Embed Size (px)
Citation preview
1.5 Realni brojevi(staro izdanje knjige)
X Zadatak 4: (str. 55) Dokazi da je zbroj racionalnog i iracionalnog broja ira-cionalan broj.
Rjesenje: Neka su dani brojevi a i b takvi da vrijedi a ∈ Q (dakle a je racionalan)te b /∈ Q (dakle b je iracionalan). Nadalje pretpostavimo da je njihov zbroj jed-nak nekom broju c takvom da vrijedi c ∈ Q (dakle c je racionalan). Vrijedi:
a + b = c
No prebacimo broj b na lijevu stranu, slijedi:
a = c− b
Na taj nacin som na lijevoj strani dobili broj koji je iracionalan, a na desnojrazliku racionalnih brojeva. No znam da su racionalni brojevi zatvoreni naoperaciju zbrajanja odnosno oduzimanja (zbroj ili razlika svaka dva racionalnabroja (razlomka) jest racionalan broj (razlomak)), odnosno vrijedi:
/∈Q︷︸︸︷a = c− b︸ ︷︷ ︸
∈Q
No to znaci da se na lijevoj strani nalazi iracionalan broj, a na desnoj racionalani oni bi trebali biti jednaki. No to je nemoguce jer znamo da vrijedi Q ∩ I = ∅,odnosno broj moze biti ili racionalan ili iracionalan, sto znaci da je pretpostavkabila pogresna.Dakle zbroj racionalnog i iracionalnog broja je iracionalan broj. Time je zadatakrijesen.
Y ] Z
X Zadatak 6: (str. 55) Dokazi da je broj oblika a + b√
2 iracionalan za svakadva racionalna broja a i b, b 6= 0.
Rjesenje: Ovdje cemo koristiti cinjenicu da je√
2 iracionalan broj. Na samompocetku podijelimo zadatak na dva slucaja kada je a = 0 i kada je a 6= 0.
Pozabavimo se prvo slucajem kada je a = 0. U tom slucaju broj poprimaoblik b
√2. Pretpostavimo suprotno od tvrdnje u zadatku odnosno da postoji
x ∈ Q (racionalan broj x) takav da vrijedi:
b√
2 = x
1
Pomnozimo jednakost s 1b, slijedi:
b√
2 = x / · 1b
b√
2 · 1b
= x · 1b
Pokratim sto se poktatiti dade, slijedi:1�b√
21 · 1
�b1= x
1 ·1b
√2
1 = x
b√
2 = x
b
Promotrim li malo dobiveni izraz mogu zakljuciti da je broj na lijevoj straniiracionalan dok je on na desnoj racionalan.
Postavlja se pitanje zasto je broj na desnoj racionalan. Odgovor lezi u tomesto su racionalni brojevi zatvoreni operaciju dijeljenja. Dakle ako dva razlomkapodijelim opet cu dobiti razlomak.
No to nije moguce jer broj moze biti ili racionalan ili iracionalan sto znacida je pretpostavka bila kriva, odnosno broj b
√2, b ∈ Q je zaista iracionalan.
Pozabavimo se nadaljde drugim slucajem kada je a 6= 0. U tom slucaju brojje oblika a + b
√2. Pretpostavimo suprotno od tvrdnje u zadatku odnosno da
postoji x ∈ Q (racionalan broj x) takav da vrijedi:
a + b√
2 = x
Kvadriramo dani izraz, slijedi:
a + b√
2 = x / 2(a + b
√2)2
= x2
Lijevu stranu raspisujemo po pravilu za kvadrat binoma, odnosno(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:
a2 + 2 · a · b√
2 +(
b√
2)2
= x2
Posljednji clan sume na lijevoj strani raspisujem po pravilu za mnozenje poten-cija istih eksponenanata, osnosno an · bn = (a · b)n, slijedi:
a2 + 2ab√
2 + b2(√
2)2
︸ ︷︷ ︸2
= x2
2
a2 + 2ab√
2 + 2b2 = x2
Sve clanove sume na lijevoj strani osim onog koji sadrzi√
2 prebacimo na desnustranu, slijedi:
2ab√
2 = x2 − a2 − 2b2
Cijelu jednakost mnozim s 12ab
, slijedi:
2ab√
2 = x2 − a2 − 2b2 / · 12ab
2ab√
2 · 12ab
=(x2 − a2 − 2b2) · 1
2ab
Pokratim sto se pokratiti dade, slijedi:
1��2ab√
21 · 1
��2ab1= x2 − a2 − 2b2
1 · 12ab
√2
1 = x2 − a2 − 2b2
2ab
√2 = x2 − a2 − 2b2
2ab
Promotrim li malo dobiveni izraz mogu zakljuciti da je broj na lijevoj straniiracionalan dok je on na desnoj racionalan.
Postavlja se pitanje zasto je broj na desnoj racionalan. Odgovor lezi u tome stosu racionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne operacije, odnosno na zbrajanje,oduzimanje, mnozenje i dijeljenje. Dakle ako dva razlomka zbrojim, oduzmem,pomnozim ili podijelim opet cu dobiti razlomak.
Kako su to jedine operacije koje se nalaze na desnoj strani (kvadriranje je za-pravo mnozenje broja samim sobom), a brojevi a, b i x su svi redom racionalni ikrajnji rezultat desne strane bit ce racionalan. No to nije moguce jer broj mozebiti ili racionalan ili iracionalan sto znaci da je pretpostavka bila kriva odnosnobroj definiran u zadatku stvarno jest iracionalan.
Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 8: (str. 55) Dokazi da je broj√
2 +√
3 iracionalan.
Rjesenje: Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj√
2 +√
3 racionalan.To zapravo znaci da postoji x ∈ Q (x racionalan broj) tako da vrijedi:
√2 +√
3 = x
3
Kvadriramo cijelu jednakost, slijedi:√
2 +√
3 = x / 2
(√2 +√
3)2
= x2
Lijevu stranu raspisemo prema izrazu za kvadrat binoma, odnosno(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:(√
2)2
+ 2 ·√
2 ·√
3 +(√
3)2
= x2
2 + 2 ·√
2 ·√
3 + 3 = x2
Zbrojimo sto se zbrojiti dade, slijedi:
5 + 2 ·√
2 ·√
3 = x2
Prebacimo 5 na desnu stranu, slijedi:
2 ·√
2 ·√
3 = x2 − 5
Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:
2 ·√
2 ·√
3 = x2 − 5 / · 12
2 ·√
2 ·√
3 · 12 =
(x2 − 5
)· 1
2Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
1�2 ·√
2 ·√
31 · 1
�21= x2 − 5
1 · 12
√2 ·√
31 = x2 − 5
2√
2 ·√
3 = x2 − 52
Pomnozim brojeve na lijevoj strani prema pravilu za mnozenje korijena jednakihvelicina, odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
√2 · 3 = x2 − 5
2√
6 = x2 − 52
Promatrajuci dobiveni izraz zakljucujemo da je broj na lijevoj strani iracionalan,dok se na desnoj strani nalazi izraz koji sadrzi samo racionalne brojeve. Kako
4
su racionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne operacije (zbrajanje, oduzimanje,mnozenje i dijeljenje), sto zapravo znaci da je rezultat osnovnih operacija racional-nih brojeva opet racionalan broj, desna je strana ubiti racionalni broj.
