29
48 2 2 3 2 ! "# $% . : 2 Sin 2 Cos : :! "#$ %& ’( ) *+, AB -./ 0/ ) %& 1 HA sin = 23 )- 2 AB Sin = 45 )! 6 7 OA,OC ) 2 %8& .8$ B 8 )-8 68 %’ *+ :23 )- : ˆ B = %& 7,;’/ ˆ A :23 )- <= 90 ˆ A = 1 1 90 90 ˆ ˆ B C ˆ ˆ B A ˆ ˆ A C + = = = + = >= 6 0 ) 2 AH Sin = :08 ?8@ 08/ A .- 2 AC Sin = 7B8$ 8 18 C,. 1 ˆ A :0 1 2 2 2 2 AH Sin ˆ Cos A Cos Sin Sin Cos AC Sin = = = = D,’E :0 2 OH Cos = :! F6 1 OH OC CH CH = = C, 7B$ 1 ˆ A :0 1 1 1 2 2 2 CH OH Cos ˆ SinA Sin AC Sin Sin = = = = :1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 Cos Sin Cos Sin Cos Sin Sin = = = 4# G % :H - 2 2 2 1 21 2 1 Cos ( Cos ) Cos = = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 Cos Sin (Sin Cos ) Sin Cos Sin = = + = ,/ ?@ 0 2 < < B( ) C,8 I8 J8K LB8 M / NB N C,. = . ?@ G 7 B % 2 A B O H 1 C A B O H

2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

48

فصل سوم.است شدهميتقد2ياضير3و2يها فصليمهيضمبه قبال حسابان،2 فصل

�����ت� روابط توابع مثلثاتي دو برابر يك كمان:

2Sinابوالوفا بوزجاني با روش زير α2وCos α:را محاسبه كرد

ب دايره گيريد:ي مثلثاتي را در نظر

HAلذا چون،هم هستABمنصف، عمودچون شعاع sin= α2است، پسAB Sin= α

ب حال دايره OAي بين كه زاويه طوريهي مثلثاتي زير را در نظر بگيريد، , OC،2αباشـد. چـونBم زاويـه حـاطي اسـت،ي

Bرويش است، پس: نصف كمان روبه = αهمچنين چونA:90رو به قطر است، پسA = �

11

90

90

ˆB C ˆB Aˆ ˆA C

+ = ⇒ = = α+ =

2AHي مثلثاتي، دانيم در دايره از طرفي از قبل مي Sin= α2ت. در باال هـم اثبـات كـرديم: اسAC Sin= αلـذا بـا نوشـتن

داريم:1Aي كسينوس زاويه

12 2 2

2AH SinˆCos A Cos Sin Sin CosAC Sin

α= α = = ⇒ α = α α

α

2OHدانيم: ضمنا مي Cos= α

از طرف ديگر:

1OH OC CH CH= − = −

داريم:1Aبا نوشتن سينوس

11 1 22 2

CH OH CosˆSinA SinAC Sin Sin

− − α= α = = =

α α

لذا:

2 21 2 1 2 2 2 1 22

CosSin Cos Sin Cos SinSin

− αα = ⇒ − α = α ⇒ α = − α

α

به يا مي دست آورد: توان روابط معادل زير را

2 22 1 2 1 2 1Cos ( Cos ) Cosα = − − α = α −

2 2 2 2 2 22 1 2 2Cos Sin (Sin Cos ) Sin Cos Sinα = − α = α + α − α = α − α

0اثبات به روش هندسي براي زواياي2π

< α و د، اما براي ساير زاويهاعتبار دار> ها نيز با اسـتفاده از خـواص توابـع سـينوس

و با تغيير متغير βكسينوس = π − αتوان درستي اين روابط را اثبات كرد. مي

A

BO H

1C

α

A

B

O Hα

Page 2: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

49

اثباتي ديگر:

در نظر بگيريد.2αي رأسو زاويه1الساقيني با ساق مثلث متساوي

و نيمساز وارد بر قاعده منطبقند، لذا: الساقين، ارتفاع، در مثلث متساوي ميانه

2HB Sin AB Sin= α ⇒ = αHBSinOB

α = ⇒

1 1 22 2OAB

OHCos OH Cos S OH AB (Cos )( Sin ) (I)OB

∆α = ⇒ = α ⇒ = × = α α

به ياد داريم:2از طرفي از رياضي

1 222 2OAB

SinS OA OB Sin (II)∆ α

= × × α =

2 1 2 2 22 2

Sin(I), (II) ( Sin Cos ) Sin Sin Cosα→ = α α → α = α α

2Cosي استفاده از رابطهنكته: با α:داريم

2 21 2 1 22 2

Cos CosCos Sin+ α − αα = α =

22مثال: اگر� 1f (x) x= fofofي، ضابطه− (Cos x)كدام است؟

حل:�

2 22 1 2 2 2 2 1 4f (Cos x) Cos x Cos x fof (Cos x) f (Cos x) Cos x Cos x= − = ⇒ = = − =

24 2 4 1 8fofof (Cos x) f (Cos x) Cos x Cos x= = − =

مرتبــه

2n

n

fofo of (Cos x) Cos x⋅ ⋅ ⋅ =�����

αروابط مثلثاتي + β:

هاي مثلثاتي مجموع دو زاويه روش زير را ارائه كرد: بوزجاني براي يافتن نسبت

كنيم. را رسم مي2βو2αهاي مركزي كنيم، سپس زاويه را كنار هم رسم ميβوαيي مثلثاتي دو زاويه در دايره

با توجه به نكات قبلي داريم:

BF Sin= α

EB Sin= β

خطFوE، نقاط ABCدر مثلث مطACي موازي قاعدهEFاوساط اضالع هستند، لذا پاره الب قبل:و مساوي نصف آن است. طبق

EF Sin( )= α + β

HBA

O

1 1αα

A E B

N

CO

F

M

ααββ

Page 3: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

50

اسـت، لـذا:2αبرابـر�BNCچون كمـان

ˆBAC = α(چون زاويه محاطي اسـت.) بـه

2βبرابـر�AMBهمين دليل چـون كمـان

است.βبرابرBCAˆي ست، لذا زاويها

EF EB Cos BF Cos Sin Cos Sin Cos Sin( ) Sin Cos Sin Cos= α + β = β α + α β → α + β = α β + β α

تبديل كنيم، داريم:β−را بهβحال اگر

Sin( ) Sin Cos Cos Sinα − β = α β − α β

αدر حاالتي كه + βو اثباتي مشابه مي ي فوق را اثبات كرد. توان رابطه حاده نباشد نيز با تغيير متغير

اثبات دوم:

12

1 2

90

90

ˆˆ ˆOBQ : B ˆˆ Bˆˆ ˆOAB : B B

+ α + β = °

⇒ α =+ + β = °

BQ BT TQ BT APSin( )OB OB OB

+ +α + β = = = =

2ˆBACos B OA Sin BA Cos OA SinOB OB+ α α + α

=

BA OACos Sin Sin Cos Cos SinOB OB

= α + α = β α + β α

اثبات سوم:

گيريم: را در نظر ميα،βيو زوايا1با ارتفاع ABCمثلث

1 1AHSin ABAB AB Sin

α = = → =α

1 1AHSin ACAC AC Sin

β = = → =β

BH CosCos BH ABCos CotAB Sin

αα = → = α = = α

α

CH CosCos CH ACCos CotAC Sin

ββ = → = β = = β

β

نويسيم:مي ABCها را در مثلث حال قضيه سينوس

BC AB ACˆ Sin SinSin A= =

β α

11

180BH HC AB Cot Cot Sin

Sin( ( )) Sin Sin ( ) Sin Sin Sin+ α + β α

= ⇒ = = ⇒− α + β β α + β β α β

Sin( ) (Cot Cot ) Sin Sin Cot . Sin Sin Cot Sin Sin Cos Sin Cos Sinα + β = α + β × α× β = α α β + β α β = α β + β α

HC B

A

αβ

1

1 2

Q PO

B

A

α

B

Fα β

EEB Cos α BF Cos β

B

A

EF

α βα β

C

Page 4: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

51

αاثباتي ديگر براي سينوس − βحاده) :,α > β α − β(1BCي الزاويه در مثلث قائم : ABC=

AB Cos= α

AB CosBDCos Cos

α= =

β β

1 1 12 2 2BCD ABC ABDS S S BD BC Sin( ) AB BC Sin AB BD Sin

∆ ∆ ∆= − ⇒ × × α −β = × × α − × × β ⇒

1 1Cos CosSin( ) Cos Sin Cos SinCos Cos

α α× × α − β = α× × α − α× × β

β β

Cos CosSin( ) (Sin Cos Sin Cos ) Cos Sin Sin CosCos Cos

β αα − β = α α − × β α = β α − β α

α β

مي با توجه به رابطه αتوانيم كسينوسي فوق + βدست آوريم: را نيز به

2 2 2 2Cos( ) Sin( ( )) Sin(( ) ) Sin( )Cos Cos( ) Sinπ π π π

α + β = − α + β = − α − β = − α β − − α β =

Cos Cos Sin Sinα β − α β

تبديل كنيم داريم:β−را بهβحال اگر

Cos( ) Cos Cos Sin Sinα −β = α β + α β

و كسينوس αبا داشتن سينوس + βتوان تانژانت ميα + β:را نيز به دست آورد

Sin( ) Sin Cos Cos Sintan( )Cos( ) Cos Cos Sin Sin

α + β α β + α βα + β = =

α + β α β − α β

و مخرج را بر Cos صورت Cosα βكنيم: تقسيم مي

1

Sin Cos Cos Sintan tanCos Cos Cos Costan( )

