2011 1 Formelsammlung mit LOGO Entwurf - BVS€¦ · Will man angeben, in welcher Zeit eine bestimmte Arbeit verrichtet wird, so bedient man sich des Begriffes Mechanische Leistung

Februar 2012 BVS Seite 1

FormelsammlungFachangestellte für Bäderbetriebe

Meister für Bäderbetriebe

Erstellt von Dipl.-Ing. (FH) Wolfgang Hetterich, BVSmit Ergänzungen von Dipl.-Ing. (FH) Peter Vltavsky, BS Lindau

Inhalt

Allgemeine Mechanik .................................... 2

Geschwindigkeit............................................ 2

Dichte ........................................................... 2

Gewichtskraft................................................ 2

Druck ............................................................ 2

Schweredruck (z.B. bei einer Wassersäule in einem Gefäß)............................................. 3

Druckausbreitung (z.B. Hydraulische Presse).......................................................... 3

Boyle-Marriotsches Gesetz (Druck in Gasen)........................................................... 3

Auftrieb in Flüssigkeiten ................................ 4

Volumenstrom / Durchfluss / Massenstrom... 4

Mechanische Arbeit....................................... 5

Mechanische Leistung .................................. 5

Pumpenleistung ............................................ 5

Gesamtförderhöhe H..................................... 5

Pumpenwirkungsgrad.................................... 6

Gesamtwirkungsgrad .................................... 6

Elektrotechnik............................................... 6

Ohmsches Gesetz......................................... 6

Elektrische Leistung ...................................... 6

Elektrische Arbeit .......................................... 6

Stromkosten.................................................. 7

Wärmelehre.................................................. 7

Wärmemenge ............................................... 7

Wärmeenergiewirkungsgrad (z. B. einer Heizung)........................................................ 7

Gesamtwirkungsgrad .................................... 7

Brennstoffmengenermittlung für Warmwasserbereitung.................................. 7

Für gasförmige Brennstoffe .......................... 8

Heizkostenermittlung für die Warmwasserbereitung.................................. 8

Mischwasserberechnungen .......................... 8

Mischungsformel .......................................... 9

Bäderspezifisches Fachrechnen ...................... 9

Nennbelastung nach DIN 19643.................... 9

Volumenstrom nach DIN 19643..................... 9

Umwälzperiode ............................................10

Mindestvolumen der Warmsprudelbecken in kombinierter Nutzung ...............................10

Flächenberechnungen.................................. 11

Quadrat, Rechteck .......................................11

Trapez..........................................................11

Kreis ............................................................11

Kreisring.......................................................12

Dreieck ........................................................12

Volumenberechnungen ................................ 13

Würfel, Quader ............................................13

Zylinder ........................................................13

Prisma..........................................................13

Pyramide, Kegel, schräge und spitze Körper .14

Kegelstumpf ................................................14

Kugel ...........................................................14

Pyramidenstumpf.........................................15

Seite 2 Februar 2012 BVS

Allgemeine Mechanik

Geschwindigkeit

Unter Geschwindigkeit v eines Körpers versteht man den von ihm zurückgelegten Weg s pro dafür benötigte Zeit t.

tsv =

v = Geschwindigkeit .......................................................................in m/ss = Weg..........................................................................................in mt = Zeit............................................................................................in s

Dichte

Bezieht man die Masse (Stoffmenge) eines Körpers auf dessen Volumen, so erhält man die Dichte, sie wird mit dem griechischen Buchstaben ρ (rho) bezeichnet. Die Einheit der Dichte ist kg/dm³.

Vm

=ρ

ρ = Dichte.......................................................................................in kg/dm³m = Masse .....................................................................................in kgV = Volumen...................................................................................in dm³

Gewichtskraft

Die Gewichtskraft (auch Gewicht oder Schwere genannt) ist die auf einen Körper einwirkende Kraft, die durch das Schwerefeld der Erde erzeugt wird. Dabei werden alle Körper von der Erde mit der Erdbeschleunigung von 9,81 m/s² angezogen. Gemessen wird die Gewichtskraft in der Einheit Newton (N).

gmFG •=

FG = Gewichtskraft..........................................................................in N [1N = 1 kgm/s²]m = Masse ....................................................................................in kgg = Erdbeschleunigung ...................................................................in m/s²

Druck

Der Druck ist die Kraft, die auf eine bestimmte Fläche einwirkt. Die Einheit des Druckes ist N/cm². In der angewandten Technik wird aber oft die Einheit bar (1 bar = 10 N/cm²) verwendet.