To je nemoguce jer broj moze biti ili racionalan ili iracionalan, dakle pret-postavka je kriva. To zapravo znaci da je broj dan u zadatku iracionalan. Timeje zadatak rijesen.
Napomena: Na stanici ispod ovog dokumenta nalazi se doument s doka-zom da je korijen iz svakog prirodnog broja koji nije potpuni kvadrat (pot-puni kvadrat jest onaj prirodni broj koji je kvadrat nekog prirodnog broja,primjerice broj 4 koji je kvadrat broja 2) zapravo iracionalan. Dokazan jezapravo nesto jaca tvrdnja od toga.
Y ] Z
X Zadatak 9: (str. 55) 1) Dokazi da je broj√
2 + 3√
3 iracionalan.
Rjesenje: Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj√
2 + 3√
3 racionalan.To zapravo znaci da postoji x ∈ Q (x racionalan broj) tako da vrijedi:
√2 + 3√
3 = x
Kvadriramo cijelu jednakost, slijedi:√
2 + 3√
3 = x / 2
(√2 + 3√
3)2
= x2
Lijevu stranu raspisemo prema izrazu za kvadrat binoma, odnosno(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:(√
2)2
+ 2 ·√
2 · 3√
3 +(
3√
3)2
= x2
2 + 2 ·√
2 · 3√
3 +(
3√
3)2
= x2
Prebacimo broj 2 na desnu stranu jednakosti, slijedi:
2 ·√
2 · 3√
3 +(
3√
3)2
= x2 − 2
Izlucimo 3√
3 iz clanove sume na ljievoj strani jednakosti, slijedi:
3√
3(
2 ·√
2 + 3√
3)
= x2 − 2
5
Nadalje raspisat cemo 2 ·√
2 kao 2 ·√
2 =√
2 +√
2, slijedi:
3√
3(√
2 +√
2 + 3√
3)
= x2 − 2
Uocimo da su druga dva sumanda u zagradi lijeve strane jednakosti zapravojednake x, slijedi:
3√
3(√
2 +√
2 + 3√
3︸ ︷︷ ︸x
) = x2 − 2
3√
3(√
2 + x)
= x2 − 2
Nadalje cijeli cemo izraz kubirati, slijedi:
3√
3(√
2 + x)
= x2 − 2 / 3
[3√
3(√
2 + x)]3
=(x2 − 2
)3
Raspisemo izraz na lijevoj strani jednakosti prema pravilu za mnozenje potenicjaistih eksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:(
3√
3)3 (√
2 + x)3
=(x2 − 2
)3
3(√
2 + x)3
=(x2 − 2
)3
Pomnozimo cijelu jednakost s 13 , slijedi:
3(√
2 + x)3
=(x2 − 2
)3/ · 1
3
3(√
2 + x)3· 1
3 =(x2 − 2
)3 · 13
Pokratimo sto se poktatiti dade, slijedi:
1�3(√
2 + x)3
1 · 1�31
=(x2 − 2
)3
·13(√
2 + x)3
1 =(x2 − 2
)3
3(√2 + x
)3=(x2 − 2
)3
3Raspisemo lijevu stranu jednakosti prema pravilu za kubiranje binoma, odnosnoprema (a± b)3 = a3 ± 3a2b± 3ab2 ± b3, slijedi:
(√2)3
+ 3 ·(√
2)2
︸ ︷︷ ︸2
·x + 3 ·√
2 · x2 + x3 =(x2 − 2
)3
3
6
√2 ·(√
2)2
︸ ︷︷ ︸2
+3 · 2x + 3√
2x2 + x3 =(x2 − 2
)3
3
2√
2 + 6x + 3√
2x2 + x3 =(x2 − 2
)3
3Prebacimo 6x i x3 na desnu stranu jednakosti, slijedi:
2√
2 + 3√
2x2 =(x2 − 2
)3
3 − x3 − 6x
Izlucimo√
2 iz oba clana sume na lijevoj strani jednakosti, slijedi:
√2(2 + 3x2) =
(x2 − 2
)3
3 − x3 − 6x
Pomnozim cijelu jednakost s 12 + 3x2 , slijedi:
√2(2 + 3x2) =
(x2 − 2
)3
3 − x3 − 6x / · 12 + 3x2
√2(2 + 3x2) · 1
2 + 3x2 =[(
x2 − 2)3
3 − x3 − 6x
]· 1
2 + 3x2
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:√
21���
��(2 + 3x2)1 · 1
����2 + 3x2
1=[(
x2 − 2)3
3 − x3 − 6x
]· 1
2 + 3x2
√2
1 =
(x2 − 2
)3
3 − x3 − 6x
2 + 3x2
√2 =
(x2 − 2
)3
3 − x3 − 6x
2 + 3x2
Promatrajuci dobiveni izraz zakljucujemo da je broj na lijevoj strani iracionalan,dok se na desnoj strani nalazi izraz koji sadrzi samo racionalne brojeve. Kakosu racionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne operacije (zbrajanje, oduzimanje,mnozenje i dijeljenje), sto zapravo znaci da je rezultat osnovnih operacija racional-nih brojeva opet racionalan broj, desna je strana ubiti racionalni broj (napom-injem da je potenciranje zapravo mnozenje).
To je nemoguce jer broj moze biti ili racionalan ili iracionalan, dakle pret-postavka je kriva. To zapravo znaci da je broj dan u zadatku iracionalan. Timeje zadatak rijesen.
7
Y ] Z
X Zadatak 9: (str. 55) 2) Dokazi da je broj√
2 +√
3 +√
5 iracionalan.
