2009年版 - 群馬工業高等専門学校（群馬高専）電子 …mame/kougi/kairo/kairomondai09.pdf0.2 電気回路の基本素子 c 大豆生田利章2009 5 図3 問題0.5 (1)

電気回路問題集 I2009年版

c©大豆生田利章 2009 i

目次

第 0章電気回路の基本概念 1

0.0 計算の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1 電気回路と電流電圧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 電気回路の基本素子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

第 1章直流回路 7

1.1 オームの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 直流電源と内部抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 直流電力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 抵抗の直列接続と並列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 直並列回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 ブリッジ回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

第 2章直流回路網 30

2.1 キルヒホッフの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 枝電流法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 閉路方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 重ね合わせの理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 鳳・テブナンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

第 3章正弦波交流とフェーザ 51

3.1 正弦波交流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 複素数の表示形式と各種計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 フェーザ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

第 4章交流回路 65

4.1 インピーダンス・アドミタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 交流電源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

ii c©大豆生田利章 2009 目次

4.4 直列回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5 並列回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.6 直並列回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.7 交流ブリッジ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

第 5章交流電力 109

第 6章回路方程式 119

6.1 キルヒホッフの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2 閉路方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.3 節点方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.4 インピーダンス行列・アドミタンス行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.5 特殊な回路方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

第 7章周波数特性と共振 139

7.1 インピーダンスの周波数特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.2 周波数特性の表し方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.3 共振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

第 8章回路の諸定理 154

8.1 重ね合せの理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2 鳳・テブナンの定理と補償定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.3 最大消費電力の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.4 相反定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

第 9章変成器 167

9.1 相互インダクタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.2 変成器を含む回路の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.3 密結合変成器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4 理想変成器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

第 10章二端子対網 184

10.1 二端子対網の表現方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.2 二端子対網の伝送的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.3 非相反二端子対網と能動二端子対網 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

第 11章古典フィルタ 195

11.2 定 K 形フィルタ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

目次 c©大豆生田利章 2009 iii

11.4 対称 T形および対称 π 形フィルタ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

第 12章三相交流回路 202

12.2 平衡三相交流回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

12.3 平衡三相交流回路の電力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

12.4 不平衡三相交流回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

付録 A 略解 217

c©大豆生田利章 2009 1

第 0章

電気回路の基本概念

0.0 計算の基礎

【例題 0.1】

有効数字に注意して以下の計算をせよ。

(1) 2.1 × 3.0

(2) 2.5 × 4.0

(3) 1.45 × 2.4

(4) 4.7 × 3.1

(5) 7.0 ÷ 5.0

(6) 6.0 ÷ 2.0

(7) 26 ÷ 24

(8) 2.2 + 3.7

(9) 1.7 + 2.3

(10) 7.2 + 2.8

(11) 3.5 − 1.2

(12) 10.5 − 3.3

(13) 23 − 1.5

(14) 3.2 − 0.123

(15) 6.2 × (2.3 + 1.2)

(16) 1.3 × (1.23 − 0.12)

〔解答 0.1〕

以下のとおり。

2 c©大豆生田利章 2009 第 0章電気回路の基本概念

(1) 2.1 × 3.0 = 6.3

(2) 2.5 × 4.0 = 8.0

(3) 1.45 × 2.4 = 3. /45

/8 = 3.5

(4) 4.7 × 3.1 = 1 /45. /5 /7 = 15

(5) 7.0 ÷ 5.0 = 1.4

(6) 6.0 ÷ 3.0 = 2.0

(7) 26 ÷ 24 = 1. /01

/8–3 · · · = 1.1

(8) 2.2 + 3.7 = 5.9

(9) 1.7 + 2.3 = 4.0

(10) 7.2 + 2.8 = 10.0

(11) 3.5 − 1.2 = 2.3

(12) 10.5 − 3.3 = 7.2

(13) 23 − 1.5 = 2 /12. /5 = 22

(14) 3.2 − 0.123 = 3.2 − 0.12–3 = 3.2 − 0.12 = 3. /01

/8 = 3.1

(15) 6.2 × (2.3 + 1.2) = 6.2 × 3.5 = 2 /12. /7 = 22

(16) 1.3 × (1.23 − 0.12) = 1.3 × 1.11 = 1.4 /4 /3 = 1.4

J

問題 0.1有効数字に注意して以下の計算を行なえ。

(1) 1.5 × 4.2

(2) 1.41 × 2.83

(3) 9.3 ÷ 6.2

(4) 2.97 ÷ 1.5

(5) 1.2 + 7.1

(6) 1.5 + 1.52

(7) 2.3 + 0.15

(8) 3.5 − 1.1

(9) 14.1 − 5.5

(10) 3.72 − 0.184

(11) 1.6 × (10.2 + 2.3)

(12) 1.5 × (1.33 + 2.35)

【例題 0.2】

有効数字に注意したうえで、以下の各数値を x × 10n の形で表わせ。ただし、x は

1 ≤ x < 10である実数、nは整数とする。

0.1 電気回路と電流電圧 c©大豆生田利章 2009 3

(1) 150Ω

(2) 4.7 kΩ

(3) 20mH

(4) 5.0 µH

(5) 150 pF

(6) 2.5 nF

〔解答 0.2〕


(1) 1.50 × 102 Ω

(2) 4.7 × 103 Ω

(3) 2.0 × 10−2 H(= 20 × 10−3 H)

(4) 5.0 × 10−6 H

(5) 1.50 × 10−10 F(= 150 × 10−12 F)

(6) 2.5 × 10−9 F

J

問題 0.2有効数字に注意したうえで、以下の各数値を x × 10n の形で表わせ。ただし、xは 1 ≤ x < 10で

ある実数、nは整数とする。

(1) 300Ω

(2) 1.5MΩ

(3) 3.0mH

(4) 100 µH

(5) 15 pF

(6) 0.15 µF

0.1 電気回路と電流電圧

【例題 0.3】

図 1において以下の量を有効数字と単位に注意して求めよ。

(1) ia が 2.3A、ib が 5.7Aのときの i

(2) iが 7.7A、ia が 2.7Aのときの ib


a

b

i i a

i b

図 1例題 0.3

〔解答 0.3〕

(1)

i = ia + ib = 2.3A + 5.7A = 8.0 A (1)

(2)

ib = i − ib = 7.7A − 2.7A = 5.0A (2)

J

問題 0.3以下の量を有効数字と単位に注意して求めよ。ただし、電子の電荷の大きさは 1.6 × 10−19 C と

する。

(1) 1.0Cの電荷に含まれる電子の個数

(2) 1.5Aの電流が 2.0 s流れたときの移動電荷量

(3) 8.0 sの間に 5.0 × 1016 個の電子が移動したときの電流の大きさ

問題 0.4

図 2において電流 I1 は 1.2 A、電流 I2 は 2.3A、電流 I4 は 1.5A である。このとき、電流 I3 と

電流 I5 を有効数字と単位に注意して求めよ。

図 2問題 0.4

問題 0.5図 3において以下の量を有効数字と単位に注意して求めよ。

0.2 電気回路の基本素子 c©大豆生田利章 2009 5

図 3問題 0.5

(1) 電圧 vac が 2.3V、電圧 vab が 4.5Vのときの電圧 vbc

(2) 電圧 vab が 1.50V、電圧 vbc が −0.72Vのときの電圧 vac

問題 0.6

図 4において電圧 vab が 6.0V、電圧 vbc は 1.5V、電圧 vad は 9.0V である。このとき、電圧 vac

と電圧 vdc を有効数字と単位に注意して求めよ。

図 4問題 0.6

0.2 電気回路の基本素子

【例題 0.4】

以下の各量を有効数字と単位に注意して求めよ。

(1) 3.3 kΩの抵抗 Rに 3.0mAの電流 iが流れているときの抵抗両端の電圧 v

(2) 4.2mAの電流 iが流れているときに 0.21 µWbの磁束が発生するコイルのインダク

タンス L

(3) 15V の電圧 v が加わったときに 4.5 × 10−11 Cの電荷 q が蓄積されるコンデンサの

静電容量 C


〔解答 0.4〕

(1)

v = Ri = 3.3 kΩ × 3.0mA = (3.3 × 103 Ω) × (3.0 × 10−3 A) = 9.9V (3)

(2)

L =φ

i=

0.21 µWb4.2 mA

=0.21 × 10−6 Wb

4.2 × 10−3 A= 5.0 × 10−5 H = 50 µH (4)

(3)

C =q

v=

4.5 × 10−11 C15 V

= 3.0 × 10−12 F = 3.0 pF (5)

J

問題 0.7以下の各量を有効数字と単位に注意して求めよ。

(1) 5.0 kΩの抵抗 Rに 12Vの電圧が加わっているときに抵抗を流れる電流 i

(2) インダクタンス L が 30mH であるコイルの発生する磁束 φ が 0.60mWb のときにコイルを

流れている電流 i

(3) 静電容量 C が 4.8 nFであるコンデンサに蓄積されている電荷 q が 1.2 × 10−8 Cのときのコ

ンデンサ両端の電圧 v


第 1章

直流回路

1.1 オームの法則

【例題 1.1】

図 1.1のように電源電圧 E の直流電圧源に抵抗 Rを接続した。有効数字および単位に注

意して以下の問に答えよ。

図 1.1例題 1.1

(1) 抵抗 Rが 5.0Ωのとき、0.30Aの電流 I が流れた。電源電圧 E を求めよ。

(2) 電源電圧 E が 10Vのとき、2.5Aの電流 I が流れた。抵抗 Rを求めよ。

〔解答 1.1〕

(1)

E = RI = 5.0Ω × 0.30A = 1.5V (1.1)

(2)

R =E

I=

10V2.5A

= 4.0Ω (1.2)

8 c©大豆生田利章 2009 第 1章直流回路

J

問題 1.1以下の問の各量を有効数字および単位に注意して求めよ。

(1) 2.0 kΩの抵抗に 7.0Vの電圧を加えたときに流れる電流の値

(2) 1.3 kΩの抵抗に 3.0mAの電流が流れているときの電圧降下の値

(3) 1.20 Vの電圧を加えると 0.60Aの電流が流れる抵抗の値

1.2 直流電源と内部抵抗

【例題 1.2】

起電力が E で内部抵抗が r の電池と、抵抗 R1 および抵抗 R2 を用いて図 1.2のような

回路を作った。ここで、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

図 1.2例題 1.2

(1) 図 1.2 (a)のように電池に何も接続しないときに電池の端子間電圧 V が 1.20Vであっ

た。電池の起電力 E を求めよ。

(2) 図 1.2 (b)のように電池に 2.20Ωの抵抗 R1 を接続した。このとき回路を流れる電流

I が 500mAであった。電池の内部抵抗 r を求めよ。

(3) 図 1.2 (c)のように電池に抵抗 R2 を接続した。このとき回路を流れる電流 I が

600mAであった。抵抗 R2 の大きさを求めよ。

(4) 図 1.2 (c)における電池の端子間電圧 V を求めよ。

〔解答 1.2〕

1.3 直流電力 c©大豆生田利章 2009 9

(1) 電池の開放電圧と起電力は等しいので，

E = 1.20 V (1.3)

(2)

I =E

r + R1(1.4)

より

r =E

I− R1 =

1.20V500mA

− 2.20Ω = 2.40Ω − 2.20 Ω = 0.20Ω (1.5)

(3)

I =E

r + R2(1.6)

より

R2 =E

I− r =

1.20V600mA

− 0.20Ω = 2.00Ω − 0.20 Ω = 1.80Ω (1.7)

(4)

V = E − rI = 1.20 V − 0.20Ω × 600mA = 1.20V − 0.12V = 1.08 V (1.8)

J

問題 1.2

起電力 1.50V、内部抵抗 0.20Ω の直流電源から負荷に流れている電流が 3.0A のとき、電源の端

子間電圧はいくらになるか。

問題 1.3

起電力 1.40V、内部抵抗 0.15Ωの直流電源に負荷を接続したとき、電源の端子間電圧が 1.22V と

なった。このとき電源から負荷に流れる電流の大きさを求めよ。

問題 1.4F

図 1.3のように起電力 E、内部抵抗 r の電池に、抵抗 Rを接続した。電池の端子間電圧 V は、抵

抗 R が 3.0Ωのときに 9.0V、抵抗 R が 5.0Ωのときに 10.0 Vであった。この電池の起電力 E お

よび内部抵抗 r を有効数字および単位に注意して求めよ。

1.3 直流電力

【例題 1.3】

以下の問の各量を有効数字および単位に注意して求めよ。


図 1.3問題 1.4

(1) 100Vの電圧 V を加えたときに 5.00Aの電流 I が流れる抵抗の消費電力 P

(2) 15Ωの抵抗 Rに流れる電流 I が 2.0Aのときの抵抗の消費電力 P

(3) 16Ωの抵抗 Rに 24Vの電圧 V を加えたときの抵抗の消費電力 P

〔解答 1.3〕

(1)

P = V I = 100V × 5.00A = 500W (1.9)

(2)

P = RI2 = 15Ω × (2.0A)2 = 60W (1.10)

(3)

P =E2

R=

(24V)2

16Ω= 36W (1.11)

J

問題 1.5以下の問の各量を有効数字および単位に注意して求めよ。

(1) 1.5Vの電圧をかけたときに、30mAの電流が流れる抵抗の値と、抵抗の消費電力の大きさ

(2) 100V の電圧をかけたときに、1.0 kW の電力を消費する抵抗の値と、そのときに流れる電流

の値

(3) 3.0 kΩの抵抗に 12 Vの電圧をかけたときに、流れる電流の値と抵抗の消費電力の大きさ

(4) 500mAの電流を流したときに、1.0W の電力を消費する抵抗の値と、抵抗による電圧降下の

大きさ

(5) 10Vの電圧を加えたときに 1.5Aの電流が流れる抵抗の消費電力

(6) 電圧 100V、電力 1.2 kWの電熱器に流れる電流

(7) 120Vの電圧を加えたときに 60Wの電力を消費する白熱灯の抵抗

(8) 60Wの電球を 5日間使用したときの消費電力量

1.4 抵抗の直列接続と並列接続 c©大豆生田利章 2009 11

問題 1.6図 1.4のように電源電圧 E の直流電源に、抵抗 r および抵抗 R を接続する。この回路において抵

抗 Rで消費される電力が最大になる条件を求める手順を以下に示す。空欄 [1] から [6] を適切な式

または記号で埋めよ。

図 1.4問題 1.6

抵抗 Rを流れる電流 I は [1] である。抵抗 Rの両端の電圧 V は [2] である。従って、抵抗 Rで

消費される電力 P は [3] になる。これを変形すると P =E2

( [4] )2になる。ここで、正の実数 a, bに

対して成立する不等式 a + b ≥ 2√

ab（等号は a = bのときに成立）を用いると P ≤ [5]となる。

等号が成り立つのは R = [6]のときである。

1.4 抵抗の直列接続と並列接続

【例題 1.4】

図 1.5に示す抵抗の直列回路において、回路の合成抵抗 R0、電源から流れる電流 I およ

び各抵抗の両端間の電圧 V1, V2, V3 を有効数字および単位に注意して求めよ。ただし、R1

は 2.0Ω、 R2 は 3.0Ω、R3 は 7.0Ωであり、電源電圧 E は 24 Vであるとする。

図 1.5例題 1.4

〔解答 1.4〕



R0 = R1 + R2 + R3 = 2.0 Ω + 3.0Ω + 7.0Ω = 12.0Ω (1.12)

I =E

R0=

24V12.0Ω

= 2.0A (1.13)

V1 = R1I = 2.0 Ω × 2.0A = 4.0V (1.14)

V2 = R2I = 3.0 Ω × 2.0A = 6.0V (1.15)

V3 = R3I = 7.0 Ω × 2.0A = 14V (1.16)

J

問題 1.7図 1.6に対して以下の問に答えよ。

図 1.6問題 1.7

(1) 抵抗 R1 が 2.0Ω、抵抗 R2 が 3.0Ω、a–b間の電圧 Vab が 15V であるとする。このときの各

抵抗の両端の電圧 V1 および V2 を求めよ。

(2) 抵抗 R1 が 7.0Ω、抵抗 R2 が 3.0Ω、抵抗 R2 両端の電圧 V2 が 1.5V であるとする。このと

きの a–b間の電圧 Vab を求めよ。

【例題 1.5】

図 1.7に示す抵抗の並列回路において、抵抗 R1 は 2.0Ω、抵抗 R2 は 3.0Ω、電源電圧 E

は 2.4Vである。このときの各電流 I1、I2 および I を求めよ。

図 1.7例題 1.5

1.4 抵抗の直列接続と並列接続 c©大豆生田利章 2009 13

〔解答 1.5〕

I1 =E

R1=

2.4 V2.0Ω

= 1.2 A (1.17)

I2 =E

R2=

2.4 V3.0Ω

= 0.80 A (1.18)

I = I1 + I2 = 1.2A + 0.80A = 2.0 A (1.19)

J

問題 1.8図 1.8に示す回路に対して以下の問に答えよ。

図 1.8問題 1.8

(1) 抵抗 R1 が 2.0 Ω、抵抗 R2 が 1.0Ω、a–b間を流れる電流 I が 3.0Aであるとする。このとき

に各抵抗を流れる電流 I1 と I2 を有効数字および単位に注意して求めよ。

(2) 抵抗 R1 が 2.0Ω、抵抗 R2 が 3.0Ωであり、抵抗 R2 を流れる電流 I2 が 1.0Aであるとする。

このときに a–b間を流れる電流 I を求めよ。

問題 1.9図 1.9の回路において、各抵抗の値は R1 が 2.0Ω、R2 が 4.0 Ω、R3 が 4.0Ωであり、a–b間を流

れる電流 I は 9.0Aであった。ここで、以下の問に答えよ。

(1) a–b間の合成抵抗 Rab を求めよ。

(2) 抵抗 R1 を流れる電流 I1 を求めよ。


(1) 11.3Ωの抵抗と 2.7Ωの抵抗を直列接続したときの合成抵抗

(2) 1.6Ωの抵抗と 2.4 Ωの抵抗を並列接続したときの合成抵抗

(3) 1.2Ω、2.7Ω、14.5Ωの 3個の抵抗を直列接続したときの合成抵抗

(4) 3.0Ω、4.0Ω、12 Ωの 3個の抵抗を並列接続したときの合成抵抗


図 1.9問題 1.9

問題 1.11F

図 1.10の 2つの回路に対して、(1)の回路全体で消費される電力 P1 と (2)の回路全体で消費される

電力 P2 の比、P1 : P2 を求めよ。ただし、k は定数とする。

図 1.10問題 1.11

1.5 直並列回路

【例題 1.6】

図 1.11の (a)から (d)の合成抵抗、Ra, Rb, Rc, Rd を求めよ。

〔解答 1.6〕

(a) R1, R2 の並列合成抵抗は、

R1R2

R1 + R2(1.20)

1.5 直並列回路 c©大豆生田利章 2009 15

図 1.11例題 1.6

なので、

Ra =R1R2

R1 + R2+ R3 =

R1R2 + R2R3 + R3R1

R1 + R2(1.21)

(b) R1 と (R2 + R3)の並列接続なので

Rb =R1(R2 + R3)R1 + R2 + R3

(1.22)

(c) (R1 + R2)と R3 の並列接続なので，

Rc =(R1 + R2)R3

R1 + R2 + R3(1.23)

(d)

1Rd

=1

R1+

1R2

+1

R3(1.24)

より

Rd =R1R2R3

R1R2 + R2R3 + R3R1(1.25)

J

問題 1.12

5.0Ωの抵抗 R1、10Ωの抵抗 R2、15Ωの抵抗 R3 を図 1.12の (a)から (d)のように接続した。各

接続の合成抵抗を有効数字および単位に注意して求めよ。


図 1.12問題 1.12

図 1.13問題 1.13

問題 1.13F

図 1.13において A–B間の合成抵抗 RAB と C–D間の合成抵抗 RCD が等しくなる条件を求めよ。

【例題 1.7】

図 1.14の回路において、端子 a–b間の電圧が 92 Vのとき、抵抗RLの両端の電圧が 20V

となった。このとき、抵抗 r で消費される電力を有効数字および単位に注意して求めよ。

ただし、抵抗 Rの大きさを 12Ω、抵抗 RL の大きさを 10Ωとする。

〔解答 1.7〕

RL を流れる電流は

20V10Ω

= 2.0A (1.26)


図 1.14例題 1.7

Rを流れる電流は

92V − 20V12Ω

=72V12 Ω

= 6.0A (1.27)

r を流れる電流は

6.0A − 2.0A = 4.0A (1.28)

r の消費電力は

20V × 4.0A = 80W (1.29)

J

問題 1.14図 1.15の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧Eは 9.0V、

抵抗 R1 は 1.0Ω、抵抗 R2 は 6.0 Ω、抵抗 R3 は 3.0Ωである。

図 1.15問題 1.14

(1) 回路全体の合成抵抗 Rを求めよ。

(2) R1 を流れる電流 I1 を求めよ。



(5) R1 の消費電力 P1 を求めよ。




問題 1.15図 1.16の回路において、R2 は 3.0Ω、R3 は 7.0Ωである。a–b間の電圧 Vab が 144Vのとき、R3

両端の電圧 V3 が 84Vとなった。このときの以下の各量を有効数字と単位に注意して求めよ。

図 1.16問題 1.15

(1) R3 を流れる電流 I3



(4) R1 両端の電圧 V1

(5) R1

問題 1.16図 1.17の回路において、抵抗 R2 は 1.2Ω、抵抗 R3 は 1.8 Ωである。電源電圧 E が 6.8Vのとき

の抵抗 R3 の消費電力 P3 は 7.2Wであった。ここで以下の各量を求めよ。

図 1.17問題 1.16

(1) 抵抗 R3 を流れる電流 I3

(2) 抵抗 R2 両端の電圧 V2



(5) 抵抗 R1 両端の電圧 V1

(6) 抵抗 R1


問題 1.17

図 1.18に示す直並列回路において、各電流 I, I1, I2, I3, I4 と各端子電圧 V1, V2 を有効数字および

単位に注意して求めよ。ただし、各抵抗の値は R1 は 16Ω、R2 は 40Ω、R3 は 60Ω、R4 は 8.0Ω

であり、電源電圧 E は 40Vであるとする。

図 1.18問題 1.17

問題 1.18

図 1.19に示す直並列回路において合成抵抗R,各電流 I, I1, I2, I3, I4 および各端子間電圧 Vac、Vbc

を有効数字および単位に注意して求めよ。ただし、R0 は 1.0Ω、R1 は 1.6Ω、R2 は 12Ω、R3 は

4.0Ω、R4 は 6.0Ω であり、電源電圧 E は 4.0V である。

図 1.19問題 1.18


問題 1.19図 1.20の回路に関して以下の問いに答えよ。ただし、答は電源電圧 V と抵抗 Rを用いて表すもの

とする。

図 1.20問題 1.19

(1) a–b間を回路を流れる電流 I を求めよ。

(2) d–b間の電圧 Vdb を求めよ。

(3) c点を流れる電流 Ic を求めよ。

(4) a–c間の電圧 Vac を求めよ。

(5) c–d間の電圧 Vcd を求めよ。

問題 1.20

抵抗 R1, R2, R3 および直流電流源 J を用いて図 1.21のように回路を作製した。このとき、各抵抗

を流れる電流 I1、 I2, I3 および各抵抗の端子電圧 V1, V2, V3 を求めよ。

図 1.21問題 1.20

問題 1.21

図 1.22の回路において、抵抗 R1 は 2.0Ω、抵抗 R2 は 8.0Ωである。スイッチ SWを開いたとき


は、電圧計の指示は 1.00V であった。スイッチ SWを閉じたときは、電圧計の指示は 0.96V で

あった。この測定結果を用いて、電池の起電力 E と内部抵抗 rを有効数字および単位に注意して求

めよ。

図 1.22問題 1.21

問題 1.22F

図 1.23の回路において、抵抗 R1 は 0.90Ω、抵抗 R2 は 0.72 Ω である。スイッチ SW1およびス

イッチ SW2の両方を開いたときの電圧計の指示は 1.20 V であった。ここでスイッチ SW1を閉じ

ると、電流計の指示は 1.20Aになった。以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。電流計およ

び電圧計が回路に与える影響は無視できるものとする。

図 1.23問題 1.22

(1) 電圧源の起電力 E はいくらか。

(2) 電圧源の内部抵抗 r を求めよ。

(3) スイッチ SW1とスイッチ SW2の両方を閉じたときの電流計は何アンペアを指示するか。

(4) スイッチ SW1とスイッチ SW2の両方を閉じたときの電圧計は何ボルトを指示するか。

問題 1.23

図 1.24の回路において、C–D間を短絡したときの A–B間の合成抵抗 RAB と、A–B間を短絡した

ときの C–D間の合成抵抗 RCD を求めよ。

問題 1.24

図 1.25の回路において、a点の電圧 Va、b点の電圧 Vb、c点の電圧 Vc、d点の電圧 Vd のそれぞれ

を E を用いて表わせ。


図 1.24問題 1.23

図 1.25問題 1.24

問題 1.25F

図 1.26の回路中の電流 I を Rと E を用いて表せ。

図 1.26問題 1.25

問題 1.26F

図 1.27において、どちらの回路の電流計の指示値も同じ値になった。このときの電池の内部抵抗 r

を R1 および R2 を用いて表せ。

図 1.27問題 1.26

1.6 ブリッジ回路 c©大豆生田利章 2009 23

問題 1.27図 1.28の回路に対して以下の問に答えよ。

図 1.28問題 1.27

(1) A–B間の合成抵抗 RAB を求めよ。

(2) RAB が R0 に等しいときに、 R0 を R1 および R2 を用いて表せ。

(3) (2)の条件が満たされているときに、R0 を流れる電流と R2 を流れる電流が等しくなった。こ

のときに R1 と R2 が満たす条件を求めよ。

問題 1.28F

図 1.29の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、R0 : R1 : R2 = 1 : 2√

2 :(3 − 2

√2)であると

図 1.29問題 1.28

する。

(1) A–B間の合成抵抗を RAB とする。 RAB/R0 を求めよ。

(2) 抵抗 R1 両端の電圧 V1 と A–B間の電圧 VAB の比 V1/VAB を求めよ。

(3) 抵抗 R0 両端の電圧 V0 と A–B間の電圧 VAB の比 V0/VAB を求めよ。

問題 1.29F

図 1.30の回路において A–B間の合成抵抗が R0 であり、さらに V = 2V ′ の関係が成立する。この

ときの R1 および R2 を R0 を用いて表せ。

1.6 ブリッジ回路


図 1.30問題 1.29

【例題 1.8】

図 1.31の a–b間の合成抵抗 Rab を求めよ。ただし、抵抗 R1 は 2.0Ω、抵抗 R2 は 8.0Ω、

抵抗 R3 は 3.0Ω、抵抗 R4 は 12 Ω、抵抗 R5 は 6.0Ωである。

図 1.31例題 1.8

〔解答 1.8〕

R1 × R4 = R2 × R3 (1.30)

より、ブリッジの平衡条件が成立するので、R5 は無視できる。

R1 + R3 = 5.0Ω (1.31)

R2 + R4 = 20Ω (1.32)

なので

Rab =5.0Ω × 20 Ω5.0Ω + 20Ω

= 4.0Ω (1.33)

J

問題 1.30図 1.32の回路において抵抗 R5 に電流が流れていないという。ここで、以下の問に答えよ。ただ

し、抵抗R1 は 2.0Ω、抵抗 R2 は 4.0Ω、抵抗R3 は 3.0 Ω、抵抗R5 は 1.0Ω、電源電圧 E は 1.8V

である。


図 1.32問題 1.30

(1) 抵抗 R4 の値を求めよ。

(2) 電流計 A は何アンペアを指示するか求めよ。

問題 1.31図 1.33に示す回路について、以下の問に有効数字および単位に注意して答えよ。ただし、抵抗Rの

値は 16Ωとする。

図 1.33問題 1.31

(1) a–b間の合成抵抗 Rab を求めよ。

(2) c–d間の合成抵抗 Rcd を求めよ。

(3) a–d間の合成抵抗 Rad を求めよ。

問題 1.32F

図 1.34の回路について、以下の問に有効数字および単位に注意して答えよ。ただし、抵抗 R1 は

4.0Ω、抵抗 R2 は 6.0 Ω、抵抗 R3 は 3.0Ω、抵抗 R4 は 2.0Ω、抵抗 R5 は 5.0Ωであるとする。

(1) a–b間の抵抗 Rab を求めよ。

(2) a–c間の抵抗 Rac を求めよ。

(3) a–d間の抵抗 Rad を求めよ。

(4) b–c間の抵抗 Rbc を求めよ。

(5) c–d間の抵抗 Rcd を求めよ。


図 1.34問題 1.32

問題 1.33以下の各場合について、図 1.35の端子 A–B間の合成抵抗を有効数字および単位に注意して求めよ。

ただし、抵抗 R1 は 10Ω、抵抗 R2 は 12Ω、抵抗 R3 は 6.0Ω、抵抗 R4 は 5.0Ω、抵抗 R5 は 6.0Ω

とする。

図 1.35問題 1.33

(1) スイッチ SW1、スイッチ SW2どちらも開いている場合

(2) スイッチ SW1を開いて、スイッチ SW2を閉じている場合

(3) スイッチ SW1を閉じて、スイッチ SW2を開いている場合

(4) スイッチ SW1、スイッチ SW2どちらも閉じている場合

問題 1.34F

図 1.36に示す回路でスイッチ SWを閉じても開いても、電流 I は 25Aで変化しなかった。このと

きの抵抗 R3 と抵抗 R4 の値を有効数字および単位に注意して求めよ。ただし、抵抗 R1 は 1.0Ω、

抵抗 R2 は 4.0Ω、電源電圧 E は 100Vであるとする。

問題 1.35F

図 1.37のように抵抗 R1, R2, R3, R4、Rx、電圧 E の直流電源、および電流計 A からなる回路があ

る。ここで、以下の設問に答えよ。ただし、R1R4 6= R2R3 とする。

(1) Rx を調節して中央の電流計 A に電流が流れないようにした。このときの Rx の値を R1 から

R4 を用いて表わせ。

(2) (1)の条件が満たされているときの各電流 I1、I2、I3 を R1 から R4 および E を用いて表せ。


図 1.36問題 1.34

図 1.37問題 1.35

問題 1.36F

図 1.38の回路においてスイッチ SWを閉じたときの電圧 V を VON とし、スイッチ SWを開いた

ときの電圧 V を VOFF とすると、VON = 2VOFF であった。抵抗 R と抵抗 r の関係を以下の手順

にしたがって求めよ。

図 1.38問題 1.36

(1) VON を電源電圧 E を用いて表せ。


(2) VOFF を E, R, r を用いて表せ。

(3) r を Rを用いて表せ。

問題 1.37図 1.39の回路に関して以下の問に答えよ。

図 1.39問題 1.37

(1) 図 1.39 (a)のように A–B間に何も接続しないときに 2Rの抵抗を流れる電流 I を求めよ。

(2) 図 1.39 (b)のように A–B間に抵抗 r を接続すると、I = 0になった。抵抗 r を抵抗 Rを用い

て表せ。

問題 1.38F

図 1.40の回路において、各抵抗の値はR2 は 7.0Ω、R4 は 1.0 Ω、R5 は 1.0Ωである。電源電圧 E

が 8.0Vのときに電流 I4 は 2.0A、電流 I5 は 1.0Aになった。ここで、以下の各量を有効数字およ

び単位に注意して求めよ。（I5 6= 0なのでブリッジの平衡条件は成立していないことに注意する。）

図 1.40問題 1.38

(1) c–d間の電圧 Vcd

(2) c–b間の電圧 Vcb

(3) a–c間の電圧 Vac



(5) 抵抗 R1 の値

(6) d–b間の電圧 Vdb

(7) a–d間の電圧 Vad



(10) 抵抗 R3 の値

問題 1.39F

図 1.41の回路において、以下の手順に従って、b–c間を流れる電流 I0 を求めよ。（ b–c間の抵抗は

図 1.41問題 1.39

0Ωなので、I0 がどんな値でも b–c間の電位差はオームの法則から 0 Ω × I0 = 0V となる。よっ

て、この関係からは I0 は決定できない。）

(1) a–d間の合成抵抗を求めよ。

(2) 回路全体の電流 I を求めよ。

(3) I は a点で I1 と I2 に分かれる。分流の式を利用して，抵抗 R1 を流れる電流 I1 を求めよ。

(4) d点で I3 と I4 が合わさって I となる。分流の式を利用して，抵抗 R3 を流れる電流 I3 を求

めよ。

(5) b点で I1 は I0 と I3 に分かれる。これを用いて I0 を求めよ。

30 c©大豆生田利章 2009

第 2章

直流回路網

2.1 キルヒホッフの法則

【例題 2.1】

図 2.1に示す回路において、回路を流れる電流 I と各抵抗の両端の電圧 V1, V2 を有効数

字および単位に注意して求めよ。ただし、電源電圧 E1 は 20V、電源電圧 E2 は 5.0V、

電源電圧 E3 は 10V、抵抗 R1 は 20Ω、抵抗 R2 は 30Ωであるとする。

図 2.1例題 2.1

〔解答 2.1〕

閉路の向きを時計回りに取る。キルヒホッフの電圧則より

E1 − E2 + E3 = R1I + R2I (2.1)

これより

I =E1 − E2 + E3

R1 + R2=

20V − 5.0V + 10V20 Ω + 30Ω

=25V50 Ω

= 0.50A (2.2)

2.1 キルヒホッフの法則 c©大豆生田利章 2009 31

である。各抵抗の両端の電圧はオームの法則より

V1 = R1I = 20Ω × 0.50A = 10V (2.3)

V2 = R2I = 30Ω × 0.50A = 15V (2.4)