Cos Cos Sin Sin tan tanCos Cos Cos Cos

α β α β+

α + βα β α βα + β = =

α β α β − α β−α β α β

تبديل كنيم داريم:β−را بهβحال اگر

1tan tantan( )

tan tanα − β

α − β =+ α β

نتيجه:

222

1 1tan tan tantan

tan tan tanα + α α

α = =− α α − α

3Sinبراي مثال:� α3وCos αدست آوريد. رابطه به

حل:�

23 2 2 2 2 2 1Sin( ) Sin( ) Sin Cos Sin Cos Sin Cos Cos Sin .( Cos )α = α + α = α α + α α = α α α + α α − =

2 2 2 2 32 2 4 4 1 3 4Cos Sin Cos Sin Sin Cos Sin Sin ( Sin ) Sin Sin Sin Sinα α + α α − α = α α − α = − α α − α = α − α

23 2 2 2 2 1 2Cos( ) Cos( ) Cos Cos Sin Sin Cos ( Cos ) Sin ( Sin Cos )α = α + α = α α − α α = α α − − α α α =

3 2 3 22 2 2 2 1Cos Cos Sin Cos Cos Cos ( Cos )Cosα − α − α α = α − α − − α α =

3 3 32 2 2 4 3Cos Cos Cos Cos Cos Cosα − α − α + α = α − α

C

D

AB

α

1

β

Page 5: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

52

و كسينوس زاويه مثال:� 22ي سينوس 5/ را حساب كنيد.�15و�

حل:�

2

311 30 2 3 2 3215 152 2 4 2

CosSin Sin−− − −

= = = → =

CosCos Cos2

311 30 2 3 2 3215 152 2 4 2

++ + += = = → =

2

211 45 2 2 2 2222 5 22 52 2 4 2

CosSin / Sin /−− − −

= = = → =

2

211 45 2 2 2 2222 5 22 52 2 4 2

CosCos / Cos /++ + +

= = = → =

22و°15دقت كنيد كه با توجه به حاده بودن 5/ مقادير منفي قابل قبول نيست!°

نسپاريد.كنيم روابط فوق را در خاطر توصيه مي

دست آوريد. را به�75ي هاي مثلثاتي زاويه نسبت مثال:�

حل:�

1 2 2 3 6 275 30 45 30 45 45 30 152 2 2 2 4

Sin Sin( ) Sin Cos Sin Cos Cos+= + = + = × + × = =

3 2 1 2 6 275 30 45 30 45 30 45 152 2 2 2 4

Cos Cos ( ) Cos Cos Sin Sin Sin−= + = − = × − × = =

دست آورده بوديم كه با تغيير شكل به اين روابط قابل تبديل است. به15Cosو15Sinالبته در مثال قبل نيز جوابي براي

23 130 45 3 3 3 3 3 3 3 3375 30 45

1 30 45 63 3 3 3 3 3 31 13

tan tan ( )tan tan ( )tan tan

++ + + + += + = = = = × =

− − − +− ×

و زاويهαاگر مثال:� كه زاويهβاي در ربع اول 3اي در ربع سوم باشد5

Sin α 5و=13

Cos β = Sin، مقـدار− ( )α + βو

tan ( )α + β.را تعيين كنيد

حل:�

23چون ربع اول است، عالمت مثبت است. 415 5

Sin Cos Sinα = → α = − α (الف=

25 چون ربع سوم است، عالمت منفي است. 12113 13

Cos Sin Cosβ = − → β = − − β = −

3 5 12 4 15 48 635 13 13 5 65 65

Sin( ) Sin Cos Sin Cos ( ) ( ) +α + β = α β + β α = × − + − × = − = −

2 ربــع اول 2 22 2

1 1 25 25 9 31 1 14 16 16 16 45

tan tan tan tanCos ( )

α+ α = → + α = = → α = − = → α =α

ــع ســوم 2 رب 22 2

1 1 169 169 144 121 15 25 25 25 5

13

tan tan tanCos ( )

β+ β = = = → β = − = → β =β −

3 12 15 48 63634 5 4 5 20

3 12 36 161 161 14 5 20 20

tan tantan( )tan tan

++α + β ×α + β = = = = = −

−− α β − × −

Page 6: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

53

3ي اي در بازه زاويهαاگر مثال:�2

[ , ]ππ12باشد كه

13Sin α = مقدار،−

2tan α.را حساب كنيد

حل:�

2

22 2

2 11 22

Sin Sin CosSintan

CosCos Cos

α α α = α α ⇒ =α + α+ α =

ــع ســوم اســت 2 در رب 212 12 51 113 13 13

Sin Cos Sin ( )αα = − → α = − − α = − − = −

12 1212 313 13

5 82 1 8 2113 13

SintanCos

− −α α= = = = − = −

+ α −

درستي اتحادهاي زير را اثبات كنيد: مثال:�

24

Sin x Cos x Sin (x )π+ = (الف +

2 22 2 22 2 4 4 4

Sin x Cos x ( Sin x Cosx) (Sinx Cos Cos x Sin ) Sin (x )π π π+ = + = + = +

222

1tan xSin xtan x

=+

2 22

2

2 2 2 2 2 211

tan x tan x Sinxtan x. Cos x . Cos x Sin x Cos x Sin xCos xtan x

Cos x

= = = = =+

2

21

21

tan xCos x

tan x−

=+

2 22 2 2 2 2

22

1 1211

tan x tan xCos x tan x . Cos x Cos x Sin x Cos x

tan xCos x

− −= = − = − =

+

2 2Cot x tan x Cot x− (د=

2 2 2 22 2 2 2 22 2

Cos x Sin x Cos x Sin x (Cos x Sin x) Cos x Cot xSin x Cos x Sin x Cos x Sin x Cos x Sin x

− −− = = = =

4 4 211 22

Sin x Cos x Sin x+ = (هـ−

4 4 2 2 2 2 2 2 21 12 1 2 1 22 2

Sin x Cos x (Sin x Cos x) Sin x Cos x ( Sin x Cosx) (Sin x)+ = + − = − = −

6 6 231 24

Sin x Cos x Sin x+ = (و−

2 2 3 4 2 2 4 2 2 2 23 3 1 3(Sin x Cos x) Sin xCos x Sin x Cos x Sin x Cos x(Sin x Cos x)+ − − = − + =

2 2 23 31 4 1 24 4

( Sin xCos x) Sin x− = −

4 24 8 8 1Cos x Cos x Cos x= − (ز+

2 2 2 4 2 4 24 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 4 1 4 1 8 8 1Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x= = − = − − = + − − = − +

Page 7: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

54

7اگر مثال:�3

Cos x 2tanو انتهاي كمان در ربع چهارم باشد،= xكدام است؟

حل:�

2 2 22

1 1 9 21 17 7 79

tan x tan x tan xCos x

+ = ⇒ + = = ⇒ = ⇒

ــع ــون در رب چ چهارم اســت

2 27 7

xtan x tan x= ± → = −

2

2 2222 27 72 142 5 51 17 7

( )tan xtan xtan x ( )

−−= = = = − ×

− −

2tanاگر مثال:� α باشد، حاصل=21 2

1 2Sin

Sin− α+ α

كدام است؟

حل:�2 2 2

2 2 2 21 2 2 2

1 2 2

Sin Cos Cos Cos SinSin Cos Sin Cos Sin Cos (Sin Cos ) (Sin Cos )− α α α α − α

= = = =+ α α α + α + α α α + α α + α

ــر و مخــرج را ب صــورت تقســـيم مـــي كنيـــم

1 1 2 11 1 2 3Cos

(Cos Sin )(Cos Sin ) Cos Sin tan(Sin Cos )(Sin Cos ) Cos Sin tanα

α + α α − α α − α − α − −= → = =

α + α α + α α + α + α +

αاند، حاصل هم قرار گرفتهدر شكل زير سه مربع يكسان كنار مثال:� + βكدام است؟

حل:�131 12

tantan tantan( )

tan tantan

α = α + β ⇒ α + β =− α ββ =

1 1 52 3 6 1

1 1 5 412 3 6

tan( )+ π

→ α + β = = = → α + β =− ×

بهθاست.ABخط نسبت به پارهMيي ديد نقطه زاويهθي مثال: در شكل مقابل زاويه� bوaعنوان يك تابع بر حسـب را

بنويسيد.

