2.2  Funktionen transformieren

Auftrag 1  Verschieben und Zerren – wie gehabt?     

Setzen Sie das begonnene Tafelbild fort, indem Sie untersuchen, ob und wie sich die Aussagen und die Graphen verändern, wenn Sie statt des Exponenten 2 eine beliebige ganze Zahl ein­setzen. Nicht nur die Graphen der Potenzfunktionen, auch die anderer Funktionstypen lassen sich verschieben und strecken. Finden Sie entsprechende Funktionsgleichungen für eine Expo­nentialfunktion mit der Basis zwei und für die Sinusfunktion.

Auftrag 2  Riesenräder Den Einheitskreis können Sie sich wie ein Riesenrad vorstellen, das den Radius 1 hat. Die Gon­del, in der Sie sitzen, beginnt ihre Fahrt im Punkt (1 | 0) , das Riesen­rad dreht sich gegen den Uhrzei­gersinn. Nach einem Viertel der Fahrtzeit ist die oberste Stelle erreicht, nach der Hälfte befinden Sie sich wieder auf Erdbodenhöhe und nach einer Umrundung, bei der Sie einen Weg der Länge 2 π zurücklegen, sind Sie wieder am Ausgangspunkt. Die Höhe über bzw. unter dem Erdboden wird also durch die Werte der Sinusfunktion mit f (x) = sin (x) ange geben.

Beschreiben Sie für folgende Funktionen das mathematische Riesenrad:

f 1 (x) = sin (x) + 1

f 2 (x) = 2 · sin (x)

f 3 (x) = sin (2 · x)

f 4 (x) = sin ( x +  π _ 2 ) f 5 (x) = 2 · ( sin (2 · x) ) f 6 (x) = sin ( 2 · ( x + π _ 2 ) )

Untersuchen Sie, wie sich Form und Lage der Sinuskurve ändern, wenn die Parameter a, b, c und d im allgemeinen Funktionsterm f (x) = a · sin ( b (x − c) ) + d verändert werden. Formulie­ren Sie, wie Sie am Funktionsterm die Amplitude, die Periode und die Verschiebung ablesen können. Überprüfen Sie, inwiefern diese Veränderungsregeln auch auf andere Funktionstypen übertragbar sind.

Verschieben und Zerren bekannter Funktionsgraphen

Wiederholung: Quadratische Funktionen f (x) = 2 · (x − 3) 2 + 1

Veränderung des Funktionsterms g (x) = x 2 → h (x) = (x − 3) 2 → k (x) = 2 (x − 3) 2 → f (x) = 2 · (x − 3) 2 + 1Normal-parabel

→ Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts in x-Achsen-richtung

→ Streckung um den Faktor 2 in y-Achsenrich-tung

→ Verschiebung um 1 Einheit nach oben in y-Achsen-richtung

Veränderung des Funktionsgraphen

66/1

−1−2−3 10 2 3 4 5 6

12345

y

x

360°

sin (a)

180° 270°90°180° 0°

270°

90°

aa

−1

0

1

66/2

66

2  Eigenschaften von FunktionenAufträge

Auftrag 3  GeldanlagenMarina legt im Jahr 2003 ihr Geld sechs Jahre bei einer Bank an. Das Gesamtguthaben lässt sich durch eine Funktion f mit der Gleichung f (t) = 1000 · 1,04 t darstellen. Wobei t für die Zahl der Jahre steht, während der das Geld angelegt ist. Erläutern Sie, was der Funk­tionsterm über das Konto aussagt.

Finden Sie für die folgenden Situationen ebenfalls Funktionen:

Simon hatte bereits drei Jahre früher 1000 €, die er auf der Bank mit 4 % Zinsen pro Jahr anlegen konnte.

Fatih hat 3000 € gespart. Davon legt er 2000 € wie Marina mit 4 % Zinsen pro Jahr an und versteckt weitere 1000 € unter seinem Bett.

Jeder Graph einer Exponentialfunktion kann verschoben und gestreckt werden. Überprüfen Sie diese Aussage mit g (t) = a · 2 (t − c) + d, indem Sie konkrete Zahlen für a, c und d einsetzen. Inwiefern gelten dieselben Veränderungen auch für weitere Funktionstypen wie ganzrationale oder trigonometrische Funktionen?

Für Tüftler: Erfinden Sie eine Geschichte, wie Tim es geschafft hat, dass sich seine finanzielle Situation durch eine Funktion h mit h (x) = − 5000 · 1,06 (t + 1) − 2000 beschreiben lässt.

Auftrag 4  Funktionsmaschine   Nicht nur bei quadratischen Funktionen lässt sich der Graph durch bestimmte Änderungen des Funktionsterms verschieben oder stre­cken.

Stellen Sie sich den Funktionenplotter wie eine Zerr­, Verschiebe­ und Spiegelmaschine von Graphen vor. Finden Sie heraus, welche Terme Sie dazu eingeben müssen.

„Füttern“ Sie Ihre Funktionsmaschine mit einem Funktionsterm, z. B.

sin (x); x; 1 _ x; 2 x; …

Verändern Sie jeweils den Funktionsterm so, dass die Graphen

− mit dem Faktor 2 in y­Richtung gestreckt sind (Regler a),

− mit dem Faktor 2 in x­Richtung gestaucht sind (Regler b), − um 2 Einheiten parallel zur x­Achse nach rechts verschoben sind (Regler c), − um 2 Einheiten parallel zur y­Achse nach oben verschoben sind (Regler d).