J

問題 2.1

図 2.2の各閉路に対してキルヒホッフの電圧則を適用した式を示せ。

図 2.2問題 2.1


(1) 節点 a、節点 bおよび節点 cに対してキルヒホッフの電流則を適用した結果を記せ。

(2) 図中の閉路に対してキルヒホッフの電圧則を適用した結果を記せ。

問題 2.3

図 2.4に示す回路中の閉路 A、閉路 B および閉路 C にキルヒホッフの電圧則を適用した結果を

記せ。

32 c©大豆生田利章 2009 第 2章直流回路網

図 2.3問題 2.2

図 2.4問題 2.3

2.2 枝電流法

【例題 2.2】

キルヒホッフの法則を用いて、図 2.5の回路中の電流 I1, I2, I3 を求めよ。

〔解答 2.2〕

キルヒホッフの電流則より

I1 − I2 − I3 = 0 (2.5)

キルヒホッフの電圧則より

E1 = R1I1 + R3I3 (2.6)

E2 = R2I2 − R3I3 (2.7)

2.2 枝電流法 c©大豆生田利章 2009 33

図 2.5例題 2.2

式 (2.5)を式 (2.6)および式 (2.7)に代入して、

E1 = (R1 + R3) I1 − R3I2 (2.8)

E2 = −R3I1 + (R2 + R3) I2 (2.9)

これより

I1 =(R2 + R3)E1 + R3E2

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.10)

I2 =R3E1 + (R1 + R3) E2

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.11)

I3 = I1 − I2 =R2E1 − R1E2

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.12)

J

問題 2.4

図 2.6の回路において I1, I2, I3 をキルヒホッフの法則を用い、有効数字と単位に注意して求めよ。

ただし、電源電圧 E1 は 12V、電源電圧 E2 は 30V であり、抵抗 R は 3.0Ω、抵抗 r は 5.0Ωで

あるとする。

図 2.6問題 2.4


問題 2.5以下の手順にしたがって図 2.7の回路の電圧 Vo を求めよ。ただし、端子 a–b間は開放している、つ

まり I0 = 0であるとする。

図 2.7問題 2.5

(1) キルヒホッフの電流則より枝電流 I1 と I2 の関係を求めよ。

(2) キルヒホッフの電圧則より枝電圧 V1 と V2 の関係を求めよ。

(3) 枝電圧 V1 を E1, R1, I1 を用いて表せ。

(4) 枝電圧 V2 を E2, R2, I2 を用いて表せ。

(5) I1, I2 を求めよ。

(6) Vo を求めよ。

問題 2.6以下の手順に従って図 2.8の回路の電流 I1, I2, I3 を求めよ。

図 2.8問題 2.6

(1) キルヒホッフの電流則より枝電流 I1, I2, I3 の関係を求めよ。

(2) 閉路 A と閉路 Bにキルヒホッフの電圧則を適用せよ。

(3) I1, I2, I3 を求めよ。

2.3 閉路方程式 c©大豆生田利章 2009 35

2.3 閉路方程式

【例題 2.3】

図 2.9の回路に対して以下の問に図中の記号を用いて答えよ。

図 2.9例題 2.3

(1) 閉路電流 IA, IB に対する閉路方程式を記せ。

(2) 閉路電流 IA, IB を求めよ。

(3) 抵抗 R2 に電流が流れない条件を求めよ。

〔解答 2.3〕

(1) 閉路電流 IA に対する閉路方程式は

E1 − E2 = (R1 + R2) IA + R2IB (2.13)

閉路電流 IB に対する閉路方程式は

E3 − E2 = R2IA + (R2 + R3) IB (2.14)

(2) [式 (2.13)× (R2 + R3) −式 (2.14)× R2] より

IA =(R2 + R3) (E1 − E2) − R2 (E3 − E2)

(R1 + R2) (R2 + R3) − R22 =

(R2 + R3)E1 − R3E2 − R2E3

R1R2 + R2R3 + R3R1

(2.15)

[式 (2.13)× R2 −式 (2.14)× (R1 + R2)] より

IB =R2 (E1 − E2) − (R1 + R2) (E3 − E2)

R22 − (R1 + R2) (R2 + R3)

=−R2E1 − R1E2 + (R1 + R2)E3

R1R2 + R2R3 + R3R1

(2.16)


(3) R3 を流れる電流は

IA + IB =R3E1 − (R1 + R3) E2 + R1E3

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.17)

なので、R3 に電流が流れない条件は

R3E1 + R1E3 = (R1 + R3)E2 (2.18)

となる。

J

問題 2.7

図 2.10に示す回路において、各抵抗は R1 が 5.0 Ω、R2 が 10 Ω、R3 が 5.0Ωであるとする。電源

電圧 E1 が 10V、E2 が 15V であるこのときの図中の閉路電流 Ia と閉路電流 Ib を有効数字およ

び単位に注意して求めよ。

図 2.10問題 2.7

問題 2.8図 2.11の回路に対して以下の問に図中の記号を用いて答えよ。

図 2.11問題 2.8

(1) 閉路電流 Ia, Ib に対する閉路方程式を記せ。

(2) 閉路電流 Ia, Ib を求めよ。


【例題 2.4】

図 2.12に示す回路の閉路電流 I1, I2, I3 を有効数字および単位に注意して求めよ。ただ

し、各抵抗は R1 が 10Ω、R2 が 30Ω、R3 が 20Ω、R4 が 5.0Ω、R5 が 10Ω、各電源電

圧は E1 が 10 V、E2 が 40Vであるとする。

図 2.12問題 2.8

〔解答 2.4〕

閉路方程式は

E1 = (R1 + R4) I1 − R4I2 (2.19)

0 = −R4I1 + (R2 + R4 + R5) I2 + R5I3 (2.20)

E2 = R5I2 + (R3 + R5) I3 (2.21)

問題の数値を代入して

10 = 15I1 − 5.0I2 (2.22)

0 = −5.0I1 + 45I2 + 10I3 (2.23)

40 = 10I2 + 30I3 (2.24)

式 (2.23)より

I3 = 0.50I1 − 4.5I2 (2.25)

式 (2.25)を式 (2.24)に代入して

40 = 15I1 − 125I2 (2.26)

[式 (2.26)−式 (2.22)]より

30 = −120I2 (2.27)

I2 = −0.25A (2.28)

[25 ×式 (2.22)−式 (2.26)]より

210 = 360I1 (2.29)

I1 = 0.58 /3 · · · = 0.58A (2.30)


式 (2.25)より

I3 = 0.50I1 − 4.5I2 = 1.4 /1 · · · = 1.4A (2.31)

以上の結果をまとめると

I1 = 0.58A, I2 = −0.25A, I3 = 1.4A (2.32)

J

問題 2.9図 2.13の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧 E1 は

12.0V、電源電圧 E3 は 4.0V,抵抗 R1 は 1.0Ω、抵抗 R2 は 1.0Ω、抵抗 R3 は 2.0Ω、抵抗 R4 は

1.0Ω、抵抗 R5 は 2.0 Ωであるとする。

図 2.13問題 2.9

(1) 回路の閉路方程式を図中の記号を用いて記せ。

(2) 各閉路電流 I1, I2, I3 を求めよ。

問題 2.10図 2.14の回路に関して、以下の問に答えよ。

図 2.14問題 2.10

(1) 閉路方程式を示せ。


(2) 各閉路電流 Ia、Ib、Ic を求めよ。


図 2.15問題 2.11

(1) 閉路電流 Ia, Ib, Ic に対する閉路方程式を図中の記号を用いて記せ。

(2) 電源電圧 E1 が 1.0V、電源電圧 E2 が 2.0V、R1、R3 および R4 の 3つの抵抗は 1.0Ω、R2

は 2.0Ωであるとする。このときの Ia および Ib を有効数字および単位に注意して求めよ。


図 2.16問題 2.12

(1) 回路の閉路方程式を記せ。

(2) 抵抗 R1 が 1.0Ω、抵抗 R2 が 2.0Ω、抵抗 R3 が 1.0 Ω、抵抗 R4 が 1.0Ω、抵抗 R5 が 2.0Ω、

電源電圧 Ea が 2.1V、電源電圧 Eb が 4.2Vであるとする。このときの閉路電流 Ia, Ib, Ic を

有効数字と単位に注意して求めよ。

問題 2.13F

図 2.17の回路に関して以下の問に答えよ。


図 2.17問題 2.13

(1) Ia、Ib、Ic に関する閉路方程式を記せ。

(2) 抵抗 Ra, Rb, Rc, Rd の値がすべて等しく Rであるとする。このときの、Ia, Ib, Ic を E1, E2,

E3, Rを用いて表せ。

問題 2.14F

抵抗 Rと直流電源 Ea および Eb を用いて図 2.18のような回路を作った。この回路の閉路電流 I1、

I2、I3 および I4 を図に示すように決める。ここで、以下の問に答えよ。

図 2.18問題 2.14

(1) 回路の閉路方程式を示せ。

(2) 各閉路電流を求めよ。

2.4 重ね合わせの理

【例題 2.5】

以下の手順に従い、、図 2.19の回路中 R2 を流れる電流 I を重ね合せの理を用いて求

めよ。

(1) E1 だけが存在するときに R2 に流れる電流 I1 を求めよ。

2.4 重ね合わせの理 c©大豆生田利章 2009 41

図 2.19例題 2.5



(4) 全ての電源が存在するときに流れる電流 I を求めよ。

〔解答 2.5〕

電源が 1個だけの回路は図 2.20のようになる。

図 2.20例題 2.5解答

(1)

I1 =E1

R1 +R2R3

R2 + R3

× R3

R2 + R3=

R3E1

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.33)

(2)

I2 = − E2

R2 +R1R3

R1 + R3

= − (R1 + R2)E2

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.34)

(3)

I3 =E3

R3 +R1R2

R1 + R2

× R1

R1 + R2=

R1E3

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.35)


(4)

I = I1 + I2 + I3 =R3E1 + R1E3 − (R1 + R2)E2

R1R2 + R2R3 + R3R1(2.36)

J

問題 2.15

図 2.21の回路中の電流 I を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 2.21問題 2.15

問題 2.16

重ね合せの理を用いて図 2.22の回路中の電流 I を求め、E1, E2 および Rを用いて表せ。

図 2.22問題 2.16

問題 2.17F

図 2.23の回路において R2 を流れる電流 I を重ね合せの理を用いて求めよ。ただし、抵抗 R1 は

4.0Ω、抵抗 R2 は 2.0 Ω、抵抗 R3 は 3.0Ω、抵抗 R4 は 6.0 Ω、電源電圧 E1 は 8.0V、電源電圧

E2 は 6.0Vであるとし、有効数字に注意する。

問題 2.18

図 2.24の回路中の a点の電圧 Va を重ね合せの理を用いて求めよ。


図 2.23問題 2.17

図 2.24問題 2.18

問題 2.19

図 2.25の回路中の抵抗 R3 両端の電圧 V を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 2.25問題 2.19

問題 2.20

図 2.26の回路中の a点の電圧を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 2.26問題 2.20


問題 2.21

図 2.27の回路における電圧 V を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 2.27問題 2.21

問題 2.22F

図 2.28の回路における電圧 V を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 2.28問題 2.22

問題 2.23F

図 2.29中の電流 I を重ね合せの理を用いて求めよ。ただし、電源電圧 E1 は 9.0V、電源電圧 E2

は 4.4V、抵抗 R1 は 3.0Ω、抵抗 R2 は 2.0Ω、抵抗 R3 は 6.0Ω、抵抗 R4 は 4.0Ω、抵抗 R5 は

4.0Ωである。

問題 2.24F

図 2.30中の電流 I を重ね合せの理を用いて求め、E1, E2 および Rを用いて表せ。

問題 2.25F

図 2.31の回路中の電流 I を重ね合せの理を用いて求めよ。ただし、電源電圧 E1 を 4.8V、電源電

圧 E2 を 1.6V、抵抗 R1 を 6.0Ω、抵抗 R2 を 2.0Ω、抵抗 R3 を 3.0Ω、抵抗 R4 を 6.0Ω、抵抗

R5 を 2.0Ω、抵抗 R6 を 4.0Ω とする。


図 2.29問題 2.23

図 2.30問題 2.24

図 2.31問題 2.25


2.5 鳳・テブナンの定理

【例題 2.6】

図 2.32の (a)から (c)の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 と内部抵抗 R0 を求めよ。ただ

し、電源電圧 E1 は 2.4V、電源電圧 E2 は 1.1 V、抵抗 R1 は 2.0Ω、抵抗 R2 は 6.0Ω、

抵抗 R3 は 1.2Ωである。

図 2.32例題 2.6

〔解答 2.6〕

図 2.32 (a)については以下のとおり。

E0 =R2E1

R1 + R2=

6.0Ω × 2.4V2.0Ω + 6.0Ω

= 1.8V (2.37)

R0 =R1R2

R1 + R2=

2.0Ω × 6.0Ω2.0Ω + 6.0Ω

= 1.5Ω (2.38)

図 2.32 (b)については以下のとおり。

E0 =R2E1

R1 + R2=

6.0Ω × 2.4V2.0 Ω + 6.0Ω

= 1.8V (2.39)

R0 =R1R2

R1 + R2+ R3 = 1.5Ω + 1.2Ω = 2.7Ω (2.40)

図 2.32 (c)については以下のとおり。

E0 =R2E1

R1 + R2+ E2 = 1.8V + 1.1V = 2.9V (2.41)

R0 =R1R2

R1 + R2+ R3 = 1.5Ω + 1.2 Ω = 2.7Ω (2.42)

J

問題 2.26図 2.33において、電源電圧 E は 3.0V、抵抗 R1 は 3.0Ω、抵抗 R2 は 2.0Ωである。以下の各量

を鳳・テブナンの定理とノートンの定理を用いて、有効数字と単位に注意して求めよ．ただし、端

子 Bを電圧の基準とする。

2.5 鳳・テブナンの定理 c©大豆生田利章 2009 47

図 2.33問題 2.26

(1) 等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0

(2) 等価電流源の電源電流 J0 および内部コンダクタンス G0

問題 2.27

図 2.34の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0 を求めよ。ただし、端子 Bを電圧の

基準とする。

図 2.34問題 2.27

問題 2.28


基準とする。

図 2.35問題 2.28

問題 2.29F

鳳・テブナンの定理を用いて、図 2.36の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0 を求めよ。

ただし、端子 Bを電圧の基準とする。


図 2.36問題 2.29

問題 2.30F


基準とする。

図 2.37問題 2.30

問題 2.31鳳・テブナンの定理およびノートンの定理を用いて、以下の問に答えよ。ただし、端子 Bを電圧の

基準とする。

図 2.38問題 2.31

(1) 図 2.38の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0 を求めよ。

(2) 図 2.38の回路の等価電流源の電源電流 J0 および内部コンダクタンス G0 を求めよ。


(1) 鳳・テブナンの定理を用いて、図の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0 を求

めよ。

2.5 鳳・テブナンの定理 c©大豆生田利章 2009 49

図 2.39問題 2.32

(2) A–B間を短絡したときに流れる電流 I0 を求めよ。

問題 2.33F


図 2.40問題 2.33

(1) 鳳・テブナンの定理を用いて、図の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0 を求

めよ。

(2) A–B間を短絡したときに流れる電流 I0 を求めよ。

問題 2.34F

図 2.41の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗R0 を有効数字と単位に注意して求めよ。

ただし、E1 = 1.5V, E2 = 2.0V, E3 = 1.2V, R1 = 1.5Ω, R2 = 1.0Ω, R3 = 0.40Ωである。

図 2.41問題 2.34

問題 2.35F

図 2.42の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0 を求めよ。


図 2.42問題 2.35

問題 2.36F

電源電圧 E、内部抵抗 r の同じ特性を持つ電池を組み合わせて、図 2.43の (a)から (e)のようにし

た。各電池は破線で囲んで表示している。図 2.43の (a)から (e)に対して等価電圧源の電源電圧 E0

と内部抵抗 R0 を求めよ。

図 2.43問題 2.36


第 3章

正弦波交流とフェーザ

3.1 正弦波交流

【例題 3.1】

以下の問の各量を有効数字および単位に注意して求めよ。

(1) 周波数 f が 1.6 kHzの交流の角周波数 ω

(2) 周期が T が 2.5µsの交流の周波数 f

(3) 実効値 Ie が 17mAの交流正弦波電流の最大値 Im

(4) 最大値 Vm が 3.5Vの交流正弦波電圧の実効値 Ve

(5) 周波数 f が 50Hzのときの静電容量 C が 64µFのコンデンサの容量性リアクタンス

XC

(6) 周波数 f が 3.2 kHzのときのインダクタンス Lが 50mHのコイルの誘導性リアクタ

ンス XL

〔解答 3.1〕

(1)

ω = 2πf = 2π ×(1.6 × 103 Hz

)= 1.0 /0 · · · × 104 rad/s

= 1.0 × 104 rad/s = 10 krad/s (3.1)

(2)

f =1T

=1

2.5 × 10−6 s= 4.0 × 105 Hz = 0.40MHz (3.2)

52 c©大豆生田利章 2009 第 3章正弦波交流とフェーザ

(3)

Im =√

2Ie =√

2 ×(17 × 10−3 A

)= 24. /0 · · · × 10−3 A = A = 24mA (3.3)

(4)

Ve =Vm√

2=

3.5V√2

= 2. /45

/7 · · · V = 2.5 V (3.4)

(5)

XC =1

ωC=

12πfC

=1

2π × 50Hz × (64 × 10−6 F)

= /45

/90. /7 · · · Ω = 50Ω (3.5)

(6)

XL = ωL = 2πfL = 2π ×(3.2 × 103 Hz

)×

(50 × 10−3 H

)= 1.0 /0 · · · × 103 Ω = 1.0 × 103 Ω = 1.0 kΩ (3.6)

J

問題 3.1

ある正弦波交流電圧をオシロスコープで観測したところ、図 3.1のようになった。目盛のレンジが

50 µs/div および 2 V/div であるとして、周波数 f と最大値 Vm を有効数字 2桁で求めよ。

図 3.1問題 3.1

問題 3.2有効数字および単位に注意して以下の問いに答えよ。

(1) 周波数 1.6 kHzの交流の角周波数を求めよ。

(2) 周波数 8.00 kHzの正弦波交流の周期を求めよ。

3.1 正弦波交流 c©大豆生田利章 2009 53

(3) 周期が 2.5 µsの交流の周波数を求めよ。

(4) 角周波数 220 rad/sの正弦波交流の周波数を求めよ。

(5) 実効値 17mAの交流正弦波電流の最大値を求めよ。

(6) 実効値 110Vの正弦波交流電圧の最大値を求めよ。

(7) 実効値 212Vの正弦波交流電圧の最大値を求めよ。

(8) 最大値 3.5Vの交流正弦波電圧の実効値を求めよ。

(9) 最大値 17.0mAの正弦波交流電流の実効値を求めよ。

(10) 最大値 71mAの正弦波交流電流の実効値を求めよ。

問題 3.3

実効値 50V、角周波数 100 rad/s、初期位相π

3radの正弦波交流電圧を時間 tの関数 v(t)で表せ。

有効数字は考えなくて良い。

問題 3.4角周波数が ω である正弦波交流電流の瞬時値 i(t)が

i(t) = 2 sin(ωt +π

3) [A] (3.7)

で与えられている。ここで以下の時刻 tにおける瞬時値 i(t)を求めよ。ただし、T は周期である。

(1) t = T/12

(2) t = 5T/24

(3) t = 2T/3

(4) t = 2T

(5) t = 7T/3

問題 3.5

周波数 50.0Hz、実効値 100V 、初期位相π

6radの正弦波交流電圧の t = 0.833msにおける瞬時

値を有効数字 3桁で求めよ。

問題 3.6ある交流電圧の瞬時値 v(t)が以下の式で与えられている。

v(t) = 70.7 sin(629t + 1.57) [V] (3.8)

この交流電圧に関して以下の各量を有効数字を考慮して求めよ。円周率 π は 3.14とする。

(1) 最大値 Vm

(2) 実効値 Ve

(3) 角周波数 ω

(4) 周波数 f

(5) 初期位相（位相角）θ

(6) 時刻 tが 2.50msのときの瞬時値 v(t)

問題 3.7有効数字と単位に注意して以下の各量を求めよ。


C v ( t )

i ( t )

図 3.2例題 3.2

(1) インダクタンス 5.0mHのコイルの角周波数 2.0 krad/sにおける誘導性リアクタンス

(2) 静電容量 25 pFのコンデンサの角周波数 2.0Mrad/sにおける容量性リアクタンス

(3) インダクタンス 13mHのコイルの周波数 60 Hzにおける誘導性リアクタンス

(4) 静電容量 10 nFのコンデンサの周波数 0.80 kHzにおける容量性リアクタンス

(5) インダクタンス 2.0mHのコイルの誘導性リアクタンスが 44Ωになる周波数

(6) 静電容量 0.10 µFのコンデンサの容量性リアクタンスが 4.0 kΩになる周波数

(7) 静電容量 4.0 µFのコンデンサに周波数 60 Hzの正弦波交流電圧を加えたときの容量性リアク

タンス

(8) インダクタンス 50mHのコイルに周波数 3.2 kHzの正弦波交流電圧を加えたときの誘導性リ

アクタンス

(9) 周波数 50 Hz、大きさ 100V の正弦波交流電圧を加えると、 47mAの電流が流れるコンデン

サの静電容量

(10) 周波数 1.5 kHz、大きさ 50Vの正弦波交流電圧を加えると、 76mAの電流が流れるコイルの

インダクタンス

【例題 3.2】

図 3.2のように静電容量 500µFのコンデンサ C に対して、瞬時値 v(t)が

v(t) = 49.2 sin(250t − 30) [V] (3.9)

である交流電圧を加えた。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 電圧の角周波数 ω を求めよ。

(2) 電圧の実効値 Ve を求めよ。

(3) コンデンサの容量性リアクタンス XC を求めよ。

(4) コンデンサを流れる電流の実効値 Ie を求めよ。

(5) コンデンサを流れる電流の瞬時値 i (t)を求めよ。

〔解答 3.2〕

(1)

ω = 250 rad/s (3.10)

3.1 正弦波交流 c©大豆生田利章 2009 55

図 3.3問題 3.8

(2) 最大値が 49.2Vなので

Ve =49.2V√

2= 34. /7

8/8 · · · V = 34.8V (3.11)

(3) 容量性リアクタンス XC の定義より

XC =1

ωC=

1250 rad/s × 500µF

= 8.00Ω (3.12)

(4) Ve = XCIe より

Ie =Ve

XC=

34.8V8.00Ω

= 4.35A (3.13)

(5) コンデンサを流れる電流の位相は両端の電圧の位相よりπ

2= 90 大きいので、

i (t) =√

2Ie sin (250t − 30 + 90) = 6.15 sin (250t + 60) [A] (3.14)

となる。

J

問題 3.8図 3.3のように 5.0Ωの抵抗 Rに対して瞬時値 v が

v(t) = 10 sin(200t +

π

3

)[V] (3.15)

である交流電圧 v を加えた。このとき、以下の問いに答えよ。解答は根号および円周率が残ったま

までよい。

(1) 電圧の角周波数 ω を求めよ。

(2) 電圧の実効値 Ve を求めよ。

(3) 抵抗を流れる電流の実効値 Ie を求めよ。

(4) 抵抗を流れる電流の瞬時値 i (t)を求めよ。

問題 3.9図 3.4のようにインダクタンス 20 mHのコイル Lを流れる電流の瞬時値 iが

i (t) = 8 sin(300t +

π

6

)[A]

である。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、有効数字は考えなくて良い。


図 3.4問題 3.9

(1) 電流の角周波数 ω を求めよ。

(2) 電流の実効値 Ie を求めよ。

(3) コイルの誘導性リアクタンスXL を求めよ。

(4) コイル両端の電圧の実効値 Ve を求めよ。

(5) コイル両端の電圧の時間変化 v (t)を求めよ。

問題 3.10インダクタンス Lが 450mHのコイルに加わっている交流電圧の瞬時値が

v(t) = 141 sin (314πt + 0.785) [V] (3.16)

であるとする。ここで、以下の問に答えよ。ただし、π = 3.14、√

2 = 1.41とする。

(1) 交流電圧の実効値は何ボルトか求めよ。

(2) 交流電圧の周波数は何ヘルツか求めよ。

(3) コイルの誘導性リアクタンスは何オームか求めよ。

(4) 回路を流れる電流の実効値は何アンペアか求めよ。

(5) 回路を流れる電流の時間関数 i (t)を求めよ。

問題 3.11あるコンデンサに瞬時値が

v(t) = 212 sin (785t − 30.0) [V] (3.17)

である交流電圧を加えたところ、回路を流れる電流の実効値が 12.5A になった。（問題の都合上、

初期位相の単位はラジアンでなくて度である。）ここで、以下の設問に有効数字および単位に注意し

て答えよ。ただし、π = 3.14、√

2 = 1.41とする。

(1) 電圧の実効値 Ve はいくらか

(2) 電圧の周波数 f はいくらか

(3) コンデンサの容量性リアクタンスXC はいくらか

(4) コンデンサの静電容量 C はいくらか

(5) 電流の時間変化 i (t)を記せ

3.2 複素数の表示形式と各種計算

【例題 3.3】

3.2 複素数の表示形式と各種計算 c©大豆生田利章 2009 57

z1 = 1− jおよび z2 = −√

3+ jであるときに以下の計算を行ない、括弧内の形式で表せ。

(1) z1 + z2（直交形式）

(2) z1 − z2（直交形式）

(3) z1z2（直交形式）

(4)z1

z2（直交形式）

(5) z1 （極形式）

(6) z2 （極形式）

(7) z1z2（極形式）

(8)z1

z2（極形式）

〔解答 3.3〕

(1)

z1 + z2 = (1 − j) + (−√

3 + j) = 1 −√

3 (3.18)

(2)

z1 − z2 = (1 − j) − (−√

3 + j) = (1 +√

3) − j2 (3.19)

(3)

z1z2 = (1 − j) × (−√

3 + j) = (1 −√

3) + j(1 +√

3) (3.20)

(4)

z1

z2=

1 − j−√

3 + j=

1 − j−√

3 + j· −

√3 − j

−√

3 − j

=(−1 −

√3) + j(−1 +

√3)

4(3.21)

(5)

z1 =√

12 + (−1)2∠ tan−1 −11

=√

2∠(−π

4

)(3.22)

(6)

z2 =

√(−√

3)2

+ 12∠ tan−1 1−√

3= 2∠5π

6(3.23)


(7)

z1z2 =√

2∠(−π

4

)× 2∠5π

6

=(√

2 × 2)

∠(−π

4+

5π

6

)= 2

√2∠7π

12(3.24)

(8)

z1

z2=

√2∠

(−π

4

)2∠5π

6

=√

22

∠(−π

4− 5π

6

)

=1√2∠

(−13π

12

)=

1√2∠11π

12(3.25)

（角度 θ は通常 −π ≤ θ ≤ π の範囲で表示する。）

J

問題 3.12以下の複素数 z1 から z6 を複素平面上に表示し、直交形式のものは極形式に、極形式のものは直交

形式に変換せよ。

(1) z1 = 1 + j

(2) z2 = −1 + j√

3

(3) z3 = −j

(4) z4 = 1∠π

4

(5) z5 = 3∠π

6

(6) z6 = 2∠7π

4

問題 3.13以下の問に答えよ。

(1) 複素数√

3 + jを指数形式で表せ。

(2) 複素数 −1 − jを指数形式で表せ。

(3) 複素数 2√

3 exp(−j

π

3

)を直交形式で表せ。

(4) 複素数√

2 exp

(j3π

4


(5) 複素数 exp(jπ

2


(6) 複素数 2 e jπ を直交形式で表せ。

問題 3.14図 3.5の複素平面に関して以下の問に答えよ。1目盛を 1とする。

(1) z1 を直交形式で表せ。

(2) z2 を直交形式で表せ。

3.2 複素数の表示形式と各種計算 c©大豆生田利章 2009 59

図 3.5問題 3.14

(3) z3 を極形式で表せ。

(4) z4 を極形式で表せ。

問題 3.15以下の複素数を計算せよ。

(1) (5 + j2) × (3 − j4)

(2) (4 + j2) ÷ (3 − j)

(3)√

3∠2π

5×

√2∠3π

5

(4) 6 exp

(−j

4π

7

)÷ 2 exp

(j3π

7

)問題 3.16z1 =

√3 + j

√2、z2 =

√6 − j2のとき、下の計算を行い、直交形式で表せ。

(1) z1 + z2

(2) z1z2

(3) z1z2

(4)z1

z2

問題 3.17z1 =

√2∠π

4、z2 = 2∠

(−π

6

)のとき、以下の計算を行い、極形式で表せ。

(1) z1z2

(2) z1z2

(3) z1/z2

(4) z1 + z2

問題 3.18

z =−1 + j

√3

2であるときに、以下の計算を行え。

(1) z2

(2) z3

(3) z + z2 + z3

(4) z−1


(5) zz

3.3 フェーザ

【例題 3.4】

瞬時値 i(t)または v(t)が以下の式で与えられる各正弦波交流電流・電圧のフェーザを指

数形式・極形式および直交形式で記せ。

(1) i(t) =√

2 sin ωt [A]

(2) i(t) = 2√

2 sin(ωt − π

2

)[A]

(3) v(t) = −5 sin ωt [V]

(4) v(t) = −√

6 sin(ωt + π

6

)[V]

〔解答 3.4〕

(1)

i (t) =√

2 sin ωt ⇔ I = 1 e0 = 1∠0 = 1 (3.26)

(2)

i (t) = 2√

2 sin(ωt − π

2

)⇔ I = 2 e−

π2 = 2∠

(−π

2

)= −j2 (3.27)

(3)

v (t) = −5 sin ωt = 5 sin (ωt + π) ⇔ V =5√2

eπ =5√2∠π = − 5√

2(3.28)

(4)

v(t) = −√

6 sin(ωt +

π

6

)=

√6 sin

(ωt − 5π

6

)⇔

V =√

3 e−5π6 =

√3∠

(−5π

6

)= −3

2− j

√3

2(3.29)

J

問題 3.19以下の正弦波交流の瞬時値（時間関数）をフェーザ（極形式）に、フェーザ（極形式）を瞬時値（時

間関数）に直せ。ただし、tは時刻、ω は角周波数である。

3.3 フェーザ c©大豆生田利章 2009 61

(1) i(t) = 12 sin(ωt +

π

3

)[A]

(2) v(t) = 10 sin(ωt − π

12

)[V]

(3) I = 3∠(−π

4

)A

(4) V =√

8∠π

2V

問題 3.20以下のフェーザに対するフェーザ図のおおよその形をを描け。さらに、極形式を直交形式に、直交

形式を極形式に直せ。有効数字は考慮しなくてよい。

(1)√

3∠π

3

(2) 5∠(−π

6

)(3)

√2∠π

2(4) 1 + j

(5)

√3

6+ j

1

6

(6)1√2− j

√6

2

問題 3.21以下の各問に答えよ。

(1) i1 =√

2 sin ωt [A]のフェーザ I1 を指数形式で求めよ。

(2) i2 = 2 sin(ωt +

π

2

)[A]のフェーザ I2 を指数形式で求めよ。

(3) i3 =√

6 sin(ωt − π

3


(4) i4 = 2√

2 sin(ωt +

π

4


(5) 上記 I1 から I4 をフェーザ図で示せ。

問題 3.22F

以下の正弦波のフェーザを直交形式で示せ。

(1) 100 sin

(ωt − 4π

3

)[A]

(2) −200 sin(ωt +

π

2

)[A]

(3)√

2 cos(ωt − π

4

)[V]

(4)√

2 sin(ωt +

π

3

)+

√2 sin

(ωt − π

3

)[V]

【例題 3.5】

図 3.6の回路に関して有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、フェーザ電

圧 V は 50 V、電流の大きさ |I|は 10 A、周波数 f は 50.0Hzであるとする。

(1) V および I のフェーザ図を描け。

(2) フェーザ電流 I を直交形式で記せ。

(3) 電圧の瞬時値（時間関数） v(t)を書け。


図 3.6例題 3.5

(4) 電流の瞬時値（時間関数） i(t)を書け。

(5) コイルのインダクタンス Lを求めよ。

〔解答 3.5〕

(1) コイルでは電流 I は電圧 V よりもπ

2遅れるので、図 3.7のようになる。

V

I

図 3.7解答 3.5

(2)

I = |I| e−j π2 = −j |I| = −j10A (3.30)

(3) 電圧の最大値 Vm は

Vm =√

2 |V | = 7 /01. /7 · · · V = 71V (3.31)

角周波数 ω は

ω = 2πf = 314. /1 · · · rad/s = 314 rad/s (3.32)

なので

v(t) = 71 sin 314t (3.33)

(4) 電流の最大値 Im は

Im =√

2 |I| = 14. /1 · · · A = 14A (3.34)

3.3 フェーザ c©大豆生田利章 2009 63

であり、電流の位相は電圧より 90.0 遅れるので

i(t) = 14 sin (314t − 90.0) (3.35)

(5) |V | = ωL |I|より

L =|V |ω |I|

=50V

314 rad/s × 10A= 0.01 /5

6/9 · · · H = 16mH (3.36)

J

問題 3.23図 3.8の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、インダクタンス Lは 96mH、周波数 f は 50Hz

とする。

図 3.8問題 3.23

(1) こコイルに 1.5∠ (−30) Aの電流 I が流れているときのコイル両端の電圧 V のフェーザ（極

形式）を求めよ。

(2) (1)の条件のときの、I と V のフェーザ図を描け。

(3) コイルの両端に 90∠0 の電圧 V を加えたときにコイルに流れる電流 I のフェーザ（極形式）

を求めよ。

(4) (3)の条件のときの、V と I のフェーザ図を描け。

問題 3.24図 3.9において静電容量 C が 5.0 µFのコンデンサに実効値 1.0A、角周波数 100 krad/s、初期位

相（位相角）60 の正弦波交流電流が流れている。このとき、以下の問に有効数字と単位に注意し

て答えよ。

C

i

v

図 3.9問題 3.24

(1) 交流電流の瞬時値（時間関数） i(t)を書け。


(2) フェーザ電流 I を極形式で書け。

(3) コンデンサの容量性リアクタンスXC を求めよ。

(4) コンデンサ両端のフェーザ電圧 V を極形式で求めよ。

(5) フェーザ電流 I とフェーザ電圧 V のフェーザ図のおおよその形を描け。

(6) 交流電圧の瞬時値（時間関数） v(t)を書け。

問題 3.25F

静電容量 C が 100 µFであるコンデンサに、瞬時値（時間関数） v(t)が

v(t) = 71 sin (100t − 30) [V] (3.37)