Rjesenje: Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj√
2+√
3+√
5 racionalan.To zapravo znaci da postoji x ∈ Q (x racionalan broj) tako da vrijedi:
√2 +√
3 +√
5 = x
Prebacimo√
5 na desnu stranu, slijedi:√
2 +√
3 = x−√
5
Kvadriram dobivenu jednakost, slijedi:√
2 +√
3 = x−√
5 / 2
(√2 +√
3)2
=(
x−√
5)2
Obje strane jednakosti raspisem prema izrazu za kvadrat binoma, odnosno(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:(√
2)2
︸ ︷︷ ︸2
+2 ·√
2 ·√
3 +(√
3)2
︸ ︷︷ ︸3
= x2 − 2 · x ·√
5 +(√
5)2
︸ ︷︷ ︸5
2 + 2√
2√
3 + 3 = x2 − 2x√
5 + 5
Zbrojimo sto se zbrojiti dade na lijevoj strani jednakosti, slijedi:
5 + 2√
2√
3 = x2 − 2x√
5 + 5
Pokratimo istovjetne izraze s lijeve i desne strane jednakosti, slijedi:
�5 + 2√
2√
3 = x2 − 2x√
5 + �5
2√
2√
3 = x2 − 2x√
5
Pomnozimo korijene na lijevoj strani jednakosti prema pravilu za mnozenje ko-rijena, odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
2√
2 · 3 = x2 − 2x√
5
2√
6 = x2 − 2x√
5
Prebacimo 2x√
5 na lijevu stranu jednakosti slijedi:
2√
6 + 2x√
5 = x2
8
Izlucimo 2 na lijevoj strani jednakosti, slijedi:
2(√
6 + x√
5)
= x2
Pomnozimo cijelu jednadzbu s 12 , slijedi:
2(√
6 + x√
5)
= x2 / · 12
2(√
6 + x√
5)· 1
2 = x2 · 12
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
1�2(√
6 + x√
5)
1 · 1�21
= x2
1 ·12
1 ·(√
6 + x√
5)
1 = x2
2√
6 + x√
5 = x2
2Opet kvadriramo cijelu jednakost, slijedi:
√6 + x
√5 = x2
2 / 2
(√6 + x
√5)2
=(
x2
2
)2
Lijevu stranu jednakosti raspisem prema izrazu za kvadrat binoma, odnosno(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:
(√6)
︸ ︷︷ ︸6
+2 ·√
6 · x√
5 +(
x√
5)2
=(
x2
2
)2
6 + 2x√
6√
5 +(
x√
5)2
=(
x2
2
)2
Posljednji clan sume na lijevoj strani jednakosti prema pravilu za mnozenjepotencija istih eksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:
6 + 2x√
6√
5 + x2(√
5)2
︸ ︷︷ ︸5
=(
x2
2
)2
6 + 2x√
6√
5 + 5x2 =(
x2
2
)2
9
Prebacimo 6 i 5x2 na desnu stranu jednakosti, slijedi:
2x√
6√
5 =(
x2
2
)2
− 5x2 − 6
Pomnozimo korijene na lijevoj strani jednakosti prema pravilu za mnozenje ko-rijena, odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
2x√
6 · 5 =(
x2
2
)2
− 5x2 − 6
2x√
30 =(
x2
2
)2
− 5x2 − 6
Pomnozim cijelu jednakost s 12x
, slijedi:
2x√
30 =(
x2
2
)2
− 5x2 − 6 / · 12x
2x√
30 · 12x
=[(
x2
2
)2
− 5x2 − 6]· 1
2x
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
1��2x√
301 · 1
��2x=
(x2
2
)2
− 5x2 − 6
1 · 12x
√301 =
(x2
2
)2
− 5x2 − 6
2x
√30 =
(x2
2
)2
− 5x2 − 6
2x
Promatrajuci dobiveni izraz zakljucujemo da je broj na lijevoj strani iracionalan,dok se na desnoj strani nalazi izraz koji sadrzi samo racionalne brojeve. Kakosu racionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne operacije (zbrajanje, oduzimanje,mnozenje i dijeljenje), sto zapravo znaci da je rezultat osnovnih operacija racional-nih brojeva opet racionalan broj, desna je strana ubiti racionalni broj (napom-injem da je potenciranje zapravo mnozenje broja sa samim sobom n puta).
To je nemoguce jer broj moze biti ili racionalan ili iracionalan, dakle pret-postavka je kriva. To zapravo znaci da je broj dan u zadatku iracionalan. Timeje zadatak rijesen.
Y ] Z
10
X Zadatak 9: (str. 55) 3) Dokazi da je broj√
2 + 4√
2 iracionalan.
Rjesenje: Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj√
2 + 4√
2 racionalan.To zapravo znaci da postoji x ∈ Q (x racionalan broj) tako da vrijedi:
√2 + 4√
2 = x
Prisjetimo se da vrijedi n√
am = amn . Imajuci to na umu
√2 mogu zapisati kao
2 12 . Nadalje 1
2 mogu zapisati kao 12 = 1
4 · 2. Imajuci sve to na umu vrijedi:
√2 = 2 1
2 = 2 14 ·2
Primjenim li pravilo u potenciranju potencija, odnosno (an)m = an·m, vrijedi:
√2 = 2 1
4 ·2 =(
2 14
)2
Imajuci na umu n√
am = amn mogu pisati:
√2 =
(2 1
4
)2=(
4√
2)2
Vratimo se s tim u pocetnu jednakost, slijedi:√
2︸︷︷︸( 4√2)2
+ 4√
2 = x
(4√
2)2
+ 4√
2 = x
Izlucimo 4√
2 iz oba clana na lijevoj strani jednakosti, slijedi:
4√
2(
4√
2 + 1)
= x
Kvadriram cijelu jednakost, vrijedi:
4√
2(
4√
2 + 1)
= x / 2
[4√
2(
4√
2 + 1)]2
= x2
Raspisemo lijevu stranu jednakosti prema pravilu za mnozenje potencija istiheksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:(
4√
2)2 (
4√
2 + 1)2
= x2
11
Prema prijasnjem razmatranju prisjetim se da vrijedi(
4√
2)2 =
√2, slijedi:(
4√
2)2
︸ ︷︷ ︸√2
(4√
2 + 1)2
= x2
√2(
4√
2 + 1)2
= x2
Raspisemo drugi clan produkta s lijeve strane jednakosti prema izrazu za kvadratbinoma, odnosno prema (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:
√2[(
4√
2)2
+ 2 · 4√
2 · 1 + 12]
= x2
Prisjetim se da vrijedi(
4√
2)2 =
√2, slijedi:
√2
( 4√
2)2
︸ ︷︷ ︸√2
+2 4√
2 + 1
= x2
√2(√
2 + 2 4√
2 + 1)
= x2
Zapisemo√
2 kao√
2 = 2√
2−√
2, slijedi:
√2
√2︸︷︷︸
2√
2−√
2
+2 4√
2 + 1
= x2
√2(
2√
2−√
2 + 2 4√
2 + 1)
= x2
√2(
2√
2 + 2 4√
2− sqrt2 + 1)
= x2
Izlucimo 2 iz prva dva clana sume u zagradi na lijevoj strani jednakosti, slijedi:√
2[2(√
2 + 4√
2)−√
2 + 1]
= x2
Prisjetim se da vrijedi√
2 + 4√
2 = x, slijedi:
√2
2(√
2 + 4√
2)
︸ ︷︷ ︸x
−√
2 + 1
= x2
√2(
2x−√
2 + 1)
= x2
12
Rijesimo se zagrade na lijevoj strani jednakosti, slijedi:√
2 · 2x +√
2 ·(−√
2)
+√
2 · 1 = x2
2x√
2−(√
2)2
︸ ︷︷ ︸2
+√
2 = x2
2x√
2− 2 +√
2 = x2
Prebacim −2 s lijeve na desnu stranu jednakosti, slijedi:
2x√
2 +√
2 = x2 + 2
Izlucim√
2 iz clanova sume na desnoj strani jednakosti, slijedi:√
2 (2x + 1) = x2 + 2
Pomnozim cijelu jednakost s 12x + 1 , slijedi:
√2 (2x + 1) = x2 + 2 / · 1
2x + 1√
2 (2x + 1) · 12x + 1 =
(x2 + 2
)· 1
2x + 1Pokratim sto se pokratiti dade, slijedi:
√2���
�(2x + 1)1
1 · 1���2x + 11
= x2 + 21 · 1
2x + 1√
21 = x2 + 2
2x + 1√
2 = x2 + 22x + 1
Promatrajuci dobiveni izraz zakljucujemo da je broj na lijevoj strani iracionalan,dok se na desnoj strani nalazi izraz koji sadrzi samo racionalne brojeve. Kakosu racionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne operacije (zbrajanje, oduzimanje,mnozenje i dijeljenje), sto zapravo znaci da je rezultat osnovnih operacija racional-nih brojeva opet racionalan broj, desna je strana ubiti racionalni broj (napom-injem da je potenciranje zapravo mnozenje broja sa samim sobom n puta).