Kombinieren Sie anschließend Verschiebungen und Streckungen.Mit welchem allgemeinen Funktionsterm mit den Parametern a, b, c und d kann die Funktions­maschine verschieben, verzerren und spiegeln?

67/1

y

x

9783464540305 S035-01 christian görke67/2

Tipp

Unter w ww 067­1 können Sie Funktions­maschinen für verschie­dene Funktionstypen testen.

▶ Auftrag 4 wird bei der Erarbei­tung verwendet.

67

2.2 Funktionen transformieren Aufträge

▶ TransformationBei quadratischen Funktionen, z. B. Bild 68/1, gilt:

− Addition einer Konstanten d zum Funktionsterm: Ver­schiebung des Funktionsgraphen um | d| Einheiten nach oben/unten.

− Subtraktion einer Konstanten c beim Argument x: Ver­schiebung des Funktionsgraphen um | c| Einheiten nach rechts/links.

− Multiplikation des Funktionsterms mit einem postiven Faktor a: Verzerrung des Funktionsgraphen in Richtung der y­Achse. Faktor a negativ: Funktionsgraph an der x­Achse gespiegelt.

Dies lässt sich auf alle Funktionen übertragen.

Streckung oder Stauchung in y-Achsenrichtung Die Graphen gehören zu den Funktions­gleichungen f (x) = sin (x) und g (x) = 2 · f (x) = 2 · sin (x).

Der rote Graph ist im Vergleich zum blauen auf das Doppelte in Richtung der y­Achse gestreckt. Seine Auslenkung in x­Achsenrichtung ist gleich.Eigenschaften wie die Punktsymmetrie zum Ursprung, die Periode, die Null­ und Extremstellen und das Krümmungsverhalten sind gleich. Alle y­Werte außer den Nullstellen sind doppelt so groß. Die Amplitude ist 2.

Für a < 0 ist der Funktionsgraph an der x­Achse gespiegelt. Wird der Betrag von a vergrößert, so vergrößert sich bei trigonometrischen Funktionen auch die Amplitude. Wird | a| verkleinert, so wird die Amplitude ebenfalls kleiner.

Beispiele (für die Streckung mit dem Faktor 2 in y­Achsenrichtung)

f (x) = xg (x) = 2 · x

f (x) = x 3 g (x) = 2 · x 3

f (x) = 1 _ xg (x) = 2 · 1 _ x

f (x) = 2 xg (x) = 2 · 2 x

y

x1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4

−3−4

234

68/3

y

x1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4

−3−4

234

68/4

y

x1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4

−3−4

234

68/5

y

x1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4

−3−4

234

68/6

Somit ergibt sich für das Strecken und Stauchen in y­Achsenrichtung:

Satz

2.3Für Funktionsgraphen von Funktionen g mit g (x) = a · f (x), a ≠ 0, gilt, dass sie gegenüber dem Graphen der Funktion f …für | a| > 1 in y­Achsenrichtung gestreckt, für | a| < 1 in y­Achsenrichtung gestaucht und für negatives a zusätzlich an der x­Achse gespiegelt sind.

0

1

21−1−2 3 4−1

−2

2

3

4y

x

d=3

c=2

68/1 FürdenrotenGraphengiltc=2,d=3unda=−1,alsof(x)=−(x−2)2+3.

0

1

p−p−2p 2p−1

−2

2y

x

68/2

info

Eine Funktion f mit f (x) = a · sin (x) hat die Amplitude | a|.

Erarbeitung

68

2  Eigenschaften von Funktionen

Streckung oder Stauchung in x-Achsenrichtung

Die Graphen gehören zu den Funktions­gleichungen f (x) = sin (x) und g (x) = f (x) = sin (2 · x).Der rote Graph ist im Vergleich zum blauen mit dem Faktor 2 in x­Richtung ge staucht. Seine Ausdehnung in Richtung der y­Ach­se ist gleich geblieben.

Eine Verdopplung des Arguments bewirkt eine Halbierung der Periodenlänge p. Die Verände­rung der Periode ändert auch die Lage der Null­ und Extremstellen.Für b < 0 ist der Graph zusätzlich an der y­Achse gespiegelt. Wird der Betrag von b vergrößert, so wird bei trigonometrischen Funktionen die Periode kürzer.Wird | b| verkleinert, so verlängert sich die Periode.Für b = 0 ergibt sich f (x) = sin (0) = 0, der Graph liegt auf der x­Achse.

Satz

2.4Für Funktionsgraphen von Funktionen g mit g (x) = f (b · x), b ≠ 0, gilt, dass sie gegenüber dem Graphen der Funktion f für | b| > 1 in x­Achsenrichtung gestaucht, für | b| < 1 in x­Achsenrichtung gestreckt und für negatives b zusätzlich an der y­Achse gespiegelt sind.

