Richiami dialgebraalgebra

Ottobre 2012

Un numero in notazione scientifica scritto come una somma di termini dati dal prodotto delle cifre moltiplicate per una potenza della base 10.

2300 = 2.3103

4750000 = 475104 = 4.75106

Notazione scientifica

4750000 = 475104 = 4.75106

0.05 = 510-2

Si ha approssimazione per difetto quando essa considera un valore minore di quello reale; viceversa se il valore maggiore si parla di approssimazione per eccesso.

9.56 si approssima per eccesso a 9.6 oppure a 109.56 si approssima per difetto a 9.5 oppure a 9

Approssimazione e arrotondamento

Un numero si arrotonda per eccesso se la cifra da arrotondare maggiore di 5 e per difetto se minore di 5. Se la cifra proprio 5 si guarda quella successiva (se possibile), altrimenti si arrotonda per eccesso.

9.56 si arrotonda a 9.69.54 si arrotonda a 9.59.55 si arrotonda a 9.6

Un numero detto primo se divisibile soltanto per 1 o per se stesso.

Sono numeri primi: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..

Per scomporre un numero in fattori primi occorre procedere per tentativi: si divide il numero per 2 (eventualmente pi

Numeri primi

per tentativi: si divide il numero per 2 (eventualmente pi volte), poi per 3, per 5, ecc.

Per scomporre 60: 60 / 2 = 3030 / 2 = 1515 / 3 = 55 / 5 = 1

Quindi: 60 = 2 2 3 5 = 22 3 5

Il minimo comune multiplo (mcm) il pi piccolo multiplo comune tra due o pi numeri.Il mcm si ottiene come il prodotto dei fattori primi comuni o non comuni, presi ciascuno una sola volta con il maggiore esponente con cui figurano.

Esempio:

Minimo comune multiplo

Esempio: il mcm tra 44, 132 e 110 223511 = 660Scomposizione in fattori primi:

44 = 2211, 132 = 22311, 110 = 2511

Addizione e sottrazione:

Operazioni con le frazioni

Prodotto e divisione:

1427

6027

60102116

305

207

154

=

+=+

65

49

2710

94

:2710

31

311

31

45

54

217

1215

54

4514

32

157

==

===

=

Se a un numero reale positivo e n un numero intero positivo:

an = a a .. a

Elevamento a potenza

n volteIl numero a prende il nome di base ed il numero n di esponente.esponente.

an am = an+m

(an)m = anma0 = 1

91

311

37

ba

ba

20

2

22

=

=

=

Se n negativo: a-n = 1 / an

Lestrazione di radice loperazione inversa dell eleva-mento a potenza.

Estrazione di radice

211

aaaa == nn

Lestrazione di radice definita allinterno dei numeri reali solo se a positivo o nullo.E possibile razionalizzare una frazione eliminando dal E possibile razionalizzare una frazione eliminando dal denominatore eventuali espressioni irrazionali.

a

a

a

1=

In generale:(a1/n)n = a1/n n = a1 = a

Si dice monomio qualunque espressione algebrica numerica o letterale in cui non figurano addizioni o sottrazioni. E un prodotto di numeri e lettere.

Esempi: 4ab1/5 a3b4c27 (a2 / b) = 7 a2 b-1

Monomi

7 (a / b) = 7 a b

Moltiplicando i fattori numerici e scrivendo sotto forma di potenza il prodotto delle lettere il monomio formato da una parte numerica detta coefficiente numerico e da una parte letterale.

