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22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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COLAS DE PRIORIDAD
Las colas de prioridad son estructuras de datos que resultan ser útiles en muchas aplicaciones informáticas.
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COLAS DE PRIORIDAD
Las colas de prioridad son estructuras de datos que resultan ser útiles en muchas aplicaciones informáticas.
Es utila pensar en los valores de las claves asociados con los elementos como prioridades.
Así, las claves obedecen a un relación de orden total.
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COLAS DE PRIORIDAD
Las colas de prioridad son estructuras de datos que resultan ser útiles en muchas aplicaciones informáticas.
Es útil pensar en los valores de las claves asociados con los elementos como prioridades.
Así, las claves obedecen a un relación de orden total.
Ejemplos:
Planificación de trabajos en un sistema multiusuario.
Simulación de sucesos discretos
Desarrollo de códigos de prefijos óptimos
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COLAS DE PRIORIDAD
Las operaciones más importantes en un TDA de colas de prioridad se refieren aquellas que permiten repetidamente seleccionar el elemento de la cola de prioridad que tiene como clave el valor máximo (mínimo).
Esto conlleva a que una cola de prioridad debe soportar las siguientes operaciones:
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COLAS DE PRIORIDAD
Las operaciones más importantes en un TDA de colas de prioridad se refieren aquellas que permiten repetidamente seleccionar el elemento de la cola de prioridad que tiene como clave el valor máximo (mínimo).
Esto conlleva a que una cola de prioridad P debe soportar las siguiente operaciones:
ColaPrioridad(T)
Insertar(P,x): añade el elemento x a la cola de prioridad
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COLAS DE PRIORIDAD
Las operaciones más importantes en un TDA de colas de prioridad se refieren aquellas que permiten repetidamente seleccionar el elemento de la cola de prioridad que tiene como clave el valor mínimo (máximo).
Esto conlleva a que una cola de prioridad P debe soportar las siguiente operaciones:
ColaPrioridad(T)
Insertar(P,x): añade el elemento x a la cola de prioridad
EncontrarMin(P): Devuelve el elemento de P con la priridad con menor valor.
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COLAS DE PRIORIDAD
Las operaciones más importantes en un TDA de colas de prioridad se refieren aquellas que permiten repetidamente seleccionar el elemento de la cola de prioridad que tiene como clave el valor mínimo (máximo).
Esto conlleva a que una cola de prioridad P debe soportar las siguiente operaciones:
ColaPrioridad(T)
Insertar(P,x): añade el elemento x a la cola de prioridad
EncontrarMin(P): Devuelve el elemento de P con la priridad con menor valor.
EliminarMin(P): Quite y devuelve el elemento con la priridad con menor valor.
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Implementaciones de un TDA de Cola de Prioridad
•Arboles equilibrados (AVL, ROJO y NEGRO)
Permite las operaciones en O(log n).
Se mantiene la propiedad de ABB sin nesecidad.
Se añade costo adicional por las operaciones de equilibrio sin necesidad.
COLAS DE PRIORIDAD
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Implementaciones de un TDA de Cola de Prioridad
•Arboles equilibrados (AVL, ROJO y NEGRO)
Permite las operaciones en O(log n).
Se mantiene la propiedad de ABB sin nesecidad.
Se añade costo adicional por las operaciones de equilibrio sin necesidad.
•Montículos Binarios Montículos-d
COLAS DE PRIORIDAD
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Implementaciones de un TDA de Colad de Prioridad
•Arboles equilibrados (AVL, ROJO y NEGRO)
Permite las operaciones en O(log n).
Se mantiene la propiedad de ABB sin nesecidad.
Se añade costo adicional por las operaciones de equilibrio sin necesidad.
•Montículos Binarios, Montículos-d
•Montículos a la izquierda
COLAS DE PRIORIDAD
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Implementaciones de un TDA de Colad de Prioridad
•Arboles equilibrados (AVL, ROJO y NEGRO)
Permite las operaciones en O(log n).
Se mantiene la propiedad de ABB sin nesecidad.
Se añade costo adicional por las operaciones de equilibrio sin necesidad.
•Montículos Binarios, Montículos-d
•Montículos a la izquierda
•Montículos oblicuos. ( Estructura amortizada)
COLAS DE PRIORIDAD
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Implementaciones de un TDA de Colad de Prioridad
•Arboles equilibrados (AVL, ROJO y NEGRO)
Permite las operaciones en O(log n).
Se mantiene la propiedad de ABB sin nesecidad.