Bei Potenz­ und Exponentialfunktionen können Sie die Stauchung/Streckung in Richtung der x­Achse ebenso durch eine Streckung/Stauchung entlang der y­Achse beschreiben:

Beispiele Auswirkung einer Streckung mit dem Faktor 2 in x­Richtung

f (x) = xg (x) = (2 · x)

f (x) = x 3 g (x) = (2 · x) 3

f (x) = 1 _ xg (x) = 1 ___ 2 · x

f (x) = 2 xg (x) = 2 2 · x

y

x1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4

−3−4

234

69/2

y

x1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4

−3−4

234

69/3

y

x1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4

−3−4

234

69/4

y

x1−1−2−3−4 3

01

2 4

23456789

69/5

Streckung in y­Richtung mit dem Faktor 2.

Streckung in y­Richtung mit dem Faktor 8, denn g (x) = (2 · x) 3 = 8 x 3 .

Stauchung in y­Richtung mit dem Faktor 0,5, denn

g (x) = 1 ___ 2 · x = 1 _ 2 · 1 _ x.

Auswirkung in y­Richtung durch Änderung der Basis, denn g (x) = 2 2 x = ( 2 2 )

x = 4 x.

Verschiebung um c Einheiten nach links oder rechts

Die Graphen gehören zu den Funktionsglei­chungen f (x) = sin (x) und g (x) = sin (x − 2).Wenn vom Argument x zunächst 2 subtrahiert und dann der Sinus angewendet wird, ist der Funktionsgraph bezüglich der „normalen“ Sinuskurve um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben.

0

1

p−p−2p 2p−1

−2

2y

x

69/1

0

1

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5 6−1

y

x

69/6

Erarbeitung

69

2.2 Funktionen transformieren

Insbesondere gilt:

sin ( x + π __ 2 ) = cos (x) und cos ( x − π __ 2 ) = sin (x).

Verschiebung um d Einheiten nach oben oder unten Der Graph der Funktion gmit: g (x) = sin (x) + 2 liegt 2 Einheiten über dem Graphen der Sinusfunk tion mit f (x) = sin (x).Mehrere Regler können auch gleichzeitig ver­schoben werden. Dabei kommt es auf die Reihenfolge an, sehen Sie dazu Aufgabe 22 auf S. 74.

Beispiele

1

10−1−2−3−4−5−6 2 3 5−7 4

2

3

4

5

6y

x

Grundfunktion f mit f (x) = 2 x Verschiebung nach rechts: f 1 (x) = 2 x − 3 zusätzlich Streckung in y­Achsenrichtung:f 2 (x) = 3 · 2 x − 3 zusätzlich Verschiebung nach oben:f 3 (x) = 3 · 2 x − 3 + 1

0

1

−1

−2

−3

y

x−2p 2pp−p

Grundfunktion f mit f (x) = sin (x) Stauchung in x­Achsenrichtung: f 1 (x) = sin (2 x) zusätzlich Stauchung in y­Achsenrichtung:f 2 (x) = 0,5 · sin (2 x) zusätzlich Verschiebung nach unten:f 3 (x) = 0,5 · sin (2 x) − 1

Der Graph einer vorgegebenen Funktion f folgendermaßen verschoben und verzerrt werden:

Satz

2.5Für den Graphen einer Funktion g mit g (x) = a · f ( b · (x − c) ) + d bewirken die Parameter a, b, c und d im Vergleich zum Graphen von f folgendes:a: Streckung/Stauchung entlang der y­Achse mit | a|. Für a < 0 wird der Graph zusätzlich an der x­Achse gespiegelt.b: Streckung/Stauchung entlang der x­Achse mit | 1 _ b|. Für b < 0 wird der Graph zusätzlich an der y­Achse gespiegelt. c: Verschiebung um c in x­Achsenrichtung nach rechts/links.d: Verschiebung um d in y­Achsenrichtung nach oben/unten.

Beispiele

Potenzfunktion 4. Grades: f (x) = x 4 ergibt g (x) = a · ( b · (x − c) ) 4 + d

Exponentialfunktion zur Basis 2: f (x) = 2 x ergibt g (x) = a · 2 b · (x − c) + d

Sinusfunktion: f (x) = sin (x) ergibt g (x) = a · sin ( b · (x − c) ) + d

Für a = 1, b = 1, c = 0, d = 0 gilt f (x) = g (x), die Funktionsgraphen sind gleich.

Hinweis

Die Verschiebung der Sinuskurve um p _ 2 nach links bringt sie zur Deckung mit der Kosi­nuskurve und die Ver­schiebung der Kosi­nuskurve um p _ 2 nach rechts bringt sie zur Deckung mit der Sinuskurve. 0

1

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5 6−1

2

y

x

70/1

70/2

70/3

Hinweis

Bei trigonometrischen Funktionen verändern die beiden Regler c und d nicht die Ampli­tude und die Perioden­länge, aber die Lage der Null­ und Extrem­stellen.