である交流電圧を加えた。ここで、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

(1) 電流の最大値 Im を求めよ。

(2) 電流の瞬時値（時間関数） i(t)を書け。

(3) 直交形式でフェーザ電圧 V、フェーザ電流 I を書け。

(4) V および I のフェーザ図を書け。

(5) 角周波数が正確に 2倍になったときの、電流の最大値 I ′m を書け。

(6) 角周波数が正確に 2倍になったときの、電流の瞬時値（時間関数） i′(t)を書け。

問題 3.26F

インダクタンス 50mHのコイルに実効値 21V、角周波数 200 rad/s、初期位相（位相角）30 の正

弦波交流電圧 v(t)を加えた。このとき、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

(1) 交流電圧の瞬時値（時間関数） v(t)を書け。

(2) フェーザ電圧 V を極形式で書け。

(3) フェーザ電流 I を極形式で求めよ。

(4) フェーザ電圧 V とフェーザ電流 I のフェーザ図を描け。

(5) 交流電流の瞬時値（時間関数） i(t)を書け。

(6) 交流電圧の角周波数だけを 3.0倍に変えたときの電流の最大値は何アンペアになるか求めよ。


第 4章

交流回路

4.1 インピーダンス・アドミタンス

【例題 4.1】

以下の各問に有効数字と単位に注意して答えよ。

(1) ある素子に (3.0 + j2.0)Vの電圧 V を加えたときに、(4.0 − j3.0)Aの電流 I が流れ

た。素子のインピーダンス Z を求めよ。

(2) ある素子に (3.0 − j4.0)Vの電圧 V を加えたときに、(2.0 − j2.0) Aの電流 I が流れ

た。素子のアドミタンス Y を求めよ。

(3) インピーダンス Z が (3.0 + j4.0)Ωである素子に、(5.0 + j6.0)Vの電圧 V を加えた

ときにこの素子に流れる電流 I を求めよ。

(4) アドミタンス Y が (12 + j5.0) Sである素子に、(1.0 + j2.0)Aの電流 I を流したい。

素子に加えるべき電圧 V を求めよ。

〔解答 4.1〕

(1)

Z =V

I=

(3.0 + j2.0)V(4.0 − j3.0)A

=(3.0 + j2.0)(4.0 + j3.0)

4.02 + 3.02Ω

=6.0 + j17

25Ω = (0.24 + j0.68)Ω (4.1)

66 c©大豆生田利章 2009 第 4章交流回路

(2)

Y =I

V=

(2.0 − j2.0)A(3.0 − j4.0)V

=(2.0 − j2.0)(3.0 + j4.0)

3.02 + (−4.0)2S

=14 + j2.0

25S = (0.56 + j0.080) S (4.2)

(3)

I =V

Z=

(5.0 + j6.0)V(3.0 + j4.0)Ω

=(5.0 + j6.0)(3.0 − j4.0)

3.02 + 4.02A

=39 − j2.0

25A = (1. /5

6/6 − j0.080)A = (1.6 − j0.080) A (4.3)

(4)

V =I

Y=

(1.0 + j2.0)A(12 + j5.0) S

=(1.0 + j2.0)(12 + j5.0)

122 + 5.02V

=22 + j19

169V = (0.13 /0 · · · + j0.11 /2 · · · )V = (0.13 + j0.11)V (4.4)

J

問題 4.1図 4.1のようにインピーダンス Z （アドミタンス Y）の素子に電圧 V を加えたところ、電流 I が

図 4.1問題 4.1

流れた。このとき、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

(1) 電流 I が (5.0 + j2.0) A、インピーダンス Z が (2.0 + j3.0)Ωのときの電圧 V を求めよ。

(2) 電圧 V が (2.0 + j1.0)V、電流 I が (4.0 − j3.0)Aのときのインピーダンス Z を求めよ。

(3) 電圧 V が (3.0 + j1.0)V、インピーダンス Z が (3.0 + j4.0)Ωのときの電流 I を求めよ。

(4) 電圧 V が (3.0 + j4.0)V、電流 I が (2.0 + j4.0)Aのときのアドミタンス Y を求めよ。

(5) 電流 I が (−3.0 + j4.0)A、アドミタンス Y が (3.0 − j2.0) Sのときの電圧 V を求めよ。

【例題 4.2】

以下の各量を求めよ。

(1) インピーダンス Z が (4.0 + j2.0) Ωである素子のアドミタンス Y

4.1 インピーダンス・アドミタンス c©大豆生田利章 2009 67

(2) アドミタンス Y が (6.0 − j8.0) Sである素子のインピーダンス Z

(3) インピーダンス Z が (16 − j12)Ωのときのインピーダンスの大きさ |Z|(4) アドミタンス Y が (20 + j15)Ωのときのアドミタンスの大きさ |Y |

〔解答 4.2〕

(1)

Y =1Z

=1

(4.0 + j2.0)Ω= (0.20 − j0.10) S (4.5)

(2)

Z =1Y

=1

(6.0 − j8.0) S= (60 + j80)mΩ (4.6)

(3)

|Z| =√

162 + (−12)2 = 20Ω (4.7)

(4)

|Y | =√

202 + 152 = 25S (4.8)

J

問題 4.2有効数字と単位に注意して以下の各量を直交形式で求めよ。

(1) インダクタンス 15mHのコイルの周波数 1.0 kHzにおけるインピーダンス

(2) 静電容量 4.0 µFのコンデンサの周波数 3.9 kHzにおけるインピーダンス

(3) インダクタンス 40 µHのコイルの周波数 8.0 kHzにおけるアドミタンス

(4) 静電容量 1000 pFのコンデンサの周波数 1.0MHzにおけるアドミタンス

問題 4.3

図 4.2のように、5.0Ω の抵抗に (7.0 + j5.0)V の電圧 V を加えたときに流れる電流 I を求めよ。

問題 4.4

図 4.3のように容量性リアクタンス XC が 3.0Ω のコンデンサに (4.5 − j9.0)V の電圧 V を加え

た。コンデンサのインピーダンス Z とコンデンサに流れる電流 I を求めよ。


図 4.2問題 4.3

図 4.3問題 4.4

図 4.4問題 4.5

問題 4.5

図 4.4のように誘導性リアクタンス XL が 1.3Ω のコイルに、(−0.39 + j2.6)V の電圧 V を加え

た。コイルのインピーダンス Z とコイルに流れる電流 I を求めよ。

問題 4.6

インピーダンス Z が (30 + j40)Ωの素子に実効値 100Vの交流電圧 V を加えた。このときに素子

を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。

【例題 4.3】

ある回路素子の端子間電圧 v および素子を流れる電流 iの瞬時値がそれぞれ

v(t) = 100√

2 sin(120πt +

π

4

)[V] (4.9)

i(t) = 5√

2 sin 120πt [A] (4.10)

であった。この回路素子のインピーダンス Z を求めよ。

〔解答 4.3〕

4.2 交流電源 c©大豆生田利章 2009 69

フェーザ電流 I およびフェーザ電圧 V は

I = 5 e j0 A = 5A (4.11)

V = 100 e j π4 V = (50

√2 + j50

√2)V (4.12)

なので、インピーダンス Z は

Z =V

I=

(50√

2 + j50√

2)V5A

= (10√

2 + j10√

2)Ω (4.13)

である。

J

問題 4.7F

インピーダンス Z が (√

3 + j)Ω である素子に、瞬時値 v(t) が以下の式で表される交流電圧を加

えた。

v(t) = 100 sin 200t (4.14)

このとき、素子を流れる電流の瞬時値 i(t)を求めよ。

4.2 交流電源

【例題 4.4】

図 4.5の回路において、コイルのインダクタンス Lが 449mH、交流電源の電源電圧の瞬

時値 e(t)が

e(t) = 141 sin(100πt +π

4) [V] (4.15)

であるとする。ここで、以下の問に有効数字 3桁で答えよ。

L e ( t )

i ( t )

図 4.5例題 4.4

(1) 電源電圧の実効値 Ee は何ボルトか求めよ。

(2) 電源電圧のフェーザ E を求めよ。


(3) コイルのインピーダンス Z は何オームか求めよ。

(4) コイルを流れる電流のフェーザ I を求めよ。

〔解答 4.4〕

(1) 電源電圧の最大値 Em が 141Vなので

Ee =Em√

2= 99.7 V (4.16)

(2)

E = Ve ej π4 = (70.5 + j70.5)V (4.17)

(3)

Z = jωL = j × 100π × 449mH = j141Ω (4.18)

(4) V = ZI より

I =V

Z=

(70.5 + j70.5)Vj141 Ω

= (0.500 + j0.500) A (4.19)

J

問題 4.8F

図 4.6の回路において、交流電圧源の瞬時値 v(t)が

v(t) = 212 sin (785t − 30.0) [V] (4.20)

のときに ∗1、回路を流れる電流の実効値が 12.5 Aであった。ここで、以下の問に有効数字および単

位に注意して答えよ。

e ( t )

i ( t )

C

図 4.6問題 4.8

(1) 電圧の実効値 Ve はいくらか

∗1 問題の都合上、初期位相の単位はラジアンでなくて度である。

4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成 c©大豆生田利章 2009 71

(2) 電圧のフェーザ V を記せ。

(3) コンデンサの容量性リアクタンスXC はいくらか

(4) コンデンサの静電容量 C はいくらか

問題 4.9F

電源電圧の瞬時値が e1 =√

2 sin(ωt +

π

3

)および e2 =

√2 sin

(ωt +

π

6

)である 2つの交流電源

を図 4.7のように接続した。ここで、以下の問に答えよ。

図 4.7問題 4.9

(1) e1, e2 のフェーザ E1, E2 を指数形式で求めよ。

(2) E1, E2 を用いて電圧 eのフェーザ E を直交形式で求めよ。

(3) E をもとに電圧 eの瞬時値を求めよ。

問題 4.10F

図 4.8のように電源電圧 E,角周波数 ω の交流電源に抵抗 R、コンデンサ C、コイル Lを接続した

回路を作った。これらの回路において抵抗を流れる電流の大きさ |IR|、コンデンサを流れる電流の

大きさ |IC |、コイルを流れる電流の大きさ |IL|がすべて等しかった。このとき、ω と Rを C およ

び Lを用いて表せ。

図 4.8問題 4.10

4.3 インピーダンス・アドミタンスの合成

【例題 4.5】


抵抗 R、コンデンサ C およびコイル Lを用いて、図 4.9の (a)から (d)の回路を作った。

角周波数が ω のときの図 4.9の (a)から (d)の各回路のインピーダンスを求めよ。

図 4.9例題 4.5

〔解答 4.5〕

(a)

11R

+1

jωL

=jωLR

R + jωL(4.21)

(b)

11R

+ jωC=

R

1 + jωCR(4.22)

(c)

11

R + jωL+ jωC

=R + jωL

1 − ω2LC + jωCR(4.23)

(d)

11

R +1

jωC

+1

jωL

=−ω2LCR + jωL

1 − ω2LC + jωCR(4.24)

J

問題 4.11

図 4.10において各素子のインピーダンスが Z1 = 2 − j4, Z2 = 4 + j2, Z3 = 2 + jであるとする。

(a)から (d)の回路の合成インピーダンスを求めよ。有効数字は考慮しなくてよい。


図 4.10問題 4.11

図 4.11問題 4.12

問題 4.12図 4.11に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、円周率 π は 3.14として計

算せよ。

(1) 抵抗 Rが 15Ω,周波数 f が 50Hzのときの図 4.11(a)の回路のインピーダンスを求めよ。

(2) 静電容量 C が 0.16 µF,周波数 f が 1.0MHzのときの図 4.11(b)の回路のインピーダンスを求

めよ。

(3) インダクタンス Lが 32mH,周波数 f が 5.0 kHzのときの図 4.11(c)の回路のインピーダンス

を求めよ。

(4) 抵抗 R が 20Ω,静電容量 C が 2.1 µF,周波数 f が 1.5 kHz のときの図 4.11(d)の回路のイン

ピーダンスを求めよ。

(5) 抵抗 Rが 3.0Ω,インダクタンス Lが 8.0mH,周波数 f が 50 Hzのときの図 4.11(e)の回路の

インピーダンスを求めよ。


問題 4.13図 4.12の回路に対して、以下の量を有効数字と単位に注意して求めよ。ただし、抵抗 Rは 4.0Ω、

コイルの誘導性リアクタンスXL は 3.0Ωである。

図 4.12問題 4.13

(1) 図 4.12(a)の回路のインピーダンス

(2) 図 4.12(a)の回路のアドミタンス

(3) 図 4.12(b)の回路のアドミタンス

(4) 図 4.12(b)の回路のインピーダンス

問題 4.14F

図 4.13の回路に関して以下の問に答えよ。交流の角周波数は ω とする。

図 4.13問題 4.14

(1) 図 4.13 (a)の回路のインピーダンス Za を求めよ。

(2) 図 4.13 (b)の回路のインピーダンス Zb を求めよ。

(3) ωC2R2 = 1のときに、Za = Zb となった。R1 および C1 を R2 および C2 を用いて表せ。

問題 4.15

図 4.14の回路の合成インピーダンス Z を求めよ。角周波数は ω とする。

図 4.14問題 4.15


問題 4.16F

図 4.15の RLC 直列接続のコンダクタンス分 G とサセプタンス分 B を求めよ。角周波数は ω と

する。

図 4.15問題 4.16

問題 4.17

図 4.16の回路の合成インピーダンスを求めよ。ただし、角周波数を ω とする。

図 4.16問題 4.17

問題 4.18F

図 4.17の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、角周波数を ω (6= 0)とする。

(1) 回路の合成インピーダンス Z を求めよ。

(2) Z = 0となる角周波数 ω1 を求めよ。

(3) 回路の合成アドミタンス Y を求めよ。

(4) Y = 0となる角周波数 ω2 を求めよ。


図 4.17問題 4.18

問題 4.19F

図 4.18の回路の合成インピーダンスが 0になる角周波数 ω1 と合成アドミタンスが 0になる角周波

数 ω2 を求めよ。ただし、角周波数は 0でないものとする。

図 4.18問題 4.19

問題 4.20

図 4.19の回路の A–B間の合成インピーダンスを有効数字と単位に注意して求めよ。ただし、抵抗

R1 は 0.70Ω、抵抗 R2 は 3.0Ω、誘導性リアクタンス XL1 は 0.10Ω、誘導性リアクタンス XL2

は 1.0Ωであるとする。

図 4.19問題 4.20

問題 4.21

図 4.20の回路の A–B間の合成インピーダンスを有効数字と単位に注意して求めよ。ただし、抵抗

R1 は 0.40 Ω、抵抗 R2 は 2.0Ω、容量性リアクタンス XC1 は 0.50Ω、容量性リアクタンス XC2

は 1.0Ωであるとする。


図 4.20問題 4.21

問題 4.22図 4.21の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、抵抗 R1 は 5.0 Ω、抵抗 R2 は 2.0Ω、誘導性リ

アクタンスXL1 は 10Ω、誘導性リアクタンスXL2 は 1.0 Ωであるとする。

図 4.21問題 4.22

(1) a–b間の合成アドミタンスを求めよ。

(2) a–b間の合成インピーダンスを求めよ。

問題 4.23図 4.22の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、抵抗 R1 は 2.0 Ω、抵抗 R2 は 1.0Ω、容量性リ

アクタンスXC1 は 2.0Ω、容量性リアクタンスXC2 は 3.0Ωであるとする。

(1) a–b間の合成アドミタンスを求めよ。

(2) a–b間の合成インピーダンスを求めよ。

問題 4.24

図 4.23の回路の合成インピーダンス Z が Z1 に等しいときに、Z1, Z2, Z3 の間に成立する条件を

求めよ。

問題 4.25F

図 4.24の回路の合成インピーダンスが Z1 に等しくなる条件を求めよ。


図 4.22問題 4.23

図 4.23問題 4.24

図 4.24問題 4.25

問題 4.26F

角周波数 ω のときに、図 4.25の左の回路と右の回路のインピーダンスが同じになった。ここで R0

と L0 を R、 L および ω を用いて表せ。

図 4.25問題 4.26

問題 4.27F

図 4.26の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、R1 6= R2 とする。

4.4 直列回路 c©大豆生田利章 2009 79

図 4.26問題 4.27

(1) 合成インピーダンス Z を求めよ。

(2) インピーダンス角が 0になる条件を求めよ。

4.4 直列回路

【例題 4.6】

図 4.27の回路に関して以下の問いに答えよ。

(1) インピーダンス Z1 が (3.5 + j2.0)Ω、インピーダンス Z2 が (1.5 − j2.0)Ω、電圧 V

が (4.0 + j1.0)Vであるときの電圧 V1 を求めよ。

(2) インピーダンス Z1 が j7.0Ω、インピーダンス Z2 が 6.0Ω、電圧 V1 が 14Vであると

きの電圧 V を求めよ。

図 4.27例題 4.6

〔解答 4.6〕


(1) 分圧の式より

V1 =Z1

Z1 + Z2V =

(3.5 + j2.0)Ω(3.5 + j2.0)Ω + (1.5 − j2.0) Ω

× (4.0 + j1.0)V

=(3.5 + j2.0) × (4.0 + j1.0)

5.0V = (2.4 + j2.3)V (4.25)

(2)

V =Z1 + Z2

Z1V1 =

6.0Ω + j7.0Ωj7.0Ω

× 14V

= (6.0 + j7.0) × (−j2.0V) = (14 − j12)V (4.26)

J

問題 4.28図 4.28に関して、以下の各問に有効数字と単位に注意して答えよ。

図 4.28問題 4.28

(1) 図 4.28において、抵抗 R が 4.0Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL が 3.0Ω、電圧 V が

(15 − j20)Vである。このときの電流 I を求めよ。

(2) 図 4.28において、抵抗 Rが 1.2Ω、コイルの誘導性リアクタンスXL が 1.4Ω、コイル両端の

電圧 VL が 4.2Vである。このときの電圧 V を求めよ。


図 4.29問題 4.29


(1) 図 4.29において、抵抗両端の電圧の大きさ |VR|が 24 V、コンデンサ両端の電圧の大きさ |VC |が 10Vである。このときの電圧の大きさ |V |を求めよ。

(2) 図 4.29において、抵抗 R が 4.0Ω、コンデンサの容量性リアクタンス XC が 2.0Ω、電圧 V

が 30Vである。このときの抵抗両端の電圧 VR を求めよ。

問題 4.30図 4.30において、抵抗 Rは 6.0Ω、誘導性リアクタンス XL は 13Ω、容量性リアクタンス XC は

5.0Ω、電圧 V は (30 + j20)Ωである。ここで以下の問に答えよ。

図 4.30問題 4.30

(1) 全体の合成インピーダンス Z を求めよ。

(2) 電流 I を求めよ。

(3) コンデンサ両端の電圧 VC を求めよ。

【例題 4.7】

図 4.31の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧

E は 100 V,抵抗 Rは 3.0Ω,容量性リアクタンス XC は 4.0Ωとする。

図 4.31例題 4.7

(1) 回路のインピーダンス Z を求めよ。

(2) 回路を流れる電流 I を求めよ。

(3) 抵抗両端の電圧 VR を求めよ。



〔解答 4.7〕

(1)

Z = R − jXC = (3.0 − j4.0) Ω (4.27)

(2)

I =E

Z=

100V(3.0 − j4.0) Ω

= (12 + j16) A (4.28)

(3)

VR = RI = 3.0Ω × (12 + j16) A = (36 + j48) V (4.29)

(4)

VC = −jXCI = −j4.0Ω × (12 + j16) A = (64 − j48) V (4.30)

J

問題 4.31図 4.32の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、コイルの誘導性リア

クタンスXL は 1.0 Ω、抵抗 Rは 2.0Ω、電源電圧 E は 20 Vであるとする。

図 4.32問題 4.31


(2) 回路のアドミタンス Y を求めよ。


(4) E と I の関係をフェーザ図で示せ。

(5) 回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(6) E と I の位相差 θ を求めよ。

問題 4.32図 4.33の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧Eは 100V,

回路を流れる電流の大きさ |I|は 10A,電圧と電流の位相差 θ は 60 であるとする。


図 4.33問題 4.32

(1) E と I の関係をフェーザ図で示せ。

(2) 電流 I を極形式で求めよ。

(3) インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(4) インピーダンス Z を極形式で求めよ。

(5) 抵抗 Rを求めよ。

(6) 誘導性リアクタンスXL を求めよ。

問題 4.33F

図 4.34のように LR直列回路に電圧 E (= E0 + jE1)（ただし E0, E1 は実数）を加える。このと

き回路に流れる電流 I およびその大きさ（実効値）|I|を求めよ。

図 4.34問題 4.33

問題 4.34図 4.35のように電源電圧 E の電圧源に抵抗 Rおよびコイル Lを接続した。この回路に関して以下

の問に答えよ。角周波数は ω とする。

図 4.35問題 4.34




(3) 回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(4) 抵抗両端の電圧 VR を求めよ。

(5) コイル両端の電圧 VL を求めよ。

(6) E, VR, VL および I の関係を VR を基準にしたフェーザ図を用いて示せ。

(7) 電圧 E と電流 I の位相差 θ を求めよ。

問題 4.35図 4.36の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、角周波数 ω は

10 krad/s、抵抗 Rは 3.0Ω、コンデンサの静電容量 C は 25 µF、電圧 V は (20− j10)Vとする。

図 4.36問題 4.35

(1) コンデンサのインピーダンス ZC を求めよ。

(2) 回路全体の合成インピーダンス Z を求めよ。



問題 4.36図 4.37の回路に関して有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、電流 I は 10A、抵

抗 Rは 4.0Ω、容量性リアクタンスXC は 3.0Ωであるとする。

図 4.37問題 4.36


(2) 電源電圧 E を求めよ。

(3) 電圧 VR、電圧 VC、電源電圧 E と電流 I の関係をフェーザ図で示せ。

(4) 電圧 E と電流 I の位相差 θ を求めよ。ただし、電流を基準とする。


(5) 電源の角周波数が正確に半分になったときの、回路のインピーダンス Z′ を求めよ。

(6) 電源の角周波数が正確に半分になったときの、電圧E と電流 I の位相差 θ′ を求めよ。ただし、

電流を基準とする。

問題 4.37F

図 4.38の回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数は ω とする。

図 4.38問題 4.37

(1) 回路 (a)の合成インピーダンス Za および回路 (b)の合成インピーダンス Zb を記せ。

(2) 回路 (a)の合成インピーダンスの大きさ |Za| および回路 (b)の合成インピーダンスの大きさ

|Zb|を記せ。(3) R =

√3 r かつ L = 2r/ω のときに、|Za| = |Zb|となった。このとき L、C および r の間に

成立する関係を求めよ。

問題 4.38図 4.39の回路に、直流電圧 1.5V を加えたときの電流の大きさは 0.10Aであった。また、周波数

50Hz、大きさ 100V の交流電圧を加えたときの電流の大きさは 4.0 Aであった。ここで、以下の

問に有効数字 2桁で答えよ。

図 4.39問題 4.38

(1) 抵抗 Rの値を求めよ。［ヒント：直流に対するコイルの抵抗は 0 Ωである。］

(2) 回路のインピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(3) コイルの誘導性リアクタンスXL を求めよ。

(4) コイルのインダクタンス Lを求めよ。

問題 4.39F


(1) 図 4.40(a)の回路に大きさ 100V の電圧 V を加えたとき、大きさ 20.0Aの電流 I1 が流れた。

インピーダンスの大きさ |Z|を有効数字 3桁で求めよ。


図 4.40問題 4.39

(2) インピーダンス Z を直交形式で R + jX と表したときのインピーダンスの大きさ |Z|を R, X

を用いて表せ。

(3) 図 4.40(a)の回路に抵抗R0 = 6.00Ωを直列に付加した (b)の回路に大きさ 100Vの電圧 V を

加えたとき、大きさ 10.0Aの電流 I2 が流れた。インピーダンスの大きさ |Z + R0|を有効数字 3桁で求めよ。

(4) |Z + R0|を R, R0, X を用いて表せ。

(5) (2)および (4)の関係式を用いて R、|X|を有効数字 3桁で求めよ。

問題 4.40F

図 4.41の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧は E = E0 + jE1,（E0, E1は実数）、

角周波数は ω であるとする。解答は、E0, E1, C, R, ω を用いて表せ。

図 4.41問題 4.40



(3) ωCR = 1が成立するときに、回路を流れる電流の大きさ |I|を E0, E1, Rを用いて表せ。

(4) (3)の条件が成立するときに電圧の位相（偏角）を θE、電流の位相（偏角）を θI として、tan θE

および tan θI を求めよ。

(5) (4)の解答を用いて (3)の条件が成立するときに θI = θE +π

4となることを確かめよ。［ヒン

ト：tan θI = tan(θE +

π

4

)として右辺を展開する］

問題 4.41図 4.42の回路において、電源電圧の大きさ |E|は 13V、抵抗両端の電圧の大きさ |VR|は 12V、コ

イル両端の電圧の大きさ |VL|は 8.0Vである。このとき、以下の問に有効数字と単位に注意して答

えよ。

(1) VR を基準として、各電圧 E, VR, VL, VC の関係をフェーザ図で示せ。

(2) 各電圧の大きさ |E|, |VR|, |VL|, |VC |の関係を表す式を求めよ。(3) コンデンサ両端の電圧の大きさ |VC |を求めよ。


図 4.42問題 4.41

問題 4.42図 4.43の回路に関して、有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、コイルの誘導性リ

アクタンスXL は 25.0Ω、コンデンサの容量性リアクタンスXC は 17.0Ω、電流 I は 600mA、電

源電圧の大きさ |E|は 6.00Vとする。

図 4.43問題 4.42

(1) コイル両端の電圧 VL を求めよ。


(3) E, VL, VC , VR, I の間の関係をフェーザ図で表せ。


問題 4.43F

図 4.44の回路に関して有効数字に注意して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧 E は 50V、コイ

ルの誘導性リアクタンスXL は 9.0Ω、コンデンサの容量性リアクタンスXC は 1.0Ω、電流の大き

さ |I|は 5.0Aである。

(1) 回路の合成インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(2) 合成インピーダンスのリアクタンス分X を求めよ。


(4) 抵抗の両端の電圧 VR を求めよ。

(5) 電源の角周波数が 0.50倍になったときの合成インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。


図 4.44問題 4.43

4.5 並列回路

【例題 4.8】

図 4.45の回路に関して以下の問いに答えよ。

図 4.45例題 4.8

(1) インピーダンス Z1 が (1.8 + j1.6)Ω、インピーダンス Z2 が (1.2− j1.6)Ω、電流 I が

6.0 Aであるときの電流 I1 を求めよ。

(2) インピーダンス Z1 が (1.0 − j2.0) Ω、インピーダンス Z2 が (2.0 + j4.0)Ω、電流 I1

が (6.0 + j5.0)Aのときの電流 I を求めよ。

〔解答 4.8〕

4.5 並列回路 c©大豆生田利章 2009 89

(1) 分流の式より

I1 =Z2

Z1 + Z2I =

(1.2 − j1.6) Ω(1.8 + j1.6) Ω + (1.2 − j1.6)Ω

× 6.0A

=(1.2 − j1.6) × 6.0

3.0A = (2.4 − j3.2)A (4.31)

(2)

I =Z1 + Z2

Z2I1 =

(1.0 − j2.0) Ω + (2.0 + j4.0)Ω(2.0 + j4.0) Ω

× (6.0 + j5.0)A

=8.0 + j272.0 + j4.0

A =124 + j22

20.0A = (6.2 + j1.1)A (4.32)

J


図 4.46問題 4.44

(1) 図 4.46(a)の回路において、抵抗 Rが 2.0Ω、コイルの誘導性リアクタンスXL が 4.0Ω、電流

I が 40Aのとき、コイルを流れる電流 IL を求めよ。

(2) 図 4.46(a)の回路において、抵抗 Rが 13Ω、コイルの誘導性リアクタンスXL が 7.0Ω、電圧

V が 91Vである。このときの電流 I を求めよ。

(3) 図 4.46(b)の回路において、抵抗 Rが 10Ω、コンデンサの容量性リアクタンス XC が 5.0Ω、

全体の電流 I が (2.0 + j4.0)Aである。このときの電圧 V を求めよ。

(4) 図 4.46(b)の回路において、抵抗 Rが 5.0Ω、抵抗を流れる電流 IR が (6.0 − j9.0)A、全体の

電流 I が (9.0 − j7.0)Aである。このときのコンデンサの容量性リアクタンスXC を求めよ。

【例題 4.9】

図 4.47の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧

E は 120 V、コイルを流れる電流の大きさ |IL|は 3.0A,抵抗 Rは 40Ωであるとする。


図 4.47例題 4.9

(1) 抵抗を流れる電流 IR を求めよ。

(2) 回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(3) 回路のアドミタンスの大きさ |Y |を求めよ。(4) 誘導性リアクタンス XL を求めよ。

(5) アドミタンス Y を求めよ。

〔解答 4.9〕

(1)

IR =E

R=

120V40Ω

= 3.0A (4.33)

(2)

|I| =√

|IR|2 + |IL|2 =√

(3.0A)2 + (3.0A)2 =√

2 × 3.0A = 4.2A (4.34)

(3)

|Y | =|I||E|

=√

2 × 3.0A120V

= 35mS (4.35)

(4)

XL =|E||IL|

=120V3.0A

= 40Ω (4.36)

(5)

Y =1R

+1

jXL=

140Ω

+1

j40Ω= (25 − j25) mS (4.37)

J


図 4.48問題 4.45


(1) 図 4.48(a)の回路において ωL = 2Rのときの全体の電流の大きさ |I|を抵抗を流れる電流の大きさ |IR|を用いて表せ。

(2) 図 4.48(b)の回路において電圧 V が 24V、全体の電流の大きさ |I|が 10A、抵抗 Rが 3.0Ω

である。このときコンデンサ C を流れる電流の大きさ |IC |を求めよ。

問題 4.46図 4.49に関して以下の問に図中の記号を用いて答えよ。角周波数は ω とする。

図 4.49問題 4.46


(2) コンデンサを流れる電流 IC を求めよ。

(3) 電源電圧 E を基準として、IR、IC、I の関係をフェーザ図で示せ。


問題 4.47図 4.50の回路に対して (12 + j28) Vの電圧 V を加えた。以下の問に有効数字と単位に注意して答

えよ。ただし、抵抗 Rは 5.0Ω、コンデンサの静電容量 C は 2.0 µF、周波数 f は 20 kHzであると

する。


図 4.50問題 4.47

(1) 抵抗 Rに流れる電流 IR を求めよ。

(2) コンデンサ C に流れる電流 IC を求めよ。

(3) 回路に流れる電流 I を求めよ。

(4) I, IR, IC , V に対するフェーザ図のおおよその形を描け。

(5) アドミタンス Y を求めよ。

問題 4.48図 4.60の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧E は 20V、

コンデンサ C を流れる電流の大きさ |IC |は 1.0 A、抵抗 Rは 10Ωとする。

図 4.51問題 4.48

(1) 抵抗 Rを流れる電流 IR を求めよ。

(2) 回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(3) アドミタンスの大きさ |Y |を求めよ。(4) 容量性リアクタンスXC を求めよ。

問題 4.49図 4.52の回路に関して有効数字に注意して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧 E は 120V、抵

抗 Rは 20 Ω、誘導性リアクタンスXL は 15 Ωであるとする。

(1) 回路の合成インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(2) 抵抗を流れる電流の大きさ |IR|を求めよ。(3) コイルを流れる電流の大きさ |IL|を求めよ。


図 4.52問題 4.49

(4) E, I, IR, IL の関係をフェーザ図を用いて表せ。



問題 4.50F

図 4.53の回路において、抵抗 Rは 4.0Ω、コイル Lの誘導性リアクタンスXL は 3.0Ωである。抵

抗に流れる電流 IR が 12Aであるときに、以下の各問に有効数字と単位に注意して答えよ。

図 4.53問題 4.50

(1) 電圧の大きさ |V |を求めよ。(2) IR と V の関係をフェーザ図で示せ。

(3) コイルに流れる電流の大きさ |IL|を求めよ。(4) IL と V の関係をフェーザ図で示せ。

(5) 回路に流れる電流 I を求めよ。

(6) 回路に流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(7) 電圧源の角周波数が 4倍になったとする。このときの電流の大きさ |I ′|を求めよ。

問題 4.51F

図 4.54の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧E は 10V、

回路を流れる電流の大きさ |I|は 5.0A、抵抗を流れる電流の大きさ |IR|は 3.0Aであるとする。

(1) コンデンサを流れる電流の大きさ |IC |を求めよ。(2) 回路のアドミタンスの大きさ |Y |を求めよ。(3) 抵抗 Rを求めよ。

(4) 容量性リアクタンスXC を求めよ。

(5) 回路のアドミタンス Y を求めよ。


図 4.54問題 4.51

問題 4.52F

図 4.55の回路に周波数 f が 50Hz,電圧 V が 33Vの交流電圧を加えたところ、抵抗 Rに流れる電

流の大きさ |IR|が 5.5A、電圧 V と電流 I の位相差 θ が絶対値で |θ| = 60 となった。このとき、

以下の問に、有効数字と単位に注意して答えよ。

図 4.55問題 4.52

(1) I, IR, IL, V のフェーザ図のおおよその形を描け。

(2) コイル Lを流れる電流の大きさ |IL|を求めよ。(3) 回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(4) 回路を流れる電流 I の直交形式を求めよ。


(6) インダクタンス Lを求めよ。

【例題 4.10】

図 4.56の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、抵抗 Rは 3.0Ω、コンデンサの容量

性リアクタンス XC は 4.0Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL は 6.0Ω、電源電圧 E は