Il grado di un monomio rispetto ad una lettera uguale all'esponente della lettera

Esempio: -4a3b4c5d2 rispetto ad a ha grado 3

Il grado complessivo di un monomio uguale alla somma degli esponenti della parte letterale

Monomi

degli esponenti della parte letterale

Esempio: -4a3b4c5d2 ha grado complessivo uguale a 3+4+5+2 = 14

Il prodotto di due o pi monomi un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali

7 a2 b3 4 a3 b c3 = 28 a5 b4 c3

Per elevare a potenza n-esima un monomio si eleva a potenza sia il coefficiente , sia ciascun fattore della parte letterale

Operazioni su monomi

letterale(7 a2 b3)2 = 49 a4 b6

Un monomio divisibile per un altro monomio quando esiste un terzo monomio (quoziente) che, moltiplicato per il secondo, dia come risultato il primo. Il grado del quoziente pari alla differenza dei gradi del dividendo e divisore.

28 a5 b4 c3 : 4 a3 b c3 = 7 a2 b3

La somma algebrica di due o pi monomi un polinomio.

4 a2b4c5 + 2 a2 - 8 b4 + 7 c5

I singoli monomi sono i termini del polinomio.Il grado complessivo di un polinomio uguale al pi grande grado complessivo dei termini che lo compongono

Polinomi

grande grado complessivo dei termini che lo compongono

Esempio: -4a3b4c5d2 + 5a2b3c7d2 ha grado complessivo uguale a 3+4+5+2 = 14

Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i termini hanno lo stesso grado.

Prodotto di un polinomio per un monomio:(4a3 - 5a2b3 + 5b3 ) * (2ab) = 8a4b - 10a3b4 + 10ab4

Quoziente di un polinomio per un monomio:(8a4b - 10a3b4 + 10ab4 ) : (2ab) = 4a3 - 5a2b3 + 5b3

Prodotto di un polinomio per un polinomio:

Operazioni su polinomi

Prodotto di un polinomio per un polinomio: un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo

Le percentuali sono di fatto frazioni nelle quali il divisore 100:

Percentuali

5100500500%0.05

201

10055% =====

Il 25% di 550 550 0.25 = 137.5Il 25% di 550 550 0.25 = 137.5

Un televisore che costa 500 + 20% di IVA costa allutente finale 500 + 500 0.20 = 500 + 100 = 600

La variazione percentuale si calcola come:(nuovo valore valore originale) / valore originale x 100

Se il numero di esami radiologici effettuati ogni mese passa da 300 a 360 qual lincremento percentuale?

Variazione percentuale

160300360 20%0.251

30060

300300360

====

Le equazioni sono uguaglianze fra due espressioni in cui compare una lettera detta incognita e che sono verificate per valori opportuni dell'incognita, detti soluzioni o radici. Pertanto le radici o soluzioni di un'equazione sono quei particolari valori che sostituiti al posto dell'incognita verificano l'uguaglianza.

Equazioni

Esempio:5x+7 = 3x+13

ha come soluzione x=3, infatti sostituendo si ottiene:5*3 + 7 = 3*3 + 13mentre x=2, non soluzione infatti5*2+7 da 3*2+13

Le due espressioni che compaiono a sinistra e a destra dell'uguale sono dette membri dell'equazione. Se luguaglianza vera solo per qualche valore dellinsieme di definizione, lequazione si dice propria.Se luguaglianza vera per ogni valore dellinsieme di definizione si parla pi propriamente di identit.

Equazioni

definizione si parla pi propriamente di identit.Se luguaglianza non vera per nessun valore dellinsieme di definizione, lequazione si dice impossibile.Si chiama grado di un'equazione l'esponente massimo con cui compare l'incognita. Un'equazione di primo grado detta anche lineare.

Unequazione determinata di grado n ammette n soluzioninel campo complesso, alcune delle quali potrebbero coincidere.

Unequazione determinata di grado n ammette al massimo n soluzioni nel campo reale, alcune delle quali potrebbero coincidere.

Equazioni

coincidere.

Unequazione in forma normale quando nella forma:P(x) = 0

con P(x) polinomio nellincognita x ordinato secondo le potenze decrescenti di x.