70

2  Eigenschaften von FunktionenAufgaben

Aufgaben

 Trainieren   Anwenden   Vernetzen  

1  Zeichnen Sie die Graphen mithilfe einer Wertetabelle möglichst genau. Überprüfen Sie Ihre Skizze mit dem Funktionenplotter. Vergleichen Sie.

a)  f (x) = x 4 − 1

b)  f (x) = − x 3 + 1

c)  f (x) = 1 ____ x − 2

d)  f (x) = 2 · x − 2

2  Die Funktionsterme zu den folgenden Graphen haben alle die Gestaltf (x) = a · (x − c) n + d.Bestimmen Sie die Funktionsterme der fol­genden Graphen. Es gilt a = 1 oder a = 2, c = 0 oder c = 3 sowie d = 0 oder d = 1. Die Exponenten n sind −1, − 2, 3 und 4.

a) 

c) 

3  Finden Sie jeweils die zwei Kärtchen, die den gleichen Graphen beschreiben.

4  Ergänzen Sie: Bei einer Potenzfunktion mit Expo nent 3 entspricht eine Streckung um den positiven Faktor 1 _ b in x­Achsenrichtung einer …

b)  y

x1−1−2−3−4−5 3

01

−2

2 4

−3−4

234

y

x1−1−2−3−4−5 3

01

−2

2 4

−3−4

234

71/1 71/2

y

x1−1−2−3−4−5 3

01

−2

2 4

−3−4

234

y

x1−1−2−3−4−5 3

01

−2

2 4

−3−4

234

d) 

71/3 71/4

f (x) = 8 · x 3

g (x) = 0,125 · x 3

h (x) = 27 · x 3 + 4

i (x) = (b · x) 3

j (x) = (3 x) 3 + 4

k (x) = (2 · x) 3

u (x) = b 3 · x 3

v (x) = (0,5 · x) 3

5  Ordnen Sie die Funktionsgleichungen dem passenden Graphen zu.a)  f (x) = 1 __ 10 · x − 3 b)  f (x) = − x 4 c)  f (x) = − 0,5 · x 5

d)  f (x) = 2 · x 4 e)  f (x) = x − 4 f)  f (x) = 5 _ x

6  Der Graph von f (x) = 1 __ x 2

wird verändert. Geben Sie den Funktionsterm zu dem Gra­phen an, der jeweils entsteht.a)  Verschiebung um −2 in y­Richtung.b)  Verschiebung um 2 Einheiten in x­Rich­

tung nach rechts.c)  Streckung in y­Richtung mit Faktor 2.d)  Streckung in y­Richtung mit dem Fak­

tor 4 und Spiegelung an der x­Achse.

7  Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im angegebenen Intervall. Beschreiben Sie, wie der Graph aus der Sinus­ bzw. Kosinus­kurve entsteht. Geben Sie die Schnittpunkte mit der x­Achse in dem Intervall an.a)  f (x) = cos (x + π), [ − 2,5 π; 5 π ] b)  f (x) = cos (x) + 2, [ − π; 2 π ] c)  f (x) = sin (0,5 · x), [ − 3,5 π; 2,5 π ] d)  f (x) = 3 · sin (x), [ − 2 π; 2 π ] 

8  Ist der jeweilige Graph von f mit der Kosinus kurve identisch?

a)  f (x) = sin ( x + π _ 2 ) b)  f (x) = sin (x) −  π _ 2

c)  f (x) = sin ( x − 3 π __ 2 )

d)  f (x) = sin ( x + 3 π __ 2 )

e)  f (x) = − sin (− x)

f)  f (x) = − cos (x − π)

y

x1−1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4 5

−3

234I

1−1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4 5

−3

234N y

x

1−1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4 5

−3

234B y

x

1−1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4 5

−3

234R y

x

1−1−1−2−3−4 3

01

−2

2 4 5

−3

234L y

x

1−1−1−2−3

E

−4 3

01

−2

2 4 5

−3

234y

x

71/5

71/7

71/9

71/6

71/8

71/10

71

2.2 Funktionen transformieren Aufgaben

9  Geben Sie jeweils die Amplitude, die Periode und den Schnittpunkt mit der y­Achse der Funktion f an.a)  f : x ↦ − 2 · sin (x)b)  f : x ↦ − sin (x)c)  f : x ↦ cos (x + π)d)  f : x ↦ cos (2 π · x)

e)  f : x ↦ 3 · cos (2 x)f)  f : 2 · π · x ↦ 2,5 · cos (x − π)g)  f : x ↦ 42 · sin (π · x)h)  f : x ↦ 3 · sin (− 0,5 x) + 2

10 Geben Sie eine mögliche Zuordnungsvorschrift für jeden Steckbrief an.

11 Beschreiben Sie, wie der Graph von f (x) = 2 x verschoben und gestreckt bzw. gestaucht wurde. Welche Funktionen haben identische Graphen?a)  f (x) = 2 x − 4b)  g (x) = 0,5 x + 4

c)  h (x) = 2 x + 2 d)  i (x) = − 2 x − 2

e)  j (x) = 4 · 2 x f)  k (x) = 4 + 2 − x

12 Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f (x) = 2 x − 1 durch Verschiebung in y­Achsen richtung. Es gilt g (3) = 6. Um wie viele Einheiten muss der Graph von f verschoben werden? Geben Sie den Term von g an und zeichnen Sie den Graphen im Intervall [ − 3; 3 ] .

13 Übertragen Sie die Tabelle in Ihr Heft und ergänzen Sie die Funktionsgleichungen.

14 Look at the graphs shown below. They belong to equations of the following form:f (x) = a · sin ( b (x − c) ) + d or f (x) = a · ( b (x − c) ) −1 + d.

Gesucht! Der Graph der ge­suchten Kosinus­funktion u hat die Amplitude 2, die Pe­riode 2 π und ist nicht verschoben.