12Vであるとする。


(2) コンデンサを流れる電流 IC を求めよ。

(3) コイルを流れる電流 IL を求めよ。

(4) 回路全体の電流 I を求めよ。

(5) E、IR、IC、IL、I の関係をフェーザ図で示せ。


図 4.56例題 4.10

〔解答 4.10〕

(1)

IR =E

R=

12V3.0 Ω

= 4.0A (4.38)

(2)

IC =E

−jXC=

12V−j4.0Ω

= j3.0A (4.39)

(3)

IL =E

jXL=

12Vj6.0Ω

= −j2.0A (4.40)

(4)

I = IR + IC + IL = (4.0 + j1.0)A (4.41)

(5) 図 4.57のとおり。

図 4.57例題 4.10解答図

J

問題 4.53図 4.58の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、抵抗を流れる電流の大きさ |IR|は 5.0A、コイ

ルを流れる電流の大きさ |IL|は 19.0 A、コンデンサを流れる電流の大きさ |IC |は 7.0Aとする。


図 4.58問題 4.53

(1) IR、IL、IC、I および E の関係をフェーザ図で示せ。

(2) 回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(3) 回路を流れる電流 I を求めよ。

問題 4.54図 4.59の回路において、電源電圧 E が 85Vであるときに、回路の全電流の大きさ |I|が 13A、コ

イル Lを流れる電流の大きさ |IL|が 17.0Aコンデンサ C を流れる電流の大きさ |IC |が 5.0Aで

あった。このとき、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

図 4.59問題 4.54

(1) 抵抗 Rを流れる電流を IR とするとき、I, IR, IL, IC , E の関係をフェーザ図で示せ。

(2) IR を求めよ。

(3) I を求めよ。



(6) コンデンサの容量性リアクタンスXC を求めよ。

問題 4.55抵抗が R、リアクタンスが X の素子を用いて図 4.60 (a)および (b)のような回路を作った。ここ

で、以下の問に答えよ。

(1) (a)の回路のインピーダンス Za を RおよびX を用いて表せ。

(2) (a)の回路中の電圧の大きさ |V |を VR および VX を用いて表せ。

(3) (a)の回路中の電圧の大きさ |V |を R、X および I を用いて表せ。

(4) (b)の回路のアドミタンス Yb を RおよびX を用いて表せ。


図 4.60問題 4.55

(5) (b)の回路のインピーダンス Zb を RおよびX を用いて表せ。

(6) (b)の回路を流れる電流の大きさ |I|を IR および IX を用いて表せ。

4.6 直並列回路

【例題 4.11】

図 4.61の回路において抵抗 R は 15Ω、コンデンサの容量性リアクタンス XC は 20Ω

である。電源電圧 E が 60 V のときにコンデンサを流れる電流の大きさ |IX |が 3.0Aに

なった。ここで、以下の問に関して有効数字に注意して以下の問に答えよ。ただし、電流

I は電圧 E よりも遅れているものとする。

図 4.61例題 4.11


(2) I, IR, IX , E の関係をフェーザ図で示せ。


(4) XC と XL の合成インピーダンス ZX を求めよ。


(5) コイルのリアクタンス XL を求めよ。

〔解答 4.11〕

(1)

IR =E

R=

60V15Ω

= 4.0A (4.42)

(2) 電流 I が電圧 E よりも遅れていること、IR と E が同相であることを考慮すると、

図 4.62のようになる。

E I R

I X

I

図 4.62解答 4.11

(3) 図 4.62より IX = −j |IX | = −j3.0Aとなるので、

I = IR + IX = (4.0 − j3.0) A (4.43)

(4)

ZX =E

IX=

60V−j3.0 A

= j20Ω (4.44)

(5)

ZX = jXL − jXC = j20Ω (4.45)

XC = 20Ω (4.46)

より

XL = 40Ω (4.47)

J

問題 4.56図 4.63の回路において、抵抗 Rを流れる電流 IR が 4.0 Aであった。この回路に関して有効数字に

注意して以下の問に答えよ。ただし、コンデンサの容量性リアクタンス XC は 10Ωコイルの誘導

性リアクタンスXL は 10Ω抵抗 Rは 5.0Ωであるとする。


図 4.63問題 4.56

(1) V1 を求めよ。

(2) V1、IR、IL の関係をフェーザ図で示せ。

(3) IL を求めよ。



(6) V を求めよ。

問題 4.57図 4.64の回路に関して有効数字に注意して以下の問に答えよ。ただし、コンデンサの容量性リアク

タンスXC は 5.0Ω、コイルの誘導性リアクタンスXL は 8.0 Ω、抵抗 Rは 4.0Ω、コンデンサを流

れる電流 Ic は 4.0Aであるとする。

図 4.64問題 4.57

(1) 抵抗両端の電圧 V1 を求めよ。



(4) V1, IR, IC，I の関係をフェーザ図で示せ。

(5) コイル両端の電圧 V2 を求めよ。

(6) 回路に加わっている電圧 V を求めよ。

問題 4.58F

図 4.65の回路に (6.0 − j9.0) V の電圧 V を加えたところ (3.0 − j2.0)Aの電流 I が流れた。ここ


で以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、コンデンサの容量性リアクタンス XC は

3.0Ω、抵抗 Rは 4.0Ω、コイルのインダクタンス Lは 4.0mHであるとする。

図 4.65問題 4.58

(1) コンデンサ両端の電圧 V1 を求めよ。

(2) 抵抗両端の電圧 V2 を求めよ。


(4) コイル Lを流れる電流 IL を求めよ。


(6) 交流の角周波数 ω を求めよ。

問題 4.59図 4.66の回路において、コンデンサの容量性リアクタンス XC が 5.0Ω、コイルの誘導性リアクタ

ンス XL が 1.0 Ω、抵抗 R が 2.0Ω であるとする。回路に電圧 V を加えたときに、コンデンサに

5.0Aの電流 IC が流れた。ここで以下の問に答えよ。

図 4.66問題 4.59

(1) 電圧 V を求め、電流 IC と電圧 V の関係をフェーザ図で表せ。

(2) 電流 IL を求め、電流 IL と電圧 V の関係をフェーザ図で表せ。

(3) 電流 I を求め、電流 IC ,、電流 IL と電流 I の関係をフェーザ図で示せ。

問題 4.60F

図 4.67の回路に関して有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、コイルの誘導性リア

クタンスXL は 5.0Ω、コイルを流れる電流 IL は −j2.0 A、回路全体の電流 I は (2.0 − j1.0)Aで

あるとする。


図 4.67問題 4.60

(1) 電圧 V を求めよ。

(2) 電流 IC を求めよ。

(3) 抵抗 Rと容量性リアクタンスXC の合成インピーダンス Z を求めよ。


(5) 容量性リアクタンスXC を求めよ。

問題 4.61図 4.68の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、抵抗 rは 0.20Ω、抵

抗 Rは 1.0Ω、コンデンサの容量性リアクタンスXC は 0.40Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL

は 2.0Ω、回路に加わっている電圧 V は 10Vであるとする。

図 4.68問題 4.61



(3) 図中の電圧 V1 を求めよ。


(5) 図中の電流 IR を求めよ。

(6) 図中の電流 IL を求めよ。

問題 4.62F

図 4.69の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、抵抗 rは 0.10Ω、抵

抗 Rは 3.0Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL は 0.60Ω、コンデンサの容量性リアクタンスXC


は 1.0Ω、回路に加わっている電圧 V は 25Vであるとする。

図 4.69問題 4.62





(5) 図中の電流 IR を求めよ。

(6) 図中の電流 IC を求めよ。

問題 4.63図 4.70において抵抗 Rは 20Ω、抵抗 r は 5.0Ω、コイルの誘導性リアクタンスXL は 10Ω、コン

デンサの容量性リアクタンス XC は 10Ωとする。回路にある電圧 V を加えたとき、抵抗を流れる

電流 IR が 6.0Aになった。ここで、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

図 4.70問題 4.63


(2) IC を求めよ。


(4) IR, IC , I の関係をフェーザ図で示せ。


(6) V を求めよ。


問題 4.64図 4.71の回路において、コンデンサを流れる電流 IC が −1.0Aであった。ここで、以下の問に有

効数字と単位に注意して答えよ。ただし、抵抗 R は 15Ω、抵抗 r は 6.0Ω、容量性リアクタンス

XC は 30Ω、誘導性リアクタンスXL は 8.0Ωである。

図 4.71問題 4.64


(2) コイルを流れる電流 IL を求めよ。


(4) 抵抗 R両端の電圧 VR を求めよ。


問題 4.65図 4.72の回路に対して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、抵抗 R1 は 1.0Ω、

抵抗 R2 は 3.0Ω、容量性リアクタンスXC は 3.0Ω、誘導性リアクタンスXL は 6.0Ω、電圧 V は

(30 + j60) Vである。

図 4.72問題 4.65

(1) 電流 I1 を求めよ。


(3) 回路を流れる電流 I を有効数字 2桁で求めよ。


(5) V、I1、I2、I の関係をフェーザ図を用いて示せ。


(6) V と I2 の位相差 θ を V を基準にして求めよ。

問題 4.66図 4.73のような抵抗 Rとコンデンサ C からなる回路に対して以下の問に答えよ。電源電圧を E、

角周波数を ω とする。解答は R、 C、E および ω を用いて答えよ。

図 4.73問題 4.66

(1) c点を基準にした a点の電圧 Vac を求めよ。

(2) c点を基準にした b点の電圧 Vbc を求めよ。

(3) b点を基準にした a点の電圧 Vab を求めよ。

問題 4.67図 4.74の回路に角周波数が ωの電圧 V を加えた。ここで、以下の問に抵抗R、インダクタンス L、

静電容量 C、角周波数 ω および電圧 V のうち必要なものを用いて答えよ。ただし、L 6= CR2 であ

るとする。

図 4.74問題 4.67

(1) a点の電圧 Va を求めよ。

(2) b点の電圧 Vb を求めよ。

(3) a–b間の電圧 Vab を求めよ。

(4) V と Vab が同相（位相が同じ）になる条件を求めよ。

(5) (4)の条件が成立しているときの Vab を求めよ。

4.7 交流ブリッジ c©大豆生田利章 2009 105

問題 4.68F


図 4.75問題 4.68

(1) 電流 IL を求めよ。

(2) 電流 IC を求めよ。

(3) |IL| = |IC |となる角周波数 ω′ を求めよ。

(4) 角周波数が ω′ のときの、電圧 VR を求め、抵抗 R、静電容量 C、インダクタンス Lおよび電

源電圧 E を用いて表せ。

(5) 角周波数が ω′ のときの、電圧 VC を求め、抵抗 R、静電容量 C、インダクタンス Lおよび電

源電圧 E を用いて表せ。

(6) 角周波数が ω′ のときに、|VR| = |VC |となる条件を求めよ。(7) (3)および (6)の両方の条件が成立するときの回路の全電流 I を求めよ。

4.7 交流ブリッジ

【例題 4.12】

図 4.76の交流ブリッジ（Maxwellブリッジ）において抵抗 R1 とインダクタンス L1 を

変化させて、電流計の表示が 0Aになるようにした。このときの R1 と L1 の値を、抵抗

R2、抵抗 R3、抵抗 R4、静電容量 C4、電源電圧 E、角周波数 ω のうち適切なものを用い

て表せ。

〔解答 4.12〕

ブリッジの平衡条件より

(R1 + jωL1) ×

(1

1R4

+ jωC4

)= R2 × R3 (4.48)

式を変形すると

R1 + jωL1 = R2R3

(1

R4+ jωC4

)(4.49)


図 4.76例題 4.12

両辺の実部・虚部を比較して、

R1 =R2R3

R4(4.50)

L1 = R2R3C4 (4.51)

J

問題 4.69

図 4.77の回路（Wienブリッジ）において、電源の角周波数 ω および抵抗 R1 を調整して R5 に電

流が流れないようにした。このときの、ω, R1 の値を、R2, R3, R4, C3, C4 を用いて表せ。

図 4.77問題 4.69

問題 4.70

図 4.78のブリッジ（Hayブリッジ）の平衡条件を求めよ。ただし、電源の角周波数は ω であると

する。

4.7 交流ブリッジ c©大豆生田利章 2009 107

図 4.78問題 4.70

問題 4.71

図 4.79のブリッジ（Owenブリッジ）の平衡条件を求めよ。ただし、電源の角周波数は ω であると

する。

図 4.79問題 4.71

問題 4.72

図 4.80のブリッジ（インダクタンスブリッジ）の平衡条件を求めよ。ただし、電源の角周波数は ω

であるとする。

図 4.80問題 4.72


問題 4.73

図 4.81のブリッジ（共振ブリッジ）の平衡条件を求めよ。ただし、電源の角周波数は ω であると

する。

図 4.81問題 4.73


第 5章

交流電力

【例題 5.1】

力率 λ が 96.0%である負荷に、大きさが 250V の電圧 V を加えたところ、大きさが

2.00Aの電流 I が流れた。ここで、以下の問に答えよ。

(1) 皮相電力 Pa を求めよ。

(2) 有効電力 P を求めよ。

(3) 無効電力 Pr を求めよ。

〔解答 5.1〕

(1)

Pa = |V | |I| = 250V × 2.00A = 500VA (5.1)

(2)

P = Paλ = 500VA × 0.960 = 480W (5.2)

(3) Pa2 = P 2 + Pr

2 より

Pr = ±√

Pa2 − P 2 = ±

√5002 − 4802 var = ±140 var (5.3)

J

問題 5.1以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

(1) 皮相電力 2.0 kVA、力率 90%の回路の有効電力

110 c©大豆生田利章 2009 第 5章交流電力

(2) 皮相電力 300VAの回路に電圧 100Vを加えたときに流れる電流の大きさ

(3) 有効電力 4.0 kW、無効電力 3.0 kvarの回路の皮相電力

(4) 皮相電力 1.5 kVA、無効電力 900 varの回路の力率

(5) 有効電力 2.4 kW、力率 96%の回路の無効電力の大きさ


(1) インピーダンス Z が (3.0 + j4.0)Ωの素子に流れている電流の大きさ |I|が 2.0Aのときの有

効電力 P

(2) 電圧の大きさ |V |が 10V、電流の大きさ |I|が 2.0 A、電圧と電流の位相差 θ が 30 のときの

有効電力 P

(3) 電圧の大きさ |V |が 25V、電流の大きさ |I|が 3.0 A、電圧と電流の位相差 θ が 60 のときの

皮相電力 Pa

問題 5.3

ある回路に 100 Vの電圧を加えたところ、(3.0 + j4.0) A の電流が流れた。この回路のインピーダ

ンス Z、アドミタンス Y および有効電力 P を有効数字および単位に注意して求めよ。

問題 5.4電源電圧 E が (40 + j30) V の電圧源にインピーダンスが Z である素子を接続したところ、

(3.0 + j4.0) Aの電流 I が流れた。このとき、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

(1) 素子のインピーダンス Z を求めよ。

(2) インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(3) (1)および（2）の結果を利用して力率 λを求めよ。

(4) 皮相電力 Pa を求めよ。

(5) 消費電力 P を求めよ。

(6) 無効電力の大きさ |Pr|を求めよ。

問題 5.5ある交流素子に 200Vの交流電圧 V を加えたときに、消費電力 P が 3.2 kW、力率が 0.80となっ

た。このとき、以下の各量を有効数字 2桁で求めよ。ただし、素子は誘導性（電流 I が電圧 V より

遅れている）であるとする。

(1) 皮相電力 Pa

(2) 無効電力の大きさ |Pr|(3) 電流の大きさ |I|(4) インピーダンスの大きさ |Z|(5) インピーダンス Z

問題 5.6ある交流素子に電圧 200V を加えたところ、電流の大きさが 25.0A、有効電力が 2.50 kW となっ

た。ここで、以下の各量を求めよ。ただし、素子は容量性（電流が電圧よりも進んでいる）である

とする。


(1) 皮相電力 Pa

(2) 力率 λ

(3) 電圧を基準にした電流の位相差 θ

(4) 電流 I

問題 5.7F

ある交流回路に実効値 100Vの正弦波交流電圧を加えたとき、電流のゼロ点において、電圧の瞬時

値が 50√

6Vであった。回路の力率を求めよ。

【例題 5.2】

図 5.1の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電圧の

大きさ |E|は 10V、抵抗 Rは 24Ω、誘導性リアクタンス XL は 7.0Ωとする。

図 5.1例題 5.2

(1) 回路の合成インピーダンスの大きさ |Z|はいくらか。(2) 回路を流れる電流の大きさ |I|はいくらか。(3) 回路の皮相電力 Pa はいくらか。

(4) 回路の力率 λはいくらか。

(5) 回路の消費電力 P はいくらか。

〔解答 5.2〕

(1)

|Z| = |R + jXL| =√

R2 + XL2 =

√242 + 7.02 Ω = 25Ω (5.4)

(2)

|I| =|E||Z|

=10V25Ω

= 0.40A (5.5)


(3)

Pa = |E| |I| = 10V × 0.40A = 4.0VA (5.6)

(4)

λ =R

|Z|=

24Ω25Ω

= 0.96 (5.7)

(5)

P = Paλ = 4.0VA × 0.96 = 3.8 /4W = 3.8W (5.8)

または

P = R |I|2 = 24Ω × (0.40A)2 = 3.8 /4W = 3.8W (5.9)

J

問題 5.8図 5.2の回路において、抵抗 Rは 48Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL は 14Ωである。また、

回路全体の消費電力 P は 12Wである。以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。

図 5.2問題 5.8

(1) 電流の大きさ |I|を求めよ。(2) 回路の合成インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(3) 回路の力率 λを求めよ。

(4) 電圧の大きさ |V |を求めよ。

問題 5.9図 5.3において、抵抗 R は 4.0Ω、コンデンサの容量性リアクタンス XC は 3.0Ω であるとする。

回路にある電圧 V を加えたときの電流の大きさ |I|が 10 Aであった。このとき、以下の問に有効

数字および単位に注意して答えよ。

(1) インピーダンスの大きさ |Z|はいくらか。(2) 電圧の大きさ |V |はいくらか。(3) 回路の力率 λはいくらか。

(4) 回路で消費される電力 P はいくらか。


図 5.3問題 5.9

問題 5.10図 5.4の回路において電源電圧の大きさ |E|が 125Vのとき、有効電力 P が 600Wであったとい

う。このとき、以下の問に有効数字と単位に注して答えよ。ただし、抵抗 Rは 24Ωであるとする。

図 5.4問題 5.10

(1) 回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(2) インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(3) 誘導性リアクタンスXL を求めよ。

【例題 5.3】

図 5.5の回路において抵抗 Rは 2.0Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL は 2.0Ω、コン

デンサの容量性リアクタンス XC は 4.0Ωである。この回路に 2.0Vの電圧 V を加えた。

ここで、以下の問に答えよ。

図 5.5問題 5.10




(3) Z と I を用いて回路の有効電力 P を求めよ。



(6) 抵抗 Rの消費電力 PR を V2 を用いて求め、 P と一致することを示せ。

〔解答 5.3〕

(1)

Z = jXL +R × (−jXC)

R − jXC= j2.0 +

−j8.02.0 − j4.0

= j2.0 + (1.6 − j0.80) = (1.6 + j1.2)Ω (5.10)

(2)

I =V

Z=

2.0V(1.6 + j1.2)Ω

=2.0 (1.6 − j1.2)

4.0A = (0.80 − j0.60)A (5.11)

(3) 電流の大きさ |I|は

|I| =√

0.802 + (−0.60)2 A = 1.0 A (5.12)

であり、Z の実部 Re Z は 1.6 Ωなので、

P = Re Z |I|2 = 1.6Ω × (1.0A)2 = 1.6W (5.13)

(4)

V1 = jXLI = j2.0Ω × (0.80 − j0.60)A = (1.2 + j1.6)V (5.14)

(5)

V2 = V − V1 = 2.0V − (1.2 + j1.6) V = (0.80 − j1.6)V (5.15)

(6)

P =|V2|2

R=

0.802 + (−1.6)2

2.0W =

3.22.0

W = 1.6W (5.16)

J


図 5.6問題 5.11

問題 5.11図 5.6の回路に関して有効数字および単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧 E は

84V、抵抗 Rは 3.5Ω、コンデンサの容量性リアクタンスXC は 32Ω、コイルの誘導性リアクタン

スXL は 20Ωとする。


(2) コイルとコンデンサを流れる電流 IX を求めよ。


(4) 電圧 E、電流 IR、電流 IX、電流 I をフェーザ図で表せ。

(5) 電圧 E と電流 I の位相差から回路の力率 λを求めよ。

問題 5.12F

図 5.7の回路の消費電力 P が 150W であった。このとき、以下の問に有効数字と単位に注意して

答えよ。ただし、抵抗 R は 6.0Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL は 8.0Ω、コンデンサの容量

性リアクタンスXC は 25Ωであるとする。

図 5.7問題 5.12

(1) コイルと抵抗を流れる電流の大きさ |IL|を求めよ。(2) 電圧の大きさ |V |を求めよ。(3) コンデンサを流れる電流の大きさ |IC |を求めよ。

問題 5.13F

図 5.8の回路において電流 I1 の値が 2.0A であった。このとき、以下の問に有効数字と単位に注


意して答えよ。ただし、抵抗 R は 5.0Ω、容量性リアクタンス XC1 は 3.0Ω、容量性リアクタン

ス XC2 は 8.0Ω、誘導性リアクタンス XL1 は 4.0Ω、誘導性リアクタンス XL2 は 6.0Ωであると

する。

図 5.8問題 5.13

(1) I2 の値を求めよ。

(2) I の値を求めよ。

(3) 抵抗 Rの消費電力を求めよ。

問題 5.14

図 5.9の RLC 直列回路に角周波数 ω の電圧 E を加えた。このときの回路の有効電力 P および力

率 λを求めよ。

図 5.9問題 5.14

【例題 5.4】

ある交流回路に (100 + j50.0) Vの電圧を加えたときに、(10.0 + j20.0) Aの電流が流れ

た。ここで、以下の各量を有効数字と単位に注意して求めよ。

(1) 複素電力 Pc

(2) 皮相電力 Pa

(3) 有効電力 P

(4) 無効電力 Pr


(5) 力率 λ

〔解答 5.4〕

(1)

Pc = V I = (100 − j50.0)V × (10.0 + j20.0)A = (2.00 + j1.50) kVA (5.17)

(2)

Pa = |Pc| =√

2.002 + 1.502 kVA = 2.50 kVA (5.18)

(3) 有効電力 P は複素電力 Pc の実部なので

P = Re Pc = 2.00 kW (5.19)

(4) 無効電力 Pr は複素電力 Pc の虚部なので

Pr = Im Pc = 1.50 kvar (5.20)

(5)

λ =P

Pa=

2.00 kW2.50 kVA

= 0.800 (5.21)

J

問題 5.15ある交流回路に (100 − j50) Vの電圧 E を加えたところ、(3.0 − j4.0) Aの電流 I が流れた。この

とき、以下の各量を有効数字および単位に注意して求めよ。ただし、√

5 = 2.24とする。

(1) インピーダンス Z

(2) アドミタンス Y

(3) 複素電力 Pc

(4) 皮相電力 Pa

(5) 有効電力 P

(6) 無効電力の大きさ |Pr|(7) 力率 λ

問題 5.16図 5.10の回路に関して有効数字および単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧 E は

300V、インピーダンス Z1 は (16 − j12) Ω、インピーダンス Z2 は j75 Ωとする。

(1) スイッチ SWが開いているときの回路の力率 λを求めよ。

(2) スイッチ SWが開いているときの電流 I を求めよ。


図 5.10問題 5.16

(3) スイッチ SWが開いているときの回路の複素電力 Pc を求めよ。

(4) スイッチ SWが閉じているとき Z2 に流れる電流 I2 を求めよ。

(5) スイッチ SWが閉じているときに回路全体に流れる電流 I を求めよ。

(6) スイッチ SWが閉じているときの回路の複素電力 Pc を求めよ。

(7) スイッチ SWが閉じているときの回路の力率 λを求めよ。

問題 5.17F

図 5.11の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、図中の E は電源電圧であり、I、Pa、cos θ は

各素子の電流、皮相電力、力率をそれぞれ表すものとする。電源電圧の位相角は 0であり、どの素

子も誘導性（電流が電圧よりも遅れている）であるとする。

図 5.11問題 5.17

(1) 図 5.11(a)の回路を流れる電流の大きさ |I|を求めよ。(2) 図 5.11(a)の回路を流れる電流 I を指数形式で求めよ。

(3) 図 5.11(b)の各素子を流れる電流 I1、I2 を指数形式で求めよ。

(4) 図 5.11(b)の回路全体の電流 I を直交形式で求めよ。

(5) 図 5.11(b)の回路全体の複素電力 Pc を求めよ。

(6) 図 5.11(b)の回路全体の皮相電力 Pa を求めよ。

(7) 図 5.11(b)の回路全体の力率を求めよ。


第 6章

回路方程式

6.1 キルヒホッフの法則

【例題 6.1】


図 6.1例題 6.1図

(1) この回路にキルヒホッフの電流則を適用した結果を記せ。

(2) この回路にキルヒホッフの電圧則を適用した結果を記せ。

(3) 回路を流れる電流 I1、I2 および I3 をそれぞれ求めよ。

〔解答 6.1〕

(1)

I1 + I2 − I3 = 0 (6.1)

120 c©大豆生田利章 2009 第 6章回路方程式

(2)

E1 =1

jωCI1 + RI3 (6.2)

E2 = jωLI2 + RI3 (6.3)

(3) I3 を消去して、

E1 =(

1jωC

+ R

)I1 + RI2 (6.4)

E2 = RI1 + (jωL + R) I2 (6.5)

これより

I1 =

(−ω2LC + jωCR

)E1 − jωCRE2

R (1 − ω2LC) + jωL(6.6)

I2 =−jωCRE1 + (1 + jωCR) E2

R (1 − ω2LC) + jωL(6.7)

I3 = I1 + I2 =−ω2LCE1 + E2

R (1 − ω2LC) + jωL(6.8)

J


図 6.2問題 6.1図

(1) 図中の電流 I1、I2 および I3 を求めよ。

(2) 図中 N 点の電圧 VN を求めよ。

(3) VN = 0となる条件を求めよ。

問題 6.2F

図 6.3の回路の I1, I2, I3 を以下の手順で求めよ。ただし、E1 から E3、Z1 から Z3、および I4 か

ら I6 は別に与えられるものとする。


図 6.3問題 6.2図

(1) 全節点においてキルヒホッフの電流則を適用した結果を示せ。

(2) キルヒホッフの電流則を利用して、、I4、I5 および I6 の間に成立すべき関係式を求めよ。

(3) 中央の閉路に関してキルヒホッフの電圧則を適用した結果を示せ。

(4) I1、I2 および I3 を求めよ。

6.2 閉路方程式

【例題 6.2】

図 6.4の回路に関して、有効数字と単位に注意して以下の問いに答えよ。ただし、電源電

圧 E1 は 6.0 V、電源電圧 E2 は 2.0V、コイルの誘導性リアクタンス XL は 3.0Ω、コン

デンサの容量性リアクタンス XC は 2.0Ω、抵抗 Rは 12.0Ωとする。

図 6.4例題 6.2図


(2) 上記の閉路方程式を解いて I1 と I2 を求めよ。

(3) 抵抗 R を流れる電流 IR を求めよ。ただし、図の上方から下方へ向かう向きを正と


する。

〔解答 6.2〕

(1)

E1 = (R + jXL) I1 + RI2 (6.9)

E2 = RI1 + (R − jXC) I2 (6.10)

(2) 上記解答に具体的数値を代入して、

6.0V = (12.0 + j3.0) Ω × I1 + 12.0Ω × I2 (6.11)

2.0V = 12.0Ω × I1 + (12.0 − j2.0) Ω (6.12)

これを解いて、

I1 = (0.80 − j3.6) A (6.13)

I2 = (−1.2 + j3.4) A (6.14)

(3)

IR = I1 + I2 = (0.80 − j3.6) A + (−1.2 + j3.4) A = (−0.40 − j0.20)A (6.15)

J

問題 6.3図 6.5の回路中の電圧 V を以下の手順にしたがって求めよ。

図 6.5問題 6.3図


(2) I1 および I2 を求めよ。




図 6.6問題 6.4図

(1) I1、I2 を閉路電流とした閉路方程式を記せ。

(2) I1、I2 を求めよ。

(3) 角周波数 ω が1√LC

であるときの、

∣∣∣∣VE∣∣∣∣を R, L, C を用いて表せ。

問題 6.5インピーダンス Z1, Z2, Z3、電圧源 E1, E2 からなる図 6.7の回路に関して以下の問に答えよ。

図 6.7問題 6.5図

(1) I1 と I2 を閉路電流とした閉路方程式を記せ。

(2) 閉路方程式を解いて閉路電流 I1 および I2 を求めよ。

問題 6.6図 6.8の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、電源の角周波数は ω であるとする。

図 6.8問題 6.6図



(2) 閉路電流 I1 および I2 を求めよ。

問題 6.7

図 6.9の回路に対して、閉路方程式を用いて I1, I3 を求めよ。各電圧源の電圧を E1, E2, E3、各素

子のインピーダンスを Z1, Z2, Z3 とする。

図 6.9問題 6.7図

問題 6.8図 6.10の回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数は ω とする。

図 6.10問題 6.8図


(2) I1、I2、I3 を求めよ。

問題 6.9図 6.11の回路に関して、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。図中の I1 から I3 は閉路電

流を表している。

(1) 図中の記号を用いて回路の閉路方程式を書け。

(2) 電源電圧が E = (8.0 − j8.0) V、抵抗 Rが 4.0Ω、コンデンサの容量性リアクタンス XC1 と

XC2 がともに 2.0Ω、コイルの誘導性リアクタンス XL1 が 2.0Ω、XL2 が 1.0Ω であるとす

る。閉路方程式を解いて、I1 から I3 を求めよ。

問題 6.10F



図 6.11問題 6.9図

図 6.12問題 6.10図


(2) L = CR2 という関係が成立するときに、I2 = I3 となることを示せ。

(3) L = CR2 であるときの各閉路電流 I1、I2、I3 を求めよ。

問題 6.11

図 6.13の回路に関して、閉路電流 I1, I2, I3 に対する閉路方程式を求めよ。また、閉路方程式を解

いて、閉路電流を電源電圧 E1, E2 とインピーダンス Z を用いて表示せよ。

図 6.13問題 6.11図


問題 6.12図 6.14の回路に関して、以下の問に答えよ。ただし、電源電圧 Ea が −j7.0V、電源電圧 Eb が

(12 + j5.0)V、抵抗 Rが 3.0Ω、誘導性リアクタンス XL1 が 6.0Ω、誘導性リアクタンス XL2 が

1.0Ω、容量性リアクタンスXC が 6.0Ωであるとする。

図 6.14問題 6.12図

(1) 図中の記号を用いて図 6.14の回路の閉路方程式を記せ。

(2) 閉路電流 I1、I2、I3 を有効数字 2桁で求めよ。

(3) 抵抗 Rの消費電力 P を求めよ。

問題 6.13図 6.15の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧E1 は (4.0− j4.0)V、電源電圧 E2 は

j2.0V、電源電圧 E3 は −j2.0V、抵抗 Rは 4.0 Ω、誘導性リアクタンスXL は 2.0Ω、容量性リア

クタンスXC は 4.0 Ωである。

図 6.15問題 6.13図


(2) I1、I2、 I3 を有効数字と単位に注意して求めよ。


問題 6.14F

図 6.16の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧E1 が (8.0 + j8.0)V、電源電圧 E2 が

j4.0V、電源電圧 E3 が −j4.0V、抵抗 Rが 2.0Ω、誘導性リアクタンスXL が 4.0Ω、容量性リア

クタンスXC が 1.0Ωであるとする。

図 6.16問題 6.14図


(2) I1、I2 I3 を有効数字と単位に注意して求めよ。

問題 6.15F

図 6.17の回路に関して以下の問に答えよ。図中 Ia から Ic は閉路電流であり、Ic は一番外側の閉路

を流れている。また各インピーダンス Z1、Z2 および Z3 は 0でない値をとるものとする。

図 6.17問題 6.15図


(2) Ia + Ib + Ic を求めよ。

(3) 電源 E1 を流れる電流を求めよ。


(4) E1 + E2 + E3 = 0および Z1 = Z2 = Z3 = Z の両方の条件が成立するとする。このときに

電源 E1 を流れる電流を E1 および Z を用いて表せ。。

(5) Ia + Ib + Ic が電源電圧 E1 および E2 によらないとする。このときの Ia + Ib + Ic の値を求

めよ。

問題 6.16F


図 6.18問題 6.16図

(1) I1、I2、I3 を閉路電流とした回路の閉路方程式を記せ。

(2) 特に、Za = Zb = Zc = Z、r1 = r2 = r3 = r であるとする。このときの閉路電流 I1 を E1、

E2、E3、Z および r を用いて表せ。

(3) (2)の条件が満たされているときに Za を流れる電流 Ia を E1、E2、E3、Z および rを用いて

表せ。


図 6.19問題 6.17図


(2) 特に E1 = E2 = E のときは、回路が左右対称になるで対称性より I1 = I2、I3 = I4 となる。

この条件の下で閉路方程式を解き、I1 および I3 を E および Z を用いて表せ。

6.3 節点方程式 c©大豆生田利章 2009 129


図 6.20問題 6.18図

(1) 閉路電流 I1 から I4 に関する閉路方程式を記せ。

(2) この回路において I1 = I2 = I3 = I4 であるときのE2

E1,E3

E1,E4

E1を求めよ。

6.3 節点方程式

【例題 6.3】

図 6.21の回路に関して、節点方程式を解いて、各節点電位 V1、V2 および V3 を求め、電

源電流 J1、J2 とアドミタンス Y を用いて表示せよ。ただし、V0 = 0とする。

図 6.21例題 6.3

〔解答 6.3〕

各節点にキルヒホッフの電流則を適用すると、

J1 − Y (V1 − V3) − Y (V1 − V3) = 0 (6.16)

J2 − 2Y (V2 − V3) − Y (V2 − V1) = 0 (6.17)

−Y (V3 − V1) − Y (V3 − V0) − 2Y (V3 − V2) = 0 (6.18)