To je nemoguce jer broj moze biti ili racionalan ili iracionalan, dakle pret-postavka je kriva. To zapravo znaci da je broj dan u zadatku iracionalan. Timeje zadatak rijesen.
Y ] Z
13
X Zadatak 9: (str. 55) 5) Dokazi da je broj√
1 +√
2 +√
3 iracionalan.
Rjesenje: Pretpostavimo suprotno, odnosno da je broj√
1 +√
2 +√
3 racionalan.To zapravo znaci da postoji x ∈ Q (x racionalan broj) tako da vrijedi:√
1 +√
2 +√
3 = x
Kvadriramo cijelu jednakost, slijedi:√1 +
√2 +√
3 = x / 2
(√1 +
√2 +√
3)2
= x2
1 +√
2 +√
3 = x2
Prebacimo 1 na desnu stranu, slijedi:√2 +√
3 = x2 − 1
Kvadriramo cijelu jednakost, slijedi:√2 +√
3 = x2 − 1 / 2
(√2 +√
3)2
=(x2 − 1
)2
2 +√
3 =(x2 − 1
)2
Prebacimo 2 na desnu stranu, slijedi:√
3 =(x2 − 1
)2 − 2
Promatrajuci dobiveni izraz zakljucujemo da je broj na lijevoj strani iracionalan,dok se na desnoj strani nalazi izraz koji sadrzi samo racionalne brojeve. Kakosu racionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne operacije (zbrajanje, oduzimanje,mnozenje i dijeljenje), sto zapravo znaci da je rezultat osnovnih operacija racional-nih brojeva opet racionalan broj, desna je strana ubiti racionalni broj (napom-injem da je potenciranje zapravo mnozenje broja sa samim sobom n puta).
To je nemoguce jer broj moze biti ili racionalan ili iracionalan, dakle pret-postavka je kriva. To zapravo znaci da je broj dan u zadatku iracionalan. Timeje zadatak rijesen.
14
Y ] Z
X Zadatak 10: (str. 55) 3) Dokazi da je broj(
6√
9 + 4√
5 + 3√
2 +√
5)· 3√
2−√
5racionalan.
Rjesenje: Rijesimo se zagrade, slijedi:(6√
9 + 4√
5 + 3√
2 +√
5)· 3√
2−√
5 =
= 6√
9 + 4√
5 · 3√
2−√
5 + 3√
2 +√
5 · 3√
2−√
5 = (?)
Pomnozimo drugi clan sume prema pravilu za mnozeje korijena istih stupnjeva,odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
(?) = 6√
9 + 4√
5 · 3√
2−√
5 + 3
√(2−√
5)(
2 +√
5)
= (??)
Prepoznajemo izraz pod korijenom drugog sumanda kao razliku kvadrata pa jesredjujemo prema izrazu a2 − b2 = (a− b) (a + b), slijedi:
(??) = 6√
9 + 4√
5 · 3√
2−√
5 + 3√
22 −(√
5)2 =︸ ︷︷ ︸
5
= 6√
9 + 4√
5 · 3√
2−√
5 + 3√
4− 5) =
= 6√
9 + 4√
5 · 3√
2−√
5 + 3√−1 =
= 6√
9 + 4√
5 · 3√
2−√
5 + (−1) = (♦)
Kako bismo mogli izmoziti prvi clan sume, oba dva korijena moraju biti is-tog stupnja. Prisjetimo se da stupanj korijena mozemo mijenjati prema izrazum·c√
an·c = m√
an. Dakle promijenit cemo drugi clan produkta prvog clana sume,slijedi:
(♦) = 6√
9 + 4√
5 · 3·2
√(2−√
5)1·2− 1 =
= 6√
9 + 4√
5 · 6
√(2−√
5)2− 1 = (♦♦)
Raspisemo izraz pod drugim korijenom prvog clana sume prema izrazu za kvadratbinoma, odnosno prema (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:
(♦♦) = 6√
9 + 4√
5· 6√
22 − 2 · 2 ·√
5 +(√
5)2 − 1 =︸ ︷︷ ︸
5
= 6√
9 + 4√
5 · 6√
4− 4√
5 + 5− 1 = (♠)
15
Zbrojimo sto se zbrojiti moze pod drugim korijenom prvog clana sume, slijedi:
(♠) = 6√
9 + 4√
5 · 6√
9− 4√
5− 1 = (♠♠)
Sredimo prvi clan sume prema pravilu za mnozenje korijena istih stupnjeva,odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
(♠♠) = 6
√(9 + 4
√5)(
9− 4√
5)− 1 = (♣)
Prepoznajemo izraz pod korijenom drugog sumanda kao razliku kvadrata pa jesredjujemo prema izrazu a2 − b2 = (a− b) (a + b), slijedi:
(♣) = 6
√92 −
(4√
5)2− 1 = (♣♣)
Raspisemo drugi clan sume pod korijenom prema pravilu za mnozenje potencijaistih eksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:
(♣♣) = 6√
81 + 42(√
5)2 − 1 =
= 6√
81− 42(√
5)2 − 1 =︸ ︷︷ ︸
5
= 6√
81− 16 · 5− 1 = 6√
81− 80− 1 =
= 6√
1− 1 = 1− 1 = 0
Kako je kranji rezultat jednak 0, a 0 je racionalan pokazali smo sto smo trebali.Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 11: (str. 55) 2) Dokazi da je broj√
7− 4√
3+√
7 + 4√
3 racionalan.