Se añade costo adicional por las operaciones de equilibrio sin necesidad.
•Montículos Binarios
•Montículos a la izquierda
•Montículos oblicuos. ( Estructura amortizada)
•Colas binomiales, colas binomiales perezosas, colas Fibonacci
COLAS DE PRIORIDAD
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MONTÍCULOS BINARIOS
Es una estructura de datos simple que da soporte eficiente al TDA de colas de prioridad.
Un montículo binario (o simplemente montículo o heap) es un árbol binario semicompleto en el que el valor de la clave almacenada en cualquier nodo es menor o igual que los valores claves de sus hijos
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MONTÍCULOS BINARIOS
•Propiedad de ordenamiento parcial: la clave almacenada en cualquier nodo es menor o igual que los valores claves de sus hijos.
Un Monticúlo binario entonces debe satisfacer dos propiedades
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8 3
10 16 7 18
13 15
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MONTÍCULOS BINARIOS
•Propiedad de ordenamiento parcial: la clave almacenada en cualquier nodo es menor o igual que los valores claves de sus hijos.
•Propiedad de la forma: árbol binario semicompleto
Nodos hojas, sin huecos
2
8 3
10 16 7 18
13 15
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MONTÍCULOS BINARIOS
•Propiedad de ordenamiento parcial: la clave almacenada en cualquier nodo es menor o igual que los valores claves de sus hijos.
•Propiedad de la forma: árbol binario semicompleto
Nodos hojas, sin huecos
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8 3
10 16 7 18
13 15
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MONTÍCULOS BINARIOS
Ventajas: el hecho de ser semicompleto hace que sea posible una representación secuencial.
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8 3
10 16 7 18
13 15
2 8 3 210 16 7 18 13 15
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MONTÍCULOS BINARIOS
La propiedad de la forma implica entonces:
•Si un nodo está almacenado en la posición i.
•Su hijo izquierdo, si existe, se encuentra en la posición 2i.
•Su hijo derecho, si existe, se encuentra en la posición 2i+1.
•El padre se encuentra en la posición i/2.
2
8 3
10 16 7 18
13 15 2 8 3 210 16 7 18 13 15
i=3
2*3=6 2*3+1=7i/2=1
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MONTÍCULOS BINARIOS
Se cálcula fácil y rápidamente, realizando un dezplazamiento de un bit a la izquierda o a la derecha.
No hay necesidad de almacenar punteros como en los ABB.
Los cálculos de índices tardan menos tiempo que los de desreferencia de punteros asociados a una representación enlazada.
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MONTÍCULOS BINARIOS
MANTENIMIENTO DE MONTICULOS
La operación EncontrarMin() se realiza en orden constante ya que solo será necesario acceder al valor de la raíz.
Las operaciones Insertar(x) y EliminarMin() no tienen implantaciones triviales en un montículo binario. Es necesario asegurar que ambas operaciones no destruyan las propiedades de un montículo.
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MONTÍCULOS BINARIOS
Insertar (x):
Al insertar un elemento x en un montículo de n elementos debe resultar un árbol binario de n+1 elementos, esto es:
•El nodo se añade como una hoja extrema creciendo de izquierda a derecha (n+1).
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MONTÍCULOS BINARIOS
Insertar (x):
Al insertar un elemento x en un montículo de n elementos debe resultar un árbol binario de n+1 elemntos, esto es:
•El nodo se añade como una hoja extrema creciendo de izquierda a derecha (n+1). (garantiza la propiedad de forma)
•Se garantiza la propiedad de ordenamiento parcial
2
8 3
10 16 7 18
13 15
2 8 3 210 16 7 18 13 15
4
4
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MONTÍCULOS BINARIOS
2
8 3
10 4 7 18
13 15
2 8 3 210 4 7 18 13 15
16
16
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MONTÍCULOS BINARIOS
4 3
10 8 7 18
13 15
2 4 3 210 8 7 18 13 15
16
16
2
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MONTÍCULOS BINARIOS
4 3
10 8 7 18
13 15
2 4 3 210 8 7 18 13 15
16
16
2
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MONTÍCULOS BINARIOS
2 4 3 210 8 7 18 13 15 16
2 8 3 210 16 7 18 13 15 4
2 8 3 210 4 7 18 13 15 16
2 4 3 210 8 7 18 13 15 16
I=10
I=5
I=2
I=1
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MONTÍCULOS BINARIOS
Eliminar():
Al eliminar un elemento x en un montículo de n elementos, se elimina el elemento de clave mínima, es decir el elemento de la raíz.