となる。V0 = 0として、各節点電位に関して整理すると以下の節点方程式を得る。

J1 = 2Y V1 − Y V2 − Y V3 (6.19)

J2 = −Y V1 + 3Y V2 − 2Y V3 (6.20)

0 = −Y V1 − 2Y V2 + 4Y V3 (6.21)

節点方程式を解くと、節点電位は以下のようになる。

V1 =8J1 + 6J2

5Y(6.22)

V2 =6J1 + 7J2

5Y(6.23)

V3 =J1 + J2

Y(6.24)

J

問題 6.19電源電流 J の電流源と、アドミタンスが Y または 2Y の素子を用いて図 6.22の回路を作った。こ

こで、以下の問に答えよ。ただし、V0 は 0であるとする。

図 6.22問題 6.19図

(1) 節点方程式を示せ。

(2) 節点電位 V1、V2、V3 を求めよ。

問題 6.20図 6.23の回路に関して以下の問いに答えよ。ただし、V0 は 0であるとする。

(1) 節点電位 V1, V2, V3 に関する節点方程式を示せ。

(2) 節点方程式を解いて、節点電位を電源電流 J1, J2 およびアドミタンス Y を用いて表示せよ。

問題 6.21図 6.24の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、a点および b点の電圧を Va、Vb とし、電源の

角周波数を ω(6= 0,

√(C1 + C2)/LC1C2

)とする。

(1) アースを基準とした回路の節点方程式を記せ。

6.3 節点方程式 c©大豆生田利章 2009 131

図 6.23問題 6.20図

図 6.24問題 6.21図

(2) Va、Vb を求めよ。

(3) コイル L を流れる電流が 0になる条件を求めよ。

問題 6.22図 6.25の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、電源の角周波数を ω、電圧の基準点をアースと

する。

図 6.25問題 6.22図

(1) 回路の節点方程式を記せ。

(2) 節点電位 Va および Vb を求めよ。

(3) |Vb/Va| = 1/√

2となる角周波数を求めよ。

問題 6.23図 6.26の回路において、a点、b点、c点、d点の節点電位をそれぞれ Va、Vb、Vc、Vd とする。こ

こで、以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、電源電流 J1 は 3.0A、電源電流 J2 は

2.0Aとする。また、各抵抗の値は R1 が 2.0Ω, R2 が 3.0Ω, R3 が 4.0Ω, R4 が 6.0Ω, R5 が 6.0Ω


とする。

図 6.26問題 6.23図

(1) b点、c点、d点に関する節点方程式を図中の記号を用いて示せ。ただし、Va = 0とする。

(2) Va を基準とした各節点電位を求めよ。

問題 6.24アドミタンスが Y である素子と、電流源 J1 および J2 を用いて、図 6.27のような回路を作った。こ

の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、図中 aから dの各点の電位を Va から Vd とし、Va = 0

とする。

図 6.27問題 6.24図

(1) 回路の節点方程式を書け。

(2) Vb から Vd を求めよ。

問題 6.25F

図 6.28の回路に関して、以下の問いに答えよ。a点、b点、c点の節点電位をそれぞれ Va、Vb、Vc

とし、電圧の基準はアースとする。

(1) 回路の節点方程式を記せ。ただし、電圧の基準はアースとする。

(2) 上記節点方程式を解いて Va、Vb、Vc を求めよ。

6.4 インピーダンス行列・アドミタンス行列 c©大豆生田利章 2009 133

図 6.28問題 6.25図

6.4 インピーダンス行列・アドミタンス行列

【例題 6.4】

図 6.29の回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数を ω(6= 1/√

3LC)とする。

図 6.29例題 6.4図


(2) 端子対 a–bおよび c–dに関するインピーダンス行列 Zを記せ。

(3) インピーダンス行列を使って I1、I2 を求めよ。

〔解答 6.4〕


(1)

E1 =(

jωL +1

jωC

)I1 + jωLI2 (6.25)

E2 =(

jωL +1

j2ωC

)I2 + jωLI1 (6.26)

(2) [E1

E2

]=

[jωL + 1

jωC jωL

jωL jωL + 1j2ωC

] [I1

I2

](6.27)

より

Z =[jωL + 1

jωC jωL

jωL jωL + 1j2ωC

](6.28)

(3) [I1

I2

]=

[jωL + 1

jωC jωL

jωL jωL + 1j2ωC

]−1 [E1

E2

]=

13ω2LC − 1

[jωC

(2ω2LC − 1

)−j2ω3LC2

−j2ω3LC2 j2ωC(ω2LC − 1

)] [E1

E2

](6.29)

より

I1 =jωC

(2ω2LC − 1

)E1 − 2ω2LCE2

3ω2LC − 1

(6.30)

I2 =j2ωC

(ω2LC − 1

)E2 − ω2LCE1

3ω2CL − 1

(6.31)

J

問題 6.26F

図 6.30の回路は電流源 J1, J2 とアドミタンス Y1, Y2, Y3 からなる。この回路に関して以下の問い

に答えよ。

(1) 回路の節点方程式を記せ。ただし、V0 = 0とする。

(2) 端子対 a–bおよび c–dに関するアドミタンス行列を記せ。

(3) アドミタンス行列を使って、節点方程式を解き、節点電位 V1, V2 を求めよ。

問題 6.27F



(2) 閉路方程式から I3 を消去することで、端子対 a–bおよび c–dに関するインピーダンス行列を

求めよ。

6.5 特殊な回路方程式 c©大豆生田利章 2009 135

図 6.30問題 6.26図

図 6.31問題 6.27図

6.5 特殊な回路方程式

【例題 6.5】


図 6.32例題 6.5図



(2) 閉路方程式を解いて I1, I2, I3 を求めよ。

(3) 回路の節点方程式を記せ。

(4) Va を基準にして節点方程式を解いて Vb, Vc, Vd を求めよ。

〔解答 6.5〕

(1) 閉路中に電流源が含まれているので、閉路電流 I1 は一定になることに注意すると、

I1 = −J (6.32)

0 = Z2I1 + (Z1 + Z2 + Z3) I2 + Z3I3 (6.33)

E = −Z4I1 + Z3I2 + (Z3 + Z4) I3 (6.34)

となる。

(2) 上記解答から I2, I3 に関する式を得ると、

Z2J = (Z1 + Z2 + Z3) I2 + Z3I3 (6.35)

E − Z4J = Z3I2 + (Z3 + Z4) I3 (6.36)


I1 = −J (6.37)

I2 =−Z3E + (Z2Z3 + Z3Z4 + Z4Z2)J

(Z1 + Z2) (Z3 + Z4) + Z3Z4(6.38)

I3 =(Z1 + Z2 + Z3) E − Z2Z3 + Z4 (Z1 + Z2 + Z3) J

(Z1 + Z2) (Z3 + Z4) + Z3Z4(6.39)

(3) a–d間に電圧源がつながっていることに注意して、

−J =1Z1

(Vb − Va) +1Z2

(Vb − Vc) (6.40)

0 =1Z2

(Vc − Vb) +1Z3

(Vc − Va) +1Z4

(Vc − Vd) (6.41)

Vd = E + Va (6.42)

となる。

(4) Va = 0および Vd = E + Va = E を用いて、上記解答を書きなおすと、

−J =(

1Z1

+1Z2

)Vb − 1

Z2Vc (6.43)

E

Z4= − 1

Z2Vc +

(1Z2

+1Z3

+1Z4

)Vc (6.44)

6.5 特殊な回路方程式 c©大豆生田利章 2009 137


Vb =Z1Z3E − Z1 (Z2Z3 + Z3Z4 + Z4Z2) J

(Z1 + Z2) (Z3 + Z4) + Z3Z4(6.45)

Vc =Z3 (Z1 + Z2) E − Z1Z3Z4J

(Z1 + Z2) (Z3 + Z4) + Z3Z4(6.46)

Vd = E (6.47)

J

問題 6.28FF

図 6.33の回路に関して、J = βI となるように、電流源電流 J を調節した。このとき、電圧源から

見た回路のインピーダンス Z (= E/I)を求めよ。

図 6.33問題 6.28図

問題 6.29FF

図 6.34の回路に対して閉路方程式を適用して、閉路電流 I1, I2, I3 を求めよ。各素子のインピーダ

ンスは Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 とし、電圧源の電圧は E、電流源の電流は J とする。

図 6.34問題 6.29図

問題 6.30FF

図 6.35の回路に関して、以下の問に答えよ。a点、b点、c点、d点の節点電位をそれぞれ Va、Vb、

Vc、 Vd とする。ただし、電源の角周波数は ω とする。


図 6.35問題 6.30図

(1) 電圧の基準をアースとして、a点および b点に関する節点方程式を記せ。Vc = E1, Vd = E2

であることを利用せよ。

(2) 上記節点方程式を解いて Va、Vb を求めよ。

(3) a–b点間の電位差 Vab を求め、その大きさ |Vab|が一定であることを示せ。

問題 6.31FF

図 6.36の回路に対して以下の問に答えよ。各電圧源の電圧を E1, E3、各素子のインピーダンスを

Z1, Z2, Z3 とする。

図 6.36問題 6.31図

(1) 閉路方程式を用いて I1, I3 を求めよ。

(2) 電圧源を電流源に変換した後、節点方程式を用いて V1 を求めよ。（V0 = 0とする。）


第 7章

周波数特性と共振

7.1 インピーダンスの周波数特性

【例題 7.1】

図 7.1の回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数は ω である。

図 7.1例題 7.1

(1) 電圧 V の大きさ |V |を求めよ。(2) lim

ω→0|V |を求めよ。

(3) limω→∞

|V |を求めよ。

(4) |V | =|E|√

2となる角周波数 ω0 を求めよ。

(5) ω = ω0 のときの V と E の位相差を求めよ。

〔解答 7.1〕

(1)

V =R

R +1

jωC

E =jωCR

1 + jωCRE (7.1)

140 c©大豆生田利章 2009 第 7章周波数特性と共振

より、両辺の絶対値をとって

|V | =ωCR√

1 + (ωCR)2|E| (7.2)

(2) ω → 0で√

1 + (ωCR)2 → 1なので

limω→0

|V | = limω→0

ωCR |E| = 0 (7.3)

(3) ω → ∞で√

1 + (ωCR)2 ;√

(ωCR)2 = ωCRより

limω→∞

|V | = limω→∞

ωCR

ωCR|E| = |E| (7.4)

(4)

|V | =|E|√

2(7.5)

ω0CR√1 + (ω0CR)2

=1√2

(7.6)

2(ω0CR)2 = 1 + (ω0CR)2 (7.7)

ω0CR = 1 (7.8)

ω0 =1

CR(7.9)

(5) 式 (7.1)に ω0CR = 1を代入して

V =j

1 + jE =

1 + j2

E =1√2

exp(jπ

4) · E (7.10)

これより、V と E の位相差はπ

4ラジアンとなる。

J

問題 7.1

図 7.2の各回路のインピーダンスを Za, Zb, Zc, Zd とするときこれらのインピーダンスを求めよ。

角周波数は ω とする。また、各インピーダンスに関して ω → 0および ω → ∞の極限を求めよ。

問題 7.2

RL 直列接続のインピーダンスの大きさが kR (k > 1)であるときのインピーダンス角を求めよ。

問題 7.3

RC 並列接続のインピーダンス角が −π

6のときの、合成インピーダンスの大きさを R を用いて

表せ。

問題 7.4図 7.3の回路に関して以下の問に答えよ。角周波数は ω とする。

7.1 インピーダンスの周波数特性 c©大豆生田利章 2009 141

図 7.2問題 7.1

図 7.3問題 7.4

(1) A–B間の合成インピーダンス Z を直交形式で求めよ。

(2) limω→∞

Z = R1 + R2 であることを示せ。

問題 7.5

図 7.4の回路の A–B 間のインピーダンス Z が周波数に関係になく一定の値 K になる。このとき

に、R, L, C の間に成り立つ関係式およびK の値を求めよ。

図 7.4問題 7.5

問題 7.6図 7.5の回路に対して以下の問に答えよ。角周波数を ω とする。

(1) limω→0

∣∣∣∣Vo

Vi

∣∣∣∣を求めよ。(2) lim

ω→∞

∣∣∣∣Vo

Vi

∣∣∣∣を求めよ。


図 7.5問題 7.6

問題 7.7

図 7.6の回路において、a–b間の電圧の大きさ |Vab|が周波数によらず一定であることを示せ。

図 7.6問題 7.7

問題 7.8図 7.7の A–B間に電圧を加えたときに、以下の問に答えよ。

図 7.7問題 7.8

(1) V1 と V2 の比V1

V2を求めよ。

(2) limω→0

V1

V2を求めよ。

(3) limω→∞

V1

V2を求めよ。

【例題 7.2】

図 7.8の回路において、入力電圧 Vi と出力電圧 Vo の比Vi

Voが k角周波数 ω に関係なく

7.1 インピーダンスの周波数特性 c©大豆生田利章 2009 143

なる条件を求めよ。また、そのときのVi

Voを求めよ。

図 7.8例題 7.2

〔解答 7.2〕

C1 と R1 の並列合成インピーダンスは

R1 ·1

jωC1

R1 +1

jωC1

=R1

1 + jωC1R1(7.11)

C2 と R2 の並列合成インピーダンスは

R2 ·1

jωC2

R2 +1

jωC2

=R2

1 + jωC2R2(7.12)

なので

Vo

Vi=

R2

1 + jωC2R2

R1

1 + j ωC1R1+

R2

1 + j ωC2R2

=R2 (1 + jωC1R1)

R1 (1 + j ωC2R2) + R2 (1 + j ωC1R1)

=R2 + jωC1C2R2

R1 + R2 + jω (C1 + C2) R1R2(7.13)

式 (7.13)が周波数に関係なくなるためには、分母・分子をそれぞれ角周波数 ω の多項式

と考えたときに、各項の係数の比が等しければよい。よって、

R2

R1 + R2=

jC1R2R2

j (C1 + C2)R1R2=

C1

C1 + C2(7.14)

より

C1R1 = C2R2 (7.15)

が求める条件になる。また、式 (7.13)に式 (7.15)を代入して、

Vo

Vi=

R2

R1 + R2(7.16)


J

問題 7.9F


図 7.9問題 7.9

(1) 電源電圧 E と a–b間の電圧 Vab の電圧比Vab

Eを求めよ。

(2) 電圧比の大きさ

∣∣∣∣Vab

E

∣∣∣∣が角周波数 ω に関係無くなる条件を求めよ。

(3) (2)の条件のもとで、ω → 0のときの E と Vab の位相差を求めよ。

(4) (2)の条件のもとで、ω → ∞のときの E と Vab の位相差を求めよ。

(5) (2)の条件のもとで、E と Vab の位相差の大きさが π/2となる角周波数を求めよ。

問題 7.10F

図 7.10の回路に関して以下の問に答えよ。電圧 V は一定であるとする。

図 7.10問題 7.10


(2) |V1|を求めよ。(3) V2 を求めよ。

(4) |V2|を求めよ。(5) |V1|2 + |V2|2 が角周波数 ω によらずに一定になる条件を求めよ。

7.2 周波数特性の表し方 c©大豆生田利章 2009 145

問題 7.11F

図 7.11の回路に関して、以下の問に答えよ。ただし、電源電圧 E は一定であるとする。

図 7.11問題 7.11

(1) |VC |2 + |VL|2 が角周波数 ω によらずに一定になる条件を求めよ。

(2) (1)の条件が成立するときの回路の消費電力 P を求めよ。

問題 7.12F

図 7.12の回路において電源電圧 E を変えずに、角周波数 ω を変えたときに、|IL|2 + |IC |2 が角周

波数 ω によらず一定になる条件を求めよ。

図 7.12問題 7.12

7.2 周波数特性の表し方

【例題 7.3】

V = 1.5V、V0 = 0.30Vのとき、∣∣∣∣ V

V0

∣∣∣∣は何デシベルか。〔解答 7.3〕


20 log∣∣∣∣ V

V0

∣∣∣∣ = 20 log∣∣∣∣ 1.5V0.30V

∣∣∣∣ = 20 log 5.0 = 13.9 · · · dB ; 14 dB (7.17)

J

問題 7.13

I = 3.2mA、I0 = 1.0Aのとき、

∣∣∣∣ I

I0

∣∣∣∣は何デシベルか。問題 7.14

電圧が 3.5 dB 大きくなったときに実際には何倍になったか求めよ。

問題 7.15

1.0Wを [dBm]単位で表せ。

問題 7.16

18.45 dBm は何ワットか。

【例題 7.4】

図 7.13の回路において V0 に対する V の振幅特性 A(ω)と振幅特性 Θ(ω)を求めよ。

図 7.13例題 7.4

〔解答 7.4〕

V

V0=

R

R + jωL(7.18)

より、振幅特性と位相特性は

A(ω) =∣∣∣∣ V

V0

∣∣∣∣ =|V ||V0|

=|R|

|R + jωL|=

R√R2 + (ωL)2

(7.19)

Θ(ω) = argV

V0= arg V − arg V0 = tan−1 0

R− tan−1 ωL

R= − tan−1 ωL

R(7.20)

となる。

7.3 共振 c©大豆生田利章 2009 147

J

問題 7.17

図 7.14の回路において V/V0 の振幅特性 A(ω) と位相特性 Θ(ω)を求めよ。

図 7.14問題 7.17

7.3 共振

【例題 7.5】

図 7.15の回路において、R = 1.0Ω, L = 5.0mH, C = 2.0 µFであるとする。このとき、

共振角周波数 ω0、共振周波数 f0 および回路の Qはいくらになるか有効数字に注意して

求めよ。

図 7.15例題 7.5

〔解答 7.5〕

共振角周波数 ω0 は

ω0 =1√LC

=1√

5.0 mH × 2.0 µF= 1.0 × 104 rad/s = 10 krad/s (7.21)

共振周波数 f0 は

f0 =ω0

2π=

1.0 × 104 rad/s2π

= 1. /56

/9 · · · × 103 Hz = 1.6 × 103 Hz = 1.6 kHz (7.22)

Qは

Q =ω0L

R=

1ω0CR

=1R

√L

C= 50 (7.23)


J

問題 7.18

図 7.16 (a)および図 7.16 (b)の回路の共振周波数 f0 および Q 値を有効数字に注意して求めよ。た

だし、図 7.16(a)の回路の抵抗 R1 は 5.0Ω、静電容量 C1 は 0.25 µF、インダクタンス L1 は 10mH

であり、図 7.16(b)の回路の抵抗 R2 は 300 kΩ、静電容量 C2 は 100 pF、インダクタンス L2 は

10mHとする。

図 7.16問題 7.18

問題 7.19図 7.17の回路において抵抗 Rは 10Ω、インダクタンス Lは 5.0mHである。また、電源の電圧 E

は 150V であり、周波数 f は 1.0 kHz である。ここで、以下の問に有効数字と単位に注意して答

えよ。

図 7.17問題 7.19

(1) コンデンサ C の値を調節して電流の大きさ |I|が最大になるようにした。このときの、C の値

を求めよ。

(2) (1)のときの電流の最大値 Imax を求めよ。

問題 7.20

電源電圧 100V、抵抗R = 50Ωとコイル Lおよびコンデンサ C を用いて図 7.18 (a)の回路を作っ

たところ、電流 I1 が 2.0Aになった。さらに、同じ電源および回路素子を用いて図 7.18 (b)の回路

を作った。このとき、電流 I2 の値はいくらになるか求めよ。

7.3 共振 c©大豆生田利章 2009 149

図 7.18問題 7.20

問題 7.21F

図 7.19の回路においてコンデンサ C は 40 pFから 800 pFの間で容量を変えられる可変コンデン

サである。ここで、C の値を変えたときに共振周波数が 1.0 MHzから 3.0MHzの間で変化するよ

うにコンデンサ C0 の静電容量とコイル Lのインダクタンスを定めよ。

L C 0 C

図 7.19問題 7.21

問題 7.22F

図 7.20の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、ω 6= 0とする。

C 0

L 0

C 1

図 7.20問題 7.22

(1) C0 と L0 の合成アドミタンス Y0 を求めよ。

(2) 回路の全合成インピーダンス Z を求めよ。


(4) Z = ∞となる角周波数 ω∞ を求めよ。


(5) ω0 や ω∞ のような角周波数を総称して何と呼ぶか答えよ。

(6) ω → 0のときのインピーダンス Z0 を求めよ。

(7) ω → ∞のときのインピーダンス Z∞ を求めよ。

(8) Z が誘導性になる ω の範囲を求めよ。

【例題 7.6】

図 7.21の回路について、以下の問に答えよ。電源の角周波数を ω とする。

図 7.21例題 7.6


(2) Z の虚部が 0になるという条件で回路の共振角周波数 ω1 を求めよ。

(3) ω = ω1 のときの回路のインピーダンス Z1 を求めよ。

(4) CR 並列回路においてコンデンサの QC は QC = ωCR と定義される。ω = ω0 =1√LCでの QC を Q0 とおく。ω1 を ω0 および Q0 を用いて表せ。

(5) R → ∞で ω1 → ω0 になることを示せ。

〔解答 7.6〕

(1)

Z = j ωL +R × 1

j ωC

R +1

j ωC

= j ωL +R

1 + jωCR= j ωL +

R (1 − j ωCR)1 + (ωCR)2

=R

1 + (ωCR)2+ jω

[L − CR2

1 + (ωCR)2

](7.24)

7.3 共振 c©大豆生田利章 2009 151

(2)

L − CR2

1 + (ω1CR)2= 0 (7.25)

L + ω12LC2R2 = CR2 (7.26)

ω12 =

CR2 − L

LC2R2=

1LC

·[1 − L

CR2

](7.27)

ω1 =

√1

LC·[1 − L

CR2

](7.28)

(3)

Z1 =R

1 + (ω1CR)2=

R

1 +1

LC

[1 − L

CR2

]C2R2

=R

1 +1

LC(C2R2 − LC)

=LCR

LC + (C2R2 − LC)=

L

CR(7.29)

(4)

Q0 = ω0CR = R

√C

L(7.30)

になる。

ω1 =

√1

LC·[1 − L

CR2

]=

1√LC

√1 − L

CR2= ω0

√1 − 1

Q02 (7.31)

(5)

limR→∞

Q0 = ∞ (7.32)

なので

limR→∞

ω1 = limR→∞

ω0

√1 − 1

Q02 = ω0 (7.33)

（この結果は、Rが十分に大きければ LC 直列共振回路として扱ってもよいことを示

している。）

J




図 7.22問題 7.23

(2) サセプタンス分 B が 0になるという条件から回路の共振角周波数 ω0 を求めよ。

(3) 共振時の合成アドミタンス Y0 を求めよ。

(4) 共振時に回路に流れる電流 I0 を求めよ。

問題 7.24図 7.23の回路に対して以下の問に答えよ。電源の角周波数を ω とする。

図 7.23問題 7.24


(2) Y の虚部が 0になるという条件で回路の共振角周波数 ω1 を求めよ。

(3) ω = ω1 のときの回路のアドミタンス Y1 を求めよ。

(4) LR直列回路において、コイルの QL は QL = ωL/Rと定義される。ω = ω0 = 1/√

LC での

QL を Q0 とおく。ω1 を ω0 および Q0 を用いて表せ。

(5) R → 0で ω1 → ω0 になることを示せ。

問題 7.25F

図 7.24の回路の共振角周波数 ω0 および共振時のインピーダンス Z0 を求めよ。ただし、CR2 6= L

であるとする。

問題 7.26F

図 7.25の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、抵抗 R1 は 200Ω、抵抗 R2 は 100Ω、静電容

量 C1 は 2.0 µF、静電容量 C2 は 0.10Fであるとする。

(1) コンデンサ C1 とコイル Lが角周波数 500 rad/sで並列共振した。 Lの値を求めよ。

7.3 共振 c©大豆生田利章 2009 153

図 7.24問題 7.25

図 7.25問題 7.26

(2) (1)の条件のもとで角周波数 500 rad/s の交流電圧 V を加えたところ、大きさ 20A の電流 I

が流れた。電圧 V の大きさを求めよ。

(3) (1)と (2)の条件のもとで A 点の電圧がいくらになるか求めよ。


第 8章

回路の諸定理

8.1 重ね合せの理

【例題 8.1】

重ね合わせの理を用いて図 8.1中の電流 I を求めよ。

図 8.1例題 8.1

〔解答 8.1〕

図 8.1の回路は図 8.2 (a)と図 8.2 (b)の回路の重ね合わせである。図 8.2のそれぞれの回

路の電流 I ′, I ′′ は

I ′ =E

3R

2+ R

=2E

5R(8.1)

I ′′ = J × R11R

4+ R

× 3R

3R + R=

J

5(8.2)

であるので、

I = I ′ + I ′′ =2E

5R+

J

5(8.3)

となる。

8.1 重ね合せの理 c©大豆生田利章 2009 155

図 8.2問題 8.0

J

問題 8.1

図 8.3の回路の閉路電流 I1、I2、I3 を閉路方程式および重ね合わせの理を用いて求め、両者が一致

することを確かめよ。

図 8.3問題 8.1

問題 8.2

図 8.4の回路における電流 I を重ね合せの理を用いて求めよ。


(1) 図 8.5の回路から電流源を除いた回路の回路図を示せ。

(2) (1)の回路における A–B間の電圧 V ′AB を求めよ。

(3) 図 8.5の回路から電圧源を除いた回路の回路図を示せ。

(4) (3)の回路における A–B間の電圧 V ′′AB を求めよ。

(5) 図 8.5の回路における A–B間の電圧 VAB を求めよ。

156 c©大豆生田利章 2009 第 8章回路の諸定理

図 8.4問題 8.2

図 8.5問題 8.3

問題 8.4

図 8.6中 a点の電圧 Va を重ね合わせの理を用いて求めよ。

図 8.6問題 8.4

問題 8.5

図 8.7の回路の電圧 V を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 8.7問題 8.5

8.2 鳳・テブナンの定理と補償定理 c©大豆生田利章 2009 157

問題 8.6

図 8.8の回路の電圧 V を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 8.8問題 8.6

問題 8.7

図 8.9の回路の A–B間の開放電圧 V0 を重ね合せの理を用いて求めよ。

図 8.9問題 8.7

8.2 鳳・テブナンの定理と補償定理

【例題 8.2】

図 8.10の回路に関して、鳳・テブナンの定理およびノートンの定理を用いて、以下の各

量を有効数字および単位に注意して求めよ。ただし、電源電流 J は 3.0A、抵抗 R1 は

2.0Ω、抵抗 R2 は 3.0Ωとし、端子 Bを電圧の基準とする。

(1) 等価電圧源の電源電圧 E0

(2) 等価電圧源の内部抵抗 R0

(3) 等価電流源の電源電流 J0

(4) 等価電流源の内部コンダクタンス G0


図 8.10例題 8.2

〔解答 8.2〕

(1)

E0 = −R1 × J = −2.0Ω × 3.0A = −6.0V (8.4)

(2)

R0 = R1 + R2 = 2.0Ω + 3.0 Ω = 5.0 Ω (8.5)

(3)

J0 = −J × R1

R1 + R2= −3.0A × 2.0 Ω

2.0Ω + 3.0Ω= −1.2A (8.6)

(4)

G0 =1

R1 + R2=

15.0Ω

= 0.20 S (8.7)

J

問題 8.8

鳳・テブナンの定理およびノートンの定理を用いて、図 8.11の回路の等価電圧源の電源電圧 E0・

内部インピーダンス Z0 および等価電流源の電源電流 J0・内部アドミタンス Y0 を求めよ。ただし、

端子 Bを電圧の基準とする。

図 8.11問題 8.8


問題 8.9

鳳・テブナンの定理を用いて、図 8.12の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部インピーダン

ス Z0 を求めよ。ただし、端子 B を電圧の基準とする。

図 8.12問題 8.9

問題 8.10

鳳・テブナンの定理を用いて図 8.13中の破線より左側の等価電源を求め、それを用いて電流 I を求

めよ。

図 8.13問題 8.10

問題 8.11F


図 8.14問題 8.11

(1) 鳳・テブナンの定理を用いて、端子対 A–Bから回路を見たときの等価電圧源の電源電圧 E0 お

よび内部インピーダンス Z0 を求めよ。ただし、端子 Bを電圧の基準とする。


(2) 端子 A と端子 Bを短絡したときに、端子 A から端子 Bに向かって流れる電流を求めよ。


図 8.15問題 8.12

(1) 図 8.15 (a)の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部インピーダンス Z0 を求めよ。

(2) 図 8.15 (b)の回路の等価電圧源の電源電圧 E′0 および内部インピーダンス Z′

0 を求めよ。

問題 8.13

図 8.16の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部インピーダンス Z0 を求めよ。

図 8.16問題 8.13

問題 8.14図 8.17の回路に関して、有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、R1 = 4.0Ω,

R2 = 1.0Ω, J = 1.0A, E = 6.0Vであるとする。

(1) 図 8.17の回路の等価電圧源の内部抵抗 R0 を求めよ。

(2) 図 8.17の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 を求めよ。

問題 8.15F

図 8.18の回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、抵抗 R1 は 2.0Ω、

抵抗 R2 は 4.0 Ω,電源電流 J は 9.0A、電源電圧 E は 12.0 Vとする。

(1) A–B間の電源を除去したときの合成抵抗 R0 を求めよ。


図 8.17問題 8.14

図 8.18問題 8.15

(2) A–B間を開放したときの端子電圧 E0 を重ね合せの理を用いて求めよ。ただし、B点を電圧の

基準とする。

(3) A–B間を短絡したときの端子電流 J0 を重ね合せの理を用いて求めよ。ただし、A 点から B点

に向かう向きを正とする。

問題 8.16FF

図 8.19のブリッジ回路は平衡条件が成立しているものとする。このとき、以下の問に答えよ。

図 8.19問題 8.16

(1) 抵抗 R1 を流れる電流 I1 を求めよ。

(2) 抵抗 R1 の値が R1 + ∆Rに変化した。このとき、抵抗 R1 を流れる電流の変化分∆I1 を補償

定理を用いて求めよ．

(3) 抵抗 R1 の値が R1 + ∆Rに変化したとき、電流計 A の指示する値∆I を求めよ。

(4) ブリッジの平衡条件を用いて (2)の解答から R4 を消去せよ。

(5) 特に ∆R ¿ R1 が成立するときに、∆I を ∆R, I1, R1, R2, R3 のうち適当なものを用いて近

似せよ。


8.3 最大消費電力の定理

【例題 8.3】

図 8.20の回路に関して以下の問いに答えよ。電源の角周波数は ω とし、RL, CL は大き

さが可変であるとする。

図 8.20例題 8.3

(1) 破線より左側の部分の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部インピーダンス Z0 を求

めよ。

(2) RL で消費される電力が最大であるときの、RL および CL の値を RS , LS , ω を用い

て表せ。

〔解答 8.3〕

(1)

E0 =jωLsE

Rs + jωLs(8.8)

Z0 =jωLsRs

Rs + jωLs(8.9)

(2) 負荷のインピーダンス Z は

Z = RL +1

jωCL(8.10)

8.3 最大消費電力の定理 c©大豆生田利章 2009 163

であり、Z0 = Z のときに、RL の消費電力が最大になるので、

jωLsRs

Rs + jωLs= RL − 1

jωC(8.11)

(ωLs)2Rs + jωLsRs

2

Rs2 + (ωLs)

2 = RL + j1

ωCL(8.12)

両辺の実部と虚部を比較して、

RL =(ωLs)

2Rs

Rs2 + (ωLs)

2 (8.13)

CL =1

ω2Ls+

Ls

Rs2 (8.14)

J

問題 8.17電源電圧 E0、内部抵抗 R0 の直流電圧源に可変抵抗 Rを接続して図 8.21の回路を作った。この回

路に関して以下の問に答えよ。

図 8.21問題 8.17

(1) 抵抗 Rの最大消費電力 Pmax を求めよ。（消費電力が最大になる条件は既知とする。）

(2) 抵抗 Rの消費電力 P が Pmax の半分になったときの、抵抗 Rの値を R0 を用いて表せ。


図 8.22問題 8.18


(1) 鳳・テブナンの定理を用いて、破線より左側の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部抵抗 R0

を求めよ。

(2) 抵抗 r で消費される電力が最大になる条件を求めよ。

問題 8.19抵抗 R1, R2、コイル L、可変抵抗 R3、可変コンデンサ C からなる図 8.23の回路に関して以下の

問に答えよ。交流電圧源の電圧は E、角周波数は ω とする。

図 8.23問題 8.19

(1) 鳳・テブナンの定理を用いて図の破線より左側の回路の等価電圧源の電源電圧 E0 および内部

インピーダンス Z0 を求めよ。

(2) 図の破線より右側の負荷で消費される電力が最大になるように、抵抗 R3 と静電容量 C の値を

定めよ。

問題 8.20

図 8.24の回路において抵抗 Rおよび静電容量 C は可変であるとする。このとき、抵抗 Rで消費さ

れる電力が最大となる条件を求めよ。電源の各周波数は ω とする。

図 8.24問題 8.20

問題 8.21F

図 8.25のように、電源電圧 E0 および内部インピーダンス Z0 の交流電圧源に負荷インピーダンス

Z を接続した。ここで、Z を調節して消費電力を最大にしたとき、回路の力率が 100%になること

を示せ。

8.4 相反定理 c©大豆生田利章 2009 165

図 8.25問題 8.21

8.4 相反定理

【例題 8.4】


図 8.26例題 8.4

(1) I2 を求めよ。

(2) I1 を求めよ。

(3) 相反定理が成り立っていることを確かめよ。

〔解答 8.4〕

(1)

I2 =E1

R1 +R2R3

R2 + R3

× R3

R2 + R3=

R3E1

R1R2 + R2R3 + R3R1(8.15)

(2)

I1 =E2

R2 +R1R3

R1 + R3

× R3

R1 + R3=

R3E2

R1R2 + R2R3 + R3R1(8.16)


(3)

E1

I2=

E2

I1

(= R1 + R2 +

R1R2

R3

)(8.17)