AFp =

p = Druck........................................................................................in N/cm²F = Kraft ........................................................................................in NA = Fläche ......................................................................................in cm²


Schweredruck (z.B. bei einer Wassersäule in einem Gefäß)

Der Schweredruck ist der Druck in einer bestimmten Tiefe, der durch die eigene Masse der darüber stehenden Flüssigkeit oder des darüber stehenden Gases hervorgerufen wird. Die Einheit des Druckes ist N/cm². In der angewandten Technik wird aber oft die Einheit bar (1 bar = 10 N/cm²) verwendet.

hgp ••ρ=

p = (Schwere) Druck .......................................................................in N/cm²ρ = Dichte .....................................................................................in kg/cm³g = Erdbeschleunigung ...................................................................in m/s²h = Höhe der Flüssigkeitssäule .......................................................in cm

Druckausbreitung (z.B. Hydraulische Presse)

Der Druckkolbens wird von Punkt P1 mit einem Druck p bis zu Punkt P2 verschoben und legt die Strecke s1 zurück. Hierbei wird das Flüssigkeitsvolumen V1 in den Arbeitskolben verdrängt. Hierdurch wird der Arbeitskolben um das gleiche Volumen V2 von Punkt P3 nach Punkt P4 verschoben und legt dabei die Wegstrecke s2 zurück.

221121 sAsAVV •=•⇒=

V1; V2 = Volumen der Kolben...........................................................in cm³A1; A2 = Fläche der Kolben ..............................................................in cm²s1; s2 = Weg der Kolben ..................................................................in cm

2

1

2

1

AA

FF

=

F1; F2 = Kolbenkräfte .......................................................................in NA1; A2 = Fläche der Kolben ..............................................................in cm²

Boyle-Marriotsches Gesetz (Druck in Gasen)

Das Produkt aus dem Volumen V und dem Druck p einer abgeschlossenen Gasmenge erweist sich bei gleichbleibender Temperatur als konstant.

2211 VpVp •=•

21 p;p = Druck einer abgeschlossenen Gasmenge ....................in N/cm²

21 V;V = Volumen der abgeschlossenen Gasmenge ...................in cm³


Auftrieb in Flüssigkeiten

Ein vollständig in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper VK erfährt eine Auftriebskraft FA, die seiner Gewichtskraft entgegenwirkt. Der eingetauchte Körper verdrängt hierbei ein entsprechendes Flüssigkeitsvolumen.

FA = ρFl • g • VvFl (bei einem vollständig eingetauchten Körper: VK = VvFl)

FA = Auftriebskraft .........................................................................in NρFl = Dichte der Flüssigkeit..............................................................in kg/dm³g = Erdbeschleunigung ...................................................................in m/s²VK = Volumen des eingetauchten Körpers .......................................in dm³VvFl = Verdrängtes Flüssigkeitsvolumen...........................................in dm³

Die Auftriebskraft entspricht demnach der Gewichtskraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumens.

FA = FG è ρFl • g • VK = mvFl • g

FG = Gewichtskraft..........................................................................in N [1N = 1 kgm/s²]mvFl = Masse des verdrängten Flüssigkeitsvolumens ......................in kg

Ein Körper taucht so tief in eine Flüssigkeit ein, bis seine Gewichtskraft der Gewichtskraft des durch ihn verdrängten Flüssigkeitsvolumens entspricht. Der Körper schwimmt auf der Flüssigkeit und taucht nur teilweise in die Flüssigkeit ein.

Volumenstrom / Durchfluss / Massenstrom

Unter Volumenstrom Q versteht man das Volumen V eines Mediums wie z.B. Wasser, das sich während einer bestimmten Zeiteinheit t durch einen Querschnitt A (z. B. einer Rohrleitung) bewegt.

