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12 Flächen- und Volumenintegrale - TU koksch/lectures/Bauingenieure/BauIng-Ma2-4-script.pdf · PDF fileDurch ( 12.1.5 ) wird das Flächenintegral auf ein zweifaches Integral zurückgeführt

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  • 12 Flächen- und Volumenintegrale

    12.1 Integration über ebene Mengen

    12.1.1 Erweiterung des Flächeninhaltsbegriffes

    In einigen Spezialfällen haben wir ebenen Mengen (d.h. Teilmengen von R2) bereits einen Flächeninhalt zugeordnet (siehe Abschnitt 9.1). Nun wollen wir für eine recht umfangreiche Klasse von ebenen Mengen den Begriff des Flächeninhalts definieren.

    Sei B ⊂ R2 eine beschränkte Menge. Sei k eine natürliche Zahl. R2 sei mit einem karte- sischen Koordinatensystem versehen und be- züglich dieses von einem Gitter achsenpar- alleler abgeschlossener Quadrate der Seiten- länge 2−k (so genannter k-Quadrate) über- deckt. Der Flächeninhalt jedes k-Quadrats ist 2−k ·2−k = 2−2k.

    B

    Sei sk(B) := Summe der Flächeninhalte aller k-Quadrate, die ganz in B enthalten

    sind, sk(B) := Summe der Flächeninhalte aller k-Quadrate, die mindestens einen

    Punkt von B enthalten.

    Da B nach Voraussetzung beschränkt ist, gibt es zu jedem k nur endlich viele k-Quadrate mit der entsprechenden Eigenschaft.

    Durch Vergrößern von k wird das Gitter verfeinert. Dabei gilt

    sk(B)≤ sk+1(B)≤sk+1(B)≤ sk(B) ,

    und daher existieren die Grenzwerte

    A (B) := lim k→∞

    sk(B) (Approximation von innen),

    A (B) := lim k→∞

    sk(B) (Approximation von außen).

    285

  • 12 Flächen- und Volumenintegrale

    Definition 12.1.1. Die Menge B⊂R2 heißt Riemann-meßbar, wenn sie beschränkt ist und A (B) = ¯A (B) gilt. Dieser gemeinsame Wert heißt dann Flächeninhalt A (B) der Menge B. (A für “area”, lat.: Fläche.)

    Ist N ⊂ R2 Riemann-meßbar und gilt A (N) = 0, so heißt N Nullmenge in R2.

    Satz 12.1.2. Für beschränkte Teilmengen B und N von R2 gilt:

    (i) B ist genau dann Riemann-meßbar, wenn der Rand von B eine Nullmenge in R2 ist.

    (ii) Ist B Riemann-meßbar und N Nullmenge in R2, so gilt

    A (B) = A (B∪N) = A (B\N) .

    Satz 12.1.3. Jede aus endlich vielen, stetig differenzierbaren Kurvenstücken und eventuell endlich vielen, weiteren Punkten bestehende Teilmenge von R2 ist Nullmenge in R2.

    Aus diesen Sätzen folgt:

    Folgerung 12.1.4. Jede beschränkte Teilmenge B von R2, deren Rand aus endlich vielen, stetig differenzierbaren Kurvenstücken und eventuell endlich vielen weiteren Punkten be- steht, ist Riemann-meßbar, besitzt also einen Flächeninhalt A (B).

    Folgerung 12.1.5. Das Hinzufügen oder Entfernen einer Nullmenge in R2 läßt den Flä- cheninhalt einer Riemann-meßbaren Menge unverändert.

    Beispiel 12.1.6. Es sei B ein abgeschlossenes Rechteck in der Ebene mit den Seitenlängen a > 0 und b > 0. N1 sei die aus den vier Seitenlinien bestehende Menge und N2 eine Diagonale. Dann sind N1 und N2 Nullmengen in R2, und es gilt

    A (B\N1) = A (B\N2) = A (B) = ab . a

    bN2

    Beispiel 12.1.7. Es sei B wie in Beispiel 12.1.6 und

    M := {(x,y) ∈ B : x und y rationale Zahlen} .

    Dann gilt A (M) = 0 (denn jedes k-Quadrat enthält auch Punkte mit mindestens einer irra- tionalen Koordinate) und ¯A (M) = ab> 0. Also ist M nicht Riemann-meßbar.