حل:�

22

1 1

b atan tan xx xtan tan( ) (b a)

abtan tan x abx

−β − αθ = β − α = = = −

+ α ⋅ β ++

12

(b a)xtanx ab

− −⇒ θ =

+

α

β

0x

M

0A

a

0B

b

θ

Page 8: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

55

2tanاگر مثال:� α باشد، حاصل عبارت=2 2

4

2 36

Sin( ) Sin

Cos( ) Cos

π+ α − α

π+ α − α

كدام است؟

حل:�

2 2 2 2 24 43 32 3

6 6

(Sin Cos Cos Sin ) Sin Cos Sin SinCos Sin Cos(Cos Cos Sin Sin ) Cos

π πα + α − α α + α − α

=π π α − α − αα − α − α

2 2 22 12

Cos CotSin tan

α − −= = − α = = = −

− α α

2مثال: اگر� 2 4tan x Cot x+ 4Sinار گاه مقدآن،= xكدام است؟

حل:�2 22 2 2 2 2 2 2 14 4

2 2 2 2 2 2 2 4 4 2Sin x Cos x Sin x Cos x Sin xCos x Sin x Sin x Cos x Sin x Cos x Sin x

++ = = = = → = =

2مثال: اگر بدانيم� 22 2Cos x Cos x Sin x Sin x+ = tanحاصل،+ xكدام است؟

حل:�2 2

222 2 2 2 2 2 2

1

tan xCos x Cos x Sin x Sin x Cos x Sin x tan xtan x

+ − = ⇒ = ⇒ = = ⇒−

2 2 1 1 4 1 52 2 2 1 02 2

tan x tan x tan x tan x tan x tan x− ± + − ±− = ⇒ + − = ⇒ = ⇒ =

3اگر مثال:� 3 1Sin x Cos xSinx Cosx

+ 2Cosباشد، حاصل= xكدام است؟

حل:�3 3 3 4 4 1 2 2 2 11 1 1

1 2 2 2 222

Sin xCosx Cos x Sinx Sin( x x) Sin x Sin x Sin xCos xSinx . Cosx Sin x Cos x Sin x Sin xSin x

+ += ⇒ = → = → = ⇒ = →

2 2 21 5 54 2 1 2 2 1 24 4 8

Cos x Cos x Cos x Cos x Cos x= → = = − → = → =

1اگر مثال:�3

tan(a b)+ 1و=2

tan(a b)− 2tanمقدار= aكدام است؟

حل:�1 13 22 1

1 11 13 2

tan(a b) tan(a b)tan a tan(a b a b)tan(a b) tan(a b)

++ + −= + + − = = =

− + − − ×

3اگر بدانيم مثال:� 4 5Sin Cosθ + θ tanحاصل،= θكدام است؟

حل:�3 43 4 5 15 5

Sin Cos Sin Cosθ + θ = → θ + θ = ⇒

3اگر5

4فرض شود،Cosαبرابر5

است. پس:Sinαبرابر

1 1Cos Sin Sin Cos Sin( )α θ + α θ = ⇒ θ + α = ⇒

335

42 2 2 45

Costan tan( ) CotSin

π π π αα + θ = → θ = − α ⇒ θ = − α = α = = =

α

Page 9: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

56

5tanاگر بدانيم مثال:� x Cotx− 2حاصل،= 2tan x Cot x−كدام است؟

حل:�5 22 2 5 2 22 5

tan x Cot x Cot x Cot x tan x− = − = → = − → = −

2 5 5 2 212 25 2 2 5 10

tan x Cot x ( )− = − − − = − =

2حاصل عبارت مثال:� 6 42 66 78log (Sin Sin Sin Sin )° ° ° كدام است؟°

حل:�

78 12Sin Cos° = °

42 48Sin Cos° = °

66 24Sin Cos° = °1 2412 26 12 24 48 12 24 48 24 48

2 6 2 6

SinSinSin Cos Cos Cos .Cos Cos Cos .Cos CosCos Cos

°°° ° ° ° = ° ° ° = ° ° =

° °

1162

1 1 148 96 90 6 1 6 14 8 848 42 6 2 6 2 6 16 6 16

Sin Sin Sin( ) Cos.Cos logCos Cos Cos Cos

° ° ° + ° °° = = = = → = −

° ° ° °

32اگر مثال:�5

Sin x 0و=4

x π< 3 گاه حاصلآن،> 3Cosx Cos x(tan x tan x)+كدام است؟

حل:�3 3 3 333 3 3

Sinx Sin x Sinx Cos x Sin x Cosx Sin(x x)tan x tan xCosx Cos x Cosx Cos x Cosx . Cos x

+ ++ = + = = ⇒

43 43

Sin xCosx.Cos x. Sin xCosx . Cos x

=

3 4 2425 5 25

× × =Cos x ( )

x

23 42 15 5

ــت ــع اول اس 2در رب

= − =

4 2 2 2Sin x Sin x Cos x=

7حاصل عبارت مثال:� 5 97 5 15Sin / Sin / Cos� � چقدر است؟�

حل:�

97 5 90 7 5 7 5Sin / Sin( / ) Cos /° = ° + ° = °

1 1 17 5 7 5 15 15 15 302 4 8

Sin / Cos / Cos Sin Cos Sin= = =� � � � � �

2اگر مثال:� 23

CosxSinx Cosx

=+

2Cotگاه مقدارآن، xكدام است؟

حل:�

1 3 2 23

Cos x Sin x Cosx Cosx Sinx Cosx tan xSinx Cosx

= → + = ⇒ = − → = −+

2

2

1 1 1 1 4 32 22 2 4 4

1

tan xCot x tan xtan x tan x

tan x

− −= = = = =

−−

Page 10: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

57

16حاصل عبارت مثال:� 16 37Sin Cos tan° + °× كدام است؟°

حل:�37 16 37 16 37 16 37 53 3716 16 137 37 37 37 37

Sin Sin Cos Cos Sin Sin( ) Sin( ) CosSin CosCos Cos Cos Cos Cos

° ° ° + ° ° ° + ° ° °° + °× = = = = =

° ° ° ° °

دقت كنيد كه اگر2π

α + β باشد:=

Cos SinSin Cos

α = β

α = β

روابط تبديل حاصل ضرب به حاصل جمع:

αبا توجه به دو رابطه سينوس + βوα − β:داريم

مي⇒ نيمك دو رابطه را جمعSin( ) Sin Cos Sin CosSin( ) Sin Cos Sin Cos

α + β = α β + β α

α −β = α β − β α

Sin Cos Sin( ) Sin( ) Sin Cos (Sin( ) Sin( ))122

α β = α + β + α − β → α β = α + β + α −β

αي كسينوس با توجه به دو رابطه + βوα − β:داريم

مييك⇒ و بار ديگر تفريق كنيم. بار دو رابطه را جمعCos( ) Cos Cos Sin SinCos( ) Cos Cos Sin Sin

α + β = α β − α β

α −β = α β + α β

Cos Cos Cos( ) Cos( ) Cos Cos (Cos( ) Cos( ))122

α β = α + β + α −β ⇒ α β = α + β + α − β)1

Sin Sin Cos( ) Cos( ) Sin Sin (Cos( ) Cos( ))122

α β = α −β − α + β ⇒ α β = α − β − α + β)2

بهي ساده شده مثال:� دست آوريد. عبارت زير را

512 12

Sin Sinπ πالف)

5 1 5 5 1 1 1 112 12 2 12 12 12 12 2 3 2 2 2 4

Sin Sin (Cos( ) Cos( )) (Cos Cos )π π π π π π π π= − − + = − = × =

220 40 80Cos Cos Cos+ب)

21 1 1 16020 40 40 20 80 60 202 2 2

Cos(Cos( ) Cos( )) Cos (Cos Cos ) ++ + − + = + + =

1 1 20 1 160 3 20 20 32 2 2 2 2 4 2 2 4

Cos Cos Cos Cos−× + + + = + + =

3 3Sinx. Sin ( x) Sin ( x)π π

− (ج+

Sin ( x) Sin ( x) (Cos ( x x) Cos ( x x)) (Cos x Cos ) (Cos x )1 1 2 1 12 23 3 2 3 3 3 3 2 3 2 2π π π π π π π

− + = + − + − + + − = − = +

21 1 1 12 1 22 4 2 4

Sinx( Cos x ) Sinx( ( Sin x) )+ = − +

2 31 1 3 1 32 4 4 4

Sinx( Sin x ) Sinx Sin x Sin x− + = − =

Page 11: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

58

2 37 7 7

Sin Sin Sinπ π π+ (و +

در دادهdي حسابي با قدرنسبت اگر مجموع عبارات مثلثاتي كه تشكيل دنباله اند، مورد پرسش قرار گيـرد بهتـر اسـت عبـارات را