Q = V/t (Volumenstrom)

Q = Volumenstrom .........................................................................in m³/hV = Volumen...................................................................................in m³t = Zeit............................................................................................in h

Q = A • v

Q = Volumenstrom .........................................................................in m³/hA = Querschnittsfläche der Rohrleitung...........................................in m²v = Fließgeschwindigkeit des Mediums ..........................................in m/h

m` = m/t (Massenstrom)

m´ = Massenstrom .........................................................................in kg/hm = Masse .....................................................................................in kgt = Zeit............................................................................................in h


Mechanische Arbeit

Die Mechanische Arbeit W ist gleich dem Produkt aus dem zurückgelegten Weg und der Kraft. Die Einheit der Mechanischen Arbeit ist Nm = J.

W = F • s

W = Mechanische Arbeit ................................................................in Nm = JF = Kraft .........................................................................................in Ns = Weg der Kraft ...........................................................................in m

Mechanische Leistung

Will man angeben, in welcher Zeit eine bestimmte Arbeit verrichtet wird, so bedient man sich des Begriffes Mechanische Leistung P, d.h. die Leistung ist nicht nur von der Kraft und dem zurückgelegtem Weg abhängig, sondern auch von der dazu benötigten Zeit. Die Einheit der Mechanischen Leistung ist Nm/s = J/s = Watt (W) .

tsF

tWP •

==

P = Mechanische Leistung .............................................................in W = Nm/s = J/sW = Mechanische Arbeit ................................................................in Nm = JF = Kraft .........................................................................................in Ns = Weg der Kraft ...........................................................................in mt = Zeit ...........................................................................................in s

Pumpenleistung

Bei der Pumpenleistung handelt es sich um eine mechanische Leistung. Um z. B. die (träge) Masse von einem Liter Wasser (= 1 kg entspricht einer Gewichtskraft von 9,81 N) in einer Sekunde um die Höhe von einem Meter zu heben, bedarf es der nachfolgenden Leistung.

W81,9s/Nm81,9s1m1s/m81,9kg1.B.zt

sgmt

sFtWP

2G ==

••••=

•==

Gesamtförderhöhe H

H = hgeo + hV

H = Gesamtförderhöhe ..................................................................in mhgeo = geodätische Förderhöhe........................................................in mhV = zusätzliche Förderhöhe durch Druckverluste ...........................in m

Druckverluste werden in zusätzliche Förderhöhe hV umgerechnet (meist in m Wassersäule angegeben) und zu der geodätischen (tatsächlichen) Förderhöhe hgeo hinzu addiert, wodurch sich die Gesamtförderhöhe H ergibt.

Ersetzt man bei der obigen Formel jetzt noch den Weg s durch die Gesamtförderhöhe H, die durch den Pumpvorgang überwunden werden muss, so ergibt sich die folgende Formel zur Pumpenleistung

Hgtm

tHgm

tHF

tWP G

P ••=••

=•

==

PP = abzugebende Pumpen-Leistung..............................................in WH = Weg bzw. Förderhöhe .............................................................in mm/t = Massenstrom, der aus Volumenstrom Q berechnet werden kann


Pumpenwirkungsgrad

zu

ab

PP

LeistungzugeführteLeistungabgegebene

==η

η = WirkungsgradPab = Leistung, die von der Pumpe abgegeben wird ........................in WPzu = Leistung, die von der Pumpe aufgenommen wird ..................in W

Gesamtwirkungsgrad

ηGes = η1 • η2 • η3 ...

Elektrotechnik

Ohmsches Gesetz

Je größer die Spannung und je kleiner der Widerstand, umso mehr Strom fließt.

dtanWidersSpannungeStromstärk =

RUI =

I = elektrische Stromstärke.............................................................in AU = elektrische Spannung...............................................................in VR = elektrischer Widerstand............................................................in Ω

Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung wird definiert als das Produkt aus der Spannung U und dem Strom I.

P = U • I

P = elektrische Leistung .................................................................in W [1 W = 1 VA]U = elektrische Spannung...............................................................in VI = elektrische Stromstärke.............................................................in A

Elektrische Arbeit

Die mechanische Arbeit unterscheidet sich von der mechanischen Leistung durch den Faktor Zeit, d. h. die mechanische Leistung ist gleich dem Quotienten aus mechanischer Arbeit und Zeit.Genauso verhält sich die elektrische Leistung zur elektrischen Arbeit:

W = P • t

W = elektrische Arbeit ....................................................................in Ws = VAsP = elektrische Leistung .................................................................in W [1 W = 1 VA]t = Zeit ...........................................................................................in s


Stromkosten

Die Leistung, die der elektrische Strom über eine bestimmte Einschaltzeit erbringt, ist die elektrische Arbeit. Diese wird am Stromzähler abgelesen.