2x + 1 = 0 unequazione di primo grado

Equazioni

2x + 1 = 0 unequazione di primo grado2x2 + 1 = 0 unequazione di secondo grado(x+1)/x 3x = 0 riscrivendo il polinomio in forma normale -3x2 + x + 1 = 0 unequazione di secondo grado

Unequazione contenente frazioni algebriche implica determinate condizioni di esistenza. Prima di risolvere unequazione frazionaria bisogna scartare tutti gli zeri dei denominatori. Per tali valori infatti lespressione frazionaria non ha significato.

(x+1)/x 3x = 0

Equazioni

Lequazione perde di significato per x = 0.

Propriet delle equazioni

Si ottiene una equazione equivalente:

aggiungendo o sottraendo una stessa quantit al primo ed al secondo membro

trasportando un termine da un membro all'altro cambiandone il segno.cambiandone il segno.

moltiplicando o dividendo per una stessa quantit diversa da zero il primo ed il secondo membro.

Un'equazione lineare si risolve separando i termini che contengono l'incognita dagli altri termini. La separazione si realizza mediante il trasporto dei termini da un membro all'altro.

Esempio: 5x + 7 = 3x + 13 si deve trasportare il termine 7 al secondo membro ed il

Risoluzione delle equazioni

si deve trasportare il termine 7 al secondo membro ed il termine 3x al primo membro cambiandoli di segno.

5x - 3x = 13 - 72 x = 6

dividendo primo e secondo membro per 2 si ricava l'incognita x

x = 6/2 = 3

Un'equazione di secondo grado si risolve riconducendola alla cosiddetta forma normale

ax2 + bx + c = 0Le soluzioni di questa equazione sono:

Risoluzione delle equazioni

acbbx

42 =

acbbx

42 +=

a

acbbx

24

1

=

a

acbbx

24

2+

=

Il radicando b2 - 4ac della radice quadrata si chiama discriminante dell'equazione.L'equazione ha radici reali se il discriminante positivo o nullo, diversamente le radici sono immaginarie.

Un'equazione di terzo grado si pu risolvere algebricamente ricorrendo ad un metodo (complicato) sviluppato dal matematico Tartaglia nel 1500.Se possibile conviene comunque esprimere lequazione in una forma pi conveniente:

ax3 + bx2 + cx + d = 0pu esprimersi (a volte) come

Risoluzione delle equazioni

pu esprimersi (a volte) come(ax2 + bx + c) (x1 x) = 0

quindi una soluzione x = x1, mentre le altre si possono trovare risolvendo lequazione di secondo grado a sinistra dellespressione. Esiste una formula per risolvere algebricamente equazioni di quarto grado, mentre stato dimostrato che impossibile risolvere algebricamente equazioni di grado superiore al quarto.

Un insieme di pi equazioni di cui si vogliano trovare le soluzioni comuni in sistema di equazioni.Il grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo costituiscono

x - 2y = 03x + 2y = 8

Sistemi di equazioni

un sistema di primo grado (sistema lineare).3x + y = 12xy + x = 0

un sistema di secondo grado.

Per risolvere un sistema di equazioni lineari si pu procedere per sostituzione:

x - 2y = 03x + 2y = 8

dalla prima equazione: x = 2y. Sostituendo nella seconda:3(2y) + 2y = 8

Sistemi lineari

3(2y) + 2y = 86y + 2y = 88y = 8y = 1

Sostituendo il valore di y nella prima equazione si ottiene:x 2 = 0x = 2

In generale un sistema lineare pu essere:

Possibile determinato (una soluzione). Si ha quando il numero di incognite pari al numero di equazioni.

indeterminato (infinite soluzioni). Si ha quando il numero di incognite maggiore del

Sistemi lineari

il numero di incognite maggiore del numero di equazioni.

Impossibile nessuna soluzione. Si ha quando il numero di incognite minore del numero

di equazioni.