22dSinو تقسيم كرده، با استفاده از تبديل حاصل جمع هر عنصر را به تفاضل دو جمله تبديل كنيد. ضرب به حاصل ضرب

Sin(Sin Sin Sin ) ( Sin Sin Sin Sin Sin Sin )

Sin Sin

22 3 2 3 114 2 2 27 7 7 7 14 7 14 7 142 2

14 14

ππ π π π π π π π π+ + × = + + ×

π π

(Cos Cos ) (Cos Cos ) (Cos Cos ) (Cos Cos )Sin Sin

(Cos Cos ) Cos CotSin Sin

3 3 5 5 7 1 7 114 14 14 14 14 14 14 142 2

14 141 1 1

14 2 14 2 142 214 14

π π π π π π π π = − + − + − × = − × π π

π π π π= − × = × =

π π

ضرب: جمع به حاصل روابط تبديل حاصلAاگر در روابط ضرب به جمع = α + βوB = α −β:در نظر گرفته شود خواهيم داشت

A B A BSin Cos (Sin( ) Sin( )) Sin A SinB Sin Cos1 22 2 2

+ −α β = α + β + α −β ⇒ + = )1

A B A BSin A Sin B Sin Cos22 2− +

− =

A B A BCos Cos (Cos( ) Cos( )) CosA Cos B Cos Cos1 22 2 2

+ −α β = α + β + α − β ⇒ + = )2

12

Sin Sin (Cos( ) Cos( ))α β = α −β − α + β(3

A B A BCos B Cos A Sin Sin

A B A BCosA CosB Sin Sin

22 2

22 2

− +− =

− +− = −

به مثال:� دست آوريد. حاصل عبارات زير را

10 50 70Sin Sin Sin+ (الف−

50 10 50 10 110 50 2 2 30 20 2 20 202 2 2

Sin Sin Sin Cos Sin Cos Cos Cos+ −+ = = = × × =

70 20 10 50 70 20 20 0Sin Cos Sin Sin Sin Cos Cos= ⇒ + − = − =1 2

20Cos(ب+

1 80 402 20 2 21 1 2 20 2 60 20 4 40 202 2 22 4 4020 20 20 20 20 20

( Cos ) ( Cos Cos )Cos (Cos Cos ) Cos Cos CosCos Cos Cos Cos Cos Cos

++ ++ = = = = = =

6 116 11

Cos x Cos x Cos xSin x Sin x Sin x

+ ++ +

6 11 2 6 5 6 6 2 5 1 66 11 2 6 5 6 6 2 5 1

Cos x Cos x Cos x Cos x Cos x Cos x Cos x( Cos x ) Cot xSin x Sin x Sin x Sin x Cos x Sin x Sin x( Cos x )

+ + + += = =

+ + + +

2 2 42 3

Sin x Sin x(Cos x Cos x)

++

22 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 22 2 2 4 2 4 2

Sin x Sin x Cos x Sin x( Cos x) Sin x Cos x tan x Cos x( Cos x Cos x) Cos x Cosx Cos x Cos x

+ + ×= = = ×

Page 12: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

59

10 70 70 100(Cos Cos )(tan Cot )− (هـ−

70 10 70 1010 70 2 2 30 40 402 2

Cos Cos Sin Sin Sin Sin Sin− +− = = =

70 10 70 10 10 7070 100 70 90 10 70 1070 10 70 10

Sin Sin Sin Cos Sin Costan Cot tan Cot( ) tan tanCos Cos Cos Cos

+− = − + = + = + = =

70 10 8070 10 10 70

Sin( ) SinCos Cos Cos Cos

+=

80 40 80 2 20 2040 2 2010 70 80 20 20

Sin Sin Sin Sin CosSin CosCos Cos Sin Sin Sin

×= × = = =

× عبارت

2ترين مقدار مثال: بيش� 22 26

f (x) Cos x Cos ( x)π= + تر است؟ ترين مقدار آن چقدر بيش از كم−

حل:�

2 21 41 4 32 2

6 2 2

Cos( x)Cos xf (x) Cos x Cos ( x)

π+ −π +

= + − = +

11 4 4 1 42 3 6 6

(Cos x Cos( x) Cos Cos( x )π π π= + + − = + −

31 42 6

Cos( x )π= + −

3 3 ــالف 1 اخت 1 32 2

max min= + = − ⇒ =

1اگر مثال:�2

tan α 3باشد، حاصل=3

Sin SinCos Cos

α − αα − α

كدام است؟

حل:�

2113 2 2 1 1 34213 2 2 2 2 422

Sin Sin Sin Cos tanCotCos Cos Sin Sin tan tan

−α − α α α − α= = α = = = =

α − α α α α α ×

دل� ي زير برقرار است. خواه رابطهمثال: ثابت كنيد در هر مثلث

حل:�

42 2 2A B CSin A SinB SinC Cos Cos Cos+ + = ⋅ ⋅

2 2 22 2 2 2 2 2

A B A B C A B C CSin Cos SinC Sin Cos Sin Cos+ − π − −⋅ + = ⋅ + ⋅

2 2 22 2 2 2 2 2 2C A B C C C A B CCos Cos Sin Cos Cos (Cos Sin )− −

= ⋅ + ⋅ = +

22 2 2 2 2 2 2C A B C C A BCos (Cos Cos( )− π π +

= + − − =

2 42 2 2 2 2 2C A B A B C A BCos (Cos Cos ) Cos Cos Cos− +

= + = ⋅ ⋅

معادالت مثلثاتي:دررا معادالتي مثهاآنكه ميتوابع مثلثاتي وجود داشته باشد معادالت ي كلي حل معادله به اين صورت اسـت نامند. شيوه لثاتي

Sinهـاي كه پس از محاسبات جبـري معادلـه را بـه يكـي از شـكل x Sin= αيـاCos x Cos= αيـاtan x tan= αيـا

Cot x Cot= αبياوريم. در

Page 13: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

60

بههاي در هر حالت جواب صورت زير است: كلي

22

x kSin x Sin

x k= π + α

= α → = π + π − α

(الف

2Cos x Cos x k= α → = π ± αب)

tan x tan x k= α → = π + αج)

Cotx Cot x k= α → = π + αد)

(در حاالتي كه ريشه (در حاالتي كه ريشهمعادالت مثلثاتي در حاالت خاص: ها)ها)xxاند يا نقاط تالقي با محور اند يا نقاط تالقي با محور ها مضاعفها مضاعف معادالت مثلثاتي در حاالت خاص:

1 22

0

1 22

Sin x x k

Sin x x k

Sin x x k

π= ⇒ = π +

= ⇒ = π π = − ⇒ = π −

0 2 12

1 2

1 2 1

Cos x x ( k )

Cos x x k

Cos x x ( k )

π= ⇒ = +

= ⇒ = π = − ⇒ = + π

0

0 2 12

tan x x k

Cot x x ( k )

= ⇒ = π

π= ⇒ = +

4تابعmaxمثال: طول نقاط�3 6xy Cos( )π π

= − كدام است؟+

نسبي باشد، بايد:maxتابع داراي حل: براي آنكه�

13 6xCos( )π π+ = −

12 2 13 6 3 6x xk k kπ π

⇒ + = π + π ⇒ + = + ∈�

6 2 5x k /= +

απ−α

Sin Sin( )α = π − α

α−α

Cos Cos( )α = −α

απ+α

tan tan( )α = π + α

απ+α

Cot Cot( )α = π + α

π−α 2π+αα 2π+π−α

−α 2π−αα 2π+α

Page 14: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

61

به دامنهمثال:� دست آوريد.ي تابع مقابل را

g(x) Sin x Sin x= −

0 1 1 0 0Sin x Sin x Sin x Sin x Sin x≤ − < ⇒ − < − ≤ ⇒ =

{ }gx k D k : k= π ⇒ = π ∈�

معادالت زير را حل كنيد: مثال:�

3 2Sin x Sin x=الف)

3 2 2 22 13 2 2 5 2 1

5

x k x x k( k )x k x x ( k ) x

= π + ⇒ = π

+ π= π + π − → = + π → =2Cos x Cos x=ب)

22 2 23 2

3

x kx k x kx k x

= π= π ± π

= π → =

2البته دقت كنيد عبارت3kπ2اعم از عبارتkπازاي است، يعني بهk2هـاي باشند، جـواب3هايي كه مضربkπتوليـد

كها شوند. پس كافي مي 2ست3kπعنوان جواب معادله اعالم كنيم. را به

4tan x tan x=ج)

4 33

kx k x x k x π= π + → = π → =

1Sin x Cos x+ (د=

آنحل راه كه عبارت را صرفا به يك تابع مثلثاتي تبديل كنيم، كافي است از اتحادهاي زير بهره بگيريم: اول: براي

