Resolução Guidorizzi – Cálculo 1

Exercícios 12.3 - Página – 360

1. Calcule.

a)

Solução:

Fazendo por partes:

b)

Solução:

Fazendo por partes:

c)

Solução:

Fazendo por partes:

d)

Solução:

Fazendo por partes:

e)

Solução:

Fazendo por partes:

f)

Solução:

Fazendo por partes:

g)

Solução:

Fazendo por partes:

Onde a integral:

Fazendo por substituição simples:

, logo , assim:

Por fim definimos:

h)

Solução:

Fazendo por partes:

i)

Solução:

1ª solução:

Fazendo por partes:

2ª solução:

Fazendo por partes:

3ª solução:

Fazendo por substituição simples:

, assim

organizando: , modificando valor de ,

logo:

Fazendo por partes:

j)

Solução:

Fazendo por partes:

l)

Solução:

1ª solução:

Fazendo por partes:

2ª solução:

m)

Solução:

Fazendo por partes:

n)

Solução:

1ª solução:

Fazendo por partes:

2ª solução:

Fazendo substituição simples:

, assim , logo

o)

Solução:

Fazendo por partes:

p)

Solução:

Fazendo por partes:

q)

Solução:

Fazendo por partes:

2.

a)

Solução:

Relembrando trigonometria:

b) Calcule

Solução:

3. Verifique que, para todo natural , tem-se

a)

Solução:

Por indução testamos para , logo em seguida para um valor qualquer e por fim para um

valor após este escolhido:

Para :

Para :

Para

C.Q.D.

b)

o mesmo processo do exercício anterior.

4. Calcule:

a)

Solução:

b)

Solução:

Os demais exercícios 12.3 são triviais e sequenciais, quando de demonstrações são

semelhantes com o já demonstrado e quando de calculo são similares aos do exercício 1, com

a particularidade de virem definidas em um intervalo, onde apenas devemos aplicar esta

variação.

Exercícios 12.4 - Página – 369

1. Calcule:

a)

solução:

,

e

b)

solução:

, e

c)

solução:

, e

d)

solução:

, e

e)

solução:

, e

f)

solução:

,

e

*o resultado diferente do livro, se a

integral dada fosse , o resultado gabaritado ao final do livro estaria

correto.

g)

solução:

, e

h)

solução:

, e

Trigonometria:

e

i)

solução:

, e

,

*

j)

solução:

Nesse caso podemos aplicar a substituição simples diretamente ou, para facilitar, podemos

fazer uma substituição simples antes da substituição trigonométrica.

, e

l)

solução:

,

e

m) –

solução:

Antes de qualquer coisa, devemos arrumar a função polinomial do segundo grau de forma a

facilitar a aplicação do método de substituição trigonométrica.

– –

–

–

, e

–

n) –

solução:

Antes de qualquer coisa, devemos arrumar a função polinomial do segundo grau de forma a

facilitar a aplicação do método de substituição trigonométrica.

– –

–

–

, e

–

o)

Solução:

, e

e

2. Calcule a área do conjunto de todos os (x,y) tais que .

Solução:

Sabemos que a figura é uma elipse “em pé” pois e

, vamos ao gráfico:

Isolando y:

, , então:

Onde a parte positiva representa a parte acima do eixo x no gráfico e a parte negativa

representa a parte de baixo do eixo x. Logo, podemos fazer a área da parte positiva e

multiplicar por 2.

Para facilitar mais ainda, podemos dividir em 4 partes fazendo a área apenas do primeiro

quadrante e multiplicar por 4.

Para resolver esta função devemos fazer substituição trigonométrica:

,

e

Agora basta calcular o intervalo dado:

3. A resolução é similar com do exercício anterior.

4. Calcule.

a)

Solução:

, e

b)

Solução:

,

então e

c)

Solução:

,

então e

d)

Solução:

,

então e

As demais até a letra o seguem o mesmo raciocínio, assim como os próximos exercícios até o

final deste tópico.

Qualquer duvida nos tópicos anteriores me pergunte que terei o prazer em ajudar.

NOTA:

integrais do tipo:

podem ser resolvidas pela substituição trigonométrica e por

frações parciais pois o polinômio , possui duas raízes.

Porém nesse caso fazer por substituição trigonométrica é mais interessante pois

, o que condiz com uma substituição mais simples.

Integrais do tipo:

podem ser resolvidas pela substituição trigonométrica e por

frações parciais pois o polinômio , possui duas raízes.

Porém nesse caso fazer por frações parciais é mais interessante pois ao fazer por

substituição trigonométrica , o que faria condiz com

um aumento da função no caso dessa substituição.

Integrais do tipo:

não tem raízes logo, só se faz por substituição

trigonométrica.

Exercícios 12.5 - Página – 375

Calcule.

1.

Solução:

Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes:

Nesse caso descoberto pelo quadrado da diferença.

Comparando as frações:

e

Assim a integral:

2.

Solução:

Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes do denominador, pelo método de

completar quadrados:

e , logo assim:

3.

Solução:

Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes:

Nesse caso descoberto pelo quadrado da diferença.

Comparando as frações:

4.