La soluzione di unequazione di primo grado immediata:ax + b = 0

ax = -bx = -b / a

Ad esempio:3x + 4 = 0

Equazioni di primo grado

3x + 4 = 03x = -4

x = -4 / 3 = -1.333

Anche la soluzione di un equazione di secondo grado semplice:

ax2 + bx + c = 0ha come soluzione

Equazioni di secondo grado

2a4acbb

x2

=

La soluzione reale se e solo se b2 - 4ac > 0.

Il presente nella soluzione indica che vi sono due valori di x che risolvono lequazione. Tali valori possono essere coincidenti se b2 - 4ac = 0.

Lelevazione a potenza vista precedentemente si pu generalizzare per un esponente reale.

ax+y = ax ay

(ax)y = ax yLa funzione che ad ogni numero reale x associa il numero

Funzione esponenziale

La funzione che ad ogni numero reale x associa il numero reale ax si chiama funzione esponenziale di base a.a prende il nome di base della funzione esponenziale.

La base della funzione esponenziale pu essere un qualsiasi numero reale. Nella pratica si usano solo due basi: a = 10 ed a = e.

La base a = 10 comoda da usare poich utilizziamo un sistema di numeri decimale. Tuttavia in fisica esiste una base naturale che costituita dal numero e o numero di

Funzione esponenziale

base naturale che costituita dal numero e o numero di Nepero definito tramite:

n

ne

+=

11limn

e vale:e = 2.71828182845904523536 ..

Il numero di Nepero, a differenza di , non ha una semplice interpretazione geometrica, ma coinvolto in molti processi fisici nei quali la variazione nel tempo di una grandezza (ad esempio la temperatura di un corpo caldo che si raffredda) dipende dal valore della grandezza stessa.

Funzione esponenziale

Utilizzando la base naturale e si pu calcolare lesponenziale come:

n

x

n

xe

+= 1lim

n

Se a un numero reale positivo, la funzione logaritmo di base a la funzione inversa della funzione esponenziale di base a vista precedentemente.Se:

x = ay

y = loga(x)

Funzione logaritmo

Dalla definizione segue:loga(x1 x2) = loga(x1) + loga(x2)

loga(1) = 0loga(xn) = n loga(x)

La funzione logaritmo di base a definita solo per x reale positivo.

Esempi:log24 = 2 22 = 4

log1/22 = -1 (1/2)-1 = 2log381 = 4 34 = 81

log (1/9) = -2 (3)-2 = 1/9

Funzione logaritmo

log3(1/9) = -2 (3)-2 = 1/9

Anche per i logaritmi si utilizzano nella pratica solo le due basi a = 10 ed a = e.

Si chiama logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) il logaritmo di base e, indicato come:

ln(x) = loge(x)

Logaritmo naturale

ln(x) = loge(x)

Con il simbolo log si indica comunemente il logaritmo di base 10:

log(x) = log10(x)

La funzione y = ln(x) ha come grafico:Logaritmo naturale

y = ln(x) definita solo per x > 0 ma assume valori sia positivi che negativi.

La funzione y = ex ha come grafico:

Funzione esponenziale

5

6

7

8

9

10

La funzione definita su tutto lasse reale ma assume solamente valori positivi.

0

1

2

3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

56

7

8

9

10

La funzione y = e-x ha come grafico:Funzione esponenziale

0

1

2

3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

La funzione definita su tutto lasse reale ma assume solamente valori positivi.

Se si vuole conoscere il valore del logaritmo in una base diversa da quella nota, si pu applicare la regola:

loga(x) = logb(x) / logb(a)

Ad esempio una delle basi pi usate per i logaritmi la base 10 (a=10).

Propriet dei logaritmi

10 (a=10).

log1010000 = 4allora

loge10000 = log1010000 / log10e = 4 / 0.43429 = 9.21034

Propriet dei logaritmi

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200

giallo log2blu logerosso log10

-40

-40-35-30-25-20-15-10

-505

1015

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

-8-7

-6-5-4

-3

-2-1012

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50