    12.1.2 Der Begriff des Flächenintegrals

    Es soll das Integral einer Funktion über eine beschränkte ebene Menge definiert werden.

    286

  • 12.1 Integration über ebene Mengen

    Wir erinnern an die Definition des Integrals b∫ a

    f (x)dx mittels Riemann-Summen der Form

    S( f ) := m

    ∑ i=1

    f (ξi) ·4xi,

    die zu einer Zerlegung Z = {a = x0,x1, . . . ,xm = b} des Intervalls [a,b] gehören. Hierbei ist 4xi := xi− xi−1 die Länge des Teilintervalls [xi−1,xi] und ξi ∈ [xi−1,xi]. Nun sei B⊂ R2 eine beschränkte Menge und f : B→ R eine Funktion. Mittels glatten Kurvenstücken sei eine Zerle- gung Z von B in Teilmengen B1, . . . ,Bm vor- genommen. Die Menge B sei so beschaffen, daß jedes Bi Riemann-meßbar ist, und es sei 4Bi := A (Bi) der Flächeninhalt von Bi.Wei- ter sei (ξi,ηi) ∈ Bi beliebig gewählt.

    B

    Bi

    Dann heißt

    S( f ,Z) := m

    ∑ i=1

    f (ξi,ηi) ·4Bi (12.1.1)

    Riemann-Summe von f bezüglich der Zerlegung Z.

    Es sei δ (Z) der maximale Durchmesser (d.h. das Supremum der Abstände zweier Punkte dieser Menge) der zu Z gehörigen Mengen B1, . . . ,Bm. δ (Z) ist ein Maß für die “Feinheit” der Zerlegung Z.

    Statt einer Zerlegung Z betrachten wir nun eine Folge von “immer feineren” Zerlegungen Zn von B in Mengen B

    (n) 1 , . . . ,B

    (n) mn . Dabei soll “immer feiner” bedeuten, daß limn→∞

    δ (Zn) = 0

    gilt. Wenn nun für jede solche Folge (Zn) und jede Wahl der Punkte (ξ (n) i ,η

    (n) i ) ∈ B

    (n) i die

    zugehörige Folge der Riemann-Summen stets konvergiert, so hängt deren Grenzwert nur von f und B ab und heißt Flächenintegral von f über B, in Zeichen∫∫

    B

    f db oder ∫∫ B

    f (x,y)db(x,y) oder ∫∫ B

    f (x,y)d(x,y) .

    Das db deutet dabei darauf hin, daß wir über einen Bereich integrieren.

    In Kurzform kann man die Definition so zusammenfassen:∫∫ B

    f db := lim δ (Zn)→0

    mn

    ∑ i=1

    f (ξ (n)i ,η (n) i ) ·4B

    (n) i .

    Satz 12.1.8. Ist B⊂ R2 Riemann-meßbar und f : B→ R beschränkt und stetig, so existiert das Flächenintegral

    ∫∫ B

    f db.

    287

  • 12 Flächen- und Volumenintegrale

    Bemerkung 12.1.9. Aus (12.1.1) mit f = 1 folgt S( f ,Z) = m ∑

    i=1 4Bi = A (B). Alle Riemann-

    Summen haben denselben Wert und daher ist∫∫ B

    db = A (B) der Flächeninhalt von B . (12.1.2)

    12.1.3 Berechnung von Flächenintegralen

    Wir beginnen mit zwei allgemeinen Rechenregeln.

    Satz 12.1.10. Ist B ⊂ R2 Riemann-meßbar, N ⊂ R2 Nullmenge in R2 und f : B∪N → R beschränkt und stetig, so gilt (vgl. Satz 12.1.2)∫∫

    B

    f db = ∫∫

    B∪N

    f db= ∫∫

    B\N

    f db . (12.1.3)

    Satz 12.1.11. Seien B1,B2 ⊂ R2 Riemann-meßbare Mengen, die höchstens eine Nullmenge gemeinsam ha- ben. Weiter sei f : B1∪B2→ R beschränkt und stetig. Dann gilt∫∫

    B1∪B2

    f db = ∫∫ B1

    db + ∫∫ B2

    db . (12.1.4) B1 B2

    Wir definieren nun Klassen von ebenen Mengen, für die das Flächenintegral leicht zu be- rechnen ist.