•Se debe garantizar la propiedad de ordenamiento parcial??
2
8 3
10 16 7 18
13 15
2 8 3 210 16 7 18 13 15
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MONTÍCULOS BINARIOS
15
8 3
10 16 7 18
13 15
15 8 3 210 16 7 18 13 n=n-1
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MONTÍCULOS BINARIOS
15
8 3
10 16 7 18
13
15 8 3 210 16 7 18 13
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MONTÍCULOS BINARIOS
3
8 15
10 16 7 18
13
3 8 15 210 16 7 18 13
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MONTÍCULOS BINARIOS
3
8 7
10 16 15 18
13
3 8 7 210 16 15 18 13
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MONTÍCULOS BINARIOS
En la operación de inserción es necesario realizar un subir (filtrado ascendente) del nodo pivote o insertador para asegurar la propiedad de forma.
En la operación de eliminación es necesario realizar un hundir (filtrado descendente) del nodo pivote o insertador para asegurar la propiedad de forma.
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MONTÍCULOS BINARIOS
Creación de un montículo a partir de una colección existente de datos.
•Sol 1: Hacer n inserciones en un montículo inicialmente vacío O(nlog n). Enfoque de arriba hacia abajo.
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MONTÍCULOS BINARIOS
Creación de un montículo a partir de una colección existente de datos.
•Sol 1: Hacer n inserciones en un montículo inicialmente vacío O(nlog n). Enfoque de arriba hacia abajo.
•Sol 2: Utilizar un enfoque de abajo hacia arriba, O(n).
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MONTÍCULOS BINARIOS
Sol 2: Utilizar un enfoque de abajo hacia arriba, O(n).
Pasos:
•Almacenar arbitariamente los n elementos en el árbol.
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2 13
18 15 3 7
16
19 2 13 218 15 3 7 16
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8
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MONTÍCULOS BINARIOS
Pasos:
•Almacenar arbitariamente los n elementos en el árbol.
•Con el nodo [n/2] procesando en orden decreciente hasta el nodo 1, montificar el subárbol con raíz en cada nodo por medio de un hundir.
16
19
2 13
18 15 3 7
19 2 13 218 15 3 7 16
8
8
4
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1
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MONTÍCULOS BINARIOS
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19
2 13
8 15 3 7
19 2 13 28 15 3 7 16
18
18
32
1
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MONTÍCULOS BINARIOS
16
19
2 3
8 15 13 7
19 2 3 28 15 13 7 16
18
18
2
1
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MONTÍCULOS BINARIOS
16
19
2 3
8 15 13 7
19 2 3 28 15 13 7 16
18
18
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MONTÍCULOS BINARIOS
16
2
19 3
8 15 13 7
2 19 3 28 15 13 7 16
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MONTÍCULOS BINARIOS
16
2
19
38
15 13 7
2 8 3 219 15 13 7 16
18
18
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MONTÍCULOS BINARIOS
16
2
19
38
15 13 7
2 8 3 216 15 13 7 19
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class T> class Monticulo{
T elemento[max];
int n=0;
protected:
Flotar(int i);
Hundir(int i);
public:
Montículo(const T& elem);
Montículo(T* elem);
Montículo();
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MONTÍCULOS BINARIOS
void Inserta(const T& elem);
T& EncontrarMin();
T& EliminarMin();
Booleano Vacio() const;
inline void HacerVacio(); // operadores .>> <<
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class T>
void Monticulo::Flotar(int i){
T elem=elemento[i];
int p=i/2;
while (elem< elemento[p] && i>=1)
{ elemento[i]=elemento[p];
i=p;
p=i>>1;}
elemento[i]=elem;}
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class T> void Monticulo::Hundir(int i){ Assert(i>=0) return; T elem=elemento[i]; int n; int c; j=i; c=2*i; while (c<=n) { if ( c+1<= n){ if (elemento[c+1]<elemento[c]) c=c+1;} if (elem>elemento[c]) elemento[j]=elemento[c]; j=c; c=j<<1; //2*j } elemento[j]=elem;}
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class T> void Monticulo<T>::Insertar(constT& e){
n=n+1;
if (n<=max){
elemento[n]=e;
flotar(n);}}
Template<class T> T& Monticulo<T>::EliminarMin(){
T* elem= new T(elemento[1]);
elemento[1]=elemento[n];
n--;
if (Vacio()==falso) Hundir(1);
return *elem;}
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class T> T& Monticulo<T>::EncontrarMin(){
T* elem= new T(elemento[1]);
return *elem;}
Template<class T> booleano Monticulo<T>::Vacio(){
if (n>0) return true;
return falso;
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1
2 3 4
4 7 10 13 15 16 8 17 9
6 7 10
61
31
21
14
13
12
19
18
16
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MONTÍCULOS -d
Montículos parecidos a los binarios, excepto que todos los nodos tienen d hijos.