Der Graph der Ko-sinusfunktion w ist mit dem Faktor 2 ent­lang der x­Achse ge­streckt und um 3 LE in x­Achsenrichtung nach links verschoben.

Wanted! Der Graph der gesuchten

Funktion g ist der um

3 Längeneinheiten in y­

Achsenrichtung nach

oben verschobene Graph

von f (x) = sin (x).

Vermisst! Der Graph der gesuchten Sinusfunktion v hat die Amplitude 1, die Perio­de 6, ist nicht verschoben

und an der x­Achse ge­spiegelt.

Zur erinnerung

Potenzgesetze:

a b + c = a b · a c

a − x = 1 __ a x

f (x) = sin (x) g (x) = x 3 + x 2 h (x) = 0,5 x

Der Graph ist an der x­Achse gespiegelt.

Der Graph ist um 4 _ 3 entlang der y­Achse nach unten verschoben.

Der Graph ist mit dem Faktor 3 entlang der y­Achse gestreckt.

Der Graph ist mit dem Faktor − 2 entlang der y­Achse gestreckt und um 1,5 Längen­einheiten nach links verschoben.

−2−4−6−8−10−12−14 0

−2

2 4 6 8 10 12 14

−4

2

4

y

x

−2−4−6−8−10−12−14 0

−2

2 4 6 8 10 12 14

−4

2

4

y

x

72/1 72/2

72

2  Eigenschaften von FunktionenAufgaben

15 Bestimmen Sie einen Funktionsterm, der jeweils zu der Wertetabelle passt.

x − 2 − 1 0 1 2 3

f (x) 16 1 0 1 16 81

g (x) 81 16 1 0 1 16

h (x) 11 − 4 − 5 − 4 11 76

x − π _ 2 0   π _ 2 π 3 _ 2 π 2 π

i (x) − 2 0 2 0 − 2 0

j (x) − 2 − 1 0 − 1 − 2 − 1

Noch fit?

I  Lösen Sie die quadratische Gleichung mithilfe der Lösungsformel. a)  x 2 − 2 x − 8 = 0b)  2 x 2 − 7 x = − 6c)  x 2 + 2 x + 4 = 0

II  Schreiben Sie als Gleichung und lösen Sie möglichst geschickt.a)  Multiplizieren Sie die um vier ver­

kleinerte Zahl mit der um drei vergrö­ßerten Zahl, so erhalten Sie null.

b)  Subtrahieren Sie die Zahl von sechs, so erhalten Sie den Quotienten aus neun und der Zahl.

III Für welchen Wert von d hat die dunk­le Fläche den Inhalt 12,83 FE?

IV  Lösen Sie durch „scharfes Hinsehen“.a)  x 2 + 18 x + 81 = 0b)  y 2 − 144 = 0c)  3 x 2 − 12 x + 12 = 0d)  2 x 2 − 1 _ 2 = 0e)  x 2 + x − 20 = 0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

A Bd

4 5 6 7 8 9x

y

73/1

 Trainieren   Anwenden   Vernetzen  

16 Betrachten Sie die Graphen zu f 1 (x) = 2 x, f 2 (x) = 2 2 x, f 3 (x) = 2 3 x und f 4 (x) = 2 4 x. Beschreiben Sie die Auswirkung des Faktors im Exponenten auf die Verzerrung des Gra­phen, die sich in x­Richtung beziehungsweise in y­Richtung ergibt.Formulieren Sie eine Regel für f (x) = 2 bx.

17 Zeigen Sie mittels der Definitionen von sin und cos am Einheitskreis:a)  sin (a + 90°) = cos (a)

bzw. sin ( x + π _ 2 ) = cos (x)b)  cos (a − 90°) = sin (a)

bzw. cos ( x − π _ 2 ) = sin (x)c)  sin (a − 90°) = − cos (a)

bzw. sin ( x − π _ 2 ) = − cos (x)d)  cos (a + 90°) = − sin (a)

bzw. cos ( x + π _ 2 ) = − sin (x)

Erläutern Sie dazu die Bedeutungen der far­big eingezeichneten Linien. Führen Sie den Nachweis einmal, indem Sie die Winkel im Gradmaß betrachten. Führen Sie den Nach­weis ebenfalls, indem Sie die Winkel im Bogenmaß betrachten.          

18 Geben Sie die Extrempunkte an.

a)  f (x) = x 4 + 5

b)  f (x) = 1 __ x 4

+ 5

c)  f (x) = (x + 2) 11

d)  f (x) = 2 · (x − 4) 4 + 1

e)  f (x) = − (x − c) 6

f)  f (x) = − (x − c) 8 + d

Formulieren Sie eine Regel, wann Sie bei Potenzfunktionen mit einem Extrempunkt rechnen. Geben Sie die Koordinaten an.

19 Geben Sie einen Funktionsterm der Form f (x) = a · sin ( b (x − c) ) + d an, der jeweils die genannten Bedingungen erfüllt.a)  Die Wertemenge ist [ −1,5; 1,5 ] und die

Nullstellen sind ganzzahlige Vielfache von π.

b)  Der Funktionsgraph ist achsensymme­trisch zur y­Achse und alle Funktions­werte sind negativ.