より、相反定理が成立している。

J

問題 8.22

図 8.27のような 2 端子対網に対して、左側の図のようにインピーダンス Za に直列に電源電圧

が (2.0 + j1.0) V の電圧源 E1 を挿入したときに、Zb に (1.0 − j3.0) A の電流 Ib1 が流れた。

このとき、右側の図のようにインピーダンス Zb に直列に電圧源 E2 を挿入したときに、Za に

(1.0 + j2.0) Aの電流 Ia2 を流すためには E2 の値をどのようにすればよいか答えよ。。

図 8.27問題 8.22


第 9章

変成器

9.1 相互インダクタンス

【例題 9.1】

変成器を使った図 9.1の回路に関して以下の問に答えよ．

V 1 V 2

I 1 I 2 M

L 1 L 2

M I 1 I 2 M

L 1 L 2

(a) (c)

V 1 V 2 L 1 L 2

(b)

図 9.1例題 9.1

(1) 図 9.1 (a)の回路に関して V1, V2, I1, I2 の間の関係式（変成器の基礎式）を記せ。

(2) 図 9.1 (b)のように変成器の二次側を開放した。このときの V1 と V2 の比を求めよ．

(3) 図 9.1 (c)のように変成器の二次側を短絡した。このときの I1 と I2 の比を求めよ．

〔解答 9.1〕

(1) 以下のとおり。

V1 = jωL1I1 + jωMI2 (9.1)

V2 = jωMI1 + jωL2I2 (9.2)

168 c©大豆生田利章 2009 第 9章変成器

(2) 二次側開放より I2 = 0となる。これを式 (9.1)および式 (9.2)に代入して、

V1 = jωL1I1 (9.3)

V2 = jωMI1 (9.4)

式 (9.4)と式 (9.3)より、

V1 : V2 = jωL1I1 : jωMI1 = L1 : M (9.5)

(3) 二次側短絡より V2 = 0となる。これを式 (9.2)に代入して、

0 = jωMI1 + jωL2I2 (9.6)

これより

MI1 = −L2I2 (9.7)

I1 : I2 = −L2 : M (9.8)

J

問題 9.1

図 9.2の左の変成器の極性を右のように変えた。このときM ′ = −M となることを示せ。

M M'

V 1 V 2

I 1 I 2

V 1 V 2

I 1 I 2

図 9.2問題 9.1


(1) (a)の変成器に関して変成器の基礎式を書け。

(2) (b)の変成器に関して変成器の基礎式を書け。

(3) (a)の変成器と (b)の変成器を (c)のように接続した。(1)および (2)の解答をもとに、I1, I2, I4

の間の関係式を導け。

(4) (c)の回路と (d)の回路が等価であるとき、L′1, L′

4, M ′ を L1 から L4 およびM と mを用い

て表せ。

問題 9.3図 9.4の回路の合成インピーダンス Z (= V/I) を以下の手順で求めよ。電源の角周波数は ω と

する。

9.1 相互インダクタンス c©大豆生田利章 2009 169

m

L 3 L 4 V 3 V 4

I 3 I 4

M

L 1 L 2 V 1 V 2

I 1 I 2

(a) (b)

L 1 ' L 4 '

M'

(d)

V 1 V 4

I 1 I 4 m

L 3 L 4 V 4

I 4

M

L 1 L 2 V 1

V 2

I 1 I 2

(c)

図 9.3問題 9.2

L 1

L 2

I 2

I 1

I

V

M

図 9.4問題 9.3

(1) キルヒホッフの電流則に基づき I, I1, I2 の関係式を記せ。

(2) 変成器の基礎式に基づき V , I1, I2 の関係式を記せ。

(3) (2)の関係式から I1 : I2 を求めよ。

(4) (1)と (3)の結果を用いて、I1, I2 を I, L1, L2, M を用いて表せ。

(5) (2)と (4)の結果を用いて Z を求めよ。

問題 9.4

図 9.5の (a)のように変成器の二次側を短絡した。ここで (a)と (b)および (c)の回路がすべて等価

になったとする。L3、L4、L5 および L′ を L1、L2、およびM を用いて表せ。

問題 9.5図 9.6において左の回路と右の回路は等価である。このとき、以下の問に答えよ。

(1) L3, L4, L5 を L1, L2, M を用いて表せ。

(2) 回路の合成インピーダンスを求めよ。

問題 9.6図 9.7の回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数は ω とする。

(1) 変成器の基礎式を用いて V1, V2, I1, I2 の間の関係式を記せ。


L 1 L 2

M

(a)

L 3 L 4

L 5

(b)

L '

(c)

図 9.5問題 9.4

図 9.6問題 9.5

図 9.7問題 9.6

(2) I, I1, I2 の関係を記せ。

(3) VR と I の関係を記せ。

(4) キルヒホッフの電圧則に基づき V , V1, V2, VR の間の関係式を記せ。


問題 9.7図 9.8 (a)は 1つのコイルの中間に端子をつけたもので、オートトランス（単巻変圧器）と呼ばれて

いる。以下の手順にしたがって、オートトランスの端子電圧（V1, V2）と端子電流（I1, I2）の関係

を求めよ。ただし、図 9.8 (b)のようにオートトランスを分割したときに、端子 A–B間の自己イン

ダクタンスが L1、端子 A′–A間の自己インダクタンスが L2、L1 と L2 の間の相互インダクタンス

9.2 変成器を含む回路の計算 c©大豆生田利章 2009 171

がM であるとする。

A

B

A'

B'

V 1

I 1

I 2

V 2

(a)

A

B

A'

B'

V 1

I 1

I 2

V 2

L 1

L 2

M

(b)

A

B

A'

B'

V 1 ' I 1 '

I 2 '

V 2 '

L 1

L 2

M

(c)

図 9.8問題 9.7

(1) 図 9.8 (c)の回路の V1′, V2

′, I1′, I2

′ の間の関係を変成器の基礎式を用いて表せ。

(2) 図 9.8の (b)および (c)を比べることで、I1′, I2

′ と I1, I2 の関係を記せ。

(3) 図 9.8の (b)および (c)を比べることで、V1′, V2

′ と V1, V2 の関係を記せ。

(4) 図 9.8 (b)の回路の V1, V2, I1, I2 の間の関係式を求めよ。

9.2 変成器を含む回路の計算

【例題 9.2】


図 9.9例題 9.2

(1) 図中の変成器の基礎式を記せ。

(2) I1 と I2 の関係を求めよ。

(3) 一次側から見たインピーダンス Z を求めよ。

〔解答 9.2〕


(1)

V1 = jωL1I1 + jωMI2 (9.9)

V2 = jωMI1 + jωL2I2 (9.10)

(2) V2 = −RI2 と式 (9.10)より、

I2 = − jωM

R + jωL2I1 (9.11)

(3) 式 (9.9)を式 (9.11)に代入して、

V1 = jωL1I1 + jωMI2 = jωL1I1 + jωM

(−jωM

R + jωL2

)I1

=ω2

(M2 − L1L2

)+ jωL1R

R + jωL2I1 (9.12)

これより

Z =V1

I1=

ω2(M2 − L1L2

)+ jωL1R

R + jωL2(9.13)

J


E

M

L 1 L 2

I 1 I 2

図 9.10問題 9.8

(1) 閉路電流 I1, I2 に対する閉路方程式を示せ。

(2) I1, I2 を求めよ。

問題 9.9図 9.11の回路において図の左の回路と右の回路は等価であるものとし、以下の手順で I1, I2, I3 を

求めよ。ただし、計算を簡単にするため jω を sとおき、sをそのままにして計算せよ。

(1) 右の回路にキルヒホッフの電流則を適用した結果を記せ。

(2) 右の回路にキルヒホッフの電圧則を適用した結果を記せ。


図 9.11問題 9.9

(3) 左の回路と右の回路が等価であることから、左の回路中の変成器の基礎式を用いて、E2, E3 に

関して成り立つ関係式を示せ。（電流の向きに注意せよ。）

(4) (1)、(2)および (3)の結果を用いて、左の回路における I1, I2, I3 を求めよ。

問題 9.10

図 9.12の回路の電源から見たインピーダンス Z および共振周波数 ω0 を求めよ。

C L 1

L 2

M

図 9.12問題 9.10

問題 9.11図 9.13の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、L1L2 6= M2 であるとする。

V 1 V 2

I 1 I 2

L 1 L 2

M

C 1

図 9.13問題 9.11

(1) V1、V2、I1、I2 に関する方程式を記せ。

(2) 二次側を開放したときの一次側からみたインピーダンス V1/I1 を求めよ。

(3) V1/I1 = ∞となる角周波数 ω∞ を求めよ。


問題 9.12

図 9.14のように変成器の一次側と二次側を接続した。極性に注意して、それぞれの場合の合成イン

ピーダンスを求めよ。

図 9.14問題 9.12

問題 9.13図 9.15の回路は Campbellブリッジと呼ばれる回路である。この回路に関して以下の問に答えよ。

C

L 1 L 2

M

E

I 1 I 2

A

図 9.15問題 9.13

(1) 図中の電流 I1、I2 を求めよ。

(2) 電流計の指示がゼロになる条件を求めよ。

問題 9.14F

図 9.16の回路に関して以下の問に答えよ。電源の各周波数は ω (6= 0)とする。


(2) 閉路方程式を解いて電源から見た回路のインピーダンス Z (= E/I1)を求めよ。

(3) Z = ∞となる角周波数 ω∞ を求めよ。


(5) ω0 を ω∞ および結合定数 k を用いて表せ。


C E

I 1 I 2

L 1 L 2

M

図 9.16問題 9.14

問題 9.15F

図 9.17の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、L1L2 6= M2 であるとする。

C 2

M

V 1 V 2

I 1 I 2

L 1 L 2

図 9.17問題 9.15

(1) V1、V2、I1、I2 に関する方程式を記せ。

(2) 一次側と二次側の電圧比V2

V1を求めよ。

(3) 角周波数が ω1 =1√

L2C2

のときのV2

V1を求めよ。

(4)V2

V1= ∞となる角周波数 ω0 を上記設問の ω1 および結合定数 k を用いて表せ。

問題 9.16F

図 9.18の回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数は ω (6= 0)とする。

図 9.18問題 9.16


(2) 閉路方程式を解いて I1、I2 を求めよ。（分母が複素数のままの答えでよい。）


(3) E と I1 が同相になる条件を求めよ。［ヒント：E と I が同相のときは E = aI (aは正の実

数)と書ける。］

問題 9.17F

図 9.19の回路において電圧 V が 0になる条件を求めよ。ただし、電源電圧 E と角周波数 ω はど

ちらも 0でないものとする。

図 9.19問題 9.17

問題 9.18F


図 9.20問題 9.18

(1) 電圧 V と電流 I の関係式を記せ。


(3) 電圧 V と電流 I が同相になる角周波数 ω0 を求めよ。

問題 9.19F



(2) 回路の共振周波数 ω0 を求めよ。

(3) 回路の Qを求めよ。

9.3 密結合変成器 c©大豆生田利章 2009 177

図 9.21問題 9.19

問題 9.20FF

図 9.22の回路の電源から見たインピーダンスを求めよ。ただし、計算を簡単にするために jω = s

と置き換えて計算せよ。

図 9.22問題 9.20

9.3 密結合変成器

【例題 9.3】

図 9.23の回路に関して以下の問に答えよ。ただし、変成器は密結合変成器であるとする。

図 9.23例題 9.3


(1)M

L1= nとしたときに、L2 = n2L1 であることを証明せよ。

(2)V2

V1= nを証明せよ。

(3) 図 9.23 (b)のように二次側にインピーダンス Z2 の負荷を接続した。このとき一次側

から見たインピーダンスはインダクタンス L1 のコイルと、インピーダンスZ2

n2の素

子の並列接続で与えられることを証明せよ。

(4) 図 9.23 (b)において Z2 の大きさが十分に小さいときは一次側から見たインピーダン

スはZ2

n2であることを示せ。

(5) 図 9.23 (b)において Z2 の大きさが十分に小さいときは I2 = − 1n

I1 であることを証

明せよ。

〔解答 9.3〕

(1) 密結合変成器においては結合係数 k が ±1なので、

k2 =M2

L1L2= 1 (9.14)

より、

L2

M=

M

L1= n (9.15)

となる。これより

L2 = nM = n(nL1) = n2L1 (9.16)

(2) 式 (9.15)を利用して

V2

V1=

jωMI1 + jωL2I2

jωL1I1 + jωMI2=

jωnL1I1 + jωnMI2

jωL1I1 + jωMI2= n (9.17)

(3)

V2 = −Z2I2 (9.18)

より

V2 = jωMI1 + jωL2I2 = −Z2I2 (9.19)

I2 =−jωM

jωL2 + Z2I1 (9.20)

式 (9.20)を

V1 = jωL1I1 + jωMI2 (9.21)

9.4 理想変成器 c©大豆生田利章 2009 179

に代入して、密結合の条件 L1L2 = M2 を用いると、

V1 =jωL1Z2

jωL2 + Z2I1 (9.22)

を得る。(1)の解答より L2 = n2L1 なので

V1

I1=

jωL1Z2

jωn2L1 + Z2=

jωL1Z2

n2

jωL1 +Z2

n2

(9.23)

これはインダクタンス L1 のコイルとインピーダンスZ2

n2の素子の並列接続時の合成

インピーダンスを表している。

(4) Z2 の大きさが十分小さいときは

jωL1 +Z2

n2; jωL1 (9.24)

と近似して、

V1

I1;

jωL1Z2

n2

jωL1=

Z2

n2(9.25)

(5) 式 (9.20)において、

jωL2 + Z2 ; jωL2 (9.26)

と近似して

I2

I1=

−jωM

jωL2 + Z2; −jωM

jωL2= −M

L2= − 1

n(9.27)

J

9.4 理想変成器

【例題 9.4】


(1) 回路中の理想変成器（巻線比 n1 : n2）における端子電圧・端子電流（V1, V2, I1, I2）

の関係式を記せ。

(2) Z2, I2, V2 の関係を記せ。

(3) E1, Z1, I1, V1 の関係を記せ。


図 9.24例題 9.4

(4) 以上の式から V1, V2 を消去して I1, I2 を求めよ。

〔解答 9.4〕

(1) 以下のとおり。

V1 : V2 = n1 : n2 (9.28)

n1I1 + n2I2 = 0 (9.29)

(2)

V2 = −Z2I2 (9.30)

(3)

E1 = Z1I1 + V1 (9.31)

(4) 式 (9.28)と式 (9.30)より

V1 =n1

n2V2 = −n1

n2Z2I2 (9.32)

式 (9.29)より

I2 = −n1

n2I1 (9.33)

式 (9.32)および式 (9.33)より

V1 =(

n1

n2

)2

Z2I1 (9.34)

式 (9.31)に代入して

E1 = Z1I1 +(

n1

n2

)2

Z2I1 (9.35)


これより

I1 =E1

Z1 +(

n1

n2

)2

Z2

=n2

2E1

n22Z1 + n1

2Z2(9.36)

式 (9.33)より

I2 = −n1

n2I1 = − n1n2E1

n22Z1 + n1

2Z2(9.37)

J

問題 9.21図 9.25の回路に関して以下の手順に従い、一次側から見たインピーダンス Z = E/I1 を求めよ。た

だし、理想変成器の巻線比は n1 : n2 : n3 であり、n2 6= n3 であるとする。

図 9.25問題 9.21

(1) 理想変成器の端子電圧 V1, V2, V3 の間に成り立つ関係式を示せ。

(2) 理想変成器の端子電流 I1, I2, I3 の間に成り立つ関係式を示せ。

(3) I2 と I3 の関係を用いて (2)の解答から I3 を消去せよ。

(4) 理想変成器の二次側の閉路に関して、キルヒホッフの電圧則を適用した結果を記せ。

(5) (4)の解答に (1)および (3)の解答を代入して、I2, V2, V3 を消去し、 Z を求めよ。

問題 9.22図 9.26の左の回路と右の回路が等価になるようにしたい。以下の手順にしたがって、L1, L2, M

の値を定めよ。電源の角周波数は ω とする。

(1) 左の回路に対して理想変成器の基礎式を用いて、V1 と V2 および I2 と I3 の関係を記せ。

(2) 左の回路に対してキルヒホッフの電流則を用いて、I1, I3, I4 の関係を記せ。

(3) 左の回路における V1 と I4 の関係を Lを使って示せ。

(4) (1)から (3)の結果を用いて、左の回路における I1, I2, V1 の関係を求めよ。

(5) (1)から (3)の結果を用いて、左の回路における I1, I2, V2 の関係を求めよ。

(6) 右の回路において変成器の基礎式を用いて、I1, I2, V1, V2 の関係式を記せ。

(7) 以上の各式を用いて、右の回路の L1, L2, M の値を、左の回路で与えられた値を用いて表せ。

(8) 右の回路の結合係数 k の大きさを求めよ。


L

1:n

V 1 V 2

I 1 I 3

I 4

I 2

L 1 L 2 V 1 V 2

I 1 I 2 M

図 9.26問題 9.22

問題 9.23図 9.27のように理想変成器とインピーダンス Z0 の素子を接続した。このとき電源から見た回

路のインピーダンス Z を、以下の手順にしたがって求めよ。ただし、理想変成器の巻線比は

1 : n (n 6= 1)であるものとする。

図 9.27問題 9.23

(1) 理想変成器の一次側の電圧 V1 と二次側の電圧 V2 の関係式を記せ。

(2) V2 を E と nを用いて表せ。

(3) 理想変成器の一次側の電流 I1 と二次側の電流 I2 の関係式を記せ。

(4) キルヒホッフの電流則を用いて回路の電流 I と理想変成器に流れる電流 I1, I2 の関係を求

めよ。

(5) I2 を I と nを用いて表せ。

(6) キルヒホッフの電圧則を用いて E, Z, I2, V2 の関係を求めよ。

(7) 以上の解答から Z を求めよ。

問題 9.24F

図 9.28の回路の共振周波数を求めよ。理想変成器の巻線比は n1 : n2 であるとする。


図 9.28問題 9.24


第 10章

二端子対網

10.1 二端子対網の表現方法

【例題 10.1】

図 10.1の回路のアドミタンス行列 Y、インピーダンス行列 Z、縦続行列 Fを求めよ。た

だし、Y1、Y2、Y3 はそれぞれの素子のアドミタンスである。

図 10.1例題 10.1

〔解答 10.1〕

キルヒホッフの電流則より

I1 = Y1V1 + Y2(V1 − V2) (10.1)

I2 = Y3V2 + Y2(V2 − V1) (10.2)

であるので、

I1 = (Y1 + Y2)V1 − Y2V2 (10.3)

I2 = −Y2V2 + (Y2 + Y3)V2 (10.4)

となるの。これより、アドミタンス行列 Yは

Y =[Y1 + Y2 −Y2

−Y2 Y2 + Y3

](10.5)

10.1 二端子対網の表現方法 c©大豆生田利章 2009 185

インピーダンス行列はアドミタンス行列の逆行列なので

Z = Y−1 =1

Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1

[Y2 + Y3 Y2

Y2 Y1 + Y2

](10.6)

式 (10.4)より

V1 =(

1 +Y3

Y2

)V2 −

1Y2

I2 (10.7)

となる。式 (10.3)に式 (10.7)を代入して V1 を消去すると、

I1 = (Y1 + Y2)(

1 +Y3

Y2

)V2 −

1Y2

I2 − Y2V2 (10.8)

=Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1

Y2V2 −

(1 +

Y1

Y2

)I2 (10.9)

となる。式 (10.7)および式 (10.9)より、I2 の向きに注意すると、縦続行列 Fは、

F =

1 +Y3

Y2

1Y2

Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1

Y21 +

Y1

Y2

(10.10)

J

問題 10.1

縦続行列 Fの行列要素をインピーダンス行列 Zの行列要素を用いて表せ。

問題 10.2

図 10.2の二端子対網のインピーダンス行列 Zおよび縦続行列 Fを求めよ。

図 10.2問題 10.2

問題 10.3

図 10.3の二端子対網のアドミタンス行列 Yおよび縦続行列 Fを求めよ。

問題 10.4

図 10.4の二端子対網のインピーダンス行列 Z、アドミタンス行列 Yおよび縦続行列 Fを求めよ。

186 c©大豆生田利章 2009 第 10章二端子対網

図 10.3問題 10.3

図 10.4問題 10.4

問題 10.5

図 10.5の二端子対網のインピーダンス行列を求めよ。

図 10.5問題 10.5

問題 10.6F

図 10.6のように、インピーダンス行列が Zの二端子対網にインピーダンス Z1 と Z2 の素子を接続

して新たな二端子対網を作った。この二端子対網に関して以下の問に答えよ。

図 10.6問題 10.6

(1) V1、I1、I ′1、Z1 の間の関係式を記せ。

10.1 二端子対網の表現方法 c©大豆生田利章 2009 187

(2) V2、V ′2、I2、Z2 の間の関係式を記せ。

(3) インピーダンス行列の行列要素を用いて、V1、V ′2、I ′

1、I2 の関係式を記せ。

(4) 以上の式を用いて図 10.6の二端子対網の Z 行列を求めよ。

問題 10.7

図 10.7の変成器の縦続行列 Fを求めよ。

図 10.7問題 10.7

問題 10.8

図 10.8の巻線比 1 : nの理想変成器の縦続行列 Fを求めよ。

図 10.8問題 10.8

問題 10.9FF

図 10.9の二端子対網に関して以下の問に答えよ。ただし、理想変成器の巻線比は 1 : nである。

図 10.9問題 10.9

(1) V1、V ′1、I1、Y の間の関係式を記せ。

(2) V ′1、V2 の間の関係式を記せ。

(3) I1、I2 の間の関係式を記せ。


(4) 以上の式を用いて図 10.9の二端子対網の Y 行列を求めよ。

問題 10.10F

図 10.10の二端子対網のインピーダンス行列を求めよ。

図 10.10問題 10.10

10.2 二端子対網の伝送的性質

【例題 10.2】

二端子対網の入力インピーダンス Zin と出力インピーダンス Zout を hパラメータを用い

て表せ。信号源のインピーダンスを ZS、負荷のインピーダンスを ZL とする。

〔解答 10.2〕

I2 = h21I1 + h22V2, I2 = − V2

ZL(10.11)

の 2式より、I2 を消去して

V2 = − h21ZL

h22ZL + 1I1 (10.12)

これより

V1 = h11I1 + h12V2 =h11 + (h11h22 − h12h21)ZL

h22ZL + 1I1 (10.13)

よって、

Zin =V1

I1

∣∣∣∣V2=−ZLI2

=h11 + (h11h22 − h12h21)ZL

h22ZL + 1(10.14)

V1 = h11I1 + h12V2, V1 = −ZsI1 (10.15)

10.2 二端子対網の伝送的性質 c©大豆生田利章 2009 189

の 2式より、V1 を消去して

I1 = − h12

h11 + ZSV2 (10.16)

これより

I2 = h21I1 + h22V2 =h22ZS + h11h22 − h12h21

h11 + ZSV2 (10.17)

よって、

Zout =V2

I2

∣∣∣∣V1=−ZSI1

=h11 + ZS

h22ZS + h11h22 − h12h21(10.18)

J

問題 10.11

二端子対網の入力インピーダンス Zin および出力インピーダンス Zout をアドミタンスパラメータ

を用いて表わせ。信号源のインピーダンスを ZS、負荷のインピーダンスを ZL とする。

【例題 10.3】

図 10.11 (a)の回路の反復インピーダンス ZK1 が R0、反復伝搬係数 θK が A [dB]になる

ように、R1 および R2 の値を定めよ。

図 10.11例題 10.3

〔解答 10.3〕

反復インピーダンスの定義より、図 10.11 (b)の回路の合成インピーダンスが R0 になる。

ZK1 = R0 = R1 +R0R2

R0 + R2(10.19)

また反復伝搬係数が A [dB]なので

20 logV1

V2= A (10.20)


となる。

V2 =

R0R2

R0 + R2

ZK1V1 =

R0R2

R0 + R2

R0V1 =

R2

R0 + R2V1 (10.21)

なので、式 (10.20)と合わせて、

20 logR0 + R2

R2= A (10.22)

となる、これを R2 について解いて、

R2 =R0

10A

20 − 1

(10.23)

式 (10.19)より、

R1 =R0

2

R0 + R2(10.24)

式 (10.23)を代入して、

R1 = (1 − 10−

A

20 )R0 (10.25)

J

問題 10.12

図 10.12の対称二端子対網の反復インピーダンス ZK を、定義にもとづく方法と開放駆動点イン

ピーダンス・短絡駆動点アドミタンスを用いる方法の二通りの方法で求めよ。

図 10.12問題 10.12図

問題 10.13図 10.13の対称二端子対網の反復インピーダンス ZK および反復伝送量 θK を求めよ。ただし、kは

正定数である。反復伝送量の計算には公式

coth−1x = ln

√x + 1

x − 1(|x| > 1) (10.26)

10.2 二端子対網の伝送的性質 c©大豆生田利章 2009 191

図 10.13問題 10.13

を用いよ。

問題 10.14

図 10.14の二端子対網の影像インピーダンス ZI1、ZI2 および影像伝送量 θI を求めよ。

図 10.14問題 10.14

問題 10.15

図 10.15の二端子対網の影像インピーダンス ZI1、ZI2 および影像伝送量 θI を求めよ。

図 10.15問題 10.15

問題 10.16

図 10.16の対称二端子対網の影像インピーダンス ZI および影像伝送量 θI を求めよ。

問題 10.17F

図 10.17の対称格子形回路の影像インピーダンス ZI を求めよ。


図 10.16問題 10.16

図 10.17問題 10.17

問題 10.18F

図 10.18の橋絡 T 形回路の影像インピーダンス ZI を求めよ。

図 10.18問題 10.18

10.3 非相反二端子対網と能動二端子対網

【例題 10.4】

図 10.19の回路の Y 行列を求めよ。特に Z = Rのときに一方向系になることを示せ。

〔解答 10.4〕

10.3 非相反二端子対網と能動二端子対網 c©大豆生田利章 2009 193

図 10.19例題 10.4

図 10.19に示したように I ′1 と I ′2 を定める。各電圧電流の関係は

V1 = −RI ′2 (10.27)

V2 = RI ′1 (10.28)

V1 − V2

Z= I1 − I ′1 = I ′2 − I2 (10.29)

となる。これより

V1 = −RI ′2 = −R

(I2 +

V1 − V2

Z

)(10.30)

∴ I2 =(− 1

R− 1

Z

)V1 +

1Z

V2 (10.31)

また

V2 = RI ′1 = R

(I1 −

V1 − V2

Z

)(10.32)

∴ I1 =1Z

V1 +(

1R

− 1Z

)V2 (10.33)

なので、Y 行列は

Y =

1Z

1R

− 1Z

− 1R

− 1Z

1R

(10.34)

となる。特に Z = Rのときは

Y =1R

[1 0−2 1

](10.35)

より一方向系となる。

J

問題 10.19F

図 10.20のように理想ジャイレータを縦続接続したときの縦続行列 F を求めよ。


図 10.20問題 10.19


第 11章

古典フィルタ

11.2 定 K形フィルタ

【例題 11.1】

図 11.1の定 K 形低域通過フィルタの遮断周波数 fc と公称インピーダンス K を求めよ。

ただし、L = 16.0 mH、C = 0.100µFであるとする。

図 11.1例題 11.1

〔解答 11.1〕

図 11.1の回路の影像インピーダンスは

ZI1 =

√L

C(1 − ω2LC) (11.1)

ZI2 =

√L

C· 11 − ω2LC

(11.2)

である。遮断周波数 fc は影像インピーダンスが 0または∞ になる周波数であるので、

1 − (2πfc)2LC = 0より、

fc =1

2π√

LC=

12π ×

√16.0 × 10−3 × 0.100 × 10−6

= 3.9 /78

/8 · · · kHz = 3.98 kHz (11.3)

196 c©大豆生田利章 2009 第 11章古典フィルタ

公称インピーダンスK は

K =√

ZI1ZI2 =

√L

C=

√16.0 × 10−3 H0.100 × 10−6 F

= 400Ω (11.4)

J

問題 11.1

図 11.2の定 K 形低域通過フィルタの公称インピーダンスが 50.0Ω、遮断周波数が 10.0MHz にな

るように L と C の値を定めよ。

L

C

図 11.2問題 11.1

問題 11.2

図 11.3の定Ｋ形低域通過フィルタの公称インピーダンス K と遮断周波数 fc を L と C を用いて

表せ。

L

C C

図 11.3問題 11.2

問題 11.3

図 11.4の定Ｋ形高域通過フィルタの公称インピーダンス K と遮断周波数 fc を L と C を用いて

表せ。

問題 11.4

図 11.5の回路が公称インピーダンス 600Ω、遮断周波数 30.0 kHzの定 K 形高域通過フィルタにな

るように C と L の値を定めよ。

11.2 定 K 形フィルタ c©大豆生田利章 2009 197

C

2 L 2 L

図 11.4問題 11.3

図 11.5問題 11.4

【例題 11.2】

図 11.6に示す定 K 形低域通過フィルタに関して以下の問に答えよ。角周波数を ω と

する。

図 11.6例題 11.2

(1) 一次側から見た開放駆動点インピーダンス z11 と短絡駆動点アドミタンス y11 および

一次側から見た影像インピーダンス ZI1 を求めよ。

(2) 二次側から見た開放駆動点インピーダンス z22 と短絡駆動点アドミタンス y22 および

二次側から見た影像インピーダンス ZI2 を求めよ。

(3) 関係式 ZI1ZI2 = K2 を用いて公称インピーダンスK を求めよ。

(4) 遮断角周波数 ωc を求めよ。

(5) ZI1 をK と ωc を用いて表せ。

(6) ZI1 = 0.8K となる角周波数 ω1 を ωc を用いて表せ。

(7) 影像減衰量 αI が 20 dBとなる角周波数 ω2 を ωc を用いて表せ。以下の減衰域で成立


する式を用いてよい。

αI = cosh−1 ω

ωc[Np] = 20 log e × cosh−1 ω

ωc[dB] (11.5)

〔解答 11.2〕

(1)

z11 =jωL

2+

2jωC

=4 − ω2LC

jω2C(11.6)

y11 =2

jωL(11.7)

ZI1 =√

z11

y11=

√4 − ω2LC

j ω2C· jωL

2=

√L (4 − ω2LC)

4C(11.8)

(2)

z22 =2

jωC(11.9)

y22 =2

jωL+

jωC

2=

4 − ω2LC

jω2L(11.10)

ZI2 =√

z22

y22=

√2

j ωC· j ω2L

4 − ω2LC=

√4L

C (4 − ω2LC)(11.11)

(3)

ZI1ZI2 =L

C= K2 (11.12)

より

K =

√L

C(11.13)

(4) 遮断角周波数は ZI1 = 0となる角周波数なので、

4 − ωc2LC = 0 (11.14)

ωc =2√LC

(11.15)

(5)

ZI1 =

√L (4 − ω2LC)

C=

√L

C

(1 − ω2LC

4

)= K

√1 −

(ω

ωc

)2

(11.16)

11.2 定 K 形フィルタ c©大豆生田利章 2009 199

(6)

K

√1 −

(ω1

ωc

)2

= 0.8K (11.17)

1 −(

ω1

ωc

)2

= 0.64 (11.18)(ω1

ωc

)2

= 0.36 (11.19)

ω1

ωc= 0.6 (11.20)

ω1 = 0.6ωc (11.21)

(7)

20 = 20 log e × cosh−1 ω2

ωc(11.22)

ω2

ωc= cosh

1log e

= coshln 10ln e

= cosh ln 10

=exp(ln 10) + exp(− ln 10)

2=

10 + 0.12

= 5.05 (11.23)

ω2 = 5.05ωc (11.24)

J

問題 11.5F

図 11.7の回路は公称インピーダンス K が

√L

Cである定 K 形帯域通過フィルタである。この回路

に関して以下の問に答えよ。

L /2

C /2

2 C

2 L

図 11.7問題 11.5

(1) このフィルタの遮断角周波数 ωc1 および ωc2 を求めよ。

(2) 一次側から見た影像インピーダンス ZI1 がK に等しくなる角周波数 ω0 を求めよ。

(3) ω02 = ωc1ωc2 であることを示せ。


11.4 対称 T形および対称 π 形フィルタ

【例題 11.3】

図 11.8のフィルタの通過域を求めよ。

L C

L L

図 11.8例題 11.3

〔解答 11.3〕

対称 π 形フィルタにおいて、

Z1 = jωL +1

jωC=

1 − ω2LC

jωC(11.25)

2Z2 = jωL (11.26)

の場合である。通過域は∣∣∣∣1 +Z1

2Z2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣1 +

1 − ω2LC

−ω2LC

∣∣∣∣ =∣∣∣∣1 − 2ω2LC

−ω2LC

∣∣∣∣ ≤ 1 (11.27)

から

−1 ≤ 1 − 2ω2LC

−ω2LC≤ 1 (11.28)

となり、ω2LC > 0に注意すると

−ω2LC ≤ 1 − 2ω2LC ≤ ω2LC (11.29)

なので

1√3LC

≤ ω ≤ 1√LC

(11.30)

J

問題 11.6FF

図 11.9のフィルタの遮断角周波数を求めよ。

11.4 対称 T形および対称 π 形フィルタ c©大豆生田利章 2009 201

L

C C

図 11.9問題 11.6

問題 11.7FF

図 11.10の 3素子フィルタの遮断周波数を求めよ。

L C 1

C 2

図 11.10問題 11.7


第 12章

三相交流回路

12.2 平衡三相交流回路

【例題 12.1】

図 12.1の平衡三相交流回路において線間電圧の大きさ |Eab|が 433 V、負荷のインピー

ダンス Za、Zb および Zc がすべて (4.0 + j3.0)Ωであるとする。ここで以下の問に有効

数字と単位に注意して答えよ。

図 12.1例題 12.1

(1) 相電圧の大きさ |Ea|を求めよ。(2) 線電流の大きさ |Ia|を求めよ。

〔解答 12.1〕

(1) 電源を変換すると図 12.2の回路になる。相電圧と線間電圧の関係より、

12.2 平衡三相交流回路 c©大豆生田利章 2009 203

図 12.2解答 12.1

|Ea| =|Eab|√

3=

433 V√3

= 250V (12.1)