0 22 2

1 22 2 4 2

x xtan k x k

x xtan k x k

= → = π → = π⇒ π π = → = π + → = π +

2

2 2

2 12 2 1 2 1 0

2 21 12 2

x xtan tan x xtan ( tan )x xtan tan

−+ = → − =

+ +

حل دوم: راه

2 24 4

2 24 4 2

x k x k

x k x k

π π + = π + → = π→ π π π + = π + π − → = π +

1 22 14 4 22

Sin x Cos x Sin(x ) Sin(x )π π+ = + = → + = =

aمعادالتي به فرم Sinx b Cos x c+ مي را معادله= نامند.ي كالسيك نوع اول

2براي حل اين معادله طرفين را بر 2a b+كنيم. تقسيم مي

2 2 2 2 2 2

a b cSin x Cos xa b a b a b

+ =+ + +

با توجه به آن كه هم2 2

1a

a b≤

+و هم

2 21b

a b≤

+و مي 2باشد 2

2 2 2 21a b( ) ( )

a b a b+ =

+ +مي توان فـرض لذا

و كسينوس زاويه هستند، لذا داريم:θاي مانند كرد، اين دو عبارت سينوس

2 2

cCos Sin x Sin Cos xa b

θ + θ =+

2 2

cSin(x )a b

+ θ =+

Page 15: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

62

حال شرط وجود جواب براي اين معادله آن است كه:2 2

1c| |a b

≤+

2پس بايد 2| c | a b≤ 2يا+ 2 2c a b≤ باشد.+

3 2Sin x Cos x+ (هـ=

مطالب مطرح شده در باال داريم: طبق

2 2 3 1 2 23 1 42 2 2 6 2

( ) ( ) Sin x Cos x Sin(x )π+ = ⇒ + = ⇒ + =

2 26 4 12

5 72 2 2

6 4 12 12

x k x k

x k x k k

π π π + = π + → = π +⇒ π π π π + = π + π − → = π + π − = π +3 1 4

Sin x Cos x+ (و=

3 3 14 2 22 2 3

Cos x Sin x Cos x Sin x Sin x Sin(x ) Sin xSin x Cos x

+ π= ⇒ + = ⇒ + =

2 2 23 32

2 2 23 2 2 3 2 23 3 3 3 9

x k x x kSin x Sin(x )

kx k (x ) x k k x

π π = π + + → = π +π = + ⇒ π π π π π = π + π − + ⇒ = π + π − = π + ⇒ = +

2 33

tan x Cot x− (ز=

2 3 3 32 2 2 23 3 3 3

tan x Cot x Cot x Cot x Cot x Cot( )π− = − = ⇒ = − → = − = −

23 2 6

kx k xπ π π⇒ = π − ⇒ = −

2 2 0Sin x Cos x+ (ح=

2 2 0 2 2 1 0Sin x Cos x Cos x Cos x( Sin x )+ = → + =

2 0 0 2 12

21 42 1

52 2 24 4

Cos x Cos x x ( k )

x kSin x Sin x

x k k

π = → = → = +

π = π − = − → = − → π π = π + π + = π + 2 1tan x. tan x (ط=

2 1 2 22

Sinx Sin x. Sinx Sin x Cosx . Cos xCos x Cos x

= ⇒ =

2 2 0 2 0 3 0 3 2 1 2 12 6

Cosx Cos x Sinx Sin x Cos( x x) Cos x x ( k ) x ( k )π π⇒ − = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = + → = +

1 4 7k , , , 3در حالت كلي≠... 1k q≠ منه مشكل ايجاد نشود.تا در دا+

2 1 0Cos x Cos x− + (ي=

22 1 1 0Cos x Cos x− − + =

Cos x x ( k )Cos x Cosx Cosx( Cosx )

Cos x x k

20 2 1

22 0 2 1 01

22 3

π = → = +− = ⇒ − = ⇒ π = → = π ±

Page 16: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

63

2 3 0Sinx Sin x Sin x+ + (ك=

3 2 2Sinx Sin x Sin x Cosx+ =

2 0 222 2 2 2 1 2 0

1 21 2 0 2

2 3

kSin x x k x

Sin x Sin x Cos x Sin x( Cosx)Cosx Cosx x k

π = → = π → =+ = + = → π + = → = − → = π ±

4tan x Cot x+ (ل=

2 21 6 122

52 2 26 12

x k x kSin x

x k x k

π π = π + → = π +→ = → π π = π + π − → = π +

2 2 24 4 42

Sinx Cosx Sin x Cos xCos x Sinx Sin x Cos x Sin x

++ = → = → =

2 12

Sinx Cosx Cos x= (م−

222 1 2 1 2

2Cos xSinx Cosx Cos x Sinx Cosx−

= → − = ⇒

2 2 2 1 24 2 8

kCos x Sin x tan x x k xπ π π= ⇒ = ⇒ = π + → = +

2 3tan x tan x tan x+ (ن=

2 2 2 2 32 2 2 3

Sinx Sin x Sinx Cos x Cosx Sin x Sin( x x) Sin xCosx Cos x Cosx Cos x Cosx Cos x Cos x

+ ++ = = =

3 0 33 3 2 0 3

3 2 0 2 2 2 0

kSin x x k x

Sin x(Cos x Cosx Cos x)Cos x Cosx Cos x Cos xCosx Sin x Sinx Cosx Cos x

π = → = π ⇒ =− = ⇒ − = → − − =

2 02

2

x kkSin xSin x xkx

= ππ= ⇒ → =π

=

2 2 1tan x Cos x− (س=

22 2 2 2 2

22 1 1 2 0 2Sin x

tan x ( Cos x ) tan x Cos x Cos xCos x

− − = ⇒ − = ⇒ = ⇒

2 4 2 2 22

12 2 0 2 1 01

tan x ( ) tan x tan x (tan x )(tan x )tan x

= ⇒ + − = → + − =+

2

2

ــيرممكن 2 غـ

1 14

tan x

tan x tan x x k

= −→ π

= → = ± → = π ±

2Sin x tan x=ع)

22 2 1 0 2 0SinxSinx Cosx Sinx( Cos x ) Sinx Cos xCosx

= → − = → =

0

2 0 2 2 1 2 12 4

Sinx x k

Cos x x ( k ) x ( k )

= → = π→ π π

= → = + → = +

Page 17: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

64

2 23 2 3Sin x Cos x Sin x Cos x+ + (ف=

2Cosراه حل اول: طرفين را بر xبا فرض تقسيم مي) 0Cosxكنيم: ≠(

2 2 22

33 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 2tan x tan x tan x tan x ( tan x) tan x tan xCos x

+ + = ⇒ + + = + ⇒ + = ⇒ =

14

tan x x k π⇒ = ⇒ = π +

0Cosxدر حالتي كه به جواب= صورت: ها2

x k π= π اشد.ب مي+

راه حل دوم:

1 2 1 23 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 2 12 2 4

Cos x Cos x Sin x Cos x Sin x Sin x Cos x Sin( x )− + π+ + = ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ − =

د و گروه قابل قبول است. كه هر2 2

2 4 4 424 2 2 2

4 4 2

x k x kSin( x )

x k x k

π π π− = π + ⇒ = π +π ⇒ − = ⇒ π π π − = π + π − ⇒ = π +

1 2 3 2Sin x (Sin x Cos x)+ = + (ص−

2 2 22 3 2 3 2 0Sin x Cos x Sin x Cos x (Sin x Cos x) (Sin x Cos x) (Sin x Cos x)+ + = + − ⇒ + − + + =

2 1 0(Sin x Cos x )(Sin x Cos x )⇒ + − + − =

2 22 4 42 1

4 4 2 2 24 4 2

ــيرممكن 2 غ 2 24 4

x k x kSin x Cos x Sin(x ) Sin(x )

x k x k

Sin x Cos x Sin(x ) Sin(x )

π π+ = π + ⇒ = π π π ⇒ + = + = ⇒ + = ⇒

π π π + = π + π − ⇒ = π + π π

+ = + = ⇒ + =

1Sin( Cos x)π = (ق−

22

Cos x k ππ = π −

1چون 1Cos x− ≤ 1است لذا فقط جواب≥2

Cos x = قابل قبول است. پس:−

223

x k π= π ±

23Cos x Cos x Cos x=ر)

حال عبارت2

kπهايي به فرم جوابkπ2و 12

( k ) πميدرنيز را+ مي، گيرد بر به لذا صـورت توان جواب كلي را

2kx π

=

اعالم كرد.