20 Die Graphen von f (x) = 2 · x 3 + 0,3,g (x) = 2 · sin (x + π) und h (x) = − 2 x werden an der x­Achse, an der y­Achse, an beiden Achsen gespiegelt. Finden Sie die passenden Funk tionsterme.

aaa

73/2

a

a

73/3

73

2.2 Funktionen transformieren Aufgaben

Graphen mit dem GTR untersuchen

Mit dem GTR lassen sich Funktionsgraphen auf besondere Punkte wie Extrempunkte oder Schnittpunkte mit den Achsen bzw. anderen Graphen untersuchen. Als Beispiel dienen die Gra­phen der beiden Funktionen f (x) = x 2 − 4 sowie g(x) = − x −1 (siehe Screenshots der gängigen GTR­Modelle).

Schnittpunkte mit der x-Achse und Extrempunkte bestimmenUm Schnittpunkte mit der x­Achse oder Extrempunkte eines Funktionsgraphen mit Ihrem GTR zu bestimmen, lassen Sie sich zunächst den Graphen zeichnen.

Sind mehrere Funktionsgraphen zu sehen, so müssen Sie zusätzlich auswählen, welchen Gra­phen Sie auf Schnittpunkte mit der x­Achse bzw. auf Extrempunkte untersuchen möchten. Dies geschieht mit den Pfeiltasten und der ENTER­ bzw. EXE­Taste.Da ein Graph mehrere solche Punkte haben kann, können Sie mit den Pfeiltasten zwischen den verschiedenen Punkten hin­ und herwechseln.Bei Extrempunkten wird zwischen Tief­ und Hochpunkten unterschieden. An Tiefpunkten nimmt die Funktion ein Minimum und an Hochpunkten ein Maximum an.Im Beispiel liegt ein Minimum bei −4 (vgl. Screenshot).

Doch Vorsicht: Da der GTR nur näherungsweise arbeitet, werden manchmal falsche Ergebnis­se geliefert! Einer der Screenshots zeigt ein Minimum bei −5,42 E −7. Hinter dieser wissen­schaftlichen Notation verbirgt sich die Zahl −0,000 000 542, die sehr nah bei Null liegt. Tat­sächlich liegt der Scheitelpunkt direkt auf der y­Achse, also an der Stelle 0, wie der andere Screenshot richtig zeigt. Der GTR ist also nicht unbedingt dazu geeignet, exakte Ergebnisse zu berechnen.

Tipp

Extrempunkte sind die Punkte, für die die Funktion den größten bzw. kleinsten Wert in einer gewissen Um­gebung des x­Wertes annimmt. Parabeln haben genau einen Extrempunkt, ihren Scheitelpunkt.

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Betätigen Sie die Taste G-Solv.– Mit ROOT bestimmen Sie die

Schnittpunkte mit der x­Achse.– Die Befehle MAX bzw. MIN

liefern die Extrempunkte.

Betätigen Sie die Taste CALC.– zero liefert Ihnen die Schnittpunk­

te mit der x­Achse.– Die Befehle minimum bzw. maxi-

mum liefern die Extrempunkte.Geben Sie eine linke und eine rechte Grenze sowie einen Schätzwert an.

Hinweis

Die Begriffe Minimum und Maximum bezeichnen lediglich Funk tionswerte (y­Werte). Die zuge­hörigen Punkte heißen Tiefpunkt bzw. Hoch­punkt.

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74

2  Eigenschaften von FunktionenMethode

Schnittpunkte bestimmen

Zum Bestimmen der Schnittpunkte von zwei Funktionsgraphen müssen die entsprechenden Graphen zunächst gezeichnet werden.

Die Screenshots zeigen, dass die Schnittpunk­te der beiden Funktionsgraphen des Beispiels etwa bei (−2,3;1,3) und (1,3;−2,3) liegen.

Aufgaben

1  Bestimmen Sie mit Ihrem GTR die Nullstellen und Extremstellen der Funktion f (x) = 1 _ 3 x 3 −2 x 2 + 3 x −1. Bestimmen Sie dann die Schnittpunkte des Graphen von f mit der Geraden g, die durch g(x) = − 2 _ 3 x + 1 gegeben ist.

2  Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Graphen folgender Funktionen. Was fällt Ihnen auf?a)  f(x) = x 2 g(x) = √

__ x

b)  f(x) = 4 __ x 2

g(x) = 2 __ √

__ x

c)  f(x) = 1 _ 8 · x 3 g(x) = 2 · 3 √ __

x

3  Zwei Satelliten bewegen sich auf annähernd parabelförmigen Bahnen. Die Bahn des einen Satelliten wird durch f(x) = 3x 2 + 2 x −3 beschrieben, die des zweiten durch g(x) = 3 _ 4 x 2 − x −4. Besteht für die Satelliten Gefahr, miteinander zu kollidieren?

Versuchen Sie, diese Frage zu beantworten, indem Sie lediglich eine Funktion untersuchen. Welche Funktion ist dafür nötig?Welche Form haben Bahnen von Satelliten oder anderen Himmelskör­pern wie z. B. Planeten in Wirklichkeit?