(2) 図 12.2の回路で各相ごとに考えて良いので、線電流の大きさは

|Ia| =∣∣∣∣Ea

Za

∣∣∣∣ =250V5.0Ω

= 50A (12.2)

となる。

J

問題 12.1図 12.3 (a)の Y 接続平衡三相交流電源と図 12.3 (b)の ∆ 接続平衡三相交流電源が等価であるとす

る。ここで以下の問に答えよ。ただし、相順は a–b–cであるとする。

図 12.3問題 12.1

(1) Y 接続の電源電圧 Eb および Ec を Ea を用いて表せ。

(2) ∆接続の電源電圧 Eab、Ebc および Eca を Y 接続の電源電圧 Ea を用いて表せ。

204 c©大豆生田利章 2009 第 12章三相交流回路

(3) Y 接続の電源電圧の大きさ |Ea|と∆接続の電源電圧の大きさ |Eab|の関係を求めよ．(4) (b)における電源電圧 Ebc および Eca を Eab を用いて表せ。

問題 12.2図 12.4のように平衡三相交流回路において ∆接続された負荷に線電流 Ia、Ib、Ic が流れている。

ここで以下の問に答えよ。

図 12.4問題 12.2

(1) ∆電流（環状電流）Ibc および Ica を Iab を用いて表せ。

(2) 線電流 Ia を Iab および Ica を用いて表せ。

(3) 線電流 Ia を Iab を用いて表せ。

(4) 線電流の大きさ |Ia|と∆電流の大きさ |Iab|の関係を求めよ。

問題 12.3図 12.5のようにインピーダンス Z1 の負荷を Y 接続、インピーダンス Z2 の負荷を∆接続した。こ

こで以下の問に答えよ。

図 12.5問題 12.3

(1) Y 接続における a–b間の合成インピーダンスを求めよ。


(2) ∆接続における a–b間の合成インピーダンスを求めよ。

(3) この 2つの接続が等価であるときに Z1 と Z2 の間に成り立つ関係式を求めよ。

問題 12.4

図 12.6の平衡三相交流回路において負荷インピーダンス Z が (12 + j9.0)Ω、線電流 Ia が 2.0Aで

ある。このとき、線電圧 Ea の複素数表示を有効数字と単位に注意して求めよ。

図 12.6問題 12.4

問題 12.5

図 12.7の平衡三相交流回路に対して、線電流の大きさ |Ia| および ∆ 電流（環状電流）の大きさ

|Iab|を線間電圧 Eab および負荷インピーダンス Z を用いて表せ。

図 12.7問題 12.5

問題 12.6

図 12.8の平衡三相交流回路において相電圧の大きさ |Ea|が 120V、抵抗 Rが 4.0Ω、負荷インピー

ダンス Z が j9.0Ωであるとする。このときの線電流の大きさ |Ia|および ∆電流の大きさ |Iab|を

有効数字と単位に注意して求めよ。


図 12.8問題 12.6

問題 12.7図 12.9の平衡三相回路に関して有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、相電圧 Ea

は 36V、インピーダンス Z1 は (3.0 + j3.0)Ω、インピーダンス Z2 は (3.0− j3.0)Ωであるとする。

図 12.9問題 12.7

(1) 一相あたりの負荷インピーダンス Z を求めよ。

(2) 線電流 I を求めよ。



問題 12.8図 12.10の平衡三相回路に関して以下の問に答えよ。

(1) 一相当たりの負荷インピーダンス Z を求めよ。

(2) 線電流 Ia を求めよ。

問題 12.9図 12.11の平衡三相交流回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、コ


図 12.10問題 12.8

イルの誘導性リアクタンス XL はすべて 6.0Ω、コンデンサの容量性リアクタンス XC はすべて

4.0Ω、相電圧の大きさ |Ea|は 120Vであるとする。

E a

E b

E c

I a

図 12.11問題 12.9

(1) 1相当たりの負荷のアドミタンスを求めよ。

(2) 1相当たりの負荷のインピーダンスを求めよ。

(3) 線電流の大きさ |Ia|を求めよ。

問題 12.10F

図 12.12の平衡三相回路に関して有効数字と単位に注意して以下の問に答えよ。ただし、電源電圧

Eab は 208V、電源の内部インピーダンス Z0 は j3.0Ω、負荷抵抗 Rは 3.0Ωとする。

(1) 線電流の大きさ |Ia|を求めよ。(2) 電源の相電流の大きさ |Iab|を求めよ。

問題 12.11F

図 12.13の平衡三相交流回路に関して以下の問に答えよ。電源の角周波数を ω とする。


(2) 負荷 ZL を流れる電流 IL を求めよ。


図 12.12問題 12.10

図 12.13問題 12.11

(3) 電流 IL が負荷 ZL の値に無関係になる条件を求めよ。

12.3 平衡三相交流回路の電力

【例題 12.2】

図 12.14の平衡三相交流回路において、線間電圧の大きさ |Vab| は 173V、負荷のイン

ピーダンス Z は (4.0 + j3.0)Ωである。ここで、以下の問に有効数字と単位に注意して答

えよ。ただし、√

3は 1.73として計算する。

(1) 相電圧の大きさ |Va|を求めよ。(2) 線電流の大きさ |Ia|を求めよ。(3) 力率 λを求めよ。

(4) 一相あたりの消費電力 P1 を求めよ。

12.3 平衡三相交流回路の電力 c©大豆生田利章 2009 209

図 12.14例題 12.2

(5) 三相回路の消費電力 P を求めよ。

〔解答 12.2〕

(1)

|Va| =|Vab|√

3=

173V√3

=173V1.73

= 100V (12.3)

(2)

|Ia| =|Va||Z|

=100V

|4.0 + j3.0| Ω=

100V5.0Ω

= 20A (12.4)

(3) 電圧・電流の位相差 θ はインピーダンス角 θZ に等しい。

θZ = tan−1 3.04.0

= 36.9 (12.5)

力率は

λ = cos θZ = cos 36.9 = 0.80 (12.6)

(4) 一相当たりの消費電力 P1 は

P1 = |Va| × |Ia| × λ = 100V × 20A × 0.80 = 1.6 × 103 W = 1.6 kW (12.7)

(5) 平衡三相回路なので三相回路の消費電力 P は一相当たりの消費電力 P1 の 3倍に

なる。

P = 3P1 = 3 × 1.6 kW = 4.8 kW (12.8)

J


図 12.15問題 12.12

問題 12.12図 12.15の平衡三相交流回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、線間

電圧の大きさ |Eab|は 173V、線電流の大きさ |Ia|は 4.0 A、負荷の力率 λは 0.96とする。

(1) 負荷インピーダンスの大きさ |Z|を求めよ。(2) 負荷インピーダンスの抵抗分 Rを求めよ。

(3) 負荷インピーダンスのリアクタンス分の大きさ |X|を求めよ。(4) 回路の消費電力 P を求めよ。

問題 12.13図 12.16の平衡三相交流回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、負荷

のインピーダンス Z は (4.0 + j3.0)Ω、線間電圧の大きさは 100Vであるとする。

図 12.16問題 12.13

(1) ∆電流（環状電流）の大きさ |Iab|を求めよ。(2) 回路の消費電力を求めよ。

問題 12.14F

図 12.17の平衡三相交流回路に関して以下の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、線間

電圧の大きさ |Eab|は 173V、線電流の大きさ |Ia|は 75 A、回路の消費電力 P は 7.5 kWであると

する。

(1) 相電圧の大きさ |Ea|を求めよ。

12.4 不平衡三相交流回路 c©大豆生田利章 2009 211

図 12.17問題 12.14

(2) 力率 λを求めよ。


(4) 1相当たりの負荷のアドミタンスの大きさ |Y |を求めよ。(5) コイルの誘導性リアクタンスXL を求めよ。

12.4 不平衡三相交流回路

【例題 12.3】

図 12.18の回路において電源は線間電圧 12Vの対称三相交流電源であり、負荷は Rab が

4.0Ω、Rbc が 6.0Ω、Rca が 3.0Ωの三相不平衡抵抗負荷であるとする。このとき、以下

の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、Eab を基準とする。

図 12.18問題 12.14

(1) 各∆電流の大きさを求めよ。


(2) 各∆電流を求めよ。

(3) 各線電流を求めよ。

〔解答 12.3〕

電源は対称なので

Ebc = Eabe−j 2π3 (12.9)

Eca = Eabej 2π3 (12.10)

となる。

(1)

|Iab| =|Eab||Rab|

=12V4.0Ω

= 3.0A (12.11)

|Ibc| =|Ebc||Rbc|

=12V6.0Ω

= 2.0A (12.12)

|Ica| =|Eca||Rca|

=12V3.0Ω

= 4.0A (12.13)

(12.14)

(2)

Iab =Eab

Rab=

12V4.0Ω

= 3.0 A (12.15)

Ibc =Ebc

Rbc=

Eabe−j 2π3

Rbc= 2.0 ·

(−1

2− j

√3

2

)= (−1.0 − j1.7)A (12.16)

Ica =Eca

Rca=

Eabej 2π3

Rca= 4.0 ·

(−1

2+ j

√3

2

)= (−2.0 + j3.5)A (12.17)

(12.18)

(3)

Ia = Iab − Ica = (5.0 − j3.5)A (12.19)

Ib = Ibc − Iab = (−4.0 − j1.7)A (12.20)

Ic = Ica − Ibc = (−1.0 + j5.2)A (12.21)

J

問題 12.15図 12.19の不平衡三相交流回路に関して、以下の問に答えよ。ただし、 Nは不平衡負荷の中性点を

あらわす。


図 12.19問題 12.15

(1) 線電流 Ia を相電圧 Ea、負荷 Za および中性点の電圧 VN を用いて表せ。

(2) 中性点の電圧 VN を各相電圧および各負荷インピーダンスを用いて表せ。

問題 12.16不平衡三相交流電源に平衡負荷を接続して図 12.20の回路を作った。ここで、以下の問に答えよ。

ただし、各相電圧は Ea が E、Eb が Eej π2、Ec が

√2Ee−j 3π

2 である

図 12.20問題 12.16

(1) 線間電圧 Eab を求めよ。

(2) 線間電圧 Ebc を求めよ。

(3) 線間電圧 Eca を求めよ。

(4) ∆電流 Iab を求めよ。

(5) ∆電流 Ibc を求めよ。

(6) ∆電流 Ica を求めよ。


(8) 線電流 Ib を求めよ。

(9) 線電流 Ic を求めよ。


問題 12.17図 12.21 (a)のように、ra が 2.0Ω、rb が 3.0Ω、rc が 6.0 Ωである Y 接続不平衡三相負荷に線間電

圧 |E| = 120Vの平衡三相電源を接続した。このときに、以下の問に有効数字と単位に注意して答

えよ。

図 12.21問題 12.17

(1) 負荷の接続を図 12.21 (a)の Y 接続から (b)の∆接続に変換したときの各抵抗Rab、Rbc、Rca

を求めよ。

(2) この回路の消費電力を求めよ。

問題 12.18図 12.22 (a)の Y 接続不平衡三相負荷に線間電圧 200V の平衡三相電源を接続した。ここで以下

の問に有効数字と単位に注意して答えよ。ただし、抵抗 R は 2.0Ω、誘導性リアクタンス XL は

2.0Ω、容量性リアクタンスXC は 2.0Ωとする。

図 12.22問題 12.18

(1) 負荷を Y-∆ 変換して図 12.22 (b)のようにしたときの各インピーダンス Zab、Zbc、Zca を求

めよ。

(2) 回路の消費電力を求めよ。

問題 12.19平衡三相交流電源に Y 接続された対称な負荷を接続して図 12.23の回路を作った。ここで以下の問

に答えよ。


図 12.23問題 12.19

(1) スイッチ SWを閉じたときの線電流 Ia, Ib, Ic を求めよ。

(2) スイッチ SWを開いたときの線電流 Ia, Ib, Ic を求めよ。

(3) スイッチ SWを開いたときの中性点の電圧 VN を求めよ。

問題 12.20図 12.24のように線間電圧 V の平衡三相交流電源に Y 接続の負荷をつないだ回路に関して以下の

問に答えよ。

図 12.24問題 12.20

(1) スイッチ SWを閉じているときの回路の消費電力を求めよ。

(2) スイッチ SWを開いたときの回路の消費電力を求めよ。

問題 12.21図 12.25の不平衡三相交流回路に関して以下の問に答えよ。Ya、Yb、Yc はそれぞれ負荷のアドミタ

ンスである。

(1) スイッチ SWを開いているときの中性点 Nの電圧 VN を求めよ。

(2) スイッチ SWを開いているときの線電流 Ia、Ib、Ic を求めよ。

(3) スイッチ SWを閉じているときの線電流 Ia、Ib、Ic を求めよ。

(4) スイッチ SWを閉じているときの中性線の電流 IN を求めよ。


図 12.25問題 12.21


付録 A

略解

0.1. (1) 6.3 (2) 3.99 (3) 1.5 (4) 2.0 (5) 8.3 (6) 3.0 (7) 2.5 (8) 2.4 (9) 8.6 (10) 3.53 (11) 20 (12)

5.5

0.2. (1) 3.00 × 102 Ω (2) 1.5 × 106 Ω (3) 3.0 × 10−3 H (4) 1.00 × 10−4 H (5) 1.5 × 10−11 F

(6) 1.5 × 10−7 F

0.3. (1) 6.3 × 1018 個 (2) 3.0C (3) 1.0 mA

0.4. I3 = 3.5 A, I5 = 2.0A

0.5. vbc = −2.2V, vac = 0.78V

0.6. vac = 7.5V vdc = −1.5V

0.7. (1) 2.4mA (2) 20 mA (3) 2.5V

1.1. (1) 3.5mA (2) 3.9V (3) 2.0Ω

1.2. 0.90V

1.3. 1.2A

1.4. E = 12.0V, r = 1.0Ω

1.5. (1) 50Ω, 45mW (2) 10Ω, 10 A (3) 4.0mA, 48mW (4) 4.0Ω, 2.0V (5) 15W (6) 12A

(7) 0.24 kΩ (8) 7.2 kWh (26MWs)

1.6. [1]E

r + R[2]

RE

r + R[3]

RE2

(r + R)2[4]

r√R

+√

R [5]E2

4r[6] r

1.7. (1) V1 = 6.0 V, V2 = 9.0V (2) 5.0V

1.8. (1) I1 = 1.0A, I2 = 2.0A (2) I = 2.5A

1.9. (1) 1.0Ω (2) 4.5A

1.10. (1) 14.0Ω (2) 0.96 Ω (3) 18.4Ω (4) 1.5 Ω

1.11. P1 : P2 = k : (k + 1)2

1.12. (a)30Ω (b) 11.0Ω (c) 7.5 Ω (d) 2.7Ω

1.13. R1 = R4 または R2 = R3

1.14. (1) 3.0Ω (2) 3.0A (3) 1.0A (4) 2.0 A (5) 9.0 W (6) 6.0W (7) 12W

218 c©大豆生田利章 2009 付録 A 略解

1.15. (1) 12A (2) 28A (3) 40A (4) 60V (5) 1.5Ω

1.16. (1) 2.0A (2) 3.6V (3) 3.0A (4) 5.0A (5) 3.2V (6) 0.64Ω

1.17. I = 6.0A, I1 = 1.0A, I2 = 0.60A, I3 = 0.40A, I4 = 5.0A, V1 = 16V, V2 = 24V

1.18. R = 4.0Ω, I = 1.0A, I1 = 0.75A, I2 = 0.25A, I3 = 0.45A, I4 = 0.30A, Vab = 3.0V,

Vbc = 1.8V

1.19. (1)2V

9R(2)

2V

9(3)

V

9R(4)

V

9(5)

2V

3

1.20. I1 =R2 + R3

R1 + R2 + R3J , I2 = I3 =

R1

R1 + R2 + R3J , V1 =

R1(R2 + R3)R1 + R2 + R3

J , V2 =

R1R2

R1 + R2 + R3J , V3 =

R1R3

R1 + R2 + R3J

1.21. E = 1.20 V, r = 0.40Ω

1.22. (1) 1.20V (2) 0.10Ω (3) 2.4 A (4) 0.96 V

1.23. RAB = 10R, RCD = 15R

1.24. Va = E/2, Vb = E/4, Vc = E/8, Vd = E/16

1.25.8E

81R

1.26. r =R1

2

R2

1.27. (1) R1 +R2(R0 + R1)R0 + R1 + R2

(2) R0 =√

R1(R1 + 2R2) (3) R2 = 4R1

1.28. (1) 1 (2)2(√

2 − 1)

(3)1√2

1.29. R1 =R0

3, R2 =

4R0

31.30. (1) 6.0Ω (2) 0.50A

1.31. (1) 16Ω (2) 8.0Ω (3) 10Ω

1.32. (1) 2.0Ω (2) 2.7Ω (3) 1.5Ω (4) 3.1Ω (5) 3.6Ω

1.33. (1) 11.0Ω (2) 9.5 Ω (3) 7.3Ω (4) 7.3Ω

1.34. R3 = 4.0Ω, R4 = 16Ω

1.35. (1)R1R3R4

R2R3 − R1R4(2) I1 =

R2E

R1(R2 + R4), I2 =

E

R2 + R4, I3 =

R4E

R3(R2 + R4)

1.36. (1)23E (2)

4R

10R + 3rE (3) r =

23R

1.37. (1)E

15R(2) r = 2R

1.38. (1) 1.0 V (2) 2.0V (3) 6.0V (4) 3.0A (5) 2.0Ω (6) 1.0V (7) 7.0V (8) 1.0A (9) 2.0A (10)

0.50Ω

1.39. (1)R1R2(R3 + R4) + R3R4(R1 + R2)

(R1 + R2)(R3 + R4)(2)

(R1 + R2)(R3 + R4)ER1R2(R3 + R4) + R3R4(R1 + R2)

(3)R2(R3 + R4)E

R1R2(R3 + R4) + R3R4(R1 + R2)(4)

R4(R1 + R2)ER1R2(R3 + R4) + R3R4(R1 + R2)

(5)(R2R3 − R1R4)E

R1R2(R3 + R4) + R3R4(R1 + R2)2.1. (1) E1 = R1I1 −R2I2 (2) E1 −E2 = R1I1 −R2I2 (3) E1 −E2 = R1I2 + R2I2 −R3I3


(4) E1 + E2 − E3 = R1I1 + R2I2

2.2. (1) I1+I2+I5 = 0,−I2−I3+I6 = 0,−I1+I3−I4 = 0 (2)E1−E2 = R1I1−R2I2+R3I3

2.3. 閉路 A：E1−E2 = R0I0+R1I1−R3I3+R2I2、閉路 B：0 = R3I3+R4I4−R6I6+R5I5、

閉路 C：E7 − E9 + E8 = R6I6 − R9I9 + R8I8

2.4. I1 = −6.0 A I2 = 12.0A, I3 = 6.0A

2.5. (1) I1+I2 = 0 (2)V1−V2 = 0 (3)V1 = E1−R1I1 (4)V2 = E2−R2I2 (5) I1 =E1 − E2

R1 + R2,

I2 =E2 − E1

R1＋ R2(6) Vo =

R2E1 + R1E2

R1 + R22.6. (1) I1 + I2 + I3 = 0 (2) E1 − E2 = R1I1 − R2I2, E3 − E2R3I3 − R2I2

(3) I1 =(R2 + R3) E1 − R3E2 − R2E2

R1R2 + R2R3 + R3R1, I2 =

(R3 + R1) E2 − R3E1 − R1E3

R1R2 + R2R3 + R3R1, I3 =

(R1 + R2)E3 − R2E1 − R1E2

R1R2 + R2R3 + R3R12.7. Ia = 0.60A, Ib = 0.80 A

2.8. (1) E1 + E2 = (R1 + R2) Ia + R2Ib, E2 + E3 = R2Ia + (R2 + R3) Ib (2) Ia =(R2 + R3)E1 + R3E2 − R2E3

R1R2 + R2R3 + R3R1, Ib =

−R2E1 + R1E2 + (R1 + R2) E3

R1R2 + R2R3 + R3R12.9. (1) E1 = (R1 + R4) I1 − R4I2, 0 = (R2 + R4 + R5) I2 − R4I1 − R5I3, −E3 =

(R3 + R5) I3 − R5I2 (2) I1 = 6.8A, I2 = 1.6A, I3 = −0.20A

2.10. (1) E = 3RIa − 2RIb − RIc, 0 = −2RIa + 4RIb − RIc, 0 = −RIa − RIb + 4RIc (2)

Ia =5E

7R, Ib = −3E

7R, Ic =

2E

7R2.11. (1) E1 = (R1 + R3) Ia +R3Ib−R1Ic, E2 = R3Ia +(R2 + R3) Ib +R2Ic, 0 = −R1Ia +

R2Ib + (R1 + R2 + R4) Ic (2) Ia = −0.80A, Ib = 1.6A, Ic = −1.0A

2.12. (1) Ea = (R1 + R2)Ia + R2Ib + R1Ic, Eb = R2Ia + (R2 + R3 + R4)Ib − R3Ic,

0 = R1Ia − R3Ib + (R1 + R3 + R5)Ic (2) Ia = −0.30A, Ib = 1.3A, Ic = 0.40A

2.13. (1) E1 = (Ra + Rb)Ia − RbIb − RaIc, E2 = −RbIa + (Rb + Rc)Ib − RcIc, E3 =

−RaIa −RcIb + (Ra + Rc + Rd)Ic (2) Ia =5E1 + 4E2 + 3E3

3R, Ib =

4E1 + 5E2 + 3E3

3R,

Ic =E1 + E2 + E3

R2.14. (1)Ea = 2RI1−RI2+RI3, 0 = −RI1+4RI2+RI3+RI4, 0 = RI1+RI2+3RI3−RI4,

Eb = RI2 − RI3 + 2RI4 (2) I1 =13Ea − 9Eb

8R, I2 =

Ea − Eb

R, I3 =

−5Ea + 5Eb

4R,

I4 =−9Ea + 13Eb

8R,

2.15. I =E1 − 2E2

3R

2.16.E1 − E2

12R2.17. 1.5A

2.18. Va =E1

3+

E2

22.19.

R2R3E1 + R1R3E2

R1R2 + R2R3 + R3R1


2.20.R2R3E1 + R3R1E2 + R1R2E3

R1R2 + R2R3 + R3R1

2.21. V =R4 (R2E1 + R1E2)

R1R2 + (R1 + R2) (R3 + R4)2.22. V = E2

2.23. 0.90A

2.24.E1

16R2.25. 0.40A

2.26. (1) E0 = 1.2V, R0 = 1.2Ω (2) J0 = 1.0A, G0 = 0.83 S

2.27. E0 =R3E

R1 + R3, R0 = R2 +

R1R3

R1 + R3

2.28. E0 =R3E

R1 + R2 + R3, R0 =

(R1 + R2) R3

R1 + R2 + R3

2.29. E0 =E

6、R0 =

2R

3

2.30. E0 =E

5, R0 =

65R

2.31. (1) E0 =R2E1 + R2E2

R1 + R2, R0 =

R1R2

R1 + R2(2) J0 =

E1

R1+

E2

R2, G0 =

1R1

+1

R2

2.32. (1) E0 =R2E1 + R1E2

R1 + R2, R0 =

R1R2

R1 + R2+ R3 (3)

R2E1 + R1E2

R1R2 + R2R3 + R3R1

2.33. (1) E0 =R3 (R2E1 + R1E2)

R1R2 + R2R3 + R3R1, R0 =

R1R2R3

R1R2 + R2R3 + R3R1(2)

E1

R1+

E2

R22.34. E0 = 3.0V, R0 = 1.00Ω

2.35. E0 =R2R3E1 + R3R1E2 + R1R2E3

R1R2 + R2R3 + R3R1, R0 =

R1R2R3

R1R2 + R2R3 + R3R1

2.36. (a)E0 = E, R0 = r (b) E0 = E, R0 =r

2(c) E0 = 2E, R0 =

3r

2(d) E0 = 2E, R0 = r

(e)E0 =4E

3, R0 =

2r

33.1. f = 10 kHz、Vm = 4.0V

3.2. (1)10 krad/s (2)125µs (3)0.40MHz (4)35.0Hz (5)24mA (6)156 V (7)300V (8)2.5V

(9) 12.0mA (10)50mA

3.3. v(t) = 50√

2 sin(100t +π

3) [V]

3.4. (1) 2A (2) 2√

2A (3)−√

3A (4)√

3A (5) 0A

3.5. 100V

3.6. (1) 70.7V (2) 50.0V (3) 629 rad/s (4) 100Hz (5) 1.57 rad (6) 0.00V

3.7. (1) 10 Ω (2) 20 kΩ (3) 4.9Ω (4) 20 kΩ (5) 3.5 kHz (6) 0.40 kHz (7) 0.66 kΩ (8) 1.0 kΩ (9)

1.5µF (10)70mH

3.8. (1) 200 rad/s (2) 5√

2V (3)√

2A (4) 2 sin(200t +π

3) [A]

3.9. (1) 300 rad/s (2) 4√

2A (3) 6Ω (4) 24√

2V (5) v (t) = 48 sin(

200t +2π

3

)[V]

3.10. (1) 100V (2) 50.0Hz (3) 141Ω (4) 0.709A (5) 1.00 sin (3.14t − 0.785) [A]

3.11. (1) 150V (2) 125Hz (3) 12.0 Ω (4) 106µF (5) 17.6 sin (785t + 60.0) [V]


3.12. (1)√

2∠π

4(2) 2∠2π

3(3) 1∠−π

2(4)

1√2

+ j1√2

(5)3√

32

+ j32

(6)√

2 − j√

2

3.13. (1) 2 exp (jπ/6) (2)√

2 exp (−j3π/4) (3)√

3 − j3 (4)−1 + j (5) j (6)−2

3.14. (1) 1 + j2 (2) 3 − j3 (3) 3∠(−π

2

)(4) 2

√2∠ 3π

4

3.15. (1) 23 − j14 (2) 1 + j (3)√

6∠π (4)−3

3.16. (1)√

3(1 +

√2)

+ j√

2(1 −

√2)

(2) 5√

2 (3)√

2 − j4√

3 (4)

√2 + j4

√3

103.17. (1) 2

√2∠ π

12(2) 2

√2∠5π

12(3)

1√2∠5π

2(4)

(√3 + 1

)∠0

3.18. (1)−1 − j

√3

2(2) 1 (3) 0 (3)

−1 − j√

32

(4) 1

3.19. (1) I = 6√

2∠π

3A (2) V = 5

√2∠

(− π

12

)V (3) i(t) = 3

√2 sin

(ωt − π

4

)[A] (4)

v(t) = 4 sin(ωt +

π

2

)[V]

3.20. (1)

√3

2+ j

32

(2)5√

32

− j52

(3) j√

2 (4)√

2∠π

4(5)

13∠π

6(6)

√2∠

(−π

3

)3.21. (1) I1 = e0 A (2) I2 =

√2 e j π

2 A (3) I3 =√

3 e−j π3 A (4) I4 = 2 e j π

4 A

3.22. (1) (−25√

2 + j25√

6)A (2)−j100√

2A (3) ( 1√2

+ j 1√2)V (4) 1 V

3.23. (1) 45∠60 V (3) 3.0∠ (−90) A

3.24. (1) 1.4 sin(1.00 × 105 × t + 60)A (2) 1.0∠60 A (3) 2.0Ω (4) 2.0∠(−30)V (6)

2.8 sin(1.00 × 105 × t − 30)V

3.25. (1) 0.71 A (2) 0.71 sin (100t + 60) V (3) V = (43 − j25) V, I = (0.25 + j0.43) A (5)

1.4A (6) 1.4 sin (200t + 60) A

3.26. (1) v(t) = 30 sin(200t + 30)V (2) V = 21∠30 V (3) I = 2.1∠(−60)A (5) i(t) =

3.0 sin(200t − 60)A (6) 1.0A

4.1. (1) (4.0+j19)V (2) (0.20+j0.40)Ω (3) (0.52− j0.36)A (4) (0.88+j0.16) S (5) (−1.3+

j0.46) V

4.2. (1) j94Ω (2)−j10Ω (3)−j0.50 S (4) j6.3mS

4.3. (1.2 + j1.0)A

4.4. Z = −j3.0Ω,I = (3.0 + j1.5)A

4.5. Z = j1.3 Ω,I = (2.0 + j0.30)A

4.6. 2.0A

4.7. 50 sin(200t − π/6)

4.8. (1) 150V (2) (130 − j75.0)V (3) 12.0Ω (4) 106 µF

4.9. (1) E1 = ej π3 , E2 = ej π

6 (2)1 +

√3

2+ j

1 +√

32

(3)(1 +

√3)sin

(ωt +

π

4

)4.10. ω =

1√LC

, R =

√L

C

4.11. (a)8 − j (b)10 − j10

3(c)

22 + j613

(d)7 + j

54.12. (1) 15Ω (2)−j1.0Ω (3) j1.0 kΩ (4) (20 − j51) Ω (5) (3.0 + j2.5) Ω


4.13. (1) (4.0 + j3.0) Ω (2) (0.16 − j0.12) S (3) (0.25 − j0.33) S (4) (1.4 + j1.9) Ω

4.14. (1) Za = R1 +1

jωC1(2) Zb =

R2

1 + jωC2R2(3) R1 =

R2

2, C1 = 2C2

4.15. R + jωL/(1 − ω2LC)

4.16. G =ω2C2R

(ωCR)2 + (1 − ω2LC)2, B =

ωC (1 − ωLC)(ωCR)2 + (1 − ω2LC)2

4.17. (1)1 − ω2L (C1 + C2)j ωC1 (1 − ω2LC2)

(2)j ω

(L1 + L2 − ω2L1L2C

)1 − ω2L2C

(3)1 − ω2LC1

jω (C1 + C2 − ω2LC1C2)

(4)jωL2

(1 − ω2L1C

)1 − ω2 (L1 + L2)C

4.18. (1)j(ω2L (C1 + C2) − 1

)ωC1 (1 − ω2LC2)

(2)1√

L (C1 + C2)(3)

jωC1

(ω2LC2 − 1

)ω2L (C1 + C2) − 1

(4)1√LC2

4.19. ω1 = 1/√

LC1, ω2 =√

(C1 + C2)/(LC1C2)

4.20. (1.00 + j1.00)Ω

4.21. (0.80 − j1.30)Ω

4.22. (1) (0.60 − j0.30) S (2) (1.3 + j0.67)Ω

4.23. (1) (0.60 + j0.80)Ω (2) (0.60 − j0.80)Ω

4.24. Z12 = Z2Z3

4.25. Z12 = Z2Z3

4.26. R0 =ω2L2R

R2 + ω2L2, L0 =

LR2

R2 + ω2L2

4.27. (1)R2 − ω2LCR1 + jω (CR1R2 + L)

1 − ω2LC + jωC (R1 + R2)(2) CR2

2 − L = ω2LC(CR1

2 − L)

4.28. (1)−j5.0A (2) (4.2 − j3.6)V

4.29. (1) 26V (2) (24 + j12)V

4.30. (1) (6.0 + j8.0) Ω (2) (3.4 + j1.2)A (3) (−6.0 − j17)V

4.31. (1) (2.0 + j1.0) Ω (2) (0.40 − j0.20) S (3) (8.0 − j4.0)A (5) 9.0A (6)−0.46 rad= −27

4.32. (2) 10∠(−60) A (3) 10Ω (4) 10∠60 Ω (5) 5.0Ω (6) 8.7Ω

4.33. I =(RE0 + ωLE1) + j (−ωLE0 + RE1)

R2 + ω2L2, |I| =

√E0

2 + E12

R2 + ω2L2

4.34. (1) Z = R + jωL (2) I =E

R + jωL(3) |I| =

|E|√R2 + (ωL)2

(4) VR =RE

R + jωL(5)

VL =jωLE

R + jωL(7) θ = tan−1 ωL

R4.35. (1)−j4.0Ω (2) (3.0 − j4.0)Ω (3) (4.0 + j2.0)A (4) (12 + j6.0)V

4.36. (1) (4.0 − j3.0) Ω (2) (40 − j30) V (4)−37 (5) (4.0 − j6.0) Ω (6)−56

4.37. (1) Za = R +1

jωC, Zb = r + jωL (2) |Za| =

√R2 +

1(ωC)2

, |Zb| =√

r2 + (ωL)2 (3)

L = 2√

2Cr2

4.38. (1) 15Ω (2) 25Ω (3) 20Ω (4) 64mH


4.39. (1) 5.00Ω (2) |Z| =√

R2 + X2 (3) 10.0Ω (4) |Z + R0| =√

(R + R0)2 + X2 (5) R =

3.25Ω, |X| = 3.80Ω

4.40. (1) R +1

jωC(2) I =

ω2C2RE0 − ωCE1 + j(ωCE0 + ω2C2RE1

)1 + ω2C2R2

(3)

√E0

2 + E12

√2R

(4) tan θE =E1

E0, tan θI =

E0 + E1

E0 − E1

4.41. (2) |E|2 = |VR|2 + (|VL| − |VC |)2 (3) 3.0Vまたは 13 V

4.42. (1) j15.0V (2)−j10.2V (4) 3.6V

4.43. (1) 10Ω (2) 8.0Ω (3) 6.0Ω (4) (18 − j24) V (5) 6.5Ω

4.44. (1) (8.0 − j6.0) A (2) (7.0 − j13)A (3) 20V (4) 15 Ω

4.45. (1)

√5

2|IR| (2) 6.0A

4.46. (1)E

R(2) jωCE (4) θ = tan−1 ωCR

4.47. (1) (2.4 + j5.6) A (2) (−7.0 + j3.0) A (3) (−4.6 + j8.6) A (5) (0.20 + j0.25) S

