x ; na intervalu ,0 funkcija monotono raste, a 0y za 0x pa
funkcija opada za 0,x
b) 21 xy x e
2 2 22 1 1 2 1 2 1x x x xy xe x e e x x e x x
Na ,1 2 1 2, funkcija raste.
c) 2ln x
yx
, 0x
2
2 2
12ln ln 1 ln 2 lnx x x x xxy
x x
Funkcija raste na intervalu 21,10 .
d)
1
2
1
xey
x