4 43

tan x Cot ( x )π= (ش +

4 4 4 4 4 4 83 2 3 6 6 6 8 48

ktan x Cot ( x ) tan( x ) tan( x) x k ( x) x k xπ π π π π π π π= + = − − = − ⇒ = π + − ⇒ = π + ⇒ = +

2 2

4 22

x k x kkx k x

= π ⇒ = π⇒ π

= π ⇒ =

0 2 13 0 2

3 3 2

Cos x x ( k )Cos x(Cos x Cos x)

Cos x Cos x x k x

π = ⇒ = +− = ⇒ = ⇒ = π ±

Page 18: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

65

12 21

tan xCot x tan xtan x

−+ =

+(ط

2 2Cot x Cot x tan x= −

1 1 1 11 1

tan x tan xCot x tan x tan x Cot x Cot x tan x tan x Cot xtan x tan x

− −− + = ⇒ = ⇒ + = − ⇒ = −

+ +

21 1tan x tan xtan x−

⇒ = ⇒ = −

ناپذير است، پس اين معادله هرگز جواب ندارد. چون اين اتفاق امكان

14 4 2

Sin(x )Cos(x )π π+ − (ت=

2 1 12

Sinx Cos x= ⇒ + = ±22 2 2 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2

( Sinx Cos x)( Cos x Sin x) ( ) (Sin x Cos x) Sin x Cos x+ + = ⇒ +

2 2 22 4 4 22 1

4 4 2 2 2 2 14 4 2

x k x k , x kSin(x ) Sin(x )

x k x k , x ( k )

π π π + = π ± ⇒ = π = π −π π ⇒ + = ± ⇒ + = ± ⇒ π π π + = π + π ⇒ = π + = + π

2x k , x k π

→ = π = π −∪

2 52 3 58 8

Sin (x ) Cos(x )π π− + − (ث=

Sin (x ) Cos(x ) Sin (x ) Sin(x )

(Sin(x ) )( Sin(x ) )

2 22 3 5 2 3 58 8 2 8 8

1 2 5 08 8

π π π π π− + − − = ⇒ − + − =

π π⇒ − − − + =

ــيرممكن غ

51 2 2

8 8 2 85

8 2

Sin(x ) x k x k

Sin(x )

π π π π− = ⇒ − = π + ⇒ = π +⇒ π − = −

2ي هاي جواب معادله نقاط انتهايي كمان مثال:� 2Cos xSin x Cos x=مي روي يك دايره باشند؟ي مثلثاتي رئوس چه شكلي

حل:�

2 1 0 2 0 2 2 1 2 12 4

Cos x(Sin x ) Cos x x ( k ) x ( k )π π− = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +

1 22

Sin x x k π= ⇒ = π +

مي5رئوس،اين نقاط شند.با ضلعي غيرمنتظم

و مساحت6و2چند مثلث با اضالع مثال:� واحد مربع قابل رسم است؟3واحد

حل:�1 1 12 6 32 2 2

S abSin S Sin Sin= θ ⇒ = × × θ = ⇒ θ =

0 56 6

,<θ<π π π→ θ =

34π

54π 7

4π2

π

150 30

66

2 2

Page 19: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

66

آن مثلثي رسم كرده مثال:� 1و2،2ايم كه طول اضالع بهها است. زاويه+3 دست آوريد.ي اين مثلث را

حل:�

ها داريم:ي كسينوس با استفاده از قضيه

2 2 22 2 1 3 2 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2 1 32 42 2

( ) ( )Cos ( )Cos Cos π= + + + − + θ ⇒ + = + θ ⇒ θ = = ⇒ θ =

ها داريم:ي سينوس حال با توجه به قضيه

2 2 1 3 2 2 145 2 62

2

Sin x xSin Sin x Sin y Sin x

+ π= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

°

هم برابر است با:yي لذا زاويه

7يا105°6 4 12π π π

π − − =

0يي زير در بازه معادله مثال:� 2[ , ]πداراي چند جواب است؟

حل:�

3 2tan x Cot x− =

213 2 3 1 2tan x tan x tan xtan x

− = ⇒ − =

23 2 1 0 3 1 1 0tan x tan x ( tan x )(tan x )⇒ − − = ⇒ + − =

113

tan x

tan x

=

= −

1yخطوط 1و=3

y = yهر كدام دو بار نمودار− tan x=0ي را در بازه 2[ , ]πكنند. لذا اين معادله در ايـن بـازه قطع مي

جواب است.4داراي

1ي معادله مثال:� 1 1 02 3 4

(Sin x )(Sin x )(Sin x )− + − ]2ي در بازه= , ]π πريشه است؟ داراي چند

حل:�

Sinابتدا نمودار xمي را در بازه كنيم:ي داده شده رسم

12

13

14

Sin x

Sin x

Sin x

=

= −

=

1فقط خط3

y = جواب دارد.2ي داده شده، لذا اين معادله در بازهكند. تابع را در دو نقطه قطع مي−

π 2π13−

14

12

32π

π

13y = −

1y =

Page 20: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

67

12مثلثاتيي مثال: معادله� 3 42

Cos x Cos x Cos x Cos x+ + + = 0ي در بازه− 2, π چند جواب دارد؟

در� 2حل: در اين معادله بهتر است طرفين را2xSinها ضرب كنيم. زيرا در مجموع فوق قدرنسبت كمانx.است

2 3 4A Cos x Cos x Cos x Cos x= + + +

2 2 2 2 3 2 42 2 2 2

22

x x x xSin Cos x Sin Cos x Sin Cos x Sin Cos x

xSin

+ + +=

3 5 3 7 5 9 72 2 2 2 2 2 2 2

22

x x x x xSin x Sin Sin Sin x Sin Sin Sin x Sin

xSin

− + − + − + −=

99 92 2 02 2 2 22

2

xSin x Sin x xSin x Sin Sin Sin xxSin

−= ⇒ − = − ⇒ =

9جواب 10 2 0 92 9

kx k x k k , ... ,π= π ⇒ = ∈ =�

يك9ي مثلثاتي اما تعداد نقاط روي دايره مي9نقطه است كه رئوس باشند. ضلعي منتظم

وارون توابع مثلثاتي:يك توابع سينوس، كسينوس، و كتانژانت آنپذير نيستند. ند لذا واروننيستيكبه تانژانت آن پس براي هـا را معكـوس كه بتـوانيم

يك،ها هايي را در نظر بگيريم كه در آن بازه كنيم، بايد بازه يك باشند.به توابع مثلثاتي

تابع سينوس:وارون

ي تابع سينوس درباره2 2

[ , ]π πرابه يك− 1yيك است، وارون آن Sin x−=كه مي 1Sinناميم. دقت كنيد x−1مانندf (x)−نماد

و به معناي 1yتابع وارون استSin x

باشد. نمي=

1yي تابع دامنه Sin x−=،1 1[ , و برد آن−[2 2

[ , ]π πاست. اين تـابع تـابعي−

فرد است. مثال:

1 12 6

Sin ( )− π=

1 32 3

Sin ( )− π− = −

تابع كسينوس: وارون

]0ي تابع كسينوس در بازه , ]πرا بـه يـك 1yيـك اسـت، وارون آن Cos x−=

ناميم. مي

1yي دامنه Cos x−=،1 1[ , ]0و برد آن−[ , ]π:است. مثال

1 22 4

Cos ( )− π=

1 1 22 3

Cos ( )− π− =

1π2

π

1−

1

π

1−

1y Cos x−=

y Cos x=

1

y Sin x=

1−

1

1−

2π−

2π−

1y Sin x−=

Page 21: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

68

تابع تانژانت: وارون

ي تابع تانژانت در فاصله2 2

( , )π π1yن آن را يك است. واروبه يك− tan x−=ناميم. مي

1yي تابع دامنه tan x−=،و برد آن2 2

( , )π πاست. ايـن تـابع، تـابعي فـرد−

است. مثال:

1 14

tan ( )− π=

1 33

tan ( )− π− = −

بع كتانژانت:تاوارون

)0ي تابع كتانژانت در فاصله , )πرابه يك 1yيك است. وارون آن Cot x−=ناميم. مي

1yي تابع دامنه Cot x−=،)0و برد آن , )π:است. مثال

1 14

Cot ( )− π=

1 536

Cot ( )− π− =

و روابط زير توجه كنيد: به نمودارها

به ياد داشتيم:1

1

1f

f

fof (x) x x D

f of (x) x x D

−−

= ∈

= ∈1Sin (Sin x) x

x

− =∈

1

1 1Sin(Sin x) x

x

− =− ≤ ≤

1Cos (Cos x) xx

− =∈

1

1 1Cos(Cos x) x

x

− =− ≤ ≤

−π π 2π2− π

π

1−

1−

1

1

1−

1−

1

1

π2π

π y Cot x=

1y Cot x−=

2π−

2π−

32π−

−π32π

π2π

y tan x=

2π−

2π−

1y tan x−=

Page 22: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

69

1

2 12

tan (tan x) x

x , x ( k )

− =π

∈ ≠ +

1tan(tan x) xx

− =∈

1Cot (Cot x) x− =

x , x k∈ ≠ π

1Cot (Cot x) xx

− =∈

مثال: برابري جفت توابع داده شده را بررسي كنيد.�

1

1

2ff g

g

kf (x) tan (tan x) D : kD D f g

g(x) tan(tan ) D

π = = − ∈ ≠ ⇒ ≠

= =

1

1 f gf (x) Cot (Cot x)