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Características •Más bajos que los montículos binarios altura logd n.• Mejora la operación de insertar• EliminarMin es más costosa O(d logd n) ¿por qué?• Se pueden implantar en arreglos• Operaciones de multiplicación y división son más costosas• Bueno cuando hay muchas inserciones y pocas eliminaciones• Bueno cuando el tamaño del montículo es muy grande.
MONTÍCULOS -d
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Problema:
La operación de combinar dos montículos en uno (fusionar) no tiene un soporte eficiente
Estructuras para fusionar eficientemente.
•Montículos a la izquierda: es un árbol binario. Se diferencia del montículo binario porque el montículo a la izquierda no está perfectamente equilibrado (intenta ser muy desequilibrado).
•Montículos oblicuos:
MONTÍCULOS -d
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
Longitud del camino nulo
•Longitud del camino nulo lcn(x): es la longitud del camino más corto entre x y un nodo hoja.•Longitud del camino nulo de un nodo hoja o rama con un hijo es 0.•lcn(nulo) = -1 (longitud del camino nulo es -1)
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1 0
0 0
0
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
Propiedad del montículo a la izquierda:
•La lcn del hijo izquierdo es al menos tan grande como la del hijo derecho
El árbol se desvia con mayor profundidad al lado izquierdo.
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
Un montículo a la izquierda poseen dos propiedades:
•Propiedad estructural basada en la longitud del camino nulo•Propiedad de orden (como el montículo binario)
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
1
1 0
0 0
0
1
1*
0
0 1
0 0
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
1
1 0
0 0
0
1
1*
0
0 1
0 0
MONTÍCULO A LA IZQUIERDA NO
lcn de cualquier nodo es 1 más que la mínima longitud del camino nulo de sus hijos
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
Teorema
Un árbol a la izquierda con d nodos en el camino derecho debe tener al menos 2d - 1 nodos
Un árbol a la izquierda de n nodos tiene un camino derecho con a lo más log(n+1) nodos
La idea es trabajarlo por el lado derecho que es más corto.
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
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7
18
24
33
3
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21
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18
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
P1 P2
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
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12
18
24
33
3
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21
14
23
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37
18
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P1 P2
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
6
12
18
24
33
3
10
21
14
23
7
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18
8
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P1 P2
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
6
12
18
24
33
3
10
21
14
23
7
37
18
8
17
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P1 P2
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
6
12
18
24
33
3
10
21
14
23
7
37
18
8
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P1 P2
NULO
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
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12
18
24
33
3
10
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14
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LCN?
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
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12
18
24
33
3
10
21
14
23
7
37
18
8
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LCN?
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
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24
33
3
10
21
14
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LCN?
Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
6
12
18
24
33
3
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21
14
23
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LCN?
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Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
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18
24
33
3
10
21
14
23
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LCN?