Rjesenje: Neka je broj√
7− 4√
3 +√
7 + 4√
3 jednak nekom realnom brojux. To zapravo znaci da postoji x ∈ R (x realan broj) tako da vrijedi:√
7− 4√
3 +√
7 + 4√
3 = x
Kvadriramo cijelu jednakost, slijedi:√7− 4
√3 +
√7 + 4
√3 = x / 2
(√7− 4
√3 +
√7 + 4
√3)2
= x2
16
Raspisem lijevu stranu jednakosti prema izrazu za kvadrat binoma, odnosnoprema a2 − b2 = (a− b) (a + b), slijedi:(√
7− 4√
3)2
+ 2 ·√
7− 4√
3 ·√
7 + 4√
3 +(√
7 + 4√
3)2
= x2
7− 4√
3 + 2√
7− 4√
3√
7 + 4√
3 + 7 + 4√
3 = x2
Pokratim suprotne izraze te zbrojim sto se zbrojiti dade, slijedi:
7���−4√
3 + 2√
7− 4√
3√
7 + 4√
3 + 7 +���4√
3 = x2
14 + 2√
7− 4√
3√
7 + 4√
3 = x2
Sredimo drugi clan sume prema pravilu za mnozenje korijena istih stupnjeva,odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
14 + 2√(
7− 4√
3)(
7 + 4√
3)
= x2
Prepoznajemo izraz pod korijenom drugog sumanda kao razliku kvadrata pa jesredjujemo prema izrazu a2 − b2 = (a− b) (a + b), slijedi:
14 + 2√
72 −(
4√
3)2
= x2
Raspisemo drugi clan sume pod korijenom prema pravilu za mnozenje potencijaistih eksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:
14 + 2√
49− 42(√
3)2 = x2
14 + 2√
49− 42(√
3)2 = x2︸ ︷︷ ︸
3
14 + 2√
49− 16 · 3 = x2
14 + 2√
49− 48 = x2
14 + 2√
1 = x2
14 + 2 · 1 = x2
14 + 2 = x2
16 = x2
Korijenujemo dobiveni izraz, slijedi:
16 = x2 /√
17
√16 =
√x2
4 = ±x
Dakle dvije su mogucnosti, vrijedi:
−x = 4 ili x2 = 4
Uocimo da je jedno rjesenje x2 = 4 dok cemo drugo dobiti kad sredimo prvujednadzbu tako da je izmnozimo s −1, slijedi:
−x = 4 / · (−1)
−x · (−1) = 4 · (−1)
x1 = −4
Dakle drugo rjesenje jednadzbe jest x1 = −4.
Kako su obje dobivene vrijednosti za broj x racionalni brojevi, a izraz iz tek-sta zadatka jednak broju x zakljucujemo da je izraz zadan u tekstu zadatkaracionalan broj. Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 11: (str. 55) 5) Dokazi da je broj 3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2racionalan.
Rjesenje: Neka je broj 3√
20− 14√
2+ 3√
20 + 14√
2 jednak nekom realnom brojux. To zapravo znaci da postoji x ∈ R (x realan broj) tako da vrijedi:
3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2 = x
Kubiram cijelu jednakost, slijedi:
3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2 = x / 2
(3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2)3
= x3
Lijevu stranu jednakosti raspisujem prema pravilu za kubiranje binoma, odnosno(a± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3, slijedi:(
3√
20− 14√
2)3
+ 3 ·(
3√
20− 14√
2)2
· 3√
20 + 14√
2 +
+ 3 · 3√
20− 14√
2 ·(
3√
20 + 14√
2)2
+(
3√
20 + 14√
2)3
= x3
18
20− 14√
2 + 3(
3√
20− 14√
2)2
3√
20 + 14√
2 +
+ 3 3√
20− 14√
2(
3√
20 + 14√
2)2
+ 20 + 14√
2 = x3
Pokratim suprotne izraze te zbrojim sto se zbrojiti dade, slijedi:
20����−14√
2 + 3(
3√
20− 14√
2)2
3√
20 + 14√
2 +
+ 3 3√
20− 14√
2(
3√
20 + 14√
2)2
+ 20 +���14√
2 = x3
40 + 3(
3√
20− 14√
2)2
3√
20 + 14√
2 + 3 3√
20− 14√
2(
3√
20 + 14√
2)2
= x3
Prebacim broj 40 na desnu starnu jednakosti, slijedi:
3(
3√
20− 14√
2)2
3√
20 + 14√
2 + 3 3√
20− 14√
2(
3√
20 + 14√
2)2
= x3 − 40
Nadalje prisjetim se kako se potenciraju potencije, odnosno da vrijedi izraz(an)m = an·m. No kako su n i m racionalni brojevi, a mnozenje je komutativnou skupu racionalnih brojeva mogu pisati:
(an)m = an·m = am·n
No primjenim li opet pravilo potenciranja potencija, odnosno izraz (an)m =an·m, slijedi:
(an)m = an·m = am·n = (am)n
(an)m = (am)n
Drugim rijecima vidim da mogu zamijeniti "redosijed" eksponenata i dobit cu istirezultat. Sva ova razmatranja radim iz razloga da prilagodim izraze
(3√
20− 14√
2)2
i(
3√
20 + 14√
2)2
racunu. U tu svrhu prisjetim se da korijene mogu prikazati uobliku potencija koristeci izraz n
√am = a
mn . Proces prilagodbe provest cu samo
za jedan od navedena dva izraza, racunam:(3√
20− 14√
2)2
=(
3√
20− 14√
2) 1
2
Primjenim jednakost (an)m = (am)n, slijedi:(3√
20− 14√
2)2
=[(
20− 14√
2) 1
3]2
=[(
20− 14√
2)2] 1
3
= (?)
19
Primjenim opet izraz n√
am = amn , odnosno izraz za prikaz korijena u obliku
potencija, slijedi:
(?) = 3
√(20− 14
√2)2
Vratim se u glavni racun sa svim saznanjima, slijedi:
3(
3√
20− 14√
2)2
︸ ︷︷ ︸3√
(20−14√
2)2
3√
20 + 14√
2 + 3 3√
20− 14√
2(
3√
20 + 14√
2)2
︸ ︷︷ ︸3√
(20+14√
2)2
= x3 = 40
3 3
√(20− 14
√2)2 3√
20 + 14√
2 + 3 3√
20− 14√
2 3
√(20 + 14
√2)2
= x3 = 40
Pomnozimo korijene u oba clana sume lijeve strane jednakosti prema pravilu zamnozenje korijena istih stupnjeva, odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
3 3
√(20− 14
√2)2 (
20 + 14√
2)
+ 3 3
√(20− 14
√2)(
20 + 14√
2)2
= x3 = 40
Nadalje prisjetimo se da je x2 zapravo jednako x2 = x · x. Primjenimo li to najednakost mora vrijediti:
3 3
√(20− 14
√2)(
20− 14√
2)(
20 + 14√
2)
+
+ 3 3
√(20− 14
√2)(
20 + 14√
2)(
20 + 14√
2)
= x3 − 40
Nadalje prepoznajemo dio izraza pod oba korijena kao razliku kvadrata pa jesredjujemo prema izrazu a2 − b2 = (a− b) (a + b), slijedi:
3 3√(
20− 14√
2) (
20− 14√