Stromkosten in € = elektrische Arbeit in kWh • tariflicher Preis in €/kWh

KA = W • T

KA = Stromkosten ...........................................................................in €W = elektrische Arbeit ....................................................................in kWhT = tariflicher Strompreis.................................................................in €/kWh

Wärmelehre

Wärmemenge

Die spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes gibt an, wie viel Energie (Kilojoule kJ) man braucht, um die Temperatur von 1 kg des betreffenden Stoffes um 1 K zu erhöhen. Erhöht ein Körper der Masse m seine Temperatur um den Betrag ∆T, dann wird seine innere Energie um die Wärmemenge QW erhöht:

QW = c • m • ∆T

QW = Wärmemenge......................................................................in kJc = spezifische Wärmekapazität .................................................in kJ/(kgK)z.B. cWasser = 4,19 kJ/(kgK)m = Masse des zu erwärmenden Körpers...................................in kg∆T = Temperaturunterschied .......................................................in K

Wärmeenergiewirkungsgrad (z. B. einer Heizung)

zu

ab

zu

ab

WW

ieWärmeenergzugeführteieWärmeenergabgegebenoder

QQ

WärmemengezugeführteWärmemengeabgegeben

==== ηη

η = Wirkungsgrad Qab = abgegeben Wärmemenge .....................................................in kJQzu = zugeführte Wärmemenge .....................................................in kJWab = abgegeben Wärmeenergie....................................................in kJWzu = zugeführte Wärmeenergie ....................................................in kJ

Gesamtwirkungsgrad

ηGes = η1 • η2 • η3 ...

Brennstoffmengenermittlung für Warmwasserbereitung

Um die Brennstoffmenge bei der Warmwasserbereitung ermitteln zu können, ist neben dererforderlichen Wärmemenge und dem Wirkungsgrad der Heizanlage noch der Heizwert des verwendeten Brennstoffes notwendig.


Für gasförmige Brennstoffe

η•=

uB

WB H

QV

VB = Brennstoffvolumen (Gas)........................................................in m³QW = Wärmemenge .......................................................................in kWh (1 kWh = 3.600 kJ)HuB = Heizwert des Brennstoffes ....................................................in kWh/m³η = Wirkungsgrad der Heizanlage

Für flüssige und feste Brennstoffe

η•=

u

WB H

Qm

mB = Brennstoffmasse (Öl, Kohle)..................................................in kgQW = Wärmemenge .......................................................................in kWh (1 kWh = 3.600 kJ)Hu = Heizwert für Öl oder Kohle ....................................................in kWh/kgη = Wirkungsgrad der Heizanlage

Heizkostenermittlung für die Warmwasserbereitung

MengeeisPrmengeBrennstoffHeizkosten •=

Daraus folgt für gasförmige Brennstoffe

Heizkosten Hk = VB • EP

Hk = Heizkosten ............................................................................in €VB = Brennstoffvolumen .................................................................in m³EP = Preis pro Brennstoffeinheit......................................................in €/m³

Daraus folgt für flüssige und feste Brennstoffe:

Heizkosten Hk = mB • EP

Hk = Heizkosten .............................................................................in €mB = Brennstoffmasse ...................................................................in kgEP = Preis pro Brennstoffeinheit......................................................in €/kg

Mischwasserberechnungen

Werden zwei Stoffe mit unterschiedlichen Temperaturen vermischt, gleichen sich ihre Temperaturen aus. Man erhält eine Mischtemperatur. Der wärmere Stoff (enthält größere Wärmemenge) gibt seine Wärme an den kälteren Stoff (enthält kleinere Wärmemenge) ab. Die Gesamtwärmemenge muss aber aufgrund des Energieerhaltungssatzes erhalten bleiben.

Mischwasserwärmemenge = Kaltwasserwärmemenge + WarmwasserwärmemengeQm = Qk + Qw

mm • c • Tm = mk • c • Tk + mw • c • Tw

Da c in jedem Term vorhanden, kann c herausgekürzt werden.