D D x f (x) g(x) x f (x) g(x)g(x) tan(tan x)

= = = ∀ ∈ = = ⇒ ==

2 4

21 1 1 1

1f g

f (x) x xD , D x , : f (x) g(x)

g(x) x x

= − = − = ∀ ∈ − = = −

4 2

2

0

1 0

f

g

f (x) x x Df (x) g(x)

g(x) x x D

= − ∈ ⇒ ≠ = − ∉

تركيب توابع:

π 2π−π

π

2π−

2π−−π

32π

π

fg

fog

A

a

B

g(a)

C

f (g(a))

{ }fog g ffog (x) f (g(x)) D x : x D ,g(x) D= = ∈ ∈

Page 23: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

70

بهθي دوران كند، زاويهAي است. اگر حول نقطهcm20برابرABي مثال: در شكل مقابل، طول ميله� صورت تـابعي بـر را

بهBي حسب فاصله دست آوريد. از راستاي عمود بر سطح افقي

حل:�

120 20x xSin Sin−θ = ⇒ θ =

بهرا روي يك وتر تابعي كه زاويه مركزي روبه مثال:� مي برحسب طول وتر به دست دست آوريد. دهد،

حل:�1

1

2 2 2 2

22

x xSin Sin

xSin

θ θ= ⇒ =

⇒ θ =

0است لذا2برابر دو برابر شعاع يعنيxچون حداكثر 2x≤ 0پس≥ 12x

≤ است.−1Sinو در دامنه≥

هر مثال:� 1براي 1x− < ثابت كنيد:>

1 1

1 1

2

2

Sin x Cos x

tan x Cot x

− −

− −

π+ =

π+ =

حل:�كه زاويهθاگر (در دايره عمود ميyر محوربxي را به اندازه′′BHاست،xآن Sinاي باشد ي مثلثاتي) كنيم.

1Sin x Sin x−θ = → θ =

1Cos OH BH x Cos x−′ ′′α = = = → α =

ــك ضــلع و ي ــر 90 وت1

AH BHˆ ˆH H OAH OBH

OA OB

∆ ∆′′=

′′ ′′= = ° → ≅

= =

ــس: ˆپـ ˆBOH AOH′′ = = θــون ˆ90و چـ ˆH OB BOH′′ + ــذا:= لـ2π

α + θ ــم:= ــوق داريـ ــط فـ ــق روابـ ــس طبـ پـ

1 12

Sin x Cos x− − π+ =

توان نشان داد: با اثبات مشابه مي

1

1

1 12 2

tan x tan x

Cot x Cot x

tan x Cot x

− −

θ = → θ =

α = → α =π π

θ + α = → + =

x

AB

xH H′

H′′

θOα

x

α

x

θ

θ 20cm

B

A

θ 20cm

x

Page 24: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

71

هر مثال:� 1براي 1x− ≤ ثابت كنيد:≥

1 1 21Sin(Cos x) Cos(Sin x) x− −= = −

1 12 2

1

1 1

xSin(tan x) Cos(tan x)x x

− −= =+ +

حل:�0 01 2 1 21 1Cos x Cos x Sin x Sin(Cos x) x≤θ≤π ≤θ≤π− −= θ → θ = → θ = − ⇒ = −

1مشابه: صورت به 21Cos(Sin x) x− = −

1 2 22 22 2

22 2

2 2 2

1 11 1

1 111 1 1

tan x tan x tan xCos Cos

xCos Sinx x x

π π− <θ<

− = θ → θ = → + θ = → + =θ θ

→ θ = → θ = − =+ + +

12 21 1

x xSin Sin(tan x)x x

−θ = → =+ +

12 2

1 1

1 1Cos Cos(tan x)

x x−θ = ⇒ =

+ +

از دقت كنيد كه علت اين ع−1tanدرxاستفاده نكرديم اين بود كه عالمـتSinθبراي±كه درxالمـت بـا21

x

x+

خواني دارد. هم

مثال:

1

1

333 2

21

4 2

Sin(tan ) Sin( )

Sin(tan ( )) Sin( )

π= =

π− = − = −

مثال: نمودار هر يك از توابع زير را رسم كنيد.�

1 21y Cos(Sin x) x−= = −

2 ــم 1yدايره ني x= −

1 21Sin Sin x Cos x x− = α ⇒ α = ⇒ = −

1

0

1 1

0

1

1

1 1

1 0

x

x

x

lim tanx

y tan lim tanx x

lim tanx

+

− −

−→∞

= +∞

= ⇒ = −∞ =

{ }0D = −

11−

Page 25: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

72

هر مثال:� 0xبراي ثابت كنيد:<

1 1 2

1 1 2

1 1

1 1

1

11

1

Sin x Cos x

Cos x Sin x

tan Cot xx

Cot tan xx

− −

− −

− −

− −

= −

= −

=

=

1جا نتيجه بگيريد:و از آن 1 12

tan x tanx

− − π+ =

1 2 1 21 1Sin x Sin x Cos x Cos x− −= θ → θ = → θ = − → θ = −

0xدقت كنيد چون 0است پس<2π

< θ شود. است لذا كسينوس فقط با عالمت مثبت در نظر گرفته مي>

1پس: 1 21Sin x Cos x− −θ = = −

1مشابه: صورت به 1 21Cos x Sin x− −= −

1 1 1 11 1 1 1tan tan x Cot Cot x tan Cot xx x tan x

− − − −= θ → θ = → = = θ → θ = ⇒ =θ

0xباز هم چون 1Cotو هم−1tanاست هم< 0xلذا با هم برابرند ولي اين تساوي براي،در ربع اول خروجي دارند− <

(مثال 1برقرار نيست. 14

tan ( )− π− = 1اما− 31

4Cot ( )− π

− 1مشابه: صورت ) به= 1 1tan x Cotx

− −=

1قبال ديديم: 12

tan x Cot x− − π+ 1، لذا داريم:= 1 1 0

2tan x tan (x )

x− − π

+ = >

هر از طريق دايره مثال:� 1ي مثلثاتي نشان دهيد كه براي 1x− ≤ داريم:≥

1 1

1 1Sin ( x) Sin x

Cos ( x) Cos x

− −

− −

− = −

− = π −

حل:�θها: به دليل تساوي مثلث = −α

1

1

1 1

Sin x Sin x

Sin x Sin ( x)

Sin ( x) Sin x

− −

θ = → θ =

α = − → α = −

α = −θ → − = −

11 1

1Cos x Cos ( x)

Cos ( x) Cos (x)Cos x Cos (x)

−− −

α = − → α = − ⇒ α = π − θ → − = π −θ = → θ =

مشابهصورت به

1 1

1 1tan ( x) tan x

Cot ( x) Cot x

− −

− −

− = −

− = π −

1البته اين رابطه را با محاسبه سينوس يا كسينوس 1 1tan x tanx

− توان محاسبه كرد. نيز مي+−

θα

x−

x

θα

x− x

Page 26: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

73

به مثال:� دست آوريد. حاصل عبارات زير را

1 35

Cos(Sin (الف−(

1 2 1 23 3 41 15 5 5

Cos(Sin x) x Cos(Sin ) ( )− −= − ⇒ = − =

1 13 45 5

Sin ( ) Sin ( )− (ب+−

01 124 4 3 35 5 5 5

Sin Sin Cos Cosπ

<θ<− −= θ → θ = → θ = → θ =

1 13 35 5 2

Sin ( ) Cos ( )− − π+ =

112

Sin (Cos )− πج)

1

512 2 12 12

5 512 12

Cos Sin( ) Sin

Sin (Sin )−

π π π π= − =

π π=

1 43

Cos (Cos( ))− π(د−

1

4 4 13 3 3 2

1 22 3

Cos( ) Cos( ) Cos

Cos ( )−

π π π− = = − = −

π− =

18

Cos (Sin )− πهـ)

13 3 38 2 8 8 8 8

Sin Cos( ) Cos Cos (Cos )−π π π π π π= − = → =

1 34

Cos(tan (و−(

1

2

3 1 1 454 531 44

Cos(tan )( )

− = = =+

2 12

3 1 4 3 414 5 4 5

tan tan Cos Cos(tan ) CosCos

−θ = → + θ = → θ = → = θ =θ

يا

1 43

tan (tan )− πز)

1 1 14 33 3 3

tan (tan ) tan ( tan ) tan ( )− − −π π π= − = − = −

1 4 47 7

Sin (Sin ( ) Cos ( ))− π π(ح−

1 2 2 2 27 7 7 7

Sin ((Sin Cos )(Sin Cos ))− π π π π− +

1 3 314 14

Sin (Sin )− π π− = −1 1 1 12 2 2 3 3

7 7 2 7 14 14Sin ( Cos ) Sin (Cos ) Sin (Sin( )) Sin (Sin )− − − −π π π π π π

− = − = − − =

tan(Cos ( ) tan ( ))1 12 22 5

− −− (ط+

2 31 35 52 7 71 15 5

( )( )