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Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
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14
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24
33
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Ejemplo para fusionar dos montículos a la izquierda (P1, P2)
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class Type> class MontIzq{
template <class T> class ElMont {
friend class Montizq<T>;
protected: T clave; int lcn; public: // los métodos de la clase }
A LA IZQUIERDA
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class T> class MontIzq: private ABB<ElMont>{
public:
MontIzq(const T& elem);
MontIzq(const MontIzq* elem);
MontIzq(T* elem);
MontIzq();
MontIzq<T>& Fusionar(MontIzq<T>& m1, MontIzq<T>& m2);
A LA IZQUIERDA
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MONTÍCULOS BINARIOS
void Inserta(const T& elem);
T& EncontrarMin();
T& EliminarMin();
Booleano Vacio() const;
inline void HacerVacio(); // operadores .>> <<
private:
MontIzq<T>& Fusionar1(MontIzq<T>& m1, MontIzq<T>& m2)
A LA IZQUIERDA
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
Template<class T>
void MontIzq::Fusionar(MontIzq<T>& m1, MontIzq<T>& m2){if (m1.Vacio()==true) return m2;else { if (m2.Vacio ()== true) return m1;
else{ if (m1 Infor().clave() < m2 Infor().clave()) return Fusionar1(m1,m2); else return Fusionar1(m2,m1);}}}
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
Template<class T>
void MontIzq::Fusionar1(MontIzq<T>& m1, MontIzq<T>& m2){MontIzq<T> aux;if (m1 Hizq() == 0) m1 Hizq(m2.raiz);else { m1 Hder(Fusionar(m1 Hder(),m2)); if (m1 Hizq() Lcn() < m1 Hder() Lcn()) intercambiar(m1 Izq(),m1 Der()) m1 Lcn(m1 Der() Lcn()+1)}return m1;}
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MONTÍCULOS BINARIOS
Insertar
6
M1 M2
3
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14
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26
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MONTÍCULOS BINARIOS
Insertar
6
M1 M2
3
10
8
21
14
23
17
26
Nulo
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MONTÍCULOS BINARIOS
Insertar
6
M1 M2
3
10
8
21
14
23
17
26
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MONTÍCULOS BINARIOS
Insertar
6
M1 M2
3
10
8
21
14
23
17
26
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MONTÍCULOS BINARIOS
Insertar
6
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10
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14
23
17
26
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MONTÍCULOS BINARIOS
Template<class T> void Monticulo<T>::Insertar(constT& e){
MontIzq<T> aux = new MontIzq<T>(e); MontIzq<T> aux1 = new MontIzq<T>(this); this Fusionar( aux, aux1);
A LA IZQUIERDA
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
M1
3
10
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17
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EliminarMin()
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
M1
10
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M2
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
M1
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M2
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
M1
10
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21
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M2
NULO
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
M1
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14
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17
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MONTÍCULOS BINARIOS A LA IZQUIERDA
Template<class T> T& Monticulo<T>::EliminarMin(){
T* ele = new T(raiz->Elem()); MontIzq<T> m1; MontIzq<T> m2; m1=raiz Hizq(); m2=raiz Hder(); delete raiz; this Fusionar(m1,m2);
return *ele;}
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
Un montículo oblicuo es una versión autoajustable de un montículo a la izquierda.
Es más facil de implementar debido al empleo de la heurística auto-ajustable.
En estos, el recorrido de abajo hacia arriba incondicionalmente se realiza el intercambio en todos los nodos (excepto para el nodo extremo derecho, dado que no tiene hijo no tiene sentido intercambiarlos).
No se mantiene información acerca de la longitud del camino nulo.
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87
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
El camino derecho del montículo oblicuo puede ser arbitrariamente largo en un momento dado O(n).
Para cualesquiera m operaciones consecutivas, el tiempo total en el peor de los casos es O(m log n). Así el costo amortizado por operación en un montículo oblicuo es O(log n)
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P1 P2
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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P1 P2
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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P1 P2
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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P1 P2
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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NULO
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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Template<class T> class MonO: private ABB<T>{
public:
MonO(const T& elem);
MonO(const MontIzq* elem);
MonO(T* elem);
MonO();
MontO<T>& Fusionar(MonO<T>& m1, MonO<T>& m2);
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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void Inserta(const T& elem);
T& EncontrarMin();
T& EliminarMin();
Booleano Vacio() const;
inline void HacerVacio(); // operadores .>> <<
privare:
MonO<T>& Fusionar1(MonO<T>& m1, MonO<T>& m2)
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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Template<class T>
void MonO::Fusionar(MonO<T>& m1, MonO<T>& m2){
if (m1.Vacio()==true) return m2;else¨{ if (m2.Vacio ()== true) return m1;
else{ if (m1 Infor() < m2 Infor()) return Fusionar1(m1,m2); else return Fusionar1(m2,m1);}}}
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
22/04/23 Dulce M. Rivero A. Estructura de datos
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Template<class T>
void MonO::Fusionar1(MonO<T>& m1, MonO<T>& m2){MonO<T> aux;
if (m1 Hizq() == 0) m1 Hizq(m2.raiz);else { m1 Hder(Fusionar(m1 Hder(),m2)); intercambiar(m1 Izq(),m1 Der());} return m1;}
MONTÍCULOS BINARIOS OBLICUOS
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BIBLIOGRAFÍA
• Gregory L. Heilemam. “ Estructura de Datos, Algoritmos, y Programación Orientada a Objetos”. Mc Graw Hill . 1997.
•Luis Joyanes A. Ignacio Zahonero M. “ Estructura de Datos”. Mc Graw Hill . 1999.
•Mark Allen W. “ Estructura de Datos y Algoritmos”. Addison Wesley 1995.