2) (
20 + 14√
2)
+︸ ︷︷ ︸202−(14
√2)2
+ 3 3√(
20− 14√
2) (
20 + 14√
2) (
20 + 14√
2)
= x3 − 40︸ ︷︷ ︸202−(14
√2)2
3 3
√(20− 14
√2)[
202 −(
14√
2)2]+3 3
√[202 −
(14√
2)2](
20 + 14√
2)
= x3−10
Raspisemo drugi clan sume u drugoj odosno prvoj zagradi pod korijenima premapravilu za mnozenje potencija istih eksponenata, odnosno prema an · bn =(a · b)n, slijedi:
3 3
√(20− 14
√2) [
400− 142(√
2)2] +︸ ︷︷ ︸
2
+ 3 3
√[400− 142
(√2)2] (20 + 14
√2)
= x3 − 40︸ ︷︷ ︸2
20
3 3
√(20− 14
√2)
(400− 196 · 2) +
+ 3 3
√(400− 196 · 2)
(20 + 14
√2)
= x3 − 40
3 3
√(20− 14
√2)
(400− 392) +
+ 3 3
√(400− 392)
(20 + 14
√2)
= x3 − 40
3 3
√(20− 14
√2)
8 + 3 3
√8(
20 + 14√
2)
= x3 − 40
Imajuci na umu pravilo za mnozenje korijena istih stupnjeva, odnosno n√
a· n√
b =n√
a · b, slijedi:
3 3√
20− 14√
2 · 3√
8︸︷︷︸2
+3 · 3√
8︸︷︷︸2
· 3√
20 + 14√
2 = x3 − 40
3 3√
20− 14√
2 · 2 + 3 · 2 3√
20 + 14√
2 = x3 − 40
Izmnozim brojeve koji stoje uz korijene, slijedi:
6 3√
20− 14√
2 + 6 3√
20 + 14√
2 = x3 − 40
Izlucim 6 iz oba clana na lijevoj strani, slijedi:
6(
3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2)
= x3 − 40
Primjetim da se u zagradi s lijeve strane jednakosti upravo nalazi izraz iz tekstazadatka, slijedi:
6(
3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2)
︸ ︷︷ ︸x
= x3 − 40
6x = x3 − 40
Prebacim 6x na desnu stranu i dobijem jednadzbu:
x3 − 6x− 40 = 0
Kako je izraz dan u tekstu zadatka sigurno realan, ako postoji realno rijesenjedane jednazbe izraz iz teksta zadatka bit ce jednak tom rjesenju. Da bih odrediorjesenja dane jednadzbe sluzim se sljedecom tvrdnjom:
21
Tvrdnja: Ako polinom P (x) n-tog stupnja
P (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
ima racionalnu nul-tocku tada ona mora biti oblika x
ypri cemu je x di-
jelitelj slobodnog koeficijenta a0, dok je y dijelitelj vodeceg koeficijenta an.
Napomena: Nul-tocka polinoma i rjesenje pripadne jednadzbe su sinon-imi, jednake stvari!
Kako je vodeci koeficijent u nasem slucaju jednak 1, a jedini dijelitelj broja 1jest on sam, svi kandidati biti ce oblika x
1 = x. Pri tome je x kao sto kazetvrdnja djelitelj slobodnog koeficijenta, koji je u nasem slucaju jednak −40.Dakle svi kandidati su {1,−1, 2,−2, 4,−4, 5,−5, 10,−10, 20,−20, 40,−40}. Dorjesenja cu doci tako da svaki od ovih brojeva uvrstim u jednadzbu i gledam jelirezultat jednak 0. Mi cemo postupak provesti samo za broj 4 jer on jest rjesenjejednadzbe, slijedi:
x︸︷︷︸4
3 − 6 x︸︷︷︸4
−40 = 0
43 − 6 · 4− 40 = 0
64− 24− 40 = 0
40− 40 = 0
0 = 0
Kako je lijeva strane jednakosti jednaka desnoj broj x1 = 4 stvarno jest jednoracionalno rjesenje dane jednadzbe.
Da bismo dobili preostala rjesenja dane jednadzbe koristim se sljedecom tvrd-njom:
Tvrdnja: Ako je x0 nul-tocka polinoma n-tog stupnja
P (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
tada vrijedi:
(x− x0) | anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
Odnosno polinom (x− x0) dijeli polinom P (x).
Dakle ono sto cemo dalje napraviti jest podijeliti polinom s lijeve strane jed-nadzbe x3 − 6x = 40 = 0 s polinomom D (x) = x− 4, odnosno:(
x3 − 6x− 40)
: (x− 4) =
22
Postupak dijeljenja provodimo na nacin da podijelimo vodeci clan dijeljenika svodecim clanom dijelitelja, dakle x3 s x. Rezultat te operacije jest
x3 : x =x2��x3
�x1= x2
1 = x2 . Taj broj upsemo na desnu stranu. Nadalje svaki clan
dijelitelja pomnozimo s tim brojem, dakle s x2 promijenimo predznak rezultatui to potpisemo ispod odgovarajuce potencije dijeljenika. Zbrojimo potpisanepolinome. U nastavku slijedi provedeni prvi korak, vrijedi:(
x3 + − 6x − 40) : (x− 4) = x2
−x3 + 4x2
4x2 − 6x − 40
Potpuno isti postupak provedemo na dobiveni polinom P1 (x) = 4x2 − 6x− 40,slijedi: (
x3 + − 6x − 40) : (x− 4) = x2 + 4x
−x3 + 4x2
4x2 − 6x − 40−4x2 + 16x
10x − 40
Te na kraju ponovimo isti postupak za dobiveni polinom P2 (x) = x− 5, slijedi:(x3 + − 6x − 40) : (x− 4) = x2 + 4x + 10−x3 + 4x2
4x2 − 6x − 40−4x2 + 16x
10x − 40−10x + 40
0
Dakle rezultat dijeljenja jest polinom Q (x) = x2 + 4x + 10. Sada jos preostajerijesiti tu kvadratnu jednadzbu x2 +4x +10 = 0. To cemo uciniti koristeci izrazza rijesenja kvadratne jednadzbe:
x1, x2 = −b±√
b2 − 4ac
2a
Racunamo:x1, x2 = −4±
√42 − 4 · 1 · 102 · 1
x1, x2 = −4±√
16− 402
23
x1, x2 = −4±√−24
2Dakle ova jednadzba nema rjesenja u realnim brojevima (pod korijenom se nalazinegativan broj sto znaci da ce rjesenja biti kompleksnih brojevi). To znaci daje jedino realno rijesenje pocetne jednadzbe x1 = 4. No kako je to rijesenjeujedno i racionalno, a rekli smo na pocetku da cemo uzeti da je x jednak izrazuiz teksta zadatka, zapravo mora vrijediti:
3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2 = x︸︷︷︸4
3√
20− 14√
2 + 3√
20 + 14√
2 = 4
Odnosno vidim da izraz dan u zadatku zaista jest racionalan. Time je zadatakrijesen.
Y ] Z
X Zadatak 11: (str. 55) 6) Dokazi da je broj
√3− 2
√2
17− 12√
2−
√2 +√
217 + 12
√2
racionalan.