4  Die Funktionen f(x) = 2 x 5 − x 4 − 6 x 3 + 2 x 2 + 3,5 x − 7 undg(x) = 1 __ 10 x 4 − 2 x 2 sind Beispiele für ganzrationale Funktionen. Die höchste auftretende Potenz von xgibt dabei den Grad der ganzratio­nalen Funktion an. Daher ist f eine ganzrationale Funktion 5. Grades und g eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Jede quadratische Funk­tion wie z. B. u(x) = − 1 _ 3 x 2 − 3 x + 1 ist demnach eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 und jede lineare Funktion wie z. B. v(x) = 2,7 x ist eine ganzrationale Funktion 1. Grades.

Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen dem Grad einer ganzrationalen Funktion und der (maximal möglichen) Anzahl an Nullstellen und Extremstellen. Wird diese Anzahl immer erreicht? Gibt es hierbei Unterschiede zwischen geradem und ungeradem Grad? Nutzen Sie den GTR.

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Betätigen Sie die Taste G-Solv.Der Befehl ISCT liefert Ihnen die Schnittpunkte der Graphen. Bei mehr als zwei Graphen müssen Sie die beiden, deren Schnittpunkte Sie suchen, aus­wählen.

Betätigen Sie die Taste CALC. Nutzen Sie den Befehl intersect und wählen Sie dann die beiden Graphen aus, deren Schnittpunkte Sie suchen.

75/3Hinweis

Ganzrationale Funk­tionen werden auch Polynomfunktionen genannt.

75

2.2 Funktionen transformieren Methode

21 Übertragen Sie die Tabelle in Ihr Heft und ergänzen Sie sie.

22 Wählen Sie zwei verschiedenfarbige Arbeitsaufträge und wenden Sie sie auf die Graphen von f (x) = 1 __

x 2 , g (x) = 2 x oder h (x) = sin (x) an.

Vertauschen Sie nun die Reihenfolge der Arbeitsaufträge und vergleichen Sie die zugehörigen Funktionsterme. Nehmen Sie Stellung zu der Aussage: „Erst verschieben, dann strecken.“

23 Gegeben sind die folgenden Situationen und Tabellen.I. Nach 30 Jahren ist die Hälfte des radioaktiven Stoffes 137 Cs zerfallen.II. Bei guter Pflege wird unsere Sonnenblume bis zu 3 m hoch.III. Bei uns wird Ihr Sparguthaben mit sensationellen 6 % pro Jahr verzinst!IV. Vorsicht beim Tauchen: In 10 m Tiefe hat sich der Druck fast verdoppelt.

Ordnen Sie die Tabellen den Situationen zu. Geben Sie jeweils sinnvolle Einheiten an. Wie lau­tet die Zuordnungsvorschrift bei Situationen mit exponentiellem Wachstum?

f (x) = a · sin (x) f (x) = cos (bx) f (x) = sin (x − c)

Periode

Amplitude

Symmetrie

Nullstellen im Bereich [ − 2 π; 2 π ] Extremstellen im Bereich [ − 2 π; 2 π ] 

Verschiebung um 2 Einheiten in y­Achsenrichtung. Verschiebung um 2 Einheiten in x­Achsenrichtung.

Streckung mit dem Faktor 1 _ 3 in x­Achsenrichtung. Stauchung mit dem Faktor 3 in y­Achsenrichtung.

Tabelle 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1013 1111 1209 1307 1405 1503 1601 1699 1797 1895 1993 2091 2189

Tabelle 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100 106 112,36 119,1 126,25 133,82 141,85 150,36 159,38 168,95 179,08

Tabelle 3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

200 158 126 100 79 62 50 39 31 25 20

Tabelle 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

0,5 1,1 1,56 1,9 2,17 2,37 2,52 2,63 2,72 2,79 2,84 2,88 2,91 2,93

76

2  Eigenschaften von FunktionenAufgaben

24 Graphenausschnittea)  Geben Sie verschiedene Funktionstypen an, die für die Graphen in Frage kommen.

b)  Welcher Funktionstyp kommt in Frage, wenn die Graphen dieselbe Funktion darstellen?c)  Betrachten Sie die Graphen von f und g mit f (x) = 2 x + 20 und g (x) = (x − 15) − 2 mit Ihrem

Funktionenplotter. Erklären Sie, warum die Fenstereinstellung große Bedeutung hat.d)  Überlegen Sie sich Möglichkeiten, wie überprüft werden kann, ob man einen aussagekräf­

tigen Bildschirmausschnitt gewählt hat.

25 Gespenster a)  Erklären Sie mit den „Gespenster“­Graphen,

wie man sich das Strecken von Funktions­graphen vorstellen muss.

b)  Die Konturen der abgebildeten Gespenster basieren auf dem Graph der Funktion f mitf (x) = − 1

___ 500 · (x − 5) 2 · (x + 5) 2 · (x − 2) · (x + 2). Geben Sie den Grad von f an und vereinfachen Sie den Funktionsterm.

c)  Vergleichen Sie die Lage und das Aussehen der Gespenster­Graphen mit dem Graphen von f.

f 1 (x) = − 1 __ 50 · (x − 5) 2 · (x + 5) 2 · (x − 2) · (x + 2)

f 2 (x) = − 1 ___ 500 x 6 + 27

___ 250 x 4 − 33 __ 20 x 2 + 15

f 3 (x) = − 1 ___ 500 · (x − 7) 2 · (x + 3) 2 · (x − 4) · (x + 0)

d)  Erfinden Sie eigene „Gespenster“ und lassen Sie sie im Koordinatensystem „spuken“.