4.48. (1) 2.0A (2) 2.2A (3) 0.11 S (4) 20Ω

4.49. (1) 12Ω (2) 6.0A, (3) 8.0A (5) (6.0 − j8.0) A (6)−0.93 rad

4.50. (1) 48V (3) 16A (5) (12 − j16) A (6) 20A (7) 13A

4.51. (1) 4.0A (2) 0.50 S (3) 3.3 Ω (4) 2.5Ω (5) (0.30 + j0.40) S

4.52. (2) 9.5A (3) 11A (4) (5.5 − j9.5) A (5) 6.0Ω (6) 11mH

4.53. (2) 13A (3) (5.0 − j12.0) A

4.54. (2) 5.0A (3) (5.0 − j12.0) A (4) 17Ω (5) 5.0Ω (6) 17Ω

4.55. (1)R+jX (2)√|VR|2 + |VX |2 (3)

√R2 + X2 ·|I| (4)

1R−j

1X

(5)X2R

R2 + X2+j

XR2

R2 + X2

(6)√|IR|2 + |IX |2

4.56. (1) 20V (3)−j2.0 A (4) (4.0 − j2.0) A (5) (−20 − j40) V (6)−j40V

4.57. (1)−j20V (2)−j5.0A (3) (4.0 − j5.0) A (5) (40 + j32) V (6) (40 + j12) V

4.58. (1) (−6.0 − j9.0) V (2) 12V (3) 3.0A (4)−j2.0A (5) 6.0Ω (6) 1.5 krad/s

4.59. (1)−j25V (2) (−5.0 − j10) A (3)−j10 A

4.60. (1) 10V (2) (2.0 + j1.0)A (3) (4.0 − j2.0)Ω (4) 4.0Ω (5) 2.0Ω

4.61. (1) 1.00 Ω (2) 10A (3) (2.0− j4.0)V (4) (8.0+j4.0)V (5) (8.0+j4.0)A (6) (2.0− j4.0)A

4.62. (1) (0.40− j0.30)Ω (2) (40+ j30)A (3) (−14+ j27)V (4) (39− j27)V (5) (13− j9.0)A

(6) (27 + j39)A

4.63. (1) 30V (2) j3.0 A (3) (6.0 + j3.0) A (5) (0.090 + j0.12) kV (6) (0.12 + j0.12) kV

4.64. (1) j30V (2) (2.4 + j1.8)A (3) (1.4 + j1.8)A (4) (21 + j27)V (5) (21 + j57)V

4.65. (1) (−15 + j15) A (2) 10 A (3) (−5.0 + j15) A (4) (3.0 − j3.0) Ω (6)−63

4.66. (1) E2 (2)

jωCRE

1 + jωCR(3)

(1 − jωCR) E

2 (1 + jωCR)


4.67. (1)RV

R + jωL(2)

V

1 + jωCR

(3)

[(R2

R2 + (ωL)2− 1

1 + (ωCR)2

)+ jωR

(−L

R2 + (ωL)2+

C

1 + (ωCR)2

)]V

(4) ω2LC = 1 (5)(CR2 − L)V

CR2 + L

4.68. (1)E

R + jωL(2)

jωCE

1 + jωCR(3)

1√LC

(4)E

1 − j√

LCR2

(5)E

1 + j√

CR2

L

(6) L = R2C (7)

E

R

4.69. R1 = R2

(R3

R4+

C4

C3

), ω =

1√C3C4R3R4

4.70. R1R4 +L4

C1= R2R3, ω =

√R4

R1C1L44.71. L1 = C4R2R3, C3R1 = C4R2

4.72. R1R4 = R2R3, L4R1 = L3R2

4.73. R1R4 = R2R3, ω2L3C3 = 1

5.1. (1) 1.8 kW (2) 3.00A (3) 5.0 kVA (4) 0.80 (5) 0.70 kvar

5.2. (1) 12W (2) 17W (3) 75VA

5.3. Z = (12 − j16) Ω, Y = (30 + j40) mS, P = 0.30 kW

5.4. (1) (9.6 − j2.8) Ω (2) 10,Ω (3) 0.96 (4) 0.25 kVA (5) 0.24 kW (6) 70 var

5.5. (1) 4.0 kVA (2) 2.4 kvar (3) 20A (4) 10Ω (5) (8.0 + j6.0) Ω

5.6. (1) 5.00 kVA (2) 0.500 (3) 60.0 (4) (12.5 + j21.7) A

5.7. 0.5

5.8. (1) 0.50A (2) 50Ω (3) 0.96 (4) 25V

5.9. (1) 5.0Ω (2) 50 V (3) 0.80 (4) 0.40 kW

5.10. (1) 5.0A (2) 25Ω (3) 7.0Ω

5.11. (1) 24A (2) j7.0A (3) (24 + j7.0) A (5) 0.96

5.12. (1) 5.0A (2) 50V (3) 2.0A

5.13. (1)−1.0A (2) 1.0A (3) 5.0W

5.14. P =|E|2 (ωC)2R

(ωCR)2 + (ω2LC − 1)2, λ =

ωCR√(ωCR)2 + (ω2LC − 1)

5.15. (1) (20 + j10) Ω (2) (40 − j20) mS (3) (0.50 − j0.25) kVA (4) 0.56 kVA (5) 0.50 kW (6)

0.25 kvar (7) 0.89

5.16. (1) 0.80 (2) (12 + j9.0)A (3) (3.6 + j2.7) kVA (4) −j4.0 A (5) (12 + j5.0) A (6)

(3.6 + j1.5) kVA (7) 0.92

5.17. (1)Pa

E(2)

Pa

Ee−jθ (3) I1 =

Pa1

Ee−jθ1 , I2 =

Pa2

Ee−jθ2

(4)Pa1 cos θ1 + Pa2 cos θ2

E− j

Pa1 sin θ1 + Pa2 sin θ2

E


(5) Pa1 cos θ1 + Pa2 cos θ2 − j (Pa1 sin θ1 + Pa2 sin θ2)

(6)√

Pa12 + Pa2

2 + 2Pa1Pa2 cos (θ1 − θ2) (7)Pa1 cos θ1 + Pa2 cos θ2√

Pa12 + Pa2

2 + 2Pa1Pa2 cos (θ1 − θ2)

6.1. (1) I1 =2E1 − E2 − E3

3Z、I2 =

2E2 − E3 − E1

3Z、I3 =

2E3 − E1 − E2

3Z

(2)E1 + E2 + E3

3(3) E1 + E2 + E3 = 0

6.2. (1) I1 − I2 + I5 = 0, I2 − I3 + I6 = 0, −I1 + I3 − I4 = 0 (2) I4 + I5 + I6 = 0

(3) E1 − Z1I1 + E2 − Z2I2 + E3 − Z3I3 = 0 (4) I1 =E1 + E2 + E3 + Z3I4 − Z2I5

Z1 + Z2 + Z3,

I2 =E1 + E2 + E3 + Z1I5 − Z3I6

Z1 + Z2 + Z3, I3 =

E1 + E2 + E3 + Z2I6 − Z1I4

Z1 + Z2 + Z3

6.3. (1) E =(

jωL +1

jωC

)I1 − 1

jωCI2, 0 = − 1

jωCI1 +

(jωL +

2jωC

)I2 (2) I1 =

jωC(2 − ω2LC)Eω4L2C2 − 3ω2LC + 1

, I2 =jωCE

ω4L2C2 − 3ω2LC + 1(3)

E

ω4L2C2 − 3ω2LC + 1

6.4. (1) E =(

jωL +1

jωC

)I1 − 1

jωCI2, 0 = − 1

jωCI1 +

(jωL +

1jωC

+ R

)I2 (2) I1 =(

1 − ω2LC + jωCR)E

(1 − ω2LC) R + jωL (2 − ω2LC), I2 =

E

(1 − ω2LC) R + jωL (2 − ω2LC)(3) R

√C

L6.5. (1) E1 − E2 = (Z1 + Z2) I1 − Z2I2, E2 = (Z2Z3) I2 − Z2I1

(2) I1 =(Z2 + Z3) E1 − Z3E2

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1, I2 =

Z2E1 + Z1E2

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

6.6. (1) E1 =(

R +1

jωC

)I1 +

1jωC

I2, E2 =1

jωCI1 +

(jωL + 1

jωC

)I2 (2) I1 =(

1 − ω2LC)E1 − E2

R (1 − ω2LC) + jωLI2 =

(1 + jωCR)E2 − E1

R (1 − ω2LC) + jωL

6.7. I1 =(Z2 + Z3) E1 − Z3E2 − Z2E3

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1I2 =

(Z1 + Z2)E3 − Z2E1 − Z1E2

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

6.8. (1) E =1

jωCI1 − 1

jωCI2, 0 = − 1

jωCI1 +

(1

jωC+ R

)I2 − RI3, 0 = −RI2 +

(R + jωL) I3 (2) I1 =(

1R

+1

jωL+ jωC

)E, I2 =

(1R

+1

jωL

)E, I3 =

E

jωL6.9. (1) E = (R − jXC1) I1 + jXC1I2, 0 = jXC1I1 + (jXL1 − jXC1 − jXC2) I2 + jXC2I3,

0 = jXC2I2 + (jXL2 − jXC2) I3 (2) I1 = 2.0A, I2 = −2.0A, I3 = −4.0A

6.10. (1) E =(

R +1

jωC

)I1 − 1

jωCI2 − RI3, 0 = − 1

jωCI1 +

(R + r +

1jωC

)I2 − rI3,

0 = −RI1−rI2+(R + r + jωL) I3 (3) I1 =E

R, I2 =

E

R(1 + jωCR), I3 =

E

R(1 + jωCR)

6.11. I1 =11E1 − 7E2

10Z, I2 =

9E2 − 7E1

10Z, I3 =

E1 − E2

2Z6.12. (1) Ea = (R + jXL2) I1 + jXL2I2 −RI3, Eb = jXL2 + (jXL2 − jXC) I2 − jXCI3, 0 =

−RI1−jXCI2+(R + jXL1 − jXC) I3 (2) I1 = −2.0A, I2 = 1.0A, I3 = (−2.0 + j2.0) A

(3) 12W

6.13. (1) E1 = (R + j2XL)I1 − jXLI2 + jXLI3, E2 = −jXLI1 + (jXL − jXC)I2 − jXCI3,


E3 = jXLI1 − jXCI2 + (jXL − jXC)I3 (2) I1 = 1.0A, I2 = 2.0A, I3 = −2.0A

6.14. (1) E1 = 2RI1 +RI2−RI3, E2 = RI1 +(R− jXC)I2− jXCI3, E3 = −RI1− jXCI2 +

(R + jXL − jXC)I3 (2) I1 = (3.0 + j1.0)A, I2 = −2.0A, I3 = −j2.0A

6.15. (1) E1 − E2 = ZaIa, E2 − E3 = ZbIb, E3 − E1 = ZcIc (2)E1 − E2

Za+

E2 − E3

Zb+

E3 − E1

Zc(3)

(1Za

+1Zc

)E1 −

E2

Za− E3

Zc(4)

3E1

Z(5) 0

6.16. (1) E1 = (Za + Zc + r1)I1 − ZaI2 − ZcI3、E2 = −ZaI1 + (Za + Zb + r2)I2 − ZbI3、

E3 = −ZcI1 − ZbI2 + (Zb + Zc + r3)I3 (2) I1 =(Z + r)E1 + ZE2 + ZE3

r(3Z + r)(3) Ia =

E1 − E2

3Z + r6.17. (1) E1 = 4ZI1 − 2ZI3, 0 = 5ZI3 − 2ZI1 + 2ZI4, 0 = 5ZI4 + 2ZI3 − 2ZI2, E2 =

4ZI2 − 2ZI4 (2) I1 =7E

24Z, I3 =

E

12Z6.18. (1) E1 = (Z1 + Z2) I1 − Z2I2 + Z1I4, E2 = (Z2 + Z3) I2 − Z2I1 + Z3I3, E3 =

(Z3 + Z4) I3 + Z3I2 − Z4I4, E4 = (Z1 + Z4) I4 + Z1I1 − Z4I3 (2)E2

E1=

E3

E1=

Z3

Z1,

E4

E1= 1

6.19. (1) J = 4Y V1 − 2Y V2 −Y V3, 0 = −2Y V1 +5Y V2 − 2Y V3, 0 = −Y V1 − 2Y V2 +4Y V3

(2) V1 = 16J/35Y , V2 = 2J/7Y , V3 = 9J/35Y

6.20. (1) J1 = 4Y V1 − 2Y V2, 0 = −2Y V1 + 4Y V2 − Y V3, J2 = −Y V2 + 2Y V3 (2) V1 =7J1 + 2J2

20Y, V2 =

J1 + J2

5Y, V3 =

J1 + 6J2

10Y

6.21. (1) J1 =(

jωC1 +1

jωL

)Va − 1

jωLVb, J2 =

(jωC2 +

1jωL

)Vb − 1

jωLVa (2) Va =(

1 − ω2C2L)J1 + J2

jω (C1 + C2 − ω2LC1C2)Vb =

(1 − ω2C1L

)J2 + J1

jω (C1 + C2 − ω2LC1C2)(3) C2J1 = C1J2

6.22. (1) J =(

1R1

+ jωC

)Va − jωCVb, 0 =

(1

R2+ jωC

)Vb − jωCVa (2) Va =

R1 (1 + jωCR2)J

1 + jωC (R1 + R2), Vb =

jωCR1R2J

1 + jωC (R1 + R2)(3)

1√CR2

6.23. (1) J1 =(

1R1

+1

R5

)Vb − 1

R1Vc, 0 =

(1

R1+

1R2

+1

R4

)Vc −

1R1

Vb − 1R2

Vd, J2 =(1

R2+

1R5

)Vd − 1

R2Vc (2) Vb = 9.0V, Vc = 7.5V, Vd = 9.0V

6.24. (1) J1 − J2 = Y Vb − Y Vd, J2 = 2Y Vc − Y Vd, 0 = −Y Vb − Y Vc + 3Y Vd (2) Vb =5J1 − 4J2

3Y, Vc =

J1 + J2

3Y, Vd =

2J1 − J2

3Y6.25. (1) J1−J2 = Y1Va−Y1Vb, J2 = (Y1 + Y2) Vb−Y1Va−Y2Vc, J1 = (Y2 + Y3) Vc−Y2Vb

(2) Va =(Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1) J1

Y1Y2Y3− J2

Y1+

J3

Y3, Vb =

(Y2 + Y3)J1

Y2Y3+

J3

Y3, Vc =

J1 + J3

Y3

6.26. (1) J1 = (Y1 + Y3)V1 − Y3V2, J2 = (Y2 + Y3) V2 − Y3V1 (2)

[Y1 + Y3 −Y3

−Y3 Y2 + Y3

](3)


V1 =(Y2 + Y3) J1 + Y3J2

Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1, V2 =

Y3J1 + (Y1 + Y3) J2

Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y16.27. (1) E1 = Z1I1 − Z1I3, 0 = (Z1 + Z2 + Z3) I3 − Z1I1 + Z2I2, E2 = Z2I2 + Z2I3 (2)

Z1 (Z2 + Z3)Z1 + Z2 + Z3

Z1Z2

Z1 + Z2 + Z3Z1Z2

Z1 + Z2 + Z3

Z2 (Z1 + Z3)Z1 + Z2 + Z3

6.28. Z1 + (β + 1) Z2

6.29. I1 =− (Z2 + Z4) E + (Z2Z3 + Z3Z5 + Z4Z5 + Z5Z3)J

(Z1 + Z3) (Z2 + Z4) + (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)Z5,

I2 =− (Z1 + Z3)E + (Z1Z4 + Z3Z5 + Z4Z5 + Z5Z3)J

(Z1 + Z3) (Z2 + Z4) + (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)Z5, I3 = J

6.30. (1) 0 =(

2R

+ j2ωC

)Va − E1

R− E2

R, 0 =

(2R

+ j2ωC

)Vb − jωCE1 − jωCE2 (2)

Va =E1 + E2

2 (1 + jωCR), Vb =

jωCR (E1 + E2)2 (1 + jωCR)

(3) |Vab| = |E1 + E2| /2

6.31. (1) I1 =(Z2 + Z3)E1 − Z2E3

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1,

I2 =(Z1 + Z2)E3 − Z2E1

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1(2) V1 =

Z2 (Z3E1 + Z1E3)Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

7.1. Za = R + jωL, Zb = R +1

jωC, Zc =

j ωLR

R + jωL, Zd =

R

1 + jωCR, Za → R (ω → 0),

Zb → ∞ (ω → 0), Zc → 0 (ω → 0), Zd → R (ω → 0), Za → ∞ (ω → ∞),

Zb → R (ω → ∞), Zc → R (ω → ∞), Zd → 0 (ω → ∞)

7.2. tan−1√

k2 − 1

7.3.

√3R

2

7.4. (1)

[R1 +

(ωL2)2R2

R22 + (ωL2)

2

]+ j

[ωL2R2

2

R22 + (ωL2)2

− 1ωC1

](2)［ヒント：ω → ∞ のとき

R22 + (ωL2)2 ; (ωL2)2 となる］

7.5. L = CR2, K = R

7.6. (1) 0 (2) R2/(R1 + R2)

7.7. ［ヒント：Vab =1 − jωCR

1 + jωCR· E

2］

7.8. (1)R1(1 + jωC2R2)R2(1 + jωC1R1)

(2)R1

R2(3)

C1

C2

7.9. (1)1 + ω2C1C2R1R2

1 − ω2C1C2R1R2 + jω(C1R1 + C2R2)(2) C1R1 = C2R2 (3) 0 (4) −π (5) ω =

1C1R1

7.10. (1)RV

R (1 − ω2LC) + jωL(2)

R |V |√R2 (1 − ω2LC)2 + (ωL)2

(3)−ω2LCRV

R (1 − ω2LC) + jωL

(4)ω2LCR |V |√

R2 (1 − ω2LC)2 + (ωL)2(5) 2R2C = L


7.11. (1) R2C = L (2) |E|2/R

7.12. R2C = L

7.13. −50 dB

7.14. 1.5倍

7.15. 30 dBm

7.16. 70.0mW

7.17. A(ω) =ωCR√

1 + (ωCR)2, Θ(ω) =

π

2− tan−1 ωCR

7.18. (a)f0 = 3.2 kHz, Q = 40 (b) f0 = 0.16MHz, Q = 30

7.19. (1) 5.1µF (2) 15 A

7.20. 2.0A

7.21. C0 = 55pF、L = 30 µH

7.22. (1)jωC0

1 − ω2L0C0(2)

j(ω2L0C0 − 1

)ω (C0 + C1 − ω2L0C0C1)

(3)1√

L0C0

(4)

√C0 + C1

L0C0C1(5)共振角

周波数 (6)−∞ (7) 0 (8) ω0 < ω < ω∞

7.23. (1)ω2C2R

1 + ω2C2R2+ j

ω2(LC − C2R2

)− 1

ωL (1 + ω2C2R2)(2)

1√LC − C2R2

(3)CR

L(4)

CRE

L

7.24. (1)R + jω

(CR2 − L + ω2L2C

)R2 + ω2L2

(2)

√1

LC

[1 − CR2

L

](3)

CR

L(4) ω0

√1 − 1

Q02

7.25. ω0 =1√LC、Z0 =

2LR

CR2 + L7.26. (1) L = 2.0H (2) 6.0 kV (3) 4.0 kV

8.1. I1 =8E1 − 6E2

5Z, I2 =

7E2 − 6E1

5Z, I3 =

E1 − E2

Z

8.2.J

3− E

6R

8.3. (2) V ′AB =

Z2E

Z1 + Z2(4) V ′′

AB =Z1Z2J

Z1 + Z2(5) VAB =

Z2 (E + Z1J)Z1 + Z2

8.4.4E

5+

2RJ

5

8.5. V =Z3 (E + Z2J)

Z2 + Z3

8.6. V =Z3 (E + Z2J)

Z2 + Z3

8.7. V0 =Z2E

Z1 + Z2+ Z3J

8.8. E0 =Z2E

Z1 + Z2, Z0 =

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

Z1 + Z2, J0 =

Z2E

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1, Y0 =

Z1 + Z2

Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

8.9. E0 =E

3, Z0 = 2Z

8.10.5E

8Z

8.11. (1) E0 =(

Z2

Z1 + Z2− Z4

Z3 + Z4

)E, Z0 =

Z1Z2

Z1 + Z2+

Z3Z4

Z3 + Z4


(2)(Z2Z3 − Z1Z4) E

Z1Z2 (Z3 + Z4) + Z3Z4 (Z1 + Z2)

8.12. (1) E0Z2Ea

Z1 + Z2, Z0 =

Z1Z2

Z1 + Z2(2) E′

0

Z2Ea

Z1 + Z2+

Z4Eb

Z3 + Z4, Z ′

0 =Z1Z2

Z1 + Z2+

Z3Z4

Z3 + Z4

8.13. E0 =Z2E1 + Z1E2

Z1 + Z2, Z0 =

Z1Z2

Z1 + Z28.14. (1) R0 = 0.80Ω, (2) E0 = 2.0V

8.15. (1) 2.0Ω (2) 6.0V (3) 3.0A

8.16. (1)E

R1 + R3(2)

∆R · (R2R3 + R3R4 + R4R2)E

((R1 + ∆R) (R2R3 + R3R4 + R4R2) + R2R3R4) (R1 + R3)

(3)∆R · R3 (R2 + R4) E

((R1 + ∆R) (R2R3 + R3R4 + R4R2) + R2R3R4) (R1 + R3)

(4)∆R · E

(R1 + ∆R) (R1 + R2 + R3) + R2R3(5)

∆R · IR1 + R2

8.17. (1) Pmax =E0

4R02 , (2) R =

(3 ± 2

√2)R0

8.18. (1) E0 = R2J , R0 = R2 (2) r = R2

8.19. (1) E0 =jωLE

R1 + jωL, Z0 = R2 +

jωLR1

R1 + jωL(2) R3 = R2 +

(ωL)2 R1

R12 + (ωL)2

, C =1

ω2L+

L

R12

8.20. R = r +(ωL)2

r, C =

L

r2 + (ωL)2

8.21.［ヒント：電圧 E0 と電流 I の位相差が 0になることを示す。］

8.22. (−1.5 + j0.50) V

9.1. ［ヒント：変成器の基礎式で V2 → −V2, I2 → −I2 とおく。］

9.2. (1) V1 = jωL1I1 + jωMI2, V2 = jωMI1 + jωL2I2 (2) V3 = jωL3I3 + jωmI4, V4 =

jωmI3 + jωL4I4 (3)［ヒント：V3 = V2、I3 = −I2 を使う］(L2 + L3) I2 = mI4 − MI1

(4) L1′ = L1 −

M2

L2 + L3, L4

′ = L4 −m2

L2 + L3, M ′ =

mM

L2 + L39.3. (1) I = I1 +I2 (2) V = jωL1I1 +jωMI2, V = jωMI1 +jωLI2 (3) I1 : I2 = (L2 − M) :

(L1 − M) (4) I1 =(L2 − M) I

L1 + L2 − 2M, I2 =

(L1 − M) I

L1 + L2 − 2M(5) Z =

jω(L1L2 − M2

)L1 + L2 − 2M

9.4. L3 = L1 − M、L4 = L2 − M、L5 = M、L′ =(L1L2 − M2

)/L2

9.5. (1) L3 = L1 − M , L4 = M , L5 = L2 − M (2)ω2

(M2 − L1L2

)+ jωL1R

R + jωL29.6. (1) V1 = jωL1 + jωMI2, V2 = jωMI1 + jωL2I2 (2) I = I1 = −I2 (3) VR = RI (4)

V = V1 + VR − V2 (5) R + jω (L1 + L2 − 2M)

9.7. (1) V1′ = jωL1I1

′ + jωMI2′ V2

′ = jωMI1′ + jωL2I2

′ (2) I1′ = I1 + I2, I2

′ = I2 (3)

V1′ = V1, V2

′ = V2 − V1 (4) V1 = jωL1I1 + jω (L1 + M) I2 V2 = jω (L1 + M) I1 +

jω (L1 + L2 + 2M) I2

9.8. (1) E = jωL1I1 + jωMI2, 0 = jωMI1 + jωL2I2 (2) I1 =L2E

jω (L1L2 − M2), I2 =


−ME

jω (L1L2 − M2)9.9. (1) I1 + I2 + I3 = 0 (2) E1 − E2 = 0, E1 − E3 = −Z3I3

(3) E2 = −sL2I2 − sMI3, E3 = −sMI2 − sL3I3

(4) I1 =s (L2 + L3 − 2M) + Z3

s2 (L2L3 − M2) + sL2Z3E1, I2 =

s (M − L3M) − Z3

s2 (L2L3 − M2) + sL2Z3E1,

I3 =s (M − L2)

s2 (L2L3 − M2) + sL2Z3E1

9.10. ω0 =√

L1 + L2 − 2M

(L1L2 − M2)C

9.11. (1) V1 =(

1jωC1

+ jωL

)I1 + jωMI2, V2 = jωMI1 + jωL2I2

(2)V1

I1=

j ωL2C1

L2 − ω2(L1L2 − M2)C1 − 1(3)

√L2

(L1L2 − M2)C1

9.12. (a) j ω (L1 + L2 + 2M) (b) jω (L1 + L2 − 2M)

9.13. (1) I1 =

(1 − ω2L2C

)E

jω (L1 + L2 − 2M + ω2 (M2 − L1L2)),

I2 =

(1 − ω2MC

)E

jω (L1 + L2 − 2M + ω2 (M2 − L1L2))(2) ω2MC = 1

9.14. (1) E = jωL1I1 + jωMI2, 0 = jωMI1 +(

jωL2 +1

jωC

)I2

(2) Z =jω

L1 − ω2

(L1L2 − M2

)C

1 − ω2L2C

(3) ω∞ =1√L2C

(4) ω0 =√

L1

C (L1L2 − M2)(5) ω0 =

ω∞√1 − k2

9.15. (1) V1 = jωL1I1 + jωMI2, V2 = jωMI1 + jωL2I2, V2 = − 1jωC2

I2

(2)V2

V1=

M

L1 − ω2(L1L2 − M2)C2(3)

L2

M(4)

ω1√1 − k2

9.16. (2) I1 =(L2 − M)E

jω (L1L2 − M2) + L2RI2 =

[jω (L1 − M) + R]Eω2 (M2 − L1L2) + jωL2R

(3) M2 = L1L2 か

つ L2 > M

9.17. L + M = 0

9.18. (1) V =[jω(L1 + L2 + 2M) +

1jωC

+ R

]· I (2) R + j

[ω(L1 + L2 + 2M) − 1

ωC

](3)

1√(L1 + L2 + 2M)C

9.19. (1) R + jω(L1 + L2 − 2M) +1

jωC(2)

1√(L1 + L2 − 2M)C

(3)1R

√L1 + L2 − 2M

C

9.20.[sL1 (sL2 + Z2) (sL3 + Z3) + 2s3M12M23M31 − s3L1M23

2

−s2M132 (sL2 + Z2) − s2M12

2 (sL3 + Z3)]/

[(sL2 + Z2) (sL3 + Z3) − s2M23

2]

9.21. (1) V1 : V2 : V3 = n1 : n2 : n3 (2) n1I1 + n2I2 + n3I3 = 0 (3) n1I1 + (n2 − n3) I2 = 0

(4) V2 − V3 = −Z0I2 (5) Z =(

n1

n2 − n3

)2

Z0

9.22. (1) V1 : V2 = 1 : n, I3 + nI2 = 0 (2) I1 = I3 + I4 (3) V1 = jωLI4 (4) V1 = jωLI1 +


jωnLI2 (5) V2 = jωnLI1 + jωn2LI2 (6) V1 = jωL1I1 + jωMI2, V2 = jωMI1 + jωL2I2

(7) L1 = L, L2 = n2L, M = nL (8) 1

9.23. (1) V1 : V2 = 1 : n (2) V2 = nE (3) I1 + nI2 = 0 (4) I = I1 + I2 (5) I2 =I

1 − n(6)

E = V2 + Z0I2 (7)Z0

(1 − n)2

9.24.n1

n2· 1√

LC

10.1. A =z11

z21、B =

z11z22 − z12z21

z21、C =

1z21、D =

z22

z21

10.2. Z =

[Z Z

Z Z

], F =

[1 0

1/Z 1

]

10.3. Y =

[Y −Y

−Y Y

], F =

[1 1/Y

0 1

]

10.4. Z =

[Z1 + Z2 Z2

Z2 Z2

], Y =

1Z1

− 1Z1

− 1Z1

1Z1

+1Z2

, F =

1 +Z1

Z2Z1

1Z2

1

10.5.

[(Z1 + Z2) /2 (Z2 − Z1) /2

(Z2 − Z1) /2 (Z1 + Z2) /2

]10.6. (1) V1 = Z1 (I1 − I ′1) (2) V2 − V ′

2 = Z2I2 (3) V1 = z11I′1 + z12I2、V ′

2 = z21I′1 + z22I2

(4)

z1z11

z1 + z11

z1z12

z1 + z11z1z21

z1 + z11z2 + z22 −

z12z21

z1 + z11

10.7.

[L1/M jω(L1L2 − M2)/M

1/jωM L2/M

]

10.8.

[1/n 0

0 n

]

10.9. (1) I1 = Y (V1 − V ′1) (2) V ′

1 : V2 = 1 : n (3) I1 + nI2 = 0 (4)

[Y −Y/n

−Y/n Y/n2

]

10.10.

[Z1 + Z2 Z2 − Z1

Z2 − Z1 Z1 + Z2

]10.11. Zin =

1 + y22ZL

y11 + (y11y22 − y12y21) ZL, Zout =

1 + y11ZS

y22 + (y11y22 − y12y21) ZS

10.12. ZK =

√L

C (2 − ω2LC)

10.13. ZK =√

k

k + 2R, θK = ln(k + 1 +

√k(k + 2))

10.14. ZI1 =

√ω2L2

ω2LC − 1, ZI2 =

√ω2LC − 1

ω2C2, θI = coth−1

√1 − ω2LC


10.15. ZI1 =√

(Z1 + Z3)(Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1)/(Z2 + Z3),

ZI2 =√

(Z2 + Z3)(Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1)/(Z1 + Z3),

θI = coth−1√

(Z1 + Z3)(Z2 + Z3)/(Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1)

10.16. ZI =

√2ω2LC − 1

ω2C2, θI = coth−1

√(1 − ω2LC)2

1 − 2ω2LC10.17.

√Z1Z2

10.18.

√Z1Z3 (Z1 + 2Z2)

2Z1 + Z3

10.19.

[R1/R2 0

0 R2/R1

]11.1. L = 0.796µH、C = 318 pF

11.2. K =

√L

2C, fc =

1π√

2LC

11.3. K =

√L

C, fc =

14π

√LC

11.4. C = 8.84 nF、L = 3.18 mH

11.5. (1)

√2 ± 1√LC

(2)1√LC

11.6.1√2LC

11.7.1

2π√

LC1

および1

2π√

L(C1 + C2)12.1. (1) Eb = Eae−j 2π

3 、Ec = Eae j 2π3 (2) Eab =

√3Eae−j π

6、Ebc =√

3Eae−j π2、Eca =

√3Eae j 5π

6 (3)√

3 |Ea| = |Eab| (4) Ebc = Eab e−j 2π3 、Eca = Eab e j 2π

3

12.2. (1) Ibc = Iab e−j 2π3 、Ica = Iab e j 2π

3 (2) Ia = Iab − Ica (3) Ia =√

3Iab e−j π6 (4) |Ia| =

√3 |Iab|

12.3. (1) 2Z1 (2) 2Z2/3 (3) 3Z1 = Z2

12.4. (8.0 + j6.0)V

12.5. |Ia| =√

3 |Eab||Z|

、|Iab| =|Eab||Z|

12.6. |Ia| = 24A、|Iab| = 14A

12.7. (1) 3.0Ω (2) 12 A (3) (6.0 − j6.0)A (4) (6.0 + j6.0)A

12.8. (1)R

1 + j3ωCR(2)

Ea(1 + j3ωCR)R

12.9. (1)−j0.25 S (2) j4.0Ω (3) 30A

12.10. (1) 38A (2) 22A

12.11. (1)(1 + j3ωCZ)Ea

jωL + (1 − 3ω2LC)Z(2)

Ea

jωL + (1 − 3ω2LC)Z(3) 3ω2LC = 1

12.12. (1) 25Ω (2) 24Ω (3) 7.0Ω (4) 1.2 kW

12.13. (1) 20A (2) 4.8 kW

12.14.［ヒント：電源を Y 変換して 1相当たりの回路で考える。］(1) 100V (2) 0.33 (3) 4.0Ω

(4) 0.75 S (5) 1.4Ω


12.15. (1) Ia =Ea − VN

Za(2) VN =

ZbZcEa + ZcZaEb + ZaZbEc

ZbZc + ZcZa + ZaZb

12.16. (1) (1 − j)E (2) (1 + 2j)E (3) (−2 − j)E (4)(1 − j)E

R(5)

(1 + 2j)ER

(6)(−2 − j)E

R(7)

3E

R(8)

j3ER

(9)(−3 − j3)E

R12.17. (1) Rab = 6.0Ω、Rbc = 18Ω、Rca = 12Ω (2) 4.8 kW

12.18. (1) Zab = −j2.0Ω、Zbc = 2.0 Ω、Zca = j2.0Ω (2) 20 kW

12.19. (1) Ia =Ea

Z, Ib =

Eb

Z, Ic =

Ec

Z(2) Ia = 0, Ib =

Eb − Ec

2Z, Ic =

Ec − Eb

2Z(3)

VN =Eb + Ec

Z

12.20. (1)V 2

R(2)

V 2

2R

12.21. (1) VN =YaEa + YbEb + YcEc

Ya + Yb + Yc(2) Ia =

(Yb + Yc)Ea − YbEb − YcEc

Ya + Yb + Yc· Ya、

Ib =(Yc + Ya)Eb − YcEc − YaEa

Ya + Yb + Yc· Yb、Ic =

(Ya + Yb)Ec − YaEa − YbEb

Ya + Yb + Yc· Yc (3) Ia =

YaEa、Ib = YbEb、Ic = YcEc (4) IN = −(YaEa + YbEb + YcEc)

Documents

2009年版 - 群馬工業高等専門学校（群馬高専）電子 …mame/kougi/kairo/kairomondai09.pdf0.2 電気回路の基本素子 c 大豆生田利章2009 5 図3 問題0.5 (1)