Rjesenje: Neka je broj
√3− 2
√2
17− 12√
2−
√2 +√
217 + 12
√2
jednak nekom realnom
broju x. To zapravo znaci da postoji x ∈ R (x realan broj) tako da vrijedi:√3− 2
√2
17− 12√
2−
√2 +√
217 + 12
√2
= x
Kvadriram cijelu jednakost, slijedi:√3− 2
√2
17− 12√
2−
√2 +√
217 + 12
√2
= x / 2
√ 3− 2√
217− 12
√2−
√2 +√
217 + 12
√2
2
= x2
Lijevu stranu jednakosti raspisem prema pravilu za kvadriranje binoma, odnosnoprema (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2, slijedi:√ 3− 2
√2
17− 12√
2
2
− 2 ·
√3− 2
√2
17− 12√
2·
√3 + 2
√2
17 + 12√
2+
√ 3 + 2√
217 + 12
√2
2
= x2
24
3− 2√
217− 12
√2− 2
√3− 2
√2
17− 12√
2
√3 + 2
√2
17 + 12√
2+ 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
Sredimo drugi clan sume prema pravilu za mnozenje korijena istih stupnjeva,odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
3− 2√
217− 12
√2− 2
√3− 2
√2
17− 12√
2· 3 + 2
√2
17 + 12√
2+ 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
3− 2√
217− 12
√2− 2
√ (3− 2
√2) (
3 + 2√
2)(
17− 12√
2) (
17 + 12√
2) + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
Prepoznajemo izraze u brojniku i nazivniku razlomka pod korijenom drugogsumanda kao razliku kvadrata pa ih sredjujemo prema izrazu a2−b2 = (a− b) (a + b),slijedi:
3− 2√
217− 12
√2− 2
√√√√ 32 −(2√
2)2
172 −(12√
2)2 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
Raspisemo drugi clan sume u brojniku i nazivniku razlomka pod korijenomprema pravilu za mnozenje potencija istih eksponenata, odnosno prema an ·bn =(a · b)n, slijedi:
3− 2√
217− 12
√2− 2
√√√√ 9− 22 (√2)2
289− 122(√
2)2 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
2︷ ︸︸ ︷3− 2
√2
17− 12√
2− 2
√√√√ 9− 4(√
2)2
289− 144(√
2)2 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
︸ ︷︷ ︸2
3− 2√
217− 12
√2− 2√
9− 4 · 2289− 144 · 2 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
3− 2√
217− 12
√2− 2√
9− 8289− 288 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
3− 2√
217− 12
√2− 2√
11 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
3− 2√
217− 12
√2− 2√
1 + 3 + 2√
217 + 12
√2
= x2
3− 2√
217− 12
√2− 2 · 1 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
25
3− 2√
217− 12
√2− 2 + 3 + 2
√2
17 + 12√
2= x2
Preostaje jos samo zbrojiti prvi i posljednji clan sume, da bismo to ucinilisvedemo ih na zajednicki nazivnik
(17 + 12
√2) (
17− 12√
2), slijedi:(
3− 2√
2) (
17 + 12√
2)
+(3 + 2
√2) (
17− 12√
2)(
17− 12√
2) (
17 + 12√
2) − 2 = x2
Izraz u nazivniku razlomka prepoznajem kao razliku kvadrata pa ga sredjujemoprema izrazu a2 − b2 = (a− b) (a + b), slijedi:(
3− 2√
2) (
17 + 12√
2)
+(3 + 2
√2) (
17− 12√
2)
172 −(12√
2)2 − 2 = x2
Raspisemo drugi clan sume u nazivniku razlomka prema pravilu za mnozenjepotencija istih eksponenata, odnosno prema an · bn = (a · b)n, slijedi:(
3− 2√
2) (
17 + 12√
2)
+(3 + 2
√2) (
17− 12√
2)
289− 122(√
2)2
︸ ︷︷ ︸2
− 2 = x2
(3− 2
√2) (
17 + 12√
2)
+(3 + 2
√2) (
17− 12√
2)
289− 144 · 2 − 2 = x2
(3− 2
√2) (
17 + 12√
2)
+(3 + 2
√2) (
17− 12√
2)
289− 288 − 2 = x2
(3− 2
√2) (
17 + 12√
2)
+(3 + 2
√2) (
17− 12√
2)
1 − 2 = x2(3− 2
√2)(
17 + 12√
2)
+(
3 + 2√
2)(
17− 12√
2)− 2 = x2
Rijesim se obje zagrade na lijevoj strani prema pravilu svaki sa svakim, slijedi:
3 · 17 + 3 · 12√
2− 2√
2 · 17− 2√
2 · 12√
2 +
+ 3 · 17 + 3 ·(−12√
2)
+ 2√
2 · 17 + 2√
2 ·(−12√
2)− 2 = x2
51 + 36√
2− 34√
2− 24(√
2)2
︸ ︷︷ ︸2
+51− 36√
2 + 34√
2− 24(√
2)2
︸ ︷︷ ︸−2 = x2
Pokratim suprotne izraze, slijedi:
51 +���36√
2����−34√
2− 24 · 2 + 51����−36√
2 +���34√
2− 24 · 2− 2 = x2
51− 48 + 51− 48− 2 = x2
26
3 + 3− 2 = x2
4 = x2
Korijenujemo dobiveni izraz, slijedi:
4 = x2 /√
√4 =√
x2
2 = ±x
Dakle dvije su mogucnosti, vrijedi:
−x = 2 ili x2 = 2
Uocimo da je jedno rjesenje x2 = 2 dok cemo drugo dobiti kad sredimo prvujednadzbu tako da je izmnozimo s −1, slijedi:
−x = 2 / · (−1)
−x · (−1) = 2 · (−1)
x1 = −2
Dakle drugo rjesenje jednadzbe jest x1 = −2.
Kako su obje dobivene vrijednosti za broj x racionalni brojevi, a izraz iz tek-sta zadatka jednak broju x zakljucujemo da je izraz zadan u tekstu zadatkaracionalan broj. Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 16: (str. 55) 1) Dokazi da je broj cos 15◦ iracionalan.
Rjesenje: Prije svega, suprotno tvrdnji zadatka, pretpostavimo da je broj cos 15◦racionalan. Nadalje koristit cemo cinjenicu da znamo cemu je jednak kosinuskuta od 30◦, jer primjecujemo da je to dvostruki kut kuta od 15◦. Naime ima-juci na umu izraz za kosinus dvostukog kuta, odnosno cos 2x = cos2 x− sin2 x,slijedi:
cos 30◦ = cos2 15◦ − sin2 15◦
Nadalje prisjetimo se temeljnog trigonometrijskog identiteta, odnosno jednakostisin2 x + cos2 x = 1, temeljem koje mozemo uociti da mora vrijeditisin2 x = 1− cos2 x. Dakle nadalje slijedi:
cos 30◦ = cos2 15◦ − sin2 15◦︸ ︷︷ ︸1−cos2 15◦
cos 30◦ = cos2 15◦ −(1− cos2 15◦
)27
cos 30◦ = cos2 15◦ − 1 + cos2 15◦
cos 30◦ = 2 cos2 15◦ − 1
Kosinus kuta od 30◦ jednak je√
32 , slijedi:
√3
2 = 2 cos2 15◦ − 1
Pomnozimo cijeli izraz s 2, slijedi:√
32 = 2 cos2 15◦ − 1 / · 2
√3
2 · 2 = 2 cos2 15◦ · 2− 1 · 2
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:√
31�2· �2
1
1 = 4 cos2 15◦ − 2
√3 = 4 cos2 15◦ − 2
Promotrimo li dobiveni izraz mozemo uociti da se na njegovoj lijevoj straninalazi iracionalan broj. Zakljucimo nadalje kakav je broj na desnoj strani. Napocetku razmatranja pretpostavili smo da je cos 15◦ racionalan. No to znacida je i cos2 15◦ takodjer racinalan jer je to ubiti mnozenje racionalnog brojasamim sa sobom, a racionalni brojevi su zatvoreni na mnozenje (umnozak dvaracionalna broja je opet racionalan broj). No tada je ubiti desna strana zapravoracionalan broj jer su svi preostali brojevi racionalni (brojevi 4 i 2), a kako suracionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne racunske operacije, rezultat ce bitiracionalan broj.