    Definition 12.1.12.

    (i) Es seien u,v : [a,b] → R stetige Funktionen mit u(x)≤ v(x) für alle x ∈ [a,b]. Dann heißt

    B− := {(x,y) ∈ R2 : a≤ x≤ b, u(x)≤ y≤ v(x)}

    horizontaler Normalbereich oder Normalbereich bez. der x-Achse.

    v

    u

    B_

    ba

    (ii) Es seien ϕ,ψ : [α,β ]→ R stetige Funktionen mit ϕ(y)≤ ψ(y) für alle y ∈ [α,β ]. Dann heißt

    B| := {(x,y) ∈ R2 : α ≤ y≤ β , ϕ(y)≤ x≤ ψ(y)}

    vertikaler Normalbereich oder Normalbereich bez. der y-Achse.

    β

    α

    B|

    ϕ ψ

    288

  • 12.1 Integration über ebene Mengen

    Satz 12.1.13. (i) Ist B− ⊂ R2 ein Normalbereich bezüglich der x-Achse und f : B− → R eine stetige Funktion, so gilt∫∫

    B−

    f db = ∫∫ B−

    f (x,y)d(x,y) = ∫ b

    x=a

    [∫ v(x) y=u(x)

    f (x,y)dy ]

    dx . (12.1.5)

    (ii) Ist B| ⊂R2 ein Normalbereich bezüglich der y-Achse und f : B|→R eine stetige Funk- tion, so gilt ∫∫

    B|

    f db = ∫∫ B|

    f (x,y)d(x,y) = ∫ β

    y=α

    [∫ ψ(y) x=ϕ(y)

    f (x,y)dx ]

    dy . (12.1.6)

    Durch (12.1.5) wird das Flächenintegral auf ein zweifaches Integral zurückgeführt. Letzte- res berechnet man “von innen nach außen”: Man integriert zuerst über y bei “festgehalte- nem” x, danach über x.

    Entsprechendes gilt für (12.1.6).

    Beispiel 12.1.14. Die Graphen der Funktionen

    f1(x) = √

    x + 3 , f2(x) = 0 , und f3(x) = 2 √

    x

    mit D( f1) = D( f2)[−3,∞[ , D( f3) = [0,∞[

    beranden einen beschränkten Bereich B der x,y-Ebene. Gesucht ist der Flächeninhalt A (B).

    Lösung: Im Bild ist der Bereich B darge- stellt. Der Schnittpunkt von graph( f1) und graph( f2) ergibt sich aus

    √ x + 3 = 2

    √ x zu

    (1,2). Zur Berechnung von A (B) =

    ∫∫ B

    db sind zwei

    Wege möglich. 1−3

    y = √

    x + 3

    y = 2 √

    x B1

    B2

    x

    y

    1. Weg: B “von der x-Achse her” betrachten. Nach Satz 12.1.11 gilt

    A (B) = ∫∫ B1

    db + ∫∫ B2

    db ,

    wobei B1 und B2 Normalbereiche bezüglich der x-Achse sind. Daher gilt∫∫ B1

    db = ∫ 0

    x=−3

    [∫ √x+3 y=0

    dy

    ] dx =

    ∫ 0 x=−3

    y ∣∣y=√x+3 y=0 dx

    = ∫ 0

    x=−3

    √ x + 3 dx =

    2 3

    (x + 3) 3 2

    ∣∣∣∣x=0 x=−3

    = 2 √

    3

    289

  • 12 Flächen- und Volumenintegrale

    und ∫∫ B2

    db = ∫ 1

    x=0

    [∫ √x+3 y=2 √

    x dy

    ] dx =

    ∫ 1 x=0

    ( √

    x + 3−2 √

    x)dx = 4−2 √

    3 .

    Somit ist A (B) = 4. 2. Weg: B “von der y-Achse her” betrachten. Dann ist B selbst Normalbereich. Wegen

    y = √

    x + 3⇐⇒ x = y2−3, y≥ 0

    y = 2 √

    x⇐⇒ x = 1 4

    y2, y≥ 0 ,

    folgt 1−3

    x = y2−3

    x = 14y 2

    x

    y

    A (B) = ∫∫ B

    db = ∫ 2

    y=0

    [

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