 Trainieren   Anwenden   Vernetzen  

26 Schätzwerte für quantitatives Steigungsverhaltena)  Geben Sie jeweils einen Schätzwert für die Steilheit der Sinuskurve in den Punkten mit

den x­Koordinaten 0; π _ 4 ; π _ 2 ;

3 _ 4 · π; π; 3 _ 2 · π; 2 · π an. Vergleichen Sie mit den Werten der Ko­

sinusfunktion an diesen Stellen.b)  Geben Sie jeweils einen Schätzwert für die Steilheit der Kosinuskurve in den Punkten mit

den x­Koordinaten 0; π _ 4 ; π _ 2 ;

3 _ 4 · π; π; 3 _ 2 · π; 2 · π an. Vergleichen Sie mit den Werten der Si­

nusfunktion an diesen Stellen.

27 Zu welchem Punkt bzw. zu welcher Gerade ist der Graph symmetrisch?

a)  f (x) = 1 __ x 13

+ 5

b)  f (x) = x −4 − 5

c)  f (x) = 1 _____ (x − 3) 2

+ 5

d)  f (x) = − 2 ______ (x + 4) 13

e)  f (x) = 1 _______ (x + 17) 42

− 3

f)  f (x) = 1 _______ (x + 17) 41

− 3

g)  f (x) = 1 _____ (x − 2) n

h)  f (x) = 2 _____ (x − 3) n

− 4

Überlegen Sie sich weitere Beispiele und formulieren Sie Merkregeln für das Erkennen der Symmetrieeigenschaften von Potenzfunktionen.

−1−2 0

−1

21

−2

1

2y

x −2−4 0

−2

42

−4

2

4y

x −10−20 0

−4

2010

−8

4

8y

x

77/1 77/2 77/3

2

−10

y

x

3

1

4

5

−2

−3

−4

−5

321−3 −2 −1 4 5−4

2

−10

y

x

3

1

4

5

−2

−3

−4

−5

21−2 −1

77/4 77/5

77

2.2 Funktionen transformieren Aufgaben

28 Zusammenhänge zwischen Funktionstermena)  Untersuchen Sie die Bedeutung der Parameter r, s und t für das Aussehen des Graphen von

f 1 (x) = r + sx____ x − t.

b)  f 2 (x) = a____ x − c + d beschreibt ebenfalls die Funktion f 1 .

Bestimmen Sie den Zusammenhang, der zwischen den Parametern von f 1 und f 2 besteht.

29 Bestimmen Sie die Zahl der Nullstellen der ganzrationalen Funktion f mitf (x) = (x − 2) 2 · (x + 2) 2 + d in Abhängigkeit von der Variablen d.

30 Die Sinuskurve ist mit dem Faktor 2 in y­Richtung gestreckt, um 3 Längeneinheiten in y­Achsenrichtung nach unten verschoben und nicht in x­Achsenrichtung verschoben.Der Punkt P (1 | −1) soll auf dem Graphen liegen.Gesucht ist die Periode einer der Sinusfunktionen, die alle möglichen Bedingungen erfüllt.

31 Riesenrada)  Das London Eye ist eines der beeindruckendsten Riesenräder der Erde. Unter w ww 078­1

finden Sie weiterführende Informationen. Überprüfen Sie, ob f (t) = 67,68 · sin ( π __ 15 · x + 1,5 π )  + 67,68 eine Funktionsgleichung für die Zuordnung Zeit ↦ Höhe einer Webcam ist, die unten an einer Gondel hängt..Bei der Erklärung hilft es, die Riesenradfahrt von London Eye mit einer „Fahrt“ auf dem Einheitskreis zu vergleichen.Finden Sie damit eine Erklärung für die Funktionsvorschrift.

b)  Wie ändert sich die Zuordnungsvorschrift, wenn die Riesenradfahrt• eine Stunde dauert?• von einer Videokamera auf Schulterhöhe gefilmt wird?• auf einem Riesenrad mit 100 m Durchmesser stattfindet?

32 Bestimmen Sie jeweils den Funktionsterm, der alle fünf Graphen beschreibt.

33 Unter w ww 078­2 finden Sie einen Funktionenplotter mit Schiebereglern für die ganzratio­nale Funktion f mit f (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f.Untersuchen Sie den Einfluss der Parameter a, b, c, d und e und schreiben Sie darüber einen mathematischen Aufsatz.

34 Zur Reihenfolge bei mehreren Parametern. Begründen Sie die folgenden Aussagen.a)  Aus dem Graphen der Funktion f erhält man den der Funktion g mit dem Term

g (x) = a · f (x) + b nach der Regel „Punkt vor Strich“, bzw. „Erst strecken, dann verschie­ben“.

b)  Für die vier Parameter a, b, c und d im Funktionsterm a · f ( b (x − c) ) + d ist es egal, ob zu­erst a und b oder zuerst c und d berücksichtigt werden.

−2−4 0

−2

2 4 6

−4

−6

2

4

6y

x

−2−4 0

−2

2 4 6

−4

−6

2

4

6y

x

−2−4 0

−2

2 4 6

6

4

2

8

10y

x

78/1 78/2 78/3

78

2  Eigenschaften von FunktionenAufgaben