No to je nemoguce. Na lijevoj strani je sada iracionalan, a na desnoj straniracionalan broj, a broj moze biti ili racionalan ili iracionalan. To znaci da jepretpostavka bila pogresna, odnosno broj cos 15◦ je iracionalan. Time je za-datak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 16: (str. 55) 2) Dokazi da je broj sin 15◦ iracionalan.
Rjesenje: Koristit cemo rezultat prethodnog zadatka, odnosno da je broj cos 15◦iracionalan broj.
Suprotno tvrdnji zadatka, pretpostavimo da je broj sin 15◦ racionalan. Nadalje
28
koristit cemo cinjenicu da znamo cemu je jednak sinus kuta od 30◦, jer prim-jecujemo da je to dvostruki kut kuta od 15◦. Naime imajuci na umu izraz zasinus dvostukog kuta, odnosno sin 2x = 2 sin x cos x, slijedi:
sin 30◦ = 2 sin 15◦ cos 15◦
Znamo da je sinus kuta od 15◦ jednak 12 , dakle mora vrijediti:
12 = 2 sin 15◦ cos 15◦
Pomnozimo cijelu jednadzbu s 12 sin 15◦ , slijedi:
12 = 2 sin 15◦ cos 15◦ / · 1
2 sin 15◦
12 ·
12 sin 15◦ = 2 sin 15◦ cos 15◦ · 1
2 sin 15◦Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
14 sin 15◦ =
1((((2 sin 15◦ cos 15◦
1 · 1((((2 sin 15◦1
14 sin 15◦ = cos 15◦
11
4 sin 15◦ = cos 15◦
Promotrimo li dobiveni izraz mozemo uociti da se na njegovoj desnoj straninalazi iracionalan broj (prethodni zadatak). Promotrimo kakav je broj na li-jevoj strani izraza. Zbog pretpostavke da je sin 15◦ racionalan broj na lijevojstrani se nalazi izraz u kojem su samo racionalni brojevi. Kako su racionalnibrojevi zatvoreni na sve osnovne racunske operacije (zbrajanjem, oduzimanjem,mnozenjem ili dijeljenjem dvaju racionalnih brojeva opet dobijemo racionalanbroj), lijeva ce strana izraza nakon racuna opet biti racionalan broj.
No to je nemoguce. Na lijevoj strani je sada racionalan, a na desnoj straniiracionalan broj, a broj moze biti ili racionalan ili iracionalan. To znaci da jepretpostavka bila pogresna, odnosno broj sin 15◦ je iracionalan. Time je zadatakrijesen.
Y ] Z
X Zadatak 16: (str. 55) 3) Dokazi da je broj tg 5◦ iracionalan.
Rjesenje: Suprotno tvrdnji zadatka, pretpostavimo da je broj tg 5◦ racionalan.
29
Nadalje koristit cemo cinjenicu da 10◦ dvostruki kut kuta od 5◦. Naime imajucina umu izraz za tangens dvostukog kuta, odnosno tg 2x = 2 tg x
1− tg2 x, slijedi:
tg 10◦ = 2 tg 5◦
1− tg2 5◦
Na desnoj strani jednakosti sada se nalaze samo racionalni brojevi, zbog pret-postavke da je tg 5◦ racionalan. Imajuci na umu da je kvadriranje nekog brojaustvari mnozenje tog broja sa samim sobom rezultat desne strane jednakosti bitce racionalan broj. Razlog tome jest sto su racionalni brojevi zatvoreni na sveosnovne racunske operacije (zbrajanjem, oduzimanjem, mnozenjem ili dijeljen-jem dvaju racionalnih brojeva opet dobijemo racionalan broj). No to znaci daje broj tg 10◦ racionalan.
Nadalje koristeci se istim postupkom mozemo doci do zakljucka da je i tg 20◦racionalan, jer vrijedi:
tg 20◦ = 2 tg 10◦
1− tg2 10◦
No tada je prema istom principu i broj tg 40◦ racionalan, jer vrijedi:
tg 40◦ = 2 tg 20◦
1− tg2 20◦
Dakle ako je broj tg 5◦ racionalan tada su nuzno i brojevi tg 10◦, tg 20◦ i tg 40◦takodjer moraju biti racionalni. Odredimo kakav bi prema dosadasnjim saznan-jima trebao biti tangens kuta od 30◦. Imajuci na umu da vrijedi 30◦ = 40◦−10◦,racunamo:
tg 30◦︸︷︷︸40◦−10◦
= tg (40◦ − 10◦) = (?)
Prisjetimo se adicijskog teorema za tangens, odnosno izraza tg (x− y) = tg x− tg y
1 + tg x tg y,
slijedi:(?) = tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦
Dakle vrijedi:tg 30◦ = tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦
No tangens kuta od 30◦ jednak je√
33 , slijedi:
√3
3 = tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦
Pomnozimo cijeli izraz s 3, slijedi:√
33 = tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦ / · 3
30
√3
3 · 3 = tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦ · 3
Pokratim sto se pokratiti dade, slijedi:√
31�3· �3
1
1 = 3 tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦√
31 = 3 tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦√
3 = 3 tg 40◦ − tg 10◦
1 + tg 40◦ tg 10◦
Promotrimo li dobiveni izraz mozemo uociti da se na njegovoj lijevoj straninalazi iracionalan broj. Promotrimo kakav je broj na desnoj strani izraza.Kako su zbog pretpostavke da je tg 5◦ racionalan broj i brojevi tg 10◦ i tg 40◦racionalni na lijevoj strani se nalazi izraz u kojem su samo racionalni brojevi.Kako su racionalni brojevi zatvoreni na sve osnovne racunske operacije (zbrajan-jem, oduzimanjem, mnozenjem ili dijeljenjem dvaju racionalnih brojeva opet do-bijemo racionalan broj), lijeva ce strana izraza nakon racuna opet biti racionalanbroj.
No to je nemoguce. Na lijevoj strani je sada racionalan, a na desnoj straniiracionalan broj, a broj moze biti ili racionalan ili iracionalan. To znaci da jepretpostavka bila pogresna, odnosno broj tg 5◦ je iracionalan. Time je zadatakrijesen.
Y ] Z
31