− + −= = = −

− −

1

1

2 24 53 214 5

tan( ) tan(tan ( ))

(tan ) (tan(tan ( )))

π +

π−

13 2 34 5 7

tan( tan ( ))−π+ = = = = −

Page 27: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

74

1 54

tan (Cot )− πي)

1 1 15 14 4 4

tan (Cot ) tan (Cot( )) tan ( )− − −π π π= π + = − = −

1 11 12 2

tan ( ) Cot ( )− −− (ك −

1 1

1 1 1 1

1 12 2

1 1 1 12 2 2 2 2 2

Cot ( ) Cot ( )

tan ( ) ( Cot ( )) tan ( ) Cot ( )

− −

− − − −

− = π −

π π− π − = + − π = − π = −

1 13 32 35 5

Sin( Sin ( ) Cos ( ))− (ل+−

1 1 1 1 13 3 3 3 32 2 25 5 5 2 5 5

Sin( Sin ( ) Cos ( ) Cos ( )) Sin( ( ) Cos ( )) Sin( Cos ( ))− − − − −π+ + = + = π +

1 23 3 415 5 5

Sin(Cos ( )) ( )−= − = − − = −

12tan( Sin x)−م)

tan(Sin x)tan( Sin x)

tan (Sin x)

( x ) xSin x Sin x Cos x tan tanCos x x x

11

2 1

2 21 2 2 2 2

2 2 2 2

22

1

1 1 1 11 1 11 1 1

−−

=−

− −= θ → θ = → θ = − → + θ = → θ = − = =

θ − − −1

21

xtan(Sin x)x

−→ =−

xtan كند تبعيت ميxچون عالمت تانژانت ازx21

→ θ =−

2212 2

2

2

2 1121 21

1

x

x xxtan( Sin x)x x

x

− −−= =−

−−

1 11 125 2

tan(tan ( ) tan ( ))− (ن+−

1 1

1 1

1 1 1 4 232 235 2 5 3 151 1 1 4 11 111 2 15 2 5 3 15

tan(tan ( )) tan( tan ( ))

tan(tan ( )) tan( tan ( ))

− −

− −

+ += = = =

− − ×

چون:

11

2 1 2

1 12 21 1 42 221 1 32 31 12 2 4

tan(tan ( )) ( )tan( tan ( ))

tan (tan ( )) ( )

−−

−= = = =

− −

1مثال: اگر�2

11

f (x) tanx x

−=+ +

، مطلوب است 1393

1if (i)

=∑.

حل:�

1 1 1 11 1 11 1 1 1

(x ) xf (x) tan tan tan (x ) tan xx(x ) x(x )

− − − −+ −= = = + −

+ + + +

1393 13931 1

1 11

i if (i) tan (i ) tan i− −

= =

= + −∑ ∑

1 1 1 1 1 12 1 3 2 1394 1393tan tan tan tan tan ( ) tan− − − − − −= − + − + ⋅ ⋅ ⋅+ −

1 1 11394 1 13944

tan ( ) tan tan ( )− − − π= − = −

Page 28: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

75

و نيز تابع وارون راجع به وارون مثال:� 1پذيري1

tan xytan x

−=

+ بحث كنيد.

1تابع حل:�1

uyu

−=

+ازبه تابعي يك و خروجي تانژانت هم و بـه كند. لـذا ايـن تـابع يـك تغيير مي∞ تا∞−يك است يـك

(كافي است وارون پذير است.2 2

xπ π− < باشد)>

1 1 1 11

tan xy y y tan x tan x (y ) tan x ytan x

−= → + = − → + = −

+

1 1 11 1 11 1 1

y y xtan x x tan f (x) tany y x

− − −− − −⇒ = → = ⇒ =

+ + +

1yرو تابع نمودار روبه مثال:� aSin (bx c)−= مق را نشان مي+ aدار دهد. b c+ كدام است؟+

1yبا مقايسه اين نمودار با نمودار:حل� Sin x−=:داريم

2a(چون برد دو برابر شده) =

جمع تغيير نكرده،xي تغييرات چون محدوده و يعني كشيدگي يا شدگي وجـود نـدارد

1bپس واحد است،x،2تغييرات است.=

1cلذا:،واحد به سمت راست حركت كرده1چون منحني = −

2a b c⇒ + + =

1yنمودار تابع شكل مقابل مثال:� aSin (bx)−=.استb, a ند؟ا كدام

حل:�في با مقايسه 1yوق با نمودار Sin x−=:داريم

وx(منفي است چون نسبت به محور ها قرينه شده2π

است.)-1و1ضرب كرديم چون برد بين2a = −π

و دو برابر شده است)x(چون نمودار در راستاي محور ها كشيده شده12

b =

1مثال: اگر نمودار تابع�1

ax bf (x) tanx

− +=

− ها كدام است؟ي تالقي تابع با محور عرض شكل مقابل باشد، نقطه

حل:�

11 4 4x

ax bx lim a tana a tanx→∞

+ π π→ ∞ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

11 0 0 0 12

a bf ( ) tan a b b− − +− = ⇒ = ⇒ − + = ⇒ =

1 10

1 0 11 4

4

xf (x) tan f ( ) tan ( ) Bx

− −+ π= ⇒ = − = − π

− −

1−2π

−1

2−

1

1−1

1−

2

π

−π21

1−2π

−1

1−

Page 29: 2˛ ˝ 3ˇ2 - konkoorsara.irkonkoorsara.ir/94/gozine2/Riyazi/riyazi/hesaban_fasl-3... · Cos x Cos ( x) Cos x ( Cos x ) ( Cos x Cos x) Cos x Cos x42222122 1124 14 18 8 1==222 42 42

76

به مثال:� آوريد.دست دامنه تعريف توابع زير را1 21y Sin ( x )−= (الف−

2 21 1 1 0 2 2 2x x x− ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ → − ≤ ≤ 1 24y Cos ( x x )−= (ب−

x x

x x

3 2 5 2 3 2 5

5 2 3 2 5 2 3

≤ − ≤ → + ≤ ≤ +

− ≤ − ≤ − → − ≤ ≤ −x x (x ) (x )2 2 21 4 1 1 4 2 1 3 2 5− ≤ − ≤ ⇒ − ≤ − − ≤ ⇒ ≤ − ≤

1y Sin (Cotx)−=ج)

Cotx k x k k x k k x k3 5 7 31 1 2 2 2 ا 2 ي 4 4 4 4 4 4π π π π π π

− ≤ ≤ → π + ≤ ≤ π + π + ≤ ≤ π + → π + ≤ ≤ π +

1 1114 2xy Sin ( )−= − (د+

ــال چــون راديكــت ــت اس مثب

1 3 1 1 351 1 1 1 0 1 1414 2 2 14 2 14 4 2x x x x− ≤ − + ≤ → − ≤ − ≤ → ≤ − ≤ → ≤ ≤

14f (x) xSin x−=هـ)

14Sinباxدانيم مي x−پس هم 14عالمت هستند، 0xSin x− 1 . لذا براي تعيين دامنه داريم:≤ 11 4 14 4fx D ,

− ≤ ≤ ⇒ = −

به مثال:� دست آوريد. برد توابع زير را

13 3 14

y Sin ( x )− π= + (الف+

1 1 13 3 5 73 1 3 3 1 3 3 12 2 2 2 4 4 4

Sin ( x ) Sin ( x ) Sin ( x )− − −−π π π π π π π≤ + ≤ → − ≤ + ≤ → − ≤ + + ≤

1 44

xy Cot ( )x

− −=

+(ب

1 404

xCot ( )x

− −≤ ≤ π

+ شود. نميyموجب تغييراتx تغييرتوجه كنيد

y Cos (x x)1 22 2−= − ج( −

1 2 1 20 2 2 2 2 0Cos (x x) Cos (x x)− −≤ − ≤ π → − π ≤ − − ≤

شود. نميyموجب تغييراتx تغييرتوجه كنيد

معادالت زير چند جواب دارند؟ مثال:�1 1 10 8 0 8Sin x Cos ( / ) Cos ( / )− − −= − (الف −

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

0 8 0 8

0 8 0 8 2 0 8 2 0 8 2 0 8

2 0 8 0 8 2 0 6 0 8 0 96

Cos ( / ) Cos ( / )

Sin x Cos ( / ) ( Cos ( / )) Cos ( / ) x Sin( Cos ( / ) ) Sin ( Cos ( / ))

Sin(Cos ( / ))Cos(Cos ( / )) / / /

− −

− − − − − −

− −

− = π −

= − π − = − π → = − π = −

= − = − × × = −

جواب دارد.1

12 1Cos x x− = +π

10چون Cos x−≤ ≤ π120پس 2Cos x−≤ ≤π

با رسم نمودار هر دو تابع داريم:

0xتنها جواب اين معادله است.=

2

11−