Mischungsformel

m • Tm = mk • Tk + mw • Tw

Tm = Mischwassertemperatur .........................................................in °CTk = Kaltwassertemperatur..............................................................in °CTw = Warmwassertemperatur .........................................................in °Cmm = Mischwassermenge ..............................................................in kgmk = Kaltwassermenge...................................................................in kgmw = Warmwassermenge .............................................................in kg

Bäderspezifisches Fachrechnen

Nennbelastung nach DIN 19643

Die Nennbelastung N (mittlere, stündliche Besucherbelastung) eines Beckens ist die Anzahl der Badenden, für die die jeweilige Beckenart (Nutzung) in einer Stunde Badebetriebszeit ausgelegt ist. Die Nennbelastung ergibt sich aus der Größe der Wasserfläche des jeweiligen Beckens, der Personen-Frequenz (n) und der Wasserfläche (a), die einer Person zur Verfügung stehen muss und die durch die jeweilige Beckennutzung vorgegeben wird (siehe Tab. 4 der DIN 19643 Teil 1).

anAN •

=

N = Nennbelastung..............................................in Pers/hA = Beckenwasserfläche ....................................n m²n = Personen-Frequenz........................................in 1/h (solange kein anderer Wert angegeben ist)a = Wasserfläche pro Person ...............................in m²/Pers

N = NSB + NSprB + NNSB

N = Nennbelastung der gesamten BeckenanlageNSB = Nennbelastung SchwimmerbeckenNSprB = Nennbelastung SpringerbeckenNNSB = Nennbelastung Nichtschwimmerbecken

Volumenstrom nach DIN 19643

Der Volumenstrom ist neben der Nennbelastung noch von den jeweils zum Einsatz kommenden Verfahrenstufen der Wasseraufbereitung und Desinfektion, der sogenannten Verfahrenskombination abhängig.

kNQ =

Q = Volumenstrom ........................................................................in m³/hN = Nennbelastung ........................................................................in Pers/hk = Belastbarkeitsfaktor ..................................................................in Pers/m³k = 0,5 Pers/m³ bei Verfahrenskombination ohne Ozonstufek = 0,6 Pers/m³ bei Verfahrenskombination mit Ozonstufe


Umwälzperiode

Die Umwälzperiode tu ist die Zeit, in der der Beckeninhalt einmal umgewälzt wird.

QVtu =

tu = Umwälzperiode ........................................................................in h, minV = Beckenvolumen........................................................................in m³Q = Volumenstrom ........................................................................in m³/h

Mindestvolumen der Warmsprudelbecken in kombinierter Nutzung

Um eine Überlastung der Warmsprudelbecken in größeren Beckenanlagen zu vermeiden, muss bei einer Nennbelastung der Schwimmbeckenanlage > 50 Personen/Stunde für jeweils weitere 60 Personen/Stunde ein zusätzliches Warmsprudelbeckenvolumen von 1,2 m³ vorhanden sein.

V = Vmin + [(N – 50Pers/h) / 60Pers/h] • 1,2 m³

V = Gesamtvolumen der Warmsprudelbecken ...............................in m³Vmin = Mindestgesamtvolumen der Warmsprudelbecken = 4,0 m³N = Nennbelastung der Beckenanlage ...........................................in Pers/h


Flächenberechnungen

Quadrat, Rechteck

blAaaA •=•=

Trapez

blA2

lll

m

21m

•=

+=

Kreis

r2d4²dA

²rA

•=

π•=

π•=

d

a

a

l

b

b

lm

l2

l1


Kreisring

sdAoder

dDA

m •Π•=

Π•−

Π•=

4²

4²

Dreieck

2blA •

=

l

b

dm

D

s

d


Volumenberechnungen

Würfel, Quader

hAVhAV chteckReQuadrat •=•=

Zylinder

hAV Kreis •=

Prisma

hAVhAV TrapezDreieck •=•=

h

A A

h

A

h

h

A

h

A


Pyramide, Kegel, schräge und spitze Körper

hA31V:lGrundforme •=

Kegelstumpf

)AAAA(3hV 2121 •++=

Kugel

6³dV

4²dA m

•Π=

Π•=

A A A

h

A

d

Am

A2

A1

Am

h


Pyramidenstumpf

Überschlagsformel:

hAVblA mmmm •≈•=

Die Überschlagsformel nur anwenden bis A1 ≤ 2A2

Am

A2

A1

h

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